捕食者与被捕食者问题的定性分析

捕食者与被捕食者问题的定性分析（共2篇）

捕食者与被捕食者问题的定性分析篇1

捕食者与被捕食者问题的定性分析

对于一类具有简化Holling Ⅳ类功能性反应的扑食与食饵模型做了较为详细的定性分析,得到了系统轨线的全局稳定性,极限环的存在性及系统无环的`一些充分条件.部分地改进了文献[2]的一些结果.

作者：刘翠桃 Liu Cuitao 作者单位：商丘职业技术学院,河南,商丘,476000刊名：河南科学 ISTIC英文刊名：HENAN SCIENCES年，卷(期)：27(9)分类号：O175.12关键词：捕食者与被捕食者简化HollingⅣ类功能性反应定性分析

捕食者与被捕食者问题的定性分析篇2

1980年, Armstrong和McGehee[1]建立了含一种食饵和两种竞争捕食者的捕食者-食铒模型

${\begin{cases} \frac{d Ρ_{1}}{d t} = Ρ_{1} (\frac{B_{1} C_{1} Ν}{1 + h C_{1} Ν} - D_{1}) ‚ \\ \frac{d Ρ_{2}}{d t} = Ρ_{2} (B_{2} C_{2} Ν - D_{2}) ‚ \\ \frac{d Ν}{d t} = r Ν (1 - \frac{Ν}{Κ}) - \frac{C_{1} Ν Ρ_{1}}{1 + h C_{1} Ν} - C_{2} Ν Ρ_{2} . \end{cases} (1)$

这里P1, P2, N分别表示两种捕食者种群的密度和食饵种群的密度;Bi (i=1, 2) 是捕食者Pi的转化率;h是捕食者P1的消化系数;Di (i=1, 2) 是捕食者Pi的死亡率;Ci (i=1, 2) 是捕食者Pi的捕食率;r和k分别是食饵N的内禀增长率和容纳量.2002年, Abrams[2]对模型 (1) 的动力学性态进行了深入研究, 指出在各个种群自身产生密度变化的系统里, 两个或更多的具有竞争关系的捕食者能够通过食用一个单一的食饵而达到共存, 同时揭示了该类模型许多新的性态, 比如混沌动力学, 长期瞬时性态, 同步周期, 异步周期等现象.

做变换 $t^{'} = r t ‚ u^{'}_{3} = \frac{Ν}{Κ} ‚ u^{'}_{1} = \frac{Ρ_{1}}{k B_{1}} ‚ u^{'}_{2} = \frac{Ρ_{2}}{k B_{2}}$ , 并略去符号“′”, 则 (1) 变为

${\begin{cases} \frac{d u_{1}}{d t} = u_{1} (\frac{a_{1} u_{3}}{1 + b u_{3}} - m_{1}) ‚ \\ \frac{d u_{2}}{d t} = u_{2} (a_{2} u_{3} - m_{2}) ‚ \\ \frac{d u_{3}}{d t} = u_{3} (1 - u_{3}) - \frac{a_{1} u_{3} u_{1}}{1 + b u_{3}} - a_{2} u_{3} u_{2} ‚ \end{cases} (2)$

其中

$a_{1} = \frac{k B_{1} C_{1}}{r} ‚ a_{2} = \frac{k B_{2} C_{2}}{r} ‚ b = k C_{1} h ‚ m_{1} = \frac{D_{1}}{r} ‚ m_{2} = \frac{D_{2}}{r} .$

本文主要讨论模型 (2) 非负整体解的一致有界性及其非负平衡点的稳定性.

易知, 系统 (2) 始终有平衡点E0 (0, 0, 0) , E1 (0, 0, 1) ;当a2>m2时有非负平衡点 $E_{2} (0 ‚ \hat{u}_{2} ‚ \hat{u}_{3})$ ;当a1>bm1+m1时有非负平衡点E3 (u*1, 0, u*3) , 其中

$\hat{u}_{2} = \frac{a_{2} - m_{2}}{a_{2}^{2}} ‚ \hat{u}_{3} = \frac{m_{2}}{a_{2}} ‚ u_{1}^{*} = \frac{a_{1} - b m_{1} - m_{1}}{(a_{1} - b m_{1})^{2}} ‚ u_{3}^{*} = \frac{m_{1}}{a_{1} - b m_{1}} .$

定理1 设 (u1 (t) , u2 (t) , u3 (t) ) 是系统 (2) 取正初值 (u1 (0) , u2 (0) , u3 (0) ) 时的解, [0, T) 是其最大存在区间, 则0<u1 (t) , u2 (t) ≤M2, 0<u3 (t) ≤M1, t∈[0, T) , 其中 $Μ_{1} = \max {u_{3} (0) ‚ 1} ‚ Μ_{2} = \max {u_{1} (0) + u_{2} (0) + u_{3} (0) ‚ \frac{(1 + l)^{2}}{4}} ‚ l = \min {m_{1} ‚ m_{2}}$ .从而T=+∞.

证明设 (u1, u2, u3) 是 (2) 带正初值的解, 由解的局部存在唯一性定理知, ui (t) (i=1, 2, 3) 局部存在且为正.故

$\frac{d u_{3}}{d t} \leq u_{3} (1 - u_{3}) .$

取M1=max{u3 (0) , 1}, 则0<u3 (t) ≤M1, ∀t>0.

令Z=u1+u2+u3, l=min{m1, m2}, 则

$\frac{d Ζ}{d t} = - m_{1} u_{1} - m_{2} u_{2} + u_{3} - u_{3}^{2} .$

显然

$u_{3} - u_{3}^{2} \leq - l u_{3} + (\frac{l + 1}{2})^{2}$ ,

从而

$\frac{d Ζ}{d t} \leq - l Ζ + \frac{(1 + l)^{2}}{4} .$

这隐含着

$Ζ \leq Μ_{2} = \max {\frac{(1 + l)^{2}}{4} ‚ u_{1} (0) + u_{2} (0) + u_{3} (0)} ‚ \forall t \in [0 ‚ Τ) .$

综上知∀t∈[0, T) , 0<u1, u2<M2, 0<u3<M1.由延拓定理知T=+∞.

定理2 (a) E0是 (1.2) 无条件不稳定的平衡点;

(b) 当 $\frac{a_{1}}{1 + b} ＜ m_{1} ‚ a_{2} ＜ m_{2}$ 时, E1是局部渐近稳定的;

(d) 当 $a_{1} ＞ b m_{1} + m_{1} ‚ \frac{a_{1} (b - 1)}{b (b + 1)} ＜ m_{1} ＜ \frac{a_{1} m_{2}}{a_{2} + b m_{2}} ‚ m_{2} ＞ \frac{a_{2} (b - 1)}{2 b}$ 时, E3是局部渐近稳定的.

证明由线性化方法易得 (a) , (b) .下在给出 (c) 的详细证明, (d) 可类似证明.

系统 (2) 在E2处的线性化矩阵是J (E2) = (aij) 3×3, 其中

$\begin{array}{l} a_{11} = \frac{a_{1} \hat{u}_{3}}{1 + b \hat{u}_{3}} - m_{1} ‚ a_{12} = 0 ‚ a_{13} = 0 ‚ \\ a_{21} = 0, a_{22} = a_{2} \hat{u}_{3} - m_{2} = 0 ‚ a_{23} = a_{2} \hat{u}_{2} ‚ \\ a_{31} = \frac{- a_{1} \hat{u}_{3}}{1 + b \hat{u}_{3}} ‚ a_{32} = - a_{2} \hat{u}_{3} ‚ a_{33} = 1 - 2 \hat{u}_{3} - a_{2} \hat{u}_{2} . \end{array}$

J (E2) 的特征方程是λ3+Aλ2+Bλ+C=0, 其中

A=- (a11+a33) , B=a11a33-a23a32, C=a11a23a32,

H=AB-C=-a $_{11}^{2}$ a33-a11a $_{33}^{2}$ +a23a32a33.

由Routh-Huiwitz判别法知, 当a11, a33<0时, J (E2) 的特征方程的3个特征根均有负实部, 即当 $a_{2} ＞ m_{2} ‚ m_{1} ＞ \frac{a_{1} m_{2}}{a_{2} + b m_{2}}$ 时, E2局部渐近稳定.

由于E0是不稳定的, 我们讨论E1, E2, E3的全局渐近稳定性.

定理3 (a) 当m2>a2, m1>a1时, E1是全局渐近稳定的;

(b) 当 $a_{2} ＞ m_{2} ‚ a_{1} \leq \frac{m_{1} a_{2}}{m_{2}}$ 时, E2是全局渐近稳定的;

(c) 当 $b m_{1} + m_{1} ＜ a_{1} \leq \frac{(a_{1} - b m_{1})^{2}}{b δ (a_{1} - b m_{1} - m_{1})} ‚ a_{2} ＜ \frac{m_{2} (a_{1} - b m_{1})}{m_{1}}$ 时, E3是全局渐近稳定的.

证明 (a) 定义如下Lyapunov函数

V1 (t) =u1+u2+ (u3-1-ln u3) .

设 (u1, u2, u3) 是 (2) 取正初值的解, 则

$V^{'}_{1} (t) = - (u_{3} - 1)^{2} - \frac{a_{1} u_{1}}{1 + b u_{3}} [- 1 + \frac{m_{1} (1 + b u_{3})}{a_{1}} + \frac{m_{2} u_{2} (1 + b u_{3})}{a_{1} u_{1}} - \frac{a_{2} u_{2} (1 + b u_{3})}{a_{1} u_{1}}] .$

当m2>a2, m1>a1时, V′1 (t) ≤0.由Lyapunov-Lasalle不变原理[3]得, E1是全局渐近稳定的.

(b) 定义

$V_{2} (t) = u_{1} + (u_{2} - \hat{u}_{2} - \hat{u}_{2} \ln \frac{u_{2}}{\hat{u}_{2}}) + (u_{3} - \hat{u}_{3} - \hat{u}_{3} \ln \frac{u_{3}}{\hat{u}_{3}}) .$

类似于 (a) 的证明可得, 当 $a_{2} ＞ m_{2} ‚ a_{1} \leq \frac{m_{1} a_{2}}{m_{2}}$ 时, V′2 (t) ≤0, 从而E2是全局渐近稳定的.

$V_{3} (t) = (u_{1} - u_{1}^{*} - u_{1}^{*} \ln \frac{u_{1}}{u_{1}^{*}}) + ρ_{3} u_{2} + δ_{3} (u_{3} - u_{3}^{*} - u_{3}^{*} \ln \frac{u_{3}}{u_{3}^{*}}) .$

其中 $δ_{3} = \frac{1}{1 + b u_{3}^{*}} = ρ_{3}$ .易于验证, 当

$b m_{1} + m_{1} ＜ a_{1} \leq \frac{(a_{1} - b m_{1})^{2}}{b δ (a_{1} - b m_{1} - m_{1})} ‚ a_{2} ＜ \frac{m_{2} (a_{1} - b m_{1})}{m_{1}}$

时, V′3 (t) ≤0, E3是全局渐近稳定的.

参考文献

[1]Armstrong R A, McGehee R.Competitive exclution.Am.Nature 1980, 115:151-170.

[2]Abrams P A, Brassil C E, Holt R D.Dynamics and responses to mortality rates of competing predatorsundergoing predator-prey cycles.Theoretical Population Biology 2003, 64:163-176.

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