中值预处理

中值预处理（精选9篇）

中值预处理 篇1

随着计算机技术的发展, 模式识别与人工智能领域的研究已经进入了更加深入的阶段, 研究人员们对算法的正确率与准确度有了更高的要求, 这导致人们对样本集 (包括训练集与测试集) 的要求也越来越高。现阶段, 大部分的自制样本都是通过相机拍摄或者通过录像截取的方式获取, 这种方法在图像生成与传输过程中存在着一些弊端, 即图像的质量极易受到外界因素的干扰, 产生大量的脉冲噪声并丢失局部信息。脉冲噪声主要有随机值脉冲噪声与椒盐噪声, 现阶段处理脉冲噪声的主要方法为非线性滤波法, 其代表方法是中值滤波法[1], 随着研究人员对样本的质量要求越来越高, 由于传统的中值滤波在保存图像细节方面效果欠佳, 已经不能满足人们的要求。为了解决这个问题, 本文作者提出采用加权自适应中值滤波方法结合维纳复原法的图像预处理方法, 使其能在滤波效果最好的情况下最大程度上的保证图像的细节和边缘。通过实验验证, 通过本文方法处理的样本在清晰度与完整度上较传统算法有很大的提高。

1 中值滤波算法原理

1.1 经典中值滤波算法

经典的中值滤波算法SMF (standard median filter) 是一种非线性滤波方法, 该算法依赖于快速排序法, 在牺牲部分图像细节与边缘信息的基础上能去除部分脉冲噪声。

其基本思想为:从待排序的元素集合中任选一个元素, 将其作为基元素分别于其他元素比较, 将其作为分割中点, 将比它小的元素放在前边、大的元素放在后边分成两个集合。然后分别对这两个集合重复以上动作, 当所有排序结束后, 取中间的元素值作为中值即输出值。

这种方法在处理大图像时存在计算量很大的问题, 同时其去噪性能受到滤波窗口尺寸的影响较大, 在噪声抑制与保护细节方面存在着一定的矛盾[2]。

1.2 加权自适应中值滤波原理

其基本思想是:设A (x, y) 表示中心像素点 (x, y) 在滤波时所对应的掩模窗口。令Zmin为A (x, y) 中的灰度最小值, Zmax为A (x, y) 的灰度最大值, Zmed为A (x, y) 的灰度中值。其中灰度中值的计算方法结合了均值思想。把排序得到的中值与窗口中所有像素点的均值相加得到灰度中值 (中值权重为0.3, 均值权重为0.7) 。

2 维纳复原法

维纳 (wiener) 滤波复原法是属于反卷积算法一类[3], 它是由Winner首先提出并应用于一维信号, 取得了很好效果。研究人眼将其引入二维信号处理, 尤其是在图像复原领域效果良好, 计算量较低, 并且抗噪声性能优良, 因而在图像复原领域得到了广泛的应用。

2.1 维恩滤波原理

首先利用最小均方误差估计, 使图像估计与原始图像f (x, y) 误差满足:

满足此式的维纳滤波器就为;

其中的H (u, v) 、w (u, v) 分别是h (x, y) 和w (x, y) 的傅里叶变换, F (u, v) 、N (u, v) 是f (x, y) 和n (x, y) 的傅里叶变化。

而功率谱则为:

我们定义Pf (u, v) /Pn (u, v) , 即信号功率谱与噪声功率谱的比值为信噪比, 但是由于噪声的功率谱难于得到, 而且在实际应用中对这个值得精度要求不高, 这里我们选取一个正常数c来近似信噪比的倒数,

代入维纳滤波器可得:

维纳滤波器的估计值为:

其中G (u, v) 是w (x, y) 的傅里叶变换。

在这里, 本文对维纳滤波器进行一个小的改进。即在信噪比的倒数项中加入参数γ, 其取值一般在0-1之间, 其作用为修正信噪比, 并改善滤波器抗噪声性能的目的。通过实验研究γ一般取值为0.1-0.3效果较明显。

3 实验验证与分析

本文采用的实验工具为Matlab软件, 所有算法的编写与实现都是用其完成。

3.1 实验过程

1) 选取原始lina图像, 并对其进行灰度化。

2) 在原始lina图像中加入高斯噪声如图2所示。

3) 使用传统中值滤波法对噪声图像进行滤波如图3所示。

4) 采用维纳复原法对图3进行复原。

5) 采用自适应中值滤波法对噪声图像进行滤波如图5所示

6) 使用维纳复原法对图5进行复原。

3.2 实验分析

如图1到图6所示, 在实验过程中首先对原图像进行灰度化并加入高斯噪声, 当采用传统中值滤波时发现去噪效果明显。但是也模糊了图像的边缘, 如图3。当采用本文设计的自适应中值滤波法进行滤波时效果较好, 如图5。但是这两种滤波方法都在某种程度上模糊了图像的边缘和细节, 在采用了维纳复原法处理后如图4、图6, 我们可以观察到图像的细节与边缘得到了更好的描述。说明本文算法的正确性与有效性。

4 总结

本文提出采用图像滤波与图像复原的图像预处理组合方法, 针对单一的图像滤波会对图像的边缘以及细节信息造成伤害的问题进行研究。实验结果证明, 本文提出的方法在有效的抑制噪声的同时, 能提高图像的质量并保证边缘与细节信息不丢失。

摘要：图像预处理是机器视觉、模式识别等研究领域中不可获取的重要组成部分, 在算法的研究与设计过程中, 图像的质量与完整度都是影响算法准确率的主要因素, 而通过图像预处理可以很大程度上的弱化这些影响。该文在研究传统的图像预处理方法的同时将图像滤波与图像复原方法相结合, 提出加权自适应中值滤波结合维纳复原法。即首先采用加权自适应中值滤波对图像进行滤波, 然后使用维纳复原法对图像进行复原。通过实验证明该方法对改善图像质量有着很好的效果。

关键词：图像预处理,加权自适应中值滤波,维纳复原

参考文献

[1]KO S J, LEE S J.Center weighted median filter and their appli-cations to image enhancement[J].IEEE Transactions on Cir-cuits and System, 1991, 38 (1) :984-993.

[2]刘进, 厉数忠, 张媛.基于混合中值滤波的图像去噪处理[J].甘肃科技, 2006, 22 (9) .

[3]Choi H, baraniuk R.Analysis of wavelet-domain Winner filters[C].Proceedings of the IEEE-SP International SymposiumonTime-frequency and Time-Scale Analysis.

中值预处理 篇2

1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法

例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1)f(0)0 试证至少存在一点(a,b)使得f()2f()1分析：把要证的式子中的  换成 x，整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1)由这个式可知要构造的函数中必含有f(x)，从xf(x)找突破口 因为[xf(x)]xf(x)f(x)，那么把(1)式变一下： f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0 这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法

例 2 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，又g(x)在[a,b]上连续 求证：(a,b)使得f()g()f()分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与 g 有关的放另一边，同样把  换成 x g(x)dx

f(x)f(x)两边积分g(x)lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Ce f(x)eg(x)dxC 现在设C0，于是要构造的函数就很明显了 F(x)f(x)e③一阶线性齐次方程解法的变形法 g(x)dx对于所证式为fpf0型，（其中p为常数或x 的函数）pdxpdx可引进函数u(x)e，则可构造新函数F(x)fe例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c(a,b)，使得f(c)0 求证：存在(a,b)，使得f()分析：把所证式整理一下可得：f() [f()f(a)]1ba1f()f(a)baf()f(a)ba0[f()f(a)]0，这样就变成了fpf0型xx－－badx 引进函数u(x)e＝eba（令C=0），于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)] 注：此题在证明时会用到f(c)f(b)f(a)ba0f(b)f(a)这个结论

2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日

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例 3 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)baf()f()

分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么下可以试一下，不妨设 F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一 F()f()f()bf(b)af(a)ba(x1,x2)至少存在一点②柯西定理

例 4 设0x1x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在 1c，使得ex2x1ex2ex1f(c)f(c)ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要证的式子e1f(x2)eex1f(x1)f(c)f(c)e 这题就没上面那道那么 发现e1f(x2)exx2容易看出来了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，变换一下，ex1x2f(x2)ex2f(x1)e1x11x2于是这个式子一下变得没有悬念了eex1 用柯西定理设好两个函③k值法

仍是上题数就很容易证明了分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个 第一步是要把含变量与 以此题为例已经是规范 设常量的式子分写在等号的形式了，现在就看常k 整理得ex1两边量的这个式子x2

ex1f(x2)eex1x2x2f(x1)e[f(x1)k]e[f(x2)k] 很容易看出这是一个对 那么进入第二步，设称式，也是说互换x1x2还是一样的F(x1)F(x2)F(x)ex[f(x)k]，验证可知。记得回带k，用罗尔定理证明即可④泰勒公式法

老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。

3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)1 试证存在，(0,1)使得e[f()f()]1分析：首先把与分开，那么就有e[f()f()]e 一下子看不出来什么，很容易看出那么可以先从左边的式子下手试一下xe[f()f()][ef()]，设F(x)ef(x)利用拉格朗日定理可得F()eaef(b)ef(a)baexbba

再整理一下 e[f()f()]ebbaa只要找到eaba与e的关系就行了得到 这个更容易看出来了，G()e令G(x)e则再用拉格朗日定理就e[f()f()]ba②柯西定理（与之前所举例类似）

中值预处理 篇3

1 机械性的“头疼医头、脚疼医脚”

1.1 看到猪发热马上用降体温药

有相当多的养殖户, 一看到猪有一点发热, 马上使用安乃近、氨基比林、双氯芬酸钠、对乙酰氨基酚等退热药物, 这样一来, 头一两天往往一针见效, 早上打针, 中午即吃料, 药效过后, 晚上又不吃, 再打退热药又吃。但过两天后。再怎么打退热药、抗生素仍然不吃, 并出现了所谓的“低温症”。后果惨重。在长期的临床实践中, 我们认为猪体温在40℃以下, 可以不使用退热药物, 或仅使用既能增强体质, 增强生理功能, 又能增进食欲, 缓和降体温的药物, 如牛磺酸类、黄芪多糖类产品。体温在40~41℃以上时, 才考虑使用对乙酰氨基酚、双氯芬酸钠、安乃近、甚至氯丙嗪等强退热药物 (如高热一针灵、热痛冰针、热毒康等) , 并配合使用增强体质和增进食欲的药物 (如电解多维、三磷酸腺苷、辅酶A、地塞米松、牛磺酸类产品等) 。因为过高的发热对生理功能会造成较大的损害, 甚至危及猪只的生命。

1.2 看到猪腹泻马上使用止泻药物

在临床工作中, 有许多猪场, 一发现猪只腹泻, 便想方设法要尽快止泻, 一些兽药厂家也为了迎合这部分养猪户的需要, 在治疗肠道疾病的药物中加入抑制肠道平滑肌蠕动的药物 (如阿托品、地芬诺酯等) 。一针下去, 痢疾止住了, 但猪只仍然不吃, 精神沉郁, 全身发抖, 于是继续打针, 结果病没见好转, 出现腹胀, 并表现出肠毒血症的症状。这是由于肠道中病原微生物并没有控制住, 加之肠道细菌毒素、肠道坏死脱落组织、肠道腐败发酵产物不能排出, 同时, 这些肠道有害物质在肠道停留, 再加上腐败物异常发酵过程而产生的大量有害气体和毒素, 导致肠道胀气和肠毒血症。反而加重病情, 引起猪只加速死亡。

对于腹泻治疗的总体原则是“亦疏通、忌涩堵、补水、补盐、抗感染”, 也就是说, 对于轻度腹泻, 以缓泻、清肠、抗菌消炎为主。不要使用抑制胃肠蠕动的药物。对于较严重的腹泻, 才可以考虑使用抑制胃肠平滑肌蠕动的药物, 但重点放在补液, 纠正酸中毒, 必要时静脉注射或腹腔补液, 并及时使用对肠道病原体敏感的抗菌药物。我们的经验是重症猪清理出来单独治疗;全群猪药物控制;规模猪场应用复方林可大观霉素、泰乐菌素、磺胺二甲预混剂或强力霉素按说明书推荐剂量加入饲料中进行预防性治疗, 效果更好。

1.3 看到猪咳嗽即使用止咳药

引起咳嗽的病因主要有病毒性感冒、蓝耳病 (PRRS) 、猪圆环病毒病、猪伪狂犬病、猪传染性胸膜肺炎、副猪嗜血杆菌病、猪肺疫、猪支原体病、肺丝虫、蛔虫以及外界环境中物理化学因素等, 单纯使用止咳药物, 看起来一针见效, 但不久即发生粘膜发绀, 四肢末梢发紫, 呼吸困难, 会使病情变本加厉, 更加严重。对待咳嗽正确的治疗态度应该是:消除病因 (抗菌、抗病毒、改善环境条件) , 先祛痰后止咳或祛痰止咳同时进行。单纯止咳实不足取。

2 重视单个猪的治疗, 不重视群体的控制

彭原初中值周教师考核细则 篇4

值周既是教师参与学校管理的一项权利，又是教师教书育人、管好学校的一项应尽义务。要求人人参与管理，人人尽其职责。

根据学校的规定要求，除班主任、宿舍管理人员及后勤人员外，其他教师都必须参与值周工作。值周教师不得私自调换，如确有要事需要调换的必须经政教处同意备案。

为规范值周教师工作，特制定如下具体工作细则：

1、值周教师在值周期间负责管理全校学生的学习、出勤、纪律、活动、卫生、上下学安全等严格执行学校规章制度，在工作期间必须按时到岗。如无故不按时到岗的每次扣0.1分，因此而发生的重大事故扣0.2分。

2、早晨到校时，值周教师要在校门口等候、迎接学生，同时检查学生校牌佩戴，衣着等。

3、早餐时，值周教师负责学生排队，按规定次序到餐厅进餐。

4、中午、下午放学后，值周教师要走出校门到公路上护送学生回安全离校，同时检查住校学生出校门等情况。

5、加强安全管理，逐一维持和考核学生上下楼梯依次右行的秩序，特别是全校性集会升旗，大课间活动等；关注课间学生活动；禁止学生在走廊、楼梯追逐、喧哗。

6、每周不定期检查学生仪容、仪表情况。

7、每天不定时检查室内、外卫生，学生课桌兜及桌面是否整洁。

8、不定时检查学生在厕所内吸烟。

9、中午1点后，检查学生在教室午休或安静做作业。

10、随时检查学生上课前三分钟进教室准备好本节课上课用具，等侯老师的到来情况、并且检查学生不按规定时间去商店购物等情况。

11、第二课堂活动时间，值周教师在校园内巡回检查，学生活动情况。

12、晚自习及晚自习后至就寝，值周教师负责检查督促。

13、周日下午五点前，值周教师必须到校检查、督促学生搞室内外卫生，并在校门口巡查学生进校情况，原则上只准住校学生进校门，一旦进校门后，就不得再出校门。

14、学校组织的的群体性集会、卫生大清洁、各种活动及临时性工作，值周教师要维持安全、纪律。

15、值周教师将检查情况每天必须公示于楼道黑板上，不得拖延，每拖延一次扣0.1分，并认真填写《值周日志》，写好值周总结，将值周总结交值周领导审阅后，方可在周一升旗后向全体师生总结上周值周情况，进行值周工作总结时尽可能详细，并抓住重点。

注：《值周日志》领取和交回政教处应及时，时间统一为周一总结后。

16、值周教师应具有高度的责任感，认真履行职责，每周五下午放学后交接工作。

政教处

罗尔中值定理及其应用 篇5

一、罗尔中值定理

若函数f ( x) 满足以下条件:

( 1) f ( x) 在闭区间[a, b]上连续;

( 2) f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导;

( 3) f ( a) = f ( b) ,

则在 ( a, b) 内至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得f' ( ξ) = 0.

二、罗尔中值定理的几何意义

在每一点都可导且端点高度相等的连续曲线y = f ( x) 上存在这样的点M (ξ, f ( ξ) ) , 使得过M点的切线y = f' ( ξ) (x -ξ) + f ( ξ) 平行于x轴 ( 或平行于端点的连线l AB ) , 如图所示.

三、罗尔中值定理在有限区间 ( a, b) 上的推广

若函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导, 且在区间端点处单侧极限存在, 即A, 则在 ( a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f' ( ξ) = 0.

证明方法一 ( 反正法) 假设不存在点ξ∈ ( a, b) , 使得f' ( ξ) = 0, 即函数f' ( x) 在区间 ( a, b) 内无零点, 故由导函数零点定理的推论知, f' ( x) 在区间 ( a, b) 上函数值恒正或恒负, 即f' ( x) > 0或f' ( x) < 0, x∈ ( a, b) , 所以, f ( x) 在区间 ( a, b) 上严格单调. 显然, 这与已知条件相矛盾, 所以, 假设不成立, 即上述命题得证.

方法二构造函数, 此时函数F ( x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 ( a, b) 内可导, 且F ( a) = F ( b) = A, 所以, 由罗尔中值定理知在 ( a, b) 内至少存在一点ξ, 使得F' ( x) = f' ( ξ) = 0.

方法三若f ( x) 是区间 ( a, b) 上的常值函数, 即f ( x) =A, x∈ ( a, b) , 结论显然成立. 若f ( x) 不是区间 ( a, b) 上的常值函数, 则必存在一点x0 ∈ ( a, b) 使得f ( x0 ) ≠A. ①当f ( x0 ) < A时, 据函数极限不等式性质知, 存在δ > 0, 使得a + δ < b - δ, 且当x∈ (a, a +δ]或x∈[b - δ, b) 时都有f ( x) > f (x 0 ) , 于是f ( x) 在区间[a + δ, b -δ]上有最小值, 设最小值点为 ( ξ, f ( ξ) ) , ξ∈ (a + δ, b -δ) , 因f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导, 所以, ξ必为函数的极小值点, 故由费马定理知f' (ξ) = 0. ②当f ( x 0 ) > A时, 据函数极限不等式性质知, 存在δ > 0, 使得a + δ < b - δ, 且当x∈ (a, a +δ]或x∈ [b - δ, b) 时都有f ( x)

四、罗尔中值定理在解题中的应用

( 一) 证明至少存在一点ξ ∈ ( a, b) , 使得 f' (ξ) 关于ξ的函数

分析采用原函数法构造函数F ( x) , 使得F' ( x) = c ( c为实常数) , 且F' ( x) 是与f ( x) 相关的函数.

例1设f ( x) 在闭区间[0, π/2] 内可导, 且f (π/2) = 0, 证明: 存在一点ξ∈ (0, π2) , 使得f ( ξ) + f' ( ξ) tanξ = 0.

分析把ξ换成x, 即需证明f ( x) + f' ( x) tanx = 0, 由

微分方程知这是一阶线性可变量分离型微分方程, 经恒等变形得dy/dx= - ycotx, 易得方程的通解f ( x) sinx = c, 故构造函数F ( x) = f ( x) sinx即可.

证明由分析知构造函数令F ( x) = f ( x) sinx, 显然, F ( x) 在区间 [0, π/2] 内可导, 又F ( 0) = F (π/2) = 0, 所以, F ( x) 满足罗尔中值定理条件, 故由罗尔中值定理知存在一点ξ∈ (0, π/2) , 使得F' ( ξ) = 0, 即上述结论成立.

例2设f ( x) 在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间 ( 0, 1) 内可导, 且f ( 0) = f ( 1) = 0, f (1 /2) = 1. 证明: ( 1) 存在一点η∈ (1 , 1) , 使得f ( η) = η. ( 2) 对任意常 数λ∈ (- ∞ , + ∞) , 存在一点ξ∈ ( 0, η) , 使得f' ( ξ) - λ[f ( ξ) ξ] = 1.

分析把ξ换成x, 即需证明f' ( x) = λf ( x) - λx + 1,

由微分方程知这是一阶线性非齐次型微分方程, 经恒等变形得dy/dx= λy - λx + 1, 由常数变易法求得其通解 ( f ( x) -x) e-λx= c, 故构造函数F ( x) = ( f ( x) - x) e-λx即可.

证明 ( 1) 令g ( x) = f ( x) - x, 又g (1/2 ) = f (1 /2) -1/2=1/2> 0, g ( 1) = f ( 1) - 1 = - 1 < 0, 故由连续函数零点定理知, 存在η∈ (1/2, 1 ) , 使得g ( η) = 0, 即f ( η) = η.

( 2) 由分析知构造函数令F ( x) = ( f ( x) - x) e-λx, 由题意知F ( 0) = F ( η) = ( f ( η) - η) e-λη= 0, 所以, F ( x) 满足罗尔中值定理条件, 故由罗尔中值定理知, 存在点ξ∈ ( 0, η) , 使得F' ( ξ) = 0. 即上述结论成立.

( 二) 证明在开区间 ( a, b) 内至少存在一点ξ, 使得 f ( n) (ξ) = 0, ( n > 1 且 n∈ N*)

分析寻找点x 1 , x 2 使得[x 1 , x 2 ] [a, b], 对函数f ( n-1) ( x) 在区间[x 1 , x 2 ]上运用罗尔中值定理即可.

例3设g ( x) 在区间[a, b]内存在二阶导函数, 且g ( a) = g ( b) = g ( c) , 对任意c∈ ( a, b) , 证明: 至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得g″ ( ξ) = 0.

证明由题意知g ( x) 在区间[a, c]和[c, b]上都满足罗尔中值定理, 对g ( x) 在这两个区间上分别运用罗尔中值定理, 即存在点x 1 ∈ ( a, c) , x 2 ∈ (c, b) , 使得g' ( x 1 ) = g' ( x 2 ) = 0, 由题意知g' ( x) 在区间[x 1 , x 2 ]上也满足罗尔中值定理, 故由罗尔中值定理知, 至少存在一点ξ∈ ( x 1 , x 2 )  ( a, b) , 使得g″ ( ξ) = 0. 故上述命题得证.

( 三) 方程根的讨论

例4讨论三次函数f ( x) = ( x - 1) ( x - 3) ( x - 5) 的导函数f' ( x) 在 ( - ∞, + ∞) 上零点个数, 并指出零点所在区间.

解显然由f ( x) = ( x - 1) ( x - 3) ( x - 5) 知其导函数f' ( x) 是 ( - ∞, + ∞) 上连续可导的二次函数, 由题意知f ( 1) = f ( 3) = f ( 5) = 0, 故对f ( x) 分别在区间[1, 3], [3, 5]上运用罗尔中值定理, 即存在点ξ∈ ( 1, 3) , η∈ ( 3, 5) 使得f' ( ξ) = f' ( η) = 0, 所以, 函数f' ( x) 在区间 ( - ∞, + ∞) 上至少有两个零点, 又因f' ( x) 是一元二次函数, 故其有且仅有两个零点, 分别为ξ, η, 其中ξ∈ ( 1, 3) , η∈ ( 3, 5) .

例5证明: 方程2ln ( x +1) = x在区间 ( 0, + ∞) 上有唯一实根.

证明1先证存在性. 令f ( x) = x - 2ln ( x + 1) , x∈ ( 0, + ∞ ) , 由题意知0, f ( 1) = lne/4< 0, , 故由连续函数零点定理知存在一点ξ, ξ∈ ( 1, + ∞ ) 使得f ( ξ) = 0, 即函数f ( x) = x - 2ln ( x + 1) 在区间 ( 1, + ∞ ) 上有一实根ξ. 2下证唯一性 ( 反证法) . 假设函数f ( x) 在区间 ( 1, + ∞ ) 内存在两互异实根x1, x2, 不妨设x1< x2, 此时有f ( x1) = f ( x2) = 0, 函数f ( x) 在区间[x1, x2]上满足罗尔中值定理, 故由罗尔中值定理知, 存在点η∈ ( x1, x2) 使得f' ( η) = 0, 而此时f' ( x) = (x - 1) / (x + 1) , 令 f' ( x) = 0, 解得x = 1, 这与η∈相矛盾, 所以, 假设不成立. 综上由12知函数f ( x) 在区间 ( 0, + ∞ ) 上有唯一实根.

结束语本文阐述了罗尔中值定理及其在有限区间上的推广, 并结合例题详细分析了原函数法即通过建立和求解微分方程来构造函数, 化抽象为直观, 加深了对罗尔中值定理的理解, 有力地提高了罗尔中值定理在解题中的应用能力.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.高等数学 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

微分中值定理教法研讨 篇6

微分中值定理在高等数学中应用广泛,占有很重要的地位,它反映了函数局部性与函数的整体性之间的关系.但学生在学习中,现行的教材及参考资料往往直接给出辅助函数,并没有分析过程,过渡不自然,使学生感到很突然.本文以Rolle中值定理为基础,采用逆推法将Langrange中值定理与Cauchy中值定理构造辅助函数的详细过程给出.并以此分析过程为思路,构造出与教材不同的新函数,通过此教学方法的使用,使学生更加容易接受,且收到较好的教学效果.

二、预备知识

(B)Lagrange中值定理的内容是:如果函数f(x)满足下列条件:

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导.

(C)Cauchy中值定理的内容是:设函数f(x)和g(x)满足:

(1)在[a,b]上都连续;

从Rolle中值定理出发,该定理表达的几何含义是切线平行于弦,观察Lagrange中值定理与Cauchy中值定理的结论可以看出,上述两个定理均表达了切线平行于弦的几何含义;从这个意义上说可以将Lagrange中值定理与Cauchy中值定理看作是Rolle中值定理的推广.故在如下的分析和证明过程中,我们将用Rolle中值定理作为真命题,去推导另外两个定理,这是基本出发点.

(一)分析与证明过程(针对Lagrange中值定理)

(1)首先我们画出用Rolle中值定理从函数对象f(x)到结论的过程图;

通过上述的分析,我们得到用Rolle中值定理去证明Lagrange中值定理构造函数的结构(f(x)与一个线性函数的代数和),然后再具体解出k,m这些待定参数;将(P1)与(P2)过程图对比,可构造函数:

(2)该过程图可表示如下:

拉格朗日中值定理的应用 篇7

著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一, 在理论和应用上都有着投其重要的意义。该定理叙述简单明了, 并有明确的几何意义, 一般掌握问题不大, 但要深刻认识定理的内容, 特别是点 的含义, 就有较大难度。熟练掌握定理本质, 在解题时游刃有余, 若对定理的实质了解不够深刻的话, 会进入不少误区。现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨, 以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用。

1 拉格朗日中值定理的内容

拉格朗日中值定理:“若函数f满足如下条件: (1) f在闭区何[a, b]上连续, (2) f在开区间 (a, b) 内可导, 则在 (a, b) 内至少有一点ξ, 使得undefined。”

2 拉格朗日中值定理的应用

2.1 拉格朗日中值定理求极限

例1 求极限undefined

解:函数f=et在[x, sinx]或[sinx, x]上运用拉格朗日中值定理

得undefined介于x与sinx之间)

当x→0时, sinx→0, 由介值定理可知ξ→0

则undefined

解题思路:由undefined这一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式undefined, 从而构造函数f, 再运用拉格朗日中值定理求极限

例2 函数f (x) 在R上可导, 极限undefined与undefined都存在, 则极限undefined

证明:应用拉格朗日中值定理, 设undefined, 则undefined, 有f (x+1) -f (x) =f′ (ξ) , x<ξx

undefined即undefined

2.2 用拉格朗日中值定理证明不等式

例1:证明不等式 (1+x) x<λ< (1+x) x+1 (x>0)

证明:分析待证不等式取对数后, 即得不等式undefined

所以要证题中的不等式, 只要证明上述不等式即可。

令f (x) =lnx (x>0) , f (x) 在[x, x+1]满足拉格朗日中值定理,

故必存在ξ∈ (x, x+1) 使undefined,

由于undefined, 则有undefined,

即undefined原命题得证。

例2:利用中值定理证明:若x≠0, 则λx>1+x

证明:令f (x) =λx则f (x) 在 (-∞, +∞) 上满足拉格朗日中值定理,

故 在[0, x]或[x, 0]上有λx-λ0=λξ (x-0) , (0<ξ

即λx=λξx+1, 则当x≠0时有λx>1+x, 命题得证。

2.3 用拉格朗日中值定理证明根的存在性

例1:设f (x) 在 (-∞, +∞) 内二阶可导, f″ (x) >0, 且undefined, 又存在x0, 使f (x0) <0, 试证:方程f (x) =0在 (-∞, +∞) 内有且仅有两个根。

证明:先证存在性, 由undefined可知, 对于undefined, 存在M>0, 使得当x>M时, undefined, 即undefined于是可知:f (x) 在 (0, +∞) 内单调增加.任取x∈[M, +∞], f (x) 在[M, x]上连续, 在 (M, x) 内可导, 由拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈ (M, x) , 使f (x) =f (M) +f′ (ξ) (x-M) , 于是undefined.又存在x0, 使f (x0) <0.所以, 由介值定理, 存在ξ1∈ (x0, x) , 使f (ξ1) =0.

同理可证, 当x<0时, 存在ξ2∈ (x, x0) , 使f (ξ2) =0.

再证唯二性. (反证法)

假若f (x) =0有三个实根ξ1, ξ2, ξ3 (ξ1<ξ2, ξ3) , 由洛尔定理, 存在η1∈ (ξ1, ξ2) , η2∈ (ξ1, ξ2) , 使得f′ (η1) =f′ (η2) =0.

再由洛尔定理, 存在η∈ (η1, η2) , 使f″ (η) =0.与题设f″ (η) >0矛盾, 故f (x) =0在 (-∞, +∞) 内有且仅有两个根。

2.4 误用拉格朗日中值定理

误区一:“若函数f (x) 在[a, b]连续在 (a, b) 可导则对区间 (a, b) 内任一点ξ, 定能找到确定的两点x1, x2∈[a, b], 使得f (x2) -f (x1) =f′ (ξ) (x2-x1) 成立。”

以上命题与拉格朗日中值定理几乎相同.似乎应该成立, 其实不然错误原因在于对ξ与x1, x2的关系未搞清.定理是先有x1, x2后有ξ, 现在是先有ξ后找x1, x2则不一定存在。譬如f (x) =x3, 该函数在:[-1, 1]上连续, 在 (-1, 1) 内可导, 满足拉格朗日中值定理条件, 取:ξ=0∈ (-1, 1) , 由f′ (x3) =3x2.得f′ (ξ) =0.即f (x2) -f (x1) =f′ (ξ) (x2-x1) =0, 但f (x) =x3严格单调, 所以找不x1、x2到所要求的。以上命题错误。

误区二:“用拉格朗日中值定理, ‘可推得’undefined, 说明该定理有错”。

证明如下:设则f (x) 在[0, x]上连续, 在 (0, x) 内可导, 故存在ξ∈ (0, x) , 使f (x) -f (0) =f′ (ξ) (x-0) 成立, 即undefined, 即undefined, 当x→0, 时ξ→0, 得出undefined, 从而undefined, 而事实上undefined不存在, 说明拉格朗日中值定理出错。

是定理真的有错吗?否。事实上以上证明得出undefined是正确的.问题在于不能因此得出undefined, 因为当x连续地趋于0时, ξ并不连续趋于0.它仅是undefined的一个子列, 而子列极限存在并不等于原极限存在。

摘要：先给出拉格朗日中值定理内容, 然后总结了高等数学中拉格朗日中值定理的正确应用与错误应用, 并举例加以说明。

关键词：拉格朗日中值定理,极限,介值定理,不等式,根的存在性

参考文献

[1]华东师范大学数学系, 数学分析[M].高等教育出版社.

[2]刘玉琏, 数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社, 1988.

[3]华东师范大学.数学分析习题解析[M].陕西师范大学出版社, 2004.

[4]石建城等, 高等数学例题与习题集[M].西安交通大学出版社.

[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局, 2003.

浅析微分中值定理教法研究 篇8

一、引用几何意义讲解微分中值定理

1. 罗尔定理———水平切线的曲线

画出罗尔 (Rolle) 中值定理的几何图形, 然后再讲解能极大促进对于罗尔定理的掌握程度.如我们假设速度Y随着时间X变化而变化, 那么X是自变量, Y则是因变量, 现在我以X为横轴, Y为纵轴作函数图形.假设从某一时刻速度 (不是最快速度也不是最慢速度) 开始变化, 经过一段时间后速度回到了开始的速度, 那么我们可以肯定这中间速度必然经过了一次最快或者最低速度的时刻.

这种特殊几何图形表现为图1中一条连续的曲线函数 (即f (x) 在闭区间[a, b]上连续) , 除去两端端点外, 函数f (x) 在开区间 (a, b) 内可导, 同时对于函数f (x) 有f (a) =f (b) .从图形中我们可以看出曲线弧AB的最高点和最低点都存在水平切线 (若令曲线弧AB的最高点C横坐标为ξ, 那么f' (ξ) =0) .那么我们总结定理就是:若函数f (x) 满足 (1) 在闭区间[a, b]上连续, (2) 在开区间 (a, b) 内可导, (3) 并且f (a) =f (b) , 那么至少存在一点ξ∈ (a, b) 使得f' (ξ) =0.

2. 拉格朗日中值定理———倾斜切线的曲线

我们观察罗尔定理的几何意义会发现, 它实质是说明:只要切线平行于直线AB, 那么无论我们从什么角度去建立坐标系, 这种平行关系始终不会改变.既然如此我们可以通过推广将曲线弧AB向上倾斜, 于是就得到了拉格朗日中值定理的几何图形 (图2倾斜切线的曲线) .

3. 柯西中值定理———参数方程推广的几何图形

二、循序渐进, 抓住证明微分中值定理的方法

在微分中值定理的教学方法中, 首先引用几何图形的方法便于学习理解定理, 然后再说明定理的证明, 最后循序渐进的讲解, 这样能使得学习更容易接受.对于微分中值定理的证明我们重点是讲拉格朗日中值定理的证明, 而对于罗尔定理与费马引理则只进行简单的说明.

1. 费马引理与罗尔定理

费马引理的意义在于说明, 如果函数在极大值点 (或极小值点) 处可导, 那么这一点的导数为零.而罗尔定理意义在于说明在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端高度相等, 则至少存在一条水平切线.我们在课堂上讲解这两个定理只是为证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理做基础, 接下来我们说明如何运用辅助函数证明拉格朗日中值定理.

2. 拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理的证明的方法一般是借助辅助函数, 然后应用罗尔定理来证明的, 下面我们就运用这种方法来对拉格朗日中值定理进行证明.

证首先作辅助函数

显然, F (a) =F (b) =0, 且F在[a, b]上满足罗尔定理的另外两个条件, 故存在ξ∈ (a, b) , 使得

移项后就可以得到要证明的拉格朗日中值定理.

对于柯西中值定理的证明在这里就不再赘述, 本文主要分析微分中值定理的教学方法研究, 就微分中值定理这一教学难点, 本人总结首先要应用数形结合、引用几何图形的方法将定理讲解清楚, 便于学生理解, 在此基础上对定理的证明进行讲解.分两个大的步骤讲授微分中值定理.

参考文献

[1]丁坚.高等数学探究性学习模式的研究与实践[J].教育与职业, 2006 (11) .

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002:126-132.

中值滤波算法的改进及应用 篇9

关键词：图像增强,分治法,中值滤波,滤波模板

指纹图像在经传感器获取和传输的过程中,不可避免地会引入一些噪声,造成指纹图像质量低下。因此,为了提高指纹识别的概率,在进行指纹图像的特征提取和匹配之前,有必要对指纹图像进行预处理,图像增强就是其中重要一环。用于图像增强的滤波算法很多,其中中值滤波算法以其简单易于实现的特点,获得了青睐。

1 传统的中值滤波算法

中值滤波器[1]是一种顺序滤波器,即将数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替:

其中,yij为中心像素xij的中值滤波输出,A为滤波窗口。中值滤波算法本质上是一个排序算法,其过程如下:首先,选择一个(2n+1)×(2n+1)的滤波窗口,使窗口沿图像数据的行方向和列方向从左至右、从上至下沿每个像素滑动;其次,每次滑动后,对窗口内的像素灰度进行排序,并用中间值代替窗口中心位置的像素灰度值。

2 改进的中值滤波算法

2.1 分治法改进

分治法的思想[2]就是将规模较大的问题分解成若干个规模较小的问题并逐个解决,最后合并各子问题的解以得到原问题的解。中值滤波算法的目的就是为了快速求出中间灰度值,如用传统的冒泡算法对整个滤波窗口进行排序,其运算量很大,可以运用分治法思想,先对各行元素进行排序,最后对排完序的各行进行纵向比较,并得出最终结果,可以有效降低比较次数[3]。

经分治法改进后的算法执行过程如下:

(1)先分别对每一行的数据进行排序,以得到每一行的最大值、中间值和最小值;

(2)然后,比较三个最大值中的最小值、三个中值中的中间值以及三个最小值中的最大值,所得到的中间值就是最终的滤波结果。

以3×3窗口为例,普通的冒泡法需要比较36次才能得到最终结果,而分治法只需要21次就可以求得最终滤波结果。

2.2 方向加权改进

指纹图像中的指纹纹线是具有方向性的,直接用中值滤波算法进行滤波,由于对窗口内各点的输出作用是相同的,容易导致指纹纹线出现断线和粘连。如果希望强调纹线上的各点,有必要引入方向信息,即利用纹线方向来指导中值滤波的进行,这就是方向加权中值滤波算法。这种算法根据纹线方向的不同,将滤波窗口分为四类:00、450、900、1350,主要通过权值旋转的方向体现纹线方向。

采用如图1所示的3×3方窗,并引入模糊理论[4]的思想,即在权值设定上给予方向一定的模糊性,且越接近当前窗口中指纹纹线的方向,赋予其权值越大,越偏离该方向,权值越小。

权值选择如下:设θ为指纹方向图中指纹脊线的方向,其中0<θ<π,每个表达式中括号表示θ的取值范围,则有:

按照上面的规则,可以得到如图2所示的4个加权滤波方窗。根据纹线方向选择相应窗口进行滤波,这样滤波后指纹图像的纹线将更为连贯,效果更好。

3 结果与分析

作者在PC机上用MATLAB实现了改进后的中值滤波算法,改进后的算法执行速度明显变快,如表1所示。

实验结果也变得更精确清晰,实验结果如图3所示,其中指纹原始图像如图(a),用传统中值滤波算法滤波后的结果如图(b),用改进后的滤波算法滤波后的结果如图(c)。

本文提出的新算法主要从两个方面来改进中值滤波算法,一是通过分治法思想,降低排序过程中的数据比较次数以提高算法执行速度,详细分析情况可见2.1;二是通过方向加权,即将方向信息引入滤波方阵,其滤波后的指纹图像,纹线上的孔洞、缺口和突出物基本上被消除,且纹线清晰流畅,没有出现断线和粘连,相反,一些断线和粘连分别被连接和隔离起来。同时,由于新算法充分运用了指纹方向图和模糊理论的思想来构造滤波模板,因而算法简单,处理速度快,而且当方向不准确时,也可给出较正确的结果,大大增强了算法的抗干扰性。所以,该算法不失为一种较理想的指纹图像增强方法。

参考文献

[1]阮秋琦.数字图像处理学[M].2版.北京:电子工业出版社,2007:334-338.

[2]董付国,王平勤.分治法在中值滤波快速算法中的应用研究[J].电脑开发与应用,2007(6).

[3]王伟,杨兵.基于FPGA的中值滤波快速算法的设计与实现[J].电子元器件应用,2008(1).