非齐次的

非齐次的（共8篇）

非齐次的 篇1

1. 引言

在《高等数学》课程中, 常微分方程的基本解法是课程的重要部分, 这部分内容的难点集中在二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法[1,2]. 笔者在教学中发现很多学生对这种方程的特解公式难以掌握, 又由于计算量较大, 许多学生即使掌握了求特解的公式, 但在计算待定系数时错误仍然较多. 例如求系数的代数方程列错, 或代数方程列对, 但结果求错.

本文介绍二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法, 归纳记忆特解公式的几个原则, 并提出求待定系数的简化公式法. 利用简化公式法, 更容易得到待定系数的代数方程.

2. 特解公式及其记忆原则

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为

其中p, q为常数, f ( x) 为非齐次项, 或称为自由项, 不恒等于0. 下面介绍f ( x) 为多项式、指数函数 ( 以e为底) 、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.

其解法是先求对应齐次方程y″ + py' + qy = 0 的通解Y, 再求方程 ( 2. 1) 的一个特解y* , 则 ( 2. 1) 的通解为y = Y +y* . 对于齐次方程的通解Y的求法, 本文不作介绍. 我们只介绍 ( 2. 1) 的特解y* 的求法.

对于f ( x) = Pm ( x) ekx的二阶常系数非齐次线性微分方程 ( 2. 1) , 可设特解为y* = xsQm ( x) ekx, 其中Qm ( x) 是和Pm ( x) 同次 ( m次) 的系数待定的多项式, s的取值为

对于f ( x) = eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx], 同样用待定系数法, 可设 ( 2. 1) 的一个特解为y* = xseαx[Ql ( x) cosβx + Rl ( x) sinβx],

其中l = max{ m1, m2} , Ql ( x) , Rl ( x) 为l次系数待定的多项式, s的取值为

求特解y* 的关键是如何正确设出y* 的形式. 初学者常常设错, 为此我们归纳设y* 的几个基本原则.

原则一: 与自由项形式相同原则

该原则是指, 当k或 α ± βi不是方程的特征根, 则所设特解y* 与自由项f ( x) 的形式相同.

例如, 若0 不是方程的特征根且f ( x) = x3+ 1, 则设y*=Ax3+Bx2+Cx+D;

若5不是方程的特征根且f (x) =4e5x, 则设y*=Ae5x;

若2不是方程的特征根且f (x) =e2x (x2-1) , 应设y*=e2x (Ax2+Bx+C) ;

若 ± 4i不是方程的特征根且f ( x) = sin4x, 应设y* =Acos4x + Bsin4x; 等等.

原则二: 乘以x或x2的原则

若k或 α ± βi为方程的单特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x; 若k或 α ± βi为方程的二重特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x2.

原则三: 叠加原理求特解原则

该原则是指: 若自由项较为复杂, 应将自由项拆成若干Pm ( x) ekx和eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式和, 从而将方程拆成若干个简单 ( 即自由项为以上两种情况) 的二阶常系数非齐次线性微分方程, 每个简单方程分别求出特解, 则原方程的特解即为这些简单方程特解的和.

例如, 若f ( x) = f1 ( x) + f2 ( x) 且f1 ( x) , f2 ( x) 都是Pm ( x) ekx或eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式, 则先分别对f1 ( x) , f2 ( x) 求出特解y1*, y2*. 利用叠加原理, 其和y1*+ y2*为f ( x) 的特解.

原则一和原则二说明, 方程 ( 2. 1) 的一个特解的形式常从自由项f ( x) 的形式推出. 从本质上讲, 这整个工作只不过是作一种巧妙的猜测, 其中包含足够多的待定系数供调配, 以适合各类函数的要求.

3. 求待定系数的简化公式法

设非齐次方程的特解y*的形式掌握后, 剩下的就是计算问题. 但由于计算量较大, 初学者错误较多, 一般错误集中在求系数的代数方程列错. 下面我们提出求待定系数的简化公式法, 利用该方法, 可更为便捷地计算待定系数.

假设方程 ( 2. 1) 的自由项f ( x) = G ( x) ekx, 其中G ( x) 是没有指数形式的x的函数. 设y*= H ( x) ekx为方程 ( 2. 1) 的一个特解, 其中H ( x) 是x的待定函数.

将y*= H ( x) ekx代入方程 ( 2. 1) 进行计算并消去ekx≠0, 得

要得到原方程的特解y*, 即要求出H ( x) , 而这只需比较 ( 3. 1) 左右两端的系数.

因此, 当我们设好了特解y*, 无须把y*代入原方程, 只要确定了y*中的H ( x) , 将H ( x) 直接代入 ( 3. 1) 式即可. 用公式 ( 3. 1) 的优点在于, 不需要把y*中的指数函数ekx代入原方程求导, 这极大简化了中间计算过程. 而且当k是方程的特征根, 还可以更加简单. 在计算时, 按照k可以分成三种情况:

( 1) 如果k是方程的二重特征根, 那么k2+ pk + q = 0 且2k + p = 0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) = G ( x) .

( 2) 如果k是方程的单重特征根, 那么k2+ pk + q = 0, 但2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) =G ( x) .

( 3) 如果k不是方程的特征根, 那么k2+ pk + q ≠0 且2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式不能简化.

例3 求微分方程y″ + 4y' + 3y = xe- 3x的通解.

一般解法: 特征方程r2+ 4r + 3 = 0, 解得r1= - 1, r2=- 3, 所以原方程对应的齐次方程通解为Y = C1e- x+ C2e- 3x.再求原方程的一个特解y*. 因为原方程自由项为f ( x) =xe- 3x, 而- 3 是特征方程的单根, 故可设特解形式为y*=xe- 3x ( Ax + B) , 其中A, B为待定系数. 将y*= xe- 3x ( Ax + B) 代入原方程. 为此, 需先计算

再将 ( y*) '和 ( y*) ″代入原方程, 得

化简, 得e-3x (-4Ax-2B+2A) =xe-3x,

亦即-4Ax-2B+2A=x.

由2A - 2B = 0, - 4A = 1, 得

所以原方程的通解为

可以看到, 设好特解y*后, 求 ( y*) '和 ( y*) ″的计算量很大. 下面我们利用公式 ( 3. 1) 的方法来进行计算.

简化公式法: 求对应齐次方程的通解Y和设原方程的一个特解y*= xe- 3x ( Ax + B) 与一般解法一样, 我们此处不再赘述. 下面我们来计算A和B. 为利用公式 ( 3. 1) , 先找出G ( x) = x, H ( x) = Ax2+ Bx, k = - 3, p = 4, q = 3. 因为k =- 3 是特征方程的单根, 故公式 ( 3. 1) 为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) = G ( x) ,

即2A+ (-6+4) (2Ax+B) =x,

亦即-4Ax+2A-2B=x.

接下来的解法与一般方法一样, 通过比较系数求得, 从而.所以原方程的通解为

4. 结论

从第3 节例子可以看到, 一般解法中将y*代入原方程的计算量往往非常大. 大部分学生都只能设出特解, 解不出待定系数或解出的结果有误.

利用简化公式法, 可以避开求 ( y*) '和 ( y*) ″的过程, 而是计算更简单的H″ ( x) , H' ( x) , 这将使计算量大为减少.在教学中我们发现, 采用简化公式 ( 3. 1) , 大部分学生都能算正确结果.

参考文献

[1]张效成, 刘克勤, 孙凤芝.高等数学 (下) [M].北京:北京邮电大学出版社, 2012:242-248.

[2]陈新明, 胡新姣.常系数线性非齐次微分方程的简单解法[J].大学数学2008, 3:156-159.

[3]赵志勇, 薛运华.高等数学习题课讲义 (下) [M].天津:南开大学出版社, 2008:190-194.

[4]毛刚源.高等数学解题方法技巧归纳 (下) [M].武汉:华中科技大学出版社, 2010:540-548.

非齐次的 篇2

本文给出Cn中单位多圆柱上和复Banach空间中单位球上的准凸映照(含A型准凸映照和B型准凸映照)f齐次展开式的精细估计,其中(x)=0是f(x)-(x)的k+1阶零点.同时,还讨论了复Banach空间单位球上准凸映照的构造,它为准凸映照齐次展开式的`精细估计提供极值映照.

作 者：刘小松 刘太顺 LIU Xiaosong LIU Taishun 作者单位：刘小松,LIU Xiaosong(湛江师范学院数学与计算科学学院,湛江,广东,524048)

刘太顺,LIU Taishun(湖州师范学院数学系,湖州,浙江,313000)

非齐次的 篇3

关键词：隐马尔科夫模型,强极限定理,鞅差序列

1 引言及定义

近年来, 隐马尔科夫模型在弱相依变量的建模上得到了广泛应用, 是研究发声过程、神经生理学与生物遗传等问题的有力工具。 但在实际应用中经常遇到隐藏链为非齐次马氏链的情况, 如动态的图像处理、气候的预测等均需要建立非齐次隐马尔科夫模型来处理。本文的目的是利用杨卫国提出的方法, 研究非齐次隐马尔科夫模型三元泛函的强极限定理, 作为推论, 得到了一个已有的结论。

定义1 设$S=\left\{1,2,\cdots ,{\rm M}\right\},{\rm T}=\{1,2,\cdots ,{\rm N}\}$为两个有限集, $\left\{X{}_n,n\ge 0\right\}$与{Yn, n≥0}是概率空间$\left(\Omega ,F,{\rm P}\right)$上取值于S与T的随机变量序列。假设$\left\{X{}_n,n\ge 0\right\}$是非齐次马氏链, 其初始分布为$\left(q(1),q(2),\cdots ,q({\rm M})\right)$, 它不能被直接观测到, 称为隐藏链; 而能观测到的是{Yn, n≥0}, 称为观测链。 他们合起来满足如下条件:

$\begin{array}{l}{\rm P}(X{}_{n+1}=j|X{}_n=i,Y{}_n=y{}_n,X{}_{n-1}=x{}_{n-1},\cdots ,Y{}_0=y{}_0,X{}_0=x{}_0)={\rm P}(X{}_{n+1}=j|X{}_n=i),\\ {\rm P}(Y{}_n=l|X{}_n=i,Y{}_{n-1}=y{}_{n-1},X{}_{n-1}=x{}_{n-1},\cdots ,Y{}_0=y{}_0,X{}_0=x{}_0)={\rm P}(Y{}_n=l|X{}_n=i)。\end{array}$

则称{ (Xn, Yn) , n≥0}为一个非齐次隐马尔科夫模型。 记

$\begin{array}{l}a{}_{n+1}(i,j)={\rm P}(X{}_{n+1}=j|X{}_n=i),\\ b{}_n(i,l)={\rm P}(Y{}_n=l|X{}_n=i)。\end{array}$

An= (an (i, j) ) 为非齐次马氏链$\left\{X{}_n,n\ge 0\right\}$的转移概率矩阵。

下面给出两个引理。

引理1[1] 设{Xn, Fn, n≥0}是一个鞅差序列, 则Sn=${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X}{}_k$在集$\{{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }E}[X{}_k^2|F{}_{k-1}]<\infty \}$上a.s.收敛。

引理2[2] 设{ (Xn, Yn) , n≥0}是如上定义的非齐次隐马尔科夫模型, fn (x, y, z) 是定义在S×S×T的三元函数列, {Φn (x) , n≥1}是一列定义在R上的非负可测函数, 则

$\begin{array}{l}E[\Phi {}_k(f{}_k(X{}_{k-1},X{}_k,Y{}_k))|F{}_{k-1}]=\\ E[\Phi {}_k(f{}_k(X{}_{k-1},X{}_k,Y{}_k))|X{}_{k-1}],k\ge 1。\end{array}$

2 主要结果及证明

定理1 设{ (Xn, Yn) , n≥0}是如上定义的非齐次隐马尔科夫模型, 设{an, n≥1}是Fn-1可测的非零随机变量序列, fn (x, y, z) 是定义在S×S×T上的三元函数列, {Φn (x) , n≥1}是一列定义在R+上的非负可测函数。αn≥1, βn≤2, Kn≥1和Mn≥1 (n≥1) 使得x1≤x2时,

$\frac{\Phi (x{}_1)}{x{}_1^{\alpha {}_n}}\le {\rm K}{}_n\frac{\Phi (x{}_2)}{x{}_2^{\alpha {}_n}}$ (1)

$\frac{x{}_1^{\beta {}_n}}{\Phi {}_n(x{}_1)}\le {\rm M}{}_n\frac{x{}_2^{\beta {}_n}}{\Phi {}_n(x{}_2)}$ (2)

成立。 设

A={ω:${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\rm K}{}_n\text{E}[\Phi {}_n[\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|]|F{}_{n-1}]}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}}<\infty \}$ (3)

B={ω:${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\rm M}{}_n\text{E}[\Phi {}_n[\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|]|F{}_{n-1}]}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}}<\infty \}$ (4)

则

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a}{}_n^{-1}\{f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-\text{E}[f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)|X{}_{n-1}]\}$ (5)

在AB中a.s.收敛。 设C={ω:$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}a{}_n=\infty \}{\displaystyle \cap A}B$, 则

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}a{}_n^{-1}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\{}f{}_k(X{}_{k-1},X{}_k,Y{}_k)-\text{E}[f{}_k(X{}_{k-1},X{}_k,\\ Y{}_k)|X{}_{k-1}]\}=0‚\text{a}.\text{s}.,\omega \in C(6)\end{array}$

证明 设$n\ge 0,f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)=f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n){\rm I}(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|\le \left|a{}_n\right|)$, 记${\rm Z}{}_n=\frac{\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}$, 由引理2及$\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)$是Fn-1可测性有

$\text{E}[{\rm Z}{}_n|F{}_{n-1}]=\frac{\text{E}[\Phi {}_n(f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n))|X{}_{n-1}]}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)},$

设K为正整数, 记

$\begin{array}{l}A{}_k=\{\omega :{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\rm K}}{}_n\text{E}[{\rm Z}{}_n|F{}_{n-1}]=\\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\rm K}{}_n\text{E}[\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)|X{}_{n-1}]}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}}\le {\rm K}\},\end{array}$

τk=min{n:$n\ge 1,{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\text{E}}[{\rm Z}{}_i|F{}_{i-1}]>{\rm K}\}$ (7)

当式 (7) 右边为空集时, 令τk=∞, 由${\displaystyle \sum _{i=1}^{\tau {}_k\Lambda n}{\rm K}}{}_i{\rm Z}{}_i={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm I}}(\tau {}_k\ge i){\rm K}{}_i{\rm Z}{}_i,{\rm I}(\tau {}_k\ge i)$是Fn-1可测的, 有

$\begin{array}{l}\text{E}({\displaystyle \sum _{i=1}^{\tau {}_k\Lambda n}{\rm K}}{}_i{\rm Z}{}_i)=\text{E}({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i{\rm I}(\tau {}_k\ge i){\rm Z}{}_i)=\\ \text{E}\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i\text{E}[{\rm I}(\tau {}_k\ge i){\rm Z}{}_i|X{}_{i-1}]\}=\text{E}\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i{\rm I}(\tau {}_k\ge i)\text{E}[{\rm Z}{}_i|X{}_{i-1}]\}=\text{E}\{{\displaystyle \sum _{i=1}^{\tau {}_k\Lambda n}{\rm K}}{}_{i}E[{\rm Z}{}_i|X{}_{i-1}]\}\le {\rm K}(8)\end{array}$

由于Ak={τk=∞}, 由式 (8) 有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i{\displaystyle {\int }_{A{}_k}{\rm Z}}{}_i\text{d}{\rm P}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i\text{E}[{\rm I}(A{}_k){\rm Z}{}_i]=\\ \text{E}\{{\rm I}(A{}_k){\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i{\rm Z}{}_i\}=\text{E}\{{\rm I}(\tau {}_k=\infty ){\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i{\rm Z}{}_i\}=\\ \text{E}\{{\rm I}(\tau {}_k=\infty ){\displaystyle \sum _{i=1}^{\tau {}_k\Lambda n}{\rm K}}{}_i{\rm Z}{}_i\}\le \text{E}\{{\displaystyle \sum _{i=1}^{\tau {}_k\Lambda n}{\rm K}}{}_i{\rm Z}{}_i\}\le {\rm K},\end{array}$

因而, 我们得知

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\rm K}}{}_n{\displaystyle {\int }_{A{}_k}{\rm Z}}{}_n\text{d}{\rm P}\le k$ (9)

由 (1) 式知, 当$\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|>\left|a{}_n(\omega )\right|$时有

$\begin{array}{l}\frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|}{\left|a{}_n(\omega )\right|}\le \frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|{}^{\alpha {}_n}}{\left|a{}_n(\omega )\right|{}^{\alpha {}_n}}\le \\ \frac{{\rm K}{}_n\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)}{\Phi {}_n(\left|a{}_n(\omega )\right|)},\end{array}$

因而, 由 (3) 式和 (9) 式知

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\rm P}}\{A{}_k(f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n))\ne f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle \underset{A{}_k(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|>\left|a{}_n\right|)}{\int }}}\text{d}{\rm P}\le \\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{A{}_k(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|>\left|a{}_n\right|)}\frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|}{\left|a{}_n\right|}}}\text{d}{\rm P}\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{A{}_k(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|>\left|a{}_n\right|)}{\rm K}}}{}_n\frac{\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}\text{d}{\rm P}\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{A{}_k}{\rm K}}}{}_n{\rm Z}{}_{n}d{\rm P}\le {\rm K}。\end{array}$

于是由Borel-Cantelli引理知, P{ Ak (f*n (Xn-1 , Xn, Yn) ) ≠fn (Xn-1 , Xn, Yn) , i.o.}=0, 则

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n))}{\left|a{}_n\right|}}$ (10)

在Ak中a.s.收敛。 由于$A={\displaystyle \underset{k}{\cup }}A{}_k$, 由式 (10) 知

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n))}{\left|a{}_n\right|}}$ (11)

在A中a.s.收敛。 设

$\frac{{\rm T}{}_n=f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-\text{E}[f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)|X{}_{n-1}]}{\left|a{}_n\right|},$

易知, {Tn, n≥1}是一个鞅差序列。 由于

$\begin{array}{l}\text{E}[{\rm T}{}_n^2|F{}_{n-1}]=\\ \left\{\frac{\{\text{E}[(f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)){}^2|F{}_{n-1}]-\text{E}{}^2[f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)|F{}_{n-1}]\}}{a{}_n^2}\right\}\\ \le \text{E}\left[\left(\frac{f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)}{a{}_n}\right){}^2|F{}_{n-1}\right]\text{a}.\text{s}.,\end{array}$

由式 (2) 知, 当$\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|\le \left|a{}_n\right|$时,

$\begin{array}{l}\frac{f{}_n^2(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)}{a{}_n^2♂}\le \frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|{}^{\beta {}_n}}{\left|a{}_n\right|}\le \\ {\rm M}{}_n\frac{\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)},\end{array}$

由 (4) 式知

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\text{E}}[{\rm T}{}_n^2|F{}_{n-1}]\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\text{E}}\left[\left(\frac{f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)}{a{}_n}\right){}^2|F{}_{n-1}\right]\le \\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\text{E}}[\left(\frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|}{\left|a{}_n\right|}\right){}^2{\rm I}(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|\le \\ \left|a{}_n\right|)|F{}_{n-1}]\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\rm M}}{}_n\text{E}[\frac{\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}\times \\ {\rm I}(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|\le \left|a{}_n\right|)|F{}_{n-1}]\le \\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\rm M}}{}_n\text{E}\left[\frac{\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}\le \left|a{}_n\right|)|F{}_{n-1}\right]<\infty \text{a}.\text{s}.,\omega \in B。\end{array}$

由引理1知,

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\rm T}}{}_n=\\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\{f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-\text{E}[f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)|X{}_{n-1}]\}}{\left|a{}_n\right|}}(12)\end{array}$

在B上a.s.收敛。 由于

$\begin{array}{l}\left|\frac{(\text{E}[f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)|X{}_{n-1}]-\text{E}[f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)|X{}_{n-1}])}{a{}_n}\right|=\\ \left|\frac{\text{E}[(f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n))}{a{}_n}\right|\le \\ \text{E}[\frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-f{}_n^{*}(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|}{\left|a{}_n\right|}|X{}_{n-1}]=\text{E}[\frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|}{\left|a{}_n\right|}{\rm I}(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|>\\ \left|a{}_n\right|)|X{}_{n-1}]\le {\rm K}{}_n\text{E}[\Phi {}_n(\frac{\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}\times \\ {\rm I}(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|>\left|a{}_n\right|)|X{}_{n-1}]\le \\ {\rm K}{}_n\frac{\text{E}[\Phi {}_n(\left|f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)\right|)|X{}_{n-1}]}{\Phi {}_n(\left|a{}_n\right|)}\text{a}.\text{s}.(13)\end{array}$

由式 (13) 和式 (3) 知

在A上a.s.收敛。 由式 (10) , 式 (12) , 式 (14) 知式 (5) 成立。

由Kronceker 引理知式 (6) 成立。

推论1[2] 设{ (Xn, Yn) , n≥0}是非齐次隐马尔科夫模型, 设{an, n≥0}是Fn-1可测的正的非降随机变量序列, fn (x, y, z) 是定义在S×S×T上的三元非负可测偶函数, 使得$\left|x\right|$增加时, $\frac{\Psi {}_n(x)}{x}$和$\frac{\Psi {}_n(x)}{x{}^2}$分别是单调增加和单调减少的。 记

A={ω:${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{E}[\Psi {}_n(f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n))|X{}_{n-1}]}{\Psi {}_n(a{}_n)}}<\infty \},$

则

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\{f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)-\text{E}[f{}_n(X{}_{n-1},X{}_n,Y{}_n)|X{}_{n-1}]\}}{a{}_n}}$

在A中a.s.收敛。 设B={ω:$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}a{}_n=\infty \}{\displaystyle \cap A}$, 则

$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{\{f{}_k(X{}_{k-1},X{}_k,Y{}_k)-\text{E}[f{}_k(X{}_{k-1},X{}_k,Y{}_k)|X{}_{k-1}]\}}{a{}_n}}=0$

a.s., ω∈B。

证明 令$\Phi {}_n(x)=\Psi {}_n(\left|x\right|)=\Psi {}_n(x),\alpha {}_n=1,\beta {}_n=2,{\rm K}{}_n=1$和Mn=1, 由定理1即可得证。

参考文献

[1]Hall P, Heyde C C.Martingale limit theory and its application.New York:Academic Press, 1980

非齐次的 篇4

1. 常数变易法的巧说

求解一阶非齐次线性微分方程的常用方法是常数变易法. 为了让学生快速接受常数变易法的思想, 教师在课堂教学的引导过程中, 应注重启发诱导、对比、类比的教学方法.

学生已有的知识是可分离变量的一阶线性微分方程, 发现P ( x) 与y是乘积关系, 若Q ( x) = 0, 则原式可采用分离变量的方法求解, 对比

易知 ( 2) 式解的形式为y = C·f ( x) .

这两个方程的模型 ( 结构) 一模一样, 那我们就可以通过类比的方法推测这两个方程解的模型 ( 结构) 是一样的, 但通过对比, 其模型的内部填充又有所不同.

可以猜想 ( 1) 式解的形式和 ( 2) 式一样, 但注意到: ( 2) 式方程右端是0, 其解的形式是常数C乘以f ( x) , 而 ( 1) 式右端为Q ( x) , 根据对应性, 可假设 ( 1) 式的解为y = C ( x) ·f ( x) ( 其中C ( x) 为x的多项式) , 代入原方程, 算出C' ( x) , 经过积分就可得出C ( x) , 则 ( 1) 式的解即可得出.

同时, 在教学过程中, 这样的启发诱导方法, 不用对抽象的一阶线性非齐次微分方程进行推导, 直接对一个具体例子进行讲解, 既直观又容易理解, 而且避免了中间的理论推导, 学生可以在掌握常数变易法之后, 通过特殊到一般的方法自己推导一阶线性非齐次微分方程的通解公式, 避免了纯粹让学生记忆公式的困难.

例1用常数变易法求解微分方程xy' - y = x3的通解.

解 ( 1) 转化为一阶线性齐次微分方程xy' - y = 0, 分离变量, 求得其解为y = c·x.

( 2) 运用常数变易法

假设原方程的解为y = c ( x) ·x, 代入原方程得:

, 整理变形得:, 故

于是原微分方程的解为

2. 乘积求导公式的逆运用

在一阶线性非齐次微分方程中, 上面所说的常数变易法, 算是针对该类型微分方程相对固定的解法, 求解时按照步骤即可, 如果遇到的题目中函数比较特殊, 我们尽可以突破固有定式, 寻求更为简洁高效的解题思路, 体现数学思维的灵活性. 有一类方程可以不用常数变易法来计算, 而是通过乘积求导公式的逆运用来得到, 下面通过例子来说明.

例2求解微分方程的通解.

解注意到: xy' + y, 变形为', 满足乘积求导法则, 故原方程等价于

以上方程两边同时积分得

因此, 原微分方程的通解为

例4求解微分方程的通解.

解注意到

满足乘积求导法则, 即有

以上方程两边同时积分得

因此, 原微分方程的通解为

以上方法, 读者可以看出来, 这是不套用一阶线性非齐次微分方程求解公式和常数变易法的直接解法, 通过观察, 如果满足乘积求导公式, 便可以简化我们的计算, 但此方法具有一定的局限性, 需要满足乘积求导法则.

同时注意到此方法主要在于把构造成的形式, 通过该方法同样可以得到一阶线性非齐次微分方程的求解公式.

证明: 对方程两端同乘u ( x) ,

变形成

对比乘积求导形式, ( 说明

分离变量得, 两端积分 得

即有, 两端积分得

综上可知, 一阶线性非齐次微分方程的通解公式为

总之, 笔者尝试性地把两种分析方法运用于高职高等数学教学中, 主要是对学生进行思维方法的训练, 也只是做了一些粗浅的探索和研究, 收到的效果较好, 因此值得思索与学习.

摘要：借助实例说明在高职院校高等数学教学中求解一阶线性非齐次微分方程的一些方法和技巧.

关键词：一阶线性微分方程,类比思想,乘积求导法则

参考文献

[1]吴琳聪, 刘桂梅, 莫国良.函数积求导法则的逆用技巧[J].高等数学研究, 2013, 16 (1) :53-54.

非齐次的 篇5

对于齐次的单个守恒律

其中流函数f:RR是光滑凸的:f'›0。对于L∞初值u0 (x) , 当x‹x_时, u0 (x) 取常数u_;当x›x+时, u0 (x) 取常数u+, 其中u_›u+, x_›x+。对此, 我们已经知道, 弱解在有限时间内收敛到连接到的单个激波而组成的分片常数解。

本篇论文的目的是证明非齐次单个守恒律特殊模型

也有一个相似的结果。证明将涉及到广义特征线的应用。

2预备知识

我们先考虑一般的平衡律

并作出这样的假设:源项g是一个正的且为严格增的C1函数;流项f是一个增的且为严格凸的C2函数。

为了方便以后的求解, 我们引入一些正函数:

则F, H是严格增函数。这样, F的反函数也是一个严格增的C1函数, 记其为G, 则有

下面我们介绍守恒律方程 (2.1) (2.2) 广义特征线的一些基本概念和性质。

定义2.1定义在区间[a, b]上的一条Lipschitz曲线称为问题 (2.1) (2.2) 的特征线, 如果对几乎所有的t∈[a, b], 在分布意义下满足方程

这里是根据Fillippov在分布意义下提出的一种定义, 即满足

并且对几乎所有的t∈ (a, b) ,

证明:可直接由定理2.2中的式 (2.8) 得出。

引入这些之后, 我们设u是问题 (2.1) (2.2) 的一个可容许解, 固定上半平面中一点 (x, t) , 设ξ是从 (x, t) 出发的最大或最小后向特征线v () u ( () , ) , (0, t) 。利用函数F, G, H的性质对 (2.1) 积分, 可得

3主要结果

考虑以下初值问题

这里um, uM, xc待定, 满足

它们之后将由u0来确定。很显然激波S_, S+分别从点 (x_, 0) , (x+, 0) 发出, (xc, 0) 产生中心稀疏波。则我们得到如下结果。

定理3.1满足umuuuM, xxcx的初值问题 (3.1) (3.3) 的解在有限时间内产生激波。

证明:对于任意的y_‹x_和y+‹x+, 从点 (y_, 0) , (y+, 0) 分别作最小特征线y_ (t) 和最大特征线y+ (t) 。由 (2.15) 知, 特征线的表达式为

由 (2.13) 可知

将 (3.5) (3.6) 相减, 我们得到一个关于的单个方程

于是

对 (3.8) 式求导, 利用中值定理得

其中 (t) 介于v (t) , w (t) 之间, 由 (2.13)

另一方面, v (t) , w (t) 满足

解常微分方程 (3.12) (3.13) 得,

故

其中C是某一正常数。因此, 由 (3.9) (3.15) 不难得出, 一定存在一点t* (0, t) , 使得Y (t*) 0。换言之, 曲线y (t) , y (t) 在有限时间内会相交。

然而, 两激波S_和S+相撞之前可能会与从xc出发的中心稀疏波相交。所以, 为了完成证明, 必须考察激波在中心稀疏波S_, S+的作用下是加速还是减速的。

令u (t) , um (t) 是常微分方程

的解, 其中初值分别为于是解得

对于从出发的激波S_, 未遇上稀疏波时, 速度是

当S_遇上稀疏波作用后, 速度变为

我们令产生的单个激波为x (t) tt*, 记x*=η (t*) 。显然

回到问题 (3.1) (3.2) , 我们将其解u (x, t) 与具有特殊初值问题 (3.1) (3.3) 的解u (x, t) 作比较。首先, 我们给出一个关于u (x, t) 和u (x, t) 性质的重要引理。

引理3.2若um, uM满足

且

则有

证明:根据式 (3.23) 中xc的选取, 我们得到

于是, 当t=0时, 式 (3.25) 自然成立。同时, 式 (3.24) 显然成立。

将上面两式相减, 得

令

显然P (0) =0。利用 (3.1) , 对上式微分得

这意味着P (t) =0, 即 (3.25) 成立。

引理3.3:对于任意一点 (x, t) , t0, 我们有

证明:为了方便起见, 我们记引理3.3中的 (x, t) 为 (ˆx, ˆt) , 令x (t) 是满足下面常微分方程初值问题

直接计算得

设 (x*, t*) 如 (3.21) 中所定义。下面我们可以证明本文的主要定理。

定理3.4:在条件 (3.22) 和 (3.23) 下, 初值问题 (3.1) (3.2) 的解在有限时间内产生单个激波。记激波相撞时间为t*, 激波为x (t) , t t*。则有

化简得

由引理3.2可知, 等式左端第一项非正。由f的严格凸性可知, 等式左边第二、三项均严格负。然而, 注意到故从引理3.3可知,

摘要：对于凸的非齐次单个守恒律其中初始条件u0 (x) 在有界区域的左边取常数u, 右边取常数u+, 。u?u+我们将证明初值问题的解会在有限时间内形成单个激波。证明过程涉及到与具有分片常数初值的解进行比较, 同时单个激波的出现会受到稀疏波的影响。

关键词：守恒律,广义特征线,激波

参考文献

[1]C.M.Dafermos.Generalized characteristics and the structure of solutions of hyperbolicconservation laws.Indiana Univ.Math.J, 1977, 26:1097-1119.

[2]Michae Shearer and C.M.Dafermos, Finite time emergence of a shock wave for scalar conservation laws.Journal of hyperbolic differential equations, 2010, Vol.7, No.1:107-116.

[3]O.Oleinik.Discontinuous solutions of nonlinear differential equations, Usp.Mat.Nauk., 1957, 12:3-73.

[4]O.Oleinik.Uniqueness and stability of the generalized solution of the Cauchy problem forquasilinear equation.AMS Translation Ser.2, 1964, 33:285-290.

非齐次的 篇6

通过求导可以发现特征多项式的i阶导就是i! Ji其中将λ换成指数系数s.

i重根满足f ( k) = 0 ( k = 1, 2, …, i - 1) , f ( i) ≠0.

若s是特征方程的i重根, 则Jk= 0 ( i = 0, 1, …, i - 1) , Ji≠0.

显然只有满足l = i, 才能使等式两边可能相等

而又由x = yest,

则可假设x = ti ( d0+ d1t + d2t2+ … + dmtm) est.

x代入初始方程两边相等便可列出等价方程, 此方程一定可解出di ( i = 0, 1, …, m) , 这样我们便完整地证明了线性非齐次常系数方程待定系数法求特解的方法.

2. 满足一定条件的微分方程有界性引例

给定方程x″ + 8x + 7 = q ( t) , 已知q ( t) 在0≤x≤+ ∞连续,

( 1) 若q ( t) 在0≤x≤+ ∞上有界, 则此方程的每一个解在0≤x < + ∞上有界.

( 2) , 则此方程每一个解x ( t) 都有

( 1) 解: 可列出特征方程λ2+ 8λ + 7 = 0,

得λ1= - 1, λ2= - 7.

∴相应的线性齐次方程的解为C1e- t+ C2e-7t ( C1, C2为任意常数) .

由常数变异法取x = C1 ( t) e- t+ C2 ( t) e-7t ( * ) .

先只考虑C1 ( t) ,

可取C'1 ( t) 的特殊积分作为C1 ( t) .

代回 ( * ) 中,

由于p ( t) 有界, 不妨设|p (t) | < 6M, 则

则I有界.

同理可证C2 ( t) e-7t有界.

由常数变异法可知 ( * ) 为一特解, 则这一特解有界

可得方程任一解均可表示为

显然x在 ( 0, + ∞ ) 有界.

( 2) 解: 同题 ( 1) 中可以得到方程的解为 ( * ) + C1e- t+C2e-7t.

显然对任一C1, C2, C1e- t+ C2e-7t均是趋于无穷极限为零的.

那么就只需讨论 ( * ) 的极限.

同样我们先考虑可取C1' ( t) 的特殊积分作为C1 ( t) 的极限.

∴对时, |q ( t) | < 6ε由于t总会趋于无穷, 不妨取t > N

这样就证明了I取t→+ ∞时极限为0.

同理可证C2 (t) e-7t极限为0.

3. 满足一定条件的微分方程有界性说明分析证明

经过引例的证明, 可以发现引例的方程的特征多项式的解均为负实值.

不妨设一微分方程的特征多项式的解为b1, b2, …, bn均为负实值且互不相同, p ( t) 在 ( 0, + ∞ ) 上有界来讨论其解的有界性.

证: 显然方程对应的齐次方程的解为:

与引例同样, 根据常数变异法:

可列出方程:

可得系数行列式

这里也先只考虑C1 ( t) , 通过cramer法则, 可以解得:

∴方程的任一解x均在 ( 0, + ∞ ) 有界.

这样就证得了满足一定条件的微分方程的有界性.

当也可仿照引例的方法证明, 这里不再赘述.

参考文献

机器人齐次变换矩阵的研究 篇7

关键词：位姿描述,矢量平移变换,矢量旋转变换

0 引言

与机器人对话、一起生活, 似乎只是科技电影中的片段, 然而现在正逐渐变为现实。随着智能机器人的出现, 机器人学已成为如今研究的热点。目前, 机器人主要应用于生产自动化中, 例如工业机械臂和移动机器人, 它们完成各种任务需要进行相应的运动, 而描述机器人运动最直观和快捷的方法便是建立坐标系。在机器人学中经常需要计算矢量在同一个坐标系之间的坐标变换, 一般使用齐次变换矩阵来描述这种变换关系。因此, 研究齐次变换对学习机器人学显得十分重要。翻阅很多书籍, 书中并没有对齐次变换矩阵特别是矢量旋转矩阵表达式的推导过程进行详解, 所以, 本文详细地描述了其推导过程, 并对其应用进行了举例说明。

1 位姿描述

刚体是在运动中或者受到力作用后, 形状和大小保持不变, 而且内部各个点的相对位置保持不变的物体, 是一种理想模型。忽略机器人的变形影响, 机器人可以看作是一个或者多个刚体。在空间中, 刚体的位置可以用质心的位置和刚体本身的方位来描述, 用于描述的工具就是坐标系。位置姿态描述就是为了描述机器人在空间中的位置和方位, 分为位置描述和姿态描述。

1.1 位置描述

机器人的位置可以抽象地用质心的位置来表示, 那么, 在环境中如何描述质心的位置是对机器人位置定位的关键。自然地, 我们想到了用坐标系。假设存在一个世界坐标系, 我们可以用一个3×1的位置矢量对该坐标系中的任意一点进行定位。当描述机器人的几何关系和运动时, 为了计算方便和描述简洁, 一般使用多个坐标系。因此, 为了防止计算混乱, 在描述一个位置矢量的时候需要指明是用哪个坐标系描述的。例如坐标系{A}和位置矢量AQ。如图1所示。一般把坐标原点和沿坐标轴的单位矢量用下标“A”表示坐标系{A}, 矢量AQ表示箭头指向点的位置矢量, 其中右上角标“A”表示这一点用坐标系{A}描述[1]。AQ用坐标表示为AQ= (x, y, z) 。

1.2 姿态描述

在空间中, 仅仅描述一个刚体的位置是不全面的, 我们还要描述它的姿态, 也就是方位。描述任意平面刚体的姿态, 我们用 (x, y, θ) 这3个参数来表示[1]。θ就是与机器人固连在一起的坐标系和固定的场地坐标系之间的夹角。所谓的固连坐标系是指根据机器人的某一部分建立的坐标系。对于三维刚体, 如图2, 被抓取的物体与机械手末端工具连在一起, 因此, 固连坐标系就是固定在物体上的坐标系{B}。

机械手工具的位置可以用坐标系{B} 的原点在固定坐标系{A}中的位置矢量描述, 它的姿态则由坐标系{B]的方向来描述。而坐标系{B]的方向即坐标系{B}各个轴相对于坐标系{A} 的角度可用矩阵RAB来表示。在坐标系{B}的原点OB作平行于坐标系{A}的坐标系{C}, 求坐标系{B}各个轴相对于坐标系{A}的角度就是求坐标系{B}各个轴相对于坐标系{C}的角度。由矢量的内积可得cos (XB, XC) =XB·XC=| XB||·||XC||cosθ, 又XC与XA平行, XB、XC和XA均为单位矢量, 从而可得到XB与XA的夹角的余弦, 即cos (XB, XC) =cosθ, 同理可求得cos (rB, rA) , rB与rA分别指坐标系{B}、坐标系{A}各个坐标轴。由于求取出的角度计算起来不方便, 因此直接用角度的余弦作为矩阵RAB的元素:

RAB是指用坐标系{A}来表示坐标系{B}沿坐标轴方向单位矢量组成的矩阵。RBA是用坐标系{B}表示坐标系{A}

沿坐标轴方向单位矢量组成的矩阵:

由于坐标中的一个矢量所有方向余弦的平方和都等于1, 即cos2 (XA, XB) +cos2 (XA, YB) +cos2 (XA, ZB) =1, 同理推出YA、ZA与坐标系{B}各轴夹角余弦平方和都为1, 而且co (rA, rB) =cos (rB, rA) , 有直角坐标系中坐标轴正交的特点, 因此可以得到:

2 齐次变换

由前面的综述, 我们已经知道用矢量来描述机器人的位置和姿态, 那么, 在同一个坐标系中, 我们还需要研究矢量的平移和旋转。

2.1 矢量平移变换

在同一个坐标系中, 平移变换是指矢量AQ1沿着另一矢量AQ一直平移, 直至AQ的终点, 然后连接坐标系原点与平移后矢量的终点, 得到矢量AQ2的过程。如图3所示。

根据向量的合成相关知识, 可以得到如下关系式:AQ2=AQ1+AQ。

2.2 矢量旋转变换

在同一个坐标系中, 旋转变换是指矢量AQ1绕坐标轴旋转θ角后得到矢量AQ2的过程。如图4, AQ1绕XA轴旋转θ角, 得到矢量AQ2。则用齐次变换矩阵表示AQ2= Rot (x, θ) AQ1。

AQ1绕XA轴旋转θ角得到AQ2, 因此AQ1与AQ2的终点Q1、Q2都在平行于平面ZAOY的圆上。过AQ2的终点Q2, 作垂直平面XAOY的垂线, 并交于点P, 过点P作垂直于XA的垂线交XA于点M。同样地, 过AQ1的终点Q1作垂直平面XAOYA的垂线, 并交于点N, 连接点N与点M。因为Q1与Q2共圆且该圆平行于平面ZAOYA, 因此MN垂直于XA。分别连接点M与点Q1、Q2, 则MQ1=MQ2, 以M为圆心, 以MQ1为半径, 画圆。设Q2坐标为 (x2, y2, z2) , Q1坐标为 (x1, y1, z1) , 则x1=x2, M点坐标为 (x1, 0, 0) , P点坐标为 (x2, y2, 0) , N点坐标为 (x1, y1, 0) , 如图5所示。

综合得: x1=x2, y2=y1cosθ-z1sinθ, z2=y1sinθ+z1cosθ。写成矩阵形式为

又矩阵中既表示位置又表示姿态, 因此表达式为

也可以写成AQ2= Rot (x, θ) AQ1, 其中, Rot (x, θ) 为矢量旋转变换矩阵, 其表达式为

同理, 可得到:

3 应用

弄懂了矢量平移变换和旋转变换以后, 就可以将它们用于复杂的空间变换。复合变换的其中一种就是, 一个空间点在同一个坐标系内顺序经过多次平移或旋转, 最后需确定多次变换后点的位置。例如机器人在给目标物体定位时, 若已知物体的原始位置, 求其运动后的最终位置。这里只考虑同一个坐标系下, 旋转和平移的运动。如图6, 已知机器人坐标系{B}, 忽略目标物体的形变, 它可以看作是一个质点。已知它的位置矢量BP= (1, 5, 4, 10) , 先绕ZB轴旋转90°得到位置矢量BP1, 再沿XB轴平移10个单位得到位置矢量BP2, 再绕YB轴旋转90°得到位置矢量BP3, 求该物体最后的位置即BP3。

用C语言编程实现求取物体运动后的位置, 程序的流程图如图7所示。

编写的程序如下:

4 结论

研究齐次变换矩阵, 是进行机器人定位和机器人运动学分析等研究的基础。本文对矢量平移变换和矢量旋转变换定义以及表达式由来进行了深入探讨, 是对一些书籍中直接得出结论部分的补充, 并将其应用到机器人对目标物体的定位中, 给出了实现的C语言程序。这种应用能够快速、准确地对目标物体进行定位, 但是要求目标物体的运动是相对于同一个坐标系的平移或者旋转。

参考文献

[1]张奇志, 周亚丽.机器人学简明教程[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2013.

[2]徐元昌, 陶学恒, 沈晓红.工业机器人[M].北京:中国轻工业出版社, 1999.

[3]孙树栋.工业机器人技术基础[M].西安:西北工业大学出版社, 2006.

[4]谭浩强.C程序设计[M].4版.北京:清华大学出版社, 2012.

[5]朱鸣华.C语言程序设计教程[M].3版.北京:机械工业出版社, 2014.

[6]蔡自兴.机器人学基础[M].2版.北京:机械工业出版社, 2015.

[7]杉山将.图解机器学习[M].北京:人民邮电出版社, 2015.

[8]霍伟.机器人动力学与控制[M].北京:高等教育出版社, 2005.

[9]刘晋峰.玩机器人学单片机[M].北京:电子工业出版社, 2013.

非齐次的 篇8

在实际问题中, 我们将会看到稍微复杂的物理系统 (例如两个或两个以上回路电流变化规律, 几个互相作用的质点的运动等等) 的数学模型会导出多于一个微分方程的方程组。通过某些简化的假设, 在相当广泛的问题里, 这种方程组可以化为一阶线性微分方程组。本文主要给出了一个一阶齐线性微分方程组解的伏朗斯基行列式的结论。为讨论问题的方便, 引入以下定义。

定义1对于线性微分方程组

其中A (t) 是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵, 它的元素为aij (t) , i, j=1, 2, …, n。f (t) 是区间a≤x≤b上的已知n维连续列向量。如果f (t) ≠0, 则方程组 (1) 称为非齐线性的;如果f (t) =0, 则方程组的形式为

(2) 称为齐线性的。

本文主要讨论齐线性微分方程组 (2) 的问题。

定义2设有n个定义在区间a≤x≤b上的向量函数

由这n个向量函数构成的行列式

称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。

定理1

2一阶齐线性微分方程组 (2) 解的伏朗斯基行列式的结论

定理2考虑一阶齐线性微分方程组 (2) , 其中A (t) 是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵, 它的元素为aij (t) , i, j=1, 2, …, n。

a.如果x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) 是方程组 (2) 的任意n个解, 那么他们的伏朗斯基行列式W[x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) ]≡W (t) 满足下面的一阶线性微分方程

b.解上面的一阶线性微分方程, 有下式

成立。证明设

证明a.设

因为根据定理1

而由已知x1 (t) , x2 (t) , …xn (t) 是方程组 (2) 的任意n个解, 故

所以 (8) 式等于

根据行列式的性质

即满足 (6) 式。

b.将上面的一阶线性微分方程 (6) 变量分离

积分求解得

结论b.得证

3总结

本文结合微分方程和矩阵代数的有关理论, 给出的一阶齐线性微分方程组 (2) 解的伏朗斯基行列式具有的两个结论, 这在线性方程组的解的结构中占有重要地位。

参考文献

[1]丁同仁, 李承志.常微分方程教程.北京:高等教育出版社, 2005.

[2]彼得罗夫斯基.常微分方程讲义.黄克欧译.北京:高等教育出版社, 1957.

[3]王柔怀, 伍卓群.常微分方程讲义.北京:人民教育出版社, 1963.