一个包含数论函数的方程及其正整数

一个包含数论函数的方程及其正整数

一个包含数论函数的方程及其正整数 篇1

给出问题①式的所有解中, 最大分母的最小值是什么?在文[1]中, 刘润根、王春风分别给出 (33, 99, 1089) , (44, 55, 2420) , 王晓明给出三组解 (33, 121, 363) , (27, 297, 1089) , (33, 91, 33033) .下面我们将通过分析①式中m, n, h的取值范围, 编写Mathematical程序并运行, 得到①式共有24组解, 其中最大分母的最大值为275275, 最小值为363.

一、理论分析

由①式$\frac{5}{121}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{h},m＜n＜h,n,m,h\in \mathbf{{\rm N}}{}^{+}$,

得$\frac{1}{m}＞\frac{1}{n}＞\frac{1}{h}$, 所以$\frac{1}{m}＜\frac{5}{121}＜\frac{3}{m}$,

从而$[\frac{121}{5}]+1\le m\le [\frac{363}{5}]$, 即25≤m≤72.

又$\frac{5}{121}-\frac{1}{m}=\frac{5m-121}{121m}=\frac{1}{n}+\frac{1}{h}‚\frac{1}{n}＜\frac{5m-121}{121m}＜\frac{2}{n}$,

即$[\frac{121m}{5m-121}]\le n\le [\frac{242m}{5m-121}].$

又$\frac{5}{121}-\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{h}$, 即$h=\frac{121m}{5mn-121n-121m}.$

为了避免计算机运算误差, 我们将①式变为5mnh=121 (nh+mh+mn) . ②

寻找②式的解转变为下述问题:

$\begin{array}{l}\text{当}25\le m\le 72‚[\frac{121m}{5m-121}]\le n\le [\frac{242m}{5m-121}]‚\\ h=\frac{121mn}{5mn-121n-121m}\end{array}$

为整数时, 如果②式成立, 则对应的 (m, n, h) 为①式的一组解.

二、Mathematical编程及运算结果

根据上述分析, 我们编写求解①式Mathematical的程序:

For[m=25, m≤72, m++;

For[n=Floor[121*m/ (5*m-121) ], n≤Floor[242*m/ (5*m-121) ], n++;

h=121*m*n/ (5*m*n-121*m-121*n) ,

If[Floor[h]<h&&5*m*n*h==121 (n*h+m*h+m*n) ,

Print["m=", m, "", "n=", n, "", "h=", h]]]]

运行该程序, 我们得到如下结果:

从表中可以看出最大分母的最大值为275275, 最小值为363.

参考文献

[1]吴振奎.数学中的美[M].上海:上海教育出版社, 2004.9.