以形助数理解算理

以形助数理解算理（精选3篇）

以形助数理解算理 篇1

重视直观运算

促进算理理解

——“两位数乘一位数的口算乘法”教学片断与思考 在计算教学中，直观模型是帮助学生理解算理的一种重要方式。此次北师大版修订教材，在计算教学理解算理环节，除了呈现“实物图”“表格”等直观模型，还呈现了借助“点子图”进行计算的方法，其目的是让学生更好地体会“转化”的思想和计算方法的多样化，引导学生掌握并灵活选用适合自己的方法进行口算，发展数感。下面从实践角度出发，通过案例凸显“直观运算”对学生理解算理的重要性。案例一：

教学内容：北师大版三年级上册第32——33页“需要多少钱”。教学目标：

1、理解两位数乘一位数的意义，探索并掌握两位数乘一位数的口算方法。

2、会用点子图或表格探索乘法的口算方法，理解乘法的算理，体验算法多样化。

3、能用乘法知识解决简单的实际问题，感受数学与生活的实际联系。教学重难点：

掌握两位数乘一位数的口算方法，直观理解乘法的算法和算理。教学片断：

一、通过谈话交流，从教材情境中提取有用信息列出算式，以“12×3”为例进行学习。

二、探究新知，理解算理

1、交流汇报，初步感知

学生试做，并说说思考过程。预设以下两种方法：

①12+12+12=（36）元，12×3就是3个12相加。

②10×3=30,2×3=6,30+6=36（元）

生1：方法①是以前掌握的知识。因为乘法是特殊的加法，表示几个相同加数的和。

生2：方法②就是我们3人每人拿出12元，分别是1张10元1张2元。（出示人民币模型：3张10元，3张2元）

师：谁能说说每一步的具体含义是什么？“10×3=30”是图示中的哪个部分？“2×3”呢？“30=6”呢？

随着学生的回答，课件动态呈现图1.然后指名学生说说这一思考过程。

图1

2、解释方法，理解算理

淘气和笑笑的方法大家能理解吗？ ① 理解淘气的算法

师：谁看懂淘气是如何计算的？（图2）

（图2）

学生独立观察，同伴之间说一说对这种算法的理解。然后指名看图说算理。

师：你还有别的想法吗？在你的点子图上试着圈一圈。学生独立完成后投影交流。② 理解笑笑的算法

师：笑笑的算法呢，你能看懂吗？（图3）

学生独立观察并分析笑笑的算法，小组交流后集体反馈。

重点提问：①表格中的每个数据表示什么？②笑笑的口算过程是怎样的？

3、相互转化，沟通联系

师：观察淘气和笑笑的算法，并思考： ① 你能用笑笑的方法解释亮亮的方法吗？ ② 如果把淘气用点子图的算法用表格来表示，应该如何画？ ③ 如果把笑笑用表格的算法用点子图来表示，应该怎样画？ 给学生提供12×3的点子图和表格，让学生模仿着圈一圈、填一填、算一算。之后汇报交流，展示作品。

4、比较异同，总结提升（初步感知）

想一想，淘气和笑笑的算法有什么相同的地方？有什么不同的地方？ 学生独立观察、思考、交流，引导学生归纳得出： 相同点：把整体“分块”求积，在求积的和。

不同点：把整体“分块”时，可以等分，也可以不等分。

5、即时训练，形成技能

思考：

1、已经“会了”还要教吗？

要算出“12×3”的结果，对于学生来说并不困难。学生根据已有知识经验能够从乘法的意义想到“12×3”就是求3个12的和是多少，会用加法进行计算。教学实践中，有的学生会用“2×3=6,10×3=30,6+30=36”进行计算，甚至有学生能够直接用乘法竖式计算。既然学生已经“会了”，为什么教材还要出示实物模型（人民币）进行教学呢？这是多此一举吗？

其实不然！从表面上看，学生能够计算出“12×3”的结果，但是对其算理的认识是模糊的。直观理解乘法的算法和算理是乘法教学的重点也是难点。如何突破这一难点呢？教材因此设计了实物模型（人民币）这一直观素材，引导学生结合情境，用人民币演示算理，并对应出现了乘法算式，沟通模型和算法之间的联系。在这一情境中，学生能够真正理解口算乘法每一步的具体含义，有利于今后对大数目乘法的理解。

2、没有生成的还需呈现吗? 很多教师认为：“表格”算法对于学生来说几乎是没有任何经验的；别说是学生，就连教师都不会用这种算法。那么，这种方法还需要呈现吗？对比实验教材，修订教材不仅没有去掉“表格”算法，还增加了学生不会使用的“点子图”，这是画蛇添足吗？

当然不是！两位数乘一位数的口算乘法，是学习笔算乘法的重要基础。借助“点子图”的操作，进行乘法的直观运算，进而把直观运算的过程和结果记录成书面形式，就是笔算的由来。当学生理解了乘法算理，就能逐步摆脱对直观的依赖，到了能直观运用数字进行两位数乘一位数的口算，就可以进入算法运算的阶段。直观运算是算法运算的基础，算法运算是直观运算的抽象和提升。在掌握口算的基础上，学习笔算（包括横式与竖式）才有意义。

教材编写不是单纯的知识介绍，学生学习也不是单纯的模仿、练习和记忆。教材在设计“点子图”算法和“表格”算法环节时，力图展现“知识背景——知识形成——揭示联系”这一过程。让学生在“做数学”的活动中，一方面体会解决问题方法的多样性，积累基本的数学活动经验；另一方面感悟基本的数学思想和方法——数形结合、分类、对应、集合、模型等。随着数学学习的深入，学生所积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实”，这些现实会成为学生进一步学习数学的资源。选用这些素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地揭示相关数学知识之间的内在联系，有利于学生从整体上理解数学，完善认知结构。

《课程标准》（2011年版）明确指出：在数学课程中，应当注重发展学生的“数感、符号意识、几何直观、运算能力和模型思想等”。“人民币”模型、“点子图”及“表格”作为一种几何直观的形式引入到乘法口算中，发挥着不可或缺的重要作用：一方面，帮助学生直观地理解乘法口算的算理，使不易理解的算理变得简明、形象；另一方面，促使学生在操作活动中自主建构两位数乘一位数的口算模型，理解数学实质，感悟数学思想。因此，作为教师，必须真正吃透教材，理解编写意图，充分发挥直观运算在计算教学中的作用，从而提高课堂教学的实效性。

估为“的”

算为“径”

估算的本质“是对于数量的运算”。“算”只是估的路径和手段，而结合实际背景对数量的“估量、权衡和量度”才是其核心和目的。因此，估算意义的理解、对数量的处理、估算技能的形成，以及估算意识的建立都必须在具体、实际的生活问题分析和解决中去体验和学习。学生对估算意义理解较深刻，能辩证地依情判断，做出正确的估算选择，解决相应的估算问题，能形成较强的估算素养。

以形助数理解算理 篇2

1.与不等式有关的问题

例1：若不等式|x-4|+|3-x|

这道题目是已知不等式的解集求未知的参数，是考查不等式解法的逆向运用，解这道题的一般思路是：先对a分类讨论：(1)a≤0时，不等式的解集为空集，符合题意;(2)a>0时，先求不等式有解时a的取值范围：a>1，从而得当0

2.与函数有关的问题

例2：求函数y=的最大值和最小值.

解：∵y=，令A(2,0)、B(cosx,-sinx)，∴点B在单位圆x[2]+y[2]=1上，∴y=kAB.由图2可知：当直线AB与单位圆相切时，斜率有最大值及最小值，容易求出kAB的最大值为，最小值为.

3.与轨迹有关的问题

例3：设x,y∈R,i,j为直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量，若向量，a=x,i+(y+2),j,,b=x,i+(y-2),j，且|，a|+|，b|=8，求点M(x,y)的轨迹C的方程.

分析：如果纯粹从向量的模的代数意义上考虑，|=8,可化为再通过移项，平方等步骤得出轨迹方程，整个方程需要两次平方去根号，从学生解答的情况看，很容易出错.如果从向量的模的几何意义上考虑，=8指的是动点M(x,y)到两定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8.由椭圆的第一定义可知，轨迹C就是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程是1.这道题充分反映了数形结合的优势.有些问题比较特殊，采用常规方法来解，推理运算过程复杂，如果利用数形结合的方法来解，就可以使推理运算过程简化.有意识地开发并利用解析几何中的“形”去思考、分析并解决问题，可以拓宽思路，有利于提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力.

4.与最值有关的问题

例4：若|z|=1，求|z+i|+|z-6|的最小值.

解：∵|z|=1，∴复数z对应的点P在单位圆(如图3),

|z+i|+|z-6|表示点P到A(0,-1),B(6,0)两点之间距离的和，即：|z+i|+|z-6|=|AP|+|BP|≤|AB|=.

故|z+i|+|z-6|的最小值为

数形结合的思想方法是数学中重要的思想方法之一，它可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.我们在解题中充分应用这种思想方法，对培养学生的数学素质，提高学生的解题能力，发展学生的思维会有很大的帮助.

摘要：作者根据自己多年的数学课堂教学经验,把常常会用到数形结合的几种题型进行归纳,并介绍了以形助数在解题时的作用。

关键词：数形结合,数与形,以形助数

参考文献

[1]蔡惠萍.数学通报.几何图形在代数解题中的应用,2004.3:20-21.

[2]周润玲.中学数学研究.解析几何中“形”的开发和利用,2004.1:21-22.

[3]吴翠纹.中学数学研究.例谈数形结合思想在中学数学中的运用,2004.7:9-11.

[4]齐如意.中学数学研究.巧用数学思想解不等式,2005.1:41-43.

[5]钱小珍.数学通报.数形结合发展思维,2004.9:30-31.

由简入深，以形助数 篇3

【关键词】数形结合;小数的意义

华罗庚曾说过：“数形结合百般好。”数与形反映了事物两个方面的属性。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，“以形助数”或“以数解形”，是小学阶段常用的数学思想方法。下面笔者结合一节竞赛课——“小数的意义”，谈谈如何在课堂教学中渗透数形结合的思想。

【片段一】

师：同学们，这是我们常用的橡皮。谁来读一读，它的单价是多少元？

师：你知道0.3元是多少钱？

师：（拿出一个长方形纸片）如果我们用这个长方形表示1元，你能在里面表示0.3元吗？

生：把这个长方形平均分成10份，每份就是0.1元，这样的3份就是0.3元。

师：为什么把这个长方形平均分成10分，每份就是0.1元呢？

生：把这个长方形平均分成10份后，每份就是1角钱，1角钱就是0.1元。

师：因此，这样的3份是3角，就是0.3元。你还能用一个分数来表示吗？

生：也可以用表示。

师：板书0.3=。

【点评：小数的意义属于比较抽象的知识，教学时需要化抽象为具体。数形结合使数与形之间巧妙的互换，使看上去较难理解的问题简单化、直观化。教师开门见山，直接给学生出示几件商品的价格。学生根据已有的生活经验，已经知道了1角是元，也知道了1角就是0.1元。再把这两者通过一个长方形联系起来。这样以“形”助数，把抽象的概念直观化，帮助学生理解0.1与、0.3与的联系。进而在后面两个例子中，能快速地说出另外两个小数与分数的联系。】

【片段二】

师：这是一根没有刻度的米尺。如果要测量这样一根木条的长度（1分米长度），你有什么办法？

生：可以在这根米尺上标出分米，再标出厘米，用分米和厘米作单位去测量。

师：如果要标出分米，谁能上来指一指，1分米大概在哪个位置？你是怎么找的？

生：1分米是1米的，所以指在的位置上。

师：用分数表示1分米，可以写成几分之几米？

生：米。

师：再想一想，可以用怎样的小数来表示呢？

生：还可以用0.1米来表示。

师：板书：0.1米=米。

【点评：因为在生产生活的实际中，需要更小的单位来进行测量，才产生了小数。在本环节，教师采用一把空白的米尺进行教学，通过学生标出分米和厘米，有利于还原小数产生的实际情境。让学生经历数形结合的过程，更深入地理解小数与分数的内在联系，激发学生的概念理解的思路，提高学生的数形转化能力，培养学生形象思维和抽象思维。】

【教后反思】：

在设计时，我紧扣小数的意义，深入沟通分数与小数的联系，培养学生良好的数感。在教学过程中，构建简明的教学过程，利用数形结合的思想，以形助数，把概念的教学从抽象到直观进行演绎，帮助学生建构小数的意义：

一、简明高效，感受数形结合的作用

在概念的引入时，要尽力排除非本质属性的干扰，让学生尽快触及概念的本质特点，体现概念建立过程的高效化、洁明化。

课始通过一个橡皮的价格，直接出示0.3这个小数。再通过老师提出的一个问题：“如果我们用这个长方形表示1元，你能在里面表示0.3元吗？”简明、快捷地把数与形结合起来，没有过多的情境及无关的干扰，学生的思维就能戳中要害，直达问题的本质。所以在长方形纸片的帮助下，课堂上大多数孩子都画出了正确地结果，只有个别孩子提出了不同的观点，但也在其他同学的帮助下迅速纠正过来。很快找到了0.1与、0.3与的联系，初步感受了数形结合的作用。

二、动手实践，体会数形结合的意义

匈牙利数学家波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”在课堂上，给学生一张长方形纸片表示1元，让学生在其中画出表示零点几元的部分。一开始表示0.3元时，学生通过自己的尝试、摸索，甚至出现了错误;接下来表示0.05元时，已经较为娴熟，每一个小组都能正确地找到数与形之间的联系。最后的0.48元，学生已经不需要在动手画图了，已能得心应手地通过语言直接沟通两者的联系。通过3个小数的表示，学生用“形”来理解它们的变化，再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”的目的，提高学生的数形转化能力，培养学生形象思维和抽象思维。

三、沟通联系，内化数形结合的思想

本节课教学的重点在于沟通十分之几与一位小数、百分之几与两位小数、千分之几与三位小数的联系，所以在学生通过长方形纸片初步感受了分数与小数的联系后，又利用一把没有刻度的米尺，通过测量1分米、1厘米，首先总结一位小数、两位小数与十分之几、百分之几的联系，再到后面测量1毫米，由学生独立总结三位小数与千分之几的联系，最后拓展到更多位数小数与分数的联系，逐步深入，有效地运用了双重编码，让学生最终顺利地总结出小数与分数的联系。

在学习的过程中，数形结合始终是贯穿全课的线索。学生动手、动口，多种感官参加学习，通过对形象的感觉、储存、判断、描述和体会，利用操作、观察相结合，激发学生多向思维，使抽象的数学概念直观化、形象化，最终理解概念的实质意义，使数形结合思想内化为学生形象思维能力和逻辑思维能力。

【参考文献】

[1]牛献礼.数形结合理解概念——“小数的意义”教学实践与思考[J].小学教学参考，2015