对角线的规律

对角线的规律（精选7篇）

对角线的规律 篇1

关键词：平面四边形,对角线,垂直,面积

当我们学完菱形的相关知识后, 知道菱形由四个全等的直角三角形组成, 所以它的面积 (AC和BD为菱形的对角线长度) , 也就是说, 菱形的面积等于对角线乘积的二分之一.这是因为菱形的对角线是互相垂直的.那么, 任意对角线互相垂直的平面四边形的面积是不是都等于对角线乘积的一半呢?如果这一结论成立, 将会很方便解决任意对角线互相垂直的平面四边形的面积求解问题.笔者经过探究和证明, 发现这个结论是成立的.

一、推理证明

1.对角线互相垂直的凸四边形的面积公式的证明

【例1】已知在凸四边形ABCD中, 对角线AC⊥BD, 如图1所示.求证:S四边形ABCD=1/2·AC·BD.

证明:在四边形ABCD中, AC⊥BD于E,

2.对角线互相垂直的凹四边形的面积公式的证明

【例2】已知在凹四边形ABCD中, 对角线AC⊥BD于E, 如图2所示.求证:S四边形ABCD=1/2·AC·BD.

证明:在四边形ABCD中, AC⊥BD于E,

综上, 可得出命题:任意对角线互相垂直的平面四边形的面积等于对角线乘积的一半.

二、命题应用

【例3】如图3, 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O, △AOB的周长为, ∠ABC=60°, 求菱形ABCD的面积.

解:在菱形ABCD中, AC⊥BD, ∠ABO=∠CBO.

因为∠ABC=60°, 所以∠ABO=∠CBO=30°.

设AO=x, 则AB=2x, , 所以, 解得x=1.

所以, 所以, 所以

【例4】高为a的等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直, 垂足为O, 求梯形ABCD的面积.

解:如图4, 设等腰梯形AB-CD的腰为AB、CD, 则AB=CD, AC⊥BD, 且OB=OC, 所以∠1=∠2=45°.

过点D作DE⊥BC于E, 则△BDE为等腰直角三角形, 可得BE=DE=a, 所以

【例5】如图5, 已知在△ABC中, BD和CE分别是两边上的中线, 并且BD⊥CE, BD=8, CE=12, 求△ABC的面积.

解:连结DE, 则四边形BCDE的面积为

单张纸胶印机的对角线套准 篇2

目前在印刷生产中，对角线方向的套准方式主要分为3种：直接拉动印版、位移印版滚筒，以及改变纸张位置。

直接拉动印版

有些印刷机（如秋山Jprint 4p440）采用直接拉动印版的方法实现对角线方向的自动套准，即改变印版与印版滚筒的相对位置，使滚筒上所装印版的图文能正确地转印到纸张上。这种方式的调节原理是将印版装入版夹后，令两者合为一体，在数字电位器精确控制下，通过驱动装置调整版夹位置，以实现印版的准确定位。

利用印版版夹进行对角线方向调整，其优点是斜向调节距离较大，调节范围可达±2mm，操作起来也比较简单；但这种方法对机器的技术要求较高（如电机与执行机构的安装、电源信号与控制信号的输入等），另外对印版也有较大损害，印版耐印力会大大降低，同时机器造价和印刷成本也会大幅提高，所以此方法并未在印刷机上普遍使用。

位移印版滚筒

海德堡印刷机常采用位移印版滚筒，通过调节偏心套使印版滚筒产生位移来实现对角线套准，其原理为在印版滚筒一端（操作面）安装伺服电机和传动机构，而另一端固定（传动面），由电机带动偏心套推动印版滚筒在操作面向前或向后产生横向位移，从而改变其与橡皮滚筒中心线的相对位置，使印版上和橡皮布轴向上各点的周向相对位移不等，从而实现对角线方向的套准。

在图3中，我们采用螺旋传动机构，利用螺杆和螺母组成的螺旋副将回转运动变为直线运动。电机带动齿轮使螺杆转动，在旋转过程中带动螺母移动，使偏心套转动，印版滚筒轴端就会出现微量的位移，从而达到对角线套准的目的。

这种套准机构参照周向和轴向套准机构的原理，利用转动偏心套实现版滚筒移动，原理清楚，结构简单。其采用较成熟的控制系统，易于实现，目前已成为大多数胶印机进行对角线调节的主要方式。

由位移印版滚筒的调节原理可知，调节后印版滚筒和橡皮滚筒两者的中心线不再平行，印版滚筒与着墨辊也会发生相对位移，这对印版滚筒传动侧的轴承和齿轮副都是不利的，同时还会产生两个问题：印版滚筒与橡皮滚筒之间压力会有所变化；印版滚筒与着墨辊、着水辊之间的压力也会有所变化。印版滚筒和橡皮滚筒的直径相差不大，且对角调节量较小，所以它们之间的压力变化微乎其微，可以忽略；而墨辊、水辊的直径比印版滚筒的小得多，且墨辊、水辊是分散在印版滚筒上，所以当偏心套带动版滚筒移动时，印版滚筒与着墨辊、着水辊之间的压力会发生较大变化，不但印版会磨损，油墨涂布也会很不均匀，从而影响印刷品质量。

为解决上述问题，常需人工调节印刷机操作侧的压力调节手柄，使印版滚筒与着墨辊、着水辊之间压力达到最佳。但是，操作者在调节版滚筒与着墨辊、着水辊之间的中心距时，具有一定的盲目性，调节量完全依赖于操作者的工作经验和技术水平，可靠性较低，调节不当反而会产生更多的废品、次品。因此，可设计一套随动调压机构，形成连动效果来解决这一问题。

改变张位置

在解决多色之间的对角线套准误差时，前两种方式的原理都是以纸张为参考标准，调节印版和纸张的相对位置。同理我们可以设想以印版的图文为参考基准，通过改变纸张的相对位置，从而达到对角线套准的目的。

要改变纸张在各机组间交接的位置，可以通过调整规矩的位置或者改变传纸滚筒上叼纸牙的咬纸量两种途径。调整规矩位置，纸张在各个机组间的位置都会发生变化，这显然不适用印刷时只有一色套印不准而其它色组准确的情况。

日本小森及德国的高宝、罗兰等胶印机利用机组之间的传纸滚筒偏心改变纸张的叼纸量的方法，其基本原理如图4所示。

与位移印版滚筒的原理一样，在传纸滚筒的操作侧装有驱动电机带动螺旋机构，推动偏心套使传纸滚筒发生移动，使其中心线与其相邻滚筒中心线倾斜成一定角度，这样咬纸牙在咬纸位置上就会发生变化，使纸张在传递过程中发生偏斜，完成对角线方向套准。

图4中，a段是正常状态下纸张即将被传送到倾斜的传纸滚筒上，b段是纸张渐渐从正常状态下的位置变成倾斜位置，c段是倾斜状态下的纸张的印刷过程，此时其完成对角线方向误差套准，d段是倾斜状态下的纸张被传递到下一个有补偿的传纸滚筒，即传纸滚筒相对于上一传纸滚筒反方向倾斜，以使纸张复位，同时反向改变有套印误差的色组两侧的传纸滚筒的叼纸量。

这种调节方式属于一种新型的对角线套准方式，在国外胶印机上被广泛采用，能有效地解决色组的套印问题，而不影响其他色组的套印，也能省去移动印版滚筒的步骤，减少过版纸的浪费，克服因版滚筒偏斜带来的印版与水辊、墨辊之间压力变化的问题，因而设计更科学、套准精度更高。只是该机构对递纸牙有较高的要求，需要对递纸牙进行重新设计，这不仅会改变传统递纸牙的基本结构，而且在安装上也会比较困难。

考研数学冲刺 矩阵对角化讲解 篇3

考研数学复习已进入冲刺阶段，考研数学专家针对有些同学在矩阵对角化这块内容上仍存在一些困惑，特撰此文讲解矩阵对角化相关的知识、注意要点及解题技巧，助力2013考研数学冲刺复习(考|研教育网整理)。

首先是矩阵对角化的概念：对于n阶矩阵A，若存在一个n阶可逆矩阵P，使P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵)成立，则称A可相似对角化，否则就称A不可对角化。概念是要牢记于心的。

重要定理：若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵Λ的n个主对角线元素必是A的n个特征值λ1，λ2，…，λn(包括重根)，其相似变换矩阵P的n个列向量X1，X2，…，Xn是A的分别属于λ1，λ2，…，λn的特征向量，且X1，X2，…，Xn线性无关，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，P=(X1，X2，…，Xn)为可逆阵，且AXj=λXj(j=1，2，…，n).

并非所有的.n阶矩阵都可对角化，只有满足一定条件的矩阵才可对角化，下面是几个相关结论：

结论1：n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

结论2：若n阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则A必可对角化。

结论3：设λi是矩阵A的任一个特征值，其代数重数为ni(即λi是ni重特征值)，其几何重数为mi(即属于λi的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组(λiE-A)X=0的基础解系中的向量个数，mi=n-r(λiE-A))，则恒有mi≤ni。

结论4：设n阶矩阵A的两两不等的特征值为λ1，λ2，…，λs(1≤s≤n)，则矩阵A可对角化的充分必要条件是，对A的每一个特征值λi，都有mi=ni(i=1，2，…，s)。

将n阶矩阵A通过相似变换化成对角阵的计算步骤也是需要牢牢掌握的，由于此部分内容较简单，各位考生可自行翻阅《汤家凤考研数学复习大全》这部分内容来学习掌握，并结合书内典型例题加强理解。

广义α-双对角占优矩阵的判定 篇4

广义对角占优矩阵及α-双对角占优矩阵在矩阵理论和数值计算的研究领域起着非常重要的作用, 因此讨论这些特殊矩阵的判定条件及其性质有着重要的意义。文献[1,2,3]讨论了广义对角占优矩阵及α-双对角占优矩阵的判定条件, 文献[4,5,6,7,8,9,10]给出了非奇异H-矩阵的判定条件, 而这些条件大都是充分条件, 使得其实际使用受到一定的局限。本文在文献[9,10]的基础上给出了广义α-双对角占优矩阵的一个充分必要条件, 改进和推广了已有的结论。

设Cn×n表示n阶复方阵集合, 为讨论问题方便引入下列记号:设A= (aij) ∈Cn×n, 记N={1, 2, 3, …, n}, Ri (A) =${\displaystyle \sum _{t\ne i,t\in {\rm N}}}$$\left|a{}_{it}\right|,S{}_i(A)=$${\displaystyle \sum _{t\ne i,t\in {\rm N}}}$$\left|a{}_{ti}\right|$;对α∈ (0, 1) 。

N1={i∈N| 0<|aii|≤αRi (A) + (1-α) Si (A) };N′1={i∈N|0<|aii|<αRi (A) + (1-α) Si (A) }。

${\rm N}{}_2=\left\{i\in {\rm N}||a{}_{ii}|>\alpha R{}_i(A)+(1-\alpha )S{}_i(A)\right\}$;${\rm N}{}_2^{´}=\left\{i\in {\rm N}||a{}_{ii}|\ge \alpha R{}_i(A)+(1-\alpha )S{}_i(A)\right\}$。

${\rm N}{}_0=\left\{i\in {\rm N}||a{}_{ii}|=\alpha R{}_i(A)+(1-\alpha )S{}_i(A)\right\}$。

定义1 设A= (aij) ∈Cn×n, 若存在α∈ (0, 1) 使得|aii|≥αRi (A) + (1-α) Si (A) , 则称A为α-对角占优矩阵, 记为A∈D0 (α) 。若每个不等号严格成立, 则A为严格α-对角占优矩阵, 记A∈D (α) 。若存在正对角矩阵X, 使AX∈D (α) , 则称A为广义严格α-对角占优矩阵。A∈GD (α) 。

定义2 设A= (aij) ∈Cn×n, 若存在α∈ (0, 1) 使得, 对∀i≠j (i, j∈N={1, 2, …, n})

|aii||ajj|≥[αRi (A) + (1-α) Si (A) ]×[αRj (A) + (1-α) Sj (A) ], 则称A为α-双对角占优矩阵, 记为A∈DD0 (α) 。若存在正对角矩阵X, 使AX∈DD0 (α) , 则称A为广义α-双对角占优矩阵, 记为A∈GDD0 (α) 。若A为不可约矩阵, 则A为不可约广义α-双对角占优矩阵, 记为A∈IGDD0 (α) 。

2 主要结论

定理1 设A= (aij) ∈Cn×n, N2≠∅ , α∈ (0, 1) 记$\delta {}_i=\frac{\alpha R{}_i(B)+(1-\alpha )S{}_i(B)}{|b{}_{ii}|}$, 若$|b{}_{ii}|>\alpha \left[{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|(1-\delta {}_j)\right]+(1-\alpha )S{}_i(B)$, 对∀i∈N1 (B) , j∈N2 (B) 成立, 则A∈GDD0 (α) 的充分必要条件是存在正对角阵X, 使B=AX= (bij) ∈Cn×n满足

$\begin{array}{l}|b{}_{ii}||b{}_{jj}|\ge \\ \left[\alpha \left({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t\right)+(1-\alpha )S{}_i(B)\right]\times \\ \left[\alpha \left({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|\delta {}_t\right)+(1-\alpha )S{}_j(B)\right]。\end{array}$

证明 充分性 对于∀i, j∈N1 (B) , i≠j。

$\begin{array}{l}\text{令}d{}_i=\{|b{}_{ij}|-\alpha \left({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t\right)+\\ (1-\alpha )S{}_i(B)\}/\alpha {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|。\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\text{上}\text{式}\text{可}\text{得}:|b{}_{ii}||b{}_{jj}|=\\ [\alpha \left({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|(\delta {}_t+d{}_i)\right)+(1-\alpha )S{}_i(B)]\times \end{array}$

$[\alpha \left({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|(\delta {}_t+d{}_j)\right)+(1-\alpha )S{}_j(B)]$,

取$d=\underset{i\in {\rm N}{}_1(B)}{{\displaystyle \min }}d{}_i$, 构造正对角阵$X{}_1=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}\left\{x{}_i|x{}_i=1,i\in {\rm N}{}_1(B)；x{}_i=\delta {}_i+d,i\in {\rm N}{}_2(B)\right\}$,

则B1=BX1= (b${}_{ij}^{(1)}$) ∈Cn×n, 满足∀i, j∈N1 (B) , i≠j时, 若${\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|=0‚{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|=0$,

$\begin{array}{l}|b{}_{ii}^{(1)}|\times |b{}_{jj}^{(1)}|=|b{}_{ii}||b{}_{jj}|\ge [\alpha {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+(1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{jt}|+(1-\alpha )S{}_j(B)]=\\ \{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|(\delta {}_t+d)]+(1-\alpha )S{}_i(B)\}\cdot \{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|(\delta {}_t+d)]+(1-\alpha )S{}_j(B)\}=[\alpha R{}_i(B{}_1)+(1-\alpha )S{}_i(B{}_1)]\cdot [\alpha R{}_j(B{}_1)+(1-\alpha )S{}_j(B{}_1)]。\end{array}$

若${\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|\ne 0,{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|\ne 0$。

$\begin{array}{l}|b{}_{ii}^{(1)}||b{}_{jj}^{(1)}|=|b{}_{ii}||b{}_{jj}|=\\ \{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|(\delta {}_t+d{}_i)]+(1-\alpha )S{}_i(B)\}\{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+\\ {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|(\delta {}_t+d{}_j)]+(1-\alpha )S{}_j(B)\}\ge \\ \{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|(\delta {}_t+d)]+(1-\alpha )S{}_i(B)\}\{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+\\ {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|(\delta {}_t+d)]+(1-\alpha )S{}_j(B)\}=\\ [\alpha R{}_i(B{}_1)+(1-\alpha )S{}_i(B{}_1)][\alpha R{}_j(B{}_1)+(1-\alpha )S{}_j(B{}_1)]。\end{array}$

当∀i, j∈N2 (B) , i≠j时,

|b${}_{ii}^{(1)}$||b${}_{jj}^{(1)}$|=|bii| (δi+d) |bjj| (δj+d) =

(|bii|δi+|bii|d) (|bjj|δj+|bjj|d) >

$\begin{array}{l}\{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B)}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B),t\ne i}|}b{}_{it}|(1+d)]+(1-\alpha )S{}_i(B)(1+d)\}\times \{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B)}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|(1+d)]+(1-\alpha )S{}_j(B)(1+d)\}>\{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B)}|}b{}_{it}|+\\ {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B),t\ne i}|}b{}_{it}|(\delta {}_t+d)]+(1-\alpha )S{}_i(B)(\delta {}_i+d)\}\times \{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B)}|}b{}_{jt}|+\end{array}$

${\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|(\delta {}_t+d)]+(1-\alpha )S{}_j(B)(\delta {}_j+d)\}=$[αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ]×[αRj (B1) + (1-α) Sj (B1) ]。

综上所述:∀i, j∈N, i≠j, 有

|b${}_{ii}^{(1)}$||b${}_{jj}^{(1)}$|≥[αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ][αRj×

(B1) + (1-α) Sj (B1) ]成立。

B1=BX1=AXX1∈DD0 (α) , 于是A∈GDD0 (α) 。

必要性:因为A∈GDD0 (α) , 则存在正对角矩阵X, 使B=AX= (bij) ∈DD0 (α) ,

即满足|bii||bjj|≥[αRi (B) + (1-α) Si (B) ][αRj (B) + (1-α) Sj (B) ], 于是

$\begin{array}{l}|b{}_{ii}||b{}_{jj}|\ge [\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|)+\\ (1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+\\ {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|)+(1-\alpha )S{}_j(B)]\ge \end{array}$

$[\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_j(B)]$。

定理2:设A= (aij) ∈Cn×n不可约, α∈ (0, 1) , ∀i∈N′1 (B) , j∈N′2 (B) 。

$\delta {}_i=\frac{\alpha R{}_i(B)+(1-\alpha )S{}_i(B)}{|b{}_{ii}|}$, 有$|b{}_{ii}|>\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|(1-\delta {}_j)]+(1-\alpha )S{}_i(B)$, 则

A∈IGDD0 (α) 的充分必要条件是存在正对角阵X, 使B=AX= (bij) ∈Cn×n, 满足

$|b{}_{ii}||b{}_{jj}|\ge [\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{jt}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_j(B)]$,

∀i, j∈N′1 (B) , i≠j, N2≠∅。

证明 充分性:对于∀i, j∈N′1 (B) , i≠j, 当t∈N0 (B) 时, $\delta {}_i=\frac{\alpha R{}_i(B)+(1-\alpha )S{}_i(B)}{|b{}_{ii}|}=1$, $[\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2(B)}|}b{}_{jt}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_j(B)]=[\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{jt}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_j(B)]$。

令$d{}_i=\{|b{}_{ii}|-\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t)-(1-\alpha )S{}_i(B)\}/\alpha {\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{it}|$。

$\begin{array}{l}|b{}_{ii}||b{}_{jj}|=\{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{it}|(\delta {}_t+\\ d{}_i))+(1-\alpha )S{}_i(B)\}\{\alpha [{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{jt}|(\delta {}_t+d{}_j)]+(1-\alpha )S{}_j(B)\}。\end{array}$

取$d=\underset{i\in {\rm N}{}_1^{´}(B)}{{\displaystyle \min }}d{}_i$构造正对角矩阵X1=diag{xi|xi=1, i∈N′1 (B) ;xi=δi+d, i∈N′2 (B) }, 则B1=BX1= (b${}_{ij}^{(1)}$) ∈Cn×n, 定理1的证明类似, 可知∀i, j∈N′1 (B) , i≠j时, 有|b${}_{ii}^{(1)}$||b${}_{jj}^{(1)}$|≥[αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ][αRj (B1) + (1-α) Sj (B1) ], 因为N2≠∅, 所以N′1 (B) ∪N2 (B) ∪N0 (B) ≠∅, ∀i, j∈N′1 (B) ∪N0 (B) , i≠j, 有|b${}_{ii}^{(1)}$||b${}_{jj}^{(1)}$|≥[αRi (B1) + (1-α) Si (B1) ][αRj (B1) + (1-α) Sj (B1) ]。又因为A是不可约矩阵, 则B=AXX1亦为不可约矩阵。故B1∈IDD0 (α) , 由于XX1为正对角矩阵, 所以A∈IGDD0 (α) 。

必要性 因为A∈IGDD0 (α) , 则存在正对角矩阵X, 使B=AX= (bij) ∈IDD0 (α) , |bii||bjj|≥[αRi (B) + (1-α) Si (B) ][αRj (B) + (1-α) ×Sj (B) ], ∀i, j∈N (B) , i≠j成立。当∀i, j∈N′1 (B) , i≠j时,

$\begin{array}{l}|b{}_{ii}||b{}_{jj}|\ge [\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{it}|)+(1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{jt}|)+(1-\alpha )S{}_j(B)]\ge \\ [\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne i}|}b{}_{it}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{it}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_i(B)][\alpha ({\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_1^{´}(B),t\ne j}|}b{}_{jt}|+{\displaystyle \sum _{t\in {\rm N}{}_2^{´}(B)}|}b{}_{jt}|\delta {}_t)+(1-\alpha )S{}_j(B)]。\end{array}$

3 实例

摘要：设A= (aij) ∈Cn×n, 若存在α∈ (0, 1) , 使i≠j (i, j∈N={1, 2, …, n}) , 有aiiajj>[αRi (A) + (1-α) Si (A) ]×[αRj (A) + (1-α) Sj (A) ], 则称A为严格α-双对角占优矩阵。首先推广严格α-双对角占优矩阵的概念到广义α-双对角占优矩阵;然后得到了判别广义α-双对角占优矩阵的一个充分必要条件, 改进和推广了已有的结论, 进一步丰富和完善了α-双对角占优矩阵的理论。最后举例说明了所给结果的优越性。

关键词：不可约矩阵,α-双对角占优矩阵,广义严格α-双对角占优矩阵

参考文献

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对角线的规律 篇5



关键词：波束形成;信号方向向量;对角载入;MVDR

中图分类号： TN911 文献标识码：A

自适应波束形成广泛地应用于雷达、系统识别、声纳和移动通信等领域［1-5］.MVDR自适应波束形成器在保持信号不变的约束下使噪声输出功率最小，具有良好的弱信号检测和高分辨力性能，因此得到广泛的应用.但是由于外部环境、信源、传感器阵列等诸多条件的复杂变化，导致信号方向向量出现偏差，使传统的MVDR波束形成算法的性能下降.为了克服各种误差引起的性能下降，一些学者近几十年进行了大量研究来提高自适应波束形成的稳健性，其中最具代表性的方法有3种：特征空间(ESB)法、线性约束(LCMV)法和对角加载(LSMI)法.特征空间法[6]具有较快的收敛速度，但它需要准确估计信号子空间维数，当子空间维数过估计或欠估计时算法失效；线性约束法[7]通过适当的约束条件使得自适应波束满足一定的稳健条件，但只适用于观察方向失配的情况；对角加载法：文献[8]对协方差矩阵沿其对角线加一正常数后再用采样协方差矩阵求逆方法求得自适应权值提高自适应波束形成器的稳健性.由于加载量被固定，不随期望信号的信噪比和导向矢量的误差变化而变化，当信噪比增加时，输出信干噪比会明显恶化.文献[9]采用最差性能最优化思想，提高了波束形成器的鲁棒性，但是该算法计算复杂度高，不便于工程实现；文献[10]采用矩阵锥消方式，通过对协方差矩阵点乘一个给定误差范围，提高波束形成器的稳健性，但是由于给定的误差范围不好控制，效果并不理想. 

湖南大学学报(自然科学版)2012年

第9期施荣华等：一种基于对角载入的鲁棒MVDR波束形成算法

本文考虑到方向向量最大允许偏差的情况，提出了一种新的基于对角载入的MVDR自适应波束形成算法.由于该算法是在最差性能下的优化问题，因此在一定范围内，对角加载量的大小对该算法的性能影响不大；同时在求解过程中进行降维处理，避免矩阵求逆，大大地降低运算量，便于工程实现.仿真实验验证了所提鲁棒算法的有效性和可行性.



4 结论

针对方向向量存在偏差时所导致传统MVDR波束形成器性能急剧下降的问题，本文提出了一种基于对角载入的鲁棒MVDR波束形成算法.该算法对协方差矩阵的估计误差进行约束，提高了算法的稳健性；在求解过程中进行降维处理，降低了计算量，易于实时实现.该算法有效地抑制了方向向量偏差对MVDR波束形成器输出性能的影响，具有较强的鲁棒性.仿真实验表明：与传统MVDR算法相比，所提算法具有更好的输出性能，在一定范围内对角载入因子的取值对所提算法的性能影响不大.

参考文献

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零陷展宽对角载入算法 篇6

关键词：MVDR,导向矢量,采样协方差矩阵,零陷展宽,对角载入,载入因子

0引言

波束形成技术被广泛地应用在雷达、无线通信领域[1,2,3,4]。其中, MVDR自适应波束形成算法, 因具有良好的分辨率和干扰抑制能力, 被广泛的使用。MVDR算法一般假定期望信号的导向矢量是精确已知的, 但在实际中, 由于指向误差、阵元位置误差以及各阵元特性不一致等因素影响, 假设的期望信号导向矢量可能不完全准确, 与真实值之间有失配误差, 从而导致MVDR算法性能急剧下降[5];同时在窄带条件下, MVDR算法在干扰方向形成的零陷较窄, 当出现快速移动的干扰时, 由于自适应权值的收敛速度比不上干扰的移动速度, 在干扰方向不能形成有效的零陷, 从而使MVDR算法失效。采用零陷展宽算法——协方差锥化 (CMT) [6,7]法在干扰方向形成较宽的零陷, 能有效地抑制快速移动的干扰。但是, 由于实际环境中存在各种误差, 协方差锥化法在实际使用中往往不能得到预期的结果。 因此, 寻找出一种既对各种误差有较强稳健性又对快速运动的干扰有抑制性的自适应波束形成算法是非常紧迫的。

近几十年来, 为了增强在各种误差下自适应波束形成算法的稳健性[8], 学者们进行了大量的研究。其中, 特征空间 (ESB) 算法、线性约束最小方差 (LCMV) 算法以及对角载入 (LSMI) 法是最具有代表性的算法。ESB算法[9]收敛速度比较快, 但它需要准确估计出信号子空间的维数;LCMV算法通过适当的约束条件, 控制某些方向波束的增益, 使自适应波束满足一定的稳健条件, 但它只适合用在观察方向出现失配时的情况;LSMI算法是一种简单有效的方法, 但是载入因子难以确定[10,11]。

本文针对MVDR算法在各种误差下的性能下降及干扰快速变化时算法失效的问题, 将对角载入算法与零陷展宽算法结合在一起, 提出了零陷展宽对角载入算法。同时根据载入因子与采样协方差矩阵间的关系来确定载入因子。零陷展宽对角载入算法利用对角载入算法提高波束形成对系统误差的稳健性, 同时利用零陷展宽算法能在干扰方向形成较宽的零陷, 解决了干扰快速移动时, 算法失效的问题。

1 传统算法描述

1.1 阵列信号模型

在窄带条件下, 考虑M元均匀线阵, D个互不相关的信号。其中, 期望信号波达方向是 θ0, D - 1 个干扰信号的波达方向分别是{  θ1, θ2, ⋯, θD - 1  }, 有M > D 。

第l个阵元端接收的信号为:

式中:si (t) 为信号的复包络;λ 为信号的波长;d为阵元间距;nl (t) 为第l个阵元上均值为0、方差 σn2为1的白噪声。

阵列接收的信号表示成向量的形式为:

式中:X (k) =[X1 (k) , X2 (k) , ..., XM (k) ]T为接收向量;A =[a (θ0) , a (θ1) , ..., a (θD - 1) ] 为阵列流型;a (θi) 为信号i的导向矢量;S =[s0, s1, ⋯, sD - 1]T为信号源;a (θ0) 为期望信号的导向矢量;s0 (k) 为期望信号;i (k) 为干扰信号向量;n (k) 为噪声向量。

阵列输出为:

式中:w =[w1, w2, ⋯, wM]T为权重向量, (⋅) T表示矩阵的转置, (⋅) H表示矩阵的共轭转置。

1.2 MVDR波束形成算法

MVDR波束形成算法使干扰和噪声受到抑制而在阵列输出中的功率最小, 又能使期望方向上的信号功率保持不变。其代价函数为:

式中Rx= E{X (k) X (k) H}为接收信号的协方差矩阵。

利用Lagrange乘子算法求出最优权重向量为:

在实际应用中, Rx一般难以得到, 往往用采样协方差矩阵Rx̂代替Rx, 假设快拍数为K, 则:

此时MVDR波束形成算法又称采样协方差矩阵求逆 (SMI) 算法, 则SMI算法的权重向量为:

从式 (5) 可看出在MVDR算法中, 需要精确知道期望信号的导向矢量以及接收信号的协方差矩阵。然而, 在实际中, 由于指向误差、阵元位置误差以及各阵元特性不一致等因素影响, 使得导向矢量存在误差, 同样, 在实际应用中, 接收数据是有限长的, 因此采样协方差矩阵Rx̂代替接收信号的协方差矩阵Rx也会产生一定的误差。导向矢量和协方差矩阵误差使得MVDR算法的性能下降, 尤其在接收数据中包含期望信号时, 算法的稳健性更差。

除此之外, 在窄带条件下, 算法在干扰方向形成的零陷较窄, 当出现快速移动的干扰时, 由于自适应权值的收敛速度比不上干扰的移动速度, 在干扰方向不能形成有效地零陷, 从而使MVDR算法失效。

针对MVDR算法在存在导向矢量误差、协方差矩阵误差, 以及存在快速运动的干扰时, 算法稳健性变差和干扰零陷过窄的情况, 本文提出了一种稳健的MVDR算法——零陷展宽对角加载算法。

2 稳健的MVDR算法

2.1 零陷展宽对角载入算法

零陷展宽对角载入算法是把零陷展宽算法和对角载入 (LSMI) 算法相结合形成的一种稳健的自适应波束形成算法。该算法解决了干扰在快速运动时, 干扰零陷过窄的问题, 又解决了协方差矩阵误差和导向矢量误差存在时, 算法稳定性变差的问题。因为该算法具有零陷展宽算法能在干扰方向形成较宽零陷的特点, 又具有LSMI算法具有较高的稳健性的特点。

LSMI算法是用对角载入的协方差矩阵代替常规的采样协方差矩阵, 即:

式中 ξ 为对角载入因子。

CMT零陷展宽算法是通过一个锥化矩阵TMZ对采样协方差矩阵进行扩展。扩展后的采样协方差矩阵为:

式中:“ｏ”为Hadamard积, TMZ第m行n列的元素可表示为:

式中 Δ 为零限展宽参数。

通过式 (8) 和式 (9) 可得到零陷展宽对角载入算法的协方差矩阵RC - T, 即:

零陷展宽对角载入算法权向量为:

从式 (12) 中可以知道零陷展宽对角载入算法需要知道期望信号的导向矢量、扩展后的采样协方差矩阵R̂MZ以及对角载入因子 ξ。但是对角载入因子 ξ 一般很难确定, 而且对角载入因子的大小会影响自适应波束的效果。当载入因子过小时, 波束旁瓣的高度不能有效的控制;当载入因子过大时, 对干扰抑制效果的灵敏度会有所影响。针对以上情况, 本文提出一种动态的确定对角载入的方法。

2.2 确定对角载入因子

首先, 对协方差矩阵Rx进行特征分解, 可写成如下形式:

式中:σi2代表第i个信号的功率, ui是Rx特征值对应的特征向量;Λ = diag[σ12, σ22, ..., σD2] 为对应信号的功率构成的对角矩阵。

采样协方差矩阵和真实的协方差矩阵Rx之间的关系:

式中:E是均值为0, 方差为1 的矩阵;ε 是个大于零的常数, 表示采样协方差矩阵的估计误差。

对角载入后的协方差矩阵为:

则对角载入后协方差矩阵的逆矩阵为:

又假设 ε|| E <<|| Rx+ ξI||, 且代入式 (13) ~ (16) 中则Rdl-1可分解成:

式 (17) 第一个小括号中的数据接近Rx, 所以对角载入因子 ξ 应该小于Rx的对角元素。即:

式 (17) 中大括号部分导致了自适应波束性能降低。为了得到最优权, 希望有:

由于 σn2> 0 , 根据式 (18) 和 (19) 可得:

在实际环境中, 由于真实的协方差矩阵Rx是无法得到的, 因此估计误差 ε 不可能确定。只能通过采样协方差矩阵Rx̂估计真实协方差矩阵Rx的对角元素和估计误差 ε。

真实的协方差矩阵Rx对角元素值相同, 但估计协方差矩阵每个元素都有误差。误差矩阵E是均值为0, 方差为1 的矩阵, 因此, Rx的对角元素, 可以利用的对角元素求平均得到, 而 ε 可以通过的对角元素的标准偏差得到。则对角载入因子应满足:

式中:std表示标准偏差;diag表示矩阵的对角元素;trace表示矩阵的迹。因的对角元素的std计算简单, 取不等式的左边等号计算对角载入因子, 即对角载入因子为:

2.3 算法流程

零陷展宽对角载入算法流程总结如下:

(1) 通过式 (6) 计算出采样协方差矩阵;

(2) 通过式 (22) 计算出对角加在因子 ξ 的值;

(3) 利用式 (6) 和式 (10) , 通过式 (9) 计算出扩展后的采样协方差矩阵;

(4) 利用式 (9) 和式 (22) , 通过式 (11) 计算出零陷展宽对角载入算法的协方差矩阵RC - T;

(5) 在期望信号 θ0已知的情况, 信号的导向矢量a (θ0) 是已知的, 利用RC - T和a (θ0) 通过式 (12) 求出零陷展宽对角载入算法权向量wCMT - LSMI。

3 实验仿真及结果分析

采用16 元均匀线阵, 阵列间距为半波长, 快拍数K =100, 干噪比INR=45 d B, 信噪比SNR=10 d B, 假设期望信号角度DOA=0°, 干扰信号角度DOA=-35°。

理想条件:假设期望信号角度与信号实际到达角度间误差为0°, 且训练数据中不包含期望信号。

实际条件:信号的实际到达角度DOA=1°, 与假设的期望信号角度相比偏差1°, 且训练数据中包含期望信号。

仿真一:对角载入因子的值不同时, LSMI算法的性能。

因为对角载入因子很难求, 一般根据经验选择特定的值, 典型的就是 ξ = 10σn2, 本文中 σn2为1, 所以仿真中取 ξ =10, 更具一般性。仿真结果如图1 所示。

从图1 (a) 中可看出, 在理想条件下, ξ= trace (Rx) /M在干扰出形成的零陷最窄, 其他两种情况下零陷接近;从图1 (b) 中可看出, 在实际条件下, ξ =10 时, 阵列主瓣最高增益没有指向实际角度1°, 算法性能有所下降, 而对其他两种情况算法性能影响不大。

所以结合图1 的方向图可以得出时, 本文算法比一般的使用固定加载值的算法要优越。

仿真二:不同算法阵列方向图比较。

NVDR、LSMI及本文算法的仿真结果如图2 所示。

从图2 (a) 中可以看出, 在理想条件下, 三种算法在期望方向上都形成了高增益, 并且在干扰方向上都形成了较深的零陷。因此达到了提取期望信号并且抑制干扰的目的。但是MVDR算法的副瓣较高, 而且形成的零陷较窄, 而本文所提零陷展宽对角载入算法不仅副瓣较低而且零陷展宽效果明显优于其他两种算法。

从图2 (b) 中可以看出, 在实际条件下, MVDR算法在期望信号上产生零陷, 使期望信号被当干扰抑制掉了, 而LSMI算法和本文所提零陷展宽对角载入算法在期望信号方向上的增益很高, 具有很高的稳健性, 并且零陷展宽对角载入算法在干扰方向形成效果优于LSMI算法的展宽零陷。

仿真三:不同快拍K及输入信噪比时阵列的输出信干噪比。

考虑训练数据中包含期望信号时, 信号到达角无偏差, 和偏差为1°时阵列的输出信干噪比SINR ( θs= 1∘代表偏差为1°) 。仿真结果如图3 所示。

从图3 (a) 中可以看出, 当没有误差时, 本文算法和MVDR算法的变化趋势相同, 即快拍数越少输出的信干噪比SINR与理想SINR之间的差距越大, 越大越接近于理想值, 当两方法快拍数K相同时, 本文算法的输出SINR高于MVDR算法。当存在误差时, MVDR算法的输出的SINR变小, 而对本文算法的输出SINR影响较小, 可见对角载入算法提高了MVDR算法的稳健性, 尤其在快拍数较少及期望信号存在误差时, 性能改善非常明显。

图3 (b) 中期望信号存在偏差时, 随着信噪比SNR的增加, MVDR算法的输出信干噪比性能下降越明显, 而本文算法对信号方向偏差的敏感度较低, 输出的信干噪比更接近理想值。

可见本文算法不仅能够提高MVDR波束形成器在小快拍、高信噪比时的稳健性, 而且能够提高它对导向误差的稳健性。

4 结论

针对MVDR波束形成算法在实际应用环境中性能下降的问题, 本文提出了零陷展宽对角载入算法, 该算法把零陷展宽算法和LSMI算法结合在一起, 然后根据协方差矩阵的估计误差来自适应地确定对角载入因子。仿真结果表明:该算法在低快拍数, 期望信号存在偏差即导向矢量存在误差的情况下仍具有较好的波束形成性能, 且在干扰方向上形成较宽的零陷。它能改善干扰的入射方向变化过快, 可能使得干扰移出天线阵方向图零陷位置而无法得到有效的抑制的情况。总之, 该算法是一种稳健的且性能优越的波束形成算法。

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对角线的规律 篇7

关键词：有理矩阵,有理正交矩阵,伪有理正交矩阵,算法,程序

0 引言

实对称矩阵的正交对角化具有丰富的性质与广泛的应用, 但是其求解过程却十分复杂, 致使人工计算力不能及, 所以需要计算机辅助实现。有理矩阵是常用的矩阵, 尽管已有的数学软件Matlab、Mathematica、Maple等能够处理实对称矩阵在实数域上的正交对角化问题, 但是这些软件不仅存在系统庞大、使用不便、输出结果不直观等不尽人意的地方, 而且也不能精确地处理有理对称矩阵在有理数域上的正交对角化问题。例如对于矩阵

人工与我们设计的软件都可求得:

使得UTAU=D。但是在“矩阵工作室”———Matlab中所求的结果是:

经验算, 此结果存在较大的误差.因此非常有必要研究有理对称矩阵在有理数域上正交对角化的算法及程序, 本文尝试这样的工作。

1 相关概念及结论

关于矩阵正交对角化的详细内容请参阅参考文献[1]或[2], 本文只概述主要的概念及结论.

定义1设A= (aij) 是数域F上一个n阶矩阵。称行列

定义2设A是数域F上的n阶矩阵, 称fA (x) 的根λ为矩阵A的特征根。

定义3设A是数域F上的n阶矩阵, 如果存在F上的可逆矩阵P与F上的对角形矩阵D, 使得P-1AP=D, 那么即称A在数域F上可以对角化。

定义4 n阶实矩阵U叫做一个正交矩阵, 如果UTU=UUT=I。

定义5设A是n阶实对称矩阵, 如果存在正交矩阵U使得UTAU为实对角形, 那么即称A在实数域上可以正交对角化。

定理1实对称矩阵的特征根皆为实数。

定理2设A是一个n阶实对称矩阵, 那么存在一个n阶正交矩阵U, 使得UTAU是实对角形。

参考文献[2]给出了使n阶实对称矩阵A可以正交对角化的正交矩阵的求法:

(1) 求出A的全部互不相同的特征根λ1, …, λr。

(2) 对于每个λi, 解齐次线性方程组 (λiI-A) X=0, 求出一个基础解系ξi1, …, ξisi。

(3) 用施密特正交化方法将ξi1, …, ξisi正交化, 然后再单位化而得到ηi1, …, ηisi, 那么U= (η11, …, η1si, …, ηr1, …, ηrsi) 。

定理2告诉我们, n阶实对称矩阵一定能在实数域上正交对角化, 但是n阶有理对称矩阵能否在有理数域上正交对角化尚无结论, 并且人工计算也非常困难, 这也是我们研究使用计算机实现之的意义所在。

2 本文约定的术语

(1) 有理矩阵:有理数域上的矩阵称为有理矩阵。

(2) 伪正交矩阵:如果n阶实矩阵T满足TT′=T′T=D (D是对角形矩阵) , 则称T是伪正交矩阵。特别地, 当D是单位矩阵时T即是正交矩阵。

(3) 伪有理正交矩阵: (2) 中, 当T、D都是有理矩阵时, 称T为伪有理正交矩阵。

(4) 有理正交矩阵: (2) 中, 当T、D都是有理矩阵且D是单位矩阵时, 称T为有理正交矩阵。

(5) 有理正交化:设T是伪正交矩阵, 如果T的列单位化后仍是有理矩阵, 那么T是有理正交矩阵, 此时称T是可有理正交化的。

(6) 伪有理正交对角化:对于有理对称矩阵A, 如果存在伪有理正交矩阵T, 使得T-1AT为对角形, 则称A能伪有理正交对角化。

(7) 有理正交对角化:对于有理对称矩阵A, 如果存在有理正交矩阵T, 使得T-1AT为对角形, 则称A能有理正交对角化。

3 算法设计

3.1 算法设计思想

首先, 之所以Matlab、Mathematica、Maple在计算有理矩阵有理正交对角化问题时产生了误差, 是因为它们的四则运算是建立在实数基础上。因此要精确处理有理矩阵有理正交对角化问题, 就必须以直接的分数运算设计算法, 亦即需要设计分数四则运算子函数去代替程序语言中的运算符号.另外与之相关的问题, 为运算方便, 可采用两个矩阵分别存储有理矩阵的分子与分母。

其次, 定理2告诉我们任一n阶实对称矩阵A都是可以正交对角化的, 这是因为实对称矩阵的特征根都是实数.然而尽管有理对称矩阵也是实对称矩阵, 但是却无法肯定其特征根必然是有理数, 这就给有理实对称矩阵的有理正交对角化带来了困难, 也就是说实对称矩阵正交对角化的方法不完全适用于有理对称矩阵有理正交对角化, 需要做如下修改:

(1) 设A是有理对称矩阵, 使用有理矩阵有理相似对角化的算法[3]判定A能否有理对角化, 若能则求出其所有的有理特征根及相应的特征子空间的基础解系。

(2) 对每个基础解系施行正交单位化。

再次, 由于有理对称矩阵能否正交对角化可能出现的情况较多, 所以我们约定了上述若干术语用于区分可能的各种情况。

3.2 主算法根据上述分析, 设计有理正交对角化的算法如下:

S1.输入一个n阶有理对称矩阵A (其元素的分子、分母分别存储在两个矩阵a、b中) 。

S2.调用特征多项式子函数求出A的特征多项式fA (x) 。

S3.调用特征根子函数求出fA (x) 的有理特征根。

S4.判断A的所有特征根是否都为有理数, 若是, 则转S5。否则, 输出有理矩阵A在有理数域上不可正交对角化, 算法结束。

S5.调用特征向量子函数, 求出有理特征根所对应的特征向量。

S6.判断A的所有有理特征根的代数重数与几何重数是否相等, 由此确定A是否可以有理相似对角化.为此, 设λ1, …, λr是A所有的特征根, 其代数重数依次为s1, …, sr, 判定方法如下:

调用求齐次线性方程组基础解系子函数, 求出 (λkI-A) X=0的一个基础解系ξk1, …, ξktk。

if (sk==tk) continue;else输出A不能有理相似对角化, 算法结束。

}转S7。

S7.施密特正交化:

S7.1.调用正交化子函数, 将特征根λi的特征子空间的基础解系施行正交化, 以这些向量为列, 得到一个n阶矩阵, 即为伪有理正交矩阵T。

S7.2.调用单位化子函数, 判断正交化后的特征向量的模是否都为有理数, 若是则施行单位化即得到一个规范正交组, 由此即可组成有理正交矩阵U, 转S8。否则输出有理矩阵A的伪有理正交矩阵T与对角矩阵D, 算法结束。

S8.输出有理矩阵A的伪有理正交矩阵T或有理正交矩阵U, 输出对角矩阵D。算法结束。

3.3 子算法

关于特征多项式、特征根、线性方程组基础解系的算法的理论依据及其中各子算法的详细描述请参见文献[3], 本文只是列出基本步骤。

3.3.1 特征多项式的算法

在S2中需要求矩阵A的特征多项式, 具体步骤如下:

(1) 调用方阵乘积与求矩阵迹的子函数计算A的i (i=1, 2, …, n) 次幂及对应的迹, 并将迹的分子、分母对应存储于两个矩阵h、l中。

(2) 调用生成矩阵子函数生成矩阵A1 (其元素的分子、分母分别存储在二维数组c1、c2中) 和矩阵A2 (其元素的分子、分母分别存储在二维数组c3、c4中) 。

(3) 调用求矩阵逆子函数求A1-1, 并将A1-1元素的分子、分母存储于矩阵c1、c2中。

(4) 求A1-1A2, 所得特征多项式系数ai (i=0, 1, …, n-1) 的矩阵表示, 此时, 特征多项式最高次项系数为an=1。

3.3.2 特征根的算法

在S3中需要求出fA (x) 的有理特征根及其重数, 基本步骤如下:

(1) 求出特征多项式最高次项系数an的所有因数sk和常数项a0的所有因数ri。

(2) 判断|sk|是否等于|ri|, 当|ri|≠|sk||时, 根据文献[3]中定理2及其推论判断x=ri/sk或-ri/sk是否为可能的有理根, 若是则转入 (3) 。

(3) 调用综合除法函数判断x是否为特征多项式的根, 若是则继续使用综合除法计算其重数。

3.3.3 线性方程组基础解系算法

根据求齐次线性方程组解空间理论依据, 如将特征根λk的特征方程组 (λkI-A) X=0的系数矩阵化简为阶梯形, 那么λk的几何重数即为n-r, 并且解向量:

即为λk特征值空间的基础解系。

3.3.4 正交化的算法

在S7.1中需要将特征根λi的特征子空间的基础解系η1, …ηk施行正交化, 如果设正交化后的正交组为α1, …αk, 那么根据施密特正交化方法得:

于是用二维数组a存储特征向量元素的分子、a1存储特征向量元素的分母、b存储正交组元素的分子、b1存储正交组元素的分母, g1存储特征根的重数, n存储矩阵A的阶数, 那么据 (1) 可设计正交化的算法如下:

/*动态定义 (n+1) * (n+1) 维长整型数组t、t1, 定义语句此处省略*/

3.3.5 单位化的算法

在S7.2中需要对伪有理正交矩阵T进行单位化, 亦即对3.3.4所得到的每个αi进行单位化, 设βi= (|αi|) 2, ωi为αi单位化后的正交基, 则当时αi的模为有理数, αi可进行单位化, ωi=αi/αi。

于是用二维数组a存储αi元素的分子、b存储αi元素的分母、a3存储正交基元素的分子、b3存储正交基元素的分母, g1存储特征根的重数, n存储矩阵A的阶数。那么单位化的算法如下:

4 计算结果

笔者根据以上算法设计了C语言程序 (限于篇幅, 程序代码略去) , 下面给出两个计算例子:

例1.对于矩阵A=

存在伪有理正交矩阵T=

使得T-1AT=

程序运行时间:0.172000秒。例2.对于矩阵A=

存在伪有理正交矩阵T=┏-1 1/2 2┓

使得T-1AT=

即A可以有理正交相似对角化.程序运行时间:0.422000秒。┏1 0 0┓┃0-2 0┃┗0 0 4┛

参考文献

[1]张禾瑞, 郝炳新.高等代数[M].5版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]王萼芳, 石明生.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社, 2003.