对角线约束

对角线约束（精选3篇）

对角线约束 篇1

0 引言

波束形成技术广泛应用于声纳、雷达和通讯系统中, 长久以来研究者们致力于优秀算法的研究, 其中MVDR、MUSIC和ESPRIT的方法不断将波束形成技术推向更高的高度。在波束形成器的设计过程中, 信号的向导矢量以及空域谱矩阵均采用理想的模型, 但是在现实使用中波束形成器是按照离散的步进方式改变向导矢量进行空域扫描, 并且采用快拍采样协方差的方法估计空域谱矩阵。这将会造成波束形成器的失配, 除此之外还有阵列扰动, 波达方向失配等失配方式, 都将造成波束形成的性能损失。

众多学者在增强波束形成器的鲁棒性方面也做出了许多卓越的成就。COX等人提出了一种对角加载的方法[1], 使得波束形成器在失配时更加稳健。Feldman等人提出了基于特征空间方法[2], 但是当子空间维数不确定或者SNR较低时, 该方法有较为严重的性能衰落。Gershman等人基于加宽波束零陷带的思想, 提出了独立数据微分约束法[3]。Bell等人提出基于贝叶斯方法的自适应算法, 能在阵列接收信号与期望信号DOA的先验信息之间取得一种平衡。其中, 对角加载方法是最为常见一种, 但是加载量的确定一直是一个比较困难的问题。文献[4]分析了对角加载对自适应阵列SINR和INR性能的影响, 研究加载量的门限选取问题, 该方法是对预计的SINR和INR的水平有有足够的信息, 而选择一个固定的适合的对角加载量。但是在现实中没有足够的先验信息来确定固定的加载量。文献[5]研究波束畸变的根本原因, 根据接收信号协方差矩阵的结构特点, 讨论了小特征值λ与加载量的关系。但是在门限的选取和加载量的确定仍然没有明确的说明。

1 基于二次型约束的对角加载

假设线性均匀阵列, 阵元数为M, 有K个不相干的信号源。

信号模型:

其中, X (t) =[x0 (t) , x1 (t) , ..., xM-1 (t) ]T, A=[a (θ1) , a (θ2) , ..., a (θk) ], a (θ) 为阵列流矢量, N为背景噪声。

阵列输出:

其中, w=[w1, w2, ..., wM]T, 为阵列信号的加权矢量。

输出功率谱:

其中R为接收信号的协方差矩阵R=E[x (t) xH (t) ], 在现实实现中, 通常采用快拍采样估计其协方差矩阵。

最小方差无畸变响应 (Mvdr) 的最优权矢量

信号无畸变响应条件下, 高斯白噪声的阵列增益。根据参考文献[6], 定义敏感度

可见敏感度与高斯噪声增益成反比。T=1/β, 所以当白噪声阵列增益增加时, 敏感度相应减小。对于一个N元阵列, 最大的白噪声增益为N, 即均匀加权的时候。故任意一个非均匀加权的阵列对参数的变化都更加敏感。

所以针对失配问题, 在阵列设计时, 增加一个敏感度约束, 即TT0。

则, 二次型约束优化问题可以表示为,

根据拉格朗日乘子算法解得

上式与参考文献[7]中加载模型一致。同时可以看出, 加载水平λ与T的选择有关。在前面提到的文献中, 加权水平都是根据信号先验信息直接给出的, 并没有将其与加权的模的原约束值以及敏感度T联系起来。

下面将通过二次型约束问题, 求出最优加载值与敏感度以及加权模值得关系。

在上式中, 施加的一次约束条件, 是约束期望信号无畸变的通过波束形成器, 但是在现实实现中, 接收信号是由可能的多个期望信号、干扰信号以及噪声复合的信息, 为了使全部的期望信号按照一定的准则通过波束形成器, 获得最佳的波束形成, 需要施加更多的约束条件。那么该问题的一次约束就转化为了灵活度更大、适用性更广的线性约束问题。下面将通过研究二次型线性约束问题, 确定最佳的加载水平。

LCMV优化问题:

一次约束条件问线性约束:

二次约束条件:

其中, C是一个N×M维的约束矩, g为约束值。例如, 如果希望感兴趣的K个信号无畸变地通过波束形成器, 则此时的约束矩阵C=[a (θ1) , a (θ2) , ..., a (θK) ], 约束值g=[1, 1, ..., 1]Tk×1。

首先研究T0所允许的取值范围。

先解出等式约束问题, 即wHw=T0。

线性约束的一个等效的实现结构为广义旁瓣对消器[7]。则把最优解wopt表示为广义旁瓣对消器的形式,

其中PC是wopt向约束子空间的投影PC=C[CTC]-1CH, PC⊥是wopt向约束空间的正交空间投影。

所以

故, 有

因此,

即

所以设置的约束值不能小于gH (CHC) -1g。

现在解优化问题,

由Lagrange乘子算法解出,

定义

并为了强调不等式约束关系, 定义

有广义旁瓣对消结构, 最优权矢量可以表示如下:

其中, 阻塞矩阵B满足B HC=0。注意B并不是唯一的, 构造B的一个方法是PC⊥来确定, 并且结果满足B H B=I,

当λ>0时, 随着λ的增加, 模减小, 证明如下:

首先把式 (22) 写为

其中, Rz=BHRB, 是z的谱矩阵, z是阻塞矩阵的输出, 且pz=BHRwq,

则权矢量的模的平方可以表示为

当λ≥0时, 对角加载数据矩阵 (R+λI) 是正定的, 在上式的中的导数值是负值。即λ>0时, 权矢量的模随着λ增大而减小。

现在求满足不等式的约束情况的λ:

接下来将使用数值方法求解对角加载量的与二次型约束之间的关系。

当λ=0时, 假设有, 可以用一个迭代过程求解约束方程

开始有λ0=0;令λ1=λ0+Δλ且有

每一次迭代, 计算, 直到满足上面等式, 求出最优的加载量λopt。

算法总结:

(1) 由二次型约束构建线性约束问题;

(2) 由约束条件确定二次约束的门限值T0;

(3) 构造阻塞矩阵B, 使其满足BHC=0, , 并且求出wq与表达式;

(4) 根据求得的公式和条件, 使用迭代法求出最优加载量λopt。

2 仿真分析

仿真1, 采用16阵元均匀线阵, 阵列间距为半波长, , 背景噪声为高斯白噪声。DOA (波达方向) 分别取-20, -10, 0, 20, 30, 60。期望的DOA为0, 快拍次数为1 000。比较在T0条件下对角加载前后的无畸变约束下波束形成方向图。这里取T0=0.15, 因为无畸变约束下的白噪声最大增益为均匀加权时的增益N, 对于任意非均匀加权, 都有。

由图1~4可以看出, 在较低信噪比的情况下, 阵列信号的扰动不是很明显, 加载前后的波束方向如没有明显变化, 但是, 随着信噪比的提高, 阵列信号失配逐渐增大, 波束方向图失真也更加严重, 由图4可以清楚的看到, 加载前方向图严重失真, 几乎无法获得期望的DOA, 而加载后的波束方向图仍然具有良好的保形性。对失配环境具有较好的稳健性。再者, 比较不同信噪比条件下, 加载后的波束方向图, 不管信噪比如何变化, 加载后的波束方向图都没有太大的变化, 所以在不知道信号先验信息的情况下, 二次型约束最优加载具有更好的适用性。

仿真2, 取快拍次数N=40, 其他仿真条件与仿真以相同, 比较SNR=-10, 10情况下, 加载前后的波束方向图。

如图5所示, 在快拍次数较少时, 即使在较低的信噪比的情况下, 加载前已不能较好的实现波束形成, 而加载后的情况有明显改善;如图六示, 并与图3比较, 在快拍次数较多的情况下, 加载前后的波束方向图相近, 只是加载后的保形性更好, 但是, 在快拍较少的情况下, 加载前的波束形成已经失效, 而加载后的波束方向图依然保持较好的性能。

3 结论

通过以上的仿真分析可知, 在估计协方差矩阵的采样快拍次数有限, 且信号的先验信息未知的情况下, 通过二次型约束确定的最优加载量, 能够有效的提高波束形成的稳健性, 并且由于其不需要知晓信号先验信息, 所以该方法具有更广泛的适用性和灵活性。

参考文献

[1]H.COX Resolving power and sensitivity to mismatch of optimum array processors[J].J.Acoust.Soc.Am., vol.ASSP-54, pp.771-785, September 1973.

[2]Feldman D D, Griffith L J.A project approach for robust adaptive beam-forming[J].IEEE Trans Signal Processing, 1994 (42) :867-876.

[3]Gershman A B, Nickel U, Bohme J F.A adaptive beam-forming algorithms with robustness against jammer motion[J].IEEE Trans Signal Processing, 1997 (45) :1878-1885.

[4]陈晓初.自适应阵对角加载研究[J].电子学报, 1998, 26 (4) :29-35.

[5]张小飞, 徐大专.自适应对角线加载波束形成算法[J].中国空间科学技术, 2007, 4 (2) :66-71.

[6]Harry L.Van Trees.Optimum Array Processing Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory[M].ISBN 978-7-302-14760-2.

[7]张小飞, 汪飞, 徐大专.阵列信号处理的理论与应用[M].北京:国防工业出版社, 2010.

[8]谢斌斌.稳健波束形成算法研究[D].成都:电子科技大学, 2012.

[9]蒋留兵, 罗良桂, 车俐.频率不变约束的对角加载稳健宽带波束形成算法[J].现代雷达, 2012, 12 (34) :41-45.

[10]史英春, 钟子发, 邹翔, 等.基于范数优化的对角加载稳健自适应波束形成[J].电路与系统学报, 2013, 18 (1) :218-224.

发现筝形对角线性质 篇2

筝形的对角线也有一些特殊的性质. 连接AC、BD交于点O.

猜想1:AC平分∠BAD,∠BCD.

证明:在△ABC和△ADC中,

猜想2:AC⊥BD.

证明:在△ABO和△ADO中,

猜想3:AC平分BD.

证明:由上面已证得△ABO≌△ADO.

∴BO=DO,

即AC平分BD.

当然,筝形的对角线还可以帮助我们求出面积,得出

进一步,我们还可继续思考更为特殊的四边形———菱形、正方形的对角线的性质,老师告诉我们,这些都是八年级即将要学习的内容. 图形的世界真是有趣,就让我们一起期待吧!

教师评析:小作者利用全等三角形的判定严谨地推出了筝形的性质,推理规范、有序有力,并且由对角线垂直性质拓展到筝形的面积公式,关联式探究和学习是十分有益的数学思维活动.将数学知识,特别是不同领域的数学概念或性质恰当地组合、关联常常能产生新的性质、新的发现.从这个角度看,全等三角形沟通着线段数量关系、角的数量关系,有时还能带来线段的位置关系,是在平面几何学习探究过程中的一个有力的工具.作者文末还思辨地“从一般走向特殊”,猜想了菱形、正方形的性质,并且满怀期待……数学,能让同学们感到有趣、 充满期待,也是我们当教师的欣慰!

对角线约束 篇3

但很可惜, 康托尔关于实数集不可数的对角线反证法是无效的, 文献[2][3]都曾对此作过一定论述, 并正确指出了其漏项问题。下面我们先对该方法作一简单介绍与分析, 并给出一个实数集可数的构造性证明, 再重点考察其无效的根本原因, 最后对“理查德悖论”及哥德尔不完全定理, 进行尝试性的探讨。事实上, 这些问题也一直是争议不断, 更早如维特根斯坦, 就既不承认康托尔的证明, 也不承认哥德尔的不完全定理。

一、康托尔对角线反证法

康托尔的论证大致如下:假设 (0, 1) 可数, 使之与自然数集建立一一对应关系, 可得一无穷序列——

1→0.a11a12a13a14…a1n…

2→0.a21a22a23a24…a2n…

……

n1 n2 n3 n4 nn…

……

然后构造数b=0.b1b2a3b4…bn…, 其中bn这样取值:当ann等于1时bn等于2, 当ann不等于1时, bn等于1。康托尔认为, 数b属于 (0, 1) 却又不是上面序列中的任何一个, 因此 (0, 1) 不可数。既然实数子集 (0, 1) 不可数, 实数集也必然不可数。

但问题是, 假如康托尔方法有效, 有理数集也将不可数:假设 (0, 1) 内的有理数可数, 将其与自然数集建立一一对应关系, 可得一形式完全同上的无穷序列, 只是其中的每一个都是有理数而已。但是, 我们另外还要求a11=…=ann=…=1:通过位置调整这是可以做到的, 且不会造成序列的增减, 因此不影响序列的可数性。仍依据前面的取值规则, 可得数b=0.222…;显然, 按康托尔的逻辑, b=0.222…属于 (0, 1) 内的有理数却又不是上面序列中的任何一个!因此, (0, 1) 内的有理数不可数, 进而整个有理数集不可数!

如此一来, 康托尔对角线法的荒谬性就凸显出来了, 因为在康托尔理论中, 有理数集可数, 是千真万确的[5]:有理数集的另一等价定义是全体分数的集合, 也即Q={qp︱p为整数, q为正整数, 且p与q无公因子};全体有理数可按∣p∣+q的顺序由小到大排列, ∣p∣+q相同的再按p的顺序排列, 这样就有:

每个有理数必在此序列中。故有理数集可数。

可是这个论证并不严谨, 在上述定义下, 完整的论证要点应该如下:首先, ∣p∣+q相同而按p排序的任何一个序列, 都是有理数集的子集, 且一定可数;其次, ∣p∣+q不相同, 则序列不同, 子集不同, 有理数集是所有子集的并集;再次, 虽然子集有无穷多, 但却是可数个;最后, 按康托尔的理论, 可数个可数集的并集仍为可数集。故有理数集可数。

二、实数集可数的构造性证明

不过, 否定康托尔对角线法的有效性, 并不能否定实数集不可数的结论。虽然文献[3]给出了一个实数集可数的证明, 但与上述有理数集可数的证明一样, 论证并不严谨, 下面我们给出一个严谨且更简洁的构造性证明。

对于任一自然数n, 把“0.”添加在其前面, 就可以构造一个对应的小数, 比如“1”对应小数“0.10000……”。对所有自然数如法炮制, 则可构造出实数子集[0.1, 1) 。当然, 有些小数会有重复, 比如“1”和“10”都对应“0.10000……”, 但我们只保留一个:也即, [0.1, 1) 可以与自然数子集, 建立一一对应关系。因自然数集可数, 其子集必然可数, 从而[0.1, 1) 也必然可数。

如果把[0.1, 1) 内所有数的第一位小数均减1, 可得[0, 0.9) , 它显然可数, 则 (0, 0.1) 也必可数。而有限个可数集的并集仍为可数集, 所以 (0, 1) = (0, 0.1) ∪[0.1, 1) 可数。通过函数y=tg[ (x-0.5) π], 实数集R与 (0, 1) 可建立一一对应关系, 因此实数集R可数, 那么康托尔的连续统假设, 实际上也就没有意义了。

当然, 这个论证是以康托尔的“可数”定义为基础, 如果要否定上述结论, 就必须重新思考康托尔定义的合理性;实际上, 康托尔的定义是颇有争议的, 可以一直追溯到“伽利略悖论”。

三、康托尔对角线反证法无效的根源

很显然, 一个集合不可能既可数又不可数, 因此结论相互矛盾的两种方法, 不可能同时有效, 问题出在哪里呢?实际上, 至少有两篇文献曾正确地指出了康托尔对角线法漏项的问题, 但可惜康托尔没有意识到。我们猜测, 康托尔也许是被其“对角线”的无限延伸性给蒙蔽了:乍看之下, 无限延伸的对角线似乎可以贯穿上面序列的任何一个, 但实际上并不是这么回事。

依据康托尔的论证不难看出, 上面无穷序列的关键部分是一个无穷矩阵;同时, 由构造数b的过程还可看出, 只有当矩阵是正方矩阵的时候, 其“对角线”才是真正的对角线, 即可以贯穿矩阵的每一列每一行。但对于十进制小数, 每一个数位上有10种可能性, 上述无穷矩阵并不是正方矩阵。

要考察无穷矩阵, 一种比较可行的方法是从有限矩阵开始, 然后对其取极限:对于 (0, 1) 内所有的n位有限小数, 其对应矩阵只有n列, 但远不止n行, 而康托尔“对角线”, 仅能贯穿n列n行, 占矩阵总行数的比例很小;当n趋于无穷大时, 极限矩阵即前面的无穷矩阵, 不过与此同时, 也得到了上述比例的极限——0!换言之, 当康托尔“对角线”无限延伸时, 绝大多数的行都没有被贯穿的, 而上面构造的数b, 不过代表其中的一行而已。

但是, 问题并没有就此结束, 我们要问:会不会存在其它方法, 能够构造出数b=0.b1b2b3b4…bn…, 它“属于 (0, 1) 却又不是上面序列中的任何一个”呢?答案是不可能。因为在现有理论中, 康托尔的无穷序列与 (0, 1) 其实是同一回事, “属于 (0, 1) 却又不是上面序列中的任何一个”是违反同一律的固有矛盾;要避开矛盾, 唯有否定数b的上述存在性。

当然, 还可以继续问:如果消除上述矛盾, 数b是否可能存在呢?答案仍然是不可能。因为要消除上述矛盾, 小数集必须是实数集的真子集, 也即数b必定不是小数;但以“0.b1b2a3b4…bn…”形式构造的数b, 又必定是小数。

事实上, 单纯从形式看, 康托尔无穷序列必包含了 (0, 1) 内的一切小数, 怎么还可能构造出一个属于 (0, 1) 却又不属于该序列的小数呢?一句话, 康托尔的根本矛盾, 其实在于他想以小数形式来构造出一个非小数!

现在, 康托尔证明的整个脉络就清晰了, 原来在其论证中, 实际上存在两个假设:一个是明显但不相关的——实数集可数, 一个是隐藏但非常根本的——符合要求的数b存在。由于没能发现对角线法的漏洞, 康托尔误以为自己构造出了符合要求的数b, 从而把最根本的假设当作了事实, 结果另一个不相关的假设成了替罪羊!

四、理查德悖论, 及哥德尔不完全定理

有意思的是, 虽然康托尔对角线法无效, 但蒋星耀利用该方法得到的“悖论统一模式定理”, 在结论上却是正确的[6]:产生悖论的原因是“误会”, 即错误地把一种东西当成了另一种东西。或者说, 悖论是由于无意识地偷换概念, 而违反同一律的结果, 这实际上是对悖论的一个完全否定。

既然是想要一揽子解决所有悖论, 对于有名的“理查德悖论”, 当然不会避而不谈:把自然数的性质一条条写下来, 并用自然数给它们编号, 如果编号与所标性质内容不符合, 该编号即称为“理查德数”, 否则称为“非理查德数”;再对“理查德数”编号, 问这个编号是不是“理查德数”?无论回答是还是否, 都将得出矛盾。

蒋先生认为, 是否“理查德数”并不是原始意义下的自然数性质, 基本上触及到了本质, 不过其具体分析存在一些问题。比如, 江育奇就曾撰文进行质疑, 认为有些论述让人莫名其妙, 并追问什么是自然数的性质。

首先要牢记, “理查德数”本质上只是一种数字形式的名称标签, 与单纯的“自然数”是两个完全不同的概念, 因而算术性质对于“理查德数”是没有意义的:比如对编号数字进行运算“1+2=3”, 这表示什么意思呢?难道编号3对应的自然数性质是编号1与编号2对应的自然数性质的复合?

其次, 性质是需要载体的, 并且应该是其固有属性, 比如“自然数1是奇数”, 在任何时候都如此。而按悖论中的定义, 把“1”作为“偶数”的编号, 则“编号1是理查德数”, 但若作为“奇数”的编号, 则“编号1不是理查德数”。因此, 是否理查德数, 还与编号的指派方式有关, 它不可能成为任何一个自然数的固有属性。

第三, 悖论中交叉否定的定义方式也很成问题。事实上, 如果把与所标性质内容相符合的编号称为“理查德数”, 不符合的称为“非理查德数”, 同样的问题就不再产生矛盾;否则的话, 理查德完全可以采用这种定义来构造悖论。因此, 根据归谬法, 我们有理由怀疑交叉否定式定义的正当性。

关于哥德尔不完全定理的证明, 与“理查德悖论”其实很相似, 而且与“理查德悖论”将“算术性质”随意泛化一样, 哥德尔也有一种将“函数”“公式”“性质”等概念随意泛化的倾向:比如哥德尔定义的“SUB函数”, 并不是一个真正数学意义上的函数。当然, “哥德尔数”也与“理查德数”一样, 只是一种数字形式的名称标签, 其迭代计算实质上没有意义。而且, 并非所有的自然数都是“哥德尔数”, 或者说“哥德尔数”本身相对于自然数就是“不完全”的, 那么, 哥德尔不完全定理会是一个同义反复么?

同时, 哥德尔定义的不可判定公式, 也同样是交叉否定式的, 而且他还混淆了“可定义”性与“存在”性:似乎凡能用符号书写出来的, 就是可定义的, 就一定存在;但正如文献[9]所说, 不可判定公式是违反同一律的, 因而它不可能存在 (实际上, 塔斯基正是利用“A≠A”来定义空集的) 。一个逻辑上根本不存在的东西, 其“哥德尔数”又如何计算呢?哥德尔的技巧, 是用符号代替具体计算, 但这实际上就隐含地假设了其存在性。

因此, 我们也许可以更直白地说, 哥德尔不过是把自己构造的逻辑矛盾, 嫁“祸”于公理体系, 声称它“不完全”而已。但据哥德尔辩解说, 其证明的一个关键是“可证”与“真”的严格区分, 一个真的命题, 在表达它的公理体系内可能是不可证的。那么, 判定这样一个命题为真, 必然要利用体系外的东西, 而哥德尔并没有说清楚这体系外的东西到底是什么。

更何况, 根据哥德尔的“可证”定义, 任给两个哥德尔数对 (m, n) , 可以判断是否是“证明对”——如果 (m, n) 是“证明对”, 也即哥德尔数为m的序列是哥德尔为n的序列的一个证明;但是任给一个哥德尔数n, 却没有有效的方法来判断是否存在哥德尔数m, 使得 (m, n) 是“证明对”。因此, 哥德尔所谓的“可证”, 只不过是一种事后诸葛亮式的说明而已, 并不是一个基于方法学意义上的判断。

另外, 哥德尔证明与“说谎者悖论”也密切相关, 仿照文献[12]的分析, 我们可以得出结论:所谓“不可判定命题”, 实际上应该是“不可根据自身判定的命题”。

五、结论:小心隐性假设陷阱

总之, 由于概念缺乏操作性而无意引入的隐性假设, 常常是反证法的陷阱, 也是悖论产生的主要根源。当然, 这样的悖论都是“伪悖论”, 一旦隐性假设暴露出来, 它们其实可以转化为一个反证法证明。但也不要忘记, 布劳威尔等直觉主义者并不承认反证法, 换句话说, 使用反证法本身就包含了一个隐性假设——反证法是有效的!

很显然, 哥德尔的证明也运用了反证法, 因此即使其各论证环节无懈可击, 也不一定是公理体系不完全, 还可能是反证法自身的局限性!实际上, 如果不完全定理成立, 在一个体系内命题会有三种情况——真、假、无法判断真假, 排中律不再成立, 反证法无效!

最后, 哥德尔的证明实际上还利用了所谓的定理“从一个矛盾出发, 结果可以是任何东西”, 但正如侯世达指出的那样, 如果按照安德森和贝尔纳普的“相关蕴涵”原则, 这个定理根本推导不出来。而且, 即使不考虑“相关蕴涵”, 该定理也很成问题:因为其推导的一个前提是“P∧~P”, 这个前提在逻辑上必然为假, 而前提为假的推理是不可靠的!

摘要：我们重点考察康托尔对角线法无效的根本原因, 并对“理查德悖论”及哥德尔不完全定理进行尝试性分析。结果表明, 由于概念缺乏操作性而无意引入的隐性假设, 常会导致反证法论证的无效, 这也正是悖论产生的一个主要根源。