欧几里得证明勾股定理

欧几里得证明勾股定理（共11篇）

欧几里得证明勾股定理 篇1

欧几里得的证法

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在定理的证明中需要如下四个辅助定理：

    如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等SAS。三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

其证明如下：

1.AL⊥DE，分别与BC和DE直角相交于K、L。2.分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。3.AB＝FB,BC＝BD,∠ABC+∠ABF＝∠ABF+∠CBD 4.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。5.因为 A 与 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。同理正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。6.正方形面积 BAGF = AB²，面积 ACIH = AC²。7.把这两个结果相加，AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 8.由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC)= BD×BC= BC² 9.由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。

欧几里得证明勾股定理 篇2

新课程改革改变了教师的课程资源理念, “课本”已然成为教学的平台和知识的载体, 如何充分利用与开发课程资源, 实现知识的有效融合, 提高课堂教学的有效性成了教师必须直面的一个问题.本文以人教A教材高二上必修5《解三角形》正弦定理的证明为例, 谈点教学体会.

正弦定理:在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法1 考察结论是否适合用于锐角三角形时, 可以发现csin B和bsin C实际上是锐角三角形AB边上的高.这样, 利用高的两个不同表示, 即寻找到证明定理的思路.

若C为锐角 (图1) , 过点A作AD⊥BC于D, 此时有

$\begin{array}{l}sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}‚sin\text{C}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}‚\\ \therefore \text{c}sin\text{B}=\text{b}sin\text{C}\end{array}$

, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

$\begin{array}{l}\text{同}\text{理}\text{可}\text{得}\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\\ \therefore \frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\end{array}$

若C为钝角 (图2) , 过点A作AD⊥BC, 交BC的延长线于D, 此时也有$sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}$, 且$sin\text{C}=sin(180°-\text{C})=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}.$

同样可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

综上可知, 结论成立.

证法2 利用三角形的面积转换.由证法1的图像我们发现, 三角形的高可以转换为边和角的正弦值的积.

先作出三边上的高AD, BE, CF,

$\begin{array}{l}\text{则}\text{A}\text{D}=\text{c}sin\text{B}‚\text{B}\text{E}=\text{a}sin\text{C}‚\text{C}\text{F}=\text{b}sin\text{A}‚\\ \therefore \text{S}{}_{△\text{A}\text{B}\text{C}}=\frac{1}{2}\text{a}\text{b}sin\text{C}=\frac{1}{2}\text{a}\text{c}sin\text{B}=\frac{1}{2}\text{b}\text{c}sin\text{A}.\end{array}$

每项同除以$\frac{1}{2}$abc, 即得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法3 充分挖掘三角形中的等量关系, 可以探索出不同的证明方法.我们知道向量也是解决问题的重要工具, 因此能否从向量的角度来证明这个结论呢?

在△ABC中, 有$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$.设C为最大角, 过点A作AD⊥BC于D (图3) , 于是$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}$.设$\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$与$\overrightarrow{\text{A}\text{D}}$的夹角为α, 则

$0=|\overrightarrow{\text{B}\text{A}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|\cdot cos(90°+\text{B})+|\overrightarrow{\text{A}\text{C}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|cos\text{α}‚$

其中, 当∠C为锐角或直角时, α=90°-C;

当∠C为钝角时, α=C-90°.

故可得csinB-bsinC=0, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

同理可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}$.因此得证.

另证 过点A作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{AC}$,

由向量的加法, 可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.$

$\begin{array}{l}\text{则}\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})‚\\ \therefore \mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AC}+\mathit{j}\cdot \overrightarrow{CB}‚\\ |\mathit{j}||\overrightarrow{AB}|\cos (90°-A)=\\ 0+|\mathit{j}||\overrightarrow{CB}|\cos (90°-C)‚\end{array}$

∴csin A=asin C, 即$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}.$

同理, 过点C作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{BC}$, 可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

从而$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

类似可推出, 当△ABC是钝角三角形时, 以上关系式仍然成立.

总之, 随着新课标课程改革的日渐深入, 作为教学的组织者, 教师应该在日常教学中, 努力挖掘和开发知识的内在联系, 善于引导学生拓展引申, 使已有的课程资源得到充分的开发与利用.培养学生观察问题、发现问题、探究问题、解决问题的能力, 获取更好的教学效果, 提高课堂教学的有效性.

欧几里得证明勾股定理 篇3

关键词 误差 落差 雾霾天 赔率 汇率

以白令海峡为中，直布罗陀海峡，苏伊士运会，巴拿马运河为左右，国际日期变更日，太阳，月亮，日食与月食，时间误差，潮汐落差有关。2014年春分美国第一夫人和中国的第一夫人在北京相聚，转眼已是霜降。美国总统奥巴马和中国的国家元首习近平又要在北京相会。海峡上中国内地股上证综指和中国香港股市在环球时报上周全球股市排行榜先后排在第一。度过中国的国庆节小长假和中国的二十四节气中的霜降。在海峡上2012-2013年中国的天宫一号神九，神十载人交会对接成功（各两男一女宇航员）。并空中授课。2013-2014年“嫦娥三号”携“玉兔”登月成功。2014年10月24日“嫦娥五号”又发射成功和中国股市发展数学政策数浪的三至五浪吻合。8+5峰会中的中国和印度在宇航方面2013-2014年的竞争如同环球时报上周全球股市排行榜的涨跌率此消彼长。程进均衡定理引理通过网上足彩，蓝彩购彩中奖，中奖率，中奖赔率利用道儒佛的力学原理经济角度验证证明解决庞加莱的微分方程和欧几里得相似形。

庞加莱的博士论文是论述微分方程（不是论述解法，而是论述存在定理），这导致了他对数学最著名的贡献。——自守函数的属性；事实上，他是自守函数理论实际上的创立者。一个复变量为Z的自守函数∮（z）是一个这样的函数：它在域D内是解析的（除了极点之外），在线性分式变换

Z’=az+b/cz+d

的可数无限群下是不变的。这样的函数是三角函数（正如我们所看到的那样，只要a=1=d，c=0，且b是2k∏的形式）和椭圆函数的一般化。埃尔米特针对有限制的实例研究过这种变换，在这样的实例中，系数a.b.c.d是整数，且ad-bc=1，并发现了一类在这些变换下不变的椭圆模函数。庞加莱的一般化揭示了一个更加宽泛的函数类别，被称作是泽塔富克斯函数，庞加莱证明，这种函数可以用来解有代数系数的二次线性微分方程。

正如上文已经提到的那样，这一观点已经出现在他的博士论文中。这篇论文的标题是《论偏微分方程所定义的函数的属性》。他在19世纪80年代初期发表的一系列论文中致力于解决这个主要的问题，着手提高解法的定性描述。他首先处理一般方程dx/∮（x，y）=dy/g（x，y），式中∮和g都是实多项式。为了处理无穷分支的问题，他把无穷分支的问题，他把xy投射到一个球上。再仔细检查他的方程之后，他特别注意到某些点，在这些点上多项式消失了利用布里奥和和布凯在柯西的基础上所作的分类，既把这样的奇点分为节点，鞍点，焦点和中心点，他得以能够确立解的一般属性，这些解完全取决于某种特殊类型的奇点存在还是不存在。在四篇论文中的第三篇论文中，庞加莱把他的分析扩大到了形如F（x，y，y’）=0（F是个多项式）的高次方程。他通过考量F（x，y，y’）=0所定义的曲面来研究这样的方程。设该曲面的亏格是p，焦点数是F，节点数是N，鞍点数是S。庞加莱证明了：

N+F-S=2-2P

庞加莱在探索了这个结果及其他结论之后，继续研究高次方程。

相似形：

命题19.相似三角形[面积]之比等于其对应边的二次比。

这定理现在的说法是：两相似三角形的面积之比等于两对应边的平方之比。

命题27.同一直线[一分段]上所作的所有平行四边形，其[在整个直线段平行四边形所有部分形成的]亏形与半直线段上一平行四边形相似者，以该半直线段上所作且相似于亏形的那个平行四边形（的面积）为最大。

这个命题有个重要的代数意义。设所给平行四边形AD是个矩形。并设其两边之比为c比b（b=AC）。现考察矩形AF，要使它的亏形（矩形FB）满足相似于AD的条件。若记FK为x，则KB为bxK。令AB之长为a，则AK=a-（bxK）。因此AF的面积S是：

S=x（a-bx/c） （1）

命题27说当AF为AD时面积最大。

欧几里得所作出的是那么一个矩形AKFG，其面积为s，其亏形D’相似于D。但AKFG=ABHG-D’。因D’相似于D而面积为bxK。因此

S=ax-b/c x2。 （2）

所以求作AKFG一事就是求AK和满足方程（2）的x。

根据程进均衡定理引理

庞加莱的一般方程dx/∮（x，y）=dy/g（x，y），式中∮和g都是实多项式。可写成：dx/∮（x，（14.74053315））=dy/g（x，（12.72））分析扩大到了形如F（x，（13。05），y’）=0（F是个多项式） 可写成：F（x，（13.05），y’）=0

2，85发计算1，两门一网利用网上足彩蓝彩中奖的高度效益，程进均衡定理引理与门牌号，门与网，两门一网的网络效益在21世纪人类发现中微子，相对论问题，暗物质，温室气体排放，气候人文环境，雾霾天，呼吸道疾病，禽流感，H7N9，HXNX，男女生之间的比例关系，生命科学，海峡之间的瓶颈问题，岛屿问题，生态平衡，机器，人类，网络，门与网，两门一网，宇宙垃圾，两个最大经济体的对话，新世纪的七道国际数学难题。海峡上雾霾天，误差，落差经济角度方法验证证明解决庞加莱的微分方程和欧几里得相似形。

勾股定理的证明及应用 篇4

【重点】：

学习勾股定理的文化背景，欣赏历史上经典的勾股定理证明方法，体会其蕴含的创新思维，初步运用勾股定理分析处理具体问题

【难点】：

通过图示欣赏，还原推测图示所含的证明方法

【勾股文化学习】

勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在‘RT△的三条边之间建立了固定关系’，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。

千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯（前500）定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理“的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。

„„

【勾股定理的证明】

观察下列图形，推测勾股定理的证明方法

1、下图是《几何原本》（公元前4世纪前后）中提供的一种证明方法，过A作AH⊥BC于H延长交FK于G．

可证明：

证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P

易证△FPB≌△CBA进而可知

而

2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．

该图叫弦图，由图示可知

．

3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”，由图示．

边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．

M补入 处，N补入处，Q补入

处

4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．

图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．

„„

【勾股定理的应用】

1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且b

错解：由勾股定理可得

分析：上面的解法受“勾

三、股

四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：，又，∴，即4

评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。

2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为_____，∴ x=13

错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：

分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，故第三边长为13或。

评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。

3、利用勾股定理求线段长的简单应用

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；

③若b=15，c=25，则a=________

(2)等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为________________

(3)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长

为________________。(与面积的结合)

(4)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。

(5)如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___

解析：（1）①

（2）2 ②

③

（3）AB=10，（4）

（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则

∵ c、a为自然数

∴

∴ 周长为132

4、勾股定理在几何中的应用。

己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

解：过A作AE⊥BC于E。

∵ AB=AC，∴

在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，∴

∴ AE=12

故在Rt△ADE中，设DE=x，则

∵ AD⊥AC于A，∴

解得，即，∴ BD=BE-DE=16-9=7

评述：勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法，题目中含有直角三角形别忘记使用，题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线构建直角三角形。

5、利用勾股定理解决实际问题

(1)平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min。结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远?

解析：首先结合题设画出图形，C在A东南，则A在C西北；C在B西南，则B在C东北

∴ 可知∠ACB=90°，依题设AC=60cm，BC=80cm

∴ AB=100cm

(2)如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米。

求：1)河宽AD(结果保留根号)；

2)公路CD的长：

3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。

解析：过B作BF⊥AD交DA延长线于F

在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB

∴ BF=6，在Rt△BFD中，知∠BDF=45°

∴ DF=BF=6

∴

过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8

∴ DC=CG+DG=14

设CE=x，则方案一、二费用分别为

由

∴ 当

当0＜CE＜

当CE=

6、画出长为的线段，可作图 可解得，＜CE＜14时，方案一较省

时，方案二较省 时，方案一、二均可．

解析：考虑到

线段AB为所求

考虑到，可作图

勾股定理的10种证明范文 篇5

1.传说中毕达哥拉斯的证法

将一个大正方形分成一个边长为a正方形，一个边长为b的正方形和四个全等三角形（如上图），再讲这些图形拼接成一个新的正方形。

费马大定理非常美妙的证明 篇6

1、费马大定理是说,当n≥3时,an+bn≠cn,其中a、b、c、n都是自然数(即正整数),且a<b<c。

2、本文设an=Kn,bn=(K+L)n,cn=(K+L+m)n。其中K、L、m、n都是正整数。显然这里的K<K+L<K+L+m;由于K、L、m是任取的正整数,满足了Kn=an,(K+L)n=bn,(K+L+m)n=cn。就是说保证了费马定理可以写成Kn+(K+L)n≠(K+L+m)n这种表达形式;其中K=1,2,3,……,K;L=1,2,3,……,L;m=1,2,3,……,m;

3、根据上述规则和规定,将正整数n次方的幂序列排列如下,其中的n≥3;

1n,2n,3n,……,Kn (序列1)

1n,2n,3n,……,Kn,(K+1)n,(K+2)n,……,(K+L)n,(序列2)

1n,2n,3n,……,Kn,(K+1)n,(K+2)n,……,(K+L)n,(K+L+1)n,(K+L+2)n,(K+L+3)n,……,(K+L+m)n,(序列3)

从上述列出的三个序列得出,用Kn+(K+L)n≠(K+L+m)n是符合费马定理an+bn≠cn原意的。

4、本文用记号k-1▽k表示Kn-(K-1)n的差值,即k-1▽k=Kn-(K-1)n;例如,1▽2=2n-1n,

2▽3=3n-2n,3▽4=4n-3n,……,k-1▽k=Kn-(K-1)n;更进一步表示成1▽k=Kn-1n,

2▽k=Kn-2n,3▽k=Kn-3n,……,k-1▽k=Kn-(K-1)n;这种表示法的优越之处在于,任何一个正整数K的n次幂,即Kn都可用它之前的第一个正整数的n次幂加上之后顺序的正整数n次幂之间的差值之和表示出来,即是

……以此类推,可得出下式等式

还可以得出下列等式

……以此类推,可得出下式等式

5、从上边的(1)式→(8)式,可以得出任何一段顺序的正整数n次方幂的差值之和都不能等于任意一个正整数的n次方幂,而只能等于这一段顺序的正整数n次方幂的末端的n次方幂与开端n次方幂之差。

以(5)式为例,(5)式中

(9)式中,正整数轴上的从1n→Kn之间只有2n,3n,4n,5n,……(K-1)n这K-2个正整数n次方幂的点,且这些点是唯一的,再不能有任何另一个正整数x的n次方幂的点,否则就会得出xn+x▽k=Kn;即是1n→Kn之间除2n,3n,……(K-1)n这K-2个正整数n次方幂的点之外,还有另一个xn的点存在,这显然是不可能的。换句话说,除2n,3n,……(K-1)n这K-2个正整数n次方幂的点之外,还有另一个xn的点存在,成为K-1个正整数n次方幂的点,这显然与事实不符。再进一步说,就是Kn-1n≠xn,当然x是任意正整数。同样可得出2▽k=Kn-2n≠xn,3▽k=Kn-3n≠xn……k-1▽k=Kn-(K-1)n≠xn:

6、以n=3,K=10为例说明如下

先列表13、23、33、43、53、63、73、83、93、103,

具体计算13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729,103=1000,

先计算1▽2=23-13=7,2▽3=33-23=19,3▽4=43-33=37,4 V 5=53-43=61,5 V 6=63-53=91,6▽7=73-63=127,7 V 8=83-73=169,8 V 9=93-83=217,9▽10=103-93=271,

我们取1▽2+2▽3+3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9+9▽10=1▽10=7+19+37+61+91+127+169+217+271=999=1000-1≠x3……(10)

取2▽3+3V4+4▽5+5▽6+6▽7+7V8+8V9+9▽10

=2 V 10=19+37+61+91+127+169+217+271=992=1000-8≠x3……(11)

取3▽4+4V5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9+9▽10

=3▽10=3 7+61+91+127+169+21 7+271=973=1000-27≠x3……(12)

从(10)式→(18)式完全验证了5中的结论:任何一段顺序的正整数n次方幂的差值之和都不能等于任意一个正整数的n次方幂,而只能等于这一段顺序的正整数n次方幂的末端的n次方幂与开端n次方幂之差。

7、基于上述同样道理可以得出下列式子

二、证明过程

按照(一)1中的论述,只要证明了Kn+(K+L)n≠(K+L+m)n这一不等式,就等价于证明了an+bn≠cn这一费马定理。

我们已经知道

那么费马定理就是要证明下述不等式成立,即

用反证法证明不等式(24)成立

假设(24)式相等,即

整理(25)式可得

(26)式可写成为Kn=(K+L+m)n-(K+L)n……(27)

根据(一)7中的(20)式可知(K+L+m)n-(K+L)n≠xn,当然可知(K+L+m)n-(K+L)n≠Kn……(28)

这与(25)式矛盾,所以(24)式成立,也保证了an+bn≠cn成立,到此,费马定理得到证明。

三、讨论

1、用符号k-1▽k表示Kn-(K-1)n,就是表示任意两个相邻正整数n次方幂的差值。显然它们之间差值不能等于任意一个正整数的n次方幂。即

k-1▽k=Kn-(K-1)n≠xn,x为任一正整数。这是显而易见的,因为(K-1)n与Kn之间不存在另一正整数的n次方幂。

2、因为1n+1▽k=Kn、2n+2▽k=Kn、3n+3▽k=Kn、……(K-1)n+k-1▽k=Kn表明1n→Kn之间,只有2n,3n,4n,……(K-1)n这K-2个正整数n次方幂的点,且是唯一的。进而表明(K+L)n→(K+L+m)n之间,只有(K+L+1)n、(K+L+2)n、(K+L+3)n、……(K+L+m-1)n这m-1个正整数n次方幂的点,除此之外不可能再有另一个正整数n次方幂xn的点存在。

3、我们只讨论n≥3的情形,至于n=2,已有很多研究,这里不做讨论。本文只用几页纸就证明了an+bn≠cn,这显然符合费马提出的“美妙证明”的说法。

参考文献

勾股定理的证明的说课稿一 篇7

一、教材

1、说教学内容、地位及作用

勾股定理是反映自然畀基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用在数学的发展史上起到了非常重要的作用，它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学文化内涵，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它是解直角三角形的重要工具，它在教材中起到承上启下的作用，无论是它的证明还是他的应用都堪称是数形结合法的典范。自古至今它在其它学科及现实生活领域中被广泛应用。古代也是大多应用于工程，例如测量、建筑、航海，修建房屋、修井、造车中都有应用。例如中国古代的大禹曾还利用勾股定理来治理洪水，埃及人利用勾股定理建造了金字塔。比如说工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向可以说它是初等几何中最精彩、最著名的定理。

因此，学好本节至关重要。

2、教学重点及难点

根据新课程标准的要求和对教材的分析，我确定本节课的教学重点为：

1、勾股定理的证明

2、利用不同的方法求正方形的面积。

3、由正方形的面积到三角形三边的关系的过度。

4、勾股定理的多种证明方法。

由于在勾股定理的探索过程中，通过图形的移、补、拼、凑的方法显示图形之间的关系，这一方面学生比较陌生。因此，我确定本节课的教学难点为勾股定理的探索方法。

二、教学目标

根据新课程标准的要求、教材的分析及学生的特点和认知规律，我制定如下教学目标：

1、知识目标：勾股定理的探索过程，勾股定理的内容及应用。

2、能力目标：培养学生由特殊到一般的数学思维能力，建立数形结合思想。

3、情感目标：通过对勾股定理的学习，使学生了解祖国的悠久文化，提高民族自豪感，培养学生的创新意识和创新精神。

三、教法、学法

1、教学方法和教学手段

本节课根据教材本身探究性较强的特点，依据学生原有的知识基础，遵循学生的认知规律和心理特点，采用“引导——发现”的探究教学模式实施教学。利用计算机辅助教学，展示动态图形，激发学生兴趣，使学生乐于探索，从而突出重点、突破难点，加大教学容量，提高学生的能力。

2、学法指导

古人云：“授之以鱼不如授之以渔”。我深深地体会到在新课程标准的要求下，必须重视对学生进行学习方法的指导，让他们“学会学习”。结合本节课的教学内容，使学生掌握以下学习方法：

（1）数形结合法（2）逻辑思维法（3）设疑探索法

四、教学过程

本节课围绕“勾股定理”从引导——探索——应用迁移这几个环节完成教学全过程，促使学生把知识转化为能力。下面就教学设计加以说明。

（一）课题引入

课件首先从历史故事入手，介绍勾股定理产生的历史渊源，通过讲解使学生认识到勾股定理是反映自然畀基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，从而激发学生的爱国热情和民族自豪感，树立热爱科学，献身科学的远大理想．同时也激起了学生的学习兴趣。本环

节设置了三个小事件：

1、《周髀算经》记载着一段周公向商高请教数学知识的对话。

2、2002年数学家大会的会徽是赵爽弦图。

3、毕达哥拉斯怎样发现勾股定理的。

在这个环节中向学生提出问题，激起学生探求知识的积极性。

（二）探索猜想：

从毕达哥拉斯的发现入手，引导学生探索猜想勾股定理的内容，本环节的设置分两部分第一部分是以等腰直角三角形的三边为边长分别作三个正方形，分别求出三个正方形的面积，并观察两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积；第二部分是以一个不等腰的直角三角形的三边为边长分别作三个正方形，分别求出三个正方形的面积，并观察两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，通过面积的关系进而确认直角三角形的三边之间的关系即勾股定理的内容。进而猜想对于任意一个直角三角线都具备这个性质。在本环节中的难点是对以斜边为边长的正方形的面积的求法，在教学中应鼓励学生自我探究，找出解决问题的方法，最后教师总结常用的两种方法：

1、分割法，即将正方形分割成几个易求面积的三角形或正方形，再求他们的和即可。

2、补图法，即将原图形自外侧一部分或几部分使其构成一个规则的正方形或其他图形，用新图形的面积减去补上部分即得原图形的面积。

（三）总结归纳：给出定理并介绍各边在古代的称呼

（四）：巩固基础：给出一组小练习，目的是加强勾股定理的认识

（五）再次探究，勇于挑战：增加毕达哥拉斯与商高的介绍探究1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让

学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正

4×2ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

A⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

探究2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相a等，则两个正方形的面积相等。aB

左边S=4×2ab＋c2 bbb右边S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即

4×2ab＋c2=（a+b）

2b

化简可证。

探究三：伽菲尔德美国第20任总统的探究方法，有学生写出探究过程

（六）拓展：引导学生分析出中国古代对勾股定理的证明方法。

（七）课后小结

（八）布置作业：（略）

五、板书设计（略）

六、教学评价

本课的教学设计坚持以“以学为本，因学论教”为指导思想，注意挖掘教材中培养创新意识的素材，利用计算机辅助教学，为学生营造一种创新的学习氛围。把学生引上探索问题之路，为学生构造一道亮丽的思维风景线，必将调动学生学习的主动性，积极性，体现学生的主体地位。同时，本课以问题为载体，探索训练为主线，有意识地留给学生适度的思维空间，从不同视角上展示不同层次学生的学力水平，使探索知识与培养能力融为一体，真正体现新课程改革中的素质教育。

杨伟起

初中数学定理证明 篇8

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

点p在OC上

∴pE=pF(角平分线性质定理)

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴点p在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等边对等角)

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边)

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

点p为MN上任一点

∴pA=pB(线段垂直平分线性质)

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵pA=pB

∴点p在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形

定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)·180°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四边形的对角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

AO=CO，BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角)

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形

性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

几何语言：

∵EF是三角形的中位线

∴EF=AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

几何语言：

∵EF是梯形的中位线

∴EF=(AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段

1、比例的基本性质

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性质

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

几何语言：

∵l‖p‖a

(三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例)

推论平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，OC过圆心

(垂径定理)

推论

1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直径

(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)

(2)弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵AC=BC，OC过圆心

(弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧)

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

几何语言：

(平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧)

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：∵AB‖CD

圆心角、虎弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l⊥OA(切线性质定理)

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C两点

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言：∵弦AB、CD交于点p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推论)

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵pT切⊙O于点T，pBA是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理)

推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵pBA、pDC是⊙O的割线

若干基本定理的新角度证明 篇9

关键词：矩阵的秩定理,有限开覆盖定理,欧拉定理,可数集,隐函数组定理

然而在教学中不是一件容易的事, 在本科教学中有好多学生对一些基本定理的理解显然不足, 没有自己的看法和思路, 甚至勉强承认书本中的逻辑式的证明, 对定理的本质没有一点“感觉”, 很难转化为自己的东西. 为此在比较了中西方许多教科书之后, 针对其中的一些基本定理, 摈弃一些传统的固定模式的证明, 从新角度给予阐释, 目的在于把命题的本质“自然”“看得见的”呈现在读者面前, 弄清楚是什么, 是怎么回事, 一旦明白了本质, 证明只是一件简单严格叙述的事情罢了, 从而帮助本科生更好地理解学习.

1. 矩阵的秩定理

矩阵的行秩和列秩相等.

这是高等代数里非常基本的性质定理之一, 大部分教材是通过客观的证明行秩小于等于列秩, 列秩小于等于行秩来证明行秩与列秩相等. 我们通过矩阵本身最基本的初等变换, 给出一种自然的看法.

让我们先看看最简单的一般形式的梯形矩阵吧.

这显然行秩等于列秩, 实际上就是1的个数. 那让我们再看看普通的矩阵:

和梯形矩阵 ( 1) 的关系.

很显然, 任何一个矩阵 ( 2) 都可以通过有限次初等变换变成 ( 1) .

那反过来呢? 因为初等变换的过程是可逆的, 所以由相对应的 ( 1) 反过来可以经过有限次初等变换成原来的 ( 2) .

因为梯形矩阵 ( 1) 的行秩与列秩是相等的, 故我们只需验证初等变换不改变行秩与列秩就可以了. 下面给出简单的证明.

2. 有限开覆盖定理

若为闭区间上的一个开覆盖, 则存在有限开覆盖.

这是数学分析教材里最基本的定理之一, 也是实数完备性定理之一. 实数的完备性可以说是数学中基础的基础.正确地理解实数的完备性无疑是本科生的重点和难点. 但是一般的教材里的证明都让学生感觉很生涩, 如果理解不到位还会让学生感觉只是逻辑的堆砌, 完全看不出生活中实数的自然性, 也不理解这样做的原因. 大部分教材如《数学分析》 ( 华东师范大学出版社) 里的证明一般都是用分割的方法, 我们考虑另一种形象的看法, 然后给出一个自然的证明.

实际上我们搞清楚定理在说什么就可以了. 什么是一个开覆盖? 条件说存在一个开覆盖, 承认存在开覆盖的同时实际上也承认了什么?

既然闭区间存在开覆盖, 那当然区间里任一点都存在相应的开区间覆盖它, 从而这个点和覆盖它的开区间的右边端点有个距离, 比如, 从点a开始, 任取一个覆盖它的开区间, 有个距离. 我们取所有这些距离里最大的, 也就上确界, 记为, 如果点仍落在闭区间内, 可以接着进行下去取最长的距离, 依次类推. 这时候只需注意到条件说存在开覆盖, 也就意味着这些不断取到的点总可以超过点b ( 想想为什么? 如果永远都到达不了点b, 又怎么会有开覆盖呢? 因为这已经是按照最大方式接近点b了) , 从而当然一定有限! 也就是说实际上这些暗含的信息是等价的, 搞清楚这些剩下的就是严格叙述的事了.

3. 可数个可数集的并是可数集

设一组集合, 若每个为可数集, 则为可数集.

这个命题是实变函数教材里最基本的命题之一, 关乎学生以后对分析的理解和运用. 虽然很简单, 但是事实是仍然有好多学生对集合论感觉很玄乎, 比如选择公理之类的, 以至于对这个命题也感觉可对可错. 这种想法实际上是不对的. 此命题是严格正确的, 证明方法有很多, 比如Rudin的数分析原理里的证明就是用下标标号法, 实际上还可以更直接的去看待这个问题, 可以“看得见的”去证明.

可数集的概念我们是用自然数集N来定义的, 那就直接考虑是否和N对等就行了. 下面有个很自然的看法.

4. 欧拉定理

V + F - E = X ( P) , V是多面体P的顶点个数, F是多面体P的面数, E是多面体P的棱的条数, X ( P) 是多面体P的欧拉示性数. 如果P可以同胚于一个球面 ( 可以通俗地理解为能吹胀成一个球面) , 那么X ( P) = 2. 特别的, P为凸多面体时, X ( P) = 2.

一般的教材中有很多证明, 比如《整体微分几何初步》 ( 沈一兵) , 用到微积分、微分形式等. 针对凸多面体, 下面给出一种自然的初等的看法.

参考文献

[1]常庚哲, 史济怀.数学分析教程.第三版.高等教育出版社.

[2]王萼芳, 石生明.高等代数.第三版.高等代数出版社.

[3]华东师范大学数学组.数学分析.第三版.华东师范大学出版社.

[4]Walter Rudin.The Principles Of Mathematics.Third Edition.机械工业出版社.

[5]沈一兵.整体微分几何初步.第一版.高等教育出版社.

[6]Artin.algebra.

[7]Vladimir A.Zorich.Mathematical Analysis I.Springer, 2010 (3) .

[8]Zberhard Zeidler.Applied Functional Analysis:Applications to Mathematical Physics.Spriner Third Edition.

定理与证明 篇10

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

2、重点、难点分析

重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．

（二）教学建议

1、四个注意

（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．

（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．

（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．

（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．

2、逐步渗透数学证明的思想：

（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为„„，所以„„”句式，“如果„„，那么„„”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．

（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．

（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．

教学目标：

1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．

2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．

3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．

教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．

教学过程：

一、复习提问

1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？

2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）

3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）

二、例题分析

例

1、证明：两直线平行，内错角相等．

已知：a∥b，c是截线．

求证：∠1＝∠2．

分析：要证∠1＝∠2，只要证∠3＝∠2即可，因为

∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3＝∠2．

证明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．

例

2、证明：邻补角的平分线互相垂直．

已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求证：OE⊥OF．

分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

证明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定义）．

三、课堂练习：

1、平行于同一条直线的两条直线平行．

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

四、归纳小结

主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．

五、布置作业

课本P143

5、（2）,7.六、课后思考：

1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？

向量证明正弦定理 篇11

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠P-ABC的三个面角∠BPC，∠CPA，∠APB所对的二面角依次为∠PA，∠PB，∠PC，则 Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

目录

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BPC于O。过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N。连结AM、AN。 显然，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO/AN。 另外，Sin∠CPA=AN/AP，Sin∠APB=AM/AP。 则Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB。 同理可证Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得・

j・AC+CB=j・AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

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用向量叉乘表示面积则 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=>absinC = bcsinA (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA = c/sinC

2011-7-18 17:16 jinren92 | 三级

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

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