竖直平面上圆周运动

竖直平面上圆周运动（共3篇）

竖直平面上圆周运动 篇1

在圆周运动内容教学中,我们经常碰到这类问题:一个物体在竖直平面的轨道上做圆周运动,在什么条件下物体才能做完整的圆周运动?

例1如图1所示,设小球质量m=0.1 kg,圆轨道半径r=0.6 m,在以下各初速度条件下,小球能否做完整的圆周运动?

(1)初速度v0=6 m/s;

(2)初速度v0=5 m/s.

解:假设小球能到达圆轨道的最高点,

(1)若v0=6m/s,则由机械能守恒定律可得:

解得:.

,故小球能做完整的圆周运动.

(2)若v0=5 m/s,则由机械能守恒定律可得:

解得:v=1 m/s

解得:v=1 m/s

例2如图2所示,设小球质量m=0.1 kg,圆轨道半径r=0.6 m,在以下各初速度条件下,小球能否做完整的圆周运动?

解:小球能够完成圆周运动的条件是:在最高点v≥0;

(1)若小球在最低点的速度m/s,则根据机械能守恒定律:

解得:v=0

故小球恰好能通过最高点.

(2)若小球在最低点的速度v0=5 m/s,同理可得:v=1 m/s.小球能通过最高点.

(3)若小球在最低点的速度v。=4 m/s,显然小球到不了最高点,由机械能守恒定律可得:

解得:,θ=70.5°

小球在θ≤70.5°的范围内左右对称地往复运动.

例3如图3所示,设小球质量m=0.1 kg,圆轨道半径r=0.6 m,在以下各初速度条件下,小球能否做完整的圆周运动?

解:(1)若轨道为半圆周,在A点给小球一个与轨道相切的初速度v0;小球能不能澡轨道做圆周运动呢?显然,小球的速度v0正好竖直向上,因此不管小球的速谑v0多大,小球做的应该是竖直上接运动,根据不会做圆周运动.

(2)若将轨道略作整,使出发点稍稍上移(即使小球的v0偏离竖直方向),小球能不能通过最高点呢?若小球到达最高点的速度,则可接触普通过最高点.

(3)若小球到达最高点的速度,则小球根本到不了最高点,则由机械能守恒可得:,解得,故小球不能通过最高点.

那么小球究竟在哪个位置脱轨呢?进一步进行计算:

解得:对任意角θ,都有,故小球不是在圆周某一位置脱离轨道,而是在获得初速度v0之初,就会沿切线方向飞离轨道.

竖直平面上圆周运动 篇2

1.如图所示，A、B两棒各长1m，A吊于高处，B竖直置于地面上，A的下端距地面21m.现让两棒同时开始运动，A自由下落，B以20m／s的初速度竖直上抛，若不计空气阻力，求:(1)两棒的一端开始相遇的高度.(2)两棒的一端相遇到另一端分离所经过的时间(g取10m／s2).(1)h=16m(2)t=0.1s

2.石块A自塔顶自由下落h1时，石块B从离塔顶处h2自由下落，后来两石块同时到达 地面，由此可知此塔高为（）

h1h22答案4h1

3.从某电视塔塔顶附近的平台处释放一个小球，不计空气阻力和风的作用，小球自由下落。若小球在落地前的最后2s内的位移是80m，（取g=10m/s2）求：（1）该平台离地面的高度？

（2）该小球落地时的瞬时速度大小? 4.在竖直的井底，将一物体以11 m/s的速度竖直向上抛出，物体冲过井口再落到井口时被人接住。在被人接住前1s内物体的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：

(1)物体从抛出到被人接住所经历的时间；(2)此竖直井的深度。答案1.2s 6m 5.某一质点做竖直上抛运动，在上升阶段的平均速度是5m／s，则下列说法正确的是(g取10m／s)A.从抛出到落回抛出点所需时间为2s B.从抛出到最高点所需时间为2s C.上升的最大高度为10m D.上升的最大高度为15m 6.一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是6s，两次经过一个较高点B的时间间隔是4s，则AB之间的距离是（g=10m／s）（）A.45m B．25m C．20m D．初速度未知，无法确定

7.取一根长约2m的细线，5个铁圈和一个金属盘.在线端系上第一个垫圈，隔12cm再系一个以后垫圈之间的距离分别为36cm，60cm，84cm，如图所示。站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地上的金属盘。松手后开始计时，若不计空气

22阻力，则第2、3、4、5个垫圈（）

A．落到盘上的声音时间间隔越来越大 B．落到盘上的声音时间间隔相等

C．依次落到盘上的速率关系为1:2:3:2

竖直平面上圆周运动 篇3

一、两类模型——轻绳类和轻杆类

1.轻绳类.运动质点在一轻绳的作用下绕中心点做变速圆运动.由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力，所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，mg=（

），式中的Vmin是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是v≥vmin=（

）；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点就做抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于v'≥（

），质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度α=g.

2.轻杆类.运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点做变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态.所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当v=0时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即N=mg；（2）当v=（

）时，N=0；（3）当v>（

），质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当0

），质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随v的增大而减小，0

过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即F向=mg+F拉向心加速度的表达式也相同，即 （

）.质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力（

），最低点的向心力F2 =（

），由机械能守恒（

）（

），质点运动到最低点和最高点的向心力之差F2=-F1=4 mg，向心加速度大小之差也等于4g.

二、与这两类模型类似的圆周运动

竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可转化为竖直平面内轻绳类网周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为竖直平面内轻杆类圆周运动.

例1

如图2所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m，MPQ是一半径为R=1.6 m的半圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质量m =1 kg的物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力.欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？（g=10 m/s2）

解析 物体A经过Q点时，其受力情况如图3所示，由牛顿第二定律得：mg+FN= mv2/R

物体A刚好过Q点时有FN=0

解得v =4 m/s

对物体从L到Q全过程，由动能定理得

FS LM -2 mgR= mv2/2 -0

解得F=8 N.

例2如图4所示，光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球α、6大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球α在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是

（

）

A.速度v至少为（

），才能使两球在管内做圆周运动

B.当v=（

）时，小球6在轨道最高点对轨道无压力

C.当小球b在最高点对轨道无压力时，小球α比小球b所需向心力大5m

D.只要（

），小球α对轨道最低点压力比小球6对轨道最高点压力都大6 mg

三、物体沿光滑圆形轨道外侧运动的临界问题讨论

1.物体沿光滑圆形轨道外侧下滑的速度范围.如图5所示物体（可视为质点）沿光滑网形轨道外侧从最高点C下滑，设圆形轨道的半径为R，当物体在最高点时的速度v0≥（

）时，物体将脱离圆形轨道外侧而作平抛运动，因而我们可以得到物体能沿光滑圆形轨道下滑，在最高点的速度范围：0≤v<√gR.

2.物体沿光滑圆形轨道外侧运动，物体脱离轨道的最大速度和下落的竖直高度h.如图6所示.

前面分析可知，物体能从最高点沿光滑圆形轨道外侧下滑，其速度范围0≤v< （ ），设物体在最高点速度v0，圆形轨道的半径为R，物体恰能从D点脱离轨道，其最大速度为vm，物体下落的竖直高度为h，物体在0点对应半径与竖直方向的夹角θ，由于物

从（6）式中可以看出，随着物体通过最高点速度增大，其下落的竖直高度随之减小，当vc=（

）时h=0，即物体不下滑，直接从C点做平抛运动.当vc=0时，物体沿光滑网形轨道外侧下滑的高度最大，h= R/3.由此得到物体下滑的竖直高度范围O

例3 如图7所示，一固定于竖直平面内的圆形外轨道，半径为R，高度h足够小，有一半径可以忽略的小球从轨道底部冲上弧面，不计摩擦及阻力，欲使小球恰能通过轨道顶部而不脱离轨道，问小球在轨道底部的最大速度.

解析 小球从底部沿轨道外侧滑至顶部的过程，可以视为小球从顶部下滑到底部的逆过程，由前面分析可知：小球在底部刚要脱离轨道的最大速度为vm，圆形轨道的h足够小，即0 <θ≤48。12'，小球滑至顶部的速度0≤vc<（

），因此小球上滑的最大速度vm恰好等于它从顶部以vc的速度下滑到底部时恰好脱离轨道的速度、即方向相反.

由牛顿第二定律，mgcos θ=（

）

由几何关系可得，cosθ=（R-h）/R （2）

由（1）和（2）联立得：vm=（

）.

同时可得物体到达最高点的速度：

（

）