无穷小求极限

2024-10-12

无穷小求极限（通用6篇）

无穷小求极限篇1

等价无穷小代换求极限和泰勒公式求极限有着密切的联系, 为了理解二者的联系, 先阐述如何利用泰勒公式求极限.

下面举例说明利用泰勒公式求极限的方法,

例1求极限.

分析将sinx和xcosx分别按x的幂展开成三阶泰勒公式.

将上两式代入原式, 因为泰勒公式是恒等式, 所以相当于把自己代进去了, 结果当然不变.即

由于分母已经是一个简单的多项式, 所以不用再做什么变换.分子整理得到

这里要注意, 第一个o (x3) 和第二个o (x3) 只是一个代号, 二者不一定完全相等, 所以相减后的结果不一定是0, 但可以肯定的是它们的差一定是x3的高阶无穷小, 所以将二者的差用o (x3) 代替是可以的, 即

那为什么要将sinx和xcosx展开到3阶呢?理论上将这两项展开到任意阶的泰勒公式都可以, 因为不管展开到几阶, 它们都是恒等的, 将自己代入原式当然没有任何问题.比如也可以将sinx和xcosx多展开几阶, 如:

可以看到高于三次的项在求极限中没起到作用, 相当于我们多做了无用功, 也就是说展开到几阶由分母的最低次数来决定, 以既能算出极限而又尽量少展开一些阶数为佳.

例2求极限.

分析该题中分子分母均较复杂, 于是考虑分子分母同时用泰勒公式展开, 因为

可见, 分母的最低次数是4, 也就是说分子分母都只需要展开到4阶即可.熟练之后在展开之前可以事先对阶数做一个预测.

掌握了泰勒公式求极限的方法, 那么我们再去看等价无穷小的代换求极限就很好理解了.

定理:设α, β, γ, η均是同一个变化过程中的无穷小, 记号“lim”也是指这个变化过程中的极限, 若α~γ, β~η, 且.

证明见【1】.这个定理表明, 求两个无穷小之比的极限时, 分子和分母都可以用等价无穷小来代替, 因此, 如果用来代替的无穷小选得恰当的话, 可以使得计算简化.

例3求极限.

解当x→0时, ln (1+3x) ~3x, sin5x~5x, 即

我们来分析一下它的本质, ln (1+3x) 用3x代换, 其实是将ln (1+3x) 按x的幂展开成了一阶泰勒公式, 只不过将o (x) 省略掉了.sin5x用5x代换, 其实是将sin5x按x展开成了一阶泰勒公式, 将o (x) 省略后的结果.那这个o (x) 能不能省略, 现在我们不妨将它们都补上去看看是不是相同, 即

, 这说明o (x) 此时是可以省略的, 即等价无穷小的代换求极限的本质就是将分子和分母同时展开成一阶泰勒公式, 然后将o (x) 省略掉.理解了它的本质, 就能明白为什么有的同学采用等价无穷小的代换求极限会产生错误的结果了.比如:

有的同学会这样做:

解因为当x→0时, tanx~x, sinx~x, x3~x3, 所以

上题显然不等于零, 而是等于1/2.有同学就开始疑惑了, 我是用等价无穷小的代换做的呀, 为什么就得不到正确的结果呢?既然等价无穷小的代换本质就是展开成一阶泰勒公式, 那么我们不妨用泰勒公式来解释这个做法错误的原因, 先将tanx和sinx分别用带有佩亚诺型余项的泰勒公式展开, , 代入得

(1) 的做法相当于将tanx和sinx展开成了一阶泰勒公式, 即tanx=x+o (x) , sinx=x+o (x) , 代入后把高阶无穷小o (x) 省略后的结果, 现在把高阶无穷小还原进去, 即

, 这个极限显然无法计算, 因为o (x) 与x3的大小关系并不明确, 而 (1) 的做法是将o (x) 省略掉了, 也就默认了它是比x3高阶的无穷小, 这是错误的根源, 这时候o (x) 恰好是不能省略的.这说明分子用一次多项式来逼近精确度不够, 计算不出结果, 解决的方法是将分子展开成更高阶的泰勒公式来计算, 如做法 (2) .

总结:从上面的叙述可以看出来, 等价无穷小代换其实就是一阶泰勒公式展开, 由于精确度较差, 有些题可能无法解决, 此时可以尝试使用泰勒公式展开到更高阶数来求解.

摘要：很多学生在学习等价无穷小代换求极限的时候, 觉得方法很巧妙, 非常喜欢用, 但对等价无穷小代换求极限的实质不理解, 于是出现滥用、错用的情况.同时很多学生在学习泰勒公式求极限的时候, 感觉很复杂, 出现不敢用、回避用的情况.本文对这两种方法的关系以及它们在求极限过程中注意的问题进行简要阐述, 对学生掌握利用等价无穷小的代换求极限和利用泰勒公式求极限有着重要意义.

关键词：泰勒公式,等价无穷小,代换,极限

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (上) [M]. (第五版) .北京:高等教育出版社, 2002:58-143.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上) [M]. (第三版) .北京:高等教育出版社, 2004:62.

对等价无穷小代换求极限的探讨篇2

常用的等价无穷小:

分析显然本题利用洛必达法则求解得到的结果是正确的. 解法2中, 尽管当x→0时, sinx ~ x, 但x - sinx ~ x x不成立, 错误在于忽略了等价无穷小在和差中不能直接替换这一性质.

例1给我们提出了一个问题: 什么情况下可以利用等价无穷小代换来求解呢?课本中强调: “等价无穷小代换法则只在乘除情况下可以使用, 在和差情况下不能随意使用”, 下面对这一结论进行进一步探讨.

定理1设α, β, α', β', γ为自变量在同一变化过程中的无穷小量.

( 1) 若α ~ α', 则limαγ = limα'γ;

( 2) 若α ~ α', β ~ β', 且limα'/β'存在,

则limα/β= limα'/β';

( 3) 若α ~ β, β ~ γ, 则α ~ γ.

定理说明求两个无穷小量之比的极限时, 分子分母可用等价无穷小量来替换, 选择恰当的无穷小量进行替换, 可以使计算简便.

定理2设α, β, γ, α', β', γ' 为自变量在同一变化过程中的无穷小量.

( 1) 若α ~ α', β ~ β', 且limα/β= c ( c≠ - 1) , 则α +β ~ α' + β';

( 2) 若α ~ α', β ~ β', 且limα/β= c ( c≠1) , 则α - β~ α' - β'.

( 2) 证明方法与 ( 1) 类似, 从略.

定理3设α, β, α', β' 为自变量在同一变化过程中的无穷小量.

( 1) 若α ~ α', β ~ β', 则limαβ= lim (α') β';

( 2) 若α ~ α', 则ln ( 1 + α) ~ ln (1 + α') ;

( 3) 若α ~ α', γ ~ γ', 且limγ = ∞, 则lim (1 + α) γ=lim (1 + α') γ'.

从以上定理和例题的分析中可以看出, 利用等价无穷小替换的方法解决函数极限问题, 可以使计算更加简便. 但需要注意的是应用上述定理是要建立在各项都是在某个变化过程中的无穷小这个基础上, 并且在使用定理之前一定要判断清楚题目适用于哪种类型的法则, 如果不满足上述几种法则的要求, 可通过分解、通分等方法把所求极限等价变形为满足法则要求的极限函数, 再进一步求解.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社, 2001.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

无穷小求极限篇3

注意二认为只能乘除才可以使用无穷小替换,代数和(或差)的各部分不能使用.

注意三在使用洛必达求解极限时,如果能够使用等价无穷小替换,可以先替换,再使用洛必达法则,从而简化运算,但在实际求解过程中,很多同学将无穷小替换和洛必达法则混为一团,得到错误结果.

注意四认为幂指函数不能使用等价无穷小替换.

因此,使用等价无穷小替换时,一定要牢记常用的几种等价无穷小替换,当其中的变量形式变化时,会辨认是否仍然属于几种常用的等价无穷小替换,同时要深刻理解引理1和引理2,不要误用、乱用.等价无穷小替换也可以使用在指幂函数求极限中,在用洛必达法则求解极限题时,如果可以使用等价无穷小替换,一定要牢记先替换简化极限中的函数式,再使用洛必达法则.

摘要：由于教材中对使用等价无穷小替换的条件涉及较少,以及学生对使用条件的理解不清,解题中经常出现“误用、乱用、不会用”等价无穷小替换.本文针对教学中“误用、乱用”等价无穷小替换的几种常见错误,以及“不会用”等价无穷小替换的几种题型列出了四点注意,帮助学生理解并会正确地使用等价无穷小替换.

无穷小求极限篇4

而上题显然符合此条件, 故这种做法是可行的, 虽然学生也许并未认识到其中的理论依据。

下面给出一条定理, 强调等价无穷小在复合函数式中的替换所需满足的条件。

不规范解从结论上正确的原因是由于

然而, 在一般情形下, 对于复合函数的中间变量, 不能随意用等价无穷小代换。下面给出一则反例:

当为充分小的有理数时:

(1) 若均为无理数, 由于当 (﹣, ) 时, (>0且充分小) , (, ) , 且与一一对应,

(3) 若均为有理数, 这种情形是不可能的。

利用等价无穷小替换可使计算极限时化繁为简, 变难为易, 但在极限式特别是复合函数极限式的计算过程中, 并不是所有的无穷小都可以用它们各自的等价无穷小替换, 这种替换是有条件的, 稍不注意就会出现计算错误。因此, 在使用等价无穷小代换时, 应做到有理有据。

注释

1同济大学数学系编.高等数学.上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.4.

2华东师范大学数学系编.数学分析.上册[M].北京:高等教育出版社, 2001.6.

3陈新明.用等价无穷小代换求极限中的一些问题[J].高等数学研究, 2008 (5) .

无穷小求极限篇5

一、替换定理

定理1如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且 α ~ α1, β ~ β1, 那么有:

这个性质说明在求某些无穷小量乘除运算的极限时, 可以使用等价无穷小量进行代换.

替换定理的意义在于, 当 α ~ β 时 ( α 复杂, β 简单) , limαf ( x) = limβf ( x) .

用简单的函数去替换复杂的函数, 达到化繁为简的目的, 能够大大降低计算的难度.

例1【2008年数学三】计算

显然第二种方法要简单, 从这两种方法的比较来看, 灵活运用等价无穷小的替换定理往往可以大大降低计算难度, 从而也提高了计算的准确性.

我们在运用无穷小替换定理的时候往往会忽视一些条件. 比如说这样一个典型的例题:

常见的一种错误的解法是:

因为x→0时tanx ~ x, sinx ~ x,

而正确的解法是:

通常在教学过程中, 老师基本上会通过这样一个例子来强调替换定理只能在乘除中替换, 不能在加减中替换. 但是笔者认为如果站在研究生考试的这么一个高度, 那么这种说法是有一定局限性的, 实际上从微积分的理论可以得知在满足一定条件的前提下, 加减运算中的替换定理是成立的. 我们先看这样一个例子

对于这个题目的解答, 很多同学牢记加减不可替换的教条, 直接上来就洛必达法则, 最后陷入求导的汪洋大海中. 而正确的解法是:

其实我们还可以这样来做:

解法二因为x→0时tanx ~ x, ex- 1 ~ x, ln ( 1 + x) ~ x, sinx ~ x,

这样做的理论依据就是下面的这个定理

定理2如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且α~α1, β~β1, , 则α-β~α1-β1.

推论1如果在同一变化过程中, α, α1, β, β1都是无穷小量, 且α~α1, β~β1, , 则α+β~α1+β1.

对于这两个定理的证明不再证明, 从这两个定理可以看出, 在无穷小相减运算求极限时, 如果是同阶无穷小但不等价, 都可分别替换. ( 对于加法就转化为减法去理解) 虽然说这两个定理在传统的教材中没有, 但笔者认为它们是无穷小替换定理的很好的补充, 对于研究生考试来说掌握它是非常有必要的.

二、和差去低阶

如果 α = β + ο ( β) , 则 α ~ β. 这个结论告诉我们, 如果分子, 分母是多个不同阶的无穷小量的代数和, 保留分子, 分母中最低阶无穷小量, 而舍弃相对高阶的无穷小量, 然后再求极限.

可以设想下如果直接用洛必达法则, 计算该多麻烦!

三、利用无穷小求函数极限方法总结

摘要：利用等价无穷小量求未定式极限是研究生考试中的重要内容, 本文全面系统地介绍了考研中关于利用无穷小量求函数极限的计算方法与技巧.

参考文献

[1]李永乐.2014年数学复习全书.北京:中国政法大学出版社, 2013.

剖析等价无穷小代换求解极限运算篇6

1 无穷小定义及常用等价无穷小总结

1.1 无穷小定义

设函数f (x) 在x0的某一去心领域内有定义 (或x大于某一正数时有定义) 。如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小) , 总存在正数δ (或正数X) , 使得对于适合不等式0<|x-x0|<δ (或|x|>X) 的一切x, 对应的函数值f (x) 都满足不等式|f (x) |<ε, 那么称函数f (x) 当x→x0 (或x→∞) 时为无穷小。记作 f (x) =0 (或xli→n∞f (x) =0) 。

1.2 常用等价无穷小总结

通常所用的初等函数有这样五类:三角函数、反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数, 复杂方程式的求解中也为这五类初等函数的组合运算。以下列举出这五类初等函数的无穷小代换:

在当x→0时:

三角函数无穷小代换有:sinx~tanx~x;1-cosx~1/2x2;

幂函数无穷小代换: (1+x) a-1~ax (a可以取整数也可以取分数) ;

指数函数无穷小代换:ex~x+1, ax~lna×x+1;

对数无穷小代换:ln (1+x) ~x, loga (1+x) ~x/;lna;

差的无穷小代换:1-cosx~x2/2, x-sinx~x3/6, tanx-x~x3/3, xln (1+x) ~x2/2, tanx-sinx~x3/3, x-arctanx~x3/3, arcsinx-x~x3/6, arcsinx-arctanx~x3/2;前面两个代换后为二次函数, 后面代换为三次函数。而且从代换的等价无穷小方程式来看, 代换的方程式明显比前面未代换的方程式简单得多。

2 无穷小代换求极限运算与罗比达法则对比

使用洛必达法则进行求解极限运算, 是我们计算极限时的首选方式, 而且在绝大多数情况下, 确实也能够获得快而且准确的结果。但在一些复杂的求解中, 洛必达法则并不具有优势, 如带有三角函数和反三角函数的加减运算, 因为三角函数中sinx、cosx的两次导数就回到了本身。现举例说明无穷小代换求解极限运算与罗比达法则对比:

当x→0时, 求解方程式的值。

采用洛必达法则: 这样计算下去计算量很大, 如果这个时候采用等价无穷小替换, 结果很容易得到:

当然, 这需要熟记一些等价无穷小。需要注意的是, 等价无穷小的运用往往不止一次, 只要发现运用洛必达法则运算困难, 则可以尝试等价无穷小代换。

3 等价无穷小代换应注意问题

根据等价无穷小的定义, 当方程式的乘积因子为无穷小时, 则可利用等价无穷小进行代换。但如果方程式中有因子为无穷小, 但为加减法运算, 则需要考察代换的条件是否成立。

3.1 无穷小因子处于加减法运算中

在求解中, 因为无穷小因子tanx是作为乘积因子出现在方程式中。

3.2 在无穷小代换中需注意趋近的值

在进行无穷小代换中需确定的是:第一, 必须是无穷小;第二, 必须是等价无穷小之间才能进行替换。见下例:

设方程式f (x) = , 在当x→π时, 求方程式f (x) 的极限:

在本题中, 如果将用代换, 导致错误的结果为1。正确计算结果应当为:

4 等价无穷小代换总结