轨迹快速生成（共6篇）
轨迹快速生成 篇1
摘要：亚轨道飞行器飞行任务的主要特点是任务多样,任务时间间隔短。因此快速生成最优轨迹对保障亚轨道飞行器任务的完成至关重要。针对传统上升轨迹设计方法中存在的时间花销大、任务适应性较差等问题,基于最优控制理论对亚轨道飞行器上升段轨迹生成方法进行了研究。以上升段燃料消耗量最少作为性能指标,选取攻角、侧滑角和倾斜角作为控制变量求解最优性条件。采用经典的有限差分法将状态和伴随状态表示的两点边值常微分方程问题转化为非线性方程组,并使用改进型牛顿法求根。最后通过仿真分析,验证了给出的轨迹生成方法的快速性。
关键词：亚轨道飞行器,轨迹快速生成,有限差分,上升段
亚轨道飞行器(Suborbital Launch Vehicle,SLV)是指从地面发射的具有升力体外形,在亚轨道空间作业,然后重返地面的跨大气层可重复使用飞行器。与传统的飞行器相比,SLV的飞行高度在(30—120)km。由于其飞行空域所具有的潜在军用和民用价值,近年来受到了各航天大国的重视,相继制定了各自的SLV研究计划,如美国的X-33和X-34验证机计划,欧盟的HOPPER亚轨道方案等[1]。
SLV的上升轨道设计是一个受环境干扰、各种约束(控制约束、状态约束等)限制的高度非线性问题,因此轨道设计非常复杂。目前航天飞行器广泛使用的都是离线轨迹设计方法,即发射前根据不同的飞行任务设计飞行程序,如攻角一般按照指数形式或者直线斜率形式变化[2],通过反复调整参数得到满足各项要求的参考轨迹。这种上升轨迹的设计方法具有时间开销大、任务适应性差、抗干扰能力低、不能处理突发性任务等缺点。快速、自主、低成本且有效的完成飞行任务是SLV的主要目标,而且以推进剂消耗量最少或者上面级入轨时间最短作为性能指标的快速优化轨迹对增加SLV的有效载荷、降低发射费用、快速处理应急发射任务和保障上面级精确入轨等都具有重要的意义。在线轨迹设计要求飞行器在飞行过程中能够根据瞬时的位置、速度等飞行状态信息生成参考轨迹。以这种方式生成的轨迹不仅可以修正前一时刻干扰带来的偏差,还能够在飞行器发生故障时处理应急返回等突发情况。
快速轨迹优化方法主要分为直接法和间接法,目前国内外学者已进行了广泛的研究[3,4,5]。直接法是将最优控制问题离散化,转换为参数优化问题,再使用非线性规划算法进行求解。而间接法则通过变分法或者极大值原理推导得到控制变量的最优性条件,使用解析或数值方法得到最优解。针对离线方法设计上升轨迹中存在的问题,基于最优控制理论,以燃料消耗最少作为性能指标,以攻角、侧滑角和倾斜角作为控制变量推导了最优性条件,并给出了快速轨迹生成的实现方法,最后以某飞行器为研究对象进行了仿真验证。
1数学模型
在发射惯性坐标系[6]下建立SLV的质心运动学方程,并采用以下基本假设:(1)地球是旋转的均匀球体;(2)推力方向与飞行器纵轴方向相同;(3)飞行过程中侧滑角为零。
1.1运动学方程
式(1)中,FT为发动机的推力;FA、FN为飞行器轴向和法向气动力大小;IT、Ib、In分别表示发射惯性系下推力、轴向力和法向力的单位向量,且Ib=IT。方便起见,进行无量纲化处理,即:
其中R0表示地球赤道半径;g0是R0处的重力加速度;M0是飞行器起飞时的质量。不引起歧义,仍然使用r、V、m、t来表示无量纲化之后的珋r、珔V、珚m、珋t。
1.2最优控制描述
选取燃料消耗最少作为上升段轨迹设计的性能指标:
式(4)中,t0和tf表示初始时间和终端时间。
初始边界条件:
终端边界条件:
不等式约束:
式中x(t)和u(t)分别表示状态变量和控制变量。由最优控制理论[7]可知,哈密尔顿函数为:
由极大值原理,最优性条件表示如下
同时由最优控制理论得到伴随状态方程
1.3控制变量及最优性条件
控制变量选取的不同,最优控制问题求解的难易程度也不同。以推力方向作为控制变量,推导最优性条件的过程中需要进行大量的向量求导运算,较为复杂繁琐[6]。以攻角α,侧滑角β和倾斜角σ作为控制变量则可以极大地简化最优性条件的求解过程[9]。
当飞行器以零侧滑角飞行,最优倾斜角σ*由最优性条件(9)决定。因此,求解三变量的最优控制问题退化为求解单变量α的极值问题。同时根据Ib、In、pV和Vr共面的结论,结合图1可以得到:
H对α求极值∂H/∂α=0,则可得到:
式(12)中Nα、Aα分别为N和A对α的导数。使用牛顿法或黄金搜索法可求得α。求得α后,则伴随状态方程可表示为
1.4 体坐标轴单位向量
Ib、In确定在求得α之后,由图1并根据平行四边形法则可以得到:
式(14)中Iz、Ib和In构成右手坐标系。在得到体轴单位向量之后,通过发射惯性系与本体系之间的坐标转换矩阵就可计算出飞行器的俯仰、偏航和滚转角。
1.5 数值算法
基于最优控制理论描述的上升段微分方程组呈现出高度的非线性,无法获得解析解,必须通过数值算法进行求解。有限差分法是解决这类两点边值问题一种非常有效的手段[6,9],通过有限差分法将非线性常微分方程组离散为非线性代数方程组,再使用非线性求根算法进行求解。
由运动学方程(3)和伴随状态方程(13)组成待求的常微分方程组,边值条件由式(5)和式(6)给出。
式(15)中y=(rTVT)T∈R12。采用有限差分法求解式(13)时,将初始端和终端分为M段,步长h=(tf-t0)/M,节点数为M+1,未知量个数为12(M+1),其具体形式表示如下
undefined
将有限差分方程组在节点处一阶泰勒展开,略去高阶项和截断误差项,近似得到
undefined
式(16)—式(17)中,k=1,…,M。
使用带松弛因子的改进牛顿法来求解非线性方程组(17),其迭代格式为
式(18)中ΔY=(ΔyT0…ΔyTM)T。当迭代满足设定的正数小量ε时,仿真停止。
由于该改进型牛顿迭代法引入了松弛因子ηj,使得算法对初值Y0的选择条件放宽,但与牛顿迭代法相比,收敛速度降低,一般是线性的[10]。
2 仿真算例及结果分析
文献[9]提出了一种新颖的处理方法—降阶法,来对真空段和大气段的算法链接进行处理。该方法与定点迭代法[8]相比任务适应性更好,处理问题更为简单。大气段与真空段的算法链接正是基于降阶法思想。
2.1 仿真算例
选用某亚轨道飞行器作为研究对象进行仿真验证。从地面发射后,SLV首先进行10 s的垂直上升飞行,接着进入路径约束下的有攻角飞行阶段。当下面级发动机燃料耗尽时,飞行高度为57 km,速度为2 480 m/s,满足分离条件,上下两级分离。上面级发动机立即开始工作,将有效载荷直接推进入轨。从SLV发射到载荷入轨,整个飞行过程持续时间约为361.1 s。由于本文研究的重点是上升段轨迹的快速设计,为简单起见,因此并没有考虑级间分离、发动机关机影响以及下面级返回等其它情况。下面给出发射惯性坐标系下的初始条件、终端条件和路径约束。
发射初始条件为:初始位置r0=(637 813 5,0,0),初始速度V0=(0,220.28,281.95),单位分别为m和m/s。
上面级入轨条件为:终端高度hf=200 km,终端速度Vf=7 800 m/s,终端轨道倾角if=52.68°,终端航迹角γf=2°。
路径约束: 动压Q≤18 200 (kg·s-2·m-1),弯矩|Qα|≤4 880 (rad·N·m-2)。
仿真流程如图2所示。
2.2 仿真结果及分析
限于篇幅,仅列出部分仿真结果,如图3—图7所示。
当t=157.5 s时,飞行器高度达到57 km,速度达到2 480 m/s,下面级与上面级分离;当t=361.1 s时,上面级高度为h*f = 200.007 6 km,速度为V*f=7 800.802 m/s,到达预定轨道,仿真停止。从图3、图4可以看出,生成的轨迹能够满足终端高度和速度要求。另外,仿真结果表明,终端轨道倾角为i*f=52.684°,航迹角γ*f=1.998 7°,终端条件的相对误差量级均小于或等于10-3,精度较高。
攻角作为控制变量,按照推导求得的最优性条件由数值算法自动求解。其中垂直上升段时间由经验公式[2]计算得出。在随后的飞行过程中,由于并没有重力转弯的约束,所以攻角并不等于零。由图6可知,俯仰角随着时间减小,曲线变化比较平滑。
由图7可以看出,最大动压满足约束条件,并在t=78 s时达到最大,随后由于大气密度迅速下降,动压逐渐减小。由图5和图7可以看出,由于受到弯矩|Qα|的约束,当动压增大时,攻角减小。
仿真计算是在普通的PC机上进行,CPU为2.66 GHz。使用文中提出的算法生成一条能够满足各种约束的优化轨迹所耗费机时大约为3 s。传统的上升参考轨迹设计方法需要人为设计攻角或者程序俯仰角剖面,需要花数小时,甚至数天,而本文的攻角变化规律由算法自动求解给出。与传统设计方法相比,在快速性方面有显著的提高。这样可以为任务准备节约大量的宝贵时间。当飞行器发生故障需要应急返回时,本文的最优轨迹生成方法在应急返回轨迹的在线设计方面具有一定的借鉴意义。这正是算法优越性的体现。此外,使用本文算法求解最优轨迹,只需设定总体参数、仿真初始条件以及各种路径约束,调节参数较少,方便快捷,具有良好的任务适应性。
需要特别指出的是,实际设计中,一般来说飞行器的输入参数是俯仰角,因此需要将攻角指令转化为俯仰角指令。根据本文1.4节给出的式(14),首先由攻角得到体轴三个单位向量Iz、Ib和In在发射惯性系下的分量表达形式,再根据坐标转换矩阵就能够计算出飞行器任意飞行时刻的俯仰、偏航和滚转姿态角。
3 结束语
首先建立SLV上升段运动学方程,然后基于最优控制理论推导了攻角的最优性条件,并给出SLV上升段最优飞行轨迹生成的实现方法,最后通过仿真验证与分析,表明本文算法可行,具有良好的效果。与传统的轨迹设计方法相比,该算法最大的优点就在于求解快速性和任务适应性方面的显著改善。至于算法在实时在线生成最优轨迹的应用,还有待今后通过快速原型仿真技术进一步深入地研究和验证。
参考文献
[1]王振国,罗世彬,吴建军.可重复使用运载器研究进展.长沙:国防科技大学出版社,2004;12
[2]徐方暖.亚轨道飞行器上升段虚拟样机设计.西安:西北工业大学学位论文,2009;4
[3] Lu Ping,Pan Binfeng,Highly constrained optimal launch ascent guid-ance,Journal of Guidance,Control and Dynamics,2010;33(2):404—414
[4] Pan B,Lu P.Rapid optimization of multiburn rocket trajectories revis-ited.AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference and Ex-hibit,2009
[5] Calise A,Melamed N,Lee S.Design and evaluation of a three-di-mensional optimal ascent guidance algorithm.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1998;21(06):867—875
[6] Lu P,Sun H,Tsai B.Closed-loop endoatmospheric ascent guidance.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2003;26(02):283—294
[7]胡寿松.自动控制原理(第四版).北京:科学出版社,2010
[8] Lu P,Lijun Z,Sun H.Ascent guidance for responsive launch:Afixed-point approach.AIAA Guidance,Navigation,and Control Con-ference and Exhibit,2005
[9]泮斌峰.空天飞行器闭环制导理论与应用研究.西安:西北工业大学学位论文,2010
[10]蒋长锦.科学计算和C程序集(新一版).北京:中国水利水电出版社,2010
4WS汽车自动泊车轨迹生成策略 篇2
自动泊车系统(APS,Auto-parking system)是一项近年出现并应用的智能车辆技术,其直接目的是辅助甚至替代驾驶员完成泊车动作。自动泊车系统有助于解决人口密集城区的一些停车和交通问题。这种系统可以将汽车停放在较小的空间内,这些空间比大多数驾驶员能自己停车的空间小得多。这就使得车主能更容易地找到停车位,同时相同数量的汽车占用的空间也更小。
从安全角度来考虑,保证车辆的停泊过程是绝对安全;从舒适性方面来考虑,在整个泊车过程中车辆方向盘不能因转得过快使车辆产生晃动,另外要求车辆在泊车期间不能中途产生停顿转向问题,而加速轮胎磨损,应将车辆缓缓驶入泊车位。
路径规划的任务是当车辆从起始位置点开始泊车时,首先通过由超声波传感器、红外传感器测来的距离信息,确定车辆的位置和姿态和泊车过程中的无碰撞区域,然后在此区域内寻找一条光滑的路径,使车辆沿着规划轨迹运动时不会发生与周围物体的碰撞,最终能够使车辆准确地抵达泊车区域。路径是一条静态的几何路线,不包含时间概念。
轨迹规划是在路径规划的基础上,生成满足非完整系统内在约束的运动时间序列,最终得到连接始末状态的光滑运动轨线。如果将轨迹规划看作一个黑匣子的话,那么其输入就是路径规划所得到的泊车环境参数,输出是提供给后续跟踪控制器的参考轨迹和汽车方向盘转角的控制输入量。四轮转向汽车的优势主要是在低速转弯时,前后轮可以作反方向转向,从而减小车辆的转弯半径,提高车辆的机动和灵活性。同时保证当泊车空间相对于车辆尺寸非常狭小时,不需要多次往返的后退与前进运动,就能够使车辆一次性倒车入位的情况。
1、4WS汽车模型的建立
1.1 4WS汽车的运动学模型
为了使泊车过程便于理解与控制,忽略汽车外边界的轮廓形状,只考虑与运动相关的特性,将车身简化为前后轮可自由转向的矩形刚体。在车速缓慢行驶的情况下,假定车轮没有侧向滑动现象产生,可忽略车轮的侧偏角。基于阿克曼转向几何的运动学模型,由此建立汽车运动学模型,图1为4WS(Four Wheel-Steel)汽车运动学模型示意图。
在这个模型中,车辆的瞬时转向中心并不位于车辆质心点沿车身侧向方向的延长线上。这种情况下,对于车辆质心列写运动学模型如下[1]:
其中,v为车辆质心速度;β为车辆的质心侧偏角;Ψ为车身横摆角,即航向角,指汽车中心轴与χ轴正向夹角,通常取逆时针方向为正;l为轴距;
图1中,κ为转向中心在车身中心轴上的投影与质心点之间的距离;δlr,δrr,δlf,δrf分别为车辆左侧前轮,右侧前轮,左侧后轮,右侧后轮的转向角;δf,δr分别为前轴和后轴中心点的等效转角;(x,y),(xf,fy),(xr,yr)分别为车辆质心点,前轮轴中心点和后轮轴中心点位置的坐标。
一般来说,4WS汽车在转向过程中,根据不同的行驶条件,前轮和后轮转向角遵循一定的规律。为了避免汽车转向时产生路面对汽车行驶的附加阻力,降低轮胎的磨损程度,要求车辆的转向系统能够保证在汽车转向时,汽车的所有车轮均作纯滚动运动没有侧向滑动。当汽车在低速泊车过程中,忽略αf、αr前后轮侧偏角度,接近中性转向时,由图中观察得到前轮与后轮转角的几何关系表示为:
其中,a为质心至前轴的距离;b为质心至后轴的距离;R为汽车瞬时转弯半径;
1.2 车辆的动力学模型
在四轮转向分析中,从满足需要的角度考虑,通常采用的是把汽车简化成一个二自由度的两轮车模型,如图2所示,忽略悬架的作用,认为汽车只做平行于地面的平面运动,即汽车只有沿y轴的侧向运动和绕质心的横摆运动。此外,汽车的侧向加速度限定在0.4g以下,轮胎的侧偏特性处于线性范围内[2]。
模型的运动微分方程为:
其中,M为整车质量;ωr为横摆角速度;IZ为车辆绕z轴的转动惯量;Fyf,Fyr分别为前轮和后轮的侧偏力;υ,u分别为车辆质心的侧向速度和纵向速度;
由于汽车在行驶过程中后轮转角与侧偏角在坐标系下的投影满足以下关系:
将式(1.5)其代入式(1.3),可以得到后轮转角角度为:
2、基于微分平坦、B样条理论的泊车轨迹生成
研究目标是对于给定初始状态和目标状态的车辆,通过微分平坦理论、B样条理论的方法,规划出输入及系统状态的时间相关的轨迹函数,并能在满足车辆动力学约束的情况下,优化目标函数。轨迹规划任务在整个泊车系统中位置框图如图3所示。
2.1 基于微分平坦理论的轨迹规划方法描述定义
对于一个非线性系统:
如果可以找到一个如下所示形式的输出:
使得系统状态x和输入状态u都能够由输出状态z及其有限阶导数来表示,即
那么这个系统(3.1)就是微分平坦系统,或者称该系统为微分平坦系统。其中z称为这个系统的平坦输出[3]。
简而言之,如果可以找到一组系统的输出,使得系统所有输入和状态变量都可以由这组输出变量及其有限阶导数来表示,那么这个系统就是一个微分平坦系统,也就实现了使非线性系统线性化的目标。一般来说,平坦输出空间的维数m低于状态空间维数n,这使得轨迹规划任务能够在低维空间进行,而这一优点直接带来的好处就是降低了优化问题的求解难度。应用微分平坦处理轨迹规划问题的流程如图4所示。为区分车辆质心坐标和系统状态,图中质心坐标用大写字母(X,Y)表示,系统状态用小写字母(x1,x2,…xn)表示。
确定系统的平坦输出后,将其参数化为:
其中,l代表参数化函数。
接下来,在满足平行泊车路径约束空间,曲率约束、转向角约束和车速约束等条件下求解,得到目标函数最优解集z(t)。
2.2 输入与系统状态的平坦输出表示
根据上述4WS汽车运动模型中的式(1.1)所示。其输入可取为u=(v,δf),维数m=2,系统的状态为(x,y,Ψ),这里选择输出z=(x,y)。根据微分平坦的原理,如果我们可以证明系统的输入可以由其平坦输出及其有限阶微分项来表示,那么就可以确定系统的微分平坦属性。
由图1知有如下非完整约束形式:
如果写成矩阵形式,那么公式(3.3)就可以表示为:
根据微分方程组(1.1),进一步得到运动学状态控制模型:
其中,ω为前轮的横摆角速度,与前轮转角δf关系为δf=ω。
由微分方程组(1.1)很容易用平坦输出描述的是系统输入v:
车辆的质心侧偏角是反映车辆稳定性的一个重要参数。稳态是横摆角速度ωr为定值,此时,以此代入动力学微分方程分析计算,得到4WS车辆工作在稳态区域质心侧偏角与车速、前轮转向角和后轮转向角之间的关系:
车辆工作在稳定工况,满足动力学特性的情况下,作如下假设[4]:
在此假设下,可以采用β=-A1ρ3v+A2ρ来进行计算。
由曲率的公式有:
则质心侧偏角的平坦输出为:
对于系统的第三个状态横摆角Ψ,由几何关系式:
选择另一个输入为δf,对于前轮转角可通过(1.6)求得:
将(2.11)求导得:
其中:
前轮转向角的平坦输出表达式为:
输入量u=[v,δf]都可以由平坦输出z=[x,y]的有限阶微分项表达式求解完毕,从而判定系统是微分平坦的。平坦参数化可以最大程度的优化维数,降低计算难度。
2.3 基于B样条理论的微分平坦参数化
为了将最优控制问题转化为非线性规划问题,文中将各个等式及不等式约束尽可能精确地转化为一组静态等式约束,进行参数化变量、离散化时间域。于是,将选定的平坦输出变量参数化为合适的时间函数。即所有的平坦输出zi,i=1,…,N,参数化为:
这里为选择的基函数。这样就将在输出空间进行轨迹规划的问题转化为求解一组满足约束的参数化系数问题。
在智能泊车的轨迹规划中,选择一种什么样的基函数,是进行平坦输出参数化所需要考虑的重点。相比较与其他几种常用的参数化方法,比如直接配点法,逆动力学优化方法,采用B样条进行参数化独特的优势在于,完全由控制点的位置来决定曲线的形状,参数化过程中所求系数即是这些控制点。
基于B样条理论的微分平坦参数化具体实现方案:
(1)利用微分平坦属性在一个较低维空间中找到新的输出,确定所要生成B样条曲线的段数及期望生成曲线的平滑属性,从而确定所要选用的基函数的阶次;
(2)由非线性规划器在满足最优控制目标和约束条件的前提下,求解出B样条曲线的系数;
点列,{i=0,1,...n。U={u0,u1,……un+k+1}是递增的实数序列,{Ni,k}为定义在节点向量U上的k次B样条基函数,则k次B样条曲线表达式为:
其中:pi称为控制顶点或者de Boor点,顺序连接pi所成的折线多边形称为控制多边形[5]。
我们可以设想,如果把路径约束加到求解参数化系数中,使得控制点的位置满足路径约束的条件,那么通过B样条参数化以后生成的路径,就能实现避障的目标。利用我们将平坦输出变量参数化为合适的时间函数。即所有的平坦输出zi,i=1,2,...N,选择平坦输出z为优化变量,参数化可以表达成:
这里Ni,k,是对于kj次输出zj的第i个B样条基函数,是B样条曲线基函数的系数。pj=lj·(kj-mj)+mj,其中lj是节点插值的数量,mj是节点处的平滑条件。
这样在输出空间的轨迹规划问题,将进一步转化为如何选择一组满足约束的参数化系数问题。
2.4 B样条参数化系数求解
对于一些满足约束条件的非完整系统,轨迹规划问题可以归纳为最优控制问题。最优性原理表明,对于给定的性能指标,当状态空间的任意一点出发时,其最优控制仅取决于被控系统在这一点的状态,而与到达该状态以前的系统经历无关。
一般情况,待输出由B样条函数参数化后,确定系统的优化目标函数为[6]:
其中满足微分等式的约束:
同时满足不等式约束:
从而根据微分平坦理论,将最优控制问题变成B样条基函数的系数化,根据式(2.21)和式(2.22)将原始的约束及优化目标转化为:
而B样条曲线的系数η可以通过求解在约束条件的前提下使得目标函数最小的非线性规划问题得到。最后,系统的轨迹就可以由B样条曲线的形式来表示。
3、结论
针对传统的建模方法仅仅依靠车辆在泊车过程中的运动学模型,而忽略车辆侧向力的作用,且不考虑车辆质心侧偏角对车身姿态的影响,本文建立了车辆动力学模型与运动学模型。在车辆倒车运动中,并不是一段曲率相等的圆弧,存在实际转弯半径与瞬时转弯半径不相等,实际的转向中心与瞬时转向中心也并不是同一点,继而规划路径时假设两段圆弧的衔接处为一个点或者一段直线都太过理想化,车辆的转向角与方向盘转角关系是近似的线性关系,不可能存在驻车等待方向盘回正的同时车轮的转向角也为0。
由于路径规划平行泊车策略所产生的种种误差因素以及缺陷,本文提出将微分平坦、B样条理论的泊车轨迹生成方法应用到4WS车辆中,可以很好的解决泊车过程中所出现的停顿转向,泊车完成后还需进一步调整车身姿态等问题。
参考文献
[1]沈林成,徐昕等.移动机器人自主控制理论与技术[M].北京:科学出版社,2011.
[2]张孝祖.车辆控制理论基础及应用[M].北京:化学工业出版社,2006,10.
[3]Antonov S,Fehn A,Kugi A.A new flatness-based control of lateral vehicle dynamics[J].Vehicle System Dynamics, 2008,46(9):789-801.
[4]YoonY,Shin J,KimHJ,et al.Model-predictive active steering and obstacle avoidance for autonomous ground vehicles[J].Control Engineering Practice,2008,17(7): 741-750
[5]张超杰.基于微分平坦理论的飞行器轨迹规划方法研究[D].湖南:国防科技大学,2010.
五轴数控机床轨迹生成方法研究 篇3
关键词：五轴机床,轨迹生成,刀具轨迹,实时轨迹
0 引言
近年来，五轴数控机床加工自由曲面受到了广泛的关注，因为五轴机床能够提供三轴机床不具备的优化刀具位姿和复杂加工模式，同时能够实现更高的精度和更小的误差，大大减少了前处理和后处理的时间。然而，当前的五轴加工刀具路径由直线段逼近，并且刀具的方向在每个线段不变，导致不能加工出很好的平滑表面。但是每一条线段刀具方向的变化又会增加驻留时间，为了获得更好的表面质量，线段的数量指数增长，因此，实际加工过程中需要尽可能减少线段的数量，显而易见，五轴数控机床的有效轨迹生成方法亟需研究。
目前的CAD系统与传统CNC系统在定义几何的方式上存在技术差异，CAD系统提供给设计者的工具是平面或者空间参数曲线，但是CNC系统仅支持直线和圆弧路径运动，因此需要研究参数曲线的插补方法。相关的研究也有很多，例如：文献[1]提出了多轴机床命令生成的一般理论，文献[2]研究了三轴机床的实时曲线插补，文献[3]研究了一个参数插补器，文献[4]研究了五轴机床的实时控制器，文献[5]研究了六轴机器人的实时NURBS曲线插补器。实时参数插补减少了记忆存储，保证了刀具位置的一阶和二阶连续，但是生成和控制五轴数控轨迹的主要问题是刀具方向的连续和平滑描述，因此需要研究一种控制算法来修正刀具起始方向的连续性。
本文提出一种新的五轴数控机床轨迹生成方法，将刀具位姿、起始方向和运动参数在规定的采样时间内计算，通过一个逆运动学程序在规定采样时间内执行每个轴生成的命令，相比于传统的离线控制策略，可实现实时轨迹控制。
1 刀具路径优化生成流程
当一个五轴铣床加工曲面时，刀具残留高度可以在已加工表面上观察，将刀具路径和刀具路径间隔划分的表面定义为相邻刀具轨迹的距离。如图1所示的残留高度h和步长p。若加工的步长过大，则加工表面较为粗糙；步长过小，则降低了加工的效率。
图1中刀具步长与残留高度的关系式表示为：
式中：κ为曲面的曲率。在允许的残留高度下可以计算最大加工步长，为了简化刀具路径规划过程，曲面边界曲线可以作为起始路径，然后决定连续的路径。
实时轨迹规划为了获得平滑曲面，需要在几何数据和加工情况的基础上生成刀具位置、方向和运动参数的数据，曲面的几何数据可以用三次面型形式输入到数控机床中：
由刀具路径规划确定的刀具轨迹可以表示为：
为了获得更好的加工面型，刀具需要在轨迹上的速度固定，如果规定了刀具的进给率，则采样周期内的刀具步长可以表示为：
式中：V为进给率；T为采样周期。根据泰勒级数公式，采样周期内的刀具步长可以表示为：
式（5）可以近似为：
将式（6）代入式（4），整理得：
因为ui=ui-1+Δu，将其和式（7）代入到式（3），可以得到第i个采样周期内的刀具位置。
将刀具的一阶和二阶位置变量作为刀具常规的线性速度和加速度，本文提出的五轴数控机床的轨迹生成方法的流程如图2所示。
2 刀具路径优化生成仿真
球头铣刀的外形可以制造成各种形状，因此适宜加工自由曲面模具或者模型。采用球头铣刀加工自由曲面的刀具轨迹生成策略描述如下：
由式（2）与加工情况决定了式（1）的刀具路径步长和待加工表现信息。在常数进给率下，可以由式（7）得到每个采样周期内的独立参数u，然后根据u和式（4）获得刀具的位置和起始方向数据。刀尖轨迹生成一条基准线，曲面法向量的趋近向量为网格曲面划分的规则。网格轨迹建模类似单位球面的曲线，在弗格森曲线模型的基础上，重新表示基准线和网格规则，进一步获得基准线的一阶、二阶和三阶运动参数以及网格规则，由CAD系统获得加工情况和曲面的几何参数，采用实时控制技术计算刀具的位置和角运动属性。
如图3所示，本文进行了一组自由曲面加工轨迹仿真，仿真工件的尺寸为400 mm×400 mm，仿真刀具采用球头铣刀，进给率设置为10 mm/s，采样周期设置为10 ms，整个仿真工件的位置总数为8 005，计算时间为50.66 s。
3 结论
本文提出一种新的五轴数控机床轨迹生成方法，在网格曲面曲率理论的基础上，沿着生成的轨迹计算刀具的运动属性。不同于常规的插补技术，本文方法用到了高阶运动属性，不仅仅适用于五轴数控机床，更适用于自由曲面的精密加工，对于多自由度三维加工机床同样适用。
参考文献
[1]CHOU J J,YANG D C H.Command generation for three-axis CNC machining[J].Journal of Engineering for Industry,1991,113(3):305-310.
[2]KOREN Y,LO C C,SHPITALNI M.CNC interpolators:algorithm and analysis[C]//1993 ASME Winter Annual Meeting on Manufacturing Science and Engineering.[S.l.]:ASME,1993:83-92.
[3]HUANG J T,YANG D C H.A generalized interpolator for command generation of parametric curves in computer controlled machine[C]//1992 Japan-USA Symposium on Flexible Automation.[S.l.]:ASME,1992:172-176.
[4]KOREN Y.Five-axis surface interpolators[J].Ann.CIRP,1995,44(1):379-382.
[5]ZHANG Q G,GREENWAY B.Development and implementation of a NURBS curve motion interpolator[J].Robotics and Computer-Integrated Manufacturing,1998,14(1):27-36.
[6]吴宝海,罗明,张莹,等.自由曲面五轴加工刀具轨迹规划技术的研究进展[J].机械工程学报,2008,44(10):9-18.
[7]董伯麟.高速、高精度五轴联动数控系统关键技术研究[D].合肥:合肥工业大学,2007.
[8]蔡永林,席光,樊宏周,等.曲面5轴加工中全局干涉检查与刀位修正[J].机械工程学报,2002,38(9):131-135.
[9]杨勇生.五轴数控加工中刀具干涉处理的特征投影法[J].工程图学学报,2003,24(1):15-22.
[10]CHEN X D,YONG J H,WANG G,et.al.Computing the minimum distance between a point and a NURBS curve[J].Computer-Aided Design,2008,40(10/11):1051-1054.
[11]CHEN XD,CHEN L Q,WANG Y G,et al.Computing the minimum distance between two Bezier curves[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,229(1):294-301.
轨迹快速生成 篇4
作为一名数学教师, 不但要传授学生数学知识, 还要注重培养学生良好的数学意识、数学思维和数学习惯。下面谈谈自己的教学实践.
一、课堂预设
本课的知识与技能目标是:通过三道例题的分析讲解, 让学生掌握求动点轨迹方程的五种方法, 并能独立选择相对较好的方法, 解决相关的问题.
二、课堂生成
1.创设情境, 引入课题
有很多学生对数学不感兴趣, 甚至畏惧数学, 其中一个重要因素就是数学离学生的生活太远了.因此, 数学学习应该和学生的生活结合起来, 让学生在生活实例中发现、探索数学知识, 学习并掌握数学知识.所以教学中, 应适当设计与教学内容密切相关, 且与学生生活相联系的问题情境, 能有效激发学生的兴趣, 调动学生学习的积极性.为此, 笔者提出了下面的问题:在座的各位在公园都见过, 甚至坐过摩天轮、过山车, 那么摩天轮、过山车运动时留下的优美轨迹怎么求呢?
下面结合例题教学谈谈自己的预设与生成.
2.题意分析, 寻求思路
例:已知圆C的方程为: (x-1) 2+y2=1, 过原点O作任一弦OA, 求弦OA的中点M的轨迹方程.
分层设问:
①弦的中点有什么性质?
②直角三角形的边有什么性质?
引出:
|MO|2+|MC|2=|OC|2
3.温故知新, 做好知识铺垫
方法一 五步法 (直接法或直译法) .这种方法的解题步骤是:①建系设点;②列等式;③代入;④化简;⑤证明与检验.
结果:经过分析计算可得弦中点的方程为
疑难点:不少学生在得出弦中点的轨迹方程后, 就完事了.认为这个轨迹方程是过原点的, 其实不是这样的.为什么?
设计意图:五步法是求动点轨迹方程的通法, 是其他方法的基础, 可为其他方法的研究做好铺垫, 因此五步法应放在最前面进行简约温习.
4.探求新法, 归纳原理
方法二 定义法 (公式法) :
探讨:能不能利用某些几何性质, 直接猜测并证明动点的轨迹为圆?
难点破解 :
Rt△OMC的斜边OC固定, 那么直角顶点M的轨迹是什么图形?
设计意图:
从结果出发, 寻求解决问题的关键, 是分析问题的一种常用的逆向思维方法, 可锻炼学生思维的发散性和灵活性.在教师的点拨下, 学生恍然大悟.让学生在探索过程中, 感受成功的喜悦.
方法三 代入法 (转移法)
探讨:
①观察图形, 图中有几个动点?它们的轨迹是否都未知?
②能不能把主动点的方程转化为从动点的方程?
难点破解 :
从动点为M (x, y) , 主动点为A (x0, y0) , 把主动点的坐标用从动点的坐标表示, 再代入主动点方程得到从动点的方程.
代入法 (转移法) :先把主动点的坐标用从动点的坐标表示, 再代入主动点轨迹方程得到从动点轨迹方程 (双动点) .
5.意外出现, 因势利导
在讲方法三时出现意外, 当时不论怎样启发, 学生的思维与教师的思路不一致, 但却引出其他方法, 如向量法、交轨法、参数法.而这些方法是准备用其他两个例题讲解的, 于是因势利导, 果断放弃后面两个例题, 促成学生发散思维, 课堂达到高潮, 一道例题六种方法, 精彩终于生成.
方法四 向量法
探讨:
能不能采用与向量垂直有关的知识来完成?
难点破解 :
归纳
向量法:利用向量性质 (主要是利用垂直和平行) 求曲线方程.
方法五 交轨法:
探讨:
①观察图形, 弦中点M在运动时, 会引起那些直线运动?它们的交点又是谁?
②能不能利用动直线OM和CM的方程来求交点M的轨迹方程?
难点破解 :
设直线lOA:y=kx ① 则lCM为:
由于动点M (x, y) 是动直线lCM与lOA的交点, 其坐标满足方程①和②.
归纳:
交轨法:若动点是两动曲线的交点, 可联立两曲线方程, 消去多余参数, 得出动点轨迹方程.消参过程大多可以相乘.
方法六 参数法
探讨:
能不能采用圆的参数方程来解这道题?
疑难破解:
由于点A在圆C上, 可设
代入中点M的坐标方程, 再消去参数a, 即得点M轨迹方程.
归纳
参数法:根据曲线性质, 把动点坐标用参数方程表示, 然后消去参数, 得出方程.
6.归纳总结, 理解识记
比较归纳:
(1) 五步法:是通法, 适用性强, 但要尽量避免复杂计算.
(2) 定义法:要准确判断动点轨迹形状.
(3) 代入法:要有双动点和已知其一动点轨迹方程.
(4) 向量法:要能找到垂直或平行的动向量.
(5) 交轨法:动点为两动直线 (或动曲线) 的交点.
(6) 参数法:已知特殊曲线方程.
三、课后反思
数学是一门培养和发展人思维的重要学科, 在教学中, 让学生经历观察、分析、质疑、验证、推理、交流等活动, 有利于理解、识记和应用知识.因此, 在教学设计和教学过程中, 应注重了以下几点:
1.发挥教师的导航作用, 采用设问启发、疑难点拨、学生归纳等探究式教学, 同时不拘泥于教案及预设.
2.注重学生的主体地位, 让学生多动口动手动脑, 放手培养学生的各方面能力.特别尊重学生的创意, 不打乱他们的思维, 因势利导, 最终取得了意想不到的教学效果.
3.利用多媒体辅助教学, 既形象, 又直观, 从而优化教学过程, 大大提高教学效果.
轨迹快速生成 篇5
关键词：移动机器人,GPS,定位,轨迹生成,路径回放
0 引言
机器人被越来越多地应用在复杂环境的探索工作中。机器人要实现在复杂环境中漫游与避障,应具有自主建立环境地图、传送地图的能力,如果要完成某些特定任务,还应具有远程遥控操作能力。而机器人的路径回放及机器人实时位置的确定,有助于机器人避障及环境定位功能的实现。
在其他条件不变的前提下,可通过增加机器人的运行时间和观测次数来提高地图的估计精度[1]。本文通过在移动机器人的运行过程中增加高精度GPS定位模块,实现机器人的轨迹生成、路径回放及定位功能。
GPS是一种具有全方位、全天候、全时段、高精度的卫星导航系统,由空间部分、地面控制部分以及用户部分组成。空间部分主要使地面上任意一点随时随地观测到4颗以上卫星[2];地面控制部分用于收集卫星传回的信息,获取必要的导航和定位信息;用户部分则根据地面控制部分计算出的数据,按照定位解算方法确定用户所在地理位置的经纬度、高度、速度、时间等[3]。GPS系统工作原理:地面控制部分测量出多个已知空间位置的卫星到用户接收机之间的距离及角度等信息,综合多颗卫星数据即可计算出机器人所处的具体位置。
本文设计的移动机器人可通过融合复杂环境中的各种传感器信息,实现对自身运动的闭环控制及在复杂环境中的避障功能;通过安装GPS模块,可实现在复杂环境下的自主漫游功能[4]。
1 移动机器人电器系统设计
移动机器人的电器系统是整个机器人的设计核心,主要包括电源模块、传感器模块、臂部模块、底盘模块、GPS定位模块等[5],如图1所示。
底盘模块采用带编码器的空心杯减速直流电动机2342L012,其额定电压为12 V,输出功率为17 W,输出转矩大,减速比高,用于智能小车中转速反馈控制时可使转速稳定性高。传感器模块包括红外传感器和超声波传感器,采用复合滤波算法使机器人具有良好的避障功能[6]。GPS定位模块协助机器人实现地图生成和定位的功能[7,8]。臂部模块为安装有金属材料的机械臂和机械手,在GPS定位基础上实现固定位置取放材料功能。
2 基于GPS的轨迹生成及定位
本次实验致力于通过扩展板的模块化和轻量化,实现移动机器人更多功能,因此选用Microduino扩展板,功能模块可相互堆叠,即插即用,使扩展板的功能迅速得到扩展。Microduino扩展板包含核心模块、GPS定位模块、记录模块、电池模块、显示模块。
2.1 GPS定位模块组成
GPS定位模块由GPS天线、电源、变频器、信号处理模块、应用处理模块等组成,如图2所示。软件部分包括内软件和外软件,内软件是指GPS单点定位软件或固化在中央处理器的自动操作程序等;外软件是指GPS数据处理程序。
电源开启后,GPS天线接收卫星发射的电磁波信号,捕获到按一定卫星高度截止角选择的待测卫星信号,并跟踪这些卫星,获得必要的导航和定位信息及观测量;变频器和信号处理模块对接收到的GPS信号进行变换、放大和处理,测量出GPS信号从卫星到GPS天线的传播时间,解译出GPS卫星所发送的导航电文,实时计算出移动机器人的三维位置,甚至三维速度和时间。
2.2 GPS定位模块连接
图3为GPS定位模块引脚连接。GPS定位模块电压供电范围为3.3~5V,将GPS定位模块与Microduino扩展板的其他模块进行串口匹配,1PPS作为秒脉冲输出引脚。Microduino扩展板默认与GPS定位模块的串口通信引脚为RXA,TXA,用于与外界端口连接。USB端口(USBDP,VDD)作为与PC机传输数据的实际接口。GND为接地线,引脚18,20,22须连接在一起。BOOT引脚在正常工作时不需要连接,悬空即可。
2.3 GPS漫游实验
将安装好GPS定位模块的移动机器人置于人流稀疏地段,GPS定位模块可自行供电,上电后红色LED闪烁。按下启动键,GPS定位模块的绿色LED闪烁,表示该模块已连上卫星,按下SD卡启动键,SD卡开始读取GPS数据并记录。选择运动场作为本次实验的起始点,图书馆作为终点,总距离约为1 000m,实验过程持续约30 min。该机器人自带避障功能,可避免运行过程中发生碰撞。
为确保实验结果的准确性和有效性,进行3次实验,除不可抗拒因素外,实验环境完全相同。第1次实验结束后,按下结束键切换至下一段记录,连续运行3次,并取最优结果。最后关闭电源,结束实验。
在实验过程中,GPS定位模块显示器可显示时钟、经纬度、运行速度、连接卫星个数、海拔高度、信号强度等信息,便于观测。
2.4 基于谷歌地图的室外运动轨迹生成
实验中自动生成的存储文件以特定的地图格式置于存储器中,文件名可自行设置。生成的数据流以GPX格式文件存储于GPS定位模块的存储器中,数据流信息包括时间、位置、速度等,由Microduino扩展板进行处理,PC机只需接收处理后的数据进行绘图即可。
将实验结果导入谷歌地图中,即可在谷歌地图上自动生成移动机器人的运动轨迹,如图4 所示。点击运动轨迹的任意一点即可显示该点的经纬度、海拔高度、运行速度等。GPS定位模块的单点定位精度约为3~5m,实验结果在速度和路线上有细微差别,但可表明移动机器人能够实现路径回放功能。若对移动机器人进行适当控制,可实现机器人在未知环境下的自主漫游。
2.5 基于Matlab的室内机器人路径回放
在相同的环境下进行3次室内实验,取最优结果。机器人沿实验室墙边自行漫游,运行完毕后,采用Matlab软件将其结果进行回放并处理,结果如图5所示,其中x,y分别为横向、纵向坐标。
采用最小二乘法拟合实验结果,经Matlab处理后,路径回放结果符合实际情况。可见GPS定位模块在室内也可实现路径回放功能,并协助机器人实现定位及避障。
3 结语
通过对移动机器人的GPS轨迹生成及定位进行实验研究,实现了移动机器人在复杂环境中的漫游及运动路径回放功能。通过GPS定位模块对移动机器人进行实时定位,在定位精度方面需要进一步加强。下一步将改进机器人外形及优化性能,使该机器人实现更多功能。
参考文献
[1]张小红,郭斐,李星星,等.GPS/GLONASS组合精密单点定位研究[J].武汉大学学报:信息科学版,2010(1):9-12.
[2]李倩.GPS/INS组合导航系统研究及实现[D].上海:上海交通大学,2010:105.
[3]何正斌.GPS/INS组合导航数据处理算法拓展研究[D].西安:长安大学,2012:109.
[4]张涛.GPS/SINS超紧密组合导航系统的关键技术研究[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2010:160.
[5]梁栋,尹晓红,王梦晴.移动机器人研究现状及发展趋势[J].科技信息,2014(9):33.
[6]叶加伟.GPS接收机捕获跟踪算法研究及FPGA设计[D].成都:西南交通大学,2009:84.
[7]滕云龙.GPS接收机数据处理技术研究[D].成都:电子科技大学,2011:112.
轨迹快速生成 篇6
目前用于曲面数控加工刀具轨迹的计算方法比较多,主要有参数线加工方法、截面线加工方法、投影加工方法等,但应用比较普遍的还是参数线加工方法。采用参数线法加工曲面时,刀具沿曲面的一条参数线(u向)切削,则另一参数线(v向)为行距方向,在整条参数线上按等参数步长计算点位。刀具轨迹是由刀位点构成,刀具轨迹的生成关键是刀位点的计算。一种较好的刀位计算方法不仅要求计算速度快、占用计算机内存少而且还要使切削行间分布均匀、走刀步长分布合理、加工效率高等。尽管目前一般的CAD/CAM系统是采用NURBS曲线和曲面,然而NURBS曲面理论还存在一些难以解决的问题:一是比传统曲线曲面定义方法需要更多的存储空间;二是权因子选取不当会引起畸变;三是反求曲线曲面上参数值的算法,存在数值不稳定问题[1],但是由于Bezier曲线和曲面的一些优良特性,所以在工程中经常使用。本文以双3次Bezier曲面理论为基础,结合数控编程中的等距面法和参数线法,以VC为开发平台,给出了一种较为简便的自由曲面数控加工刀位轨迹的生成方法。
1 4边域Bezier曲面造型理论
由Bezier曲面造型理论可知,给定(n+1)×(m+1)个控制顶点列Pi,j(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m),则n×m次Bezier曲面定义为:
依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格,称之为Bezier曲面的控制网格或控制多边形。Bezier曲面的矩阵形式:
一般实际应用中,n,m不大于4。式中Bi,n(u)=C inu i(1-u)n-i,分别是n次,m次Bernstein基函数,也称为调和函数;r(u,v)为n×m次Bezier曲面片。双3次Bezier曲面片的矩阵形式是:
如图1所示为双3次Bezier曲面及其控制网格。
2 曲面数控加工刀具轨迹的生成
对于数控铣削工艺来说,重要的是采用什么方法把已经设计出来的曲面加工出来,而不是研究用什么方法来构造曲面[2]。本文采用双3次Bezier曲面片作为数控加工编程的对象,用球头刀作为刀具模型。通过对现有的刀具轨迹生成方法的研究,本文结合参数线法和等距面法,在被加工曲面上构造一法向距离等于球面刀半径d的曲面,然后在该等距面上沿整条参数线按等参数步长计算步距点。等距面上的步距点就是刀位点,这些步距点的有序集就构成了球面刀在被加工曲面上的刀位点轨迹,在NC加工中,球面刀的中心始终沿着这个等距面移动的。图2为程序设计流程图。
2.1 曲面等距面的确定
建立等距曲面的关键在于求得原始曲面的法向矢量,不同形式的曲面方程算法也不同,自由参数曲面的等距曲面的建立计算方法如下:
设曲面方程的参数形式为:
设Pu为曲面上一点沿u向的切矢,Pv曲面上一点沿v向的切矢,由式r(u,v)=UMbPM TB V T可求出u、v方向的切矢量:
若以x'u,y'u,z'u表示u向切矢的3个分量,x'u,y'u,z'u表示v向切矢的3个分量,上式可表示为:
2.2 参数域行距步长的确定
曲面加工的刀具轨迹在理论上是由刀具与曲面的啮合关系所确定的复杂曲线,但由于CNC插补能力的限制,该曲线轨迹只能用一系列的小直线段进行逼近,再由CNC机床作线性运动近似成型。显然,走刀步长过大将使曲线成为明显的折线,使轮廓精度及表面质量恶化,后续加工量大,整体效率低。但步长过小又将导致零件程序十分庞大,使用不便和效率下降,且补偿过小容易使数控机床产生速度波动和平均下降,从而影响效率和质量。因此,走刀步长的合理确定是刀具轨迹计算中的重要问题[3]。本文根据参数线法加工的特点选取等参数步长法来确定步距点,如图3所示。
等参数步长法是对曲线参数u或v进行等距分割,然后将每一个节点的参数值代入曲线表达式中计算出该点的坐标,将各相邻离散点用直线段顺序相连即构成逼近原曲线的刀具轨迹。该方法的特点是计算简单且稳定,行距的确定与步距点相同。
在曲面造型的基础上,依据上述计算公式进行编程,则可计算出需要加工曲面上任意一点的刀心坐标值,从而得到加工时的刀具中心运动轨迹。若以选取刀具半径10mm的球头铣刀加工为例,其加工仿真图如图4所示,同时可以运用程序输出刀具中心轨迹点坐标数值,以方便数控加工时的编程,如图5所示。
3 结束语
参数线法计算简单,适用于参数线分布比较均匀的曲面。缺点是当加工曲面的参数分布不均匀时,切削行刀具轨迹的分布也不均匀,加工效率也不高,如果曲面参数不均匀时必须对参数线加工方法进行优化或采用截面线方法。为提高加工效率和精度,应该建立步长与曲率半径、插补误差的关系和行距与加工残留高度的关系,这都有待于进一步的研究。
摘要：依据逆向工程中自由曲面造型理论,结合数控编程中等距面法和参数线法,给出了一种较为简便的数控加工刀位轨迹生成方法。
关键词：曲面造型,数控加工,刀位轨迹
参考文献
[1] 孙家广.计算机图形学[M].北京:清华大学出版社,1998.
[2] 王爱玲.现代数控编程技术及应用[M].北京:国防工业出版社,2004,120-125.
[3] 周济.数控加工技术[M].北京:国防工业出版社,2004,98-111.
[4] 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京:北京航空航天大学出版社,2001.
[5] 王哓江,蔡永林,陈耿.曲面造型及数控加工刀具轨迹生成方法的研究[J].现代制造工程,2003,(12).