轨迹方程

轨迹方程（精选9篇）

轨迹方程 篇1

求动点轨迹的方程是平面解析几何研究的一个较难又必须掌握的重要问题, 它的种类繁多, 解法不一, 但一般遵循这样一个原则:设动点坐标 (x, y) , 根据已知条件, 找出x与y的等量关系, 即为该动点的轨迹方程.求轨迹方程常用的方法有:

一、直接法 (或称等量法)

凡动点和已知点或曲线间存在着直接或间接的等量关系时, 可直接列出含有x, y的等式, 即得所求的轨迹方程.

例1 在△ABC中, B (1, 0) , C (5, 0) , 点A在x轴上方移动, 且tanB+tanC=3, 求点A的轨迹方程.

undefined

故所求方程为undefined

二、定义法

圆锥曲线的定义, 不仅是推导方程的依据, 而且有广泛的应用.利用圆锥曲线定义求轨迹, 往往事半功倍, 妙趣横生.

例2 已知点A (-4, 0) , B (4, 0) , 圆 (x+4) 2+y2=4, 动点P分别满足下列条件, 试分别求出不同条件下动点P的轨迹方程.

(1) △PAB的周长为20;

(2) 圆P过B (4, 0) 且与圆 (x+4) 2+y2=4相切;

(3) 圆P与圆 (x+4) 2+y2=4外切, 且与直线x=2相切.

解 设P (x, y) .

(1) 由题意得|PA|+|PB|=12 (定值) .由椭圆定义, 点P在以A, B为焦点的椭圆上, 且a=6, c=4, b2=20.所求轨迹方程为undefined

(2) 若圆P与圆 (x+4) 2+y2=4外切, 则

|PA|-|PB|=2.

若圆P与圆 (x+4) 2+y2=4内切, 则

|PB|-|PA|=2.

由双曲线定义, 点P是在以A, B为焦点的双曲线上, 且a=1, c=4, b2=15.所求点P的轨迹方程为undefined

(3) 依题意, 点P到点A (-4, 0) 的距离等于点P到直线x=4的距离, 由抛物线的定义, 点P的轨迹为抛物线y2=-16x.

三、代入法 (相关点法或转移法)

若动点P (x, y) 依赖于已知曲线上的另一个动点Q (x, y) 而运动, 且可求出关系式x=f (x, y) , y=g (x, y) , 于是将这个Q点的坐标的表达式代入已知曲线的方程, 化简后即可得P点的轨迹方程.

例3 (2008年江西高考, 理21) 设点P (x0, y0) , 在直线x=m (y≠±m, 0

(1) 过点A作直线x-y=0的垂线, 垂足为N, 试求△AMN的重心G所在的曲线方程;

(2) 求证:A, M, B三点共线.

解 设A (x1, y1) , B (x2, y2) .

由已知得到y1y2≠0, 且xundefined-yundefined=1, xundefined-yundefined=1.

(1) 垂线AN的方程为y-y1=-x+x1,

由y-y1=-x+x1和x-y=0得

垂足undefined

设重心G (x, y) ,

undefined

解得undefined

由xundefined-yundefined=1可得undefined

即undefined为重心G所在的曲线方程.

(2) 证明 设切线PA的方程为y-y1=k (x-x1) ,

由y-y1=k (x-x1) 和x2-y2=1得

(1-k2) x2-2k (y1-kx1) x- (y1-kx1) 2-1=0.

从而Δ=4k2 (y1-kx1) 2+4 (1-k2) (y1-kx1) 2+4 (1-k2) =0, 解得undefined

由此PA的方程为y1y=x1x-4.

同理, PB的方程为y2y=x2x-1.

又 P (m, y0) 在PA, PB上,

∴y0y1=my1-1=0, y0y2=mx2-1.

即点A (x1, y1) , B (x2, y2) 都在直线y0y=mx-1上.

又undefined也在直线y0y=mx-1上, ∴A, M, B三点共线.

四、参数法

凡动点和已知点或已知曲线没有直接关系时, 往往要设出参数, 以参数为桥梁, 把已知和未知联系起来, 找出它们的等量关系, 再消去参数, 即得出所求方程, 常选用的参数有直线的斜率、截距、角参数、点参数等.

例4 求过原点的直线被抛物线y=x2-4x+3所截弦中点P的轨迹.

解 设动直线方程为y=kx (k为参数) 代入抛物线方程, 整理得x2- (4+k) x+3=0 (*) .

设P (x, y) , 则undefined, 又y=kx②,

由①②消去参数k, 整理得undefined

∵直线与抛物线必有交点, ∴方程 (*) 必有实根.

故Δ= (4+k) 2-12≥0,

解得undefined或undefined

当undefined时, undefined;当undefined时, undefined

∴中点P的轨迹是抛物线undefined在undefined或undefined上的两段.

五、交轨法

在求动点的轨迹时, 经常会遇到要求两动直线的交点的轨迹问题.这类问题的解法具有一定的技巧性, 主要是想办法消去动曲线的参数, 得出所求轨迹的方程, 这种方法称为交轨法.

例5 设A1, A2是椭圆undefined的长轴两个端点, P1, P2是垂直于A1A2的弦的端点, 求直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程.

解 设P1 (x0, y0) , 则P2 (x0, -y0) ,

故直线A1P1方程为undefined

直线A2P2方程为undefined

①×②, 得undefined

又 (x0, y0) 在椭圆undefined上, 得undefined

代入上式得undefined, 整理得undefined, 即为所求轨迹方程.

六、几何法

即利用已知图形的几何性质来求动点轨迹方程的方法称为几何法.

要善于运用数形结合, 根据曲线的某些显著的几何特征和性质列出等式求出轨迹方程可收到简化运算、快速求解的功效.

例6 (2008年浙江高考) 如图, AB是平面α的斜线段, A为斜足, 若点P在平面α内运动, 使得△ABP的面积为定值, 则动点P的轨迹是 ( ) .

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

解析 由题意得P到线段AB的距离为定值.由于圆柱侧面上的点到圆柱轴线距离为定值, 故可构造一立体图形, 设线段AB为圆柱上下底面中心连线上的一条线段, 过点有一个平面斜截圆柱得一个椭圆, 椭圆上的点即为P点, 点P到线段AB的距离为这个圆柱的底面半径.

轨迹问题与立体几何问题知识的交汇是近几年高考命题的热点之一.因此同学们在学习立体几何知识时, 对于平面图形、空间图形是符合哪种条件的点的轨迹要有足够的重视.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制订.高中数学教学大纲, 2002, 4 (1) .

[2]教育部考试中心.高考数学测量理论与实践.2005, 2 (2) .

[3]华南师范大学, 广东省数学会.中学数学研究, 2003 (9) .

轨迹方程 篇2

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难点22 轨迹方程的求法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场

(★★★★)已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究

［例1］如图所示，已知P(4，0)是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x4)2y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x+y－4x－10=0,得

(x42)(22

2x42,y1y02, 22y2)42x42－10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系.解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有

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2y14px12y4px22y1y21 xx21yyy121xx1x2yyyy112xx1x1x2① ② ③ ④ ⑤

①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,则有2y1y2x1x2

22

4py1y2

⑥

①³②,得y1²y2=16px1x2

③代入上式有y1y2=－16p2

⑥代入④，得4py1y24py1y2

⑦ ⑧

xy

⑥代入⑤，得yy1xx1yy1xy12

4p所以4py1y24p(yy1)4pxy12

即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2

⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

xy

由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2=bk22,消x,得ky2－4py+4pb=0

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http:// 所以y1y2=4pkk4pbk，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2

22所以=－bk,b=－4kp

xy2故y=kx+b=k(x－4p),用k=－

2代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x+y－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

16(x2514)22y32=1

①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x－12)2+43y2=1

②

3912912,),Q(,)，∴r=14141414267由①、②可解得P((914)(21214)237

故所求圆柱的直径为●锦囊妙计

cm.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法

直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法

若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法

根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法

若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.京翰教育http:///

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http:// 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A.圆

C.双曲线的一支

x2B.椭圆 D.抛物线

9y

2.(★★★★)设A1、A2是椭圆

4=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（）A.C.xx292yy2421 1

B.D.yy292xx2421 1

949

4二、填空题

3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－－sinB=12a2,0),C（a2,0)，且满足条件sinCsinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题

5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线

xa22yb22=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线

xm22yn22=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.京翰教育http:///

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http:// 8.(★★★★★)已知椭圆

xa22yb22=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.参考答案

难点磁场

解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0).设M(x,y）是轨迹上任意一点.则由题设，得|MA||MB|=λ,坐标代入，得

(xa)y(xa)y2222=λ,化简得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x+y+22

22a(1)122x+a2=0.点M的轨迹是以

(－a(1)12，0）为圆心，2a|1|2为半径的圆.歼灭难点训练

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A 2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴

yy0xx0yy0xx0yx3yx3

∵A2、P2、P共线，∴



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22解得x0=,y0x93yx,代入得x09y041,即x29y241

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=

12sinA,得c－b=

a212a，2∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为

16xa216y3a221(xa4).答案：16xa2216y3a221(xa4)

4.解析：设P(x,y），依题意有4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0

5(x5)y223(x5)y22,化简得P点轨迹方程为

三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为x281y272=1(y≠0)6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).x由条件xx0x(x0a)ax0a22 得xay0yy01yax0ayy01而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b(－x)－a(222xay22)2=a2b2

化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 则A1P的方程为：y=

y1x1my1x1m22(xm)

①

A2Q的方程为：y=－(xm)

②

①³②得：y=－

2y12x1m(xm)

③

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http:// 又因点P在双曲线上，故

x1m22y1n221,即y12nm22(x1m).22代入③并整理得xm22yn22=1.此即为M的轨迹方程.(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±mn,0)，准线方程为x=±

m22m22n2,离心率e=mnm22；

22(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±mn),准线方程为y=±

22n2,离心率

nme=nmn22.8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.x1cx02又

yy102得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x+y=a(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=

122

|OA|²|OB|²sinAOB=

12a22sinAOB

当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为|2ak|1k2a.2此时弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，|OC||OA||2ak|2cos4522,k33.a1k

动点的轨迹方程及其应用 篇3

一、 求动点轨迹方程的基本方法

求动点的轨迹方程的基本方法是：通过建立适当的坐标系，依据动点的特点，确定动点坐标所满足的等量关系，最终通过化简求出动点的轨迹方程．其解题的基本步骤为：建系、设点、找动点所满足的限制条件、将动点坐标代入限制条件、化简方程，可以简记为：建、设、现（限）、代、化．

例1 （2005年高考江苏卷试题）如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

图1

分析：（1） 欲求点P的轨迹方程，首先需要做什么？（建立坐标系．）

（2） 如何建立坐标系？（应考虑条件中两圆的对称性，以直线O1O2为x轴、线段O1O2的中点为原点建立直角坐标系，如图2所示．）

图2

（3） 如何建立等量关系？(利用条件PM＝2PN．)

（4） 怎样对等式PM＝2PN进行变形？

（将PM＝PO21-O1M2，PN＝PO22-O2N2代入到PM＝2PN，化简，就得到点P的轨迹方程为(x—6)2＋y2＝33．）

例2 已知动点P(x，y)到坐标原点O的距离的平方与它到直线l：x＝m（m为常数）的距离相等．

（1） 求动点P的轨迹方程C；

（2） 就m的不同取值讨论方程C的图形．

解：（1） 因为动点P(x，y)到原点的距离为PO＝x2+y2，所以(x2+y2)2＝|m－x|，

即x2＋y2＝|m－x|，所以，动点P的轨迹方程C为x2＋y2＝|m－x|．

（2） 由x2＋y2＝|m－x|两边平方，移项并分解因式，得(x2＋y2－m＋x)(x2＋y2＋m－x)＝0，

∴x＋122＋y2＝14＋m或x－122＋y2＝14－m，

① 当14＋m＞0且14－m＞0，即－14＜m＜14时，点P的轨迹方程C表示的图形是两个圆．

② 当m＝14或m＝－14时，点P的轨迹是一个圆和一个点；

③ 当m＜－14或m＞14时，点P的轨迹是一个圆．

例3 （2010年江苏高考试题）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29＋y25＝1的右顶点为B，右焦点为F．设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹．

图3

分析：本题以椭圆为背景，给出两个定点F，B，一是椭圆的右焦点，另一个是椭圆的右顶点．而动点P满足关系PF2－PB2＝4，于是，可利用求轨迹方程的基本方法来解决．

解：（1） 设点P (x，y)，由已知，得F(2，0)，B(3，0)．

由PF2－PB2＝4，得［(x—2)2＋y2］－［(x－3)2＋y2］＝4，

化简，得x＝92．故所求点P的轨迹为直线x＝92．

说明：要注意区分轨迹和轨迹方程这两个概念．轨迹是指动点运动所留下的痕迹，是一种几何表示；而轨迹方程，则是研究动点坐标所满足的代数方程，是一种代数表示．

二、 动点轨迹方程的应用

对于研究动点的轨迹问题，在高考命题时，不仅会命制像例1、3这类直接求动点轨迹方程的试题，还会出现一些较为“隐蔽”的求轨迹问题，请看下面的例题．

例4 （2008年江苏高考题）满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值．

分析1：本例的基本解法是：直接构造三角形ABC面积的目标函数S△ABC＝12AB•BC•sinB．即首先设出BC的边长（不妨设为x），就可以得到AC＝2x，并通过三角形中“两边之和大于第三边”确定自变量x的函数；然后，将sinB转化成cosB，由余弦定理用x表示cosB，从而用x的函数f(x)表示三角形ABC面积关于，最终求出函数f(x)最大值．

解法一：设BC＝x，则AC＝2x，由三角形三边关系，得2x+x＞2x+2＞2x,解得22－2＜x＜22＋2．

根据面积公式得S△ABC＝12AB•BC•sinB＝x1-cos2x，

根据余弦定理，得cosB＝AB2+BC2-AC22AB•BC＝4+x2-2x24x＝4-x24x，代入上式，得

S△ABC＝x1-4-x24x2＝-x4+24x2-1616＝-(x2-12)2+12816，

故当x＝23∈(22－2，22＋2)时，S△ABC取最大值22．

问题：上面的这一种解法，比较多地利用“形”来研究问题，通过构造三角形面积目标函数来解决问题．除了这种解法之外，还有其他的解法吗？

分析2：我们知道：在研究解决具体的数学问题时，我们通常可以通过“数”与“形”这两个角度来研究问题．我们还可以通过研究动点C的特点——直接求出动点C的轨迹方程，从而通过求出动点C到AB距离的最大值，来求出三角形面积的最大值．

解法二：以线段AB的中点为原点、建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC=2BC，得(x＋1)2＋y2＝2［(x－1)2＋y2］,整理得(x－3)2＋y2＝8(y≠0)，所以，点C的轨迹为：以M(3，0)为圆心、22为半径的圆（除去x轴上的点）．所以当C在(3，±2)处时，△ABC面积最大，为22．

图4

总结：2008年高考这道题的正确率很低，得分率仅为0.2左右．究其原因，是很多考生直接利用“解法一”求解、未能把所求的问题转化成求点C的轨迹方程问题，因而未能求解出正确答案．可见，巧妙地应用轨迹方程可以简化解题过程．

求解轨迹方程的方法与步骤 篇4

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系, 或这些几何条件简单明确且易于表达, 我们只需把这种关系“翻译”成x, y (ρ, θ) 的等式, 就得到曲线的轨迹方程, 由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤, 也不需要特殊的技巧, 所以称直接法.

例已知△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c, 若a, c, b依次构成等差数列, 且a>c>b, |AB|=2, 求顶点k的轨迹方程.

分析如右图, 以直线AB为x轴, 线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意, a, c, b构成等差数列, ∴2c=a+b, 即|CA|+|CB|=2|AB|=4, 又|CB|>|CA|, ∴C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中故C的轨迹方程为

二、利用相关点求轨迹方程

有时, 动点所满足的条件不易求出, 用直接法求轨迹方程有困难, 因为有时动点随着另一动点的运动而运动, 而另一动点我们称之为相关点所满足的条件是明显的, 或是可以分析出的.这时, 如果能用动点坐标表示相关点的坐标, 按照相关点所满足的条件列出方程, 就能得到原动点的轨迹方程.

三、参数法

参数法是指先引入一个中间变量 (参数) , 使所求动点的横、纵坐标x, y间建立起联系, 然后再从所求式子中消去参数, 得到x, y间的直接关系式, 即得到所求轨迹方程.

例过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点, 求弦AB的中点M的轨迹方程.

分析当动点的坐标x, y之间的关系不易找到时, 可选取与动点密切关系的另一个变量t (或多个参数) 来表示, 消去参数得轨迹方程.

以上各种解题方法的分类, 是相对的.某种解法中可能含另外一种解法的方法和思想, 比如“几何法”与“定义法”是密不可分的.“直译法”就需要几何知识寻找等量关系, “相关点法”都含有“参数法”消参的思想.所以, 这些思想方法是既对立又统一的, 是互相渗透的, 不能孤立、生硬地认为这就是纯粹的某某法.

四、求轨迹方程的步骤探析

1.建立坐标系是求轨迹方程的基础, 坐标系的选择, 对所求出的方程的形式有重要影响, 适当、合理地选择坐标系, 就能得到形式较为简单的方程.一般来说, 如果图形有对称中心, 则常选这个对称中心为原点, 如果有对称轴, 则常选这个对称轴为坐标轴, 如果有互相垂直的线段, 常以它们所在的直线为坐标轴, 对无此特点的图形常选某一线段的端点 (或中点) 为原点, 这线段所在的直线为坐标轴, 等等.建立适当的坐标系以后, 要正确标出各已知点的坐标 (用已知数或设参数) , 并假设动点的坐标为 (x, y) 或 (ρ, θ) ;相关点的坐标应尽量简便的表示 (如在同侧而到x轴的距离相同的点的纵坐标相同, 以y轴为对称轴的点的横坐标互为相反数, 等等) , 对动点坐标, 则应根据题目的条件, 确定x和y的取值范围.

2.根据动点满足的几何条件, 写出适合条件P的动点M组成的集合p={M|P (M) }, 这是求轨迹方程过程中的重要一步, 做好这一步的关键是深刻认识和掌握动点应满足的几何条件, 并能把这种条件通过点的坐标 (x, y) 用等式表示出来.有时动点所满足的几何条件是简单而明确的, 有时则是比较复杂, 比较隐蔽的, 这就必须熟悉平面几何图形的性质并运用一定的逻辑推理, 才能分析出来.当这个相等的关系用动点坐标x, y和各已知数的等式表示出来时, 就得到动点坐标 (x, y) 满足的方程f (x, y) =0, 也就是动点坐标满足的方程了.

3.化简、整理所得方程.

4.一般情况下, 由动点所满足的几何条件列出的方程不都是最简单的形式, 也不是特殊曲线的标准形式, 所以应对所得方程进行化简, 如果属于特殊的常见的曲线, 则应整理成标准形式, 以便掌握曲线的几何特征.

5.证明所得方程就是所求的轨迹方程.为了所得到的方程满足曲线方程的定义, 必须证明曲线上的任意一点的坐标都适合方程, 也要证明坐标适合方程的点都在曲线上, 以保证推证结果的科学性, 如果化简的过程是严格的同解变形, 证明这一步可以省略.

高三备考, 题山题海, 压得学生连气都喘不过来.便于我们的学生理解掌握, 建系——设点——列式——代入——简化——检验腾出更多的时间, 来整理自己所学的知识, 检查、反思自己的不足, 从而提高自己, 尽快形成自己的知识体系.

摘要：解析几何是用代数方法研究几何图形性质的学科, 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程, 其实质就是利用题设中的几何条件, 用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力, 因此这类问题成为高考命题的热点, 也是同学们的一大难点, 它包含着两类基本问题:一是通过坐标法建立曲线的轨迹方程, 二是通过方程研究曲线的性质.这里仅就中学数学的轨迹方程的求法, 分类整理归纳, 以方便学生解决这类问题.

轨迹方程 篇5

一、课本题目

1.人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1，P49第7题

如图①，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点Q在圆上运动时，点 的轨迹是什么？为什么？

思路：解题时弄清条件总蕴含的几何关系，利用其几何特征写出等式，使问题简化.

解：如图②，连接QA、OA. 由已知，得|QA|=|QP|.

所以，|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|.

根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.

2.人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1，P62第5题

如图③，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

解：如图④，连接QA、OA. 由已知，得 .

所以，.又因为点A在圆外. 根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线.

二、高考链接

2013年新课标全国卷Ⅰ，理20题. 已知圆M：，圆N：，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；

解：由已知得圆M的圆心为，半径；圆N的圆心为，半径.

设圆P的圆心，半径为R. 由动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为.

变式：将本题中圆M，圆N的方程变为“圆M：，圆N：”，其余条件不变，求C的方程？（答案： .）

解题时根据几何条件产生的相关有利结论，缩减过程，多思少算，若动点与定点或定直线满足圆锥曲线的定义，可直接写出方程，再判断曲线上的点是否都满足题意.

参考文献：

巧用平面几何知识求轨迹方程 篇6

一、垂直平分线

例1如图1所示，已知圆C： (x+1) 2+y2=8，定点A (1, 0), M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足A M=2A P, N P·A M=0，点N的轨迹为曲线E，求曲线E的方程。

分析：首先理解向量的语言信息，由得NP为AM的垂直平分线。

∵点N在AM的垂直平分线上，

又M在半径CM上，

故N点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出N点的轨迹方程。

解：

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|。

又∵点M在圆C上，∴|NC|+|NM|=2姨2

∴动点N的轨迹是以点C(-1, 0), A (1, 0)为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距2c=2

∴曲线E的方程为

二、角平分线

例2已知F1, F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P, 则P的轨迹是()。

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

分析：角平分线的主要特征是平分一个角，若与垂直结合，会出现边长相等的性质。

解：设F2P与F1Q交于点A，(如图2)

∴|QF2|=QA|，又|QF1|+|QF2|=2a

连接OP，∴OP为△F1AF2的中位线，

∴A点轨迹是圆，所以选A。

三、中线和中位线

例3△ABC的顶点B, C的坐标分别是 (0, 0) 、 (a, 0) ，AB边上的中线CE长为m，求点A的轨迹方程。

分析：由中点可以联想到中位线使问题得解。

解：如图3，过A作中线CE的平行线交x轴于D点，∴CE为△ABD的中位线，D点的坐标为 (2a, 0)

∴A点轨迹以(2a, 0)为圆心，2m为半径的圆，

其方程为 (x-2a) 2+y2=4m2(除去圆与x轴交点 (2a±2m, 0) )。

四、相切

例4已知定圆M:x2+ (y+4) 2=100，定点F (0, 4) ，动圆P过定点F并与圆M内切，求P点的轨迹方程。

分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差，设切点为Q，根据图形，用数学符号表示此结论：|PM|=10-|PQ|，而|PQ|=|PF|。

所以上式可以变形为|PF|+|PM|=10，又因为|MF|=8<10，所以圆心P的轨迹是以M, F为焦点的椭圆。

解：设动圆半径为R，连结PF，如图4，

∵动圆与圆M内切，

又动圆过F点，∴|PF|=|PQ|=R,

∴P点轨迹是以F, M为焦点，长轴长为10的椭圆，

∴椭圆方程是

例5已知定直线l:x=-2与定圆A： (x-4) 2+y2=4，动圆H与直线相切，与定圆A相外切，求动圆圆心H的轨迹方程。

解：设动圆H的半径为r，点H到l的距离为d，

则由相切的条件得d=r，|AH|=r+2,

巧用“五步四法”求动点轨迹方程 篇7

1. 定义法

定义法的依据在高中阶段通常是圆、椭圆、双曲线、抛物线等的定义。定义往往隐含在题目已知条件当中, 我们要善于结合相关的定义, 注重数形结合, 挖掘它们的位置关系, 从而列出动点所满足的关系式。

例1:已知△ABC的两顶点A、B分别是曲线x2+5y2=5的左、右焦点, 且内角满足, 则顶点C的轨迹方程是___________。

[分析]题中涉及两个定点A、B, 并且关于原点对称, 可以联想C的轨迹可能是圆或椭圆或双曲线, 因而可以从找|CA|与|CB|的关系入手。首先由三角形和三角函数自然可想到利用正、余弦定理将已知关系式化为|CB|-|CA|=|AB|, 即|CB|-|CA|=。再依双曲线定义可知C点的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的一支。然后依“五步” (建系步骤省略) 法, 即可求出顶点C的轨迹方程。

2. 相关点法

相关点法一般用于习题中动点较多的情形。做题时我们首先要审清题意, 分析清楚哪个是主动点, 哪个是从动点;然后建系设出所求动点坐标, 寻找“点随点动”的相关点, 并用所求动点坐标来表示各相关点的坐标, 再代入相关点所满足的曲线方程或相关关系式, 即可求出所求动点的坐标所满足的方程。

例2:已知点P是抛物线C:上一动点, 直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q, 若直线l与过点P的抛物线C的切线垂直, 则线段PQ的中点M的轨迹方程为_______。

[分析]在这个题目中, 共有三个动点P、Q、M, 其中P是主动点, 在已知曲线上运动;Q、M为从动点, 随P动而动。因而我们可以先设主动点P的坐标为P (x1, y1) , 设从动点Q, M的坐标分别为M (x0, y0) , Q (x2, y2) , 然后找到主动点的坐标与从动点坐标之间的两个等式关系, 即由切线可得切线斜率为k1=x1, 直线l的斜率为, 进而得直线l的方程;再由P、Q都在抛物线C上, 代入抛物线C的方程, 由点差法可得。最后结合点P在直线l上, 联立即可得解。

3. 参数法

参数法一般用于题中所求动点满足的关系式比较隐蔽时, 我们可以引入一个参变数来沟通已知与未知, 从而建立等式使问题获解。

例3:设点A和B为抛物线y2=4px (p>0) 上除原点外的两个动点, 已知OA⊥OB, OM⊥AB (O为坐标原点) , 则点M的轨迹方程为_________。

[分析]题中共有三个动点A、B、M, 此题我们可以先设直线AB的方程为y=kx+b (斜率k存在且不为0时) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , 联立y2=4px得到一个关于x或y的一元二次方程, 再由韦达定理及OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0, 进而得到b=-4kp。又可知直线OM的方程为, 设坐标M (x, y) , 联立两直线方程则有, , 消去k, b即可得M点的轨迹方程。当斜率k不存在或为0时, 亦可得证。

[答案]x2+y2-4px=0 (x≠0) 。

4. 交轨法

交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程, 也即首先运用参数法求出两动曲线的参数方程或动点坐标适合的含参数的等式, 再联立两个式子进行消参, 即可得所求动点的轨迹方程。

例4:设点A和B分别是椭圆的长轴的两个端点, P、Q是垂直于AB的弦的端点, 则直线AP与BQ的交点M的轨迹方程为_________。

[分析]要求M点的轨迹方程, 可以从找直线AP与BP的轨迹方程入手, AP与BP的轨迹方程由A、P、M三点共线, B、M、Q三点共线分别求得, 再求两轨迹方程的交点坐标, 最后代入椭圆方程即可求得M点的轨迹方程。

轨迹方程 篇8

一、自建坐标系求方程

例:设动点M与两定点A, B所在的直线互相垂直, 求动点M的轨迹方程.

解法一:以过AB两定点的直线为X轴, 线段AB的中点O为原点, 建立直角坐标系, 设M (X, Y) 为曲线上不与A (-a, 0) , B (a, 0) 合的任意一点, 由已知条件MA⊥MB得|MA|2+|MB|2=|AB|2, 根据两点间的距离公式, 得

方程 (1) 即为所求的点M的轨迹方程.

解法二:以通过A和B两定点的直线为X轴, A为原点, 建立直角坐标系, 如图:

若AB=2a (常量) , 那么A与B两点的坐标分别为 (0, 0) 和 (2a, 0)

设M (x, y) 为曲线上不与A, B重合的任意一点, 可得|MA|2+|MB|2=|AB|2

方程 (2) 也是所求的点M的轨迹方程.

比较方程序 (1) (2) , 可以看出, 虽然都是点M的轨迹方程, 但由于选择的坐标系不同, 所得的轨迹方程的形式也就不同.方程 (1) 要比方程 (2) 简单, 因此, 在建立曲线方程时, 要注意选择适当的坐标系, 使曲线方程的形式比较简单.

解法三:坐标系的建立同解法一.

设M (x, y) 为曲线上不与A (-a, 0) , b (a, 0) 重合的任意一点, 由已知条件MA⊥MB KAM·KMB=-1

方程 (3) 也是所求点M的轨迹方程.

比较以上方程可以看出:在同一个直角坐标系中, 用不同的方法求出的同一轨迹的曲线方程是相同的.

二、已建坐标系求方程

例:过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点, 求弦AB的中点M的轨迹方程.

解法一:设动点M (x, y) , 因CM⊥AB,

解法二:在直角三角形OCM中, OM2+CM2=OC2 (x2+y2) + (x-3) 2+y2=9

化简得x2+y2-3x=0

由两曲线的交点可知x满足

所求方程为

从上两题看出, 求轨迹方程问题, 要循序渐进, 由易到难, 充分利用所学知识, 寻求不同的解决方法, 在不断的探索中寻找乐趣.

摘要：在中学数学解析几何中, 求动点的轨迹方程, 既是学习的重点内容, 也是所教的难点之一, 特别对于中等职业学校的学生来说更是如此, 由于知识结构的差异, 多数学生是奔专业乘兴而来最后却扫兴而归.但另一方面, 学好这部分知识, 对中职学生的专业知识的巩固和专业技能的提升都有极大的帮助.

轨迹方程 篇9

一、五步求轨法

【教材习题】 (人教课标A版选修2-1§2.1.1例3) 已知一条直线l和它上方的一个点F, 点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方, 它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2, 建立适当的坐标系, 求这条曲线的方程.

解析:取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.设点M (x, y) 是曲线上任意一点, 作MB⊥x轴于B, 连接MF, 则

依题意得, |MF|-|MB|=2, 即

∴这条曲线的方程为

【方法提炼】五步求轨法, 也称“直接法”, 若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系, 则可将此关系直接坐标化, “翻译”成含x、y的等式, 化简即得动点的轨迹方程.

【方法步骤】建系→设点→列式→整理 (化简) →检验 (曲线的“完备性”) .

【高考真题】 (2009年·湖南<理20>) 在平面直角坐标系xOy中, 点P到F (3, 0) 点的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d, 当点P运动时, d恒等于点P的横坐标与18之和.

(Ⅰ) 求点P的轨迹C; (Ⅱ) 略.

解析: (Ⅰ) 设点P (x, y) , 则:

由题设, d=18+x, 即

当x>2时, 由 (1) 得

当x≤2时, 由 (1) 得化简得y2=12x.故点P的轨迹C是由椭圆

27y2=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分 (含它与直线x=2的交点) 所组成的曲线.

【变式】见2010年四川省高考数学理科卷第20题.

二、待定系数法

【教材习题】 (人教课标A版选修2-1§2.3.2练习第3题) 求以椭圆的焦点为顶点, 以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.

∴依题意可设双曲线方程为

即所求双曲线方程为

【方法提炼】待定系数法, 适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程.其解题步骤为:先设出对应类型的轨迹方程;再求出所设方程中的待定系数.

【方法步骤】定位 (根据曲线位置, 假设所求方程) →定量 (根据已知条件, 求解待定系数) .

【高考真题】 (2010年·新课标卷<理12>) 已知双曲线E的中心为原点, F (3, 0) 是E的焦点, 过F的直线l与E相交于A、B两点, 且AB的中点为N (-12, -15) , 则E的方程为 ( ) .

解析:∵F (3, 0) 是E的焦点, ∴可设E的方程为又设A (x1, y1) , B (x1, y2) , 则由

又AB的中点为N (-12, -15) , 故

由直线l过F (3, 0) 和N (-12, -15) , 得

故E的方程为选B.

【注】2010年全国Ⅱ卷文、理第21题第 (1) 问与此题极其相似.

三、动点转移法

【教材习题】 (人教课标A版选修2-1§2.2.1例2) 如图, 在圆x2+y2=4上任取一点P, 过点P作x轴的垂线段PD, D为垂足.当点P在圆上运动时, 线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

解析:设P (x0, y0) , M (x, y) 则由M是PD中点知

∵P在圆上, 有x02+y02=4.∴x2+ (2y) 2=4, 即

故线段PD的中点M的轨迹是一个椭圆.

【拓展】通过此例题你能发现椭圆与圆之间的关系吗?

【方法提炼】动点转移法, 也称“代入法”, 若动点P (x, y) 依赖已知曲线上的动点P' (x', y') 而运动, 则可将转化后的动点P'的坐标代入已知曲线的方程或满足的几何条件, 从而求得动点P的轨迹方程。此法一般用于两个或两个以上动点的情况.

【方法步骤】设点 (主动点P' (x', y') , 被动点P (x, y) ) →转换 (用被动点坐标表示主动点坐标) →代入 (将主动点坐标代入已知轨迹方程) →化简 (整理得到被动点轨迹方程) .

【高考真题】 (2009年·江西<理21>) 已知点P1 (x0, y0) 为双曲线为正常数) 上任一点, F2为双曲线的右焦点, 过P1作右准线的垂线, 垂足为A, 连接F2A并延长交y轴于点P2.

(Ⅰ) 求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程; (Ⅱ) 略.

解析:依题意得则直线F2A的方程为令x=0, 得y=9y0, 即P2 (0, 9y0) .设

∵点P1 (x0, y0) 为双曲线上任一点, 有

∴即点P的轨迹E的方程:

四、定义法

【教材习题】 (人教课标A版选修2-1习题2.2B组第2题) 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切, 同时与圆x2+y2-6x-91=0内切, 求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么样的曲线.

解析:设动圆圆心为P (x, y) , 半径为r, 则:

∴动圆圆心的轨迹是以O1 (-3, 0) 、O2 (3, 0) 为焦点、12为长轴长的椭圆, 其轨迹方程为:

【变式】见人教课标A版选修2-1习题2.3A组第5题.

【方法提炼】定义法, 若动点运动的规律满足某种曲线的定义, 则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.

【方法步骤】寻找条件→判断定义→确定系数→写出方程.

【高考真题】 (2010年·上海<理3、文8>) 若动点P到点F (2, 0) 的距离与它到直线x+2=0的距离相等, 则点P的轨迹方程为_________________.

解析:由抛物线的定义知, 点P的轨迹是焦点为F (2, 0) , 准线为x=-2的抛物线, 故方程为:y2=8x.

【注】2010年湖南卷文、理科第19题第⑴问也是一道考查定义法的好题.

五、交轨法

【教材习题】 (人教课标A版选修2-1§2.2.1例3) 如图, 设点A, B的坐标分别为 (-5, 0) , (5, 0) .直线AM, BM相交于点M, 且它们的斜率之积是求点M的轨迹方程.

解析:设点M的坐标为 (x, y) , 则:

依题意得,

化简, 得点M的轨迹方程为

【变式】见人教课标A版选修2-1第二章复习参考题A组第10题等五道姊妹题.

【方法提炼】交轨法, 此法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程, 常与参数法并用, 其过程是选出一个适当的参数, 求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式, 再消去参数, 即得所求动点轨迹的方程.

【方法步骤】求出两动曲线方程→消去参数→化简说明.

【高考真题】 (2010年·广东<理20>) 一条双曲线的左、右顶点分别为A1, A2, 点P (x1, y1) , Q (x1, -y1) 是双曲线上不同的两个动点.

(1) 求直线A1P与A2Q交点的轨迹的方程式; (2) 略.

解析: (1) 依题意知,

两式相乘得

而点P (x1, y1) 在双曲线上, 所以

故E的轨迹方程为:

【注】2010年北京卷理科第19题第 (1) 问与教材例题如出一辙.

六、参数法

【教材习题】与“动点转移法”相同.

解析:设M (x, y) , 则

∵点P是圆x2+y2=4上, 可设点P的坐标为 (2cosθ, 2sinθ) ,

∴点M的轨迹的参数方程为 (为参数) , 其普通方程为

故线段PD的中点M的轨迹是一个椭圆.

【方法提炼】参数法, 若动点P (x, y) 的坐标x与y之间的关系不易直接找到, 而动点变化受另一变量的制约, 则可求出x、y关于另一变量的参数方程, 再化为普通方程.

【方法步骤】设点→定参→列式→消参→化简.

【高考真题】 (2010年·海南<文、理23>) 已知直线 (θ为参数) ,

(Ⅰ) 当时, 求C1与C2的交点坐标;

(Ⅱ) 过坐标原点O作C1的垂线, 垂足为A, P为OA的中点, 当α变化时, 求P点轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线.

解析: (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0, A点的坐标为 (sin2α, -sinαcosα) .

故当α变化时, P点轨迹的参数方程为 (α为参数) .

P点轨迹的普通方程为, P点轨迹是以为圆心, 以为半径的圆.