切线方程

切线方程（共4篇）

切线方程 篇1

联想是一种心理活动, 也是一种思维过程.联想是认知事物、探求知识的一种不可缺少的方法和途径, 将联想用于数学研究, 效果亦佳.

现行人教版统编教材高中数学第二册上第75页例题2, 给出了这样一个结论:经过圆x2+y2=r2上一点M (x0, y0) 的切线方程为x0x+y0y=r2;当M (x0, y0) 在圆外时, 过M (x0, y0) 点引切线有且只有两条, 过两切点的弦所在直线方程为x0x+y0y=r2.那么, 在圆锥曲线中, 又将如何?我们不妨进行以下几个联想.

联想一:1.过椭圆上一点M (x0, y0) 的切线方程为;2.当M (x0, y0) 在椭圆的外部时, 过M引切线有两条, 过两切点的弦所在的直线方程为:

评注:因M (x0, y0) 在椭圆上的位置 (在椭圆上或椭圆外) 的不同, 同一方程表示直线的几何意义亦不同.

联想三:1.过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A, C不全为零) 上的点M (x0, y0) 的切线方程为当M (x0, y0) 在圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A, C不全为零) 的外部时, 过M引切线有两条, 过两切点的弦所在直线方程为:

化简得2Cy0y-2Cy02+Ey-Ey0+2Ax0x+Dx-2Ax02-Dx0=0………………… (1)

因为Ax02+Cy02+Dx0+Ey0+F=0…………… (2)

2.同联想一, 结论亦成立.

根据前面的特点和圆上点的切线方程, 得到规律:过曲线上的点M (x0, y0) 的切线方程为:把原方程中的x2用x0x代换, y2用y0y代换.若原方程中含有x或y的一次项, 把x用代换, y用代换, 得到的方程即为过该点的切线方程.当点M (x0, y0) 在曲线外部时, 过M引切线有两条, 过两切点的弦所在直线方程为:

运用联想探究圆锥曲线的切线方程 篇2

评注:因M (x0, y0) 在椭圆上位置 (在椭圆上或椭圆外) 的不同, 同一方程表示的几何意义亦不同.

联想三: (1) 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A, C不全为零) 上一点M (x0, y0) 切线方程为 (2) 当M (x0, y0) 在圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A, C不全为零) 的外部时, 过M引切线有且只有两条, 过两切点的弦所在的直线方程为

证明: (1) 对两边关于x求导, 得2Ax+2Cyy'+D+Ey'+0得, 由点斜式得切线方程为, 即2Cy0y-2Cy02+Ey-Ey0+2Ax0x+Dx-2Ax02-Dx0=0………………………… (1) 因为2Ax02+Cy02+Dx0+Ey0+F=0…………………… (2) 由 (1) - (2) ×2可求得切线方程为

(2) 证明略.

过曲线上的点M (x0, y0) 的切线方程为:把原方程中的x2用x0x代换, y2用代换.若原方程中含有x或y的一次项, 把x用代换, y用y+y02代换, 得到的方程即为过该点的切线方程.当点M (x0, y0) 在曲线外部时, 过M引切线有且只有两条, 过两切点的弦所在的直线方程为

通过以上联想可得出以下几个推论:

推论1: (1) 过抛物线y2=2px (p>0) 上一点M (x0, y0) 的切线方程为y0y=p (x+x0) ; (2) 过抛物线y2=2px (p>0) 的外部一点M (x0, y0) 引两条切线, 过两切点的弦所在的直线方程为y0y=p (x+x0) .

推论2: (1) 过抛物线y2=-2px (p>0) 上一点M (x0, y0) 的切线方程为y0y=-p (x+x0) ; (2) 过抛物线y2=-2px (p>0) 的外部一点M (x0, y0) 引两条切线, 过两切点的弦所在的直线方程为y0y=-p (x+x0) .

推论3: (1) 过抛物线x2=2py (p>0) 上一点M (x0, y0) 切线方程为x0x=-p (y+y0) ; (2) 过抛物线x2=-2py (p>0) 的外部一点M (x0, y0) 引两条切线, 过两切点的弦所在的直线方程为x0x=-p (y+y0) .

推论4: (1) 过抛物线x2=-2py (p>0) 上一点M (x0, y0) 的切线方程为x0x=-p (y+y0) ; (2) 过抛物线x2=-2py (p>0) 的外部一点M (x0, y0) 引两条切线, 过两切点的弦所在的直线方程为x0x=-p (y+y0) .

用牛顿切线法求方程的近似解 篇3

在实际应用中,常需求方程f(x)=0(1)的解,如求函数f的极值,先要求方程f'(x0)=0的解,即稳定点。下面介绍一种求方程(1)近似解的方法——牛顿切线法。

1 理论依据

设f为[a,b]上二阶可导函数,且f'(x),f"(x)均不为零。不妨设f'(x)<0,f"(x)>0。即f为[a,b]上递减凸函数,又设f(a)>0,f(b<0),那么由连续函数的介值性定理知,方程(1)在[a,b]内存在唯一解ξ。牛顿切线法的基本思想是构造一点列{xn},使得当,且当n充分大时,可用xn作为ξ的近似值,即(1)的近似解。其中:

2 理论证明

由于f"(x)>0,所以f为[a,b]上严格凸函数,于是由凸函数的相关定理有,对任何x都有:

令x0=a,则f在点a的切线与x轴的交点为:x1=x0-f(x0)/f'(x0)。由(3)式知f(x1)>0(见图1),且x00,x0

如此继续上述工作就可得如(2)式所确定的点列{xn}。由上述推导过程知道{xn}是严格递增有上界的数列,因而存在极限C,即xn=C当n趋于无穷时。

现在证明C=ξ。由f与f'的连续性,对(2)式取极限,得:C=C-f'(C)/f'(C)。因而有f(C)=0,再由方程(1)解的唯一性知C=ξ。

3 计算机实现

下面以函数f(x)=x2-10为例说明实现的方法。所选区间为[-4,-2],则f'(x),f"(x)均不为零。且f'(x)<0,f"(x)>0。又f(-4)>0,f(-2)<0,因此f(x)符合上述所讨论的条件。用C语言实现的代码如下:

最终的输出结果为:xn=-3.162278,f(xn)=0.000002符合精度要求。

4 误差估计

由中值定理,f(xn)-f(ξ)=f'(η)(xn-ξ),xn<η<ξ。因而xn-ξ=f(xn)/f'(η),记m为对对于任意的x∈[a,b],|f(x)|中的最小值,则有:

5 结束语

上面只讨论了f'<0,f">0(这时要求f(a)>0,f(b)<0)的情形,读者可类似讨论余下的几种情形,即:

5.1 f'>0,f">0这时要求f(a)<0,f(b)>0;

5.2 f'>0,f"<0这时要求f(a)<0,f(a)>0;

5.3 f'<0,f"<0这时要求f(a)>0,f(b)<0;

它们同样能构造出函数列(2),并证明其极限也是方程(1)的解。近似估计式(4)也同样适用。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高教出版社出版.

例谈用导数求切线方程的七种类型 篇4

例1 (2007年, 天津高考) 求函数f (x) =-x (x-1) 2在点 (2, f (2) ) 处的切线方程.

分析在点 (2, f (2) ) 处的切线方程, 说明点 (2, f (2) ) 是切点, 切线的斜率是导数在x=2处的函数值, 再由直线方程的点斜式y-f (x0) =f′ (x0) (x-x0) 可得切线方程.

解由f (x) =-x (x-1) 2得

f′ (x) = (-x3+2x2-x) ′=-3x2+4x-1,

斜率k=f′ (2) =-3×22+4×2-1=-5.

当x=2时, f (2) =-2 (2-1) 2=-2, 即切点是 (2, -2) .

切线方程为y+2=-5 (x-2) , 即5x+y-8=0.

二、已知过曲线外一点, 求曲线的切线方程

2.1 切线方程不存在

例2已知曲线y=x2-2x+2, 则过点P (2, 4) 的切线方程是否存在?若存在, 请给出切线方程.

错解由y′= (x2-2x+2) ′=2x-2得

斜率k=y′|x=2=2×2-2=2,

则过点P (2, 4) 的切线方程为y-4=2 (x-2) ,

即2x-y=0.

分析本题的解法显然是错误的, 点P (2, 4) 不在曲线上, 且点在曲线的内部, 故过此点没有切线.

2.2 切线方程有两条

例3 (2006年, 全国卷2) 过点 (-1, 0) 作抛物线y=x2+x+1的切线, 求切线方程.

错解由y=x2+x+1得y′= (x2+x+1) ′=2x+1, 则斜率k=y′|x=-1=-1.故过点 (-1, 0) 的抛物线的切线方程是y=- (x+1) , 即x+y+1=0.

正解显然点 (-1, 0) 不在抛物线y=x2+x+1上, 设切点坐标为P (x0, y0) , 则y0=x02+x0+1, 过点P (x0, y0) 的切线方程是y- (x02+x0+1) = (2x0+1) (x-x0) .

因为点 (-1, 0) 在切线上, 将 (-1, 0) 代入得, - (x02+x0+1) = (2x0+1) (-1-x0) , 整理得x02+2x0=0, 得x0=0或x0=-2.故满足条件的切线方程有两条:x-y+1=0和3x+y+3=0.

三、已知过曲线上一点, 求切线方程

例4 (2008年, 福建模拟卷) 过点P (1, 1) 作曲线y=x3的两条切线L1与L2, 设L1, L2的夹角为θ, 则tanθ= () .

解由y=x3得y′=3x2, 设Q (x0, x03) 为切点, 则在Q (x0, x03) 点处的切线的方程为L:y-x03=3x02 (x-x0) .因为点P (1, 1) 在曲线上, 所以有1-x03=3x02 (1-x0) , 分解得 (1-x0) 2 (2x0+1) =0, x0=1或.

点评可以发现斜率为的切线并不以点P (1, 1) 为切点, 而是经过点P且以点为切点的直线.这说明“过”曲线上一点P的切线, 点P未必是切点.那么解决这样的问题笔者认为“待定切点法”非常优越, 一般能有效防止思维盲目而导致的漏解.

四、已知斜率, 求曲线的切线方程

例5 (2008年江苏省第一次模拟试卷) 若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线, 求a的值.

解设切点P (x0, y0) , 则y′|x=x0=3x02-6x0+a=1 (1) , x0=y0 (2) , y0=x03-3x02+ax0 (3) .由 (1) (2) (3) 得a=1或.

五、求两条曲线的公共切线

例6若曲线y=9x3-b与曲线y=ln x在x=a处有公切线, 求a, b的值, 并写出公切线方程.

解曲线y=9x3-b在点P (a, 9a3-b) 处的切线方程为y- (9a3-b) =27a2 (x-a) , 即y=27a2x-18a3-b (1) , 曲线y=ln x在点P (a, ln a) 处的切线方程为, 即.

六、求切点的坐标

例7已知直线l:y=kx与曲线C:y=x3-3x2+2x相切于点P (x0, y0) , (x0≠0) .求切点坐标及直线l的方程.

分析因为曲线方程已知, 切线过坐标原点, 解答本题可利用切点及斜率构造方程组求出切点, 再求切线方程.

解由y=x3-3x2+2x得y′=3x2-6x+2, 故切线斜率k=3x02-6x0+2, 又k=x0y0, 故3x02-6x0+2=x0y0 (1) , 又切点 (x0, y0) 在曲线C上, 得y0=x03-3x02+2x0 (2) .

由 (1) (2) 消去y0, 得2x02-3x0=0.

七、求最小值

例8 (2006年, 全国1) 抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 () .