分式方程的解法

2024-05-28

分式方程的解法（精选10篇）

分式方程的解法篇1

去分母法和换元法是解分式方程的基本方法, 但对于形如undefined的方程, 在通常情况下, 去分母会产生高次项, 又找不到恰当的换元途径, 从而给求解带来困难。为寻求此类方程的简捷解法, 先看下面的推导:

undefined

去分母, 整理得: (a+b) [c2+c (a+b) +ab]=0.

∴ (a+b) (c+a) (c+b) =0.

∴a+b=0或a+c=0或b+c=0.

由以上可知, 如果三个数的倒数和等于这三个数的和的倒数, 那么这三个数中必有两个互为相反数。根据这一原理, 可使形如undefined的方程得到巧妙解答。

例1 解方程undefined

解:∵ (x-2) + (2x-1) + (3x+2) =6x-1,

∴原方程等价于 (x-2) + (2x-1) =0,

或 (x-2) + (3x+2) =0,

或 (2x-1) + (3x+2) =0.

由 (x-2) + (2x-1) =0得:x=1,

由 (x-2) + (3x+2) =0得:x=0,

由 (2x-1) + (3x+2) =0得:undefined

经检验, 原方程的根是:undefined

例2 解方程undefined

解:原方程可变形为:

undefined

∴原方程价于 (2x+3) + (5-3x) =0,

或 (2x+3) + (-x-2) =0,

或 (5-3x) + (-x-2) =0.

由 (2x+3) + (5-3x) =0得:x=8,

由 (2x+3) + (-x-2) =0得:x=-1,

由 (5-3x) + (-x-2) =0得:undefined

经检验, 原方程的根是:undefined

例3 解方程undefined

解:原方程可变形为:

undefined

∴原方程等价undefined,

或undefined,

或undefined

由undefined得:undefined,

由undefined得:x=0.

经检验, 原方程的根是:undefined

分式方程的解法篇2

教学目标：

1.掌握分式方程的解法．

2.体会分式方程到整式方程的转化思想．

3.培养学生的数学转化思想．培养学生的观察、类比、探索的能力．

教学重点、难点：重点：分式方程的解法

难点：理解解分式方程时产生增根的原因教学方法：

本节课采用“问题引入—探究解法—归纳反思”的教学方法

教学过程：一．回顾与思考

1.教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“航海”问题，想一想当时是怎么获得分式方程组的解的.2.等式性质有哪些？ 3．解下列一元一次方程

2x1x1 324（回顾等式性质，解一元一次方程的解法，着重复习去分母的步骤，为学生过渡到分式方程去分母．）

二．探索新知

想一想：解下列分式方程：

10060 20v20v（引导学生仔细观察，采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母，把分式方程转化为整式方程即一元一次方程．）

教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.三．巩固新知

1．试一试：解下列分式方程：

48060045 x2x（使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法，并强调检验方程的解．）

2.议一议：解分式方程他的答案正确吗？

（让学生通过解这个方程，并思考问题，从而产生疑惑，展开讨论，了解分式方程会产生增根．）

3.思考总结：教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题：

⑴上面解方程的基本思路是什么？ ⑵主要步骤有哪些？四．练习提高解下列分式方程（1）343x5（2）4 x1x2x332x1102 时，小明的解为x5x255，五．课堂小结

在今天的学习活动中，你学会了哪些知识？掌握了哪些数学方法？

1.学会了分式方程的解法以及分式方程验根的必要性。2.体会了化未知为已知、化分式为整式的转化思想。六．布置作业

分式方程的根与增根篇3

分式方程的根与增根

能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根；增根是在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。

例题1：解方程 ①

解：两边同乘以（x+3）（x-3），得

（x+3）（x-3）-18=3（x-3） ②

解这个方程得：x1=-3，x2=6

检验：当x=-3时，（x+3）（x-3）=0，所以x=-3不是原方程的解；

当x=6时，（x+3）（x-3）≠0，左边=，右边=，左边=右边。

所以：x=6是原方程的解。

说明：显然，方程①中未知数的取值范围是x≠3且x≠-3，而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数，所以求得的x值恰好使最简公分母为0，x的值就是增根。本题中方程②的解x=-3，恰好使公分母为0，所以x=-3是方程的增根，x=6是原方程的解。

增根是如何产生的

从例题1可以看出x=-3虽然是整式方程的根，但却使得最简公分母为0，所以不是分式方程的根，而是原分式方程的增根。也就是说，所得的整式方程与原方程已经不是同解方程了。那么，增根就是在去分母的过程中产生的。其实，去分母的依据是等式基本性质，即在等式的两边同时乘以一个不为0的整式，等式仍然成立，而在例题中两边同乘的是一个含有未知数x的整式，也就不能保证它的值一定不为0，我们去分母的时候就已经默许了条件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。即所得的整式方程与原方程已经不是同解方程，这样便产生了增根。

例题2：使关于x的方程产生增根的a的值是多少呢？

要正确解答此题就要理解增根是如何产生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母为零的未知数的值。

解：去分母并整理，得：

（a2-2）x-4=0

因为原方程的增根为x=2，

把x=2代入（a2-2）x-4=0，

得a2=4

所以a=±2

说明：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最好将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。其实也不仅是分式方程可以产生增根，类似的，可想到若在整式方程（x+3）=0两边同时乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同样会产生增根。由此可知，增根并不是分式方程特有的。

解分式方程如何避免增根

以例题1为例，可将原方式方程通分整理如下：

对于上式中，当（x+3）=0时，分式的分母等于0，此时，分式无意义，所以（x+3）≠0；那么可以继续化简为，即（x-6）=0，得x=6。也就是说，我们可以先把方程的一切非零项移到左边，通过恒等变形将方程的左边化成一个分式，右边是零的形式。然后，再找出分子分母的公因式并约去，就可以得到一个新方程并且与原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根，避免了增根的产生。

不容忽视的增根

分式方程的增根问题与一元二次方程根的几种情况相结合会使问题更加复杂化，也使得这一类问题的答案对学生们而言更加的扑朔迷离。下面通过几个例题解析一下与增根有关的此类问题。

例题3：当k为何值时，方程只有一个实数根，并求出此实数根。

解：原方程可化为：x2+2x-k=0

（1）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由Δ=4+4k=0，得k=-1。把k=-1代入x2+2x-k=0，解之得x1=x2=-1

（2）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，

所以由Δ=4+4k>0，得k>-1。

又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入x2+2x-k=0，得k=0，或k=3。把k=0代人x2+2x-k=0，解之得x1=0（增根），x2=-2；把k=3代人x2+2x-k=0，解之得x1=1（增根），x2=-3。

综上所述，原方程的根为：

（a）当k=-1时，原方程只有一个实数根x=-1；（b）当k=0时，原方程只有一个实数根x=-2；（c）当k=3时，原方程只有一个实数根x=-3。

在分式方程教学中，教师要深入钻研教材，全面完整地分析分式方程的增根是如何产生的，并引导学生正确理解、完整掌握、准确解答分式方程的增根问题，从而真正提高学生的解题能力，提高教学效果。

对分式方程检验的认识篇4

原来, 检验分式方程是为了防止“无解”出现.

如:这一方程, 我们将方程两边同乘 (x-5) (x+5) 得x+5=10.解这个整式方程得x=5, 到这一步, 或许在你认为就已经结束了, 但并非如此.我们将x=5代入 (x-5) (x+5) , 发现 (x-5) (x+5) 的值为零, 那么这个分式方程就无解了, 也就是说:x=5只是x+5=10这个整式方程的解, 却不是这个分式方程的解.这时, 就无解.

看来, 分式方程的检验并不是多此一举, 而是体现了数学这个学科独有的周密性、严谨性.

那有没有不必检验的情况呢?有!

如:.我们把它化简为x-1=x+1.这一步, 我们是根据分式的基本性质变形的, 所以不要检验.

分式函数值域解法篇5

甘肃省定西工贸中专文峰分校张占荣

函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。

一、相关概念

函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。

函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

类型一：一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=(a0)型

例１求函数y=的值域。

解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

解：反解y=得x=，对调 y=（x)，∴函数y=的值域为

y。

2.y=(a0)型

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。

即：将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２求函数y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。

即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

例３求函数y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函数的值域为[，0]。

总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。

类型二：二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型

分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式

即可求出值域。

例４求函数y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-

∵函数定义域为R，≤y≤。

∴函数y＝的值域为[-，]。

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。

例５求（x<）的值域。

分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函数的值域为。-4

例６求的值域。

错解：=≥2。

分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。

解：用单调性法

=，令=t，显然t≥2，则y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。

∴当t=

2、即=

2、x=0时，ymin

=，∴原函数的值域为。

总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

分式方程的增根与无解篇6

例1 （2014·山东聊城）解分式方程：+=-1.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2，

去括号得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根. 本题转化的整式方程的解是x=2，恰好使公分母为零，所以x=2是原方程的增根，原方程无解.

例2 解分式方程：=+2.

【解析】去分母后化为x-1=3-x+2（2+x）.

整理得0x=8.

因为此方程无解，所以原分式方程无解.

【点评】本题化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了. 由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根.

例3 （2013·山东威海）若关于x的方程=无解，则m=_______.

【解析】原方程可化为=.

方程两边都乘2（x-5），

得2（x-1）=-m.

解这个方程，得x=.

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根. 即x=5，

解得m=-8.

【点评】本题考查了分式方程的解. 方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解. 但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，这里不再举例.

例4 （2005·江苏扬州）

若方程-=1有增根，则它的增根是（）.

A. 0 B. 1

C. -1 D. 1或-1

【解析】原方程化成整式方程：

6-m（x+1）=x2-1，

整理得：m（x+1）=7-x2，

当x=-1时，此时m无解；

当x=1时，解得m=3.

【答案】B.

【点评】增根除满足最简公分母为零以外，还必须是所化整式方程的根.

例5 当a为何值时，关于x的方程+=会产生增根？

【解析】方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2），

整理得（a-1）x=-10， ①

若原分式方程有增根，则x=2或-2是方程①的根.

把x=2或-2代入方程①中，解得a=-4或6.

【点评】此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.

例6 当a为何值时，关于x的方程+=无解？

【解析】方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）.

整理得（a-1）x=-10， ①

若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a-1=0（即a=1）时，

方程①为0x=-10，此方程无解，

所以原方程无解.

（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解.

原方程若有增根，增根为x=2或-2，

把x=2或-2代入方程①中，

求出a=-4或6.

综上所述，a=1或a=-4或a=6时，原分式方程无解.

【点评】本题弄清分式方程的增根与无解的区别和联系，能帮助我们提高解分式方程的正确率，对判断方程解的情况有一定的指导意义.

正确理解分式方程的增根篇7

1.增根的定义

分式方程转化为整式方程的解使得原分式方程的最简公分母为零, 这样的未知数的值是原分式方程的增根.

2.增根产生的原因

我们看一个简单的一元一次方程x-1=0, 显然方程的解是x=1, 而如果把方程两边同乘以x+1变成方程 (x+1) (x-1) =0, 则方程的解就是x1=1, x2=-1, 此时方程比原方程便多了一个根x=-1, 这就因为我们在方程两边同乘以了一个含有未知数的整式.

在解分式方程时第一步便在两边乘以了一个含有未知数的整式——最简公分母.当我们所解整式方程的解使最简公分母为零时, 也就是在方程两边乘以了一个值为零的含有未知数的整式, 导致方程产生了增根.

3.增根的检验

由于解分式方程易产生增根, 所以一定要检验所获得的整式方程的解是否使得原分式方程的最简公分母为零, 判断其是原分式方程的解还是原分式方程的增根.但要注意检验并不是解分式方程的最后一步, 最后一步应该是明确指出方程的解的情况, 有解则指出方程的解是什么, 无解也需点明原方程无解.

4.增根的确定

【例1】分式方程 $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{16}{x^{2} - 4}$ 的增根是.

分析:很多同学会毫不犹豫地填上x=2或x=-2, 这是错误地理解了分式方程增根的定义, 这里的x=2的确使原分式方程的最简公分母为零, 但并不是原分式方程转化后整式方程的解.事实上, 我们解方程就可以发现, 方程只产生了增根x=-2.

【例2】当m何值时, 分式方程 $\frac{m}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x^{2} - 1}$ 会产生增根?

分析:我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1, 只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程, 即可求出相对应的字母m的值.

解:原方程去分母并整理得 (m-2) x=5+m.

假设产生增根x=1, 则有:m-2=5+m方程无解, 所以不存在 m的值, 使原分式方程产生增根x=-1;

假设产生增根x=-1, 则有:2-m=5+m, 解得

时, 分式方程 $\frac{m}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x^{2} - 1}$ 产生增根.

5.增根与无解

若在解可化为一元一次方程的分式方程时产生增根, 原分式方程必无解.但分式方程的无解并不都是由于产生增根引起的, 如 $\frac{x}{x - 1} = 1$ , 去分母后的整式方程本来就无解, 所以原分式方程也无解.

【例3】当m=时, 分式方程 $\frac{m}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x^{2} - 1}$ 无解?

分式方程的增根探讨篇8

首先,需明确分式方程的增根产生:在解分式方程的过程中,分式方程转化为整式方程(去分母)时,未知数的范围扩大了,就会产生增根。增根必须同时满足以下两个条件:分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时,方程两边同时乘以的最简公分母等于0;分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。要清醒的认识到:增根一定能使最简公分母等于0,反过来,能使最简公分母等于0的未知数的值,却不一定是分式方程的增根。其次,不是每个分式方程都有增根。解分式方程的三个常见误区如下。

误区一:认为能使分式方程转化为整式方程时,方程两边同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值,都是分式方程的增根。

例1:解方程求它的增根。解:因为方程有增根,所以令x -3=0,得到x =3,因此,方程的增根是x =3 。点评:本题的解法是正确的。这个分式方程化成的整式方程是x =2( x -3) +3,解x =3,同时满足增根的两个条件。

例2:解分式方程。最简公分母是x ( x +1)(x-1),若x(x+1)(x-1)=0,则x=0或1或 -1,这3个值显然不都是增根。转化成的整式方程的解x=1,因此,只有x=1是增根,另外两个值不符合前面提到增根的必须条件的第二个条件。点评:一定要注意增根所必须同时满足的两个条件。

误区二:认为分式方程的增根和分式方程无解是等同的。这是错误的,当分式方程无解时,分式方程可能有增根;还有另一种可能,分式方程转化成的整式方程如果没有解,那么分式方程也是无解的。出现这种错误的原因是常见这样一类题目,举例如下。

例 1:1解:方程两边都乘以b ( b -1),得3(b-1)+6b=b+5.2解这个方程,得b=1。经检验:当b=1时,原方程无意义,所以b=1是原方程的增根。所以,原方程无解。

分析:显然,方程1中未知数b的取值范围b≠0且b≠1,在去分母化为方程2后,未知数b的取值范围扩大为全体实数,所以当求得的b值恰好使最简公分母为零时,b的值就是增根。本题中方程2的解b=1,恰好使公分母为零,所以b=1是原方程的增根,原方程无解。

例2 :解方程。解:去分母后可得到,y+1=2-y+2(y-3),进一步整理可得到,0y=-5,因为此方程无解,所以,原分式方程无解。

分析:此方程化为整式方程后,本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了。可见,分式方程无解,不一定就产生增根。遇到下面题型时,无解就不单单是增根了。

例3: n为何值时,关于x的方程无解。正确的解答:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得到(n-1)x=-10,因为方程有增根,则x=2或 -2代入(n-1)x=-10中可得n=-4或n=6,若(n-1)x=-10没有解,则n=1。因此,n=1或 -4或 -6时方程无解。

分析:在这个问题中,分式方程无解,既包括方程有增根,又包括分式方程化成的整式方程无解这两种可能。

误区三:忽视增根的存在。

例如:已知关于x的方程有一个正数解,求n的取值范围。(错解)去分母得x-2(x-3)=n所以x=6-n,由题意知x>0,所以6-n>0,得到n<6。错解分析:忽视了分式方程有可能产生增根的情况,即还需满足x≠3,即6-n≠3,n≠3。正确答案:n<6且n≠3。

综上所述,对于分式方程一定要明确增根,同时必须验根。以下,列举了解分式方程出现增根的比较有代表性的题型。

例1:已知关于x的方程有增根,试确定的a的值是( ):A. 2;B.-2;C.±2;D.与a无关。

分析:首先确定增根为n=2,然后把x=2代入分式方程化成的整式方程即可。

解:去分母并且化简得:(a2-2)x=4,因为原方程的增根为x=2,把x=2代入得a2=4,所以a=±2,因此应选C。

例2:如果分式方程有增根,那么b的值是 ( ):A. -1或-2;B. -1或2;C. 1或2;D.1或-2。解:原方程去分母,并整理得:a2-2a-2-b=0 ,因为原方程的增根是a=0或a=1,把a=0或a=-1分别代入整式方程,得:b=-2或b=1,因此应选D。

例3:如果关于y的方程有增根,则a的值为( ) 。解:原方程化简为:ay+1=0,又知道原方程的增根是y=1,把y=1代入上式,得a=-1,因此应填“-1”。

总结:通过以上3个例子可知,解答此类问题的基本思路是:把所给的分式方程转化为整式;根据所给方程确定增根;把增根代入整式方程,求出字母数值。关于分式方程增根问题,在现行人教新课标课本上提及不多。但作为教学一线的数学教师,有必要加以探索和总结,帮助学生更好的学习数学知识。

摘要：教学分式方程应研究增根问题。增根必须同时满足两个条件,缺一不可:分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时,方程两边同时乘以的最简公分母等于0;分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。

关于分式方程解决实际问题的思考篇9

要缓解这一矛盾, 首先要学生学会进行数学阅读。其实, 自从我们开始学习数学, 就从来没有离开过数学阅读, 不仅离不开, 而且势必在先, 它是学习数学的敲门砖, 是数学素养和智力腾飞的翅膀。我在实践中发现, 很多学生把数学当作语文、英语一样来阅读, 那是因为他们不了解数学阅读的特殊性, 结果书读百遍, 其意却没有自现。其实, 数学阅读有它较为特殊的方法和技巧。教师要教学生如何阅读数学中的实际问题, 就是教数学阅读的思想和方法。

通常数学中的应用问题都是从实际出发, 为给学生创造一个实际情境, 有很多描述性的语言, 而这些语句在做题时都是些无关紧要的话。因此, 教师应该带领学生一起阅读, 对哪些为了创设情境的语句进行删减, 或将繁琐冗长的描述性语句简练, 使学生会用通俗的语言把应用题的大致内容描述出来。通过这样的方法描述出的题目, 学生便会很容易找到题目中量的关系。

例:南水北调东线工程已经开工, 某施工单位准备对一段长2240米的河堤进行加固。由于采用新的加固模式, 现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米, 因而完成河堤加固工程所需天数比原计划缩短2天, 则现在每天加固河堤多少米?

读题, 可发现一条长2240米的河堤需加固, 有原计划和实际两种方案, 现实际每天比原计划多了20米, 时间缩短2天。因此, 将描述性语句去掉后, 将此题改为较好理解的形式为:“一段长2240米的运河河堤, 现在每天加固的长度比原计划增加20米, 所需天数比原计划短2天, 求现在每天加固的长度。”为方便学生做题, 可让学生用铅笔将题目中的描述性语句划去, 明确所求, 即实际工作效率。

其次, 初步通读简化, 把握整体脉络后, 鼓励学生有针对性地阅读, 找出题目中提到的“量”, 以及各个量之间的关系。

题目简化完后, 找出题目中有几个量。一般情况下, 分式方程的实际应用都是三个量, 将这三个量的关系式写在题目旁边。同样以上题为例, 此题中的三个量是:工作总量s, 工作效率v, 工作时间t。这三者之间的关系式:工作总量=工作效率*工作时间, 即s=vt。通过这三个量之间关系的转化可以得到:工作效率=工作总量/工作时间, 工作时间=工作总量/工作效率。其中工作总量为2240米的河堤, 这个在此题中不管是原计划还是实际都是不变的量, 即已知。而原计划与实际的工作效率v和工作时间t都是未知的, 但是都有一定的关系。由“现在每天加固的长度比原计划增加20米”可知:v (现) =v (原) +20。又由“所需天数比原计划短2天”可知:t (现) =t (原) -2, 由于效率高了, 同样的工作总量, 时间就会缩短, 这是符合实际情况的。

最后, 根据三个量之间的关系和题意列出方程。

思考方式一:一个已知量, 两个未知量:其中一个未知量设未知数, 则根据题目中给的另一个未知量的关系列方程。

情况一:设工作效率, 根据实际工作时间与原计划工作时间的关系列方程。

(1) 若设原计划的工作效率为x米/天。根据实际与原计划的工作时间的关系列方程, 即t (现) =t (原) -2, 则有x2+22400=x2240-2。需要注意的是: (x+20) 才是我们所要求的。

(2) 若设现实际的工作效率为x米/天。根据实际和原计划的工作时间的关系列方程, 即t (现) =t (原) -2, 则有x2-22400+2=x2240。这里求出的x就是所求。

情况二:设工作时间, 由实际工作效率与原计划工作效率的关系列方程。

设原计划需要x天。根据实际与原计划的工作效率的关系列方程, 由v (现) =v (原) +20, 则有22x40+20=x-22240。这里求出x之后, 需把2240/ (x-2) 才是所求的解。

设现实际需要x天。根据实际与原计划的工作效率的关系列方程, 由v (现) =v (原) +20, 则有22x40=x+22240+20。这里求出x之后, 需把2240/x才是所求的解。

以上两种情况是找同一个量在两种情况下的关系, 即实际工作效率=原计划工作效率+20;实际工作时间=原计划工作时间-2, 以及变形列出方程的的方法比较容易想到。

思考方式二:可以用两个公式表示:原计划工作总量=原计划工作效率*原计划工作时间;实际工作总量=实际工作效率*实际工作时间。下面, 我们也用表格的形式观察分析。

情况一:设原计划工作效率为x米/天时, 实际工作效率为 (x+20) 米/天, 原计划工作时间=原计划工作总量/原计划工作效率。即22x40, 则实际工作时间=原计划工作时间-2,

即22x40=-2。

再根据实际工作总量=实际工作效率*实际工作时间, 可以得到: (x+20) × (x2240-2) =2240, 求出x的值, 带入22x40-2求所要求的值。

情况二:设原计划的时间为x天, 根据实际工作总量=实际工作效率×实际工作时间, 可以得到: (x-20) × (x2240+20) =2240, 求出x的值, 代入22x40-2求所要求的值。

这样的方法得到一个方程, 通过化简后得到一个一元二次方程, 现阶段我们无法求解, 我们只是学习它的思考方式。

总之, 分式方程的实际应用一般有三个量, 两个未知量中一个设未知数, 我们可以找同一个量在两种情况下的关系 (例v现=v原+20) 列方程, 如思考方式一的方法。我们也可以找一种情况下三个量的关系 (例实际工作总量=实际工作效率*实际工作时间) 来列方程, 如思考方式二。当然, 对于这道题来说, 情况一中的 (2) 比较简单一点, 其余的三种方法比较繁琐, 不能直接求出答案。需要注意的是:大部分分式方程的题都有这两种分析方法。因此, 当引导学生发现这种规律后, 练习每道题都让学生试着用这两种思路 (变形类除外) 去解。