分式方程应用题的教学设计

分式方程应用题的教学设计（精选16篇）

分式方程应用题的教学设计 篇1

分式方程应用题的教学设计

赣县第二中学

余才香

教学目标：

1：进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程

2：使学生能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题 教学重点、难点：

重点：让学生学习审明题意、设未知数、列分式方程。难点：在不同的实际问题中设未知数列分式方程 教学过程： 一：情境引入

1：解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简，（2）去分母，化分式方程为整式方程，（3）解整式方程，（4)检验，（5）得出原方程得解。

2：列方程解应用题的步骤是什么？（1）审（2）设（3)列（4）解（5)答

3：由学生讨论我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 二：探求新知 例1 两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

分析、解答参看教材29页例3（1）教师提出问题（2）学生审题、思考、小组讨论、寻求解决问题的方法

例2 从2004年5月起某列列车平均提速v千米／小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？ 分析、解答参看教材30页例4 在活动中教师要关注：（1）学生是否能将实际问题化为数学问题（2)大部分学生能否将这个问题很好的分析出，能否列出方程（3）基础较差的学生对于该题的理解是有困难的怎样适当的加以个别引导 三 问题解决巩固练习课本31页1、2题 四 归纳总结

本节课学习了哪些知识，对自己在本节课的学习情况进行反思和评价，你有哪些收获？ 五 布置作业

1.作业本：教材习题16.3第4,第5题

2.复习本章知识点，做好归纳、总结。

分式方程应用题的教学设计 篇2

一、利用无解求分式方程中字母的值

例1若关于x方程无解, 求a的值.

分析分式方程无解, 相当于知道了去分母时方程两边乘以的最简公分母为0.我们从而通过最简公分母求出使分式方程无解的未知数的值, 再把求得的未知数的值代入原方程中就可求出相关字母的值了.

解方程两边同时乘以最简公分母x-4, 得:x=2 (x-4) +a.

∵方程最简公分母为x-4,

∴使方程无解的未知数的值为x=4.

把x=4代入x=2 (x-4) +a, 求得a=4.

二、利用无解产生的原因, 求无解的值

例2若方程无解, 则x=_________.

解∵方程最简公分母为x-7,

∴使方程无解的未知数的值为x=7.

三、利用无解探究使分式方程无解的字母的值

例3若关于x方程无解, 求m的值.

解去分母后原方程可化为3-2x- (2+mx) =- (x-3) .整理得: (m+1) x=-2.

(1) 整式方程 (m+1) x=-2本身无解, 原分式方程无解.

∴m+1=0, 即m=-1时, 方程 (m+1) x=-2无解, 原分式方程也无解;

(2) 当x=3是原方程的增根时, 原方程无解.

x=3代入方程 (m+1) x=-2, 得

∴当m=-1或m=-53时.

四、利用分式方程无解快速定选择支

例4分式方程的解是 ( ) .

A.0 B.1 C.-1 D.无解

解 (1) 常规方法:解方程求根来确定选择支.

方程两边同时乘以最简公分母2x (x+1) 2, 得:

2x+8=5 (x+1) , 解得:x=1.

经检验x=1为方程的根, 故选择B.

(2) 特殊法:利用无解来定选择支.

∵方程最简公分母为2x (x+1) 2,

∴使方程无解的未知数的值为x=0和x=-1,

∴可删除选择支A和C, 这时只剩下选择支B和D.

把x=1代入方程, 左边, 右边

∴x=1是方程的解, ∴选B.

列分式方程解应用题 篇3

1审题 弄清题意和题目的已知数、未知数，并找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系

2设未知数 选择一个适当的未知数用字母表示，并根据题目中的数量关系用含未知数的代数式表示有关的未知量

3列方程 根据相等关系列分式方程

4解方程 其过程可以省略

5检验 首先检查所列方程是否正确，然后检查所列方程的解是否符合题意

6写答 千万不要忘记单位

以上六个步骤，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量

现举例介绍，供同学们参考

例1 2008年5月12日，四川省汶川发生80级大地震，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少?人均捐款多少元?

分析:解答本题要注意利用如下相等关系：

第一天人均捐款数=第二天人均捐款数

解:设第一天捐款的人数为x人，则第二天捐款的人数为(x+50)人，依题意，得

=

解方程得, x=200

经检验, x=200是所列方程的解，且符合题意

所以两天捐款人数为x+(x+50)=450，人均捐款为 =24

答:两天共参加捐款的有450人,人均捐款24元

例2 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定:用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果:甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完 事后，甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说:“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的12倍” 根据图文信息，请问哪位同学获胜?

分析：要判断哪位同学获胜，应把甲、乙两位同学跑完全程的时间分别求出来 不难发现，表示本题全部含义的一个相等关系为：

甲跑完全程的时间+乙跑完全程的时间=甲、乙两同学所用的全部时间的和

解:设乙的速度为每秒x米，则甲的速度为每秒12x米 依题意，得 +6+ =50

解之, x=25

经检验, x=25是所列方程的解，且符合题意

所以甲跑完全程的时间为 +6=26(秒),乙跑完全程的时间为 =24(秒)

答:乙同学获胜

例3 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元

(1)求第一批购进书包的单价是多少元?

(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?

分析：解答本题要注意利用如下相等关系：

第二批所购书包数量=第一批所购书包数量的3倍

解:(1)设第一批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价是(x+4)元 依题意，得

= ×3

解方程得, x=80

经检验, x=80是所列方程的解, 且符合题意

答:第一批购进书包的单价是80元

(2)不难计算出,第一批所购书包数量为 = =25(个),第二批所购书包数量为25×3=75(个)

所以两批书包的全部售价为(25+75)×120元，即12000元

因为两批书包的全部进价为(2000+6300)元，即为8300元

所以12000-8300=3700

分式方程的应用(参照) 篇4

1、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵工人为支援四化建设每天比原计划增产%25可提前10天完成任务问原计划日产多少台

2、现要装配30台机器在装配好6台后采用了新的技术每天的工作效率提高了一倍结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.3、某车间需加工1500个螺丝改进操作方法后工作效率是原计划的212倍所以加工完比原计划少用9小时求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝

4、打字员甲的工作效率比乙高%25甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟求甲乙二人每分钟各打多少字

5、甲加工180个零件所用的时间乙可以加工240个零件已知甲每小时比乙少加工5个零件求两人每小时各加工的零件个数.6、某工人师傅先后两次加工零件各1500个当第二次加工时他革新了工具改进了操作方法结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍求他第二次加工时每小时加工多少零件?

7、某校招生时 2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍已知甲的输入速度是乙的2倍结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩

8、要装配30台机器在装配好6台后采用了新的技术每天的工作效率提高了一倍结果共用了3天完成任务。原来每天能装配多少台机器

9、一台电子收报机它的译电效率相当人工译电效率的75倍译电3 000个字比人工少用2小时28分.求这台收报机与人工每分钟译电的字数.二、路程问题

1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等求这个人步行每小时走多少千米



2、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动先遣队与大队同时出发但行进的速度是大队的2.1倍以便提前半小时到达目的地做准备工作求先遣队和大队的速度各是多少.3、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走15分钟后抢修车装载着所需材料出发结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍求这两种车的速度.4、AB两地相距135千米有大小两辆汽车从A地开往B地大汽车比小汽车早出发5小时小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为25求两辆汽车的速度.5、AB两地相距135千米两辆汽车从A地开往B地大汽车比小汽车早出发5小时小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是52求两辆汽车各自的速度.6、一队学生去校外参观他们出发30分钟时学校要把一个紧急通知传给带队老师派一名学生骑车从学校出发按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

7、电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走15分钟后抢修车装载着所需材料出发结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍求这两种车的速度.8、甲乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米B、C两城的距离为400千米甲车比乙车的速度快10千米/时结果两辆车同时到达C城.求两车的速度.9、甲、乙两地相距828km一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍直达快车比普通快车晚出发2h比普通快车早4h到达乙地求两车的平均速度

10、某人骑自行车比步行每小时多走8千米如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等求他步行40千米用多少小时?

三、水流问题

1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等已知水流速度每小时3千米求轮船在静水中的速度.2、已知轮船在静水中每小时行20千米如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同那么此江水每小时的流速是多少千米?

3、一船自甲地顺流航行至乙地用5.2小时再由乙地返航至距甲地尚差2千米处已用了3小时若水流速度每小时2千米求船在静水中的速度.四、营销问题

1、小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶周六再去买时正好遇上商场搞酬宾活动同样的酸奶每瓶比上次降价0.5元因此多花2元钱却比上次多买2瓶酸奶问她上周三买了几瓶酸奶

2、某商店销售一批服装每件售价150元可获利25%。求这种服装的成本价。

3、小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书.科普书的价格比文学书高出一半,因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少

4、某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格?

5、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场就用8万元购进这种衬衫面市后果然供不应求商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫所购数量是第一批购进量的2倍但单价贵了4元商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元最后剩下的150件按八折销售很快售完在这两笔生意中商厦共赢利多少元。

6、一个批发兼零售的文具店规定凡一次购买铅笔300枝以上不包括300枝可以按批发价付款购买300枝以下包括300枝只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔如果给八年级学生每人购买1枝那么只能按零售价付款需用120元如果购买60枝那么可以按批发价付款同样需要120元 1 这个八年级的学生总数在什么范围内 2 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同那么这个学校八年级学生有多少人

7、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后其平均价比原甲种原料0.5kg少3元比乙种原料0.5kg多1元问混合后的单价0.5kg是多少元

五、数字问题

用分式方程解应用题 篇5

一．行程问题

（1）一般行程问题

1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

（2）水航问题

3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

二．工程问题

1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

2、某 市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 三．利润（成本、产量、价格、合格）问题

1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

2、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。

3、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

四．其它开放性新题型

1、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。

2、某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。（1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.5min，假设当时水流的速度是0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？

八年级分式方程应用题

1、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？

2、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

3、陈明同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，求原定的人数是多少？

5、甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队完成此工作时间比是2:3,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?

6、市政工程公司修建6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成。求该公司完成这项工程实际的天数。

7、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？

8、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

9、A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车同时从A地开往B地，大汽车比小汽车晚到4小时30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.10、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的1，求步行和骑自行车3小刚家的速度各是多少？

王老师家 学校

11、小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家3千米，王老师家到学校0.5千米，由于小明脚受伤，为按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车车速是步行速度3倍，王老师每天比步行上班多用20分钟，问王老师步行速度是多少？

12、A、B两地距80千米，一公共汽车从A到B，2小时后又从A同方向开出一辆小汽车，小汽车车速是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两车速度。

13、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%。问原计划这项工程用多少个月

14、.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？

17、甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲走8米后两人第一次相遇，然后甲继续向前到B立即返回，乙继续向前走到A立即返回，两人在距离B地6米处第二次相遇，求A、B两地的距离。

18、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。

19、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

20、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

21、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

23、甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？

24、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？

25、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

27、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？

28、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。

29、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

30、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

32、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么？

33、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？

35、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。

36、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

38、某商品每件售价15元，可获利25%，求这种商品的成本价。

39、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？

分式方程的教学方案 篇6

1.经历在实际问题中运用分式方程的过程，了解分式方程的意义，体会分式方程的模型思想.

2.会解可化为一元一次方程的分式方程.

3.了解分式方程增根产生的原因，会检验分式方程的根.

4.通过学习分式方程的解法，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，体会数学中的转化思想.

二、重、难点

重点：

(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法.

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.

难点：增根产生的原因

三、学习过程

(一)复习并引入新课

1、什么叫方程?什么叫方程的解?

2、阅读课本P76页“交流与发现”，完成课本上的.填空。并思考所列方程有怎样的特点?

(二)探究新知

1、总结分式方程的定义：中含有求知数的方程，叫做分式方程.

巩固练习：判断下列方程中，哪些是分式方程.为什么?

(1)2x+x-15=10(2)x-1x=2

(3)12x+1-3=0(4)2x3+x-12=0

2、阅读课本P77—78例1、例2并思考：

(1)与解一元一次方程有什么异同点?解分式方程必需要.

(2)总结解分式方程的步骤：

巩固练习：解下列分式方程：

(1)(2)

3、自学课本P78—79页例3、例4，进一步熟练解分式方程的步骤.

巩固练习：(1)21-x+1=x1+x

(2)61-x2=31-x

四、当堂小结：

本节课你的收获是：

不足有：

五、当堂测试：

解下列方程

(1)(2)

正确理解分式方程的增根 篇7

1.增根的定义

分式方程转化为整式方程的解使得原分式方程的最简公分母为零, 这样的未知数的值是原分式方程的增根.

2.增根产生的原因

我们看一个简单的一元一次方程x-1=0, 显然方程的解是x=1, 而如果把方程两边同乘以x+1变成方程 (x+1) (x-1) =0, 则方程的解就是x1=1, x2=-1, 此时方程比原方程便多了一个根x=-1, 这就因为我们在方程两边同乘以了一个含有未知数的整式.

在解分式方程时第一步便在两边乘以了一个含有未知数的整式——最简公分母.当我们所解整式方程的解使最简公分母为零时, 也就是在方程两边乘以了一个值为零的含有未知数的整式, 导致方程产生了增根.

3.增根的检验

由于解分式方程易产生增根, 所以一定要检验所获得的整式方程的解是否使得原分式方程的最简公分母为零, 判断其是原分式方程的解还是原分式方程的增根.但要注意检验并不是解分式方程的最后一步, 最后一步应该是明确指出方程的解的情况, 有解则指出方程的解是什么, 无解也需点明原方程无解.

4.增根的确定

【例1】 分式方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}=\frac{16}{x{}^2-4}$的增根是.

分析:很多同学会毫不犹豫地填上x=2或x=-2, 这是错误地理解了分式方程增根的定义, 这里的x=2的确使原分式方程的最简公分母为零, 但并不是原分式方程转化后整式方程的解.事实上, 我们解方程就可以发现, 方程只产生了增根x=-2.

【例2】 当m何值时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$会产生增根?

分析:我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1, 只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程, 即可求出相对应的字母m的值.

解:原方程去分母并整理得 (m-2) x=5+m.

假设产生增根x=1, 则有:m-2=5+m方程无解, 所以不存在 m的值, 使原分式方程产生增根x=-1;

假设产生增根x=-1, 则有:2-m=5+m, 解得

时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$产生增根.

5.增根与无解

若在解可化为一元一次方程的分式方程时产生增根, 原分式方程必无解.但分式方程的无解并不都是由于产生增根引起的, 如$\frac{x}{x-1}=1$, 去分母后的整式方程本来就无解, 所以原分式方程也无解.

【例3】 当m=时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$无解?

分式方程首课时教学如何设计 篇8

【关键词】分式方程 教学 设计

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0161-02

多年来，听同行教研课和一些特级教师献课的过程中，不少主讲人关于分式方程首课时的教学给我留下的印象不是很好。主要问题是，脱离知识体系，目标确立单一，重点不突出，难点抓不住，材料欠典型，组织还乏力，当然教学效率不高。如何完成这一课时内容的教学，做到抓关键、突重点、破难点，作者尝试初探，不妥之处恳请同行批评指正。

一、课时内容地位与作用

继整式乘除之后，分式的出现顺理成章。由数到式的拓展，建立代数式的运算体系是初中代数内容的核心。数学作为工具性学科，广泛应用有需要，学生后续发展有需求，方程思想的确立和使用就成为初中学生建构学科知识体系的重点。分式方程在这个节点出现，依托整式、整式方程和分式、拓展了方程思想的应用范围，印证了建构式的运算体系的必要性，也为数学向函数枝脉延伸创立了根基。正确解分式方程当然极其重要，但其解法的教学是没有潜在难度的。

学生首次接触到分式方程，很多学生对整式方程的理解还不够彻底，与整式方程相比，分式方程求解中可能会产生增根，学生理解起来必然会有一定的难度，尤其是对于增根产生的原因，很多学生都感到难以理解。分式方程的概念虽然与整式方程不同，但是求解方法有着密切的联系，分式方程的求解先要转化成整式方程，只是最后多了一个验根的环节，这个步骤也是学生容易忘记的。

二、课时目标与要求

1.学生明白分式方程的意义；2、学生正确解分式方程；3、学生深刻理解增根的含义及正确运用概念解题，是这个课时的知识和技能目标。分式方程概念一笔带过，解法精雕细琢（包括：数学转化思想的培育，方程变形过程的算理，设置关键步骤的依据），增根概念准确表达，应用适度放低放窄。建构主义学习理论认为，学习是一个建构内部心理结构的过程，是学生主动选择和已有经验相互作用，建构信息的一个过程。在实际教学的过程中，应该充分利用学生的已有经验，通过联系以前学习过的内容，加深学生对分式方程的理解，把零散的知识连成线、织成网。

三、课时内容的重点和难点

解分式方程的首课时内容的重点是解法，难点是解法过程中的算理揭示和增根概念教学。

四、教学过程的主要流程

1.即兴给出一些等式，学生辨析分式方程概念

如老师给出80/15+x=40/15-x方程式，问学生们该方程和以前学习的整式方程有什么区别？学生们可能会回答有分数、分母中有未知数等，学生们经过简单的讨论后，老师引入分式方程的概念，即分母中含有未知数的方程。然后老师可以继续给出几个方程式，如x+5/3=x/6、3x+4/x+4x=1等，让学生们辨别哪些是分式方程，

2.课堂练习

（1）出示两个整式计算题目——分式方程去分母之后，所进行的运算就是整式混合运算，去括号，合并同类项是学生知识易错点，预设陷井，强化训练，发现问题及时订证。如前面给出的80/15+x=40/15-x方程式，去分母后可以得到80（15-x）=40（15+x），最终得到x=5，然后要进行验根，将x=5带入到原方程中，左式=右式，说明求得结果是方程的解。

（2）出示一道含有分数系数的一元一次方程题目，学生集体解答，其中一学生板演——分式方程转化为整式方程之后，学生已顺利实现未知向已知的转化目标，此练习有复习巩固和埋没伏笔之功效。

3.精选一道分式方程典型例题，学生进入探究环节。要求方程中的分式部分的分母包含多项式，其解出现增根。

（1）引导学生运用转化的数学思想方法，顺利过渡到去分母这一步。如方程1/x-4=8/x2-16，化简后可得x+4=8，最后x=4，但是将x=4带入到原方程中，发现分母为零了，根据分数的定义可以知道，分母是不能为零的，那么说明x=4不是该方程的根，定义为增根。

（2）反复设问去分母环节，包括就措施、依据、技术、结构变化、未知数受限条件等追问学生。如对于方程1/x-4=8/x2-16会出现增根，只是对原式进行了去分母，只能是这个过程引起了方程的变化，通过分析可以得出，最简公分母是否为零，是引起分式方程变化的原因。

（3）判定解出未知数的值引出的具体问题，探究这个值满足两个重要条件：即是对应整式方程的解，同时使最简公分母值为零。轻松引出增根概念，并说明是去分母改变未知数取值范围造成的结果。

（4）总结解法步骤，规范解题格式。实际的课堂教学环节中，可以先让学生们讨论，该如何求解分式方程，经过简单的交流后，老师对求解分式方程的步骤进行补充，首先要对分式方程进行去分母，转化成整数方程的形式，然后按照解整式方程的方法求解，最后将求得的结果带入到原方程，或最简公分母中，验证解是否为增根。

4.跟踪训练

同时出示有增根和无增根的两道习题，学生课中练习，其中两学生各板演一题。在学生们求解的过程中，老师要注意学生求解的步骤和格式，对存在问题的地方进行纠正，通过练习，同时训练学生解答分式方程的格式和技巧，加深对分式方程求解的认识。

5.出示分式方程中含有参数字母，给出了方程解的某个条件，求参数值或取值范围的一道题，学生自主探求解法。这是分式方程的拓展环节，对于课堂教学来说，尤其是数学这门课程，面对枯燥乏味的理论知识，学生很难产生足够的学习兴趣，适当的对知识进行扩展，让学生们自由的发挥讨论，可以很好的提高学生们的学习兴趣。同时拓展训练是课堂知识的加深和拓宽，如在分式方程的拓展训练中，求参数的取值范围，学生们可能会得出不同的结论，进而产生激烈的讨论，老师及时的进行总结，分析学生们正确和错误的原因，能够加深学生们对分式方程求解的认识，为将来的灵活运用打下坚实的基础。

分式方程应用题的教学设计 篇9

教学目标：

1、了解分式方程的概念

2、掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用

3、了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根 教学重点难点

1、重点：理解分式方程的解法，深刻理解“转化”思想

2、难点：理解解分式方程必须验根 教学过程

一、旧知回顾 你还记得吗？

1、什么是方程？

2、什么是一元一次方程？

3、解一元一次方程的一般步骤是什么？（1）去分母（2）去括号（3）移项

（4）合并同类项（5）把系数化为1

4、找错误，假设 解：去分母，得：

2x110x12x113644（2x－1）－2（10x＋1）＝3（2x＋1）－1 去括号，得：

8x－4－20x＋1＝6x+3-2 移项，得：

8x－20x－6x=3-2-4+1 合并同类项，得： －18x＝－2 把系数化为1，得：

二、引入课题

1、了解分式方程的概念

观察下列方程，有什么特点？

9060xx6

让学生观察得出：分母里含有未知数

明确：分式方程：分母里含有未知数的方程 巩固练习

分式方程是分母里含有字母的方程，对吗？判断下列方程哪些是分式方程？

21xx211(2)x231x21(3)22311(4)1xy2、分式方程的解法 出示方程(1)x(1)236（5）2x1x1x1xbxa(6)2(ab0,aba、b为已知数）1x（7）＋329060xx6引导观察思考如何去分母，两边同乘以x(x-6)转化为整式方程让学生解答 指导检验是否适合原方程 出示方程

(2)122x1x1

引导观察思考如何去分母，两边同乘以(x-1)(x2-1)转化为整式方程让学生解答 指导检验是否适合原方程 x=1不适合原方程

组织学生讨论为什么出现不适合原方程的情况

1、讨论后，明确增根的概念，为什么会产生增根？

2、巩固检测

分式方程教学反思 篇10

本节课是北师版数学八年级下第四章第一节的内容，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。

本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。

下面结合教学过程谈谈自己的几点感悟：

一、知识链接部分我设计了分式有无意义和找几组分式的最简公分母，帮助学生回忆旧知识，并且为本节课解分式方程扫清障碍。

反思：在这个环节里，出现了一个问题，就是对学生估计过高，尤其是最简公分母的找法中下游的学生把旧知识忘了，造成浪费了课上的时间。

二、由课本中的百米赛跑的应用题引出分式方程的概念。我把课本中的阅读和一起探究改为几个小问题让学生自主探究然后小组内交流讨论。由于学生对于应用题的掌握太差，造成在这个环节浪费了太多的时间。

反思：因为本节课的重点和难点是解分式方程，所以在以后的教学中我个人认为应把它改编在为简单的，便于学生理解的，直观的。简单的整式方程，再给出几个分式方程让学生自己判断直接得出分式方程的意义，节省出时间让学生重点学习和练习解分式方程。本节课值得欣喜的是四班的优生反应灵敏，四、让学生自学课本例一，也就是解分式方程，分析课本做法的依据，和自己的做法是在否一致，会用课本的方法解题。看完后，我让学生自己做到导纲上。很多同学看完后还不是很理解，所以，我又让小组自己讨论了一下，弄明白如何做题。最后，我在黑板上板书了例题，然后，让学生将自己的纠正一下。

反思：这个内容是这节的重难点，由于前面已经做过铺垫，让学生自己尝试解过分式方程，所以，在这里我设想的是学生看完课本，明白教材的做法，自己会运用同样的方法解决分式方程。但是，在实际的操作过程中，发现一个问题，同学们并没有真正理解教材时怎么处理的，他们被第二环节中自己的做法禁锢住了，很多同学都先通分。通分很好，但通分的目的还是为了去分母。这点我没有强调到位。同时，检验的过程我没有板书在黑板，只是口头强调了一下，致使很多学生印象不深，没有进行检验。

纠正措施：重点强调化分式方程为整式方程的依据和做法。就这一步，安排几个题进行专门训练，小组合作，直到每个组员都能找到最简公分母，并会去掉分母为止。将第二课时提到这节点拨，在这节就让学生明白分式方程为何要检验，从开始就让学生养成检验的好习惯。

五、归纳解分式方程的一般步骤。根据上面的解题过程，小组总结出解题步骤。（在提示中，学生初步了解了大体步骤）

六、自学课本例二，弄明白后做到导纲上。

（这个环节设置的目的是让学生进一步熟悉分式方程的解法。注意一些细节问题。）

七、巩固练习。做导纲四道题。小组批阅。

八、总结这节课的知识。（由于前面进行不是很顺利，总结有些匆忙）总体反思

这节课是一堂新授课。因此，让学生对知识有透彻的理解是最重要的。我们的导学案也设置了很多的环节来引导学生，提高学生的学习兴趣。

本节课的关键是如何过渡，究竟是给学生一个完全自由的空间还是让学生在老师的引导下去完成，“完全开放”符合设计思路，符合课改要求，但是经过教学发现，学生在有限的时间内难以完成教学任务，因此，先讲解，做示范，再练习更好些。在教学过程中，由于种种原因，存在着不少的不足。

1.回顾引入部分题目有点多，难度有些高，没有达到原来设想的调动积极性的作用。应该选择简单有代表性的一两个题目，循序渐进，符合人类认知规律。

2.由于经验不足，随机应变的能力有些欠缺，对在教学中出现的新问题，应对的不理想，没有立刻采取有效措施解决问题。例如，在复习整式方程时，学生并不像想象中对整式方程解题过程很了解，我就引导大家一起复习了一下，在这里，如果再临时出几个题目巩固一下，效果也许更好些。

3.教学重点强调力度不够。对学生理解消化能力过于相信，在看例一的过程中，每一步的依据都进行了讲解，而分式方程的难点就是第一步，即将分式方程转化成整式方程。在这里，需要特别强化这个过程，应该对其进行专项训练或重点分析。例如，就学生的不同做法进行分析，让他们明白课本的这种方法最简单最方便。同时，通过板书示范分式方程的解题。

4.时间掌握不够。备学生不够充分，导致突发事件过多，时间被浪费了，以致总结过于匆忙。

浅谈分式方程的增根和无解 篇11

分式方程有增根, 是指解分式方程时, 在把分式方程转化为整式方程的过程中, 方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式, 从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。

分式方程无解是指无论x为何值, 都不能使方程两边的值相等, 它包含两种情况: (1) 原分式方程去分母后的整式方程无解。 (2) 原方程去分母后的整式方程有解, 但是这个解却使得原分式方程的分母为零, 它是原分式方程的增根, 从而原方程无解。

一、初步认识无解和增根

解:方程两边同乘x+2, 得x-3=4-x+2 (x+2) (2)

整理得-7=4

因为方程 (2) 无解, 所以原分式方程 (1) 无解。

点评:此例说明了分式方程转化为整式方程后, 整式方程无解, 因此原分式方程无解。

解:方程两边同乘x (x+1) , 得5x+2=3x (2)

解之得x=-1

检验:当x=-1, x (x+1) =0, 所以x=-1是原方程的增根, 从而原分式方程无解。

点评:方程 (1) 中x的取值范围是x≠-1且x≠0, 而在去分母化为整式方程 (2) 后, 此时x的取值范围扩大为全体实数。所以当求得x的值恰好使最简公分母为零时, x的值就是增根, 故原分式方程无解。

归纳总结:

1. 增根是分式方程转化为整式方程的根, 但不是原分式方程的根。

2. 无解要分两种情况, 一种是分式方程转化为整式方程后整

式方程无解, 另一种是整式方程有解但所求的解都是原分式方程的增根。

二、提升对无解和增根的理解

解:方程两边同乘x-3得:x=2 (x-3) +k (1)

x=6-k

因为原分式方程无解, 但是 (1) 有解, 所以这个解6-k一定是原方程的增根。即x=3

当x=3时, 6-k=3, 所以k=3。

点评:同学们现在所学的是能转化为一元一次方程的分式方程, 而一元一次方程只有一个根, 所以如果这个根是原方程的增根, 那么原方程无解。但是同学们不能认为有增根的分式方程一定无解, 下面这个例题将会解释这一点。

解:原方程可化为:

(x+1) + (k-5) (x-1) = (k-1) x2 (1)

把x=1代入 (1) , 得k=3

所以当k=3时, 解已知方程只有增根x=1。

(1) 若此方程有增根, 则a的值为多少?

解:方程两边都乘x-2, 得a2 (x-2) - (2x+4) =-2a2 (2)

整理得 (a2-2) x=4 (2)

因为原方程有增根, 所以x=2。

把x=2带入 (2) 中得a=2或者a=-2。

综上所述:当a=±2时, 原分式方程有增根。

(2) 若此分式方程无解, 则a的值为多少?

解:方程两边都乘x-2, 得a2 (x-2) - (2x+4) =-2 (2)

整理得 (a2-2) x=4 (2)

原分式方程无解, 则有两种情况:

(ii) 若方程 (2) 的解是原分式方程的增根, 那么原分式方程无解, 此时a=±2。

解:原方程可化为:x2-x+2-m=0 (1)

要原分式方程无实根, 有下面两种情况:

(2) 方程 (1) 的实数解均为原方程的增根时, 原方程无实根, 而原方程的增根为x=0或x=1, 把x=0或x=1分别代入 (1) 得m=2。

归纳总结:

1. 解答分式方程增根的题目的基本思路为:

(1) 将所给方程化为整式方程;

(2) 由所给方程确定增根 (使分母为零的未知数的值或题目给出) ;

(3) 将增根代入变形后的整式方程, 求出字母系数的值。

2. 解答分式方程无解的题目的基本思路为:

(1) 将所给方程化为整式方程;

(2) 分两种情况讨论:

(1) 整式方程无解。 (2) 整式方程有解, 但是原分式方程的增根。

《9.3分式方程》教学设计 篇12

1.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程.2.理解分式方程与整式方程之间的联系与区别，进一步体验“转化”的数学思想.3.了解分式方程增根的含义，体会解分式方程验根的必要性.4.分组分层探究分式方程的解法，培养学生与他人交流合作的习惯。教学重点及难点

1.探索解分式方程的一般步骤，掌握解分式方程验根的方法是本节课的重点.2.对解分式方程可能产生增根原因的理解是本节课的难点.教学时只要求学生能够初步了解，不必作过多的引申.教材分析

本节通过探索本章引言中问题的等量关系的过程，给出了分式方程的概念，接着讨论可化为一元一次方程的分式方程的解法.结合例题探究分式方程化成整式方程后可能产生增根的原因，自然引出增根的概念，介绍了验根的方法.教学方法

探索发现法.学生在教师的引导下，分组分层探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.教学过程

一、知识准备

1.什么是一元一次方程？解一元一次方程的一般步骤是什么？ 2.解方程：x22x31.46

二、提出问题，引入新课

还记得本章引言中提出的问题吗？如何解决这个问题呢？

设列车提速前的速度为xkm/h，那么提速后的速度应为

km/h.提速前、后走完1600km所需时间分别是

h、h.由题意得

160016004.x(125%)x即

160016004.5xx4教师提问：该方程与前面学过的方程有什么不同？它有何特点？

教学中，要鼓励学生认真观察，尝试用自己的语言总结出分式方程的概念.教师指出：像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.三、探究分式方程的解法 【探究一】（针对全体同学）

1.怎样解上面的方程呢？解这个方程，能不能也象解一元一次方程一样去分母呢？ 2.方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？试试看.3.用上面的方法求出的未知数的值是不是该分式方程的解呢？你是怎样知道的？ 学生活动：通过交流，探索分式方程的解法.并从中发现，采用去分母的方法可以把分式方程转化为整式方程，进一步求出未知数的值.【探究二】（分层分组讨论）1.请你用上面的方法解方程：现了什么？

2.出现上面情况的原因是什么？这给我们解分式方程有什么启示？

学生活动：解这个方程，可得x=3.把x=3代入原方程检验时，分式的分母为0.这时分式无意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解.教师指出：像x=3这样的根，称为增根.产生增根的原因是我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式（如上面，当x=3时，方程两边所乘的x-3的值为0），所以，解分式方程必须验根！

四、知识应用 例1 解方程：x1x.2x33x2x12，并把解得的根代入原方程中检验，你发x33x分析：先找出方程中各分母的最简公分母，然后解题.师生共同完成解答，然后结合例题介绍验根的方法.通常把求得整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使最简公分母不为零的根才是原方程的根；使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.【交流】

通过上面解方程的过程，你能总结出解分式方程一般需要经过哪几个步骤？把你的结论与同伴交流.（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验.五、知识巩固 1.练习，解方程：（1）5x313x；

（2）1.x2x4x

4六、分层作业

1、基础较差的同学习题9.3 第3题.2、基础较好的同学

（1）若关于x的方程

2xm则m的值是________.2有增根，x33x21x1(2)先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：1

分式方程应用题的教学设计 篇13

第1课时

前言：

本节内容从本章引言中的航行问题说起，列出分母中含有未知数的方程，然后分析这样的方程的特点，给出分式方程的概念，接着由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。在教学过程中要重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：化分式方程为整式方程和检验。本节知识都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实地掌握它们。

一、教学任务分析

二、教学流程安排

三、教学过程设计

分式方程应用题的教学设计 篇14

例1解方程

点评显然原分式方程中未知数x必须满足x≠0且x≠1, 而转化成相应整式方程中未知数x可以取全体实数, 所以当求得整式方程的解x恰好使原分式方程的最简公分母为零时, x的值就是原方程的增根. 故本例题中, x = 1是原方程的增根, 原方程无解.

例2 (2001年重庆市) 若关于x的方程有增根, 则a的值为____ .

解原分式方程两边都乘以 (x-1) , 得整式方程 (a-1) x+2 = 0. 因为原分式方程有增根 , 且增根只能是x = 1, 所以x =1是相应的整式方程的解, 所以把x = 1代入整式方程, 得a = -1.所以当a = -1时原分式方程有增根.

点评分式方程有增根, 跟分式方程有解或无解没有必然关系, 有增根只是说明分式方程转化成相应的整式方程必须有解, 且存在某个 (或几个) 解代入分式方程的公分母等于零, 即不是原分式方程的解, 则成为原方程的增根. 换言之, 增根指的未知数的值是分式方程转化相应整式方程的解, 但不是原分式方程的解.

例3 (2002年孝感市) 当m为何值时, 关于x的方程无解

解原分式方程两边乘x (x - 1) , 得整式方程x2- x + 2 m = 0.

若要使原分式方程无解, 有下面两种情况:

1相应的整式方程无解, 即x2-x+2-m=0无解. 故Δ= (-1) 2- 4 (2 - m) < 0, 得m <7/4;

2相应的整式方程有解且均为原分式方程的增根时, 原分式方程无解, 而原分式方程的增根只能为x = 0或x = 1, 把x = 0或x = 1分别代入整式方程得m = 2.

综上所述:当m <7/4或m = 2时, 所给方程无解.

点评分式方程无解, 可能有两种情况, 一种是转化成的整式方程无解, 则原分式方程必然无解;另一种是转化成的整式方程有解但代入分式方程不成立, 即分式方程无解. 换言之, 分式方程无解, 相应的整式方程也无解或者即使有解那也只能是增根. 所以增根并不是分式方程无解的唯一原因, 分式方程无解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系.

例4 (2003年南昌市) 已知关于x的方程有解, 求m的取值范围.

解原分式方程两边乘x (x-1) , 得整式方程mx2-x+1=0.

若要使原分式方程有解, 只要相应整式方程有解且至少有一个解是原分式方程的解, 即至少有一个解不是原分式方程的增根即可.

1当m = 0时, 相应的整式方程的解为x = 1, 显然x = 1是原分式方程的增根, 即不是原分式方程的解, 所以m = 0应舍去.

2当m≠0时, 相应的整式方程要有解, 则Δ=1-4m≥0, 即m≤1/4.

由于原分式方程的增根只可能为x = 0或x = 1, 当x = 0时, 相应的整式方程不成立;当x = 1时, m = 0.

综上所述:当m≤1/4且m≠0时, 原分式方程有解.

点评分式方程有解, 则转化成相应的整式方程必须有解且存在满足分式方程成立的非增根. 所以分式方程有解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系.

解分式方程的一般步骤是:把方程的两边都乘最简公分母, 约去分母, 化成整式方程;若未知数的值是相应整式方程的解但代入原分式方程不成立, 则该值是原分式方程的增根;分式方程无解包括两种情况:一是相应的整式方程无解, 二是整式方程有解但对原分式方程来说也只是增根, 即分式方程无解跟是否存在增根没有必然的关系;分式方程有解则相应的整式方程必须有解, 且必须存在某些根代入分式方程成立, 而是否存在增根没有必然的关系.

弄清分式方程的增根、无解和有解的区别和联系, 能帮助我们提高解分式方程的正确性, 对判断分式方程解的情况有一定的指导意义.

摘要：分式方程的增根、无解和有解是分式方程中常见的三个概念, 学生在学习分式方程后, 常常会对这三个概念混淆不清, 认为分式方程有增根就是分式方程无解或者分式方程没有增根就是分式方程有解, 然而事实上并非如此.

分式方程应用题的教学设计 篇15

（2）

（3）

（4）

．

2．计算； ①

②

3．先化简：；若结果等于，求出相应x的值．

4．如果，试求k的值．

．

5．（2011•咸宁）解方程

6．（2010•岳阳）解方程：

7．（2010•苏州）解方程：

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+

9．（2009•宁波）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，求x的值．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？，且点A、B到原点的距离相等，=0，求方裎+bx=1的解．

． ﹣

=1．

．

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答案与评分标准

一．解答题（共10小题）1．化简：（1）

（2）

（3）

（4）．

考点：分式的混合运算；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法。专题：计算题。分析：（1）变形后根据同分母的分式相加减法则，分母不变，分子相加减，最后化成最简分式即可；（2）根据乘法的分配律展开后，先算乘法，再合并同类项即可；

（3）先根据异分母的分式相加减法则算括号里面的，再把除法变成乘法，进行约分即可；（4）先把除法变成乘法，进行约分，再进行加法运算即可． 解答：解：（1）原式=﹣

﹣

=

=

=

=﹣ ；

（2）原式=3（x+2）﹣=3x+6﹣x =2x+6；

（3）原式=[== ； ••（x+2）

]•

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（4）原式=•

+

===+

=1．

点评：本题主要考查对分式的混合运算，约分，通分，最简分母，分式的加、减、乘、除运算等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

2．计算； ①②

．

考点：分式的混合运算。专题：计算题。

分析：①首先进行乘方计算，然后把除法转化为乘法计算，最后进行乘法运算即可； ②运用乘法的分配律和完全平方公式先去括号，再算除法． 解答：解：①

=•（﹣）

==﹣②•（﹣；）

2=[﹣x﹣1+1﹣x﹣1+x+2]÷（x﹣1）

2=（x﹣1）÷（x﹣1）=x﹣1．

点评：考查了分式的乘除法，解决乘法、除法、乘方的混合运算，容易出现的是符号的错误，在计算过程中要首先确定符号．同时考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．

3．先化简：

；若结果等于，求出相应x的值．

考点：分式的混合运算；解分式方程。专题：计算题。

分析：首先将所给的式子化简，然后根据代数式的结果列出关于x的方程，求出x的值．

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解答：解：原式=

2=；

由 =，得：x=2，解得x=±．

点评：本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．

4．如果，试求k的值．

考点：分式的混合运算。专题：计算题。

分析：根据已知条件得a=（b+c+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解． 解答：解：∵，∴a=（b+c+d）k，① b=（a+c+d）k，② c=（a+b+d）k，③ d=（a+b+c）k，④

∴①+②+③+④得，a+b+c+d=k（3a+3b+3c+3d），当a+b+c+d=0时，∴b+c+d=﹣a，∵a=（b+c+d）k，∴a=﹣ak ∴k=﹣1，当a+b+c+d≠0时，∴两边同时除以a+b+c+d得，3k=1，∴k=．

故答案为：k=﹣1或．

点评：本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握．

5．（2011•咸宁）解方程

．

考点：解分式方程。专题：方程思想。

分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：两边同时乘以（x+1）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）=3．（3分）解这个方程，得x=﹣1．（7分）检验：x=﹣1时（x+1）（x﹣2）=0，x=﹣1不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．（8分）点评：考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

6．（2010•岳阳）解方程： ﹣=1．

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考点：解分式方程。专题：计算题。

分析：观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：去分母，得4﹣x=x﹣2

（4分）解得：x=3

（5分）检验：把x=3代入（x﹣2）=1≠0．

∴x=3是原方程的解．

（6分）点评：本题考查解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

7．（2010•苏州）解方程：

．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。

分析：方程的两个分式具备平方关系，设程．先求t，再求x． 解答：解：令=t，则原方程可化为t﹣t﹣2=0，2=t，则原方程化为t﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方

2解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，当t=﹣1时，=2，解得x1=﹣1，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．

点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+=0，求方裎+bx=1的解．

考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。专题：综合题；方程思想。

分析：首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可． 解答：解：∵|a﹣1|+=0，∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2． ∴﹣2x=1，得2x+x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=．

经检验：x1=﹣1，x2=是原方程的解． ∴原方程的解为：x1=﹣1，x2=．

点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程，注意解分式方程一定注意要验根．

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9．（2009•宁波）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，求x的值．

考点：解分式方程；绝对值。专题：图表型。

分析：A到原点的距离为|﹣4|=4，那么B到原点的距离为4，就可以转换为分式方程求解． 解答：解：由题意得，解得经检验∴x的值为，是原方程的解，． =|﹣4|，且点A、B到原点的距离相等，点评：（1）到原点的距离实际是绝对值．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？ 考点：分式方程的应用。专题：应用题。

分析：设原计划参加植树的团员有x人，则实际参加植树的团员有1.5x人，人均植树棵树=树﹣实际人均植树棵树=2，列分式方程求解，结果要检验． 解答：解：设原计划参加植树的团员有x人，根据题意，得，用原人均植树棵解这个方程，得x=50，经检验，x=50是原方程的根，答：原计划参加植树的团员有50人．

点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．

分式方程计算题 篇16

（1）

(5)

x5x234x111223(8)

(9)2

(10)x5x6xx62x552xxx31247461x12223

.(6)2

（7）x1x1x1xxxxx1x22x120012004352x530（4）＝1；

（2）；（3）=1 x1x1x32x55x2x2x

(11)

x242 x1x1x1 练习2：解方程1421 x2x4

322321x13 2

x1x2x2xx5x x4x4

2x143xx12x13x32 214 2 x33xx11xx3x3x1x1

13xx221x1x2

=1

一元二次方程计算题

按要求计算

x2—2x—1＝0

3(x-5)2=2(5-x)

(x-1)2+2x(x-1)=0

(配方法)

(配方法)

x2－6x＋1＝0

(x1)24(开平方法)x2 —4x+1=0(配方法)3x2+5(2x+1)=0(公式法)3(x-5)2=2(5-x)(因式分解法)

(3x)2x25 x223x30 16y

12（x＋3）2＝2(开平方法)x2-2x-4=0(配方法)

x2+3x-1=0(公式法)3x2-8x+2＝0(公式法)x

x2-2x-24=0(因式分解法)(2x1)(x3)4

(2x3)(2x3)x29 x27x60(因式分解法)

(2x1)29（直接开平方法）

x23x40（用配方法）

6.(x4)25(x4)

x26x30(配方法)

x(x2)1

5x(23)1

3(x25)4x

3x2(x2)0

12113x3x60

(2x3)x(22x3)2

= 25(开平方法)

2x2x10(配方法)2-3x=0(因式分解法)13x213x160

(5x1)23(5x1)(因式分解法)

x22x80（用因式分解法）2x(x4)1(求根公式法)

x2223x