分式教学论文

分式教学论文（精选12篇）

分式教学论文 篇1

新课程的核心理念是以学生发展为本, 让学生参与是新课程实施的核心.在这一理念指导下, 产生了许多新的教学模式和灵活多变的教学手段, 这些崭新的教学形式, 使新课改与传统的教学形式有了质的区别, 同时也促进了新课改向更深的方向发展.就连位于较偏僻的农村学校的我们也接受了一种新的教学模式——“导学案”模式.

【案例】第一次用“导学案”是在教学八年级下册《分式的乘除》时.当时之所以选用这节内容作为新模式的开端, 是因为我觉得在学生已有的分数乘除的基础上讲解这节课较容易.虽然课前进行了充分的思考, 反复揣摩编制了学案, 且考虑了各个环节的科学性和整节内容的系统性和完整性.但我们农村中学的学生整体素质不高, 两极分化较大, 学生探究归纳、交流表达的能力弱, 以往很多新知识都是经过教师“咀嚼”后才得以消化, 就是有探究, 也是部分“精英”掌握着课堂的“发言权”.如果放手让学生去探究, 这样的课会是什么效果呢?

在忐忑不安中, 我开始了新的教学模式下的第一节课.待学生明确学习目标后, 我引导学生进入了学习导航部分, 因为这部分以分数为主所以学生很快就独立完成了.一切按照计划有条不紊地进行着, 我心里感觉踏实多了.“下面我们进入探究新知部分, 请大家独立完成”, 在我的一声令下学生们开始埋头苦做, 5分钟过去了, 只有寥寥的几个学生完成了, 8分钟过去了, 还有很多学生对“探究”无从下手.按照这个速度这节课的教学任务肯定是无法完成的, 我心里开始着急了:不行, 必须要速战速决.于是, 我迅速地把学案上的数学式子写在黑板上, 一一让学生观察, 半推半就中学生很快将“分式乘除法法则”“探究”出来了, 我总算松了一口气, 心想只要学生记住法则会做题就行了.可天不遂人愿, 学生今天不知是怎么回事, 在接下来的各个环节中做题频频出错, 交流常常卡壳.就这样, 在沉闷的气氛中结束了这节课.

【反思】课后, 我心里很是郁闷, 到底问题出在哪里呢?我再三反思自己的授课过程, 终于明白这一切都是因为我只考虑了时间问题, 重结论而轻探究过程的结果.不可否认, 课堂上当出现与自己预设情况不一致的情况时我出现了急躁情绪, 这种急躁情绪影响了学生, 影响了课堂效果.并不是这种新的教学模式有问题, 问题出在我的操作上.在授课中, 我谨记“老师要少讲”的形式做法, 试图通过“学案”让学生自主学习, 却忽视了教师“导”的作用, 并且没有灵活地运用教学手段和方法.其实, 当部分学生对探究新知的内容感觉困难时, 教师可以分层次提出问题引导学生探究, 还可以采用“小组合作交流”的方法促使全体学生参与探究.如果本节课能够根据教学目标提出探究问题让学生小组交流, 学生交流有困难时, 教师再提一些小梯度问题适当进行引导, 要探究的问题就会迎刃而解了.在教学手段上也需要灵活, 在后面的习题教学中教师应注意作适当的强调, 因为这节课中分式约分也是学生的一个易错点.通过学生的自主学习, 培养学生的自学能力, 提高教学效益是“导学案”这种教学模式的出发点.我的这节课无疑是穿着“导学案”这双新鞋走老路, 有“导学案”的“形”却“无导学案”的“神” .

首先, “学案导学”要注重教师的主导作用.新课程标准中提出“动手实践、自主探索与交流合作是学习数学的重要方式”.探索数学知识是数学探索活动的核心环节, 是决定探索活动成败的关键.探索的数学知识是未知的, 对学生来说具有挑战性, 有一定的难度, 因此引导是必不可少的.学生探索数学知识的形成、发展和应用, 除了获取知识, 更重要的是经历探索的过程, 获得积极的体验, 感悟探索数学知识的基本策略和方法.而学生探索策略和方法的主要来源, 就是老师指导的策略和方法.

其次, “学案导学”也应注意学生的主体作用.新的教育理念是一种充分尊重学生主体地位, 呼唤学生主体意识, 塑造学生主体人格, 推动学生主体行为特征和能力发展的教育理念.因此, 尊重学生主体, 充分发挥学生主体性有助于数学课堂教学的现状.教育心理学的观点认为:学生是学习的主体, 更是自我教育和发展的主体.初中阶段, 学生自我意识急剧发展, 希望通过自主思考来参与活动, 要求别人尊重他们的意愿和人格, 因此要充分了解学生, 尊重学生, 不苛求学生在数学学习上获得同样程度的成功, 不急于给学生个体下结论, 应着眼于他们在未来社会中的作用和价值挖掘其潜能, 更多地关注学生在合作中对数学学习的积极态度, 关注其能否学会从数学的角度来思考问题.

布鲁纳曾经说过:“知识的获得是一个主动的过程, 学习者不应是信息的被动接受者, 而应是知识获取的主动参与者.”运用“导学案”模式进行教学改变了传统教学的“满堂灌”形式, 变为学生自主学习, 积极动手实践、动脑思考、动耳认真听、主动动口说的“我要学”形式, 从而充分发挥了学生在学习中的积极性、主动性和创造性.然后通过教师的“导”, 让学生掌握方法性、规律性的东西, 逐步由“学会”变为“会学”.所以说, “导学案”模式更能促进学生学习方式的转变, 也更能体现新课改的精神.

“新生事物总要经过摸索和实践的”, 我相信我们会在实践中运用好“导学案”模式, 并能根据实际情况完善这一模式.

分式教学论文 篇2

本节教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。

我认为比较成功的

1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。

2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。

3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。

“分式的加减”教学实践与思考 篇3

一种思想（类比思想）和一种策略（先行组织者），是数学教学过程中最常见的方法。本文以苏科版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十章“分式”第一节“分式的加减”的教学活动进行尝试。

一、教材中的教学设计

二、基于教材安排的分析和浅层认识

这一节的安排目的是让学生将分数的相关知识迁移到分式的加减运算中去，能熟练进行简单的分式加减运算。本节课的顺序也符合知识的产生过程，虽然教学内容相对简单，但还应视学生而定。所以当面对基础较弱学生时，教师要根据学生的认识心理、知识结构等，对教材进行了适当调整。

类比是根据两个或两类对象间有部分属性相同，而推出它们某种属性也相同的推理形式，被称为是最有创造性的一种思想方法。学生在学习中，有时认知结构中缺乏与新知识联系的概念，或是虽有想法但难以成为新知识的固定点。在这种情况下，奥苏伯尔提出了“先行组织者”，即在学习新知识之前，给学生呈现引导性材料，通过新旧知识的联系帮助学生从原有的认知结构生出新知识。在学习分式的加减之前，学生已有的经验是分数的加减运算，所以分式加减的学习可以类比和引入分数的加减。

三、教学设计与实践过程

本节课主要有回顾复习和学习新知两大阶段，每一阶段都是以分数的相关知识为先行组织者，既可以让学生在原有知识的基础上学得更轻松，又可以通过与分数加减运算相类比的过程培养学生用类比思想研究问题的意识，提高化归的能力。

师：我们根据这一题来回忆关于分数的知识。第一步的依据？

生1：通分。

师：怎么通分？

生1：找18、9的最小公倍数18。

师：为什么要进行通分呢？

生2：为了进行分数的加减运算。

生3：分数的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变。（分数的基本性质）

师：很好！那你们在刚才的解题过程中还能找出哪一步也用到分数的基本性质？

众生：最后一步，约分。约分时要找分子分母的最大公约数。

师：是的。让我们一起总结一下：为了方便进行分数的加减运算，应先化为同分母，叫做？

生：通分。

师：借鉴分数的基本性质，分式的基本性质？

生1：分式的分子分母同时乘以或除以一个不为零的整式，分式的值不变。

师：由分数扩大到分式，乘以或除以的也由数扩大到了整式。

师：那根据分式的基本性质，我们也可以对分式进行什么？

生2：约分和通分。

师：是的。

生3：。

师：很好，你是怎么做到的？

生3：分式的分子分母同除以a，分式的值不变。

师：是的，可以利用分式的基本性质，但你为什么除以a？

生3：找分子分母的公因式。

师：很好。

师：第一步应该怎么做？

生4：对分母进行因式分解。

师：分子分母可以分别约a和b吗？

生5：不能。

师：理由呢？

生6：分子分母是和的形式。

师：很好！我们对分式进行约分的依据是什么？

众生：分式的基本性质。

师：分式的基本性质涉及什么运算？

生6：乘除。

师：是的，所以只要利用分式的基本性质的运算，都必须为乘除。

师：我们对分式的约分通分很熟悉的情况下，接下来进行分式的加减运算。分式的加减有哪两类？

师：很好！

师：你能用字母概括同分母分式相加减的法则吗？

生：

师：根据以往的经验，在进行此运算的时候，有什么需要注意的问题？

生3：如果分子为多项式，在做减法时需加括号。

师：很好！

生：接火车式阐述过程。

师：第一步先做什么？

生4：通分。

师：通分的目的是什么？通分的结果呢？

生5：通分是为了化到同分母分式，再进行加减。

师：很好！通分前需找到什么？结果是？

师：我们可以根据例子归纳出异分母分式的加减法则：先通分，再加减。

师：对于第（3）题中的分母怎么找到最简公分母？

生7：先因式分解。

师：这是为什么呢？我们可以再回看分数的有关问题：

生8：24。

师：是的，我们并不是直接相乘，而是先将6写成2×3，8写成2×4，则最小公倍数为2×3×4=24。

众生：对。

师：那在分式中，我们也是借鉴分数，先将分母转化成乘积的形式（因式分解），然后再来确定他们的最简公分母。

四、对教学的思考

1.恰当选取合适的思想和策略

在中学数学的学习过程中，许多知识之间有类似的地方，在新知识的讲授过程中，运用类比思想，可以帮助学生更好地理解知识的内涵和发展，有利于了解新旧知识间的联系和区别，有利于学生在知识间的迁移和体会知识发展的过程。

正确设计先行组织者，使学生注意到自己认知结构中已有的那些可起固定作用的概念，并以此为新旧知识的衔接点；也可以为新知识的接受提供支撑。

在學习分式的加减之前，学生已有的经验是分数的相关知识，所以分数的性质和运算就是新旧知识间的衔接点，只有引入类比和分数的相关知识，才有利于学生体会新旧知识之间的联系和发展，有利于提高学生在原有认知的基础上发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。通过这节课的安排设计以及效果，让我更加确定对类似知识的及时引入，对新知识的掌握起到至关重要的作用。

2.以学生为主体

在教育实践过程中，学生不是被动接受知识的对象，而是具有主动性、积极性、正在发展的人，所以教师与学生之间的关系应是人性化的关系。师生关系应是一种交融、体验的师生关系，是一种“在教学中注重师生双方的生命体验，使教学成为师生双方内在的一种需求，使教学过程充盈着喜悦，使师生成为自我生命的体验者和创造者，是合乎师生双方自我完善的发展方向的”的关系。

无论是数学思想还是策略，要达到最佳效果，需将此转化为学生内在的思想和策略。所以在引入时，教师需要适当引导，由全班学生以接火车式的方法讲出来，这样虽然还不全是学生自己的想法，但这样的意识应该要慢慢渗透并形成；并且以此方式，可以保证所有学生都在被积极引导。不管是旧知识的回顾复习，还是新知识的学习，班级所有学生的参与程度非常高，一个问题所涉及的学生人数接近10人，所以全班学生参与的次数很多。这样不管是在思想的引导阶段还是在学习的过程阶段，大多数学生都是高度参与者。

参考文献：

[1]邓凤玭.论教师的学生观与师生关系[J].湖南师范大学教育科学学报，2006（7）：47-48.

例谈分式方程的增根与无解教学 篇4

关键词：增根,整式方程,最简公分母,方程化

在八年级数学分式这一章, 解分式方程中会出现增根的现象而导致分式方程无解, 因此解分式方程时必须检验。而同学们在做相关的练习题时, 有时会遇到无解, 有时会遇到增根, 那么无解与增根到底有怎样的区别呢? 近几年随着考试难度的降低, 这一知识点逐渐淡化出很多人的视线。总体上说分式方程的增根和分式方程分无解是两个不同的概念。

一、概念的意义不同

分式方程的增根是指解分式方程时, 在去分母的过程中, 方程两边都乘以了一个可以使分母为零的整式, 从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。它是化简后整式方程的根, 但不是分式方程的根, 所以分式方程求解中的检验必不可少。分式方程的无解是无论未知数取何值, 都不能使方程左右两边的值相等。它包含着两种情况: ( 1) 原方程化去分母后的整式方程无解; ( 2) 原方程化去分母后的整式方程有解, 但这个解却使原方程的分母为0, 它是原方程的增根, 从而使原方程无解. 现举例说明如下。

二、分式方程有增根

三、分式方程无解

1. 无解 = 增根

很多同学受思维定式的影响, 会认为只要x的值是原分式方程的增根, 原分式方程无解。事实上原分式方程无解分两种情况讨论。①分母 = 0使分式方程无解; ②化简后的整式方程无解, 使分式方程无解。

如: 把原方程去分母得m - 3 = x - 1

对于这道题而言化简后的整式方程m - 3 = x - 1即x = m - 2永远有解, 所以无解和有增根求得的未知数的值是一样的。

只需把增根x = 1代入m - 3 = x - 1中得m = 3

我们顺利地解决了这道题, 接下来看下面的例子。

2. 无解≠增根

分析: 从两方面考虑分式方程无解的条件是: ①去分母后所得整式方程无解, 即 ( a - 1) x = a无解。

对于这个含字母系数的整式方程 ( a - 1) x = a, 当a - 1 = 0时, 即a = 1会出现0x = 1的情况, 此时方程无解。即无论x取何值, 此时都不存在未知数的值使分式方程的左边 = 右边, 我们说分式方程无解。

此时我们要注意不能求出一种情况就认为自己已经找到了正确答案, 此时还要考虑第②种情况: 分式方程有增根, 即当x = 0时方程无解, 并求出参数a的值为0。

这告诉我们两点: ①当方程中出现无解时要特别小心; ②当化简后的整式方程未知数的系数含有字母时, 更应小心。一定要特别留心未知数的系数是否含有字母, 若未知数的系数含有字母时, 我们一定要小心。

所以增根与无解既有联系又有区别, 考虑问题须全面缜密。方程无解要比方程有增根考虑的情况要多, 参数取得值也多。当然这种情况只限于参数做了未知数的系数。否则取得的值就和上面前两个例子一样了。

参考文献

[1]李亚军.正确理解分式方程的增根[J].中学教学参考, 2009, (11) .

[2]姜官扬.与分式方程根有关的问题分类举例[J].数理化学习 (初中版) , 2005, (07) .

[3]徐根林.分式方程的增根问题[J].中学生数理化 (初一版) , 2002, (12) .

[4]罗鹏江.利用增根求参数的值[J].初中数学教与学, 2008, (10) .

《认识分式》教学反思 篇5

在学习本章之前已学过了一元一次方程的解法，对解整式方程特别是一元一次方程的解法思路比较了熟悉，在教受本节课是要改变教师讲例题，学生模仿的教学模式，通过说一说，试一试，想一想，练一练等多个教学环节，由学生预习，自主学习，然后再由教师考查和点拨，但是由于种种原因，最终决定给学生一个半开半闭的区间，我先作一示范，学生练习格式，接着出现没有根的练习题，依然让学生解决，由于学生不会检验培根的情况，所以，再详究没有根产生的原因，怎样检验没有根等问题。

这节课的关键在前面的这步过渡，究竟是给学生一个完全自由的空间还是说让学生在老师的引导下去完成，我们先后作了多次试验和论证，认为“完全开放”符合设计思路，但是学生在有限的时间内难以完成教学任务，故我们最终决定采用第二套方案。

二、教学知识点：

在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手：

1.分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就不是原方程的根。正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验。

2、分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。

3、解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母

盘点“分式”易错点 篇6

一、 概念模糊，难辨雌雄

1. 下列各式中是分式的有（ ）.

，-，-，-，2.5x

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 0个

【错解】A.

【错因】把分式-约去x-3后得-x，从而判定该式不是分式.

【正解】B.

【点评】紧紧抓住概念本质，首先看形式是否分数形式，再看分母是否含有字母.

2. 当x=____时，代数式的值为零.

【错解】±2.

【错因】仅考虑分式值为零时分子为零，而未考虑分式是否有意义.

【正解】2.

【点评】考虑问题要顾全大局，不能顾此失彼，考虑分式值为零的同时，一定要考虑分式的分母不为零，确保分式有意义.

二、 认识不清，性质不熟

1. 下列各式正确的是（ ）.

A. = B. =

C. = D. =

【错解】C.

【错因】对于分式基本性质不熟悉，分式有无意义没有充分理解.

【正解】D.

【点评】学习不是表面上的事情，只有充分理解才能掌握，熟练掌握分式的性质，才能确保无误.

2. 将分式中的a，b都扩大为原来的4倍，则分式的值_________.

【错解】不变.

【错因】分母是乘积的形式，所以分母扩大为原来的16倍，分子是和的形式，所以分子扩大为原来的4倍，因此整个分式的值发生了变化.

【正解】分式的值变为原来的.

【点评】对分式的基本性质理解不透彻. 无规矩，不成方圆，应严格按照分式的基本性质进行运算.

三、 符号无章，计算无序

1. 计算：+.

【错解】+=-==.

【错因】未能理解分数线也可以作为括号.

【正解】+=-==-.

【点评】分数线有两个作用，一是作为除号，二是作为括号，当分子是多项式时，相加减应注意分数线的括号作用.

2. 计算：÷·.

【错解】.

【错因】没有按照运算顺序进行计算.

原式=÷（-1）=.

【正解】.

【点评】严格按照分式的运算顺序进行计算，确保计算无误.

四、 追本溯源，牢记本质

1. 先化简，再求值：

÷+1，在0、1、2三个数中选一个合适的，代入求值.

【错解】把x=2代入求值得1.

【错因】没有考虑到x=2会使分式无意义.

【正解】把x=1代入求值得.

【点评】在确定分式的值的时候，一定要考虑分式有无意义.

五、 求解方程，勿忘检验

1. 解分式方程：=.

【错解】2.

【错因】没有检验.

【正解】无解.

【点评】解分式方程的思想是化分式方程为整式方程，在此过程中所乘的最简公分母中当字母取到某个值的时候有可能使最简公分母为零，所以解分式方程一定不能忘记检验.

2. 关于x的分式方程+=1的解为正数，则m的取值范围为_____.

【错解】m>2.

【错因】当方程的解为1的时候此时方程无解.

【正解】m>2，且m≠3.

【点评】解题时考虑问题要全面，不但要考虑原分式方程有一个正数解，同时还要注意原分式方程的最简公分母不能为0.

在学习过程中，只要充分理解分式的相关概念，正确运用分式的性质和计算法则，适当练习，勤思考，认真分析错误的原因，不断总结，相信你一定会很好地掌握好分式这一章的知识.

《分式》测试卷 篇7

1. (2015·衡阳) 若分式的值为0, 则x的值为 () .

A.2或-1 B.0 C.2 D.-1

2. (2015·常州) 要使分式有意义, 则x的取值范围是 () .

A.x>2 B.x<2 C.x≠-2 D.x≠2

3. (2015·益阳) 下列等式成立的是 ( ) .

4. (2015·百色) 化简的结果为 () .

5. (2015·海南) 方程的解为 () .

A.x=2 B.x=6 C.x=-6 D.无解

6. (2015·遵义) 若x=3是分式方程的根, 则a的值是 () .

A.5 B.-5 C.3 D.-3

7. (2015·玉林) 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间, 列车提速前行驶s km, 提速后比提速前多行驶50 km, 设提速前列车的平均速度为x km/h, 则列方程是 () .

8. (2015·淄博) 若关于x的方程的解为正数, 则m的取值范围是 () .

A.m<6 B.m>6

C. m<6且m≠0D. m>6且m≠8

二、 填空题

9. (2015·上海) 如果分式有意义, 那么x的取值范围是________.

10. 当x_______时, 分式的值为负.

11. 分式的最简公分母是________.

12. (2015·无锡) 化简得________.

13. (2015·吉林) 计算:=________.

14. (2015·大庆) 已知, 则的值为_______.

15. 已知a+b=5, ab=3, 则=_______.

16. 定义一种新运算:, 如:.若m*6=4, 则m=_______.

17.已知, 则代数式的值为_______.

18.观察规律并填空:

=_______ (用含n的代数式表示, n是正整数, 且n≥2) .

三、 解答题

19.当x=-1时, 分式的值为零, 求此时x-2y的值.

20.化简:

21. 解下列分式方程:

22. (2015·广元) 先化简:, 然后解答下列问题:

(1) 当x=3时, 求代数式的值;

(2) 原代数式的值能等于-1吗? 为什么?

23. (2015·凉山) 先化简:, 然后从-2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.

24. 化简, 再求值:, 其中m是方程x2+3x-1=0的根.

25. (2015·成都) 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场, 就用13 200元购进了一批这种衬衫, 面市后果然供不应求. 商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫, 所购数量是第一批购进量的2倍, 但单价贵了10元.

(1) 该商家购进的第一批衬衫是多少件?

初识分式方程 篇8

1. 分式方程的概念

分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程.

2. 解分式方程的基本思想方法

3.

解分式方程时可能产生增根,因此,求得的结果必须检验.

二、例题解读

1. 解方程

解析:解分式方程的基本思路是:先确定最简公分母,再通过去分母把分式方程转化成整式方程,从而求得其解.要注意的是解分式方程必须检验,若为增根,须舍去.

解答:两边同乘以(x+1)(1-2x),

得(x-1)(1-2x)+2x(x+1)=0;

整理,得5x-1=0;

解得.

经检验,是原方程的根.

例2解方程:.

解析:本题在去分母把分式方程转化成整式方程时,方程中的整数项3,也应乘最简公分母(x-2),不要漏乘.

解答:方程两边同乘(x-2),得1=-(1-x)-3(x-2).

解这个方程,得x=2.

检验:当x=2时,x-2=0,

所以x=2是增根,原方程无解

2. 方程的无解问题

例3若方程无解,则m=＿＿＿＿＿＿.

解析:分式方程的无解,就是分式方程中未知数的取值使分母的值为0,导致分式无意义.本题当x=2时分母x-2=0.分式方程无解,实质就是指对应整式方程的解是原分式方程的增根,其整式方程的解会使最简公分母的值为零.

解答:方程两边同乘以(x-2),化去分母,

得x-3=-m,

因为分式方程无解，

所以%=2,2-3=-m,故m=l.

例4若关于x的分式方程在实数范围内无解,则实数a＿＿＿＿＿＿.

解析:要使方程无解,我们先对方程进行移项.

则原式化为,如果1-a=0,则方程无解,因此a=1时方程无解.

3. 与增根有关的问题

例5如果方程有增根,那么增根是＿＿＿＿＿＿.

解析:因为增根是使分式的分母为零的根,由分母x-2=0或2-x=0可得x=2.所以增根是x=2.

答案:x=2

例6 a何值时,关于x的方程会产生增根?

解析:因为所给方程的增根只能是x=2或x=-2,所以应先解所给的关于x的分式方程,求出其根,然后求a的值.

方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)ax=3(x-2).

整理得(a-1)x=-10.

当a=1时,方程无解.

如果方程有增根,那么(x+2)(x-2)=0,即x=2或x=-2.

当x=2时,,所以a=-4;

所以当a=-4或a=6原方程会产生增根.

点拨:在解一个方程时,如果出现了增根,往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的.

1.如果不遵从同解原理,即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x,变形成x(x-2)=0,新方程就比原方程多出一个根x=0.这是因为在方程两边都乘了一个x,这相当于用0乘以原方程的两边(0适合于新方程),而这是违反同解原理的.

2.解分式方程时,去分母不一定会出现增根.在将一个分式方程变形时,往往先将它化为整式方程,于是在分式方程的两边都乘以各分母的最低公倍式,这样可能不违反同解原理,也可能违反同解原理,如将方程两边都乘以x,变形成x-2=1,新方程有一个根x=3,它也是原方程的根.x=3不是原方程的增根,这是因为在方程两边乘的x,是一个相当于3的非零数,这样做没有违反同解原理.

解分式方程常见错误 篇9

一、忽视分母为零分式没有意义

例1 解方程undefined

错解:去分母原方程转化为:x2-x-2=0,

∴ (x-2) (x+1) =0.

∴x-2=0或x+1=0.

∴x1=2, x2=-1.

∴x1=2, x2-1是原方程的解。

诊断:通过去分母把原方程化为整式方程时, 方程两边同乘以 (x+1) (x-1) ;所得的整式方程与原方程不一定同解, 所求得的根会使原方程的分母为零而无意义;因此解分式方程必须验根。

正解:去分母原方程化为:x2-x-2=0,

∴ (x-2) (x+1) =0.

∴x-2=0或x+1=0.

∴x1=2, x2=-1.

经检验x=2是原方程的根,

∴x=2是原方程的解。

二、不该约分时约分

例2 解方程:undefined

错解:方程两边通分得:

undefined

方程两边约去-x+5得:

undefined,

去分母得:x2-7x+12=x2-3x+2.

解上方程得:x=2.5.

经检验x=2.5是原方程的解。

诊断:本题受方程两边同乘或除以同一个不为零的整式和数使方程的值不变的影响;两边约去了-x+5缩小了未知数的取值范围引起失根。

正解:方程两边通分得:

undefined

移项提取公因式得:

undefined

∴x-5=0或undefined

解上方程得:x=5或x=2.5.

经检验x=5, x=2.5是原方程的解。

三、不能正确用完全平方公式

由于同学们对 (a±b) 2=a2±2ab+b2中的2ab这一项不加以重视, 误认为a2+b2= (a±b) 2而出现解题中的错误。

例3 解方程:undefined

分析:本题如果我们用常规方法来解会出现高次方程, 把问题复杂化, 因此要解决这个问题只有用换元法来解。

错解:设undefined, 则undefined

∴原方程转化为y2+y=0.

∴y (y+1) =0.

∴y1=0, y2=-1.

当y1=0时, undefined

∴去分母后转化为x2+1=0,

∴x2=-1.

∴此方程无解。

当y2=-1时, undefined

∴去分母后转化为x2+x+1=0.

∵△=-3<0,

∴此方程无解。

诊断:在换元中将“undefined”误用而错。

正解:设undefined, 则undefined

∴原方程化为:y2+y-2=0.

∴y+2=0或y-1=0.

∴y1=-2, y2=1.

当y1=-2时, undefined

∴去分母后转化为x2+2x+1=0.

∴ (x+1) 2=0.

∴x1=x2=-1.

当y2=1时, undefined

∴去分母后转化为:x2-x+1=0.

∵△=-3<0,

∴此方程无解。

经检验x1=x2=-1是原方程的解。

四、忽视题设条件

例4 已知x为实数, 且undefined, 那么x2+3x的值是多少?

错解:设x2+3x=y, 则原方程可化为undefined,

即y2+2y-3=0,

∴y1=-3, y2=1.

∴x2+3x=-3或x2+3x=1.

诊断:本题如果用常规方法来解会出现高次方程, 因此可用换元法来解之, 但若忽视“实数”这个题设条件, 求得的值若不加检验直接写出, 则前功尽弃。

正解:设x2+3x=y, 则原方程可化为undefined,

即y2+2y-3=0,

∴y1=-3, y2=1.

∴x2+3x=-3或x2+3x=1,

与“分式”交朋友 篇10

一、勿忘老朋友:

1.小学学过的分数有意义的条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

2.整式的概念:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

答案:

1.分母不等于零

2.单项式和多项式统称为整式 (结构概念) , 从所含运算上来说:只含有加、减、乘、乘方运算的式子.

二、类比分数概念, 初识新朋友:分式概念

课本中给出了分式的概念:一般地, A、B都是整式且B中含有字母, 那么代数式就叫做分式, 其中A是分子, B是分母.与分数比较, 只要分母中含有字母的式子就是分式.理解分式概念应把握以下三点:

1.分子分母都是整式;

2.分母中必须含有字母, 分子中没有要求, 如:就不是分式;

3.分数线有括号和除号两个作用:如

三、类比分数有意义的条件, 了解新朋友:分式有意义条件、无意义条件及分式的值

我们都知道分数有意义的条件是分母不能为零.分式有意义的条件是:B≠0.如果B=0, 那么分式便无意义.在做题时要注意是把分母看成一个整体, 如果B是个多项式时更要注意:如有意义的条件是x-3≠0, 则x≠3, 而不是x≠0.

类比代数式的值, 求分式的值就是将给定的字母的值代入分式, 需要注意一点, 分式的值是由字母的取值确定的, 随字母的取值确定而变化.但一定要注意字母的取值不能使分母为零.如:在中, x不能取3.

四、活学活用, 熟悉新朋友

例1在下列式子中哪些是整式, 哪些是分式?

【分析】区分整式和分式要看分母, 分母中不含有字母的式子是整式, 分母中含有字母的式子是分式.

解:整式有: (1) (3) (4) (7) ;分式有: (2) (5) (6) (8) .

【点评】在本题中可能有同学误判的是 (4) 和 (8) 两个式子, 应该注意两点:

1.π是数字而不是字母;

2.判断分式时不能化简, 要知道

例2当x分别取下面的值时, 求分式的值:

【分析】与求代数式值的方法相同:一是“代入”, 二是“计算”.的条件是A=0且B≠0.这两个条件同时成立, 缺一不可.

【点评】在求分式的值时切记细心, 取值要使分式有意义.

分式测试题 篇11

1． 分式有意义的条件是（）

A． x≠±1B． x≠1C． x≠－1D． x为任意实数

2． 若当x＝3时，分式＝0，且当x＝1时，该分式无意义，则（）

A． a＝3，b＝3B． a＝－1，b＝2C． a＝－3，b＝3D． a＝1，b＝－2

3． 下列运算中结果正确的是（）

A． ·＝ B． （）3＝C．（）2＝ D． ·＝

4． 分式，的最简公分母是（）

A． （x2－4）（4－2x）B． x2－4C． 2（x＋2）（x－2）D． 2（x2－4）（x－2）

5． 若x＝300，则－＋的值为（）

A． 0 B． C． D．

6． 一件工作甲单独做a h完成，乙单独做b h完成，则甲、乙两人合作完成这件工作需要的时间是（）

A． （＋） h B．h C．hD．h

二、填空题（每小题3分，共30分）

7． 化简分式的结果为 ．

8． 在分式，－，，中，与相等的有 个．

9． 若÷有意义，则x的取值范围为 ．

10． 计算：·5（a＋1）2＝ ．

11． 计算：＋＝．

12． 已知ab＝1，则＋＝．

13． 若x＝3，计算：－＋＝ ．

14． 当x＝时，＝．

15． 一项工程，甲需6天完成，乙需4天完成．若两个人合作需x天完成，求x．本题所要列的方程是．

16． 若关于x的方程－2＝有增根，则k＝ ．

三、解答题（17～19题每题8分，20～21题每题9分，22题10分，共52分）

17． 若a、b为正数，令分式中字母a、b的值分别扩大到原来的2倍，试判断分式的值的变化情况．

18． 已知m m布料可做n件上衣，2m m布料可做3n条裤子．求一件上衣的用料是一条裤子用料的几倍．

19． 已知ab＝1，求＋的值．

20． 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙每小时多生产8个．现要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们谁先完成任务呢？请讨论．

21． 若关于x的方程＝1有增根，求a的值．

22． 某班周末组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一段路所用的时间之比为2∶3．

（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比．

（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1．2 km，试问：山脚到山顶的路有多远？

一类分式方程的简捷解法 篇12

undefined

去分母, 整理得: (a+b) [c2+c (a+b) +ab]=0.

∴ (a+b) (c+a) (c+b) =0.

∴a+b=0或a+c=0或b+c=0.

由以上可知, 如果三个数的倒数和等于这三个数的和的倒数, 那么这三个数中必有两个互为相反数。根据这一原理, 可使形如undefined的方程得到巧妙解答。

例1 解方程undefined

解:∵ (x-2) + (2x-1) + (3x+2) =6x-1,

∴原方程等价于 (x-2) + (2x-1) =0,

或 (x-2) + (3x+2) =0,

或 (2x-1) + (3x+2) =0.

由 (x-2) + (2x-1) =0得:x=1,

由 (x-2) + (3x+2) =0得:x=0,

由 (2x-1) + (3x+2) =0得:undefined

经检验, 原方程的根是:undefined

例2 解方程undefined

解:原方程可变形为:

undefined

∴原方程价于 (2x+3) + (5-3x) =0,

或 (2x+3) + (-x-2) =0,

或 (5-3x) + (-x-2) =0.

由 (2x+3) + (5-3x) =0得:x=8,

由 (2x+3) + (-x-2) =0得:x=-1,

由 (5-3x) + (-x-2) =0得:undefined

经检验, 原方程的根是:undefined

例3 解方程undefined

解:原方程可变形为:

undefined

∴原方程等价undefined,

或undefined,

或undefined

由undefined得:undefined,

由undefined得:undefined,

由undefined得:x=0.