分式和分式方程的复习（共7篇）
分式和分式方程的复习 篇1
去分母法和换元法是解分式方程的基本方法, 但对于形如undefined的方程, 在通常情况下, 去分母会产生高次项, 又找不到恰当的换元途径, 从而给求解带来困难。为寻求此类方程的简捷解法, 先看下面的推导:
undefined
去分母, 整理得: (a+b) [c2+c (a+b) +ab]=0.
∴ (a+b) (c+a) (c+b) =0.
∴a+b=0或a+c=0或b+c=0.
由以上可知, 如果三个数的倒数和等于这三个数的和的倒数, 那么这三个数中必有两个互为相反数。根据这一原理, 可使形如undefined的方程得到巧妙解答。
例1 解方程undefined
解:∵ (x-2) + (2x-1) + (3x+2) =6x-1,
∴原方程等价于 (x-2) + (2x-1) =0,
或 (x-2) + (3x+2) =0,
或 (2x-1) + (3x+2) =0.
由 (x-2) + (2x-1) =0得:x=1,
由 (x-2) + (3x+2) =0得:x=0,
由 (2x-1) + (3x+2) =0得:undefined
经检验, 原方程的根是:undefined
例2 解方程undefined
解:原方程可变形为:
undefined
∴原方程价于 (2x+3) + (5-3x) =0,
或 (2x+3) + (-x-2) =0,
或 (5-3x) + (-x-2) =0.
由 (2x+3) + (5-3x) =0得:x=8,
由 (2x+3) + (-x-2) =0得:x=-1,
由 (5-3x) + (-x-2) =0得:undefined
经检验, 原方程的根是:undefined
例3 解方程undefined
解:原方程可变形为:
undefined
∴原方程等价undefined,
或undefined,
或undefined
由undefined得:undefined,
由undefined得:undefined,
由undefined得:x=0.
经检验, 原方程的根是:undefined
巧解分式方程 篇2
一、利用换元法
例1解方程：
2－5
＋6＝0.
解：设y＝，则原方程可以化为y2－5y＋6＝0，所以
（y-2）（y-3）＝0，y1＝2，y2＝3．
当y1＝2时，＝2，解得x1＝2．
当y2＝3时，＝3，解得x2＝．
经检验，x1＝2，x2＝均是原方程的解．
二、利用拆分法
例2 解方程：－＝－．
分析：若直接去分母，将得到一个高次方程，解起来比较困难．当分式方程中分式的分子次数大于或等于分母次数时，可先把分式化成分子次数小于分母次数的真分式，然后去分母求解.
解：原方程可化为1＋－1－＝1＋－1－，
－＝－，
＝，
（x＋1）（x＋3）＝（x＋5）（x＋7）．
解之，得 x＝－4．
经检验，x＝－4是原方程的解.
例3 解方程：＝．
解：由原方程得－1＝－1．
所以＝，所以x＝0或2x－3＝3x－5．解得x1＝0，x2＝2．
经检验，x1＝0，x2＝2均是原方程的解．
三、利用分解因式
例4解方程：＋＝．
解：原方程化为
＋＝，
－＋－＝－，
＋＝．
去分母，解得x＝－8．
经检验，x＝－8是原方程的解.
四、利用添项法
例5 解方程：＋＝＋．
解：注意到每个分式的分子、分母均有可抵消的“数”，方程两边都加上2，得
＋1＋＋1＝＋1＋＋1，
＋＝＋，
－＝－，
＝．
于是得x＝0或（x＋2）（x＋3）＝（x＋4）（x＋5），解得x1＝0，x2＝－．
对分式方程检验的认识 篇3
原来, 检验分式方程是为了防止“无解”出现.
如:这一方程, 我们将方程两边同乘 (x-5) (x+5) 得x+5=10.解这个整式方程得x=5, 到这一步, 或许在你认为就已经结束了, 但并非如此.我们将x=5代入 (x-5) (x+5) , 发现 (x-5) (x+5) 的值为零, 那么这个分式方程就无解了, 也就是说:x=5只是x+5=10这个整式方程的解, 却不是这个分式方程的解.这时, 就无解.
看来, 分式方程的检验并不是多此一举, 而是体现了数学这个学科独有的周密性、严谨性.
那有没有不必检验的情况呢?有!
如:.我们把它化简为x-1=x+1.这一步, 我们是根据分式的基本性质变形的, 所以不要检验.
学习分式方程四注意 篇4
一、熟知分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程，如=、－=4都是分式方程，而=就不是分式方程。从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是含有分母，二是分母中含有未知数。因此分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数。
二、掌握分式方程的解法
解分式方程的具体过程如下：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原分式方程的根，使最简公分母等于零的根是原分式方程的增根，必须舍去。
第三步的实质是验根，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误；还可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原分式方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误。
例１方程+=+的解是________。
解析原方程可化为－=－。
两边各自通分,得=。
所以x2+5x+6=x2+17x+72,即x=－。检验: x=－是原方程的解。
三、理解分式方程的增根
解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程来获得原分式方程的解。由于去分母时，方程两边要同乘以最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么原分式方程的解与所求的整式方程的解相同，此时没有增根。如果最简公分母的值为0，那么原分式方程的解与所求的整式方程的解就不相同，也就是说此时整式方程的某个根会使原分式方程的分母为0，从而失去意义，此时整式方程的这个根就是原分式方程的增根。这便是增根产生的原因，因此解分式方程必须验根。
例2分式方程＋－＝0有增根，则k的值为_____________。
解析把原方程化为整式方程，整理后得2x+kx+k=0。
因为原方程有增根，增根只能是x=1或x=－1，将它们代入化简后的整式方程。当x=1时，k=－1；当x=－1时，无解。故答案应填－1。
四、灵活运用分式方程解决实际问题
例3华联超市用50 000元从外地采购一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购比上一次多2倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完。求商场在这笔生意上盈利多少元?
解析本题是一个和销售盈利有关的实际问题，涉及的数量关系较多，但解决问题的关键仍然是找出相等关系。要求商场盈利多少元，必须求出两次采购T恤衫的数量。本题的等量关系是:第二次每件的进价-第一次的进价=12元。设第一次购进x件T恤衫，则－=12，解得x=1 000。经检验x=1 000是方程的解。
分式方程无解的应用 篇5
一、利用无解求分式方程中字母的值
例1若关于x方程无解, 求a的值.
分析分式方程无解, 相当于知道了去分母时方程两边乘以的最简公分母为0.我们从而通过最简公分母求出使分式方程无解的未知数的值, 再把求得的未知数的值代入原方程中就可求出相关字母的值了.
解方程两边同时乘以最简公分母x-4, 得:x=2 (x-4) +a.
∵方程最简公分母为x-4,
∴使方程无解的未知数的值为x=4.
把x=4代入x=2 (x-4) +a, 求得a=4.
二、利用无解产生的原因, 求无解的值
例2若方程无解, 则x=_________.
解∵方程最简公分母为x-7,
∴使方程无解的未知数的值为x=7.
三、利用无解探究使分式方程无解的字母的值
例3若关于x方程无解, 求m的值.
解去分母后原方程可化为3-2x- (2+mx) =- (x-3) .整理得: (m+1) x=-2.
(1) 整式方程 (m+1) x=-2本身无解, 原分式方程无解.
∴m+1=0, 即m=-1时, 方程 (m+1) x=-2无解, 原分式方程也无解;
(2) 当x=3是原方程的增根时, 原方程无解.
x=3代入方程 (m+1) x=-2, 得
∴当m=-1或m=-53时.
四、利用分式方程无解快速定选择支
例4分式方程的解是 ( ) .
A.0 B.1 C.-1 D.无解
解 (1) 常规方法:解方程求根来确定选择支.
方程两边同时乘以最简公分母2x (x+1) 2, 得:
2x+8=5 (x+1) , 解得:x=1.
经检验x=1为方程的根, 故选择B.
(2) 特殊法:利用无解来定选择支.
∵方程最简公分母为2x (x+1) 2,
∴使方程无解的未知数的值为x=0和x=-1,
∴可删除选择支A和C, 这时只剩下选择支B和D.
把x=1代入方程, 左边, 右边
∴x=1是方程的解, ∴选B.
正确理解分式方程的增根 篇6
1.增根的定义
分式方程转化为整式方程的解使得原分式方程的最简公分母为零, 这样的未知数的值是原分式方程的增根.
2.增根产生的原因
我们看一个简单的一元一次方程x-1=0, 显然方程的解是x=1, 而如果把方程两边同乘以x+1变成方程 (x+1) (x-1) =0, 则方程的解就是x1=1, x2=-1, 此时方程比原方程便多了一个根x=-1, 这就因为我们在方程两边同乘以了一个含有未知数的整式.
在解分式方程时第一步便在两边乘以了一个含有未知数的整式——最简公分母.当我们所解整式方程的解使最简公分母为零时, 也就是在方程两边乘以了一个值为零的含有未知数的整式, 导致方程产生了增根.
3.增根的检验
由于解分式方程易产生增根, 所以一定要检验所获得的整式方程的解是否使得原分式方程的最简公分母为零, 判断其是原分式方程的解还是原分式方程的增根.但要注意检验并不是解分式方程的最后一步, 最后一步应该是明确指出方程的解的情况, 有解则指出方程的解是什么, 无解也需点明原方程无解.
4.增根的确定
【例1】 分式方程
分析:很多同学会毫不犹豫地填上x=2或x=-2, 这是错误地理解了分式方程增根的定义, 这里的x=2的确使原分式方程的最简公分母为零, 但并不是原分式方程转化后整式方程的解.事实上, 我们解方程就可以发现, 方程只产生了增根x=-2.
【例2】 当m何值时, 分式方程
分析:我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1, 只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程, 即可求出相对应的字母m的值.
解:原方程去分母并整理得 (m-2) x=5+m.
假设产生增根x=1, 则有:m-2=5+m方程无解, 所以不存在 m的值, 使原分式方程产生增根x=-1;
假设产生增根x=-1, 则有:2-m=5+m, 解得
时, 分式方程
5.增根与无解
若在解可化为一元一次方程的分式方程时产生增根, 原分式方程必无解.但分式方程的无解并不都是由于产生增根引起的, 如
【例3】 当m=时, 分式方程
列分式方程解应用题 篇7
1审题 弄清题意和题目的已知数、未知数，并找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系
2设未知数 选择一个适当的未知数用字母表示，并根据题目中的数量关系用含未知数的代数式表示有关的未知量
3列方程 根据相等关系列分式方程
4解方程 其过程可以省略
5检验 首先检查所列方程是否正确，然后检查所列方程的解是否符合题意
6写答 千万不要忘记单位
以上六个步骤，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量
现举例介绍，供同学们参考
例1 2008年5月12日，四川省汶川发生80级大地震，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少?人均捐款多少元?
分析:解答本题要注意利用如下相等关系：
第一天人均捐款数=第二天人均捐款数
解:设第一天捐款的人数为x人，则第二天捐款的人数为(x+50)人，依题意，得
=
解方程得, x=200
经检验, x=200是所列方程的解，且符合题意
所以两天捐款人数为x+(x+50)=450，人均捐款为 =24
答:两天共参加捐款的有450人,人均捐款24元
例2 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定:用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果:甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完 事后，甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说:“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的12倍” 根据图文信息，请问哪位同学获胜?
分析：要判断哪位同学获胜，应把甲、乙两位同学跑完全程的时间分别求出来 不难发现，表示本题全部含义的一个相等关系为：
甲跑完全程的时间+乙跑完全程的时间=甲、乙两同学所用的全部时间的和
解:设乙的速度为每秒x米，则甲的速度为每秒12x米 依题意，得 +6+ =50
解之, x=25
经检验, x=25是所列方程的解，且符合题意
所以甲跑完全程的时间为 +6=26(秒),乙跑完全程的时间为 =24(秒)
答:乙同学获胜
例3 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元
(1)求第一批购进书包的单价是多少元?
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?
分析：解答本题要注意利用如下相等关系：
第二批所购书包数量=第一批所购书包数量的3倍
解:(1)设第一批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价是(x+4)元 依题意，得
= ×3
解方程得, x=80
经检验, x=80是所列方程的解, 且符合题意
答:第一批购进书包的单价是80元
(2)不难计算出,第一批所购书包数量为 = =25(个),第二批所购书包数量为25×3=75(个)
所以两批书包的全部售价为(25+75)×120元，即12000元
因为两批书包的全部进价为(2000+6300)元，即为8300元
所以12000-8300=3700
【分式和分式方程的复习】推荐阅读：
第八章分式及分式方程单元复习01-09
分式方程的解法05-28
分式方程01-08
列分式方程11-22
《分式方程》教学设计06-18
分式方程解决实际问题10-12
解分式方程练习题05-14
初中分式方程练习题06-11
50道分式方程计算题08-12
初一分式方程练习题08-27