初中数学分式基础题

2024-06-14

初中数学分式基础题（精选13篇）

初中数学分式基础题篇1

初中数学几何证明步骤规范性初步基础题

一、单选题(共4道，每道25分)

1.如图，已知线段AB=18cm，C是线段AB的中点，则AC的长是多少？

解：如图，∵（）∴（）又∵（）∴（）

即AC的长为9cm.①⑥；②C是线段AB的中点；③AB=18；④；⑦

；⑧

；⑨

⑤；

以上空缺处填写正确的顺序是（）

A.②⑤③④

B.②⑤①⑧

C.③②①④

D.②④⑥⑨

答案：A 试题难度：三颗星

知识点：中点(一个中点)

2.如图，已知线段AB=14cm，点O是线段AB上任意一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，求CD的长.解：∵C、D分别是线段OA、OB的中点 ∴（）

∴又∵AB=14 ∴（）

即CD的长为7cm.①C是线段AB的中点；②AB=14；③；④；

⑤是（）A.③⑥

B.④⑥

；⑥；⑦以上空缺处填写正确的顺序

C.⑤⑥

D.③⑦

答案：A 试题难度：三颗星

知识点：中点(两个中点)

3.如图，已知∠AOB=78°，OC平分∠AOB，求∠AOC的度数．

解：∵（）∴（）又∵（）∴（）

①OC平分∠AOB；②∠AOB=2∠AOC；③∠COB=∠AOC；④∠AOC=∠AOB；

⑤∠AOB=78°；⑥；⑧以上空缺处填写正确的顺序是（）A.①④⑤⑥

B.①②⑤⑧

C.①②⑤⑥

D.①③⑤⑥

答案：A 试题难度：三颗星

知识点：角平分线(一个角平分线)

4.已知OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD=27°，求∠AOB的度数．

解：∵OD平分∠AOC ∴（）∵∠COD=27° ∴（）又∵OC平分∠AOB ∴（）

∵∠AOC=54° ∴（）

①；②∠AOC=2∠COD；③∠COD=∠AOD；④∠COD=∠AOC；

⑤∠AOB=2∠AOC；⑥∠AOC=∠BOC；⑦∠AOC=上空缺处填写正确的顺序是（）A.②①⑤⑨

B.③⑧⑥⑨

C.④①⑦⑨

D.②⑤⑥⑨

∠AOB；⑧∠AOD=27°；⑨以答案：A 试题难度：三颗星

知识点：角平分线(两个角平分线)

初中数学分式基础题篇2

一、对分式的概念理解不够准确

课本中给分式所下的定义是:一般的, 如果A、B表示两个整式, 且B中含有字母, 则式子叫做分式。对于这一定义, 相当多的同学在理解上容易出错, 他们以为只要B整式中含有字母都可以将式子认定为分式, 而忽略了该字母必须是未知数才行。

例1.是分式吗?

相当一部分同学的回答是它们是分式, 因为分母中都含有字母π, 其实这一回答是错误的, 原因是π为常数, 而不是未知数。

由此可见, 判断分式的依据一要看分母中是否含有字母, 二要看该字母是否代表的是“未知数”, 只有符合以上两个条件, 该“分式”才可以算是真正的分式。

二、对分式的值为0与分式无意义的概念认识不清, 往往混为一谈

例2.x取何值时, 值为0。

错解:当x-2=0时, x=2。

正解:当|x|-2=0且x-2≠0时, x=±2且x≠2, (x=2舍去) ∴x=-2

由上题可知, 分式的值为0与分式无意义是完全不同的两个概念, 众所周知分数的分母不能为零 (零不能作除数) , 所以分式的分母也不能为零。所以, 分式要为零时, 首先该分式必须要有意义, 即分母不能为零, 而分子必须为零;而分式无意义则仅仅指的是该分式的分母等于0 (零不能作除数) , 它与分式的分子是多少则毫无关系。

三、对分式的基本性质认识粗浅

例3.判断正误

分析: (1) 中分子、分母同时乘以a, a≠0为隐含条件 (a在等号左面分式的分母中已出现, 所以a≠0) 。

(2) 中分子、分母同时乘以x, 当x=0时, 分式无意义。

(3) 中分子、分母同时约去 (x-2) , x-2≠0为隐含条件。

(4) 中分子、分母乘的不是同一个整式。

(5) 中分子、分母出现的“-”号仅为首项的号, 而不是分子、分母本身的号。

(6) 中的“2”为分子、分母首项的系数, 而不是分子、分母本身的公约数。

综上所述, 运用分式的基本性质解题时, 务必要注意:

1. 因为分数的分子、分母同乘以 (或同除以) 一个不为零的数, 分数的值不变, 而一个字母、一个整式或一个代数式, 究其实质它们都代表一个数, 从而可知分式也具有类似分数的基本性质, 即:分式的分子、分母同乘以 (或同除以) 一个不为零的整式, 分式的值不变。

2. 所乘 (或所除) 整式必须为同一整式。

3. 约分时约去的应是分子、分母的公因式, 而不是某一项的公因式。

四、对公因式与最简公分母理解领悟不透彻公因式, 顾名思义是各项的公共因式。

具体找法:

1. 找各项系数绝对值的最大公约数。

2. 找相同因式的最低次幂, 把它们的积作为公因式。

最简公分母的找法:

1.找各项系数绝对值的最小公倍数。

2.找所有因式的最高次幂, 把它们的积作为最简公分母。

例⒋ (1) 3x-3y与6x2-12xy+6y2的公因式是什么?

(2) 的最简公分母是什么?

(3) 的最简公分母是什么?

解: (1) ∵3x-3y=3 (x-y) 6x2-12xy+6y2=6 (x-y) 2

∴它们的公因式是3 (x-y)

分析:6、3、12的最大公约数是3, (x-y) 与 (x-y) 2的最低次幂是 (x-y) 。

(2) ∵x2-y2= (x+y) (x-y)

∴它们的最简公分母为 (x-y) (x+y) 2

分析:x+y与 (x+y) 2的最高次幂是2。

∴它们的最简公分母是2-x或x-2, 而不是 (x-2) (2-x)

分析:因为二者互为相反数, 所以可以把它们看作同一类。

由此可见, 公因式与最简公分母的意义不同, 找法也不同。但无论是找公因式, 还是找最简公分母, 都应先把未分解因式的多项式进行因式分解。因为只有这样做了才能找到因式的种类, 对于互为相反数的因式, 只能把其中一个作为最简公分母的一个因式。

五、加减运算时, 学生因粗心易忽略分母

例5.化简:

错解:∵它们的最简公分母为 (x+2) (x-2)

正解:∵它们的最简公分母为 (x+2) (x-2)

由此可见, 去分母这一做法, 只有在解带有分母的方程式时才用, 它用的是等式的性质, 给等式两边的每一项都要乘最简公分母。

总之, 学习分式一章时, 学生因概念不清、考虑不周或粗心大意等, 容易出错的地方较多。这就要求教师在教学中必须引导学生细心观察, 比较分析, 系统归纳, 从而使学生真正理解分式的概念, 理清一些容易混淆的重点和难点, 掌握分式计算的技巧, 把易错的问题真正消灭在萌芽状态, 以促使学生的学习不断朝一个良性的方向发展。

参考文献

[1]许玉焕.类比法在初中数学教学中的应用[J].考试:中考教师版, 2010.

浅谈初中数学分式化简求值的技巧篇3

关键词：初中数学；分式化简；求值技巧

在数学知识的学习中，最重要的是数学思想和数学方法的学习和运用，这是见知识转化为能力的桥梁。其中我们所说的数学思想是指对数学知识和数学方法本质的认识，它反映了人们对数学规律的理性认识，而数学方法则是指解决数学问题的根本程序，它是对数学思想的具体反映。由此可见，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。将数学思想运用于分式化简求值的运算中，能够有效提高解题的效率和解题质量。

一、应用整体思想

从整体上去认识问题和思考问题是一种重要的思想方法，在数学的学习中有很多应用。整体思想主要是将所考察的对象按照一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体。

二、先通分后化简

先通分再化简指的是通过一定的途径和转化，将几个分式的分母化为相同，然后再进行化简计算，它主要体现的是整体思想的延伸，就是将所考察的对象中的各个要素按照一定的思路组合成为一个有机统一体，然后再对其进行分析。

三、应用平方差公式

在分式化简求值中，若直接進行通分相对较麻烦。因此，可对其进行化简，然而采用平方差公式进行求解。教师在讲解此类题时，可让学生复习平方差公式，进而引导学生分析公式及题目，让学生自行尝试应用平方差公式求解。在解题过程中应加以指导，及时解决存在的问题。通过此种解题教学，不仅能够让学生灵活运用平方差公式，而且还能够加深对此类的解题记忆，进而在今后的解题中灵活运用平方差公式。

四、转化假分式

对于一些假分式来说，一般其特点为分母较为简单，而分子比较复杂，在这类题型的解答中可以先不要考虑直接通分计算，因为一般通分后会使分式变得更加繁琐，这时候我们可以先观察分母和分子之间的联系，将每个假分式化成整式和真分式之和的形式之后再进行化简求和将会简便很多。

这样麻烦的式子就被简化成一个整体了，从这个题目中我们可以看出，是否能正确地将假分式写成整式与真分式之和是解题的一个重要思路，教师在对这类题型进行讲解的时候可以先引导学生尝试进行通分计算，学生很快就会发现这种方式是行不通的，然后再引导学生将各个分式进行变形，化成整式和真分式之和，学生就会发现这样题目就可以进行化简了。通过这种形式为学生提供更多的选择方式，可以避免学生在一拿到题目之后就盲目的进行通分化简，促进学生解题思路的形成。

五、应用“拆项消分法”

初中数学中关于分式化简求值类型的题目有很多，在这篇文章中我们主要挑选了几个比较典型的分式对其解题思路进行了分析和总结。分式题目在解答中一般都具有一定的规律和相应的解题思路和解题技巧，如果能够对这些思路和技巧有很好的把握那么就能够提高我们的解题效率和解题正确率。要想掌握分式化简求值的技巧还需要在平常的练习中多下功夫，注意观察分式原式的条件和分式的分布规律，多总结，多思考。

参考文献

[1] 张会琼.探究一类分式方程的求解[J].中学数学杂志（初中版），2010（5）.32-33

初中的数学分式说课稿篇4

地位、作用

分式是初中数学中继整式之后学习的又一个代数基础知识，是对小学所学分数的延伸和扩展，同时，它也是今后继续学习分式的性质、运算以及解分式方程的基础和前提。因此，学好本节课，不仅能够增强学生的运算能力，提高运算速度，同时，也为今后解决更为复杂的代数问题，诸如“函数”、“方程”等，提供重要的条件，打下坚实的基础。[来源:]

重点、难点

本节课是新授课，使学生掌握分式的概念以及分式是否有意义的条件是本节课的教学重点;由于分式的分母中含有待定字母，即分式的分母并不像分数的分母那样是某个确定的常数，在具体解题中，学生极易将分式无意义的情形与分式值为零的情形相混淆，因此，理解和掌握分式值为零时的条件，便成了本节课的教学难点。

教学目标

根据教材和新课标的要求，以及结合学生的实际情况，我认为本节课的教学目标是：

1.知识目标

通过对分式与分数的类比，经历探索由整式扩充到有理式的过程，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题。

2.能力目标

培养学生的概括能力和实践能力，并体会“观察―探究―归纳”的数学方法，发展迅速思维的灵活性和广阔性。

3.情感目标

关注学生的情感与态度，通过合作交流，探索实践，培养学生的主体意识。

二、说教法

本节课是数学基础知识，学生的可接受性较强，因此，针对本节课的知识特点，在教学方法上，我将主要使用“启发―探究”教学法，同时，配合“讲解法”和“研究法”。

在教学的过程中，我注重了问题的提出过程，知识的形成过程，能力的发展过程，以及解决问题的方法及其规律的概括过程，尤其是合作交流，创新精神和实践能力的培养过程。

此外，本节课采用多媒体辅助教学，有助于激发学生的学习兴趣，提高学习效率。针对不同层次的学生，将本着以人为本，因材施教的原则，分类推进，下保底二上不封顶，并且注重培养学生的屯节合作精神和互帮互助的品德。

三、说学法

根据教材和新课标对学生知识及能力层面的要求，以及充分考虑到学生的认知水平和实际接受能力，在本节课的学法指导中，我将引导学生合作学习，探究学习，自主学习，同时，配合使用网络学习，以期通过本节课的教学，从以下几方面提高学生的数学素养：

1.通过“观察―探究―归纳”，培养学生收集、提炼和归纳信息的能力，启迪学生的探索灵感。

2.通过启发学生的探索途径和口述解决问题的过程，培养学生由具体到一般的辩证思想和语言表达能力。

3.通过课堂讨论，培养学生的合作交流能力。

4.通过探索实践，培养学生的创新精神和实践能力。

四、说教学程序

为了更好的体现我上述的教学理念以及整体化的教学思想，我将本节课的教学程序设置为如下五个环节：

(一)创设问题情境，探究新知

数学源于生活，为了使学生对本节课有更深层次的.把握，激发学生的学习兴趣和求知欲，在这一环节中，我打破了在以往教学中直接引入课题的常规，从网上下载了几幅有关沙尘暴的图片，请看大屏幕，同时，我结合本节课即将学习的有关数学知识以及我国目前的环境现状，设计了如下问题。启发学生依据题意，列出相应的代数式，然后我将引导学生观察所列式子的特点，并将其与分数进行比较，由此启发诱导，引入新课。

我这样设计的目的在于，借助于多媒体，从实际生活中的实例引入课题，使学生在实际生活中感受、体会即将学习的相关数学知识，让他们从现实情境和已有的知识经验出发，展开对新知识的探索，同时，由于问题创设具有很强的现实意义，因此，它在激发学生的学习兴趣和求知欲的同时，也有助于增强学生的环保意识。

(二)讲解新课

这一环节是整个教学活动的中心环节，为了充分体现学生在整个教学活动中的主体地位，我将在学生已有知识经验的基础上组织学生进行学习，探究分式的概念、意义以及简单应用，加深他们度知识的理解，为此，我将新课的讲解过程细分为如下四个步骤：

1.分式的定义

为了使学生能够准确区分“分式”与“整式”，加深他们对分式的理解，我打破了在传统教学中直接给出定义的常规，设计了想一想，引导学生在上一环节对所列代数死与分数进行比较的基础上，再将其与整式相比较，找出二者的异同，从而类比整式归纳总结出分式的定义。

2.分式的意义

分式的分母不能为零，即只有当分式的分母不为零时，该分式才有意义。对于这一问题的讲解，我将让学生类比分数以及结合前边的实际问题加以理解。

3. 分式的基本性质

为了使学生更容易理解和接受分式的基本性质，在讲解分式的基本性质之前，我安排了议一议活动，设计了如下两道题目，引导学生对所示问题进行充分讨论，共同探索分式基本性质，然后，我将以课堂提问的方式，逐一板书讨论结果，综合学生的回答，归纳总结出分式的基本性质，即：分式的分子与分母同乘以(或除以)同一个不等于零的正式，分式的值不变。

4.例题讲解

通过具体的例题，给学生演示本节所学知识的.具体应用，讲解完毕后，挑选学生上台板演，在规范学生讲解步骤的同时，加深他们对本节所学知识的理解和记忆。

至此，我完成了对本节课所有理论知识的教学。

(三)课堂练习

众所周知，理论是用来指导实践的，为了使学生能够将所学的理论知识很好的应用于实践，实现理论与实践的完美结合，我将教学程序中的第三个环节设计为课堂练习。

在这一环节中，我为学生精心挑选了课本中的两道习题，并进行了适当的改编，作为随堂练习，要求学生在本节所学知识的基础上，结合具体的题目亲自动手练一练，以便在检验本节课教学效果的同时，针对学生在练习中出现的问题进行及时的查漏补缺。

(四)课堂小结

以课堂提问的方式对本节课进行小结，结合学生的回答，教师最后给出规范总结，以重申本节课所学习的重点及难点。

(五)布置作业

针对不同层次的学生，更好的体现因材施教的原则，我将本节课的作业分为必做题和选做题两部分。

五、板书设计

为了使本节课达到更好的教学效果，这就是我针对本节课的所有内容进行的板书设计，在板书设计的过程中，我的指导思想是尽可能使得版面结构合理，简明扼要，使学生一目了然，易于抓住重点、难点和关键。

分式奥数题篇5

分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：

分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］

说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．

例2 当a=2时的值时,求分式

分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．

例3 若abc=1，求

分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．

解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．

解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．

例4 化简分式：

齐每分析与解三个分式一通分运算量大，可先将个分式的分母分解因式，然后再化简．

说明

互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．

例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：

似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．

解

说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用

例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求

分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．

解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为

u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．

由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有

说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．

例7 化简分式：

适当变形，化简分式后再计算求值．

(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．

原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10

=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10

=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．

式

(1)若a+b+c≠0，由等比定理有

所以

a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有

解法1 利用比例的性质解决分问题．

(2)若a+b+c=0，则

a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有

说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．

解法2 设参数法．令

则

a+b=(k+1)c，①

a+c=(k+1)b，②

b+c=(k+1)a．③

①+②+③有

2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．

当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四

1．化简分式：

2．计算：

中考数学真题基础题篇6

1、比-小1的数是( )

A、- B、2012 C、- D、2014

2、如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3=( )

A、70° B、65° C、60° D、55°

3、从棱长为a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为0.5a的小正方体，

得到一个如图所示的零件，则这个零件的左视图是( )

4、某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 00094m，用科学计数法表示这个数是( )

A、9.4×10-7m B、9.4×107m C、9.4×10-8m D、9.4×108m

5、下列计算正确的是( )

A、(2a-1)2=4a2-1 B、3a6÷3a3=a2 C、(-ab2) 4=-a4b6 D、-2a+(2a-1)=-1

6、某县盛产枇杷，四星级枇杷的批发价比五星级枇杷的批发价每千克低4元。某天，一位零售商分别用去240元，160元来购进四星级与五星级这两种枇杷，其中，四星级枇杷比五星级枇杷多购进10千克。假设零售商当天购进四星级枇杷x千克，则列出关于x的方程为( )

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

7、因式分解：xy2-x= 。

分式中考题面面观篇7

下面以2013年全国中考试题为例进行解析.

一、考查分式有意义或值为零：

例1 （2013·江苏南京）使式子1+有意义的x的取值范围是_______.

【解析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0. 因此确定分母中的代数式不为0，列出不等式求解即可.

解：因为分式有意义的条件是分母不为0，所以x-1≠0，即x≠1.

【点评】本题不需要将式子化简为一个最简分式，而直接用分母x-1≠0即可.

例2 （2013·山东淄博）如果分式的值为0，则x的值是（）.

A. 1B. 0C. -1D. ±1

【解析】本题考查了分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不能为0，由此建立方程和不等式组解题.

解：根据题意，得：x2-1=0，

2x+2≠0.解得x=1，故选A.

易错点提示：本题很容易出现只考虑分子为0，忘记检验分母为0，导致答案为±1，错选D.

二、考查分式的基本性质

例3 （2013·山东淄博）下列运算错误的是（）.

A. =1

B. =-1

C. =

D. =

【解析】本题全面考查了分式的基本性质、添括号法则、分式的符号变化法则和约分，根据以上性质和法则逐一验证求解.

解：A选项==1，正确；B选项==-=-1，正确；C选项==，正确；D选项==-，错误. 故选D.

【点评】在A选项中，（b-a）2=（a-b）2；在B选项中，-a-b=-（a+b）；在C选项中，分子和分母的每一项乘10，不要漏乘；D选项中运用了分式的符号变化法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值都不变，用式子表示是：-==.

三、考查分式的混合运算及求值

例4 （2013·四川达州）如果实数x满足x2+2x-3=0，那么代数式

+2÷的值为______.

【解析】本题考查了分式的混合运算及整体思想求代数式的值. 先将代数式化简，再对已知条件进行等式变形，可求出x2

+2x的值，再整体代入所求代数式即可.

解：原式=·（x+1）=x2+2x+2，

∵x2+2x-3=0，∴x2+2x=3，∴原式=3+2=5.

【点评】求分式运算中代数式的值时，要通过化简，确定已知条件和化简结果的关系，目前所学的数学知识尚不能求出x的值，所以不能直接代入求值，只能整体代入计算.

【编者按：分式化简求值问题是中考考查的重点、热点、必考点，本期还安排了两篇相关的辅导，同学们可链接学习.】

四、考查分式方程无解与增根

例5 （2013·江苏扬州）已知关于x的方程=2的解是负数，则n的取值范围为______.

【解析】本题考查了分式方程的增根，先化简原方程，用含有n的式子表示x，因为x<0，从而得到关于n的不等式，并注意前提是分母2x+1≠0.

解：由题意，化简得：x=n-2，则有n-2<0且2（n-2）+1≠0，所以n<2且n≠.

【点评】在解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，然后考虑到分式方程的增根存在，所以分母不为0，进而得到有关不等式求解.

易错点提示：同学们很容易忽视增根存在的可能，忘记补上条件n≠.

二年级上册数学基础训练题篇8

54-19= 38+24=

75-46= 33+55=

34+12+17= 80-13-37=

67-28+34= 46+17-25=

44+28+26= 85-27-35=

48+29-39= 80-21+39=

二、解决问题。

1、妈妈买来36个苹果，第一天吃了16个，还剩多少个?

2、有两盒粉笔，第一盒有45枝，第二盒有37枝，两盒一共有多少枝?

3、工程对修一条长40米的水泥路，第一天修了15米，第二天天比第一天多修了9米，第二天修了多少米?

4、学校合唱队，男生26人，女生比男生多9人。

(1)女生有多少人?

(2)合唱队一共有多少人?

5、鸡32只，鸭16只，鹅24只

(1)鸡比鸭多多少只?

(2)鸡、鸭、鹅共有多少只?

6、一辆大客车，车上一共有70个座位，已经坐了45人，又上来了3人。还有几个座位空着?

7、我有一本故事书，这本书共有70页，我每天都看15页，看了两天，还有多少页没看?

8、学校舞蹈队原来有42人。有9名同学毕业了，又新加入了13人。学校舞蹈队现在有多少人?

9、红红的图片比明明少19张。明明有44张图片。军军比明明多18张。

(1)红红有多少张图片?

(2)军军有多少张图片?

初中数学几何题训练题篇9

①AB=ED；

②BC=EF；

③∠ACB=∠DFE．

2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．

（1）你添加的条件是：

3．如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．

4．如图10，已知与相交于点，连接，． ,（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。

6．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：（1）FC=AD；

初中数学圆证明题篇10

1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD

．

2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．

3．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

4．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．

5．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．

6．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．求∠ACM的度数．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？

如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．

（1）求证：OP∥CB；

（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．

如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE•的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5

初中数学分式基础题篇11

德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道：数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

不仅数学家体悟到了数学的魔力，就连希腊著哲学家柏拉图都在号召：哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。

那么，作为初中生，如何才能学好数学呢？有人曾调侃：数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!数学思想方法是数学的灵魂和精髓。数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其它科学中，都被广为使用。

所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，如建模思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想。所谓数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。初中学生应掌握的数学方法有配方法、换元法、待定系数法、参数法、构造法、特殊值法等。数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。

典例赏析

一、整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________

解析：把“a-b”看成一个整体代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7

二、方程思想

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

例2：一个凸多边形的内角和是外角和2倍，它是_________边形.解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和(n-2).180

设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2).180

=2*360，解得n=6

三、函数思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

例3:某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20kg。

（1）现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元能使商场获利最多？

解析：（1）解：设每千克应涨价x元，根据题意得：

（10+x）*(500-20x)=6000

解得x1=5,x2=10

为了使顾客得到实惠，应取x=5(元)。

（2）设每千克涨价x元时，总利润为y元。

y=（10+x）*(500-20x)

=-20x^2+300x+5000

=-20(x-7.5)^2+6125

根据二次函数性质，当x=7.5时，ymax=6125

四、转化思想

所谓的转化思想就是指在求解数学问题时,如果对当前的问题感到生疏困惑,可以把它进行变换,使之化生疏为熟悉，化繁为简,化难为易，从而使问题得以解决的思想方法.例4;解分式方程。

解析：把分式方程去分母转化为整式方程即可。

两边乘（x+3）(x-1)

2(x-1)=(x+3)

2x-2=x+3

x=5

经检验：x=5是方程的解

五、类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

例5：类比正比例函数研究反比例函数。

解析：通过研究正比例函数的图像、性质及应用，类比研究反比例函数的图像、性质及应用。

六、数形结合思想

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化、具体化.例6：证明勾股定理。

解析：美国第二十任总统伽菲尔德借助下列图形证明了勾股定理。

七、分类讨论思想

分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的的策略.例7：若等腰三角形的一个内角为70，则它的顶角为

度．

解析：分类讨论，（1）该内角为顶角时，顶角为70；

（2）该内角为底角时，则顶角为：180-70*2=40

故顶角为70或40.八、归纳与猜想的思想方法

所谓归纳与猜想,就是在解决数学问题时,从特殊的、简单的、局部的例子出发,探寻一般的规律,或者从现有的已知条件出发,通过观察、类比、联想，进而猜想出结果的思想方法.例8：观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为

（用含n的代数式表示）．

解析：

第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．

初中数学几何图形综合题篇12

必胜中学 2018-01-30 15:15:15

题型专项几何图形综合题

【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型1 操作探究题

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；(2)若∠DAF＝∠DBA.①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD＝90°.∴∠BAC＝∠BAD＝45°.∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°.∴AC＝BC.(2)①AF＝BE.理由：

由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD；∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.②如图

3.∠FAD＝∠EBD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.设BD＝a，作BG平分∠ABD，∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根号5）/2。∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根号5）/2*x.2．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．解：(1)证明：延长ED交AG于点H，∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA＝OD，OA⊥OD.在△AOG和△DOE中，1.OA＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；3.OG＝OE ∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2 ∴∠AG′O＝30°.∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.提示：如图

当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根号2.∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB.∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根号3＝根号3。(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.∴∠DMA＝∠MAQ.由折叠可知△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.∴∠MAQ＝∠AMQ.∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.∴NQ＝4，AQ＝5.∵AB＝4，AQ＝5，∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.(3)如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)此时M，F重合，B，N，M三点共线，△ABH≌△BFC(如图3)，∴DF的最大值为4－根号7

图1

类型2 动态探究题

4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边CD的长；

(2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.∴∠APD＋∠DAP＝90°.∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，设OP＝x，则CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，由勾股定理得，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.(2)过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；3.MQ＝BN ∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的结论可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴在(1)的条件下，当点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.5．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5，2)，点P是CB边上一动点(不与点C，B重合)，连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.(1)当x为何值时，OP⊥AP?(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.∵OP⊥AP，∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.∴∠OPC＝∠PAB.∴△OPC∽△PAB.解得x1＝4，x2＝1(不合题意，舍去)． ∴当x＝4时，OP⊥AP.(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.∴y＝x－4/x(2

(3)存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF＝AB＝2.∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.∴ED＝4，EF＝2.∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.解得y＝5/2.6．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6.如图2，矩形ABCD沿O B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当t＝5时，请直接写出点D，点P的坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作

PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．(2)当点P在边AB上时，BP＝6－t.∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.当点P在边BC上时，BP＝t－6.∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.类型3 类比探究题

7．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.(1)求证：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；

(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP ∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.又∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°.(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP ∴△ABP≌△CBP(SAS)． ∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.∴∠DCP＝∠AEP.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.∴△EPC是等边三角形．∴PC＝CE.∴AP＝CE.8．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE＝1，AE＝2，求CE的长；

(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)

解：(1)证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，即∠ACE＝∠BCF.∴△CAE∽△CBF.②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根号2.∴BF＝根号2.又∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.解得CE＝根号6.(2)连接BF，∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，∴△CFE∽△CBA.∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，题型2 与圆有关的几何综合题

9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE.(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)当BC(AB)＝3(4)时，求tanE；

(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.∵DE是直径，∴∠DBE＝90°.∴∠E＝90°－∠BDE.∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.∴∠ABD＝∠E.∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F.⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．

解：(1)直线BD与⊙O 相切．理由：连接OB.∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC.∴∠DBC＝∠C.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.∴∠C＋∠CED＝90°.∴∠DBC＋∠OBE＝90°.∴BD与⊙O相切．(2)连接AE.在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根号2.∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根号2.∴BC＝1＋根号2.∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.又∠CBA＝∠FBE＝90°，A B＝BE，∴△CAB≌△FEB.(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°.∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.11．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

(1)试说明CE是⊙O的切线；

(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当1/2CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

解：(1)证明：连接OC.∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．

12．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的反向延长线上，EP＝EG，(1)求证：直线EP为⊙O的切线；

(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝根号3/3.求弦CD的长．

解：(1)证明：连接OP.∵EP＝EG，∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直线EP为⊙O的切线．(2)证明：连接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG 又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.13．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0＜t≤5)以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB，OA的交点分别为C，D，连接CD，QC.(1)当t为何值时，点Q与点D重合？