分式函数最值

分式函数最值（精选8篇）

分式函数最值 篇1

分式函数值域问题分类导析

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法． p(x)首先我们给出分式函数的定义：形如f(x)的函数叫做分式函q(x)

数，其中p(x)、q(x)是既约整式且q(x)的次数不低于一次．下面就p(x)、q(x)的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．

1.一次分式函数

p(x)、q(x)的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如axbf(x),xA,c0的函数． cxd

一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成xf1(y)，由于xA，则f1(y)A，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域．

2x3例1． 求函数y，x[3,8]的值域． x

22y32y38，解得解：改写成x，因为x[3,8]，所以3y2y2

1919y9，即原函数的值域是[,9]． 66

２．二次分式函数

p(x)、q(x)至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，ax2bxc,xA,a、d不全为零的函数． 即形如f(x)2dxexf

若A=，则可采用根的判别式法求值域． ｛x|dx2exf0｝

x24x

5例２．求函数y2的值域．

x4x

4解：化为关于x的方程(y1)x24(y1)x4y50．若ｙ＝１，则方程无解，即y1．因为xR，所以0，解得y1，即原函数的值域是（1,）．

若A，则再分类讨论． ｛x|dx2exf0｝2.1．形如f(x)

c，xA,d0且c0的函数．

2dxexf

先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数f(x)的值域．

例３．求函数f(x),x[3,5]的值域． 2

x2x

3解：令g(x)x22x3(x1)24,x[3,5]，1

1则g(x)[4,12]，所以函数f(x)的值域是(,][,)．

412

bxc

2.2．形如f(x)2，xA,d0且b0(*)

dxexf

ax2bxc

或f(x)，xA,a0且e0的分式函数．

exf

下面就形式(*)讨论解法．

b

2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得f(x)＝．只要讨论

fdxe

x

f

函数g(x)dx,xA且x0的值域．

x

不妨设d0．若f0，则函数g(x)在(,0)和(0,)上分别是增函数；若f0，则函数g(x)在(0,ff]和[,0)上分别是减函数，在dd

ff

]上分别是增函数．这样利用函数g(x)的单调性，先[,)和(,dd

求出g(x)的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x,x[1,)的值域． 2

x2x414,x1．令g(x)x,x1，则g(x)4，所以解：f(x)

4xx2x1

函数f(x)的值域是(0,]．

6例４．求函数f(x)

2.2.2．若c0，则换元，令tbxc，转化为２.２.1．形式的分式函数．

x1

例５．求函数f(x)2,x(1,3)的值域．

x2x3

t1

,t(0,4)． 解：令tx1，则y2

4t4

tt

因为t(,3)，所以函数f(x)的值域是(,0)(,)．

t3

ax2bxc,xA,a0且d0的分式函数． 2.3．形如f(x)2

dxexf

2.3.1．若bc0或ef0，则分子分母同除以x，转化为求关于的x

二次函数的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x21

例６．求函数f(x)2,x[,1]的值域．

x4x13111

,[1,3]．因为函数 解：f(x)

141x2

1(2)3x2xx

112

g(x)(2)3,[1,3]的值域是[3,2]，所以函数f(x)的值域是

xx

[,]． 23

2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设

a(xm)2

f(x)2,xA,a0且d0，则可令txm，转化为2.3.1

dxexf

形式的分式函数．

x24x4

例７．求函数f(x)2,x[1,0]的值域．

x4x5

t2111

解：令tx2，则y2,[,1]．因为

1t1t212

t

151412[,2]，所以函数f(x)的值域是[,]． t425

2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即

aeaf

(b)xca，转化为2.2形式的分式函数． f(x)ddx2exf

x24x5例８．求函数f(x)2,x[0,2]的值域．

x4x322

1,x[0,2]，解：f(x)12所以函数f(x)的2

x4x3(x2)1

值域是[

175,]． 153

3．分式函数值域在解析几何中的运用

解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方

例９．已知直线l1：y4x与点P(6,4)l1上求一点Q，使直线PQ与直线l1，以及xl1在第一象限内围成的三角形面积最小．

解：设Q(x0,4x0)，直线PQ的方程

y4x6

是，直线PQ交x轴于点

4x04x06

5x0

A(,0)．根据题意

x01

10，111()2x024

x01，所以SOAQ

10x02115x0

|OA|yQ4x022x01x01

x01，当x02时，SOAQ的最小值为40，Q(2,8)．

此题的解法是将OAQ的面积S表示为Q的横坐标x0的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值．

例10．设F1、F2是椭圆3x22y26的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置．

解：设AB弦所在的直线方程是

ykx1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

SABF

|F1F2||x1x2||x1x2|． 2

ykx1

由方程组2，消去y，2

3x2y6

得(2k3)x4kx40，则x1x221222

k32k3

4k2448(k21)22

SABF(x1x2)4x1x2(2)42，22

2k32k3(2k3)

令t2k23,t[3,)，SABF

24(t1)112111

24[()],0，2

tt24t3

SABF当t=3时，43

有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于x轴．

此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为k2的二次分式函数，从而求出最大值．

分式函数最值 篇2

(极限的除法运算法则) 设极限都存在, 且, 则极限也存在, 且有

例1

分析

通过计算可得:, 故可直接利用 (1.1) 式.

解

例2

求极限, 其中a为常数.

分析

通过计算可得:, 由于分母的极限与a有关, 故求此分式函数的极限需对a分情况讨论.

解

(ⅰ) 当a≠2时, 分母的极限不为零, 由 (1.1) 式得：

(ⅱ) 当a=2时, 分母的极限为零, 不能利用 (1.1) 式, 但可考虑此分式函数的倒函数的极限:

于是, 由无穷小与无穷大的关系, 有:

例3

分析

通过计算可得:在计算此分式函数的极限之前, 我们先介绍一个定理:

定理 (洛必达法则)

设函数f (x) 与g (x) 满足条件:

解

由洛必达法则可得:

通过上面的三个例子, 对于求的极限我们总结如下:

(ⅰ) 若分母的极限不为零, 直接利用极限的除法运算法则求此极限;

(ⅱ) 若分母的极限为零, 但分子的极限不为零, 可通过求倒函数的极限, 再根据无穷小量与无穷大量的关系, 求得此极限为∞;

(ⅲ) 若分子、分母的极限都为零 (或∞) , 可采用洛必达法则.

例4

求下列极限:

分析

本例中三个待求极限的分子、分母极限均不存在, 不能利用极限的除法运算法则.但分子、分母同除以x的最高次幂将其变形, 并利用无穷小与无穷大的关系即可求解.

解

(1) 分子、分母同除以x4, 可得:

(2) 分子、分母同除以x3, 可得:

(3) 我们看此分式的倒数, 分子、分母同除以x4, 可得:

通过总结以上例子, 有如下的结论:

其中ai (i=0, 1, 2, …, n) , bj (j=0, 1, 2, …, m) 为常数且a0≠0, b0≠0, 为非负整数.

求分式型函数的最值问题 篇3

【关键词】 数学 分式型函数 最值问题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-092-01

分式型函数的最值问题一直是高考常考点，但却是学生学习的难点。解决这类问题，一般是利用分离常量法或利用基本不等式及对勾函数[y=ax+■（ab>0）]来解决。

一、一次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用分离常量的方式，把函数式转变为常数与简单分式函数和差的形式，此类函数值y≠■.

例1. 求函数y=■的值域。

分析：这类问题一般是利用分离常量法解决，过程略。

解：函数y=■的值域是{y│y≠2}

例2. 求函数y=■的值域。

解：y=■=2-■

∵x2+1≥1 ∴0<■≤3

故函数y=■∈[-1，2）

点评：本题虽然分子和分母都是关于的二次式，但是因为没有一次项，故可以把x2看成一个整体，利用分离常量的方式进行分离，但要注意x2本身非负。类似的还有■，ax等。

二、二次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用拆分的方式，把函数式转变为对勾函数的形式，借助基本不等式或对勾函数求值域。

例3. 求函数y=■（x>0）的取值范围。

分析：此类问题一般是结合基本不等式解决。

解：y=■=2x+■-1≥2■-1（当且仅当x=■是等号成立）所以函数y=■∈[2■-1，+∞）.

变式练习：若例3去掉x>0函数值域是什么？

分析：本题不能利用基本不等式，要借助函数g（x）=2x+■， 如上图的函数g（x）∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

故y=■∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

三、一次比二次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般先取倒数，变成二次比一次型函数，再求值域。

例4. 求函数y=■（x>0）的值域.

解：y=■=■≤■（当且仅当x=■是等号成立）

∴函数y=■∈（0，■].

点评：本题如果没有这个条件，也可以仿照上面例4，借助对勾函数来解决。

例5. （2010辽宁）已知点P在曲线y=■上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .

解：y'=■=■

∵ex>0，∴ex+■+2≥4，（当且仅当x=0时等号成立）

∴k=y'∈[-1，0）

因为倾斜角，所以倾斜角α的取值范围是[■，π）.

点评：一般来讲高考题目所涉及的分式函数求值域的问题基本上就可以用以上几种方式解决。

有理分式函数的图象及性质 篇4

【知识要点】 1．函数y

axbcx

d

(c0,adbc)dcdc

（2）值域：{y|y

（1）定义域：{x|x单调区间为(,直线x

dc,y

dcacb

x),(,+)（4）dc,ac，对称中心为点()

（5）奇偶性：当ad0时为奇函数。（62．函数yax

(a0,b0)的图象和性质：

（1）定义域：{x|x0}（2）值域：{y|y或y（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数yax

b(a0,b

0)的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数y

1x

1的图象是（）

A

x1

B

C

x3x

2D

x3x2

2．函数y

A.y

x3x2

2x

3(x1)的反函数是

x3x2

（）

(x1)

(x2)B.y

x2xa

(x2)C.y(x1)D.y

3．若函数f(x)的图象关于直线yx对称，则a的值是（）

A.1B.1C.2D.2

2x1

4．若函数f(x)存在反函数，则实数a的取值范围为

xaA.a1B.a1C.a

（）

D.a

5．不等式4x

A.(

12,0)（12

1x的解集为

12)（12

（）,0)(0,12),)B.(-,

axb,)C.(,0)(0，+)D.(

6．已知函数f(x)的图象如图所示，则a,b,c的大小关系为2

xc

A.abcB.acbC.bacD.bca 7．若正数a、b满足abab3,则ab的取值范围是_____。8．函数y

3xx

4（）的值域是。的反函数的图象关于点(1,4)成中心对称，则实数

9．若函数y

axxa

1a。

10．函数y

e1e1

x

x的反函数的定义域是。

11．不等式

2x1x

31的解集是。

12．函数y

xxxx1的值域是。

13．设f(x)x

ax1,x[0,+)。

（1）当a＝2时，求f(x)的最小值；

（2）当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值。14．设函数f(x)调性． BABDAD

331,]9．310．(1,1)11．x3或x412．[,1)443

213．解：（1）a＝2时，f（x）＝x＋＝ x＋1＋－1≥22－1，等号在x＋1＝，x1x1x1

xaxb

(ab0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单

7．[9,+)8．[

x＝2－1（∵x∈[0，＋∞））时成立．

（2）当0＜a＜1时，设x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 则f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）＋

ax21

－

ax11

a

＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）．

∵ 0＜a＜1，∴

a

(x11)(x21)

＜1，1－

(x11)(x21)

＞0，又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）＞0，f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函数． 在x＝0时，f（x）的最小值是a． 14．解：函数f(x)

xaxb的定义域为(,b)(b,)

f(x)在(,b)内是减函数，f(x)在(b,)内也是减函数

证明

f(x)

在(b,)内是减函数

取x1,x2(b,)，且x1x2，那么

x1ax1b

x2ax2b

f(x1)f(x2)





(a-b)(x2x1)(x1b)(x2b)

∵ab0,x2x10,(x1b)(x2b)0 ∴f(x1)f(x2)0 即

f(x)

在(b,)内是减函数，同理可证

f(x)

在(,b)内是减函数。

浅 说 函 数 的 对 称 性

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是f(x)+ f(2a－x)= 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)

定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)

是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠

b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称。定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

(B)是偶函数，但不是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

‘

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)

例2：设定义域为R的函数y = f(x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)= 1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2)反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，12

f(x)= －x，则f(8.6)= _________（第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3

例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）(A)0.5

(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5

解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数。

函数的值域与最值教案 篇5

函数的值域与最值

教材分析：1.值域是函数的三要素之一，函数的值域与最值，特别是最值是高考重点，而且考察的题型涉及选择、填空、解答题.2.值域与最值知识在教材中比较分散，且方法较多，因此教学中要善于总结.教学设计：通过对例题的变式训练，让学生在问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等全过程、全方位、深层次中进行主体性、实质性的参与.教学目标：1.知识目标：让学生掌握求值域的基本方法及基本函数的的值域.2.能力目标：培养学生观察、分析、总结、化归的能力，熟练各种方法.3.情感目标：在探究的过程中形成良好的数学素质和正确的学习态度.教学重点：求值域的方法.教学难点：判别式法、单调性法.教学方法：导练法 教学过程： 一.知识提炼：

1.函数的值域

值域是__________组成的集合，它是由_________和______________确定的.2.基本函数的值域

（1）.一次函数ykxbk0的值域是______.（2）.二次函数yax2bxc(a0),当a0时，值域是_______________，当a0时，值域是_______________.（3）.反比例函数ykxk0的值域是__________________.（4）.指数函数yaxa0且a1的值域是_____________.（5）.对数函数ylogaxa0且a1的值域是_____________.3.求值域的基本方法（1）.形如yaxbmxnmn0的函数，用________________________________求值域.（2）.形如yax2bxc(a0)的函数，用___________求值域，要特别注意定义域.二次函数在给出区间上的最值有两类：

一是求闭区间a,b上函数的最值问题；

二是求区间确定（运动），对称轴运动（确定）时函数的最值问题。在求二次函数的最值问题时，一定要注意数形结合，注意“两看”： 一看开口方向；

二看对称轴与所给区间的相对位置关系。

（3）.形如yax2bxcmx2nxem,a至少一个不为0的函数，可用____________求值域.（4）.形如yfxgx的函数用_______________求值域.（5）.其它方法：不等式法，导数法，单调性法，函数的有界性，图象法等.二.典例示范：

例1.求下列各函数的值域.（1）yx24x3xR

变式1：当x－1,3时，求函数值域.变式2：当xt，t1tR时，求函数的最小值.点评：（2）yx4xx0

变式：当x1，5时，求函数的值域.点评：

（3）yx2x1x1

变式1：将函数式改为yx2－x－2x1，值域如何求？

变式2：将函数式改为yx2x1x21，值域如何求？

点评：

（4）yx1x

变式1：将函数式改为yx－1x，值域如何求？

变式2：将函数式改为yx1x2，值域如何求？

点评：

例2.已知f(x)2log3x(1x9)，求函数g(x)f2(x)f(x2)的最大值与最小值.点评：

探究题.已知函数f(x)x22xax,x[1,)（1）当a

时，求函数f(x)的最小值 ；（2）若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.三.基础练习：

1.函数yx25的值域为x2______________.42.y32xx2 的值域是______________.3.yx2x1的最小值是______________.4.y2x1x3的值域是______________.5.函数fx2x213x3在区间[－1，5]上的最大值是______

6.函数y22x2x1的值域为（）

A．（,2][1,)B．(,2)(1,)

C．yy1,yR D．yy2,yR

7.已知函数f(x)的值域是[3,489]，试求yf(x)12f(x)的值域.8.已知函数fxlogmx28xn3x21的定义域为R，值域为0,2，求实数m,n的值.四.归纳总结：

二次函数最值问题的研究 篇6

（内江师范学院 内江 641100）

摘要：最值问题是中学数学的重要内容之一，中学数学最值问题遍及代数、三角函数、立体几何及解析几何各部分之一，最值问题为载体，利用数形结合的思想，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想考查二次函数的最值问题，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，遍及初高中数学代数和几何部分的几乎所有，利用数与形进行分类和分轴以及参数问题讨论出最值问题的变化，同时利用数学等优秀的数学思想，将观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法解决生活中遇到的最值问题。

关键字：数学 最值 数形结合 图像

1、前言

数学是一种古老而又年轻得文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不在受到数形结合和空中二次函数的思想的恩惠和影响，进入21世纪，我国数学课程中有关数学学习的理念时刻在发生变化，数学教学的主要目的和任务早已经不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识分方法的同时培养学生的数学能力，咋促进学生数学学习的过程中，加强数与行的结合，能化简为繁，对于帮助学生开阔思路，突破思维定势有积极地作用，能加深学生对知识的理解和掌握，学习二次函数的知识不仅是高中教材的内容，而且更是解决生活的实际问题有很大的帮助，但是二次函数包括的知识点不仅多，难度比较大之外，更重要的是具有可行性的量化和质变的本质区别，二次函数的最值问题作为研究二次函数的图像和性质，以及二次函数的区间最值问题都是需要学生去总结和探讨的。

作为初中和高中教材中的主要函数知识点的部分，学习二次函数起到一个承上启下的作用，同时二次函数也是中考和高考命题的重点，如何让初高中学生对二次函数了解的更加深刻和透彻，本文利用和数形结合的思想对初高中二次函数做了更深入的研究和讨论，主要运用数形结合的思想和分类讨论的思想以及根据二次函数的性质，从不同的角度进行分析二次函数的最值问题，利用二次函数的图像解决：定轴动区间、动轴动区间、动轴定区间的最值问题，以及根据开口方向、对称轴、所给区间确定；所给区间确定、对称轴位置变化；所给区间变化、对称轴位置确定；区间、对称轴位置都不确定，巧用二次函数的图像来进行讨论二次函数所遇到的最值问题，利用图像讨论含参数的问题，以及巧用二次函数图像讨论二次函数与一次函数交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2、国内外研究现状：

查阅相关文献，众多数学教育者和数学专家从不同角度和侧面探讨了二次函数的最值问题，同时结合教学、解题、以及函数的应用，王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合在二次函数中的培养创新思维，张冰、杨光在文献[2-3]中浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，孙雪梅、王雨来、朴林玉等文献[4-6]分析了二次函数的最值问题，周建涛、姚爱梅在文献[7]中二次函数在闭区间的最值问题的研究，陈晨在文献[8]闭区间上的二次函数的最值，张连友在文献[8]二次函数在最值求法例谈，陈林文在文献[9]巧解最值问题，黄小琴在文献[10]二次函数最值求法探索，张武在文献[11]中“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解和分析，通过观看以上等教育工作者的研究和对二次函数最值问题的研究，让我受益匪浅，从他们的研究中看到了对二次函数最值问题的深入剖析。

2、国内外研究现状评价

在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对在二次函数中最值问题的研究，只是针对了二次函数的某一些问题或是某一些最值问题探究的比较清楚，其中关于二次函数的深层次或是大学知识的解决办法未能够涉及到里面去，相对高思想高研究高知识层面的探讨问题研究的不是很充分，其次对于二次函数利用思想方法和数形结合的思想方法的分析缺乏深入的研究和探讨，数形结合的思想在初高中二次函数中是比较重要的一个内容，对数形结合的思想在高中二次函数中的综合运用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用二次函数的图像和数形结合的思想去进行二次函数的教学、解题、以及二次函数最值问题的分析在初高考的应用具有重要的意义。

3、提出问题：

二次函数最值问题是结合初高考的代数和几何进行考试的内容，同时也是大部分学生遇到的问题最多的地方，所以探讨二次函数的最值问题的具有可行性的，同时也是对函数部分的知识进行深入的剖析，在具体探讨二次函数的最值问题的时候加入一些数学思想和数学方法以及高等数学的解题方法，根据定义域的问题和对称轴的问题进行深入分析和探讨是有必要的数学研究，4、结束语：

通过对国内外数学中二次函数的了解和研究以及专家和教育学者的文献的分析，二次函数是初高中数学的重点和难点，贯穿高中知识的始终，同时二次函数与其他知识的综合也是高考的重点和难点，是解决很多复杂的数学问题的一把利刃，利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题，求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，很多文献都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑,本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题的重点和难点。参考文献：

【1】 王丰霞，构造数形结合思想在二次函数中培养创新思维[J]，胜利油田专科学校学报，2001，（04）

【2】 张冰、杨光，浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣，山西财经职业技术学院，2011，（7）

【3】 孙雪梅、王雨来、朴林玉，二次函数的最值问题[J]，2010,(11)：45-46 【4】 周建涛、姚爱梅，二次函数在闭区间的最值问题的研究[J],数学教学学报，2005，（12）：24-25 【5】 陈晨，闭区间上的二次函数的最值[J]，中学数学杂志，2004（12）【6】 张连友，二次函数在最值求法例谈[J]，黑河教育，2008（4）【7】 陈林文，巧解最值问题[J],时代教育，2007（7）

函数最值的应用 篇7

关键词：函数,最值,求法,应用

函数是初等数学中的一个重要内容, 而函数的最值问题又是函数应用体现比较好的一个方面, 它涉及知识多, 综合性较强, 方法灵活, 不但在几何、三角等数学方面有较多的应用, 而且在科学研究, 生产, 生活中也会经常遇到, 本文主要就来研究函数最值的应用。

1 函数的定义

设在变化过程中, 有两个自变量x, y, 如果对于x在某一个范围内的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应, 那么就称y是x的函数, x叫做自变量。我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域, 和自变量x对应的y的值叫做函数值。函数值的集合叫做函数的值域。

2 函数f (x) 在[a, b]上的最大 (小) 值的求法

找出函数f (x) 在[a, b]上的一切极值; (2) 将这些极值与函数在区间[a, b]的端点值f (a) , f (b) 比较, 选出其中最大 (小) 的一个值就是函数f (x) 在[a, b]上的最大 (小) 值。

3 函数最值的应用

函数最值的应用主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实践问题。首先要求有较宽的知识面, 能读懂题意, 然后对问题进行分析, 灵活运用所学过的数学知识, 建立“量”与“量”之间的函数关系, 把实际问题转化为函数问题, 通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的。

对实际问题主要采取函数建模的方法, 所谓函数建模, 指即用数学的眼光看问题, 用思想方法、知识解决实际问题的过程是函数思想的深刻体现。数学建模的过程可概括如下:

下面举例说明应用的广泛性。

(1) 在自然科学中的应用

在这类问题中, 一般借助建立数学模型, 构造函数, 然后通过求函数的最大值和最小值得到解答, 从而解决实际问题, 下面从几个问题进行分析说明它的适用性。

a.与物理学科相关的应用

例1在测量某物理量的过程中, 因仪器和观察的误差, 使得几次测量分别得到a1, a2, …an共n个数据, 我们规定所测量物理量的“最佳近似值”, a是这样一个量, 与其他近似值比较, a与各数据的差的平方和最小;依次规定, 从a1, a2, …an推出的a为多少?

分析本题首先要理解题意, 并能将文字语言转化为数学符号语言来表示, 同时要熟悉利用函数模型求有关最值, 从而得到题目解答。

解这个问题求使:

根据二次函数y=ax2+bx+ca=0的性质, a>0, 图像开口向上, 顶点的纵坐标即是函数的最小值.

根据顶点坐标公式

当时, 函数f (a) 取得最小值, 即当a是这n个数据的算术平均值时, a与各数据的差的平方和最小。

b.在实际生活中的应用

例2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知收益满足函数

其中x是仪器的月生产量

⑴将利润表示成月生产量的函数.

⑵当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润为多少元? (总收益=总成本+利润)

分析利润=总收益-总成本

由于R (x) 是分段函数, 所以f (x) 也要分段求出, 然后分别求出f (x) 在各段中的最大值, 最小值.通过比较就能求出f (x) 的最大值.

解⑴设月生产量x台, 则总成本为20000+100x, 从而

∴当x=300时, f (x) 有最大值25000.

当x>400时, f (x) =60000-100x是减函数, f (x) <60000-100×400<25000.

当x=300时, f (x) 的最大值为25000.

答:每月生产300台机器时, 最大利润为25000元。

(2) 利用最大值、最小值为条件, 可以讨论函数中的相关系数

例3若, 在[-3, 2]上f (x) max=4, 求m.

分析此类题目中的参数有各种可能的取值情况, 在讨论的时候, 要注意考虑到各种情况, 不能遗漏。

若m<0, 图形开口向下, f (x) 在顶点取得最大值,

则

若m>0, 图形开口向上, 图形关于x=-1对称.

(3) 利用函数最大值、最小值作为条件, 可以反过来确定二次函数的解析式

二次函数的表达式有三种, 一般式, 顶点式, 双根式, 要善于灵活的根据所给二次函数的性质, 恰当选择表达式, 并使用待定系数法求解.

例4已知二次函数f (x) 满足f (2) =-1, f (-1) =-1, 且f (x) 的最大值是8, 试确定此二次函数.

解法一、利用二次函数一般形式

∴所求二次函为y=-4x2+4x+7

解法二、利用二次函数顶点式

解法三、利用双根式

由已知:f (x) +1=0的两根为x1=2, x2=-1,

故可知f (x) +1=a (x-2) (x+1) 即f (x) =ax2-ax-2a-1.

∴所求函数解析式为.

小结:利用已知条件求二次函数解析式, 最常用方法是待定系数法, 但可根据相同的条件选用适当的形式求f (x) .⑴已知三个点坐标时, 宜用一般式;⑵已知抛物线的顶点或与对称轴有关或与最大、最小值有关时, 常用顶点坐标;⑶若已知抛物线与轴有两个交点, 且横坐标已知时, 选用双根式, 求更方便.

本文主要介绍了函数最值在自然科学包括物理学、实际生活、生产及函数解析式方面的简单应用。我们发现函数的最值是一个非常具有探讨性的问题, 它的应用非常广泛, 研究函数的最值, 不仅对我们研究函数及数学本身有着比较好的作用, 而且对我们解决实际问题有着更深远的意义

参考文献

[1]沈文选.数学建模.湖南师范大学出版社.

多元函数最值问题求解策略 篇8

1 多元函数的定义及有关概念

定义1 平面点集：建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x, y)的全体, 即R2=R×R={（x,y)|x,y∈R}——坐标面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集,记作E={(x,y)|(x,y)具有性质P}.

定义2 设D是xoy平面上的点集, 若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,使得在D内每取定一个点P(x,y)时, 按着这个关系有确定的z值与之对应, 则称z是x，y的二元(点)函数.记为z=f(x,y)（或z=f(P)）.称x,y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数的定义域,数集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为该函数的值域.

定义3 类似地，可定义“n维空间”、“n元函数”.二元及二元以上的函数统称为多元函数.

2 多元函数最值问题求解策略

1.减元法：根据化归思想的理论可尝试将多元函数问题转化为我们熟悉的一元函数来处理，可通过换元、不等式放缩技巧、题中条件等式等途径实现.

（1）通过换元减元：

说明：本题的第二小题，我们常见的解法是将三角形的面积S表示为直线斜率k的函数，再求这个一元函数的最值，运算繁琐.这里运用了二维柯西不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)（当且仅当ac=bd时取等号）来求简洁明了.

参考文献

[1] 罗增儒.心路历程：认识、反思、拓展[J].中学数学教学参考,2007.10

[2] 齐明鑫,周璇,吕飞,张志强.全国高中数学联赛历届真题[M].开明出版社,2005.1

[3] 熊斌,冷岗松.赛前集训——高中数学联赛专题辅导[M].华东师范大学出版社,2004.5