高等方法求函数最值

高等方法求函数最值（精选7篇）

高等方法求函数最值 篇1

在数学学习中, 经常遇到求函数最值的问题, 最值的求法可分为初等方法和高等方法两大类.所谓初等方法, 就是用初等数学的知识方法来求函数的最值, 常用的有“二次函数法”“均值不等式法”“判别式法”“数形结合法”“换元法”等, 已有很多文章探讨介绍, 这里不再重复;而高等方法就是运用高等数学方面的知识———导数来求函数的最值.兹介绍如下.

一、求最值的高等方法

1. 导数———单调性法

定理:函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导.

(1) 若函数f (x) 在开区间 (a, b) 内f' (x) ≥0 (只有有限个点导数为0) , 则函数在闭区间[a, b]上单调递增, 故有最小值f (a) , 最大值f (b) ;

(2) 若函数f (x) 在开区间 (a, b) 内f' (x) ≤0 (只有有限个点导数为0) , 则函数在闭区间[a, b]上单调递减, 故有最大值f (a) , 最小值f (b) .

例1求函数的最大值.

2. 导数法:用导数法求函数f (x) 在闭区间[a, b]上的最值的步骤

第一步求f' (x) , 并求函数的驻点 (即使f' (x) =0的点) 和导数不存在的点;

第二步计算驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值, 并比较它们的大小, 最大者即为所求的最大值, 最小者即为所求的最小值.

例2求函数f (x) =x3+3x2+2在区间[-1, 3]上的最大值与最小值.

解f' (x) =3x2+6x=3x (x+2) .

令f' (x) =3x (x+2) =0, 解得区间[-1, 3]上的驻点为:x=0.

f (0) =2, f (-1) =4, f (3) =56.

故最大值为f (3) =56, 最小值为f (0) =2.

二、高等方法与初等方法灵活应用

初等方法与高等方法并不是彼此孤立的, 有时一个问题既可以用初等方法中某个方法求解, 同时又可用高等方法求解.

例3求函数y=槡x+槡1-x的最大值和最小值.

解法一初等求法———换元法.

先求定义域, 得0≤x≤1.

解法二高等求法———导数法.

先求定义域, 得0≤x≤1.

令y'=0求得驻点

总之, 函数最值求法可分为两大类:初等方法与高等方法.而每一类当中又有若干种方法, 只有熟练掌握各种方法, 才能灵活运用.对一个具体题目往往有多种解法, 而优选解法是能否顺利解答的关键.

摘要：求函数最值是数学中经常遇到的问题, 本文从高等数学——导数方面的知识对其进行探讨.

关键词：函数最值,高等方法

参考文献

[1]朱方亮.函数最值求法研究[J].中学教学参考, 2011 (32) .

[2]王凯.浅谈函数最值的求法[J].数学大世界, 2010 (11) .

高等方法求函数最值 篇2

关键词：高数,考研,函数极值最值

函数的极值和最值是函数的重要性质，在实际中有着重要的应用，许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，并且研究生《高等数学考试大纲》也对求函数的极值和最值这部分要求比较高。所以从2001年到2009年的研究生高等数学入学考试试卷中几乎都出现了这部分的试题。2001年到2009年考题中函数最值和极值的题型主要有一元函数的极值最值、二元函数的极值最值、条件极值问题，以及函数的极值最值的应用题。笔者在此以考研函数的极值和最值问题为例，详细论述了解决这类问题的方法。

一、一元函数的极值和最值

1. 求极值方法

定理1(极值的第一充分条件)：设函数f (x)在点x0的某邻域内连续且可导(导数f′(x0)也可不存在)，

(3)如果在点x0的邻域内，f′(x)不变号，则x0不是f (x)的极值点。

如果函数在某驻点具有二阶导数，也可用极值的第二充分条件判断。

求极值的步骤如下：

(1) 求函数f (x)的定义域，并求导数f′(x); (2) 求驻点和不可导的点; (3) 利用定理1确定函数的极值点; (4) 求出各极值点的函数值，得到函数的极值。

2. 求最值的方法

求函数的最值的一般步骤为：

(1) 求函数的导数，求出驻点，并求出不可导的点;

(2) 求出第 (1) 步所得各点的函数值和该函数定义域端点处的函数值;

(3) 比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

例1.(1988年考研题)设y=f (x)是方程y″-2y′+4y=0的一个解，且f (x0)>0, f′(x0)=0，则函数f (x)在x0点处()。

A.取得极大值 B.取得极小值

C.某邻域内单调递增 D.某邻域内单调减少

分析：从表面看此题是微分方程的问题，如果从微分方程入手，那就步入误区。从结论看是极值问题。因为y″-2y′+4y=0，所以f″(x0)-2f′(x0)+4f (x0)=0，且f′(x0)=0, f (x0)>0，那么f″(x0)=2f′(x0)-4f (x0)=-4f (x0)<0由极值第二充分条件可知f (x)在x0取得极大值。选(A)。

例2.(2009年数2考研题)函数y=x2x在区间(0, 1]上的最小值为%%%%。

解： (1) 先求驻点。

二、求多元函数的极值和最值

1. 求多元函数的极值的方法

定理2：设函数z=(x1, x2，…，xn)在p0点具有直到二阶的连续偏导数，且p0点是函数的稳定点，函数在p0点的Hessian矩阵为：

(1) 若H (p0) 为正定的, 则f在p0取得极小值;

(2) 若H (p0) 为负定的, 则f在p0取得极大值;

(3) 若H (p0) 为不定的, 则f在p0无极值。

定理3(二元函数极值充分条件)：设函数z=f (x, y)在(x0, y0)点具有直到二阶的连续偏导数，且(x0, y0)点是函数的稳定点，令A=f″xx (x0, y0), B=f″xy (x0, y0), C=f″yy (x0, y0)。

(1)若AC-B2>0, A>0，则f在(x0, y0)取得极小值f (x0, y0);若AC-B2>0, A<0，则f在(x0, y0)取得极大值f (x0, y0);

(2) AC-B2<0, 则f在 (x0, y0) 出无极值;

(3) 若AC-B2=0, 则不能判断。

2. 求多元函数最值的方法

求函数的最值的一般步骤为：

(1) 求函数所有驻点和至少有一个偏导数存在的点的函数值;

(2) 求函数定义域的边界上的最大值和最小值;

(3) 比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

例3.(2009年数1考研题)求二元函数f (x, y)=x2 (2+y2)+ylny的极值。

解：先求函数的驻点，解方程组：

由于(下面利用定理3判断)A=f″xx (x, y)=2 (2+y2), B=f″xy (x, y)=4xy, ，于是：

例4. (2005年数4考研题) 求f (x, y) =x2-y2+2在椭圆域上的最大值和最小值。

分析：f (x, y)在椭圆域上的最大值和最小值，可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到。因此 (1) 求驻点及其函数值; (2) 求边界上的极值。

f″f′解：求函数的驻点。解方程组，得驻点(0, 0)，且f (0, 0)=2。

求函数在边界上的极值 (有下面的三种方法) 。

方法1:条件极值法。令拉格朗日函数为:

4解:F′x=鄣f鄣x+2λx=2 (1+λ) x=0F′y=鄣f鄣y+λy2=-2y+12λy=0F′λ=x2+y24-1=鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣0得可能极值点x=0, y=2, λ=4;x=0, y=-2, λ=4;x=1, y=0, λ=-1;x=-1, y=0, λ=-1。代入f (x, y) 得f (0, ±2) =-2, f (±1, 0) =3, 可见z=f (x, y) 在区域D={ (x, y) |x2+y24≤1}内的最大值为3, 最小值为-2。

方法2:三角换元法。令x=cost, y=2sint, 则:

当t=kπ时, 即x=±1, y=0时, f (x, y) 在边界上取得极大值f (±1, 0) =3。

当时，即x=0, y=±2时，f (x, y)在边界上取得极小值f (0，±2)=-2。

可见z=f (x, y)在区域内的最大值为3，最小值为-2。

方法3：代入法。即y2=4-4x2代入f (x, y)中得f (x, y)=5x2-2，转化为一元函数求极值(略)。

三、条件极值问题

条件极值问题：在Gk (x1, x2，…，xn)=0 (k=1, 2，…，m.m

拉格朗日乘数法是在求多元函数条件极值中最常用的一种方法，下面具体地来看看这种方法。

若f (x1, x2, …, xn) 及Gk (x1, x2, …, xn) =0 (k=1, 2, …, m.m

步骤：

(1) 构造拉格朗日函数：

(2) 解方程组

例5.(2008年数2考研题)求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值。

解：(本题求多元函数的条件最值，利用拉格朗日乘数法求解)

拉格朗日函数为：

驻点P1(-2，-2, 8), P2 (1, 1, 2)。

故所求的最大值为72，最小值为6。

以上以最近几年的硕士研究生入学试题为例探讨了函数极值和最值求解的主要方法。

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社, 1993.

[2]吴赣章.高等数学 (上、下) [M].中国人民大学出版社, 2006.

[3]张秀芳.多元函数条件极值的解法探讨[J].安徽电子信息职业技术学院学报, 2009, (3) .

二元函数求最值一例 篇3

设x, y为实数, 若4x2+y2+xy=1, 则2x+y的最大值是________.

此题可谓是一道二元函数求最值的经典题目.一数学杂志在一年内三次刊登该题的解法, 总共有17种之多.综观各种解法, 有些解法实际大同小异.而学生又是如何想到用这种方法解的, 我认为是教师在课堂上讲解、引导的关键.学数学最终是如何解决数学的问题, 如何把陌生的数学题化归为学生所熟悉的情景题, 并利用已有的知识给予解决, 是教师着重在备课时应该注意的问题.下面就此题引导学生分析时的思考, 与同行们交流.

一、从基本不等式角度分析

对于一个二次的约束条件4x2+y2+xy=1, 而求的是线性式2x+y的最值, 我们最容易想到的是均值不等式, 而均值不等式的关键在于配凑, 于是就有了高考的标准答案.

若对此题目略微变形, 则用均值不等式更方便.

二、从方程角度分析

若从方程的思想出发, 条件为二元二次方程, 令所求z=2x+y, 则y=z-2x, 代入方程, 可利用方程有解即判别式法, 求得z的取值范围.

三、从三角的角度分析

若对此方程的形式进行联想, 易知二次方程中的x, y换成-x, -y方程不变, 要求最大值只需在x, y≥0在时求得, 不难发现此形式与余弦定理类似, 于是可构造三角形, 利用三角函数的知识解决.

四、从函数角度分析

若转换成一元函数, 则可利用一元函数中的求最值方法, 同时也是学生容易想到的方法.

五、从几何的角度分析

与学生所熟悉的知识类似的有“已知圆或椭圆, 求二元线性的最值”, 此题可通过变形化归成所熟悉的类型, 于是就有了以下解法.

解法8上述也可换成圆的参数形式, 结合三角知识也可求得.

由以上不同的角度对题目的分析, 得到多种不同的解法, 由此对学生思维的广度和深度进行了很高的提炼, 锻炼了学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和创造性, 从而培养学生的思维品质及思维能力.

下面题目可一试:

妙用均值定理求多元函数的最值 篇4

在教学实践中, 学生一般都能用均值定理求一个变量的最值, 这只需按照“一正、二定、三等”六字诀即可搞定;但是, 对于含双元 (或两个以上) 的最值问题, 学生往往能列出式子, 但无法求出最值来!笔者的体会是, 不必拘泥于“定值”二字, 而应尝试用均值定理去“化积”、“化和”, 从而把这个非定值的积或和约分, 进而突破“瓶颈”, 使问题获解.举例说明如下:

例1 求函数$f(x‚y)=\frac{4x+y+4\sqrt{xy}}{x+y}(x‚y＞0)$的最大值.

分析 把积$4\sqrt{xy}$化为“和”x+4y, 使分子“凑出”5x+5y, 再约去x+y即求出最值.

解$4\sqrt{xy}=2\sqrt{x\cdot 4y}\le x+4y$,

故$f(x‚y)\le \frac{4x+y+(x+4y)}{x+y}=5.$

所以函数f (x) 的最大值为5, 当且仅当x=4y时取得.

例2 △ABC的三边a, b, c依次成等比数列, 求角B的取值范围.

分析 由b2=ac, 得$\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-ac}{2ac}$.注意到分式中的“积”, 我们把a2+c2化为“积”2ac即可求出最值.

解 因为b2=ac, a2+c2≥2ac, 所以

$\begin{array}{l}\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-ac}{2ac}\\ \ge \frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}.\end{array}$

又B∈ (0, π) , 故$B\in \left(0‚\frac{\text{π}}{3}\right].$

例3 用长为l的铁丝围成直角三角形的三边, 求直角三角形的最大面积.

分析 设直角边长分别为x, y (x, y>0) , 面积为S, 则$l=x+y+\sqrt{x{}^2+y{}^2},S=\frac{1}{2}xy$.注意到求“积”的最值, 我们把x+y和x2+y2分别化“积”$2\sqrt{xy}$和2xy即可巧妙求出最值.

$\begin{array}{l}\text{解}l=x+y+\sqrt{x{}^2+y{}^2}\\ \ge 2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}=2\sqrt{2S}+\sqrt{4S}‚\end{array}$

得$S\le \frac{3-2\sqrt{2}}{4}l{}^2.$

所以S的最大值为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}l{}^2$, 当且仅当$x=y=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}l$, 即等腰直角三角形时取得.

例4 有一块半径为r, 圆心角为60°的扇形木板, 现欲按如图1锯出一矩形桌面再利用, 求此桌面

的最大面积.

分析 设矩形MNPQ的边长MN=x, NP=y, 则S=xy, Rt△OMQ中, ${\rm O}{\rm M}={\rm M}Q\cdot \cot 60°=\frac{\sqrt{3}}{3}y$;Rt△OPN中, OP2=ON2+NP2, 即

$r{}^2=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{3}y\right){}^2+y{}^2=x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy.$

将$x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2$化“积”即得最值.

解 如图1, 设MN=x, NP=y, 则S=xy, 且

$\begin{array}{l}r{}^2=(x+y\cdot \cot 60°){}^2+y{}^2=x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy\\ \ge 2x\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy=2\sqrt{3}S.\end{array}$

所以$S\le \frac{\sqrt{3}}{6}r{}^2$, 即桌面的最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}r{}^2$, 当且仅当$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}y$, 即当$x=\frac{\sqrt{3}}{3}r‚y=\frac{r}{2}$, 此时点P恰为弧AB的中点时取得最值.

求三角函数最值有法可循 篇5

1.利用正、余弦函数的有界性

(1) y=asinx+b或y=acosx+b型函数, 利用三角函数的值域, 须注意对字母的讨论.

例1求函数y=2-3sinx的值域.

(3) y=acos2 x-2sinxcosx-sin2 x型函数, 降幂后用辅助角公式可化为

例3求函数y=cos2 x-2sinxcosxsin2 x的值域.

2.化为区间上的二次函数y=at2+bt+c

例6求y=sinx+cosx+sinxcosx的最值.

3.利用其它方法求解 (如判别式、均值不等式、单调性、导数等)

(1) 利用判别式求函数最值

(2) 利用均值不等式求函数最值

(3) 利用函数单调性求函数最值

(4) 利用导数求函数的最值

利用平均不等式求函数的最值 篇6

如果a, b是正数, 那么 (当且仅当a=b时取“=”号) , 我们称a+b/2为a, b的算术平均数, 称 为a, b的几何平均数。

因此这一定理可以叙述为, 两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数。

本定理还可以按数列的方式来描述:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。其中看做是正数的等差中项, 看做是正数的等比中项。

均值定理的作用:

本定理的作用在于利用“≥”号来解决函数的最值问题。

例一:求证在周长一定的矩形中, 以正方形的面积为最大.

说明:设矩形的边长为a, b, 周长为定值P, 面积为S。则有2 (a+b) =P, 即a+b=P/2定值) , S=a·b由平均不等式得: , 两边平方得 (定值) , 即面积S永远不会大于P2/16, 只有在a=b时, S才能等于P2/16。

从而证明了在周长一定的矩形中, 以正方形的面积为最大。

例二:设a>0, b>0证明f (x) =ax+b/x在x>0的区间上, 当 时f (x) 有最小值 。

证明:因为a>0, b>0, x>0所以ax>0, b/x>0, 由平均不等式得 (常数) 。

即f (x) 永远不少于 , 仅在ax=-b/x时等号成立, 也就是此时f (x) 有最小值: 。

例三:已知a, b, c, d均为正数, 求证:

证明:由于a, b, c, d均为正数, 则

因为 ,

即 (ab+cd) (ac+bd) ≥4abcd。

例四:某工厂生产一批无盖圆柱形桶, 其容积是3/2mm2, 做底的材料3元/m2, 做侧面的材料2元/m2, 按照怎样的尺寸制造, 才能使成本最低?

解:设圆桶的底半经为rm, 高为hm, 圆桶的成本为S元, 则依题意有:πr2h=3/2π, h=3/2r2, S=3πr2+2·2πrh。

将h=3/2r2代入S, 则有

=9π (常数) 。

可以看出S≥9π, 若使S最小, 只需要上式取等号方成立。

即当3πr2=3π/r+3π/r时, 等号成立。

r=1时S最小。

也就是当底半径r=1 m, 高h=23m时, 圆桶成本最低。

注意的问题:

高等方法求函数最值 篇7

例.已知x>0, y>0, 且 , 求x+y的最小值

分析:本题是求和的最小值, 要找积为定值, 困难在于如何利用条件 , 对条件 从不同的角度进行分析就可以得到不同的解决问题的方法

解法一:整体地利用条件, 灵活运用“1”进行代换, 在x+y上乘以“1”展开构造 的形式, 两者的积 是定值

当且仅当 , 即x=, y=12时, 上式等号成立, 故当x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法二:将原式变形构造x+y= (x-1) + (y-9) +10, 两者的积 (x-1) (y-9) =9是定值

由 得 (x-1) (y-9) =9 (定值) , 又知x>1, y>9,

所以, x+y= (x-1) + (y-9) +10莛2姨9+10=16

当且仅当x-1=y-9=3, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法三:由结构特点联想到三角函数公式, 将原式换元变形x+y=coc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19, 而cot2θ·9tan2θ=9是定值

则:x+y=csc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19莛2姨9+10=16,

当且仅当 , 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法四:将二元函数转化为一元函数,

当且仅当 (x-1) 2=9, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

由此可见, 利用均值不等式求最值时, 要进行巧妙地分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式是关键。若多次利用均值不等式求最值, 必须保持每次取“=”号的一致性, 否则就会出错.

请同学们分析下面的解法错在何处?

当然本题也可以利用判别式法和数形结合法求解, 请同学们自己去探索。

以下几道题, 请同学们试试:

1.已知不等式 对任意正实数x, y恒成立, 则正实数a的最小值为 ()

A.2 B.4 C.6 D.8

2.已知两正数x, y满足, 则取最小值时的值分别为 ()

A.5, 5 B.10, C.10, 5 D.10, 10

3.设x、y为正实数, 且xy- (x+y) =1, 则 ()

4.已知a>b>0, 求 的最小值

解析:

1.选B

2.由x+y+5=xy得 , 再利用二次函数求xy的最小值, 当且仅当 时xy取到最小值, 求得