二元函数极限计算方法研究

2024-09-29

二元函数极限计算方法研究（共12篇）

二元函数极限计算方法研究篇1

2 证明函数极限的不存在性

证明:对任意常数k, 显然

当沿y轴方向时有

故f (x, y) 在点 (0, 0) 处没有极限。

3 求二元函数的极限

此类题型相对较多些, 其解决方法也比较多样化一些, 归纳起来大体有以下几种解答方法:

3.1 定义法

用得较少, 适用于事先已经极限值的计算证明, 类似于一类题型。

3.2 公式法

将二元函数转化为一元函数, 再利用一元函数已有的公式进行求解, 或采用等价代换、无穷小量与有界量乘积等于无穷小量等来解决。比较常用的公式有:

解:利用极限的四则运算及已知极限的公式得

3.3 利用函数的连续性

3.4 夹逼准则 (一元函数中所使用的夹逼准则依然适用与二元函数)

3.5 极坐标代换

所以此题正确解答应该为:

相对于一元函数而言, 二元函数由于区域的多维性, 其极限问题也相对复杂些, 抓住二元函数中时, 是以任何方式 (包括直线路径, 也包括曲线路径) 趋近的, 仔细分析探讨, 也会得到好的解答。

摘要：二元函数的极限较一元函数复杂, 本文专门针对二元函数的极限作了较详细的探讨, 对可能涉及的几种常见题型都进行了分析探讨, 并给出了相应有效的解决方法, 以解答学生在学习的过程中碰到的各种问题给予帮助。

关键词：二元函数,极限,不存在性,连续性

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2000:121-130.

[2]刘国钧.微积分学习指导[M].武汉:华中科技大学出版社, 2009:222-257.

复变函数求极限的方法篇2

关键词复变函数极限方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求。

解由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以在点 z=0连续,从而。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求。

解显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是的可去奇点、极点和本性奇点,则分别为、和既不存在也不为。

例5 求。

解因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

求函数极限的常用方法篇3

袁得芝

函数极限是描述当x→x0或x→∞时函数的变化趋势，求函数极限，常用函数极限的四则运算法则和两个重要结论limnnlim1xx0，0.涉及到单侧极限与nxx0xx

双侧极限的关系问题时，一般运用两个命题：limlimlimf(x)f(x)af(x)axxx和limlimlimf(x)f(x)af(x)a予以解决。现就常见题型及解xxxxx00

法举例如下：

1、分子分母均是x的多项式时，x∞的极限，分式呈现“”型

lima0alxklak例1 求极限（其中ai、bi）为与x无关的常数，k、l、xb0xlblxllbk

为整数且(a0≠b0≠0).a0b(当lk)

0

解：原式=0(当l＞)

不存在(当l＜)

注：本例的一般性结论是：若分子、分母中的x的最高次幂相同时，则极限等于它们的最高次项的系数比；若分子中x的最高次幂低于分母中x的最高次幂则极限为零；反之极限不存在。

2、分子分母都是x的多项式时，x→x0的极限，分式呈现“0”型 0

x21lim例2，求极限 2x12xx

1解：limx21

x12x2x1

lim(x1)(x1)x1(2x1)(x1)limx12。x12x1

3注：因lim

xx0f(x)a，这是从x趋向x0的无限变化过程来看f(x)的变化趋

势的，它对于x0是否属于函数f(x)的定义域不作要求，故求解此类题目常采用分解因式，再约去公因式，使之能运用法则求极限的方法。

3、含有根式的一类式予，由x的变化趋势，呈“∞→∞”型

例3．求极限：lim(x21x24x)。x

lim解：(x21x24x)x

lim14x xx21x24x

14lim2。x142xx

注：分子或分母有理化是常采用的方法。

4、已知函数的极限，求参数的范围

例4：已知：limax2bx

1x1x13，求a、b.解：当x=1时分母为零，故ax2+bx+1中必有x-1这样的因式，由多项式除法可知ax2+bx+1除以 x-1商式为ax+a+b，余式为a+b+1。

∴a+b+1=0①

∴limax2bx

1x1x1lim(x1)(axab)x1x1

lim(axab)2ab。x1

∴2a+b=3②

ab10解方程组

2ab3① ②

a4可得

b

5注：这是一个已知函数极限要确定函数解析式的逆向思维问题，应灵活使用运算法则。

5、涉及单侧极限与双侧极限的问题

例5．求函数f(x)=1+

限。|x1|在x=-1处的左右极限，并说明在x=-1处是否有极x1

limlimx1解：f(x)(1)2，x1x1x1

limlim(x1)f(x)(1)0 x1x1x1

limlim∵f(x)f(x)，x1x1

∵f（x）在x=-1处的极限不存在。

注：本例是

limlimlimf(x)af(x)f(x)a的直接应用。xx0xx0xx0

函数极限的证明篇4

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

极限计算方法及例题篇5

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a0)；极限严格定义证明，例如：lim

n当an0，|q|1时nlim(3x1)5；limq；等等 nx2不存在，当|q|1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

f(x)

g(x)AB（3）lim,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limsinx

xx01

11xxlim(1)elim(1x)e（2）；xxx0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx01，lim(12x)x02xe，lim(1x3)3e；等等。xx

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e

1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

xx0

存在时，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

xx0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

xx0，即lim

f(x)g(x)

xx0

=lim

xx0。

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：

（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）lim

f(x)g(x)

存在（或是无穷大）；

则极限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f(x)g(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f(x)g(x)。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

”型或“



”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕

后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注

意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间

内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

n

则极限limxn

n一定存在，且极限值也是a，即limxn

na。

二、求极限方法举例

1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1lim

3x12x1

x

1)2



2解：原式=lim

(3x1lim

3x3



3x1

(x1)(3x12)

x1

(x1)(3x12)。

注：本题也可以用洛比达法则。例2lim

n(n2

n1)n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

解：原式=limn

n2

n1

lim

3

3n

1

212

n



例3 lim

(1)n3n

n

3

(1上下同除以3

n)n

1解：原式



lim3

1n(2。3)n

12．利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2

x2

解：因为x2

02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=22

e24e。3．利用两个重要极限求极限

例5 lim

1cosxx0

2sin

x2sin

解：原式=lim221

x0

lim

x012(x6。

22)。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 lim(13sinx)x

x0

16sinx

6sinx

解：原式=lim(13sinx)

3sinx

lim[(13sinx)3sinx]

x0

例7 lim（n2n

n

n1)

3n13n

n1

3n解：原式=lim(1

3

n1



33

]n1

e

3

n

n1)lim[(1n

n1)

4．利用定理2求极限

例8 limx2

sin

1x0

解：原式=0（定理2的结果）。5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 lim

xln(13x)x0

arctan（x2)

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 原式=lim

x3xx

3。

x0

x例10 lim

ee

sinx

x0

xsinx

sinx

(exsinx

1)

sinx

解：原式=lim

xsinx)

x0

xsinx

lim

e(x0

xsinx

1。

注：下面的解法是错误的： xsinx

原式=lim

(e1)(e

1)

lim

xsinx1x0

xsinx

x0

xsinx。

正如下面例题解法错误一样：lim

tanxsinx

lim

xx0x0

x0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x0

sinx

e

6。

解：当x0时，x2sin

是无穷小，tan(xsin

1x)与xsin

等价，xsin

所以，原式=lim

x0

xlimxsin10

。（最后一步用到定理2）

x0xx

6．利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 lim

1cosx3x

x0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x0



。（最后一步用到了重要极限）

cos

例13 lim

x1

x

x1



sin

1x



。2

解：原式=lim

x1

例14 lim

xsinxx

x0

解：原式=lim

1cosx3x

x0

=lim

sinx6x

x0



。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15 lim解：

sinxxcosx

xsinx

x0

原式lim

lim

sinxxcosx

xxxsinx3x

x0

lim

cosx(cosxxsinx)

x0



3例18 lim[

x0



1ln(1x)

]

解：错误解法：原式=lim[

x0



]0。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xxln(1x)11x2x

1

x0

lim

x0

ln(1x)x

xx

lim

x0

lim

x2x(1x)

x0



12。

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 lim

x2sinx3xcosx

x

解：易见：该极限是“

”型，但用洛比达法则后得到：lim

12cosx3sinx

x，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

1

原式=lim

x

2sinx

（分子、分母同时除以x）cosxx

3

（利用定理1和定理2）

7．利用极限存在准则求极限

例20 已知x1

2,xn1

2xn,(n1,2,)，求limxn

n

解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0<设

xn<2），由准则1极限limxn存在，n

limxna。对已知的递推公式 xn1

n

2xn两边求极限，得：

a所以

2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

limxn2。n

1n1nnn

n

例21 lim(

1n2



1nn)

1nn

解：易见：

n1



1n2



nn1

因为 limn

nnn

1，lim

nn1



n

1

1nn

所以由准则2得：lim（n

n1

n2

二元函数极限计算方法研究篇6

高等数学中,关于多元函数的极限问题,我们主要讨论了二元函数的极限。二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的,但与一元函数极限又有着本质上的差异,其概念更抽象,更难理解,初学者很容易犯一些概念性的错误,因此,在教学过程中需要加强学生对二元函数极限概念的理解。

1 二重极限的定义

注意:所谓二重极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数A。这是与一元函数极限的本质区别。

由于二元函数的极限与一元函数的极限具有类似的性质和运算法则,因此在教学的过程中,对于二重极限的求法一般不会大篇幅的讲解,经常是利用一元函数求极限的方法直接推广到二元函数,比如,夹逼准则,有界函数和无穷小量的乘积仍是无穷小量,等价无穷小替换,分子分母有理化等,但是,在具体的求解过程中,学生们经常会忽略二元函数极限中趋近方式的任意性和函数的定义域,出现一些错误的解法。

2 常见错误举例和分析

下面举例来说明。

下面将例1稍加改动,求解过程不变,我们会发现此解法是没有问题的。

例2在求解极限的过程中,问题和例1一样,定义域的范围缩小了,但是我们发现,当(x,y)→(0,2)时,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点时,动点P(x,y)以可能有的任何路径趋于定点(0,2)时,前者求极限时也可以去掉沿x轴趋于点(0,2),因此,对于例2解法是没有问题的。

从上面两个例子我们可以看到,如果对二元函数极限存在的定义理解的不是很清楚,那么在具体求解二元函数的极限时就会出现一些错误的解法。

为了避免例1出现的问题,下面用夹逼准则或者等价无穷小替换来给出例1正确的解法:

注意,上述方法也可以来求解例2。

类似的例子还有很多,比如如果用例1的方法来求极限都会出现相同的问题,在求解的时候凑项使得函数的定义域缩小,在小的范围成立的结果并不能保证在大的定义域范围内结果也成立,根据二重极限的定义,要求动点P(x,y)以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数,上面的做法缺少了一些路径,因此,解法是不严谨的,正确的方法是用夹逼准则或者等价无穷小来计算。

分析:当x=ρcosθ,y=ρsinθ时,动点(x,y)是沿着任意给定的直线方向趋近(0,0),该函数都趋于同一常数0,但并不能保证动点(x,y)沿着任意路径趋近(0,0)时的极限存在并且相等,由二重极限的定义,不能推出。

事实上,,其值随k的不同而变化,故极限不存在。

3 结论

总之,多元函数求极限比一元函数求极限复杂的多,二元函数的极限存在要求动点以可能有的任何方式趋近与固定点时的极限都存在并且相等,因此,在教学中,让学生充分认识到二元函数极限存在的本质,避免一些错误的解法。

摘要：二重极限是高等数学中的一个重要内容,对于初学者来说,由于二元函数的变量有两个,求二元函数的极限存在一定的困难和误区。本文给出了几个常见的错误解法并给出了正确的求法。

关键词：二重极限,定义域,常见错误

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M].五版.北京:高等教育出版社,2002.

[2]李应岐,方晓峰,王静,等.高等数学疑难问题解析[M].北京:国防工业出版社,2014.

[3]陈传璋,金福临,朱学炎,等.数学分析(下册)[M].二版.北京:高等教育出版社,1999.

二元函数极限计算方法研究篇7

第二节数列的极限

一、单项选择题

1.数列极限limynA的几何意义是n

A．在点A的某一邻域内部含有{yn}中的无穷多个点

B.在点A的某一邻域外部含有{yn}中的无穷多个点

C.在点A的任何一个邻域外部含有{yn}中的无穷多个点

D.在点A的任何一个邻域外部至多含有{yn}中的有限多个点

2.limynA的等价定义是n

A.对于任意0及K0，总存在正整数N，使得当nN时，ynAK

B.对于某个充分小的0，总存在正整数N，使得当nN时，ynA

C.对于任意正整数N，总存在0，使得当nN时，ynA

D.对于某个正整数N，总存在0，使得当nN时，ynA

3.“对任意给定的(0,1)，总存在正整数N，当nN时，恒有xna”是数列xn收敛于a的C条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 ﹡

二、利用数列极限的定义证明:lim

证明：对0，要使1cosn0.nn21cosn1cosn20，只需n.nnn

1cosn1cosn20,取N，0.则当nN时，就有所以lim0成立，nnn

3高等数学(1)标准化作业题参考答案—2班级姓名学号

第三节函数的极限

一、单项选择题

1.极限limf(x)A定义中与的关系为xx0

A.先给定，后唯一确定B.先给定后确定,但的值不唯一

C.先确定，后确定D.与无关

2.若函数f(x)在某点x0极限存在，则A.f(x)在点x0的函数值必存在且等于该点极限值

B.f(x)在点x0的函数值必存在,但不一定等于该点极限值

C.f(x)在点x0的函数值可以不存在D.若f(x)在点x0的函数值存在，必等于该点极限值

3.以下结论正确的是C.A.若limf(x)A0，则f(x)0 xx0

B.若limf(x)A0，则必存在0，使当xx0时，有f(x)0 xx0

C.若limf(x)A0，则必存在0，使当0xx0时，有f(x)xx0A

2D.若在x0的某邻域内f(x)g(x)，则limf(x)limg(x)xx0xx0

4.极限limx0xx

A.1B.1C.0D.不存在x2x65.﹡

二、利用函数极限的定义证明:limx3x3

x2x6证明： 0，要使5x3，只需取，则当0x3时，x3

多元函数的极限与连续篇8

第16章

多元函数的极限与连续

计划课时：

0 时

第16章

多元函数的极限与连续(1 0 时)

§ 1

平面点集与多元函数

一.平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.1.常见平面点集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}，{(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域: X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.3．点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:

（1）内点、外点和界点：

内点：存在U(A)使U(A)E

集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)E

界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为E

集合的内点E, 外点E , 界点不定.例1 确定集E{(x,y)|0(x1)(y2)1 }的内点、外点集和边界.例2 E{(x,y)|0yD(x), x[ 0 , 1 ] } , D(x)为Dirichlet函数.确定集E的内点、外点和界点集.（2）(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:

聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。

孤立点：AE但不是聚点。孤立点必为界点.例3 E{(x,y)|ysin }.确定集E的聚点集.解

E的聚点集E[ 1 , 1 ].221x 2 4．区域：

（1）(以包含不包含边界分为)开集和闭集: intE E时称E为开集 , E的聚点集E时称E为闭集.intE 存在非开非闭集.（3）有界集与无界集:

（4）

点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）或(P1,P2)R2和空集为既开又闭集.（2）(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.(P1,P3)(P2,P3)

二.R2中的完备性定理:

1．点列的极限:

设Pn(xn , yn)R2, P0(x0 , y0)R2.PnP0的定义(用邻域语言)

定义1。

limn0,N,nNPnU(P0,)或(P0,Pn)

例4(xn , yn)(x0 , y0)xnx0, yny0,(n).例5 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.n

2．R2中的完备性定理：

（1）Cauchy收敛准则:

.（2）.闭域套定理:（3）.聚点原理: 列紧性，Weierstrass聚点原理.（4）有限复盖定理:

三．二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域：例6 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.二元函数求值: 例7 例8 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.2ln(yx1)yf(x,y)2x3y2, 求 f(1 , 1), f(1 ,).xf(x,y)ln(1x2y2), 求f(cos , sin).4.三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: f(x,y)f(y,x),例8中的函数变量对称.⑵ 变量分离型函数: f(x,y)(x)(y).例如

zxye2x3y, zxy2xy2, f(x,y)(xyy)(xyx)等.(xy)2 4 但函数zxy不是变量分离型函数.⑶ 具有奇、偶性的函数

四．n元函数

二元函数推广维空间记作R n

作业 P9—8.§ 2 二元函数的极限

一.二重极限

二重极限亦称为全面极限

1.二重极限

定义1 设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是确定数若 0,0,或

2PU0(P0,)D,f(P)A则limf(P)A

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0例3 x2y2,(x,y)(0,0),xyf(x,y)x2y2

0 ,(x,y)(0,0).f(x,y)0.(用极坐标变换)

P94 E2.证明

(x,y)(0,0)lim2.归结原则：

定理 1

limf(P)A, 

对D的每一个子集E , 只要点P0是E的聚点 , PP0PD就有limf(P)A.PP0PE

推论1

设E1D, P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在 , 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD

推论2

设E1,E2D, P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1，PP0PE1PP0PE2limf(P)A2, 但A1A2, 则极限limf(P)不存在.PP0PDPP0PD

推论3

极限limf(P)存在,  对D内任一点列{ Pn }, PnP0但PnP0, 数列{f(Pn)}收敛.通常为证明极限limf(P)不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限PP0不相等, 或证明极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在

例4 xy ,(x,y)(0,0), 证明极限limf(x,y)不存在.f(x,y)x2y2(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).6 例二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>

(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>

3．极限(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxy(x,y)(x0,y0)limf(x,y)的定义:

2定义2．设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，若 M0,0,或

PU0(P0,)D,f(P)M则limf(P)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)

其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y二.累次极限

二次极限

1.累次极限的定义:

定义3．设Ex,EyR,x0,y0分别是Ex,Ey的聚点，二元函数f在集合ExEy上有定义。若对每一个yEyyy0存在极限limf(x,y)

记作(y)limf(x,y)

xx0xExx0xE若Llim(y)存在，则称此极限为二元函数f先对x后对y的累次极限

yy0yEy记作Llimlim(y)

简记Llimlim(y)

yy0xx0yEyxExyy0xx0例8 f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.x2y2 7 例9 x2y2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.f(x,y)22xy11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.yx例10 f(x,y)xsin2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1在点(0 , 0)的情况.y

⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例10中的函数, 由 , y)(0,0).可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)

二重极限存在.(参阅例4和例8).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.定理2 若二重极限

推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等.推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 

二重极限不存在.参阅⑵的例.(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 则必相等.xx0yy0

作业提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函数的连续性(4 时)

一．二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

定义

用邻域语言定义相对连续.全面连续.函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.例1 xy22 , xy0 ,22xy

f(x,y)m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例2

f(x,y)

([1]P124 E4)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.函数在区域上的连续性.2.二元连续(即全面连续)和单元连续 :

定义

(单元连续)

二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P132 图16—9.3.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.二元初等函数及其连续性:

二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.三.一致连续性: 定义.四.有界闭区域上连续函数的性质:

1.有界性与最值性.(证)

2.一致连续性.(证)

3.介值性与零点定理.(证)

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

函数与极限测试题答疑篇9

一、选择题（7×4分）

x,1．设f(x)2x,x0,g(x)5x4，则f[g(0)]-------------------（D）x0

A 16B 4C 4D 16 注：中学基本问题，应拿分！

2．函数yf(x)的增量yf(xx)f(x)--（C）

A 一定大于0B一定小于0C不一定大于0D一定不大于0 注：中学基本问题，应拿分！

3． lim(13x)2x---------（C）x0

3A e6B e3C e2D e6 注：重要极限基本问题，应拿分！

4．当x0,2tanx是关于sin2x的---------------（C）

A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但非等价无穷小注：无穷小比较基本问题，应拿分！

5． x4是f(x)sin(x4)

x162的----------------------（B）

A跳跃间断点B可去间断点C第二类间断点D连续点注：间断点类型基本判定问题，应拿分！

x4应选何答案？

xsinx

x26．曲线y2的水平渐近线方程为-----（B）

A x2B y2C x2D y2 注：水平渐近线方程基本问题，应拿分！

7．函数yf(x)在x0处有定义是yf(x)在x0处有极限的-----------------（D）

A 充分但非必要条件B 必要但非充分条件

C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件

注：函数yf(x)在x0处有定义与有极限的基本关系问题，应拿分！

二、填空题（3×4分）

1．lim

(2n1)(3n1)

(6n1)

n



1108

.注：的基本计算问题，分子分母比较最大项，应拿分！

ln(12x),x0x2．若函数y连续，则a2.3xa,x0

注：函数连续的基本问题，应拿分！3．已知：lim

xbx51x

x

1a，则a4，b6.注：极限的逆问题，有一定难度！

由lim(xbx5)0，得b6，进而有a

4x1

三、计算题（4×7分）

arctanxe





1．lim

x

2

21

11x

注：极限定式的基本问题，应拿分！2．lim（x

x2x1

x)2=ex

2lim

ln(1

11x

ln(1))

0

ex21xe2

lim

x11

注：极限1的基本问题，应拿分！3．lim(x

x

xx)lim

xxlim

11

1x1



xx

注：极限的基本问题，尽管例题未讲，但处理方法讲过，化为比式，应拿分！4．lim



tanx

sinx

x0

lim

x0

tanxsinx

x12

xlim

x0

lim

tanxsinx

x00

x0



lim

tanx(1cosx)

x0



注：极限的综合问题，有一定难度！

1tanx

1错误解法：原式lim

尽管得数正确，但分子两个局部等价无法保证整个分子也等价！

x0

limsinx



四、（9分）设y

e1e

x,（1）求函数的间断点并判断其类型；

（2）求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。

解：（1）x0是非定义点，一定是间断点，又limf(x)，所以x0为第二类间断点

x0

（2）因limf(x)，则x0为铅直渐近线

x0

又 limf(x)1，limf(x)1所以 y1，y1为其水平渐近线

x

x

注：极限应用的综合问题，但难度不大！

2五、（8分）当x0时，x1与1cos

ax互为等价无穷小，求a值。

解：因为

x1~

3x，1cos

2，则

1lim

x0

22，所以a lim32

x0ax3a3x

注：极限的逆问题，但难度不大！错误解法：因为

x1~

x，1cos

ax2

又11cos，故想一想，该方法为何错？

x

ax2，所以a

六、（8分）把长为a的线段AB分为n等分，以每个小段为底做底角为等腰的两腰组成一折线，试求当n无限增大时所得折线长的极限。解：lim2n.n

2n的等腰，这些



a2n

sec

2

a n

注：极限的基本建模问题，应拿分！请解决下列问题：

1、半径为r的圆内接正n边形，试求当n无限增大时，其边长与面积的极限。

2、根据药物动力学理论，一次静脉注射剂量为D0的药物后，经过时间t，体内血药浓度为V

（1）试求n次注射后体内血药浓度Cnt与第n次注射后的时间t的关系。Ct

kt，其中k0为消除速率常数，V为表观分布容积。若每隔时间r注射一次，（2）随着n的无限增大，血药浓度是否会无限上升呢？

七、（7分）（二题可以选作一题）（1）求lim（n





2n)n

（2）求证：方程x2sinx在（,)内至少有一实根

（1









而lim

n

1，lim

n

1

故由夹逼定理知原式1

注：和式极限的基本问题，利用和式分项中的最大项、最小项进行放缩，由夹逼定理完成，本题属提高题型中的简单题！

试用夹逼定理证明lim

n

0

（2）证明：令 f(x)x2sinx，其为在[

则f(x)在[

,]上连续，又f（,]上有定义的初等函数，)



20，f()00

故由零点存在定理知，在(即方程f(x)0在（

,)内至少存在一点，使得f()0,)内至少有一个根，证毕。

注：连续的基本性质问题，尽管未介绍，但其属于中学问题，理解上较容易，但在证明表述上有一定难度！

1、函数、极限、连续压缩打印版篇10

典型例题

题型一复合函数

2x2,|x|10,x0例

1、设f(x), g(x)，试求f[g(x)],g[f(x)].1,x0|x|2,|x|1

例

2、已知f(x1)的定义域为[0,1],，求f(2x3)的定义域.1例

3、设f(x)和g(x)互为反函数，则f[g(3x)]的反函数为(B)

211x1(A)g[f(3x)](B)f[2g(x)](C)g[2f()](D)2g[f(x)] 233

3111解：yf[g(3x)]，则g(3x)g(y)，即g(3x)2g(y)，于是3xf(2g(y))，即xf(2g(y))223

11故yf[g(3x)]的反函数为yf[g(3x)].22

题型二函数性态

例

1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)

2例

2、当x时，变量xcosx是(D)（注意函数的局部性质）

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界量(D)无界量

例

3、设limf(x)A，下列结论成立的是(C)xx0

(A)存在,当xU(x0,)时，f(x)A(B)则存在,当xU(x0,)时，f(x)A

(C)若A0,则存在,当xU(x0,)时，f(x)0

(D)若当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0.

注1：若limf(x)A，则对0，存在,当xU(x0,)时，总有Af(x)A（局部有界）.xx0

注2：若limf(x)A，当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0（局部保号）.xx0

x1在下列区间中有界的是(A)2x

1(A)(,1)(B)(,1)(C)(1,)(D)(1,)

注：若f(x)在(a,b)内连续，且f(a)A,f(b)B,则f(x)在(a,b)内有界.0题型三未定式计算（限于，0，1，另三种，0,00以后讲）0

例

1、求极限：

(2x1)4(x1)65x(x8x)（1）lim；（2）

；（3）； 10x0xx(x2)cot3x2xcsc2xlim(arctanx)lim(cosx)（4）limx2(xx)；（5）lim；（6）；（7）xxx0xcot5x0注：等价无穷小代换可在,0中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证0例

4、y

整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开注：limu(x)

v(x)1elimv(x)lnu(x)lnu(x)u(x)1limv(x)[u(x)1]ea.题型四极限存在题型

例

1、判断下列极限存在吗？

arctanxx

1(a1)lime；；（3）（4）lim

xax1x1x1xx0tan3x11x22n

2;（7）lim（5）（6）lim 

6662n1x2nx0nn2nnnnn

1n(n1)(2n1)122n2n(n1)(2n1)

提示：（6）因，则原式 

36n6n2n6nn62nn6n26n6n

（1）x)；（2）lim

x1

sinx2x4sin

1x,x1

1x

（7）lim1,x1

n1x2n

0,x1

注1： x时，xx，ax，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究x,x

x时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理

注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则

注5：极限函数f(x)limF(x,n)的求法，要注意对x取值范围的讨论，如xn,anx,arctannx等.n

nnam,其中ai0(i1,2,,m)。例

2、求lima1na

2n

ammana 提示：令maxaia，则aana1na2

1im

limm1，则原式=amaxai（本题的结论是一个常用结论）.n

1im

例

3、设xnznyn，且lim(ynxn)0,则limzn（C）

n

(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若limxnlimyna0，由夹逼定理可得limzna0，故不选A与D.n

n

取xn(1)n,yn(1)n,zn(1)n，则xnznyn，且lim(ynxn)0，但limzn 不存在，B选项不正确．

n

例

4、设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（B）

(A)若xn收敛，则f(xn)收敛(B)若xn单调，则f(xn)收敛(C)若f(xn)收敛，则xn收敛(D)若f(xn)单调，则xn收敛

n1n

提示：由于f(x)单调有界，则当xn单调时，数列f(xn)单调有界，从而f(xn) 收敛，故选（B）

例

5、设0x13,xn1xn(3xn)(n1,2,)，证明：数列{xn}极限存在并求此极限.证：由0x13，xn1xn(3xn)知，0xn3，132

2从而有xn1]，则xn上有界，22

xn(3xn)xnxn(32xn)

而xn1xnxn(3xn)xn=0，则xn单调增，xn(3xn)xnxn(3xn)xn

11知xn递增由单调有界准则，知limxn存在，不妨设 limxna

或者由

n

xn

1xn

31xn

33或a0（舍去），则 limxn.n22

注：对数列{xn}，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列{xn}的收敛性.将xn1

xn(3xn)两端取极限得aa(3a)，由此解得a

题型五极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例

1、已知当x1时,(2x)x2与a(x1)b(x1)2是等价无穷小,求a,b的值.(x1)ln2xlnx(2x)x2ex(ln2lnx)ln2

1解： lim2lim, 2lim

x1(x1)(abxb)x1a(x1)b(x1)2x1a(x1)b(x1)

2xlnxln2

2(1ln2)1,则a2(1ln2),显然bR.2lim

x1abxba

x21

例

2、求曲线y的渐近线方程.x

1解：limyx1为其铅直渐近线

x1

又lim

x

y1x1,lim(yx)lim1  yx1为其斜渐近线.xxx1x

注：记忆各类渐近线的确定方法：

①若x(或x,或x)，yb，称yb为yf(x)一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水

平渐近线；

②若xa(或xa,或xa)，y，称xa为yf(x)的一条铅直渐近线； ③若lim

xx()x

k0，lim[ykx]b，称ykxb为yf(x)的一条斜渐近线.xx

(x)x

例

3、试确定y

xtanx的间断点，并判断其类型.解：其间断点为xk,k



（kz）

y0xklim

xk

2xk



为其可去间断点；

又 limy，此时k0， xk（k0）为其第二类间断点

y1,limy1 x0为其跳跃间断点.而lim

x0

x

1x0e1

例

4、ysin3x试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。

x0

x

解：limy x1 为其铅直渐近线，且x1为其第二类间断点；

x

1x

limy1 y1为其水平渐近线；又limy0 y0为其水平渐近线；

x

而f(0)e,f(0)3，故x0为其第一类中的跳跃间断点.g(x)在xx0连续，例

5、求证：设f(x)在xx0间断，则f(x)g(x)在xx0间断。并举例说明f(x)g(x),f2(x),f(x)

在xx0可能连续.提示：设f(x)

0



1x0

g(x)sinx，g(x)在x0连续，f(x)g(x)f(x)sinx0在x0，则f(x)在x0间断，x0

x01

连续；若设f(x)，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续.1x0

注：“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件.三、课后练习

1、f(x)x1，f[g(x)]x，则g(x)(x1)3．



cosx，0x4

5

2、当0x2时，max{sinx,cosx}sinx，x．

44

5

cosx，x24

32x，x2

23、min{32x,x2

2x}x2x，2x2



32x，x2

4、与f(x)sgnx相同的函数为(B)

(A)(sgnx)2(B)sgn(sgnx)(C)sgnx(D)sgn(x)

0,x0

0,x0,

5、已知H(x)则H(x)H(x1) 1,0x1．

1,x0,0,x

1

2x6、设g(x)

x

27、设f(x)e

arcsinx

x0x

2，f(x)x0x2x2，则g[f(x)]x02x

x0

． x0，又f[g(x)]x1，则g(x)的定义域为[1e

n





,1e2]．

n

8、设an，bn，cn均为非负数列，且liman0，limbn1，limcn，则必有（D）(A)anbn对任意n成立(B)bncn对任意n成立(C)limancn不存在(D)limbncn不存在n

n

9、设xnayn,且lim(ynxn)0,则{xn}与{yn}(A)

n

(A)都收敛于a(B)都收敛，但不一定收敛于a(C)可能收敛，也可能发散(D)都发散

10、当x0时，1

1sin是(D)

2n

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界但非无穷小(D)无界但非无穷大

11、设数列xn与yn满足limxnyn0，则下列断言正确的是（D）(A)若xn发散，则yn必发散(B)若xn无界，则yn必有界(C)若xn有界，则yn必为无穷小(D)若

12、f(x)

为无穷小，则yn必为无穷小 xn

xsin(x2)

x(x1)(x2)

2(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)

在下列哪个区间内有界（A）

13、当x0时，(1cosx)ln(1x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比(ex1)高阶无穷小，则正整数n等于(B)

(A)1(B)2(C)3(D)4

14、对函数f(x)

212

11x

1x，点x0是（B）

(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)第二类间断点(D)连续点

15、设f(x)

x，则该函数图象具有（B）x

e

1(A)一条水平渐近线，一个可去间断点(B)一条水平渐近线，一个跳跃间断点(C)一条铅直渐近线，一个可去间断点(D)一条铅直渐近线，一个跳跃间断点

在(,)内连续，且limf(x)0，则（D）bxxae

(A)a0,b0(B)a0,b0(C)a0,b0(D)a0,b017、设f(x)和(x)在(,)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则（D）

(x)

(A)[f(x)]有间断点(B)[(x)]2有间断点(C)f[(x)]有间断点(D)有间断点

f(x)

16、设f(x)

18、求下列极限或判断极限的存在性：

axarctanxx3； lim(a1)（1）lim；（2）；（3）(/)(/)limxx)

xx0(1cosx)ln(x1x)2axx

3sinxx2cos

23lncosx21xx

ln（4）lim（5）；（6）2 ；； x0lncosxx0x0432xsinx3ln(1x4)n

1；（7）lim（8）limln(12)ln(1)3ln2；（9）lim8；

xxsinxnx0n1cos(1cosx)

n

111n22xexe2xenx12)x(nz)e2；（10）lim(12)e；（11）lim(sincos)e；（12）lim（nxx0nnxxn

1112cosxx1222

（13）lim3(（14）limx(aa)(a0)lna（15）lim(secx)xe；)1；

x0x0xx361

5xxx

（16）lim(n；（17）lim(123)3；（18）1；

xnn2sin2xe2ax1x0在(,)上连续，则a2．

19、若f(x)x

ax0

(n1)x20、设f(x)lim，则f(x)的间断点为x0．

nnx2

13(xn1)

21、x10，且xn1，证明limxn存在，并求limxnn

nxn

322、设0x13,xn1xn（n1,2,）证明limxn存在,并求limxn．

3n

n

23、若lim

ln2ln(1f(x)sin5x)

limf(x)1，则． x0x052x

1sin2x2enxcosx24、设 f(x)lim，则limf(x) 2．

x0nxenx

x2n1ax2bx25、设f(x)lim处处连续,求a,b的值.a0,b1 2nnx

x1ux)，其中(x1)(u1)0，求f(x)的连续区间，并指出其间断点类型.26、设f(x)lim（uxu

1提示：f(x)e

xx1，f(x)的连续区间为(,1)(1,)，x1为第二类间断点.27、设f(x)在(,)上有定义，f(x)在x0处连续，且对一切实数x1,x2，有

一次函数与二元一次方程(组) 篇11

组的解？___

班级：姓名：设计：高春梅编号：(2)当自变量x ,函数y=与学习目标： 1理解一次函数与二元一次方程（组）的关系。2掌握用一次函数图像求方程组的解的方法。3.大胆尝试，积极展示。学习重点：利用一次函数图像解二元一次方

程组和一些简单的实际问题。

学习难点：把函数和方程（组）有机结合起

来，灵活解决问题。

学习过程：

一．自学课本127——128页内容，完成： 1.y=3x+1这是什么？

①.____________ ②.____________ 2.对于方程3x+5y =8如何用x表示y?

【想一想】是不是任意一个二元一次方程都能转化为y=kx+b的形式呢？3.画出函数y＝2x-1的图象；在一次函数y＝2x-1的图象上任取一点（x，y）；则x ,y一定是方程 2x-y=1的解吗？______为什么？_____ ______________________。

【归纳】:（1）任意一个______方程都对一个一次函数，也就是对应________。（2）一次函数图象上的点的_____都是相

应的二元一次方程的解。

4.方程组可转化为两个一次

函数，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象。

这两条直线的交点是________，是方程组的解吗?______。【思考】是否任意两个一次函数的交点坐标

都是它们所对应的二元一次方程

y =的值相等? 这个函数值是多少? y=______。与解方程组是同一个问题吗？_______。【归纳】从函数的观点看解二元一次方组： ①.从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的坐标。

②.从“数”的角度看：解方程组相当于考虑当为何值时,两个相等以及这个函数值是何值。二．学以致用，展示提升。

1.以二元一次方程3x-y+5=0的解为坐标的点组成的图形与下列哪一个一次函数的图象完全相同（）

A y=3x-5B y=3x+5C y=-3x-5 D y=-3x+5 2.下列哪个方程组的解是一次函数y=5-3x和y=2x-1的图象的交点坐标（）ABCD

3．如果方程组的解为

则直线y=-x+a和y=x-b的交点坐标_________。

4.求直线y=-x+5与直线y=2x-3的交点坐标。

5．课本129页第5题。6.练习册63页第4题。7.利用图象法解方程组

三．能力提升

二元函数极限计算方法研究篇12

现阶段大多同学最关心的还是极限的计算到底有哪些常用的方法。考研教育网编辑团队就这个问题，将极限的常用计算方法总结归纳如下。

计算极限的常用方法

(一)四则运算法则

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二)洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的.甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三)利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如，等。也可以用来求解未知极限式中的未知参数，和解决抽象函数的极限。尤其是未知极限式中的未知参数，比起洛必达更适合用泰勒公式去做。

(四)幂指函数的极限计算方法

幂指函数指的是，底数和指数都是函数的函数。对于幂指函数考研中经常考的题型是未定式的形式，如：，，。统一的处理方式是做恒等变形，从而只要能计算出极限就可以了。当然对于的形式除了用刚才那种方法，也可以用重要极限去做。对于用两种方法得出的结果都是，其中。把这个当结论记住，遇到的形式直接用就可以了。

(五)夹逼定理

【二元函数极限计算方法研究】推荐阅读：

二元函数重极限06-10

二元函数概念极限连续07-03

二元权益函数09-01

求函数极限方法的若干方法07-21

一元函数极限07-10