二元函数重极限

二元函数重极限（共5篇）

二元函数重极限 篇1

例1讨论下列二元函数在点 (0, 0) 的重极限是否存在。

摘要：本文通过对比二元函数重极限与一元函数极限的定义, 区分判断重极限不存在常用的特殊路径法与求累次极限法, 以加深读者对二元函数极限的理解。

关键词：重极限,路径,函数

参考文献

[1] .郑步南.数学分析典型题选讲[M].桂林:广西师范大学出版社, 2003

[2] .毛羽辉.数学分析选论[M].北京:科学出版社, 2003

[3] .仪洪勋, 杨重骏.亚纯函数唯一性理论[M].北京:科学出版社, 1995

二元函数重极限 篇2

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

二元函数极限探讨 篇3

2 证明函数极限的不存在性

证明:对任意常数k, 显然

当沿y轴方向时有

故f (x, y) 在点 (0, 0) 处没有极限。

3 求二元函数的极限

此类题型相对较多些, 其解决方法也比较多样化一些, 归纳起来大体有以下几种解答方法:

3.1 定义法

用得较少, 适用于事先已经极限值的计算证明, 类似于一类题型。

3.2 公式法

将二元函数转化为一元函数, 再利用一元函数已有的公式进行求解, 或采用等价代换、无穷小量与有界量乘积等于无穷小量等来解决。比较常用的公式有:

解:利用极限的四则运算及已知极限的公式得

3.3 利用函数的连续性

3.4 夹逼准则 (一元函数中所使用的夹逼准则依然适用与二元函数)

3.5 极坐标代换

所以此题正确解答应该为:

相对于一元函数而言, 二元函数由于区域的多维性, 其极限问题也相对复杂些, 抓住二元函数中时, 是以任何方式 (包括直线路径, 也包括曲线路径) 趋近的, 仔细分析探讨, 也会得到好的解答。

摘要：二元函数的极限较一元函数复杂, 本文专门针对二元函数的极限作了较详细的探讨, 对可能涉及的几种常见题型都进行了分析探讨, 并给出了相应有效的解决方法, 以解答学生在学习的过程中碰到的各种问题给予帮助。

关键词：二元函数,极限,不存在性,连续性

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2000:121-130.

[2]刘国钧.微积分学习指导[M].武汉:华中科技大学出版社, 2009:222-257.

关于二元函数极限定义的教学探讨 篇4

关键词：二重极限,二次极限,定义

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的, 是一元函数极限概念的推广. 因而二元函数的极限比一元函数极限更抽象, 要求更高, 从而更难理解. 初学者很容易犯一些概念性的错误, 因此加强对二元函数的极限概念的教学和理解显得尤为重要.

1. 二重极限的定义

现行教材中, 对于二重极限有两种定义方法:

定义1设f是定义在点P0 ( x0, y0) 的某去心邻域内的二元函数, a∈R为一常数. 若ε > 0, , 使得当时, 恒有|f ( x, y) -a| <ε, 则称a为f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0, y0) 时的二重极限.

定义2设f是定义在集合上的二元函数, P0 ( x0, y0) 是A的一个聚点, a∈R为一常数, 若, 使得当时, 恒有| f ( x, y) - a | < ε, 则称a为f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0, y0) 时的二重极限.

两种定义的比较:

1°) 定义1是一元函数极限的直接推广, 要求函数在P0的去心邻域内每一点都要有定义, 并且对于中每一点, 都满足不等式|f ( x, y) -a| <ε, 要求太强, 使用范围小!

2°) 定义2要求函数f定义在一个集合上, 允许在P0的任一去心邻域内有使f无定义的点, 并且仅要求在去心邻域内使f有定义的点满足|f ( x, y) -a| < ε, 要求弱, 适用范围大!

例1 设求

按定义1, 此极限无意义, 但可按定义2求得

不但极限存在, 而且f在 ( 0, 0) 连续.

例2求“十字架”函数f (x, y) =1, D (f) ={ (x, y) |xy=0}当 (x, y) → (0, 0) 时的极限.

按定义1, 此极限无意义; 但按定义2:

例3 求

[注] 1°) 一个建议. 对多数院校的学生, 用定义1来定义重极限就够了. 为了使该定义能用于定义域D ( f) 是闭域时讨论函数在边界点上的极限, 可将定义1扩充如下:

2°) 重极限与一元函数极限的本质差异. 由于自变量的增多, 使得当点P ( x, y) 在平面区域 ( 或集合) D ( f) 中趋于P0 ( x0, y0) 时的路径和方式任意多, 定义要求当P以任何路径和任一方式趋于P0时, f ( x, y) 都趋于同一个常数a, 才能说. 所以, 当P以不同方式沿不同路径趋于P0时, f ( x, y) 趋于不同常数, 或者P按某一方式或路径趋于P0时, f ( x, y) 不趋于一个确定的常数, 则可断定f ( x, y) 的极限不存在重极限比一元函数极限的要求强得多!

2. 二重极限与二次极限

二重极限与二次极限有着本质的差异. 二重极限是用以刻画当 ( x, y) 在P0 ( x0, y0) 的充分小的邻域内动点P ( x, y) 以任意路径任意方式趋于P0时函数f ( x, y) 的变化趋势的; 二次极限本质上属于一元函数极限的范畴, 是接连求两次一元函数的极限.例如, 考察它表示对任给的y, 先求, 若存在} , 则得一定义在Y上的函数 ( 称之为f ( x, y) 关于x在x0处的极限函数) . 若该函数在y0处的极限也存在, 则称为f ( x, y) 关于变量x和y在 ( x0, y0) 处的二次极限.

在几何上, 如图所示.

两种顺序的二次极限之间的关系是: 不必同时存在; 若均存在, 二者也不必相等. 一般来说, 二次极限不能交换极限的顺序. 因此二重极限与二次极限间无必然的蕴含关系.

定理若二重极限存在, 并且两种顺序的二次极限中的里层极限都存在, 则两种顺序的二次极限都存在, 且与二重极限的值相等.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第4版) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

[2]同济大学数学系.高等数学 (第6版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

二元函数重极限 篇5

高等数学中,关于多元函数的极限问题,我们主要讨论了二元函数的极限。二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的,但与一元函数极限又有着本质上的差异,其概念更抽象,更难理解,初学者很容易犯一些概念性的错误,因此,在教学过程中需要加强学生对二元函数极限概念的理解。

1 二重极限的定义

注意:所谓二重极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数A。这是与一元函数极限的本质区别。

由于二元函数的极限与一元函数的极限具有类似的性质和运算法则,因此在教学的过程中,对于二重极限的求法一般不会大篇幅的讲解,经常是利用一元函数求极限的方法直接推广到二元函数,比如,夹逼准则,有界函数和无穷小量的乘积仍是无穷小量,等价无穷小替换,分子分母有理化等,但是,在具体的求解过程中,学生们经常会忽略二元函数极限中趋近方式的任意性和函数的定义域,出现一些错误的解法。

2 常见错误举例和分析

下面举例来说明。

下面将例1稍加改动,求解过程不变,我们会发现此解法是没有问题的。

例2在求解极限的过程中,问题和例1一样,定义域的范围缩小了,但是我们发现,当(x,y)→(0,2)时,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点时,动点P(x,y)以可能有的任何路径趋于定点(0,2)时,前者求极限时也可以去掉沿x轴趋于点(0,2),因此,对于例2解法是没有问题的。

从上面两个例子我们可以看到,如果对二元函数极限存在的定义理解的不是很清楚,那么在具体求解二元函数的极限时就会出现一些错误的解法。

为了避免例1出现的问题,下面用夹逼准则或者等价无穷小替换来给出例1正确的解法:

注意,上述方法也可以来求解例2。

类似的例子还有很多,比如如果用例1的方法来求极限都会出现相同的问题,在求解的时候凑项使得函数的定义域缩小,在小的范围成立的结果并不能保证在大的定义域范围内结果也成立,根据二重极限的定义,要求动点P(x,y)以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数,上面的做法缺少了一些路径,因此,解法是不严谨的,正确的方法是用夹逼准则或者等价无穷小来计算。

分析:当x=ρcosθ,y=ρsinθ时,动点(x,y)是沿着任意给定的直线方向趋近(0,0),该函数都趋于同一常数0,但并不能保证动点(x,y)沿着任意路径趋近(0,0)时的极限存在并且相等,由二重极限的定义,不能推出。

事实上,,其值随k的不同而变化,故极限不存在。

3 结论

总之,多元函数求极限比一元函数求极限复杂的多,二元函数的极限存在要求动点以可能有的任何方式趋近与固定点时的极限都存在并且相等,因此,在教学中,让学生充分认识到二元函数极限存在的本质,避免一些错误的解法。

摘要：二重极限是高等数学中的一个重要内容,对于初学者来说,由于二元函数的变量有两个,求二元函数的极限存在一定的困难和误区。本文给出了几个常见的错误解法并给出了正确的求法。

关键词：二重极限,定义域,常见错误

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M].五版.北京:高等教育出版社,2002.

[2]李应岐,方晓峰,王静,等.高等数学疑难问题解析[M].北京:国防工业出版社,2014.

[3]陈传璋,金福临,朱学炎,等.数学分析(下册)[M].二版.北京:高等教育出版社,1999.