二元权益函数

二元权益函数（精选7篇）

二元权益函数 篇1

1 研究背景

盘点当今全球战略投资项目,发现南非纳斯帕斯( Naspers) 公司2001 年入股中国腾讯( Tencent)公司是一项颇为成功的双赢案例。

( 1) 腾讯迅猛崛起为当今世界最大互联网企业之一。从1998 年成立至今,短短十几年间,腾讯已发展到4. 48 亿( 一说6 亿多) 活跃用户,成为坐拥国内外最大客户群的互联网企业之一,2013 年实现净利润170 多亿元人民币; 公司市值由2007 年的100 亿美元猛增到2014 年的1 416. 8 亿美元,7 年增长14. 2 倍,年均增长率达46. 04% ( 100 × ( 1 + x)7 = 1 416. 8,x = 0. 460 4) ,其中2008、2009 年环比增幅高达100% ( 见图1) 。相比近一年面书( FaceBook,也作 “脸谱”) 、 苹果( Apple Inc. ) 、 微软( Microsoft) 等世界主要IT企业的市值涨幅( 截止到2014 年3 月,见图2) ,腾讯为106. 93% ,仅次于面书而远高于其他同类企业。中国国内创业板379家公司总市值为17 000 亿元,而腾讯的市值就近万亿元,一家公司竟超过创业板市值的一半[1],其高成长性由此可见一斑。

注:数据来源于新京报网(http://www.bjnews.com.cn/finance/2014/03/14/309103.html)。图2同

( 2) 纳斯帕斯成为这一奇迹的大赢家。纳斯帕斯是1915 年成立、1994 年在约翰内斯堡交易所上市的南非传媒公司,曾于1998 年在中国建立互联网服务企业,但因起色不大而于2001 年关闭; 同年,纳斯帕斯斥资3 200 万美元投入腾讯,以持股46. 5% 成为后者第一大股东。此后,腾讯虽通过股市融资几度调整股权结构,但至2013 年,纳斯帕斯( 通过其旗下子公司MIH) 仍持有腾讯33. 93% 的股权,以当时收市价360 港元计,腾讯的总市值高达6 690 亿港元,而MIH所持股票市值为2 269 亿港元。若将纳斯帕斯入股腾讯的3 200 万美元按当时汇率折合约为1. 95 亿港元计算,则它12 年来获利2 267 亿港元,为其原始投资的1 160 多倍( 见图3) ,年均增值率超过80%( 1. 95 × ( 1 + x)12= 2 269,x = 0. 801) 。在中国腾讯项目上如此高额的投资回报和如此迅猛的资产增值速度,不仅让纳斯帕斯保持住非洲最大媒体公司的地位,而且使其跻身世界IT投资巨擘之列。

注:数据来源于中国资本证券网(http://www.ccstock.cn/HKstock/guoqinews/2013-08-23/A1303589.html)

( 3) 腾讯的发展及其与纳斯帕斯合作的前景继续看好。一方面,腾讯在国内投资搜狗、京东等同类企业,涉足电商、金融等新兴业务,形成 “两马”( 指马化腾领军的腾讯与马云领军的阿里巴巴)大战、各领半壁江山的局面,显示其强劲发展潜力和后势; 另一方面,腾讯为了分散业务和防范收入过于集中于中国市场的风险,逐渐加大海外投资,寻找新的经济增长点,如2008 年购入纳斯帕斯在印度的子公司MIH的股份、投资越南软件公司Vina Game等。看好双方合作前景不仅反映在国内外愈来愈频密的舆论关注度和媒体评价上,而且仍然并将继续反映在腾讯股价的涨势上。

那么,应该如何来深入解读这一成功案例呢?纳斯帕斯( 作为投资人) 与腾讯( 作为业者) 的成功合作意味着什么呢? 其中包含或体现着怎样的经济函数关系呢? 能给今天的广大业者和投资人以哪些启示呢? 解析这些令人感兴趣的问题,既对改善业界的投资决策与合作行为具有实践意义,也对深化经济与管理学的相关研究具有理论意义。

2 文献综述

本文基于后工业经济时代划分、生产函数原理和方法,由此提出主导后工业经济时代的二元权益函数命题,所以有必要在此就这些相关概念及其国内外研究进展做一综述。

2. 1 关于后工业经济时代

美国社会学家Bell[2]在 《后工业社会的来临》一书中提出 “后工业社会” ( the Post - industrial Society) 或 “后工业时代” ( the Post - Industrial Age) 。显然,前、后工业时代是指工业经济时代分别与之前的农业经济时代和之后的知识经济时代之间的过渡、交错阶段,而 “服务化”与 “去工业化”是后工业社会的主要经济特征。Bluestone等[3]曾对美国的后工业化情况进行总结,发现这种后工业化将损害自身的竞争力。Matsumoto等[4]对英国和日本的去工业化现象进行过比较研究,认为两国制造业的衰落与服务业的兴起,对各自的经济发展是有利的。Rowthorn等[5]则对贸易、经济增长与去工业化的相互关系进行了研究,指出发达国家的去工业化首先是由内部因素引起的。

国内学者对后工业经济的研究大约始于上世纪80—90 年代初。丁浩金[6]论述美国工业在经济中的地位和作用时兼论了美国经济的 “非工业化( 后工业化) ”、 “产业空心化”问题。陈英[7]从物质资料生产部门生产力大幅度提高、制造业越来越依赖商业性服务、科技信息技术日益重要和非物质产品需求比重增大这四方面概述了 “后工业时代” 的特征,并强调理解 “后工业经济”产业结构特征的关键在于充分理解第三产业与物质资料生产部门之间的全新关系。石光宇等[8]还专门研究了美国的去工业化现象和后工业经济的形成,认为经济全球化和全球范围内的产业分工是促成许多国家和地区后工业经济形成的重要条件。近年来也有一些研究和报道称我国北京、上海、深圳等发达地区已率先进入以服务业为主体的后工业经济时代。

2. 2 关于生产函数

一般认为Wicksteed是第一个使用代数方程P =f ( x1,x2,. . . ,xn) 来表示投入与产出之间关系的经济学家[9],也有人认为Thünen早在19 世纪40 年代就已经构建了这样的函数[10],但经济学上最有影响的 “生产函数” ( Production Function) 却是由美国数学家Cobb和经济学家Douglas[11]提出的,因而亦称“C - D生产函数”,其表达式为: Q = ALαKβ,式中Q代表产出量,L、K代表劳动力和资本的耗费量,A为效率系数。在应用方面,生产函数和效用函数作为新古典经济理论的两大支柱,已成为当代各国包括中国经济学家进行经济分析的基础和工具[12]。比如王贻志等[13]从生产过程技术关系角度对目前我国企业R&D活动中的投入产出效应进行实证研究; 王俊等[14]从宏观上构建中国健康生产函数并对其进行检验; 王任飞等[15]基于总量生产函数分析我国基础设施的产出弹性和最优规模问题等; 崔永伟等[16]则认为生产函数可用于微观个体和宏观总体的经济分析,在应用生产函数理论构建生产函数模型时,函数形式的选择不可忽视。在本文的案例中,作为投资人的纳斯帕斯与作为运营方的腾讯( 马化腾团队) 分别代表资本和知识这两大关键要素,必然存在着以资本和知识为自变量的二元生产函数。

2. 3 关于权益函数

权益在 《现代汉语词典》里被解释为: 应该享受的不容侵犯的权利。其英文( Equity) 原意为公正、公平或者份额,引申含义是公平或平等的份额。本文所谓的权益是指生产及其成果( 尤指剩余成果、产品、价值) 的支配权,一般指控制权和剩余索取权。要使企业有效运作,就应使企业所有权安排符合剩余索取权和控制权对称的原则[17]。源于生产函数的权益函数( Equity Function) 与前者既相联系又有区别: 前者表示生产要素组合同其最大产量之间的依存关系,后者表示生产要素组合同其权益分享之间的因果关系; 前者是一种技术结构,后者是基于前者的一种制度安排; 前者反映生产的技术水平,后者反映生产的制度效能; 前者的数学表达式为Y ( 或Q)= f ( F1,F2,…,Fn) ,只是在不同技术条件下各要素( Factor) 之间的配置比例不同,即使有时可以相互替代( 比如用资本替代劳动或用劳动替代资本) ,也只能发生在一定限度内,后者的数学表达式因制度安排而异,如传统资本主义的资本一元函数E = f ( K) 、马克思主义的劳动一元函数E = f ( L) 、Cobb - Douglas的资本和劳动二元函数E = f ( K,L) 、知识经济时代的知识一元函数E = f ( I) 等。

综上所述,不同经济技术条件下生产函数和权益函数的存在形式都是与生产要素的地位、功能、稀缺性等紧密联系的。如今,知识的力量日益彰显,资本单独主导经济的格局已被打破,取而代之的将是两大关键要素———资本和知识的 “协同”。那么,在工业经济时代与知识经济时代之交的 “后工业经济时代”是否会出现一种资本+ 知识的二元权益函数呢?

3 建模及其解析

对于在 “后工业经济时代”是否会出现一种资本+ 知识的二元权益函数,本文的答案是肯定的( 见图4) 。纳斯帕斯与腾讯的成功合作恰恰体现了后工业( 前知识) 经济时代以资本与知识为 “协同”自变量的 “二元权益函数” ( The dual - equities Function。以下标p - i代表the Post - industrial Age) :Ep-i=F(K,I)。

3. 1 指导思想

生产函数研究生产要素投入量( 某种组合) 与产出量之间的依存关系,本文拟运用效用理论和方法来探究生产要素投入量( 某种组合) 与权益分配之间的因果关系。在边际效用递减规律的作用下,后工业经济时代资本、知识的功能性和稀缺性有着不同的变化趋势和特征( 见图5) 。

图5 随着全社会资本积累的增长,边际效用( MUk) 递减趋势越发显著,资本的总效用( Uk)及其稀缺度也日趋下降; 随着社会知识的累积,边际效用( MUi) 经过短暂的趋升后稍为递减,此时知识的总效用( Ui) 及其稀缺度正处于趋升状态。资本、知识的总效用两种相反的变化趋势造就了资本总效用最大点( Uk) 与交叉点( Uki) 前的变化阶段实现要素总效用的相对均衡,这就是后工业( 前知识经济) 时代,此时权益函数呈二元状态,资本、知识所有者权益效用的大小源于既得权益的满意程度。在此尝试以所有者权益效用( UE) 作为被解释变量; UEk为资本所有者权益效用,UEi为知识所有者权益效用,以其作为解释变量,从而构建二元权益( 效用) 函数模型: UE = UEk+ UEi( 式Ⅰ) 。

3. 2 基本假设

假设1: 权益,这里特指剩余索取权与经营管理权。

假设2: 权益、知识等抽象变量可以实现量化,并已对所有变量进行无量纲处理,消除变量间不同量纲对建模的影响。

假设3: 在企业的生产和经营过程中,只考虑主导型要素( 资本+ 知识) 的投入。

假设4: 要素所有者只通过主导型要素参与权益竞争,次要要素不作为竞争权益的筹码。

假设5: 要素所有者根据自身对某种权益的偏好程度来决定要素的投入量。

3. 3 模型构建

根据生产要素投入量( 组合) 和权益( 效用)之间的变化特点,尝试选择对数函数模型来研究它们之间的内在关系。对数函数的一般形式为: y =logax( a > 0,且a≠1,x > 0) 。那么,关于要素所有者权益的函数表达式为: UE = logAX ( 权益偏好值A >0,且A≠1,X > 0) ,其中,权益函数的特征点( 1,0) ,代表合约中规定支付给要素所有者的报酬,而不涉及权益的分配问题。

由图6 可见,由于资本是显性变量,资本所有者往往更偏好于拥有剩余索取权,故剩余索取权( 效用) 函数为: UE1 = loga X( a > 1,且X = K > 1) 。但需要指出的是,要素所有者偏向于某一种权益并不代表他放弃另一种权益,而是同时参与剩余索取权和经营管理权的竞争,故资本所有者投入资本后也应获得相应的经营管理权UE2= | logbX | ( 0 < b < 1,且X = K > 1) 。所以,资本所有者权益( 效用) 函数为: UEk= UE1+ UE2= logaK + | logbK | ( a > 1,0 <b < 1,且a > > b,K > 1) ( 式Ⅱ) 。

相反,知识是隐性变量,而且高端或前沿的知识( 信息、技术等) 总是由少数人拥有和垄断,知识的时效性和价值主要取决于质量而非数量,所以知识( I) 的取值范围可定义为: 0 < I < 1,数值越趋向于0 表示知识越隐性、价值越大,获得的权益越多。虽然知识所有者往往更倾向于拥有经营管理权( UE2) ,但是知识所有者掌握的知识越独特和深奥,剩余索取权和经营管理权越对称。

由图7 可见,在坚持 “权益偏好值”大者优先原则下,经营管理权( 效用) 函数可表示为: UE3=| loga0X | ( a0> 1,0 < X = I < 1 ) ,而剩余索取权( 效用) 函数则为: UE4= logb0X ( 0 < b0< 1,0 < X = I< 1) 。那么,知识所有者权益( 效用) 函数为: UEi=UE3+ UE4= | loga0I | + logb0I ( a0> 1,0 < b0< 1,且a0> > b0,0 < I <1) ( 式Ⅲ) 。

综合式 Ⅰ、式 Ⅱ、式 Ⅲ 推算出企业二元权益( 效用) 函数( 见表1) : UE = ln Kω·Iβ( ω、β 分别代表权益偏好系数,ω > 0,β < 0; K、I分别代表要素资本、知识,K > 1,0 < I < 1) 。

二元权益( 效用) 函数反映出要素( 资本+ 知识) 组合与权益之间的内在变化关系。从函数模型:UE = ln Kω·Iβ可知,企业权益主要取决于要素所有者对某种权益( 剩余索取权或经营管理权) 的偏好,以及要素投入的最终组合( K1,I1) 。所以,要实现要素所有者权益最大化和企业权益( 利润) 最大化,资本所有者和知识所有者应提高 “协同合作”意识,并弄清楚自己的贡献和要素投入的数量,而不是仅仅考虑自己的权益问题,因为企业目标实现了,要素所有者将会得到更大份额的权益。同时,要实现企业权益的妥善分配或要素所有者权益的有效满足,必须统筹兼顾好企业权益和个人权益的关系,否则将会出现权益分配不均衡现象。

4 案例实证

二元权益( 效用) 函数既体现了资本、知识要素为竞争权益的博弈关系,又体现了两者为实现企业权益最大化的协同关系,其中以协同关系更为突出。但是,处在后工业经济时代的企业并非都意识到二元( 资本、知识) 要素与权益之间的内在关系,要么固守资本一元权益传统思想,不够重视知识的力量,要么过分强调知识一元权益的现代理念,股东( 投资者) 过度依赖经营者或职业经理人,导致自己权益受损。通常,在后工业经济时代并存3种经营管理理念和实践。

4. 1 谁投资谁主导

据斯坦福大学的一项调查,硅谷地区100 多家高技术创业企业在最初的20 个月内非创始人任CEO的大约占10% ; 到了40 个月,则升至40% ; 80 个月后则超过80% 。在我国,创业公司引入资本后,创始者离任的例子不在少数( 见表2) 。新浪创始人王志东2001 年被董事会免除一切职务; 智联招聘创始人赵鹏2002 年退出,并在1998 年至2008 年期间先后5 轮的融资中被新投资方安插管理层; 2004 年中华英才网创始人张杰贤在投资者绝对控制董事会的情况下离职; 盛大入主后,2011 年酷六网创始人李善友离职; 尊酷网董事长兼CEO侯煜与资本方在战略发展问题上产生分歧,且在资本方强势介入公司日常管理的情况下,于2012 年被宣告 “出局”;2012 年拉手网创始人( CEO) 吴波在与投资方的博弈中败北而离职。因此,从创业公司引入投资者后创始人频频离任来看,我国大多数网络公司仍停留在 “谁投资谁主导”的运营模式上,企业的权益和命运仍然操控在投资者手中。

注: 来源于凤凰网( http: / /finance. ifeng. com /roll/20120814 /6917637.shtml)

4. 2 我投资你主导

在当今企业所有权与经营权相分离的格局下,投资者与经营者的利益或目标不一致时,经营者“自肥”甚至 “中饱私囊”、 “转移财产”等机会主义行为便容易滋生,即出现所谓的 “内部人控制”现象。近年来,一些国有企业或明星上市企业的“内部人控制” 倾向日趋严重,最受社会各界关注的便是2009 年原石油化工集团公司总经理陈同海受贿、公款吃喝等违规行为。毋庸置疑,经营者的机会主义行为将大大缩减甚至损害股东的权益。证监会对2013 年以来各行业上市公司的信息披露情况进行调查,发现信息披露违规现象十分严重( 见图8) ,其中,信息披露造假,如绿大地、南纺股份;2013 年1 月至2014 年7 月的财务报告更改2 次或3次的公司,如吉林化纤、北新路桥、同德化工、新疆浩源、山东高速、生化、隆鑫通用、银鸽投资等;同一时期经常修订年报、季报( 6 ~ 9 次) 的公司,如海润光伏、国创、天立环保、宏达新材、隆鑫通用、贤成、新疆浩源、超日等。可见,在信息不对称、权利不对等的企业运营环境中,经营管理层所接受到的监督是有限的或低效率的,由此滋生出以上的不良行径,其背后实质上就是 “内部人控制”问题,从而造成了投资者的资本、经营者的知识与权益的匹配程度是非常低的,于是投资者与经营者的决裂成为必然的事情。所以,在经济环境和企业制度还不是高度完善的后工业经济时代,企业采取“我投资你主导”的经营模式难掩其超前性。

注:数据主要来源于新京报网(http://www.bjnews.com.cn/finance/2014/08/18/330056.html)

4. 3 知识与资本协同

根据协同论,资本、知识在后工业经济环境的作用下,二元( 资本+ 知识) 要素就会产生协同效应,使要素系统从无序变为有序运行状态,纳斯帕斯—腾讯联盟在后工业经济时代创造的辉煌就是最好的见证。

4. 3. 1 合作前的纳斯帕斯与腾讯

1998 年至2001 年期间是腾讯团队开创事业的最艰难时期。1999 年腾讯推出家喻户晓的QQ ( 即时通讯软件) ,打开了进军信息产业的大门,然而,随之而来用户的激增( 不到一年用户达到500 万) 带来了因资源短缺而无法维持的难题———设备、资金、服务器托管费等成为腾讯发展的瓶颈。前面已提及,此时的纳斯帕斯正进入中国市场,成立了一家互联网服务企业,因经营效益不佳而关闭了。不难发现,腾讯拥有技术、经营管理、信息等知识要素,而缺少的正是进一步打开局面的资源; 恰恰相反,纳斯帕斯拥有丰富的资源,但缺少熟知中国互联网行情等知识要素,并具备相当应用技术和管理才能的经营团队。

4. 3. 2 纳斯帕斯- 腾讯二元协同模型

纳斯帕斯2001 年投资腾讯既实现了两者在中国互联网市场上的优势互补,又顺应了后工业经济时代 “资本—知识”协同共进的客观需要。诚然,纳斯帕斯- 腾讯二元协同模型( 见图9) 是二元权益函数在企业经营投资领域的鲜活体现。当时摆在腾讯面前只有两种选择: 一是卖掉腾讯,二是寻找风险投资,恰好此时纳斯帕斯决意加盟,腾讯资本短缺的问题随之迎刃而解,从此纳斯帕斯与腾讯正式成为盟友( 见图9 中的Ⅰ) 。当然,该协同模型的建立离不开联盟企业家对 “公司市场化、专业化”管理理念的高度认同,实现了公司的管理层由创始人到职业经理人的顺利交接,公司的治理更加市场化、专业化,避免了 “一言堂,内部人控制” 等不良现象。

自纳斯帕斯入股腾讯以来,纳斯帕斯为第一大股东,马化腾为第二大股东的股权格局持续至今。按理说,纳斯帕斯在重大决策上仍具有绝对的话语权,但是纳斯帕斯并没有直接干涉腾讯管理层的日常管理,只是派驻非执行董事。正如纳斯帕斯首席执行官Bekker所言: 我们进行了投资,但是我们不会控制,也不会领导被投资的公司[18]。纳斯帕斯不在意自己次要作用的表现,充分体现了它对腾讯管理层的信任,以及反映出纳斯帕斯对创业团队和职业经理人团队应有权益的尊重。而作为经营管理方的腾讯十分重视制度环境的优化( 见图9 中的Ⅲ) ,通过激励制度、产权制度、职业经理人制度等的完善和实施( 如: 职业经理人刘炽平出任总裁以来获得大量股权激励,身家已逾20 亿元) ,促使了公司治理结构和人力资本结构的优化,为实现企业权益更大化目标创造条件和提供新动力。同时,该协同模型是开放性模型,纳斯帕斯和腾讯的合作并没有止步于中国市场,还共同携手新兴市场的海外投资,2008 年腾讯收购纳斯帕斯印度子公司部分股份;2010 年收购纳斯帕斯泰国子公司49. 9% 的股份就是很好的例证。纳斯帕斯—腾讯协同模型的开放性,既促使了资本与知识要素的大融合,又大大地扩大了企业的可分配权益。

5 结语

生产要素的地位会随着经济时代的变迁而变化,知识要素在经济中的地位日益显著。在后工业经济时代,知识和资本必是这一时代的主导要素。本文通过二元权益函数的提出、建模和论证,揭示出这一经济时代生产要素( 知识和资本) 与权益之间的内在变化规律,研究表明:

( 1) 在人类生产方式或经济制度的演化过程中,客观上存在着一个与生产函数既相联系又有区别的 “权益函数”。

( 2) 在人类经济时代的演进过程中,正在出现一个介于工业经济时代与知识( 或信息、生物等)经济时代之间的 “后工业/前知识经济时代”,此时会相应出现一个资本与知识共同主导的 “二元权益函数”。

( 3) 二元权益函数体现着后工业经济时代资本与知识这两大关键要素之间的协同与博弈关系( 但协同面大于博弈面) ,纳斯帕斯与腾讯的成功合作案例是这一关系的最好实践和证明之一。

( 4) “谁投资谁主导”和 “我投资你主导”这两种经营模式在后工业经济时代有 “滞后”或 “超前”之弊,而体现二元权益函数的 “知识与资本协同”模式在本时代最具 “适配性”。

摘要：南非纳斯帕斯入股中国腾讯被视作当今全球最为双赢的战略投资案例之一,文章尝试运用对数函数法建构后工业经济时代“资本+知识”二元权益函数模型来探索并揭示其中的“成功之道”。研究表明:在后工业经济时代,“谁投资谁主导”经营模式体现的资本一元权益函数已渐显其滞后性;相反,“我投资你主导”经营模式体现的知识一元权益函数难掩其超前性;而像纳斯帕斯与腾讯联盟的“资本—知识协同”模式体现的二元权益函数在当今最具适配性。

关键词：后工业经济时代,生产函数,二元权益函数,纳斯帕斯,腾讯

二元函数极限探讨 篇2

2 证明函数极限的不存在性

证明:对任意常数k, 显然

当沿y轴方向时有

故f (x, y) 在点 (0, 0) 处没有极限。

3 求二元函数的极限

此类题型相对较多些, 其解决方法也比较多样化一些, 归纳起来大体有以下几种解答方法:

3.1 定义法

用得较少, 适用于事先已经极限值的计算证明, 类似于一类题型。

3.2 公式法

将二元函数转化为一元函数, 再利用一元函数已有的公式进行求解, 或采用等价代换、无穷小量与有界量乘积等于无穷小量等来解决。比较常用的公式有:

解:利用极限的四则运算及已知极限的公式得

3.3 利用函数的连续性

3.4 夹逼准则 (一元函数中所使用的夹逼准则依然适用与二元函数)

3.5 极坐标代换

所以此题正确解答应该为:

相对于一元函数而言, 二元函数由于区域的多维性, 其极限问题也相对复杂些, 抓住二元函数中时, 是以任何方式 (包括直线路径, 也包括曲线路径) 趋近的, 仔细分析探讨, 也会得到好的解答。

摘要：二元函数的极限较一元函数复杂, 本文专门针对二元函数的极限作了较详细的探讨, 对可能涉及的几种常见题型都进行了分析探讨, 并给出了相应有效的解决方法, 以解答学生在学习的过程中碰到的各种问题给予帮助。

关键词：二元函数,极限,不存在性,连续性

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2000:121-130.

[2]刘国钧.微积分学习指导[M].武汉:华中科技大学出版社, 2009:222-257.

看“型”解二元函数最值 篇3

一、z=ax+by(a≠0,b≠0)型

例1已知实数满足不等式组 ,求目标函数z=x+y的最小值。

解:约束条件所表示的可行域如图1中的阴影所示,z=x+y可变行为y=-x+z,此时z可理解为直线y=-x+z的截距,做直线l∶y=-x,再做一组与l平行的直线。所以,当直线y=-x+z通过点A(1,0)时,Z取最小值。即Zmin=3×0+1-1。

例2已知变量X,Y满足约束条件 ,则 Z=3X/2-Z/2的最小值为( )。

A.0 B.2 C.4 D.6

解析:满足约束条件的点对应的可行域如图2中的阴影所示,考查y=3X/2-Z/2,当将直线平移通过点O(0,0)时,直线y=3X/2-Z/2在y轴上的截距-z/2取最小值Zmin=0,所以选A,

变式 : 已知变量x,y满足约束 条件 , 求 z=|3x+2y+11|的最小值。

解析:x,y满足约束条件的点对应的可行域如图3中的阴影所示,由于 ,所以z的最小值可以理解为可行域中的点到直线3x+2y+11=0距离的最小值的 倍,而直线3x+2y+11=0与3x+2y-6=0平行,且两平行直线间的距离 ,所以Zmin=17。

小结:(1)例1中y=-x+z在轴截距为z,截距与目标函数成正比关系,所以截距最小(或最大)时最小(或最大)。(2)例(2)中y=3x/2-Z/2在y轴截距为-Z/2,截距与目标函数成反比关系,所以截距最小(或最大)时取最大(或最小)。(3)变式中将z=ax+by型化为z= |ax+by|与点到直 线距离公 式联系 , 即 : ,把目标函数转化为点到直线距离的倍数,进而Z的最小值可求。

二、Z=y2-y1/x2-x1型

例3已知变量x,y满足约束条件 ,求目标函数z=y-1/x+3的最大值。

解:z=y-1/x+3可理解为可行域中的点与定点B(-3,1)连线的斜率。由图4可知,A(3,-2)与B(-3,1)的连线斜率最大Zmax=-2-1/3-(-3)=-1/2。

变式:已知实数x,y满足条件 ,求z=x+y+2/x+3的最小值。

解析:因为 ,所以本题答案需要再求出例3中的最小值,然后再加上分离出的常数“1”可得答案,即zmin=1-2/3=1/3。

小结:(1)斜率公式k=y2-y1/x2-x1的结构要牢记,会活用。(2)要掌握函数中常数分离的数学思想方法。

二元函数求最值一例 篇4

设x, y为实数, 若4x2+y2+xy=1, 则2x+y的最大值是________.

此题可谓是一道二元函数求最值的经典题目.一数学杂志在一年内三次刊登该题的解法, 总共有17种之多.综观各种解法, 有些解法实际大同小异.而学生又是如何想到用这种方法解的, 我认为是教师在课堂上讲解、引导的关键.学数学最终是如何解决数学的问题, 如何把陌生的数学题化归为学生所熟悉的情景题, 并利用已有的知识给予解决, 是教师着重在备课时应该注意的问题.下面就此题引导学生分析时的思考, 与同行们交流.

一、从基本不等式角度分析

对于一个二次的约束条件4x2+y2+xy=1, 而求的是线性式2x+y的最值, 我们最容易想到的是均值不等式, 而均值不等式的关键在于配凑, 于是就有了高考的标准答案.

若对此题目略微变形, 则用均值不等式更方便.

二、从方程角度分析

若从方程的思想出发, 条件为二元二次方程, 令所求z=2x+y, 则y=z-2x, 代入方程, 可利用方程有解即判别式法, 求得z的取值范围.

三、从三角的角度分析

若对此方程的形式进行联想, 易知二次方程中的x, y换成-x, -y方程不变, 要求最大值只需在x, y≥0在时求得, 不难发现此形式与余弦定理类似, 于是可构造三角形, 利用三角函数的知识解决.

四、从函数角度分析

若转换成一元函数, 则可利用一元函数中的求最值方法, 同时也是学生容易想到的方法.

五、从几何的角度分析

与学生所熟悉的知识类似的有“已知圆或椭圆, 求二元线性的最值”, 此题可通过变形化归成所熟悉的类型, 于是就有了以下解法.

解法8上述也可换成圆的参数形式, 结合三角知识也可求得.

由以上不同的角度对题目的分析, 得到多种不同的解法, 由此对学生思维的广度和深度进行了很高的提炼, 锻炼了学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和创造性, 从而培养学生的思维品质及思维能力.

下面题目可一试:

二元函数的重极限教学探索 篇5

摘要：本文通过对比二元函数重极限与一元函数极限的定义, 区分判断重极限不存在常用的特殊路径法与求累次极限法, 以加深读者对二元函数极限的理解。

关键词：重极限,路径,函数

参考文献

[1] .郑步南.数学分析典型题选讲[M].桂林:广西师范大学出版社, 2003

[2] .毛羽辉.数学分析选论[M].北京:科学出版社, 2003

关于二元函数极限定义的教学探讨 篇6

关键词：二重极限,二次极限,定义

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的, 是一元函数极限概念的推广. 因而二元函数的极限比一元函数极限更抽象, 要求更高, 从而更难理解. 初学者很容易犯一些概念性的错误, 因此加强对二元函数的极限概念的教学和理解显得尤为重要.

1. 二重极限的定义

现行教材中, 对于二重极限有两种定义方法:

定义1设f是定义在点P0 ( x0, y0) 的某去心邻域内的二元函数, a∈R为一常数. 若ε > 0, , 使得当时, 恒有|f ( x, y) -a| <ε, 则称a为f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0, y0) 时的二重极限.

定义2设f是定义在集合上的二元函数, P0 ( x0, y0) 是A的一个聚点, a∈R为一常数, 若, 使得当时, 恒有| f ( x, y) - a | < ε, 则称a为f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0, y0) 时的二重极限.

两种定义的比较:

1°) 定义1是一元函数极限的直接推广, 要求函数在P0的去心邻域内每一点都要有定义, 并且对于中每一点, 都满足不等式|f ( x, y) -a| <ε, 要求太强, 使用范围小!

2°) 定义2要求函数f定义在一个集合上, 允许在P0的任一去心邻域内有使f无定义的点, 并且仅要求在去心邻域内使f有定义的点满足|f ( x, y) -a| < ε, 要求弱, 适用范围大!

例1 设求

按定义1, 此极限无意义, 但可按定义2求得

不但极限存在, 而且f在 ( 0, 0) 连续.

例2求“十字架”函数f (x, y) =1, D (f) ={ (x, y) |xy=0}当 (x, y) → (0, 0) 时的极限.

按定义1, 此极限无意义; 但按定义2:

例3 求

[注] 1°) 一个建议. 对多数院校的学生, 用定义1来定义重极限就够了. 为了使该定义能用于定义域D ( f) 是闭域时讨论函数在边界点上的极限, 可将定义1扩充如下:

2°) 重极限与一元函数极限的本质差异. 由于自变量的增多, 使得当点P ( x, y) 在平面区域 ( 或集合) D ( f) 中趋于P0 ( x0, y0) 时的路径和方式任意多, 定义要求当P以任何路径和任一方式趋于P0时, f ( x, y) 都趋于同一个常数a, 才能说. 所以, 当P以不同方式沿不同路径趋于P0时, f ( x, y) 趋于不同常数, 或者P按某一方式或路径趋于P0时, f ( x, y) 不趋于一个确定的常数, 则可断定f ( x, y) 的极限不存在重极限比一元函数极限的要求强得多!

2. 二重极限与二次极限

二重极限与二次极限有着本质的差异. 二重极限是用以刻画当 ( x, y) 在P0 ( x0, y0) 的充分小的邻域内动点P ( x, y) 以任意路径任意方式趋于P0时函数f ( x, y) 的变化趋势的; 二次极限本质上属于一元函数极限的范畴, 是接连求两次一元函数的极限.例如, 考察它表示对任给的y, 先求, 若存在} , 则得一定义在Y上的函数 ( 称之为f ( x, y) 关于x在x0处的极限函数) . 若该函数在y0处的极限也存在, 则称为f ( x, y) 关于变量x和y在 ( x0, y0) 处的二次极限.

在几何上, 如图所示.

两种顺序的二次极限之间的关系是: 不必同时存在; 若均存在, 二者也不必相等. 一般来说, 二次极限不能交换极限的顺序. 因此二重极限与二次极限间无必然的蕴含关系.

定理若二重极限存在, 并且两种顺序的二次极限中的里层极限都存在, 则两种顺序的二次极限都存在, 且与二重极限的值相等.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第4版) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

[2]同济大学数学系.高等数学 (第6版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

二元权益函数 篇7

改革开放以来,农村土地为工业化和城市化所提供的资本积累达30万亿元,远超过同期所吸引外资的数量,对我国市场经济的发展做出巨大贡献。中央财经领导小组办公室副主任陈锡文曾表示“改革开放以来通过低价征收农民土地,至少使农民蒙受20000亿元损失”。而这正是我国工业化和城市化迅猛向前推进进程的年代。北京融德投资管理有限公司的研究报告称:“我国近年来实施土地储备制度的城市不完全统计,新增建设用地占各城市储备机构收购土地总量的70%左右,却大体上贡献了土地用途转变增值的95%,其中政府大约得到60%-70%,村一级集体组织得到25%-30%,而农民大约只得到5%-10%”。可见农民的权益受到了极大的损害。维护失地农民的土地权益成了当下刻不容缓的问题。

近年来,随着城乡一体化进程的加快进步,农用地不断非农化,刘守英(2010)认为只要符合规划和用途管制的准入条件,无论是国有土地还是集体土地,都可以公开、有偿、公平进入建设用地市场,真正实现两种土地所有制宪法意义上的平等,实现集体土地和国有土地在土地市场上的“同地、同价、同权”,让农民以土地参与工业化城市化进程,分享工业化城市化的好处,主张“尊重和保护被征地农民在征地中的话语权和谈判权”。然而由于包括经济、政治、文化、历史等原因在内的各种因素,导致农民利益特别是土地权益的受损情况依然不容忽视。尽管多年来理论界对此问题进行了大量研究,也提出了许多符合国情、地情、民情的政策建议,但正如我们所知,土地买卖之风盛行,而强取强拆更是存在,农民的土地权益维护问题一直得不到彻底解决,而土地问题也一直是农民的心头之痛。笔者认为在城乡二元制度的实施大背景下,农民的土地权益问题要得到明晰的解决,唯有进行土地制度变迁。

二、维护农民土地权益的路径分析

20世纪90年代的土地私有化改革后,匈牙利的大部分农地已经私有化,1994年生效的《农用地保护法》规定了只有个人能成为农地所有权占有者,法人、没有法人资格的实体(国家、地方政府、林地与牧场所有者除外)、外国人及外国组织不能成为农地所有者,20世纪90年代初土地补偿和私有化之后,匈牙利土地所有权主体分布为私人75.9%、国有农地17.8%、合作社为6.3%。然而匈牙利的土地私有化并没有再创其农业在国际上的辉煌佳绩,反而产生了一系列社会问题。愿意耕种的农民无地可耕,而那些得到土地的大多数搬至城区的人又不愿意返乡耕种,而最初又没有合法合适的流转模式,导致很多抛荒与无地耕种并存的怪异现象,这不仅造成资源浪费,也严重阻碍了社会生产力的发展,更重要的是失地农民的生计问题无法解决,在保障一部分“地主”的土地所有权的同时让另一部分失地农民无以为生,且由于土地分割细碎化,导致无法规模经营,归还土地给原主也必然意味着所有权分散。这种所谓“物归原主”的政策导致的农民土地权益遭到匈牙利自二战以后前所未有的损害并由此引发的一系列连锁反应,正是此后匈牙利农业相当长时期陷入倒退的最主要原因。

诚然匈牙利实行土地完全私有化的政策效果不尽如人意,但依然有其值得我国借鉴的地方。匈牙利的土地制度和我国的土地制度发展历程如下:

匈牙利与我国的土地制度具有极高的相似度,但也有区别,而这区别也直接造成了私有化在匈牙利与我国实施的不同效果。具体如下:

第一,匈牙利的土改和农业合作化是在同一时期完成的,完全实行土地集体所有制。而我国是分两期完成的,主要实行的是农民土地私有制,专注性高,可见农民土地私有制在我国具有历史基础、实施经验。

第二,1945年至20世纪80年代,匈牙利几乎都是实行土地集体所有制,制度相当成熟,且具有广泛的社会基础,深得民心,所以突然实行完全私有化,难免会造成社会不安。

第三,匈牙利的土地历程是集体———私有的模式,而我国是私有———集体模式。在实行集体所有制时,匈牙利农业创造了极大的辉煌,特别是1968年至20世纪80年代,匈牙利依靠仅占世界农地0.14%的土地,生产了占全球0.8%的农产品,单位面积产值达610美元,不仅能保证本国粮食供应,还能将1/4的产品出口到国外,民众更乐于接受集体所有制,他们的土地权益得到极大的满足。历史证明,在我国实行集体所有制并无法创造出更高的价值,特别是人民公社制严重创伤了农民的生产积极性,阻碍了国民经济的发展,社会生产力低下,效率低,效益差,农民的土地权益也就无从谈起;

第四,匈牙利的土地制度极端性更高,由完全集体所有走向完全私有化,极易造成路径依赖的崩溃,进而引发一系列破坏性后果,比如失地农民的后续安置问题。由此可见,我国实行土地私有化的条件优于匈牙利,可借鉴实行,恢复农民土地私有制,给农民更大的自由,加深维护农民的土地权益的力度。当然如果要实行土地私有化还需要具备一些客观条件,比如地籍簿的建立,即建立一整套数字化网络共享的地籍,详细记载土地的位置、大小、土壤质量、土壤类别、用途、价值、所属人等各方面信息,提高土地资源的清晰度和透明性,利于土地价值的估测也利于土地市场的发展,利于维护农民土地权益,也利于国家宏观掌握土地信息,所以成立专门负责地籍登记管理工作的专门土地办公室也是必须的。而建立合理的土地价值估测系统也是土地市场发展的大势所趋。匈牙利主张基于土地估价(土壤质量,市场状况,交通设施、年产量等)即所谓的金皇冠值衡量农用土地的现值,这种估价方式起源于19世纪末20世纪初,一直沿用至今,特别是私有化以来,这套制度也在不断完善,继续发挥着其作用。这值得参考,当然建立符合我国市场现状的低价估测系统也需要随着时势的发展做出调整。

三、结论

选择适应我国当前农村土地集体用地化及其流转中的农民土地权益维护的合适路径,对于农民土地权益维护问题的解决十分重要,对于农民本身而言更是最根本的利益。如何在农地非农化及其流转中尽最大可能有效维护农民的土地权益,事关农民百姓的切身利益,密切关系到城乡统筹发展、城乡一体化进程。维护农民的土地权益具有其不可忽视的重要性和必要性,需引起全社会的共同关注。而维护路径的选择直接关系到维护农民土地权益的成与败,关系到效率和有效性,所以寻求一条最佳的路径当属重中之重。笔者建议借鉴匈牙利的土地制度,实行农村土地私有化制度,彻底解决产权问题。

摘要：近年来,我国农村土地集体建设用地及其土地流转过程中的农民土地权益受损严重,维护失地农民的土地权益,已成为刻不容缓的问题。如何选择农民土地权益维护路径,则事关农民切身利益和城乡统筹发展、城乡一体化进程,更是涉及公平与效率问题。在城乡二元制度的大背景下,农民的土地权益问题要得到明晰的解决,唯有进行土地制度变迁。建议借鉴匈牙利的土地制度,实行农村土地私有化制度,彻底解决产权问题,为更好地维护农民土地权益奠定坚实基础。

关键词：二元制度,农民土地权益,权益维护,路径探析

参考文献

[1]韩康.中国市场经济模式探讨[J].国家行政学院学报,2008(6)

[2]陈锡文.关于我国农村的村民自治制度和土地制度的几个问题[J].经济社会体制比较,2001(5)

[3]刘守英.土地问题“政治化”[J].中国改革,2010(1)