二元函数

二元函数（共9篇）

二元函数 篇1

1 证明某二元函数的极限常用方法

2 证明函数极限的不存在性

证明:对任意常数k, 显然

当沿y轴方向时有

故f (x, y) 在点 (0, 0) 处没有极限。

3 求二元函数的极限

此类题型相对较多些, 其解决方法也比较多样化一些, 归纳起来大体有以下几种解答方法:

3.1 定义法

用得较少, 适用于事先已经极限值的计算证明, 类似于一类题型。

3.2 公式法

将二元函数转化为一元函数, 再利用一元函数已有的公式进行求解, 或采用等价代换、无穷小量与有界量乘积等于无穷小量等来解决。比较常用的公式有:

解:利用极限的四则运算及已知极限的公式得

3.3 利用函数的连续性

3.4 夹逼准则 (一元函数中所使用的夹逼准则依然适用与二元函数)

3.5 极坐标代换

所以此题正确解答应该为:

相对于一元函数而言, 二元函数由于区域的多维性, 其极限问题也相对复杂些, 抓住二元函数中时, 是以任何方式 (包括直线路径, 也包括曲线路径) 趋近的, 仔细分析探讨, 也会得到好的解答。

摘要：二元函数的极限较一元函数复杂, 本文专门针对二元函数的极限作了较详细的探讨, 对可能涉及的几种常见题型都进行了分析探讨, 并给出了相应有效的解决方法, 以解答学生在学习的过程中碰到的各种问题给予帮助。

关键词：二元函数,极限,不存在性,连续性

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2000:121-130.

[2]刘国钧.微积分学习指导[M].武汉:华中科技大学出版社, 2009:222-257.

[3]邹本腾等.高等数学辅导 (修订版) [M].北京:科学技术文献出版社, 2000:446-456.

二元函数 篇2

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

二元函数 篇3

知识技能:

1.理解一次函数与二元一次方程(组)的对应关系。

2.会用图象法解二元一次方程组。

数学思考:

经历一次函数与二元一次方程(组)关系的探索及相关实际问题的解决过程,学会用函数的观点去认识问题的方法。

解决问题:

能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)解决相关实际问题。

情感态度:

在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神,在师生、生生的交流活动中,学会与人合作,学会倾听、欣赏和感悟,体验数学的价值,建立自信心。

重点:一次函数与二元一次方程(组)关系的探索。

难点:综合运用方程(组)、不等式和函数知识解决实际问题。

教学过程设计

问题与情境:

[活动1]感知身边数学

例题1:我校举行篮球联赛,每场比赛都要分出胜负。为了鼓励学生参赛,每队胜一场得2分,负一场得1分。我班为了争取较好名次,想在全部的10场比赛中得16分,问我班的胜负场数应分别是多少?

设计意图:

用“学生篮球比赛”这一生活实际创设情境,并用问题启发学生去思考,鼓励学生去探索、激励学生去说,从而唤起学生强烈的求知欲,使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。

[活动2]探索新知的乐趣

例题2:探究一次函数与二元一次方程的关系

解二元一次方程组;

x+y=102x+y=16x=6y=4

(2)是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式?

(3)是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解?

(4)在同一坐标系中画出一次函数y=-x+10和y=2x-1的图像,观察两直线的交点坐标是否是方程组x+y=102x+y=16的解?并探索:是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解?

(5)当自变量取何值时,函数y=-x+10与y=2x-1的值相等?这个函数值是什么?这一问题与解方程组x+y=10y=4是同一问题吗?

此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间,对学生可能出现的疑问给予帮助,师生共同归纳出:

从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

进一步归纳出:

从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值。

设计意图:

用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系,为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。

学生经过自主探索、合作交流,从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系,真正掌握本节课的重点知识,从而在头脑中再现知识的形成过程,避免单纯地记忆,使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励,充分肯定学生的探究成果,关注学生的情感体验。

[活动3] 乘坐智慧快车

例题3 :我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式1以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式2除收月基费20元外再以每分0 .05元的价格按上网时间计费。

(1)上网时间为多少分钟时两种方式的计费相等?

(2)如何选择收费方式能更合算?

师生行为:

学生分组讲解后发表见解,相互交流。教师首先引导学生分析得到收费方式的选择与每月上网时间x(分)有关,然后深入小组参与讲座帮助学生建立函数模型,得到不同的解决方法,并展示规范解答。

设计意图:

通过综合运用一次函数、二元一次方程(组)解决实际问题,让学生体会方程组,不等式与函数之间的相互联系,学会用函数的观点认识问题,解决问题时,应根据具体情况灵活地选择数学模型并把它们有机地结合起来。

[活动4] 体验成功喜悦

1.抢答题

(1)以方程3x-y=2 的解为坐标的所有点都在一次函数y= _____的图象上。

(2)方程组x+y=1x-y=1的解是________,由此可知,一次函数y=-x+1与y=x-1的图象必有一个交点,且交点坐标是________。

(3)某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务,甲种使用者每月需缴15元月租费,然后每通话1分钟,在付话费0.3元;乙种使用者不缴月租费,每通话1分钟付话费0.6元。若一个月内通话时间为x分钟,甲乙两钟的费用分别为______元。

①试分别写出y1与y2 之间的函数关系式;

②在同一坐标系中画出y1,y2 的图象;

③根据一个月通话时间,你认为选用哪种通信业务更实惠?

2.课堂训练

师生行为:

教师提出问题,学生回答、学生讨论并展示结果,教师引导学生采用不同的方法解答。

设计意图:

学生联系生活实际,体会数学的应用价值,感受成功的喜悦。

[活动5]分享你我收获

你对本节课的内容有哪些认识?

师生行为:

学生思考后充分发表自己的意见,然后相互补充。

设计意图:

通过小结明确本节的主要内容,思想和方法,培养学生善于反思的良好习惯.。

[活动6]开拓崭新天地

写一篇数学日记;谈一谈你对今天数学课的感受,你对课堂的表现得评价,今后你对学习的打算。

作业: 教科书习题14.3第5,6,11题。

设计意图:

培养学生归纳和语言表述能力。

教学反思

本节课是人教版八年级上册第十四章第三节第三课时。此前,学生已经探究过一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的联系。通过本节课的学习,学生不仅能从函数的角度动态地分析方程(组)、不等式,提高认识问题的水平,而且能感受数学的统一美。

考虑学生已有的认知结构,我用“学生打篮球”这一生活实际创设情境,引出方程模型,使学生主动投入到一次函数与二元一次方程(组)关系的探索活动中;紧接着,用一连串的问题引导学生自主探索、合作交流,从数和形两个角度认识它们的关系,使学生真正掌握本节课的重点知识。在探究过程中,教师应把握好自己组织者、引导者和合作者的身份,及时对学生进行鼓励,关注学生的情感体验。

为培养学生的发散思维和规范解题的习惯,我引导学生将“学生打篮球”问题延伸为例题,前后呼应,使学生有效地理解本节课的难点。此例题涉及函数、方程(组)和不等式等知识,是本大节内容的集中体现,它能使学生提高综合应用知识的能力,感受图象法的优越性。为进一步培养学生应用数学的意识,作业中我设计了数学日记、必做题和选做题,让“不同的人在数学上得到不同的发展”。

本教案的设计力求通过“感知身边数学、享受探究乐趣、乘坐智慧快车、体验成功喜悦、分享你我收获、开拓崭新天地”等六个环节,整个的设计贯穿一个原则——以学生为主体的原则,突出一个思想——数形结合的思想,体现一个价值——数学建模的价值,渗透一个意识——应用数学的意识。

新课程标准要求我们实现以人的全面发展为本的教学观,改变传统教学过于注重传授知识的倾向,让学生在课堂上真正动起来,切实实现学生的主体地位。我在这堂课上始终贯彻〈课标〉提出的尊重学生在学习中的主体地位——定义让学生归纳,疑难让学生议,规律让学生找,结论让学生得,错误让学生析,小结让学生做。老师只是指导者与合作者。在一种全新的教学情意场中,学生的积极性被充分调动起来,纷纷参与到问题探究的过程中来,真正成为课堂的主人。这样就避免了教师讲学生听再强化训练,把学生变成一架“解题机器”。

总之,通过这次讲课我的体会是:备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程,知识的发展、教育对象的变化、教学效益要求的提高,使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的,一种最佳教学方案的设计和选择,往往是难以完全使人满意的。关于备课,苏霍姆林斯基曾讲过这样一个故事:一位教师的一堂历史课上得精彩之至,令所有听课者叹为观止,于是下课后,大家围住这个老师,询问他,这节课上得这么好,你花了多少时间备课?那位历史老师说:我是用我的一生来备这一节课,至于这节课的教案,大概用了一刻钟。是的,最高境界的备课是用一生用心去备课。我们教师在行动中可能无法达到此境界,但首先在意识上应以这样的境界要求自己吧。先前总觉得坐在电脑前、打开书本、翻阅各种可利用资料的资料等就可备好一堂课,自从这堂课之后我才逐渐领悟到备课就像酿酒,最重要的是酝酿过程,在我们对教材及相关资料熟悉的基础上,随时随地在脑中反复地琢磨、酝酿、修改,这样才能挤出精华、酿出香酒。

二元函数极限的求法 篇4

在多元函数微分学中,二元函数极限的存在性及其求法既是重点内容又是难点之一。与一元函数的极限概念类似,二元函数的极限反映函数随两个自变量的变化而变化的趋势,相对于一元函数的极限,二元函数的极限让大多数学生感到掌握起来有困难。而在高等数学教材中对二元函数极限的求法内容涉及的不多,为了更好地让学生能对已学知识灵活与综合应用,进一步提高学生的应用能力。本文总结归纳了求二元函数极限常用的方法与技巧以及需要注意的一些问题。

1 证明二元函数极限存在的方法

1.1 利用两边夹法则求极限

注1:使用两边夹法则时要放缩恰当。若放缩不当,将取不到预期的效果。

1.2 利用变量替换化为一元函数极限

例1[1]求极限

解:令x2+y2=t,则(x,y)→(0,0)时,有t→0,于是

1.3 利用极坐标变换求极限

例2求极限

解:令x=rcoθ,y=rsiθ,则x2+y2=r2。

注2:利用极坐标变换后要充分注意在极径r变化的同时极角是任意的,否则的话容易导致错误。

参见下面例3。

例3讨论二重极限的存在性。

错解:设x=rcoθ,y=rsiθ,则有

注3:此解法是错误的。当时,极限存在性得不到保证,这也就是说,经过极坐标变换后保证不了极角的任意性,也就否定了(x,y)→(0,0)方式的任意性。

1.4 利用初等函数的连续性,以及极限的四则运算法则

例4[2]若f(x,y)为二元初等函数,则

1.5 利用初等变换求极限

例5求极限

2 证明二元函数极限不存在的方法

2.1 证明沿某特殊路径的极限不存在

例6讨论函数在点(0,0)处的极限。解:考虑动点p(x,y)沿直线y=kx趋于(0,0)时的极限。

取y=kx(k为常数),所以所讨论函数的极限值随k的变化而变化,故二重极限不存在。

2.2 证明沿两个特殊路径的极限存在但不相等

例7讨论函数在点(0,0)处的极限。

解:考虑动点p(x,y)沿不同路径趋于(0,0)时的极限。

沿直线L:y=kx趋于(0,0)时,

沿抛物线C:x=y 2趋于(0,0)时,

2.3 根据累次极限和二重极限的关系

(1)两个累次极限存在且相等,二重极限未必存在,如函数在点p0(0,0)处。

(2)二重极限存在,累次极限可以不存在,如函数在点p0(0,0)处。

(3)若两个累次极限都存在但不相等,则二重极限一定不存在。

例8:求极限。。

解:先考虑两个累次极限。,而,根据累次极限和二重极限的关系,故二重极限不存在。

参考文献

[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1997:144-156.

二元函数求最值一例 篇5

设x, y为实数, 若4x2+y2+xy=1, 则2x+y的最大值是________.

此题可谓是一道二元函数求最值的经典题目.一数学杂志在一年内三次刊登该题的解法, 总共有17种之多.综观各种解法, 有些解法实际大同小异.而学生又是如何想到用这种方法解的, 我认为是教师在课堂上讲解、引导的关键.学数学最终是如何解决数学的问题, 如何把陌生的数学题化归为学生所熟悉的情景题, 并利用已有的知识给予解决, 是教师着重在备课时应该注意的问题.下面就此题引导学生分析时的思考, 与同行们交流.

一、从基本不等式角度分析

对于一个二次的约束条件4x2+y2+xy=1, 而求的是线性式2x+y的最值, 我们最容易想到的是均值不等式, 而均值不等式的关键在于配凑, 于是就有了高考的标准答案.

若对此题目略微变形, 则用均值不等式更方便.

二、从方程角度分析

若从方程的思想出发, 条件为二元二次方程, 令所求z=2x+y, 则y=z-2x, 代入方程, 可利用方程有解即判别式法, 求得z的取值范围.

三、从三角的角度分析

若对此方程的形式进行联想, 易知二次方程中的x, y换成-x, -y方程不变, 要求最大值只需在x, y≥0在时求得, 不难发现此形式与余弦定理类似, 于是可构造三角形, 利用三角函数的知识解决.

四、从函数角度分析

若转换成一元函数, 则可利用一元函数中的求最值方法, 同时也是学生容易想到的方法.

五、从几何的角度分析

与学生所熟悉的知识类似的有“已知圆或椭圆, 求二元线性的最值”, 此题可通过变形化归成所熟悉的类型, 于是就有了以下解法.

解法8上述也可换成圆的参数形式, 结合三角知识也可求得.

由以上不同的角度对题目的分析, 得到多种不同的解法, 由此对学生思维的广度和深度进行了很高的提炼, 锻炼了学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和创造性, 从而培养学生的思维品质及思维能力.

下面题目可一试:

三种策略破解二元函数难题 篇6

策略一取定主元: 暂时将另一变量视为常数

例1 ( 2013年陕西卷) 已知函数f( x) = ex,x∈R.

( 1) ( 2) 略;

( 3) 设a < b,比较的大小,并说明理由.

分析该题的主要难点在于a,b均在变化,本质上即为二元函数问题. 但若将a,b均作为自变量,不符合高中学生的认知规律. 因此,可将a视为常数,将b视为主元.

作差:

有,因此h( x) 在区间( a,+ ∞ ) 上单调递增.

又h( a) = 0,故h( x) > 0,即g'( x) > 0,故g( x) 在区间( a,+ ∞ ) 上单调递增.

又g ( a ) = 0,所以当x > a时,g ( x ) > 0,即

策略二构造新变量

例2同例1.

解析我们知道,利用基本不等式求最值是一类常见的问题,这本质上仍是多元函数问题. 而我们处理该类问题一般是通过代数变形,利用整体构造的方式: 若x+ y为常数,则得到xy的最大值; 若xy为常数,则得到x + y的最小值. 从中得到启发,我们有如下的解法:

作差

设函数m( x) = x( 1 + ex) - 2( ex- 1) ,x > 0,

则 m'( x) = xex+ 1 - ex,设 u( x) = xex+ 1 - ex,x > 0,

则u'( x) = xex> 0,∴u( x) 单调递增. 又u( 0) = 0,

故x > 0时,u( x) > 0,即m'( x) > 0,即m'( x) 单调递增.

从而x > 0时,m( x) > m( 0) = 0,

即

策略三构造新函数

例3 ( 2010年辽宁) 已知函数f( x) = ( a + 1) lnx +ax2+ 1.

( 1) 讨论f( x) 的单调性;

( 2) 设a < - 1,若对任意x1,x2∈( 0,+ ∞ ) ,| f( x1) -f( x2) |≥4 | x1- x2| ,求a的取值范围.

解析 ( 1) 略.

( 2) 由( 1) 知当a < - 1时,f( x) 在( 0,+ ∞ ) 单调递减.

该问题的难点在于x1,x2是两个独立变化的量,无内在联系,因此将其中任何一个视为常数均不好处理; 同时要构造一个与x1,x2均有关的量也无法完成,需另辟蹊径.

首先考虑去掉绝对值符合,这结合函数的单调性可以解决.

不妨设x2> x1,则f( x2) < f( x1) ,则原不等式等价于f( x1) - f( x2) ≥4x2- 4x1.

此时按照变量分离的思想我们可以将x1,x2各置一方:

因此,我们可以构造一个新函数: g( x) = f( x) + 4x,则问题等价于函数g( x) 在( 0,+ ∞ ) 上单调递减即可,这是我们非常熟悉的一类问题,已经不难解决.

令g'( x) ≤0,可得

故a的取值范围是( - ∞ ,- 2].

点评在该问题中,将f( x1) - f( x2) ≥4x2- 4x1变形为f( x1) + 4x1≥f( x2) + 4x2是最关键的一步,这实际上是分离变量思想的一个应用,通过将x1,x2各置一方,提炼出共同的结构,为我们构造新函数解决问题铺平了道路.

关于二元函数极限定义的教学探讨 篇7

关键词：二重极限,二次极限,定义

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的, 是一元函数极限概念的推广. 因而二元函数的极限比一元函数极限更抽象, 要求更高, 从而更难理解. 初学者很容易犯一些概念性的错误, 因此加强对二元函数的极限概念的教学和理解显得尤为重要.

1. 二重极限的定义

现行教材中, 对于二重极限有两种定义方法:

定义1设f是定义在点P0 ( x0, y0) 的某去心邻域内的二元函数, a∈R为一常数. 若ε > 0, , 使得当时, 恒有|f ( x, y) -a| <ε, 则称a为f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0, y0) 时的二重极限.

定义2设f是定义在集合上的二元函数, P0 ( x0, y0) 是A的一个聚点, a∈R为一常数, 若, 使得当时, 恒有| f ( x, y) - a | < ε, 则称a为f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0, y0) 时的二重极限.

两种定义的比较:

1°) 定义1是一元函数极限的直接推广, 要求函数在P0的去心邻域内每一点都要有定义, 并且对于中每一点, 都满足不等式|f ( x, y) -a| <ε, 要求太强, 使用范围小!

2°) 定义2要求函数f定义在一个集合上, 允许在P0的任一去心邻域内有使f无定义的点, 并且仅要求在去心邻域内使f有定义的点满足|f ( x, y) -a| < ε, 要求弱, 适用范围大!

例1 设求

按定义1, 此极限无意义, 但可按定义2求得

不但极限存在, 而且f在 ( 0, 0) 连续.

例2求“十字架”函数f (x, y) =1, D (f) ={ (x, y) |xy=0}当 (x, y) → (0, 0) 时的极限.

按定义1, 此极限无意义; 但按定义2:

例3 求

[注] 1°) 一个建议. 对多数院校的学生, 用定义1来定义重极限就够了. 为了使该定义能用于定义域D ( f) 是闭域时讨论函数在边界点上的极限, 可将定义1扩充如下:

2°) 重极限与一元函数极限的本质差异. 由于自变量的增多, 使得当点P ( x, y) 在平面区域 ( 或集合) D ( f) 中趋于P0 ( x0, y0) 时的路径和方式任意多, 定义要求当P以任何路径和任一方式趋于P0时, f ( x, y) 都趋于同一个常数a, 才能说. 所以, 当P以不同方式沿不同路径趋于P0时, f ( x, y) 趋于不同常数, 或者P按某一方式或路径趋于P0时, f ( x, y) 不趋于一个确定的常数, 则可断定f ( x, y) 的极限不存在重极限比一元函数极限的要求强得多!

2. 二重极限与二次极限

二重极限与二次极限有着本质的差异. 二重极限是用以刻画当 ( x, y) 在P0 ( x0, y0) 的充分小的邻域内动点P ( x, y) 以任意路径任意方式趋于P0时函数f ( x, y) 的变化趋势的; 二次极限本质上属于一元函数极限的范畴, 是接连求两次一元函数的极限.例如, 考察它表示对任给的y, 先求, 若存在} , 则得一定义在Y上的函数 ( 称之为f ( x, y) 关于x在x0处的极限函数) . 若该函数在y0处的极限也存在, 则称为f ( x, y) 关于变量x和y在 ( x0, y0) 处的二次极限.

在几何上, 如图所示.

两种顺序的二次极限之间的关系是: 不必同时存在; 若均存在, 二者也不必相等. 一般来说, 二次极限不能交换极限的顺序. 因此二重极限与二次极限间无必然的蕴含关系.

定理若二重极限存在, 并且两种顺序的二次极限中的里层极限都存在, 则两种顺序的二次极限都存在, 且与二重极限的值相等.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第4版) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

[2]同济大学数学系.高等数学 (第6版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

一类二元有理插值函数的构造方法 篇8

设给定插值节点∏n, m={ (xi, yj) | (xi, yj) ∈R2, i=0, 1, …, n;j=0, 1, …, m}, 共有 (m+1) (n+1) 个节点, 称∏n, m为矩形网格, 所谓二元有理插值问题就是求二元有理分式函数

R (x, y) =N (x, y) /M (x, y)

使之满足插值条件

R (xi, yj) =N (xi, yj) /M (xi, yj) =f (xi, yj) , i=0, 1, …, n;y=0, 1, …, m (1)

其中N (x, y) , M (x, y) 均是二元多项式。

二、记号、引理及主要结果

设x0

undefined

undefined

由差商性质知undefined是函数g (x, y) 关于矩形网格∏n, m的二元差商。

引理[1] 满足插值条件的g (xi, yj) =gij, i=0, 1, …, n;j=0, 1, …, m的二元Newton插值多项式为

undefined

其中undefined;k=0, 1, …, m

现将∏n, m中的各节点赋指标

(0, 0) , (1, 0) , …, (n, 0) , (0, 1) , (1, 1) , …, (n, 1) , (0, m) , (1, m) , …, (n, m)

记L=m·n+m+n, 将上面顺序的二元指标集记为

E={ (u0, v0) , (u1, v1) , …, (uL, vL) }

可将E中的指标按照实际需要重新排序, 设得到两个二元指标集E1及E2:

E1={ (i0, j0) , (i1, j1) , …, (iL, jL) } E2={ (d0, e0) , (d1, e1) , …, (dL, eL) }

N={ (i0, j0) , (i1, j1) , …, (is, js) } D={ (d0, e0) , (d1, e1) , …, (dt, et) }

其中s+t=L, 称R (x, y) =N (x, y) /M (x, y) 为[N/D]L型二元有理函数, 设

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其中undefined

由文献[1]知R (x, y) =N (x, y) /M (x, y) 为[N/D]L型有理函数的充要条件是

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且有如下定理

定理[1] 满足插值条件 (1) 的[N/D]L型二元有理函数R (x, y) =N (x, y) /M (x, y) 存在的充分必要条件是方程组

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有一组解[q00, q10, q01, …, qnm]T满足qij≠0, i=0, 1, …, n;j=0, 1, …, m, 且

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文[1]讨论了n=1, m=2的情形, 本文利用该定理来讨论当n=2, m=1时的一类二元有理插值问题。

设 E1={ (0, 0) , (1, 0) , (0, 1) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1) } E2={ (0, 0) , (1, 0) , (2, 0) , (0, 1) , (1, 1) , (2, 1) }

N={ (0, 0) , (1, 0) , (0, 1) , (1, 1) } D={ (0, 0) , (1, 0) , (2, 0) }

则相应的[N/D]L型二元有理插值为

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此时方程组 (3) 写为

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如果方程组一组解[q00, q01, q10, q11, q20, q21]T满足qij≠0, i=0, 1, 2;j=0, 1则有理插值问题一定有解, 其解为

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三、数值例子

例:已知插值条件如下

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判断形如 (4) 且满足上述插值条件的二元有理插值函数R (x, y) 是否存在?若存在, 写出它的具体表达式。

解:因为x0=0, x1=1, x2=3, y0=1, y1=1, 所以由 (2) 得

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由 (5) 解下列方程组

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得通解undefined为任意常数)

取undefined, 由定理知, 有形如 (4) 的二元有理函数存在且

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即undefined满足题设插值条件。

参考文献

[1]朱晓临.一种求二元有理插值函数的方法[J].大学数学, 2003, 9 (1) :90-95.

[2]盛中平, 崔凯.有理插值问题存在性的判别准则[J].高等学校计算数学学报, 1999, (2) :115-125.

[3]王仁宏.数值逼近[M].上海:上海科学技术出版社, 1980.

二元函数 篇9

高等数学中,关于多元函数的极限问题,我们主要讨论了二元函数的极限。二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的,但与一元函数极限又有着本质上的差异,其概念更抽象,更难理解,初学者很容易犯一些概念性的错误,因此,在教学过程中需要加强学生对二元函数极限概念的理解。

1 二重极限的定义

注意:所谓二重极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数A。这是与一元函数极限的本质区别。

由于二元函数的极限与一元函数的极限具有类似的性质和运算法则,因此在教学的过程中,对于二重极限的求法一般不会大篇幅的讲解,经常是利用一元函数求极限的方法直接推广到二元函数,比如,夹逼准则,有界函数和无穷小量的乘积仍是无穷小量,等价无穷小替换,分子分母有理化等,但是,在具体的求解过程中,学生们经常会忽略二元函数极限中趋近方式的任意性和函数的定义域,出现一些错误的解法。

2 常见错误举例和分析

下面举例来说明。

下面将例1稍加改动,求解过程不变,我们会发现此解法是没有问题的。

例2在求解极限的过程中,问题和例1一样,定义域的范围缩小了,但是我们发现,当(x,y)→(0,2)时,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点时,动点P(x,y)以可能有的任何路径趋于定点(0,2)时,前者求极限时也可以去掉沿x轴趋于点(0,2),因此,对于例2解法是没有问题的。

从上面两个例子我们可以看到,如果对二元函数极限存在的定义理解的不是很清楚,那么在具体求解二元函数的极限时就会出现一些错误的解法。

为了避免例1出现的问题,下面用夹逼准则或者等价无穷小替换来给出例1正确的解法:

注意,上述方法也可以来求解例2。

类似的例子还有很多,比如如果用例1的方法来求极限都会出现相同的问题,在求解的时候凑项使得函数的定义域缩小,在小的范围成立的结果并不能保证在大的定义域范围内结果也成立,根据二重极限的定义,要求动点P(x,y)以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数,上面的做法缺少了一些路径,因此,解法是不严谨的,正确的方法是用夹逼准则或者等价无穷小来计算。

分析:当x=ρcosθ,y=ρsinθ时,动点(x,y)是沿着任意给定的直线方向趋近(0,0),该函数都趋于同一常数0,但并不能保证动点(x,y)沿着任意路径趋近(0,0)时的极限存在并且相等,由二重极限的定义,不能推出。

事实上,,其值随k的不同而变化,故极限不存在。

3 结论

总之,多元函数求极限比一元函数求极限复杂的多,二元函数的极限存在要求动点以可能有的任何方式趋近与固定点时的极限都存在并且相等,因此,在教学中,让学生充分认识到二元函数极限存在的本质,避免一些错误的解法。

摘要：二重极限是高等数学中的一个重要内容,对于初学者来说,由于二元函数的变量有两个,求二元函数的极限存在一定的困难和误区。本文给出了几个常见的错误解法并给出了正确的求法。

关键词：二重极限,定义域,常见错误

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M].五版.北京:高等教育出版社,2002.

[2]李应岐,方晓峰,王静,等.高等数学疑难问题解析[M].北京:国防工业出版社,2014.

[3]陈传璋,金福临,朱学炎,等.数学分析(下册)[M].二版.北京:高等教育出版社,1999.