二元函数概念极限连续

二元函数概念极限连续（精选8篇）

二元函数概念极限连续 篇1

§2.3 二元函数的极限与连续

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。

二元函数概念极限连续 篇2

2 证明函数极限的不存在性

证明:对任意常数k, 显然

当沿y轴方向时有

故f (x, y) 在点 (0, 0) 处没有极限。

3 求二元函数的极限

此类题型相对较多些, 其解决方法也比较多样化一些, 归纳起来大体有以下几种解答方法:

3.1 定义法

用得较少, 适用于事先已经极限值的计算证明, 类似于一类题型。

3.2 公式法

将二元函数转化为一元函数, 再利用一元函数已有的公式进行求解, 或采用等价代换、无穷小量与有界量乘积等于无穷小量等来解决。比较常用的公式有:

解:利用极限的四则运算及已知极限的公式得

3.3 利用函数的连续性

3.4 夹逼准则 (一元函数中所使用的夹逼准则依然适用与二元函数)

3.5 极坐标代换

所以此题正确解答应该为:

相对于一元函数而言, 二元函数由于区域的多维性, 其极限问题也相对复杂些, 抓住二元函数中时, 是以任何方式 (包括直线路径, 也包括曲线路径) 趋近的, 仔细分析探讨, 也会得到好的解答。

摘要：二元函数的极限较一元函数复杂, 本文专门针对二元函数的极限作了较详细的探讨, 对可能涉及的几种常见题型都进行了分析探讨, 并给出了相应有效的解决方法, 以解答学生在学习的过程中碰到的各种问题给予帮助。

关键词：二元函数,极限,不存在性,连续性

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2000:121-130.

[2]刘国钧.微积分学习指导[M].武汉:华中科技大学出版社, 2009:222-257.

二元函数概念极限连续 篇3

关键词： 函数    极限    连续    可导

一、学生在学习高等数学的相关内容中遇到的问题

在判断一函数在某点处的极限是否存在及在该点处是否连续或可导的问题时，学生往往很纠结，经常混为一谈，甚至会出现指鹿为马的现象.

二、如何处理好学生所遇到的相关问题

要想避免把三个不同的问题混为一谈，就必须弄清以下两个充要条件和一个必要条件及导数的定义.

1.函数f（x）当x→x 时极限存在的充要条件是左极限、右极限存在且相等，即

f（x）=A？圳 f（x）= f（x）=A

注：当左、右极限都存在，但不相等，或者二者至少有一个条件不存在时，就可以断言函数f（x）在x 处的极限不存在.

2.函数f（x）在点x 处连续的充要条件是函数在该点处的左、右极限存在、相等且等于该点处的函数值，即函数f（x）在点x 处连续？圳 f（x）= f（x）=f（x ）.

注：当函数在点x 存在下列三种情形之一：

（1）在x=x 处无定义;

（2）在x=x 处有定义，但 f（x）不存在;

（3）在x=x 处有定义，且 存在，但 f（x）≠f（x ），则函数f（x）在点x 处不连续.

3.函数y=f（x）在点x 处可导的必要条件是：f（x）在点x 处的左、右导数存在且相等，即f′ （x ）=f′ （x ）.

4.导数的定义

设函数y=f（x）在点x 的某一领域内有定义，如果极限

=  存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x 处的导数，记作

f′（x ）或y′| ，即：

f′（x ）=  =

此时也称函数f（x）在点x 处可导;若极限不存在，则称函数f（x）在点x 处不可导或导数不存在.

例1：设函数

f（x）=x·sin     x>01    x=0x     x<0

判断函数f（x）在x=0处的极限是否存在及函数在x=0处是否连续？

解：因为 f（x）= x =0， f（x）= x·sin =0

即 f（x）= f（x）=0，故函数f（x）在x=0处的极限存在.

又因为f（0）=1，即： f（x）= f（x）≠f（0），故函数f（x）在x=0处不连续.

例2：选择适当的a、b值，使函数

f（x）=2x        x≤1ax+b    x>1在点x=1处既连续又可导.

解： f（x）= 2x =2， f（x）= （ax+b）=a+b

因f（x）在点x=1处连续，即： f（x）= f（x）=f（1）

故a+b=2

f′ （1）=  =  = 2（x+1）=4

f′ （1）=  =  = a=a

因f（x）在x=1处可导，即f′ （1）=f′ （1）

故a=4，于是b=-2.

所以，当a=4，b=-2时，函数f（x）在x=1处既连续又可导.

例3：判断函数

f（x）=x +1    x≤22x+3    x>2在x=2处的极限是否存在，且在x=2处是否连续、可导？

解：因 f（x）= （x +1）=5， f（x）= （2x+3）=7

即 f（x）≠ f（x）

故函数在x=2处的极限不存在，从而函数在x=2处也不连续.

因f′ （2）=  =  =  =4

f′ （2）=  =  =2

即f′ （2）≠f′ （2）

故函数f（x）在x=2处不可导.

三、结论

一般地，判断函数在某点处的极限是否存在或在该点处是否连续，所讨论的函数都是分段函数，因为一切基本初等函数、初等函数在其定义域内都是连续的，而分段函数一般不是初等函数.

综上所述，要做到能熟练解决以上所提到的问题，不至于将三者混淆起来，只需明确三者之间的共同点都是求极限的问题，而连续的条件比极限存在的条件要多加强一个，不能把只要满足了左、右极限存在且相等就看成是函数在该点处连续.判断函数在某点处是否可导，只需看是否满足左、右导数是否存在且相等即可.

参考文献：

[1]姚孟臣.大学文科高等数学.高教出版社，2010.5.

[2]薛桂兰.高等数学学习指导.高教出版社，2005.6.

[3]沈聪.高等数学.首都经济贸易大学出版社，2010.5.

二元函数概念极限连续 篇4

一、定积分及应用

⒈了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性，ba(f(x)g(x))dxbabbaf(x)dxbag(x)dx

cf(x)dxcf(x)dxa

(c为常数)

还应熟悉以下性质

baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx

baf(x)dxf(x)dx

baaaf(x)dx0

例题：

1．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)2xdx1;01(3)sinxdx0.解答：

（1）表示的是：由y轴，直线x1和直线y2x所围成的三角形的面积是1。（2）表示的是：由x轴，曲线ysinx和直线x所围成的图形上下的面积相等。2．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大：(1)xdx还是01210xdx?23(2)xdx还是12 xdx?1321解答：（1）因为在区因为在区间[0，1]上，xx，因此有：023xdx210xdx?3

（2）在区间[1，2]上，x2x3，因此有：12xdx221xdx3

⒉了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。

若G(x)(x)af(t)dt，则

G(x)f((x))(x)

⒊熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。

例题：估计积分(x1)dx.的值：

142解答：(x1)dx(ab2x33x)|bab33b(a33a)，因此

41(x1)dx21324.22.计算.解答：

⒋了解广义积分的概念；会判断简单的广义积分的收敛性，并会求值。

a10dxpxdxxp当p1时收敛，当p1时发散；

当p1时收敛，当p1时发散。

⒌掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。

由曲线yf(x)和yg(x)及直线xa,xb围成的面积S，有

Sbaf(x)g(x)dx

对于对称区间(a,a)上的定积分，要知道

当f(x)为奇函数时有

当f(x)为偶函数时有

a－aa－af(x)dx0

f(x)dx2f(x)dx20a0－af(x)dx

例题： 1.计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积.解答：

2．计算对弧长的曲线积分之间的一段弧.解答：L.yds,其中L是抛物线yx上的点（0，0）与点(2,42)2Lyds20x14xdx2182014xd4x222136

3.利用定积分定义计算由及横轴所围成的图形的抛物线yx1,两直线xa、xb(ba)面积.解答：(x1)dx(2abx33y2x)|bab33b(a33a)

练习：求椭圆答案：6。x2941所围成的图形面积.6.理解二重积分的定义、几何意义；会计算二重积分

例题：计算二重积分：

(1)xyd,其中D是由直线x0、y0、xy1所围成的闭区域；

D(2)Dexy22d,其中D是由圆周xy1所围成的闭区域.x2xx22322解答：（1）xydD2210dx21x0xydy10dx124，（2）eDxyd10dr0ed2(e1)，r二、二元函数的定义域

要求：会求二元函数的定义域 例题：

1．求下列各函数的定义域：(1)zln(yx)x1xy(2)uRxyz222222;1xyzr2222

(Rr0).解答：（1）要使函数有意义必须满足：

yx022，这样函数的定义域为：{(x,y)|yx,x0,xy1.} x0221xy0（2）要使函数有意义必须满足：Rxyz0,xyzr0,即

{(x,y,z)|r222222222xyz222R}2

练习：求函数zxy1y的定义域。

答案：{(x,y)|xy,y0} 2．已知函数f(x,y)x2y2xytanxy,试求f(tx,ty).解答：将tx,ty分别代替原函数自变量x,y的位置，通过计算我们得到：原式=t2f(x,y)3．已知函数f(u,v,)uuv,试求f(xy,xy,xy).解答：将xy,xy,xy分别代替原函数自变量u,v,w的位置，通过计算我们得到： 原式=(xy)xy(xy)2x

练习：设f(x,y)x2xyy2sin答案：t2f(x,y)。

yx,则f(tx,ty)=？

三．二元函数的极限

从形式上讲，一元函数与二元函数的极限没有多大区别。limfxA是指，对于任

xx0意给定的正数，总存在正数，当0xx0时，恒有fxA.limfPAPP0是指，对于任意给定的正数，总存在正数，当0PP0时，恒有fPA。但是在二元函数的极限中PP0要比一元函数极限中xx0复杂的多，对xx0，x趋向x0的方式虽然是任意的，但它毕竟是在x轴上变化而已，可是对PP0，P趋向P0的任意方式却是在平面上变化，因此PP0要比xx0多样化。

例如：沿着所有过P0的直线趋向P0是PP0的一种特殊方式，又例如沿着所有过P0的抛物线趋向P0也只是PP0的一种特殊方式，还有其他的PP0的方式，这就一元函数与二元函数的极限的重要区别。例题：

1.求极限：(1)lim(xy)exyxx1y2;

(2)limsinxy()yx2y0;

解答：（1）原式=12e1123e2

（2）此题与上题不一样，因为当y0时，分母趋于零，所以我们需要先对y求导，sin(xy)y即

limx2y0limxcosxy()2。

x2y0练习：(1)lim1xyxyxy22;(2)limln(xe)xy22yx0y1x1y0;(3)lim2xy4xyx0y0;

(4)limx0y0xy11;(5)lim1cos(xy)(xy)e22xy2222x0y0.14答案：（1）1；（2）ln2；（3）（4）（5）先对x, 后对y求导，然后可算出：分别为,2，

四、方向导数和梯度

定理：若函数f在点P0x0,y0,z0可微，则f在点P0处沿任意方向l的方向导数都存在，且

flP0fxP0cos+fyP0cos+fzP0cos，其中cos，cos，cos为方向余弦。

对于二元函数fx,y来说，相应的结果是

flP0fxx0,y0cos+fyx0,y0cos，其中,是平面向量l的方向角。

梯度的定义：若函数f在点P0x0,y0,z0存在对所有自变量的偏导数，则称向量（fxP0，fyP0，fzP0）为函数f在点P0的梯度，记作：

gradf（fxP0，fyP0，fzP0）

向量gradf的长度（或模）为

gradf例题：

1．求函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,2解答：方向l=21,222fxP0fyP0fzP0222

3)的方向的方向导数.32=1,3，易见z在点P0（1，2）可微，故由fxP02

，fyP04，及方向l的方向余弦：cos2113212，cos32

所以函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,21232223)的方向的方向导数为

zl（P0）=24=123 2．问函数fxy2z在点P0（1，－1，2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解答：因为f在点P0的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模，又fxP02，fyP04，fzP01，所以gradf2i4jk是方向导数取最大的方向，此方向导数的最大值是|gradf|21。

练习：函数zx2y2在点（1，1）处沿从点（1，1）到点（3，2）方向的方向导数解答：5

一、多元函数、极限与连续解读 篇5

一定法则总有确定的值与它对应，则称 是变量 x、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为

（或），点集 D 为该函数的定义域，x、y 为自

为该函数值域。由此变量，为因变量，数集也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是一张曲面。例如 面。

㈡二元函数的极限

⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域）D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式，都有 的一切点

是球心在原点，半径为 1 的上半球

成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当

或 , 这里 时的极限，记作

。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。⒉注意：二重极限存在是指 都无限接近A。因此，如果条定直线或定曲线趋于

沿任意路径趋于，函数

沿某一特殊路径，例如沿着一时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内有定义，是 D 的内点或边界点且

。如果

连续。如果函，则称函数 f（x，y）在点

数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。2 ．性质

⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；

⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次；

⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分 ㈠偏导数

⒈偏导数定义：设函数

在点 的某一邻域内有定义，时，相应地函数有增量

存在，则称此极限为

处对 的偏导数，记作，当 固定 在而 在处有增量，如果函数

或 类似，函数 在点

在点

处对 的偏导数定义为，记作

际中求，或。在实的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求 时只要将暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要将 暂时看作常量而对 求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数 注意：对于一元函数来说 可以看作函数的微分 分 之商，而偏导数的记

与自变量微号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。⒉偏导数的几何意义：设 过 做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面，则导数

上的方程为

为曲面

上的一点，即偏导数

对 轴的 斜率。同样，偏导数 截得的曲线在点 的切线

处，就是这曲线在点 处的切线 的几何意义是曲面被平面 所对 轴的斜率。

在区域 D 内具有偏导数，都是，⒊高阶偏导数：设函数，那么在 D 内 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数： ,。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）㈡全微分

⒈全微分定义：如果函数

可表示为

赖于、而仅与、有关，在点

可微分，而

称

在点 的全增量，其中 A、B 不依，则称函数

为函数

在点 的全微分，记作，即。如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。定理 1（必要条件）：如果函数 函数在点 的偏导数

在点 的全微分为 在点

可微分，则该必定存在，且函数

。定理2（充分条件）：如果函数续，则函数在该点可微分。的偏导数 在点 连以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数 的全微分可表示为 分等于它的两个偏微分之和

这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则 ㈠复合函数的全导数：如果函数 函数 在对应点

在点 可导，且

及

都在点 可导。通常将二元函数的全微具有连续偏导数，则复合函数 其导数可用下列公式计算：。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，则，其中 称为全导数。上述定理还可推广

到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。㈡复合函数的偏导数 : 设 则

是

可微，函数，对，并且，的复合函数。如果 的偏导数存在，则 复合函数

对 的偏导数存在，且

㈢全微分形式的不变性 : 设函数 则有全微分 果、又是，如 的函数、具有连续偏导数，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合 函数 的全微分为

由此可见，无论 是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式 ㈠、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 ：设函数 有连续的偏导数，且，内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满，则方程

在点 的某一邻域

在点 的某一邻域内具 足条件，并有

隐函数存在定理 2 ：设函数 具有连续的偏导数，且，一邻域

内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，则方程

在点 的某

在点 的某一邻域内，并有

㈡、方程组的情况 隐函数存在定理 3 ：设 某一邻域内、在点 的具有对各个变量的连续偏导数，又，且，偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）：

在点 点 不等于零，则方程组，在的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，五、方向导数、梯度 ㈠、方向导数 1、定义：设函数

在点 的某一邻域 内有定义，自点 P 引射线。设轴正向到射线 的转角为 , 并设

为 上的另一点，且

。我们考虑函数的增量 的比

与 和 两点间的距离

值。当 沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数 在点沿着方向的方向导数，记作，即。、定理：如果函数 在点 是可微分的，那么函数，在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且有 其中 为 x 轴到方向 的转角。上述定义也可推广到三元函数 着方向（设方向 的方向角为，其中，它在空间一点

沿）的方向导数可以定义为，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向 的方向导数为

㈡、梯度、定义(二元函数的情形)：设函数 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点量，这个向量称为函数，即，在点

在平面区域 D，都可定出一个向的梯度，记作，由梯度的定义可知，梯度的模为： 当 不为零时，x 轴到梯度的转角的正切为 2、与方向导数的关系：如果设

是与方向 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：

由此可知，就是梯度在 上的投影，当方向 与梯度的方向一致时，有，从而 有最大值。所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数

在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。设函数 续偏导数，则对于每一点，这个向量称为函数

六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用 ㈠、二元函数的泰勒公式 定理：设 的连续偏导数，在点 的某一邻域内连续且有直到

阶

在空间区域 G 内具有一阶连，都可定出一个向量

在点 的梯度，即 为此邻域内任一点，则有

一般地，记号 表示

设，则上式可表示为

⑴，公式⑴称为二元函数

在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，则⑴式成为 n 阶麦克劳林

㈡、多元函数的极值 定理 1（必要条件）：设函数 数，且在点

在点（,）具有偏导(,)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

定理 2（充分条件）: 设函数 内连续且

有一阶及二阶连续偏导数，又)=A,(,)=B,(,)=C, 则 f(x,y)在（,）处是否取得极值的条件如下：，令

(,，在点（,）的某邻域⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；

⑵ AC-<0 时没有极值；

⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。㈢、几何应用、空间曲线的切线和法平面： ⑴设空间曲线 的参数方程为 在曲线上取相应于 的一点，这里假设 解析几何中有，假设三个函数都可导，则曲线在点 M 处的切线方程为

均不为零。如果有个别为零，则应按空间关直线的对称式方程来理解。切线的方向向量成为曲线的切向量。向量

就是曲线 在点 M 处的一个切向量。

⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线 在点 M 处的法平面，它是通过点

而与 T 为法向量的平面，因此方程为。

⑶若空间曲线 的方程以 为： 的形式给出 , 则切线方程，其中分母中带下标 0 的行列式表示

行列式在点 的值；曲线在点

处的法平面方程为 的值；曲线在点 处的法平面方程为、曲面的切平面和法线 ⑴若曲面方程为 M 处的

切平面的方程为：

；，是曲面上一点，则曲面在点

法线方程为： ⑵若曲面方程为，则切平面方程为

二元函数概念极限连续 篇6

第5讲二元函数的极限（续）与连续性

讲授内容一、二元函数的极限性质

1,当0yx2,例1 二元函数f(x,y)x时，如图16－7所示，当(x,y)沿任何直线

0,其余部分.

趋于原点时，相应的f

(x,y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x,y)(0,0)时极限存

在．因为当点(x,y)沿抛物线ykx(0k1)趋于点(0,0)时，f(x,y)将趋于1。所

以lim

(x,y)(0,0)2f(x,y).不存在。

2x3y

22例2 设f(x,y)22.证明(x,y)(0,0)limf(x,y) 证：因为2x3y4(xy)，对任给正数M，取2

212M,就有

xy



12M

.由此推得2x3y



1M,即

12x3y

M.这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）.二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把f(x,y)看作点函数fP时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

二、累次极限

在上一段所研究的极限

lim

(x,y)(x0,y0)

两个自变量x,y同时以任何方式趋于x0,y0。这种极限也称f(x,y)中，为重极限。在这一段里，我们要考察x与y依一定的先后顺序相继趋于x0与y0时f的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过以下例题来认识累次极限问题.例3设f(x,y)

xyxy

.由例1已经知道(x,y)(0,0)时f的重极限不存在.但当y0时，有lim

x0

xyxy

0.从而有limlim

xyxy

y0x0

0.同理可得limlim

x0y0

xyxy

0.即f的两个累次极限都存在而且相等，但是f的重极限不存在．

定义 若对每一个yy0，存在极限limf(x,y),由于此极限一般与y有关，因此记作

xx0

ylimf(x,y),而且进一步存在极限Alimy.则称此极限为二元函数f先对xx0后对

xx0

xEx

yy0

yy0的累次极限，并记作Alimlimf(x,y).yy0xx0

类似地可以定义先对y后对x的累次极限：Blimlimf(x,y).xx0yy0

注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点．例4 设f(x,y)

xyxy

xy

2，它关于原点的两个累次极限分别为

limlim

y0x0

xyxy

xyxyxy

xy

lim

yyyxxx

y0

lim(y1)1.y0

limlim

x0y0

lim

x0

lim(1x)1.x0

当沿斜率不同的直线ymx,x,y0,0时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在.例5 设fx,yxsin

1y

1x

ysin这是因为对任何y0，当x0,它关于原点的两个累次都不存在。

时f的第二项不存在极限。同理，对任何x0，当y0时f的第一项也不存在极限。但是由于

1y

1x

xsin故f的重极限存在，且

lim

ysinxy,x,y0,0

fx,y0.fx,y与累次极限limlimfx,y都存在，则它们一定相等。

yx0xy0



定理16.6 若重极限证：设

lim

x,yx0,yo

lim

x,yx0,yo

fx,yA,则对任给的正数，总存在正数，使得当Px,yU

P0;时，有fx,yA.(2)

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式0xx0 的x，存在极限limfx,yx.yy0

回到不等式（2），让其中yy0，可得xA.故得limxA，即

xx0

xx0yy0

limlimfx,y

x,yx0,yo

lim

fx,yA.lim

推论1 若累次极限limlimfx,y,limlimfx,y 和重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

fx,y都存在，则三者相等。

lim

fx,y必不

推论2 若累次极限limlimfx,y,与limlimfx,y存在但不相等，则重极限

xx0yy0

yy0xx0

x,yx0,yo

存在。

三、二元函数的连续性

定义 设f为定义在点集DR2上的二元函数．P0D，若limfPfP0.则称f点P0连续。

PP0

xy,(x,y)(0,0),

例8设f(x,y)x2y2，函数f(x,y)在原点不连续。（因为极限不存在）

m,(x,y)(0,0),x2y2,(x,y)(0,0),例9设f(x,y)x2y2 讨论函数f(x,y)的连续性.m,(x,y)(0,0),（x0,y0)(0,0)时，由于解：当

lim

f(x,y)

x0y0

0

2220

(x,y)(x0,y0)

xy

fx0,y0,因此f连续.而lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)

(x,y)(0,0)

limxy

xyxy

0,故当f(0,0)m0时，f在原点连续.若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明．

定理16.7(复合函数的连续性)设函数ux,y和vx,y在xy平面上点P0x0,y0的某邻域内

有定义，并在点P0连续；函数fu,v在uv平面上点Q0u0,v0的某邻域内有定义，并在点Q0连续，其中

u0x0,y0，v0x0,y0.则复合函数gx,yf(x,y),(x,y)在点P0也连续．

四、有界闭域上连续函数的性质

定理16.8(有界性与最大、最小值定理)若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值．

证先证明f在D上有界．倘若不然，则对每个正整数n，必存在点PnD，使得fPnn,n1,2,.于是得到一个有界点列PnD，且总能使Pn中有无穷多个不同的点．由§1定理16．3(聚点定理)的推论，Pn存在收敛子列Pn

k

，设lim

k

PnkP0.且因D是闭域，从而P0D．

由于f在D上连续，当然在点P0也连续，因此有limfPn

k

k

fP.这与不等式(3)相矛盾．所以f

是D

上的有界函数．

定理16.9（一致连续性定理）若函数f在有界闭域DR2上连续，则f在D上一致连续。即对任何0，总存在只依赖于的正数，使得对一切点P,Q，只要P,Q，就有fPfQ.定理16.10（介值性定理）设函数f在区域DR2连续，若P1,P2为D中任意两点，且fP1fP2，则对任何满足不等式fP1fP2的实数，必存在点P0D，使得fP0。

证：作辅助函数FPfP,PD.易见F仍在D上连续，且

FP10,FP20。这里不妨假设P1,P2是D的内点.下面证明必存在P0D，使FP00。

由于D为区域，我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2（图16-10）。若有某一个连结点所对应的函数值为0, 则定理已得证。否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，F在它两端的函数值xx1tx2x1，0t1.异号,不失一般性，设连结P1x1,y1,P2x2,y2的直线段含于D,其方程为

yytyy121

在此直线段上,F表示为关于t的复合函数GtFx1tx2x1,y1ty2y1,0t1.它是[0,1]上的一元连续函数,且FP1G00G1FP2.由一元函数根的存在定理，在(0,1)内存在一点,使得

Gt00

。记

x0x1t0x2x1,y0y1t0y2y1,则有

P0x0,y0D，使得

FP0Gt00即

二元函数概念极限连续 篇7

高等数学中,关于多元函数的极限问题,我们主要讨论了二元函数的极限。二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的,但与一元函数极限又有着本质上的差异,其概念更抽象,更难理解,初学者很容易犯一些概念性的错误,因此,在教学过程中需要加强学生对二元函数极限概念的理解。

1 二重极限的定义

注意:所谓二重极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数A。这是与一元函数极限的本质区别。

由于二元函数的极限与一元函数的极限具有类似的性质和运算法则,因此在教学的过程中,对于二重极限的求法一般不会大篇幅的讲解,经常是利用一元函数求极限的方法直接推广到二元函数,比如,夹逼准则,有界函数和无穷小量的乘积仍是无穷小量,等价无穷小替换,分子分母有理化等,但是,在具体的求解过程中,学生们经常会忽略二元函数极限中趋近方式的任意性和函数的定义域,出现一些错误的解法。

2 常见错误举例和分析

下面举例来说明。

下面将例1稍加改动,求解过程不变,我们会发现此解法是没有问题的。

例2在求解极限的过程中,问题和例1一样,定义域的范围缩小了,但是我们发现,当(x,y)→(0,2)时,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点时,动点P(x,y)以可能有的任何路径趋于定点(0,2)时,前者求极限时也可以去掉沿x轴趋于点(0,2),因此,对于例2解法是没有问题的。

从上面两个例子我们可以看到,如果对二元函数极限存在的定义理解的不是很清楚,那么在具体求解二元函数的极限时就会出现一些错误的解法。

为了避免例1出现的问题,下面用夹逼准则或者等价无穷小替换来给出例1正确的解法:

注意,上述方法也可以来求解例2。

类似的例子还有很多,比如如果用例1的方法来求极限都会出现相同的问题,在求解的时候凑项使得函数的定义域缩小,在小的范围成立的结果并不能保证在大的定义域范围内结果也成立,根据二重极限的定义,要求动点P(x,y)以可能有的任何方式和任何路径趋于定点P0(x0,y0)时,函数都趋于同一常数,上面的做法缺少了一些路径,因此,解法是不严谨的,正确的方法是用夹逼准则或者等价无穷小来计算。

分析:当x=ρcosθ,y=ρsinθ时,动点(x,y)是沿着任意给定的直线方向趋近(0,0),该函数都趋于同一常数0,但并不能保证动点(x,y)沿着任意路径趋近(0,0)时的极限存在并且相等,由二重极限的定义,不能推出。

事实上,,其值随k的不同而变化,故极限不存在。

3 结论

总之,多元函数求极限比一元函数求极限复杂的多,二元函数的极限存在要求动点以可能有的任何方式趋近与固定点时的极限都存在并且相等,因此,在教学中,让学生充分认识到二元函数极限存在的本质,避免一些错误的解法。

摘要：二重极限是高等数学中的一个重要内容,对于初学者来说,由于二元函数的变量有两个,求二元函数的极限存在一定的困难和误区。本文给出了几个常见的错误解法并给出了正确的求法。

关键词：二重极限,定义域,常见错误

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M].五版.北京:高等教育出版社,2002.

[2]李应岐,方晓峰,王静,等.高等数学疑难问题解析[M].北京:国防工业出版社,2014.

[3]陈传璋,金福临,朱学炎,等.数学分析(下册)[M].二版.北京:高等教育出版社,1999.

二元函数概念极限连续 篇8

试题库分类考题解答

五.多元函数的极限与连续

1.相关性质，重极限与累次极限的关系(1).(2).①×；②×；③√；④×；⑤×；⑥×；⑦×；⑧√；⑨√；⑩×； f(x,y)x

21y

． 1y

(3).(4).(5).(6).2R中有界无限点集至少有一个聚点。

Ｄ。

定义域(x,y)y1x,且x2y21；有界开集。

①√；②√；③×；④√；⑤×；⑥√；⑦√；⑧√；⑨×；⑩√。

2.证明题(用定义证明极限式、用定义证明极限不存在、极限理论中的相关定理)(1).解：令ykx，则limf(x,y)lim

x0y0

kx

2x0

xkx



k1k

2与k有关，所以不存在极限。

(2).证明：0，0，当xx0时，(x)；当yy0时(y)A。所以：f(x,y)Af(x,y)(y)(y)A

f(x,y)(y)(y)A(x)(y)A2；

故

(3).(4).(5).(x,y)(x0,y0)

limf(x,y)A。

不存在。不存在。

解：①limf(x,y)lim

y0

xyxy

y0

0，limf(x,y)lim

x0

xyxy

x0

0；

limlimf(x,y)limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

②

(x,y)(0,0)x0

limf(x,y)f(x,y)

(x,y)(0,0)

limf(0,y)0，f(x,0)0，(x,y)(0,0)y0

lim

(x,y)(0,0)

lim

(x,y)(0,0)yx

limf(x,y)limf(x,x)lim

x0

x

x0

xx



1。2

所以，极限

(x,y)(0,0)

limf(x,y)不存在。

xyxy

(6).证明：因为：x,y沿直线x0趋向于(0,0)时，x,y0,0

lim

x,y0,0

lim

00，x,y沿曲线y

故：

xx趋向于(0,0)时，x,y0,0

lim

xyxy



x,y0,0

lim

xxxx



1，x,y0,0

lim

xyxy

不存在。

3.重极限的计算、累次极限的计算(1).(2).0．

1。

2(3).(4).解：

1

lim1(x,y)(,)xy

xsiny

1

lim1(x,y)(,)xy

xy





sinyy

e1。

解：xln(x2y2)

lim

xy)，(x,y)(0,0xy)limln

0

222

（0，）

故：

(x,y)(0,0)

limxln(xy)0。

(5).解：

(x,y)(0,0)

lim

1cosxyxy

sin



(x,y)(0,0)

lim2

xy

xy

2

(x,y)(0,0)

lim

xysin2

(xy)

1xy

22。

e1。

(6).(7).(8).(9).(10).解：

11(x,y)(,)xy

lim

sin(xy)



1

1(x,y)(,)xy

lim

sin(xy)

xy

０，不存在； 1，－1； 0；不存在； 解：0

xyxy



x(xy)2xy



x

0，（x0）；由两边夹定理，知： 2

x,y0,0

lim

xyxy

0。

(11).解：

x,y

0,0lim



x,y

0,0

lim

xy



112。



(12).解：0

xy

xy

（(x0，,)y0,)(），由两边夹定理：

x,y0,0

lim

xy

xy

0。

(13).0ecosyecos0

解：由初等函数的连续性：lim1；

x,y0,01xy10

xy

(14).解：

x,y0,0

lim

sinxy



xy



x,y0,0

lim

sinxy



xy

3xy

；令：tx3y3

xy

而

x,y0,0

lim

sinxyxy



xysint

lim1；lim

x,y0,0xyt0t

x,y0,0

lim

x



xyy

0；



x,y0,0

lim

sinxy

xyxyxy





x,y0,0

lim

sinxy



xy

x,y0,0

lim

xyxyx

0。

(15).(16).解：因为：0



xy1，所以：lim

x,y,x2y22

0。

解：令：xrcos,yrsin，则x,y时，r。

0

xyxy

424



rcossin



r11sin22



112

；当r时： 22

1rr2

xyxy

xyxy



rcossin，关于一致收敛于0，故：lim

xy

0。

4.函数的连续性讨论(1).解：设xrcos,yrsin，当p

f(x,y)0f(0,0)，在点(0,0)处连续； 时，2p10，lim

(x,y)(0,0)2

1,p12

当p时，2p10，limf(x,y)，在点(0,0)处不连续；

(x,y)(0,0)2,p2

(2).解：

x,y0,0

lim

fx,y

x,y0,0

lim

xyxy

不存在，fx,y在(0,0)点不连续。

(3).解：

x,y0,0

lim

fx,y

x,y0,0

limylnxy



，而

0ylnxy



x

y

lnx

y

0,x,y0

故

(4).x,y0,0

lim

fx,y0f0,0fx,y在(0,0)点连续。

解：因为：0fx,yf0,0fx,yy0，（x,y0,由两边夹定理，

x,y0,0

）

lim

fx,y0f0,0，f

x,y在原点的连续性。

5.连续函数性质(局部、整体、与单变量连续的关系)(1).(2).①√；

证明：limf(0,y)lim

y0

0y0y

x0

y0

0f(0,0)，limf(x,0)lim

x0

y0

x0

0f(0,0)，即f在(0,0)处对单变量x与y都是连续的。

又取xy路径，x,y0,0时，有：limf(x,y)lim

x0

yx

xyxy0y0y

y0

lim

xxxx

y0



1； 2

取x0路径，x,y0,0时，有：limf(0,y)lim

y0x0

y0

0；

所以，x,y0,0