一元函数的极限与连续

一元函数的极限与连续（通用12篇）

一元函数的极限与连续 篇1

一元函数极限与连续理念知识体系

函数基本初等函数初等函数特殊性质（4个）yf(x)合函数非初等函数复

无穷大limf(x)

xx0

极限充要条件limf(x)A　无穷小limf(x)0xx左右极限x0x0

阶性质

重要极限|极限 存在准则

间断点运算性质x0闭区间上连续limf(x)f(x0)连续limy0 充要条件左右连续

xx0



导数

一元函数的极限与连续 篇2

随着高职高专院校的不断发展壮大, 高职院校的单招的学生越来越多, 学生的基础参差不齐, 所以高职数学主要以了解理论的基础上注重计算。一元函数极限是高数最开始的基础, 后面函数的连续和导数的定义都是以极限的形式可以表达。因此学好一元函数的极限是很必要的。

1 一元函数的极限

1.1

定理:该极限存在的充要条件是:。通过该定理可求函数的极限, 如:

在例2题中没有必要求, 因为当x→+∞极限已经不存在了, 所以由定理当x→∞极限肯定不存在。

1.2

定理:该极限存在的充要条件是:。通过该定理可以判断出分段函数在分界点的极限和一些特殊的初等函数在间断点的极限是否存在, 如:

以上两点是函数两种类型函数极限存在的充要条件, 该充要条件也是函数在某点连续充要条件和函数在某点可导充要条件的基础, 因此函数的极限与函数的连续和可导息息相关, 熟练掌握函数极限是很必要的。

2 一元函数极限求法归纳

(1) 利用极限存在的充要条件求极限, 如例1-4题。

(2) 利用极限的四则运算法则求极限。

(3) 利用两个重要极限求极限。

;这两个是本身的重要极限公式, 但我们通常把它演变成以下四种类型的公式, 运用起来更得心应手。

在演变的重要极限公式中, 不管u (x) 是怎样的函数, 只要它满足极限的条件, 我们都可以套用这些极限公式, 如:

(4) 利用等价无穷小求极限。

等价无穷小主要出现在两个重要极限这里, 比如:

通过等价无穷小代换求极限比较简单快捷, 是一种很有用的求极限方法。

(5) 利用洛必达法则求极限。

洛必达法则只适合求两种未定型函数的极限, 通过对分子分母分别求导再求极限的方法, 应用方便, 对于0·∞, ∞-∞, 00, ∞0, 1∞等未定型需要先把他们转化为的类型, 再用洛必达法则, 如:

该题就是把, 再利用洛必达法则求极限。但洛必达法则不是对所有的都可以用, 如果利用洛必达法则4次以上, 仍然求不出极限, 那么就需要改用其他方法求极限, 如:

如此反复下去, 总求不出极限, 须用其他方法, 该题适合方法7中, 观察分子分母变量最高次数, 最高次数都是1, 最高次数的系数也都是1, 所以极限为1。

(6) 利用导数的定义求极限。

函数f (x) 在x0处导数的定义也可以总结为一个极限。

从该定义中, 不难发现等式左侧的极限是函数在该点处的导数值, 因此遇见等式左侧类型的极限就可以直接求函数在该点的导数即可, 如:

例10:, 该极限就像函数x2在1处导数值2。该题也可以用方法6分解因式, 约掉分子分母的公因子再求极限。

求极限的方法有很多种, 在文中总结出高职教学中学生经常使用的方法, 每种方法都有它比较适合的类型, 也有它的局限性。同一个题可以用几种不同的方法求出, 所以具体的题具体分析, 找到方便快捷求极限的方法。

3 结束语

一元函数的极限是高职数学中的重中之重, 函数极限存在是函数连续和可导的必要条件, 也为下学期多元函数的极限打下坚实的基础, 一元函数求极限的一些方法我们可以在多元函数中继续使用。因此, 在高职教学中我们要重点抓住学生极限的学习, 为后面学习做好准备。

摘要：一元函数极限是高职高数的基础, 在此极限的基础上引出一元函数的连续及导数的定义, 为此, 浅谈函数极限的求法及和连续与导数的关系。

关键词：一元函数,极限,导数,连续

参考文献

[1]张绪绪, 高汝林.应用数学[M].北京:北京理工大学出版社, 2014.

[2]段瑞, 张绪绪.经济数学[M].北京:机械工业出版社, 2015.

一元函数极限的常用求解技巧 篇3

关键词：数学分析；函数极限；求解技巧

本文在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，针对一元函数极限概括出具有代表性的各种求解方法，并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性，使学生对所学知识加以巩固和提高，提高解题能力，起到“温故”而“知新”的作用，在原有基础上得到升华，从而对数学分析及相关的后续课程的学习起到抛砖引玉的作用.

函数极限的求解方法大致可以分为以下几种：

一、代入法（四则运算法则的应用）

求解技巧：①只有在各项极限均存在（除式还需要分母极限不为零）才能适用.②若所求极限不能直接运用运算法则，可先对原式进行恒等变形（约分、通分、有理化、分子分母同除以x的最高次幂等），然后再求极限.③四则运算法则的一个重要推论lim[f（x）]n=[limf（x）]n.④复合函数求极限法则limg[f（x）]=g[limf（x）]（这里极限号lim下方未标明x的变化过程，表示对极限的任何一个变化过程都成立，下同）.

二、重要极限法

在函数极限部分，我们来看两个经常用到的极限，它们的具体形式为：①?摇lim■=1，②?摇?摇■?摇?摇（1+■）x=e

求解技巧：①把■■=1扩展为■■=1，其中必须保持当x→a时f（x）以0为极限，且分子、分母中的f（x）必须完全一样.②把?摇■?摇?摇（1+■）x=e扩展为?摇■?摇?摇（1+g（x））■=e，其中必须保持当x→a时g（x）以0为极限，且g（x）与■要在形式上对应.③利用四则运算法则及推论.

三、无穷小量替代法

求解技巧：①等价代换是对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接的各部分不能作替换②而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接部分可先作恒等变形成乘积形式再替換

四、性质法（迫敛性和连续性）

求解技巧：①构造左右两边具有同一极限的双向夹逼不等式，适当放大或缩小.②一切基本初等函数都是其定义域是上的连续函数.③任何初等函数都是在其定义域区间上的连续函数.

五、洛比达法则

求解技巧：只有■型和■型不定式才能应用洛比达法则.法则是由lim■存在，导出lim■是存在的，如果lim■不存在时（不包括∞的情形），并不能断定lim■也不存在，这时应使用其他方法.若■■仍为■型和■型的不定式，并且f'（x），g'（x）满足洛比达法则的条件，则可继续使用洛比达法则，即■■=■■=■■，依此类推，直到求出极限为止.除了■型和■型不定式外，还有0·∞?摇?摇，?摇∞-∞?摇，?摇?摇00，?摇?摇1∞，?摇?摇∞0等五种类型的不定式，这些不定式极限的求解方法是先把它们化为■型和■型的不定式，然后用洛比达来计算.

以上归纳和总结了五种求解一元函数极限的常用方法和技巧，在解决具体问题时，还需要根据实际情况灵活应用求解技巧，只有熟练掌握这部分内容，才能进一步理解函数极限的概念，同时也是学好高等数学的关键.

参考文献：

[1]邝荣雨.微积分学讲义（第一册）[M].北京：北京师范大学出版社，2005：70.

[2]侯风波，蔡谋全.经济数学[M].沈阳：辽宁大学出版社，2006：23-27，75.

[3]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.高等数学基础（上册）[M].北京：人民教育出版社，2003：109.

一、多元函数、极限与连续解读 篇4

一定法则总有确定的值与它对应，则称 是变量 x、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为

（或），点集 D 为该函数的定义域，x、y 为自

为该函数值域。由此变量，为因变量，数集也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是一张曲面。例如 面。

㈡二元函数的极限

⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域）D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式，都有 的一切点

是球心在原点，半径为 1 的上半球

成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当

或 , 这里 时的极限，记作

。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。⒉注意：二重极限存在是指 都无限接近A。因此，如果条定直线或定曲线趋于

沿任意路径趋于，函数

沿某一特殊路径，例如沿着一时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内有定义，是 D 的内点或边界点且

。如果

连续。如果函，则称函数 f（x，y）在点

数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。2 ．性质

⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；

⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次；

⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分 ㈠偏导数

⒈偏导数定义：设函数

在点 的某一邻域内有定义，时，相应地函数有增量

存在，则称此极限为

处对 的偏导数，记作，当 固定 在而 在处有增量，如果函数

或 类似，函数 在点

在点

处对 的偏导数定义为，记作

际中求，或。在实的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求 时只要将暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要将 暂时看作常量而对 求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数 注意：对于一元函数来说 可以看作函数的微分 分 之商，而偏导数的记

与自变量微号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。⒉偏导数的几何意义：设 过 做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面，则导数

上的方程为

为曲面

上的一点，即偏导数

对 轴的 斜率。同样，偏导数 截得的曲线在点 的切线

处，就是这曲线在点 处的切线 的几何意义是曲面被平面 所对 轴的斜率。

在区域 D 内具有偏导数，都是，⒊高阶偏导数：设函数，那么在 D 内 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数： ,。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）㈡全微分

⒈全微分定义：如果函数

可表示为

赖于、而仅与、有关，在点

可微分，而

称

在点 的全增量，其中 A、B 不依，则称函数

为函数

在点 的全微分，记作，即。如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。定理 1（必要条件）：如果函数 函数在点 的偏导数

在点 的全微分为 在点

可微分，则该必定存在，且函数

。定理2（充分条件）：如果函数续，则函数在该点可微分。的偏导数 在点 连以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数 的全微分可表示为 分等于它的两个偏微分之和

这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则 ㈠复合函数的全导数：如果函数 函数 在对应点

在点 可导，且

及

都在点 可导。通常将二元函数的全微具有连续偏导数，则复合函数 其导数可用下列公式计算：。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，则，其中 称为全导数。上述定理还可推广

到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。㈡复合函数的偏导数 : 设 则

是

可微，函数，对，并且，的复合函数。如果 的偏导数存在，则 复合函数

对 的偏导数存在，且

㈢全微分形式的不变性 : 设函数 则有全微分 果、又是，如 的函数、具有连续偏导数，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合 函数 的全微分为

由此可见，无论 是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式 ㈠、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 ：设函数 有连续的偏导数，且，内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满，则方程

在点 的某一邻域

在点 的某一邻域内具 足条件，并有

隐函数存在定理 2 ：设函数 具有连续的偏导数，且，一邻域

内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，则方程

在点 的某

在点 的某一邻域内，并有

㈡、方程组的情况 隐函数存在定理 3 ：设 某一邻域内、在点 的具有对各个变量的连续偏导数，又，且，偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）：

在点 点 不等于零，则方程组，在的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，五、方向导数、梯度 ㈠、方向导数 1、定义：设函数

在点 的某一邻域 内有定义，自点 P 引射线。设轴正向到射线 的转角为 , 并设

为 上的另一点，且

。我们考虑函数的增量 的比

与 和 两点间的距离

值。当 沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数 在点沿着方向的方向导数，记作，即。、定理：如果函数 在点 是可微分的，那么函数，在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且有 其中 为 x 轴到方向 的转角。上述定义也可推广到三元函数 着方向（设方向 的方向角为，其中，它在空间一点

沿）的方向导数可以定义为，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向 的方向导数为

㈡、梯度、定义(二元函数的情形)：设函数 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点量，这个向量称为函数，即，在点

在平面区域 D，都可定出一个向的梯度，记作，由梯度的定义可知，梯度的模为： 当 不为零时，x 轴到梯度的转角的正切为 2、与方向导数的关系：如果设

是与方向 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：

由此可知，就是梯度在 上的投影，当方向 与梯度的方向一致时，有，从而 有最大值。所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数

在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。设函数 续偏导数，则对于每一点，这个向量称为函数

六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用 ㈠、二元函数的泰勒公式 定理：设 的连续偏导数，在点 的某一邻域内连续且有直到

阶

在空间区域 G 内具有一阶连，都可定出一个向量

在点 的梯度，即 为此邻域内任一点，则有

一般地，记号 表示

设，则上式可表示为

⑴，公式⑴称为二元函数

在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，则⑴式成为 n 阶麦克劳林

㈡、多元函数的极值 定理 1（必要条件）：设函数 数，且在点

在点（,）具有偏导(,)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

定理 2（充分条件）: 设函数 内连续且

有一阶及二阶连续偏导数，又)=A,(,)=B,(,)=C, 则 f(x,y)在（,）处是否取得极值的条件如下：，令

(,，在点（,）的某邻域⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；

⑵ AC-<0 时没有极值；

⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。㈢、几何应用、空间曲线的切线和法平面： ⑴设空间曲线 的参数方程为 在曲线上取相应于 的一点，这里假设 解析几何中有，假设三个函数都可导，则曲线在点 M 处的切线方程为

均不为零。如果有个别为零，则应按空间关直线的对称式方程来理解。切线的方向向量成为曲线的切向量。向量

就是曲线 在点 M 处的一个切向量。

⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线 在点 M 处的法平面，它是通过点

而与 T 为法向量的平面，因此方程为。

⑶若空间曲线 的方程以 为： 的形式给出 , 则切线方程，其中分母中带下标 0 的行列式表示

行列式在点 的值；曲线在点

处的法平面方程为 的值；曲线在点 处的法平面方程为、曲面的切平面和法线 ⑴若曲面方程为 M 处的

切平面的方程为：

；，是曲面上一点，则曲面在点

法线方程为： ⑵若曲面方程为，则切平面方程为

函数极限连续试题 篇5

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

第十三章多元函数的极限和连续性 篇6

第十三章 多元函数的极限和连续性

§

1、平面点集

一 邻域、点列的极限

定义1 在平面上固定一点M0x0,y0，凡是与M0的距离小于的那些点M组成的平面点集，叫做M0的邻域，记为OM0,。

定义2 设Mnxn,yn，M0x0,y0。如果对M0的任何一个邻域OM0,，总存在正整数N，当nN时，有MnOM0,。就称点列Mn收敛，并且收敛于

M0，记为limMnnM0或xn,ynx0,y0n。

性质：（1）xn,ynx0,y0xnx0,yny0。（2）若Mn收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二 开集、闭集、区域

设E是一个平面点集。

1． 内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域OM0,，使得OM0,E，就称M0是E的内点。2． 外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域OM1,，使得OM1,E，就称M1是E的外点。

3． 边界点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，其中既有E的点，又有非E中的点，就称M*是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

5． 聚点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，至少含有E中一个（不等于M*的）点，就称M*是E的聚点。性质：设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列Mn以M0为极限。6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。

7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。三平面点集的几个基本定理

1．矩形套定理：设anxbn,cnydn是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且

13-1

《数学分析（1，2，3）》教案

bnan0，dncn0，那么存在唯一的点属于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列Mnxn,yn有界，那么从其中必能选取收敛的子列。

3.有限覆盖定理：若一开矩形集合x,y覆盖一有界闭区域。那么从里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。

N4．收敛原理：平面点列Mn有极限的充分必要条件是：对任何给定的0，总存在正整数N，当n,m时，有rMn,Mm。

§2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vrh。这些都是多元函数的例子。

2一般地，有下面定义：

定义1 设E是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xR22x2y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式xyR222222的x，y全体，即D{(x,y)|xyR}。又如，Zxy是马鞍面。二 多元函数的极限

2定义2

设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述1 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是13-2

《数学分析（1，2，3）》教案

二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有

f0f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limMMMA或fMAMM0 。注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋于M0时，f(M)MM0的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。例：设二元函数f(x,y)xyx2y22，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例：设二元函数f(x,y)2xyx2y或2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例：f(x,y)1,xy其它y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。例：limxyxyx2xyysinxyx2。

例：① limx0y0② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0coscos32sin23sin0?（注意：cos3sin在374时为０，此时无界）。

xyx22例：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)y2，讨论在点(0,0)的二重极限．

证明二元极限不存在的方法．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例：f(x,y)xyx2y2在(0,0)的二重极限不存在．

13-3

《数学分析（1，2，3）》教案

三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fM在M0点连续．

MM0“语言”描述：0,0,当0

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。

最大值最小值定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，零点存在定理

设D是R中的一个区域，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此xx0yy0外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)在yy0时的xx0极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再对y的二次极限，记为yy0limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y0y01y不存在知f(x,y)的累次极限不存在。

例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

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《数学分析（1，2，3）》教案

f(x,y)xyx2y2，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x0y0y0x0x0y0例：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xx22yy22，(x,y)(0,0)

则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不可交换）

x0y0y0x0x0y0y0x0上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1 设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y)。则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。推论1

设（1）limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)存在；（3）x,xx0，limf(x,y)xx0yy0xx0yy0存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限limf(x,y)。

yy0xx0xx0yy0xx0yy0推论2 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限limf(x,y)必不存在（可xx0yy0yy0xx0xx0yy0用于否定重极限的存在性）。例：求函数fx,yxy22222xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

一元函数的极限与连续 篇7

一、导函数极限和连续的特殊性概述

二、导函数极限和连续的特殊性应用

例1:如果f (x) 的导函数连续, 那f (x) 是否连续?f (x) 是否为f (x) '的原函数?

解答:可导必连续, 即使f (x) 有导函数, 那么f (x) 也必然连续的, 更别说f (x) 的导函数连续这么强的条件了。f (x) 当然是f (x) '的原函数了。

分析:如果f (x) 可导的前提是它必须得连续, 连续是可导的必要条件。所以f (x) 可导则f (x) 必连续。至于函数存在问题, 首先得弄清楚什么样的函数才存在函数, 只有两类函数才存在原函数, 一是连续函数, 一个是只存在振荡间断点的函数, 具有第一类间断点以及无穷间断点的函数是不存在原函数的。对于本题由于f' (x) 是连续函数所以它的原函数是存在的就是f (x) 。

1. 求常数a的值, 使f (x) 在x=0处连续。

解答:

1.因为这裏不知道φ (x) -cos x与谁等价, 所以我们无法用等价代换, 就是说, 现在我们不知道该用谁代换φ (x) -cos x, 而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”, 保证了“φ具有一阶导数”, 从而可以对φ求导数, 所以想到用洛必达法则解决问题, lim (x->0) f (x) =lim (x->0) (φ (x) -cos x) /x=lim (x->0) (φ' (x) +sinx) /1=lim (x->0) (φ' (x) +sin x) =φ' (0) , (此处lim (x->0) φ' (x) =φ' (0) 用到条件“φ具有一阶连续导数”, 这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证) 要使f (x) 在x=0处连续, 就要成立lim (x->0) f (x) =f (0) , (此处用到连续的定义) 所以要有a=f (0) =φ' (0) 。

三、总结

本文对导函数极限和连续的特殊性及其应用展开讨论, 从客观的角度来说, 导函数极限和连续的特殊性, 能够更好的解答函数习题, 对学生而言, 也具有较大的积极意义, 日后可深入教学, 促进学生更好的理解。另一方面, 在进行导函数极限和连续的特殊性教学时, 应加强类型题的练习, 帮助学生建立属于自己的解题思路, 尽量是将复杂的问题简单化, 通过运用合理的方法来解决, 而不是所有的问题都用一种方法来解决, 这对学生而言是非常困难的, 且不利于学生的逻辑思维发展。

摘要：在数学的学习过程中, 导函数的学习是重点的重点。一般而言, 导函数包含了很多的函数知识, 并且在具体的运用中, 会帮助学生提升逻辑思维能力, 以此来更好的理解导函数的相关知识, 无论是在解题过程中还是在未来的学习中, 导函数都是必不可少的基础部分。相对而言, 导函数的极限和导函数的连续性, 有着一般函数所不具备的特点, 为此应该在具体的教学中, 通过多种类型题, 帮助学生更好的理解和运用。同时, 应根据学生的理解程度和导函数的特点, 制定有效的教学方案, 促进学生更好的学习。

关键词：导函数,极限,连续,特殊性

参考文献

[1]范丽君, 郭挺.一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性[J].江西理工大学学报, 2010.

[2]赵志芳, 马艳园.多元函数极限的求法[J].宜春学院学报, 2011.

[3]陈龙卫.函数极限计算的一般步骤及其在考研数学中的应用[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2014.

函数与极限(上) 篇8

第一节 映射与函数

A.集合的表达方式：很基础，要求快速准确地写出。

注：*表数集内排除0；+表示数集内排除0和负数；真子集符号。

B.集合运算：这些在概率里会有应用，但部分含义是有区别的。（具体内容见概率部分）注：差集的表示AB；集合运算的四个定律，尤其是对偶律。

C.映射：这些内容的理解直接影响着对函数概念的深入理解。

注：构成映射的三个要素与判断函数是否相同的两个要素；逆映射和复合映射与反函数和复合函数的联系。

D.函数：概念，参照上面C。

E.函数的几种特性：这些应该很Easy了，但不要马虎。

注：有界既有上界也有下界；单调性是对包含在定义域内的某个区间而言的；奇偶性的前提是函数定义域要关于原点对称；周期性的前提是函数定义域是无穷集。

F.反函数和复合函数：参照C。

注：复合函数经常考查的知识点，比如求解定义域，书写表达式等，这些从它的定义出发去求解是个很好的方法，详见后面例题。

G.基本初等函数和初等函数：要对5类基本初等函数的各方面性质十分熟悉，能画草图。

例题

【课后习题】

P21第5题，考查函数二要素：定义域和对应法则。（3）是同一函数，其他的定义域均不同。推荐做一下6题（画草图）、16题（复合函数）、17题（写函数表达式一定不要遗忘定义域）。

【相关真题】

90年：设函数f(x)1,x

10,x1,则f[f(x)]=________。

分析：复合函数f·g的定义要求中间函数g的值域要在“外”函数f的定义域内，所以从g的值域入手，按定义求解，这里的g即f(x)。

解： “内”函数f(x)当|x|≤1时，其值为1，此时1属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，即等于1；

“内”函数f(x)当|x|>1时，其值为0，此时0属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，同样等于1。

综上，此题结果f[f(x)]=1。

注：这一节的题目大多会作为其他题目的一个解题环节，很基础，但一定要掌握扎实。

第二节 数列的极限

A.概念：任意给定正数ε，总存在正整数N,对于n>N的一切xn均满足极限不等式。

注：1.极限等于无穷只是一种极限不存在的特殊情况的描述，并非极限存在2.对极限定义任意方式的描述，必须满足以上三点红色字体内容。（即可以等价过来）

B.收敛(极限存在)数列的性质：唯一性(多用于反证)、有界性、保号性、任一子数列同收敛 注：此处的数列极限有界性和保号性与函数极限相应性质的区别（见后）

第三节 函数的极限

A.概念：对于自变量趋于有限值的情况，描述中重点是邻域，且可以是去心邻域，也就是某点有无定义不影响此点是否有极限；自变量趋于无穷时，表达类似于数列极限。注：双侧极限，即左右极限，尤其在分段点处。

B.函数极限的性质：唯一性、有界性(局部)、保号性(局部)及其两个推论、与数列极限的关系

注：1.函数的有界性和保号性都是局部性质，都是指在极限存在的前提下，会存在自变量的某个去心邻域满足有界性和保号性，且此去心邻域包含在满足极限存在的去心邻域中。2.函数极限与数列极限关系的三个前提条件：自变量趋于某个有限值时函数极限存在、数列为函数定义域内收敛于那个有限值的数列、数列元素不包含那个有限值。

例题

【课后习题】

P37、38第1、2、3题，建议做一下，考查函数极限定义，很基本，别马虎

P39第12题，函数极限局部有界性的定义扩展。实质是当函数极限存在时，都可以找到两个参数来描述有界：1.x趋于有限值的两个参数：某个去心邻域，某个界定函数值M，当x在此邻域内函数满足有界性。2.x趋于无穷时的两个参数：某个大X，某个界定函数值M，当|x|>X时函数满足有界性。

【相关真题】

此部分相关知识点的考查，大多为其他题目的一个解题环节，比如局部有界性和局部保号性（后面章节会提及），还有双侧极限的考查频率很高，但大多注意分段点及某些特殊点处求解左右极限即可，难度一般不大。92年：当x趋于1时，求解函数

x1x

1e

x1的极限。（原题是选择题）

分析：显然x=1是此函数的特殊点，需要分双侧极限讨论。

lim

x1x1x1x1

2解：

x1

ex1lim(x1)ex1(此时

x1

1x11

)

x1

limex1lim(x1)ex10(此时

x1

x1

)

所以极限不存在，也不是无穷。

第四节 无穷小与无穷大

A.概念：无穷小与去穷大即指函数在自变量的某个趋向下其极限值是0或无穷。B.性质：1.函数极限存在函数等于极限值+无穷小（多用去证明中去掉极限符号）2.同一趋近下的无穷小与无穷大的倒数关系，注意何时要求f(x)≠0

C.渐近线：水平y=a(x趋于无穷时函数的极限值为a)、垂直x=a(x趋于有限值a函数极限值为无穷)、斜渐近线y=kx+b(x趋于无穷,分式

例题

【课后习题】

P42第5、6、7题，建议做一下,熟练掌握极限定义，区分无界与极限为无穷以及极限不存在的区别与联系。

第五节 极限的运算法则

A.定理：注意描述中的有限，如有限个无穷小的和与积也是无穷小，当无限时情况不定；有界函数与无穷的乘积为无穷小（应用频率很高）、极限的四则运算的前提（如必须每个参与运算的函数其极限必须存在、再如极限的商以及数列的极限运算）B.不等关系：极限保号性的应用

C.复合函数的极限：1.满足复合函数的存在前提；2.内函数的极限值以及内函数的函数值满足使外函数在此值处极限存在的前提。此处求解时多用变量代换。

f(x)x的极限为k，算式f(x)kx的极限为b)

例题

【课后习题】

P49第4、5题，对定理的理解考查，注意定理成立的各个前提条件。【相关真题】

P49第4题本就是2003的一道选择题。分析：（1）和（2）描述本质一致，所以排除；（3）为0* ，结果未定，故排除；选（4）解：极限不等式成立的条件，对于数列是“存在一个N，当n>N时，一切…”，所以不是对于任意n成立，故（1）（2）、错。同一趋近下无穷小与无穷大的乘积结果未定，如an0,cnn，此时满足假设，二者乘积显然为0，故极限为0；若an

1n,cnn，也满足假设，但二者

乘积为n，此时极限为不存在，所以（3）错。（4）可用反证法，若存在，则

bncnbn

一元函数的极限与连续 篇9

1、理解数列极限与函数极限的定义（ε-Ν，ε-δ等语言），并能用之证明一些简单的极限；

2、理解极限的性质（唯一性、有界性、保号性、夹逼性等），掌握极限的四则运算和常用的求极限方法（利用夹逼性、单调有界准则、二个重要极限等）；

3、理解子数列及其极限的概念和数列与子数列极限的相互关系；4、5、6、理解函数极限与数列极限的关系（归结原理）； 了解确界原理、Weierstrass定理和Cauchy收敛准则； 理解函数连续的定义和初等函数的连续性，掌握函数间断点及类型的判断方法；

7、理解无穷小和无穷大的概念、性质及其相互关系，熟练掌握利用等价无穷小替换求极限的方法；

8、了解闭区间上连续函数的性质：有界性、最值性、介值性（零点存在定理、不动点定理）等；

一元函数的极限与连续 篇10

九 年 级 数 学（下）教 学 设 计

课 型 新 授 主 备：于福华 修改： 课

题 ： 2.8二次函数与一元二次方程的关系（1）

学习目标: 1.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满

足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；体会二次函数

与方程之间的联系；

2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）

图象交点的横坐标。

学习重点:应用一元二次方程根的判别式及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解 学习难点:应用一元二次方程根的判别式及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解

一、课前预习：

1、自学课本第70-72页完成随堂练习

二、课内检测: 1.直线y3x6与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是。2．抛物线y=（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ． 3.抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是

．

4.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为。

三、合作探究：

探究一：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.解：（1）把v0,h0代入h=-5t2+v0t+h0中，得 h.。（2）从图象上可知t8秒，小球落地.或者 令h即5t240t0.解得t1,t2

t是小球没抛时的时间，t是小球落地的时间.（3）何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？

探究二：二次函数y=x+2x,y=x-2x+1,y=x-2x+2的图象如下图所示。

222

(1)每个图象与x 轴有几个交点？（分别是2、1、0个）

(2)一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 小结：二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.当二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0(a0)的根。

探究三：

1、二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是什么？你是怎样想的？你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？

2、一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t来表

示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．（1）作出函数h=－4.9t2＋19.6t的图像（2）当t=1时，足球的高度是多少？（3）t为何值时，h最大？（4）经过多长时间球落地？

（5）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？能在图上表示吗?（6）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?

四、巩固练习：

1.a的符号决定抛物线y=ax2＋bx＋c的____________，当________时,开口向上； 当________时,开口向下；c的符号决定抛物线y=ax2＋bx＋c与y轴的交点，当_______时,与y轴的交点在正半轴，当________时, 与y轴的交点在负半轴，当________时, 抛物线经过原点；b2-4ac的符号决定抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的交点的______，当______________时, 抛物线与x轴有两个交点，当_____________时, 抛物线与x轴有一个交点；当_____________时, 抛物线与x轴没有交点。2.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=

．

3.若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=

． 4．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=

． 5.抛物线y=3x2＋5x与x轴交点的个数为（）A．3个

B．2个

C．1个

一元一次不等式与一次函数教案 篇11

教学内容

一元一次不等式与一次函数

柳河中学八年级 尹正明

一、教学目的与要求

1.体会一元一次不等式的知识在现实生活中的应用；

2.通过用不等式的知识去解决实际问题来提高学生解决问题的能力；

3.通过具体问题的解答，进一步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。4.把培养探究兴趣贯穿于教学之中，让学生更喜欢学习数学。

二、教学重点与难点

重点：通过建立函数模型解决一元一次不等式问题；

难点：弄清一元一次不等式与一次函数的内在联系，灵活利用图像解题。

三、教程设计

（一）创设情境，激发兴趣

出示一道一元一次不等式与一次函数的应用题。要求学生根据题意完成：

1.作出y=6x-6图象，并用图象法求出当x取何值时，（1）6x-6＞0（2）6x-6＜0。

2.用直接解不等式的方法求上题中的有两个不等式的解集，并比较两种方法的结果看是否相同。

师生交流：两种方法的解答结果完全一样，图像法更为直观、便利。当然，有的问题也有一定的难度，如果能够准确画出图像，再用图象法去研究就十分有趣、易解了。

（二）师生互动，积极探究

学校为了开展冬季跑步锻炼，有意组织了一次八、九年级趣味赛跑，九年级张刚先让八年级王强9m，然后自己才开始跑，已知王强每秒跑3m，张刚每秒跑4m，请列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时王强跑在张刚前面？（2）何时张刚跑在王强前面？（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？

以学习小组为单位探究，每组派一名同学在全班交流解法，在交流中出现的错误，教师随后纠正。对完成出色的小组提出表扬并奖励掌声。

展示函数图像，板书答案：

y1=4x，y2=9+3x.（1）9秒前王强在张刚前。

（2）9秒后张刚跑在王强前。

（3）王强先跑过20m处，张刚先跑过100m处。

教师点评：

（1）运用图象法解题，关键是要读懂函数图象所反应的题意。

（2）本题中同一时刻谁在前面，关于谁的函数图象就更高一些，否则就矮一些。

（三）强化训练，解题比拼

分组完成下题（一、二组用图像法解，三、四组用代数法解）：

某公司到水果基地购买优质水果慰问教师。果品基地对购买量在 3000 千克以上(含 3000 千克)的顾客用两种销售方案。甲方案 : 每千克 9 元，由基地送货上门 ； 乙方案 : 每千克 8 元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费用为 5000 元。(1)分别写出该公司两种购买方案的付款金额 y 元与所购买的水果量 X 千克之间的函数关系示，并写出自变量 X 的取值范围。(2)当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少 ? 并说明理由。

学生解答完成，每组抽查1—2名同学的解答，将发现的问题全班指出，学生再作修改后，每组推荐一份优秀作业在全班展示。（奖励热烈掌声）

略解：(1)y 甲 = 9x(x ≥ 3000)y 乙 =8x+5000(x ≥3000)(2)方法一: 当 y 甲 =y 乙 时.9x=8x+5000 解得x=5000 ∴当 x=5000 千克 时.两种方案付款一样.当 y 甲 < y 乙 时 9x< 8x+5000 解得 X<5000 ∴ 当 x < 5000 时选择甲方案付款最少 方法二 : 作出它们的函数图象.当购买量大于等于 3000 千克小于 5000 千克时选择甲方案付款最少.当购买量等于 5000 千克时.两种方案付款一样多.当购买量大于 5000 千克时 , 选择乙方案付款数量少.四、评价与小结：利用图像法解不等式一定要抓住以下三个步骤：①画图象 ②找交点 ③定位置。然后在已经具备的数形结合概念基础上解决应用问题那就容易得多了。

五、巩固练习： 课后习题、《练习册》14.3.2

一元函数的极限与连续 篇12

景银霞

《一次函数与一元一次不等式》是人教版八年级第十四章的一节课。课前，我认真备课，讲课时，我先复习了上节所学的知识，之后导入新课，探究、小组合作学习新课。

对于例题“用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10”，我原先打算板演两条直线y=5x+4和y=2x+10的图象，让学生通过两直线的交点找答案；另一种方法是通过画函数y=3x－6的图象，让学生观察图象在x轴下方时自变量x的取值范围。

由于学生的学习兴趣高涨，课堂气氛如此活跃是我原先所没有料想到的，学生对于学习内容的学习异常顺利，很快就要完成预设的教学任务。但看到学生的学习激情，我有了一种新的想法，能不能让学生自己提出解决问题的办法，并动手画出图形板演，用不同的方法来解决这一例题呢。紧接着，我又想到，如果让学生动手画图并板演会不会占用太多的课堂时间，后面有位老师在听课，如果到时不能按时完成教学任务，进而拖堂，那可是糗大了。后来，我又想了，应该让学生去动手展示，这样才能更好地了解学生的掌握程度，对症下药，拖堂就拖堂吧。于是，就在转瞬间，我决定了我的想法。在学习这道例题时，我把学生分成了小组，让他们去讨论，去探究解决这一问题的方法。学生讨论的很积极，我也在下面巡视学生的小组讨论，看着学生给出的答案，我也放下了心。于是，在答案展示环节，我果断地指名学生到黑板上动手画图说明。

我挑了一个小组的发言人板演，他是通过把一元一次不等式5x+4<2x+10化简为3x-6＜0，然后画直角坐标系，通过画一次函数y=3x－6的图象，指出此直线与x轴的交点为（2，0），观察图象当x<2时，直线在x轴的下方。所以，不等式5x+4<2x+10的解集就是x<2。他的板演和说明，引来了班里的阵阵掌声。

我又选了一个小组的发言人板演不同的解题方法，他的思路是画两条直线y=5x+4和y=2x+10的图象，通过两直线的交点找答案。但通过这个学生的表述和画图，我看出这个学生属于中等偏下的水平，他在黑板上画一会儿就又擦掉，如此反复好大一会儿。看到这种情况，我也替他担心，就想立即换一位同学来板演，但我随即又制止了自己的这个想法，用鼓励的话语让他放下紧张的情绪，全班同学也在不断的为他加油。他终于整理好了自己的思路，开始工整地在黑板上作图„„他终于在同学们的“加油”声中完成了这个题的解答，通过比较这两条直线的位置关系解决了这一问题。

现在反思我的教学，我有以下几点体会：

1、这节课我对课的整体把握透彻，教学目标明确，重难点突出，教学过程设计得条理分明，对于课堂的全局把握较好，能调动学生的学习热情，课堂学习气氛浓厚。

3、最重要的是，我果断的放弃了对例题解题过程的演示，而改让学生小组合作学习和探讨，学生动手画图板演解题过程。现在回想起来，这才是把课堂还给了学生。而在那个中等偏下学生板演反复时，我没有制止他换人，而是鼓励他继续完成了解题过程，这是对学生的尊重。

从这节课中，我也有了很大的收获，那就是：课堂尽量还给学生，把课堂变成学生展示自己的舞台。教师应该尊重每一个学生，不要害怕学生学习有困难，只有暴露了困难，才会对症下药，知困而后进也。