一元二次函数练习题（精选13篇）
一元二次函数练习题 篇1
扫盲：一元二次函数
1．形如y=ax²+bx+c(a≠0)的函数，叫做一元二次函数。
2.一元二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线。开口由a决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；对称轴是直线x=-b/2a；顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a))
相关习题： 1.2.抛物线y=x²+2x-4的开口方向是——————，——————，对称轴是顶点坐标为
——————
二、求二次函数的解析式（待定系数法）
（1）一般式 ：y=ax²+bx+c(a≠0）。已知图像上三点或三对的值，通常选择一般式；
（2）顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0）。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；
（3）交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。已知图像与x轴交点（x1,0）、（x2，0），通常选择点式。
相关习题：
(1)、某二次函数的图象经过（0，1），（1，-3）和（1，3）三点，求此函数解析式。此抛物线解析式。
(3)、某二次函数的图象经过（1，0），（3，0）和（-1，16）三点，求此函数解析式。
(4)、y=ax²+bx+c
(a≠0）的图像如下，求此函数解析式。
(2)、某抛物线顶点（-2，-3），且过点（1，6），求
三、画y=ax²+bx+c(a≠0）的图像步骤：
1.判开口方向，由a的正负决定;
2.找对称轴，计算x=-b/2a；
3.找顶点坐标，计算f(-b/2a)或用公式(4ac-b^2)/4a;4.找与y轴的交点。令x=0,可得y=c;
5.找与x轴的交点。令y=0,解方程ax²+bx+c=0，可得x1,x2;6.用光滑的曲线连接成图。注意：多次修改，使其光滑、曲线。能穿坐标轴的要穿，使其具有延伸性。
相关习题：略
一元二次函数练习题 篇2
一、一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重点考察内容之一,要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题,合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的.
首先,从其形式上来看:
一元二次函数y = ax2+ bx + c(a≠0)与一元二次方程0 =ax2+ bx + c(a≠0)(其中a,b,c为常数 ):
1它们都是关于x的二次式,从上面我们可以看出,y =0时 ,便是一个一元二次方程. 所以 ,我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式,这是用函数的观点看一元二次方程.
2 条件上,都是在保证 a ≠ 0 的情况下,去认识一元二次函数和一元二次方程. 如果 a = 0 时,再谈便无意义.
3 从其表达式上可知道, 无论是一元二次函数 y 的值,还是一元二次方程的解 x 应该都与系数 a,b,c 有关.
其次,我们还可以从其内涵上来看:
1一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值,即方程的根. 实质是用a,b,c来表示, 如将x反代入表达式,则ax2+ bx + c值为0.
2一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况 ,反应的是y的变化规律. 当x变化时 ,y也随着x以ax2 + bx + c变化. 而当y = 0时,求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1,x2. 而此时的x1,x2正是一元二次函数y = ax2+ bx + c与x轴的交点.
最后,我们知道,无论是一元二次函数还是一元二次方程, 其交点或根都与系数a,b,c有关. 有交点就说明方程ax2+ bx + c = 0有根. 那么 ,是不是所有的一元二次方程ax2 +bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢? 又是不是只要一元二次方程ax2+ bx + c =0有根 ,一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢 ?
通过学习我们知道,并不是所有的一元二次方程都有实数根, 也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点. 既然这样,那怎样的一元二次方程才有实数根,又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢? 上面已经说过,无论是方程的根,还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关. 所以 ,现在我们应该考虑 ,能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题. 有根,有几个根;有交点,又有几个交点;满足有根或有交点时,系数之间是否呈现一定的关系和规律呢?
综上,我们可以看到,无论a∈(-∞,+∞),且a≠0时,1当b2 - 4ac > 0时, 一元二次函数与x轴有两个不同的交点,且相应方程有两个不同的实数根;2当b2- 4ac = 0时 ,一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根(即x1= x2);3当b2- 4ac < 0时 ,一元二次函数与x轴无交点, 对应方程无实数根. 亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的. 它们都有一共同特征: 就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2- 4ac与0的比较 . 一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2- 4ac有关 , 并把它作为判断有无交点和有无根的依据,所以叫它为判别式,记为△[2].(注:它只是一个记号.)
二、用一元二次函数的观点看一元二次方程
例4如图-2,以40 m/s的速度将小球沿以地面成30°角的方向击出时,球的路线将是一条抛物线, 如果不计空气阻力,球的飞行高度(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h = 20t - 5t2.
(1)球飞行高度能否达到15 m? 20 m呢 ? 20.5 m呢 ?
(2) 若能 ,需多长时间呢 ?
解 h = 20t - 5t2 = -5(t - 2)2 + 20
当t = 2s时h = 20 m, 是球飞行 的最大高 度.15 < 20 <20.5,即球不能达到20.5 m;能达到15 m,当h = 15,则t = 1 s或3 s.
此题实际上是求分别满足20t - 5t2= 15、20或20.5时 ,t是否存在实数解,但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论,这是很烦琐的. 如按以上的解法,就是充分运用了函数的性质,进而将问题简单化、明了化.
一元二次函数根的分布规律探究 篇3
错解：用韦达定理 设x1,x2为方程x2-2ax+4=0两根，则x1,x2均大于1的充要条件x1+x2>2x1·x2>1·驻≥0
分析：错误的原因在于若此题运用韦达定理求解，则方程x2-2ax+4=0两根x1,x2均大于1的充要条件(x1-1)+(x2-1)>0(x1-1)·(x2-1)>0·驻≥0
另解：运用求根公式方程x2-2ax+4=0的两根为x=■=a±■.要使两根均大于1，只要小根a-■>1即可,解得2≤a<■.
分析:此种解法思路简单，但是求解过程计算量太大。
此例属于一元二次函数根的实根分布问题。一元二次函数根的实根分布问题是初高中数学衔接的一个重要问题，也是高考的一个热点问题。一元二次方程根的分布也是二次函数中的重要内容，也是历来学生难以掌握的地方。这部分知识在初中数学中虽有所涉及，但远远不够系统和完整。而且解题方法多局限于应用判别式法和根与系数的关系。本文通过“数形结合、函数与方程”浅显易懂的简析。分两根分布在同一区间与两根分布在不同区间两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用，有助于学生掌握其精髓。
设方程ax2+bx+c=0(a>0)的不等两根为x1,x2且x1 情况一：两根分布在同一区间 ■ 情况二：两根分布在不同区间 ■ 对表二的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况：1.若f(m)=0或f(n)=0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m,n)内，从而可以求出参数的值．求出参数值后需检验是否满足题意。若不满足题意，则舍去所得参数值。2.方程有且只有一根，且这个根在区间(m,n)内，只要满足·驻＝0，此时由·驻＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数. 练习：已知二次方程x2+(m-3)x=0，根据下列条件求m的范围. （1）两根都小于1；（2）两根都在（0，2）內；（3）一根大于1，一根小于1；（4）一根小于2，一根大于4；（5）一根在（-2，0），一根在（0，4）;（6）有且只有一根在（0，2）之间. 分析：对于（1），（2）属于两根在同一区间的情况；（3）（4）（5）属于两根在不同区间的情况；（6）要考虑(ⅰ)f(0)·f(2)<0，解得0 1．下面哪个点在函数y= 1x+1的图象上（）2 A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，0）D．（-2，0）2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=2x-1 B．y= x C．y=2x2 D．y=-2x+1 33．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 4．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（） A．k>3 B．0 1．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________． 2．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________． 3．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________． 解答题 1．（14分）根据下列条件，确定函数关系式： （1）y与x成正比，且当x=9时，y=16； （2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）． 复习目标 1．二次函数的定义：形如〔a≠0，a，b，c为常数〕的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： 〔1〕二次函数的图象是一条抛物线．顶点为〔－，〕，对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增大而增大，x＜－，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－，y随x的增大而减小，x＜－，y随x的增大而增大． 〔2〕当a＞0时，当x=－时，函数有最小值；当a＜0时，当x =－时，函数有最大值 3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0〕的图象进行平移，可得到y=a(x－h)2＋k的图象． 将y=ax2的图象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是〔h，k〕，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同． 4.二次函数的图象与系数的关系： (1) a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，那么a＞0；物线开口向下，那么a＜0． 〔2〕b的符号出的符号由对称轴决定，假设对称轴是y轴，那么b=0；假设对称轴在y轴左侧，那么－＜0即＞0，那么a、b为同号；假设对称轴在y轴右侧，那么－＞0，即＜0．那么a、b异号．即“左同右异〞． 〔3〕c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．假设抛物线交y轴于正半轴，那么 c＞0，抛物线交y轴于负半轴．那么c＜0；假设抛物线过原点，那么c=0． 〔4〕△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．假设抛物线与x轴只有一个交点，那么△=0；有两个交点，那么△＞0；没有交点，那么△＜0 ． 5．二次函数表达式的求法： ⑴假设抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得； ⑵假设抛物线的顶点坐标或对称轴方程，那么可采用顶点式：其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h； ⑶假设抛物线与x轴的交点坐标，那么可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为〔x1，0〕，〔x2，0〕 6．二次函数与一元二次方程的关系： 〔1〕一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况． 〔2〕二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． 〔3〕当二次函数的图象与 x轴有两个交点时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，那么一元二次方程没有实数根． 典例精析 【例1】(1) 抛物线的局部图象如图，那么 再次与x轴相交时的坐标是〔 〕 A．〔5，0〕 B。〔6，0〕 C．〔7，0〕 D。〔8，0〕 〔2〕二次函数的图象如下图，那么a、b、c满足〔 〕 A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 【分析】〔1〕由，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，那么与x轴的另一交点为(7，0)。 〔2〕由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－ ＜0．那么b＜0．应选A． 【解答】〔1〕C 〔2〕A 【例2】〔2006宁波〕如图，抛物线与x轴相交于B〔1，0〕、C〔-3，0〕，且过点A〔3，6〕。 （1） 求a，b，c的值。 （2） 设抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连结CP、PB、BQ。试求四边形PBQC的面积。 【分析】此题第〔1〕小题考察用待定系数法求抛物线的解析式，结合条件可以考虑用交点式。第〔2〕小题关键是求出Q点的坐标，因为它是对称轴与线段AC的交点，所以要先求出直线AC的解析式。 【解答】〔1〕由题意可设：，把点A〔3，6〕坐标代入可得 所以，即 所以 （2） 顶点P的坐标为〔-1，-2〕，对称轴是直线 而直线AC的解析式为 所以对称轴与线段AC的交点Q的坐标为〔-1，2〕 设对称轴与x轴相交于点D，那么可得：DP=DB=DQ=DC=2 所以四边形PBQC的面积为8。 【例3】，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是〔－2，0〕，求原抛物线的解析式。 【分析】①由可知：原抛物线的图像经过点〔1，0〕；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。 【解答】可设新抛物线的解析式为，那么原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点〔1，0〕 ∴，解得 ∴原抛物线的解析式为： 【例4】如图是抛物线型的拱桥，水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就到达警戒水位线CD，这时水面宽米，假设洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 【分析】此题关键是建立适宜的直角坐标系。 【解答】以AB所在直线为轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，那么抛物线的顶点M在轴上，且A〔，0〕，B〔，0〕，C〔，3〕，D〔，3〕，设抛物线的解析式为，代入D点得，顶点M〔0，6〕，所以〔小时〕 【例5】已抛物线〔为实数〕。 〔1〕为何值时，抛物线与轴有两个交点？ 〔2〕如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。 【分析】抛物线与轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。 【解答】〔1〕由有，解得且 〔2〕由得C〔0，－1〕 又∵ ∴ ∴或 ∴或 课内稳固 1.〔2006临安〕抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是〔 〕 A．〔1，1〕 B．〔-1，1〕 C．〔-1，-1〕 D．〔1，-1〕 2．直线y=x与二次函数y=ax2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，那么a的值为〔 〕 A、2 B、1 C、3 D、4 3．二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，那么与分别等于〔 〕 A、6、4 B、－8、14 C、4、6 D、－8、－14 4．〔2006湖州〕二次函数y=x2－bx+1〔－1≤b≤1〕，当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。以下关于抛物线的移动方向的描述中，正确的选项是〔 〕 A、先往左上方移动，再往左下方移动; B、先往左下方移动，再往左上方移动; C、先往右上方移动，再往右下方移动; D、先往右下方移动，再往右上方移动 5．〔2006诸暨〕抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一局部如下图，那么该抛 物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是 （） A．〔，0〕； B．〔1，0〕； C．〔2，0〕； D．〔3，0〕 6．函数的图象如下图，给出以下关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b ＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________。 7．二次函数的图象如下图： 〔1〕这个二次函数的解析式是y=__________． 〔2〕当x=_______时，y=3； 〔3〕根据图象答复：当x______时，y＞0． 8．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象〔局部〕刻画了该公司年初以来累积利润S〔万元〕与销售时间〔月〕之间的关系〔即前个月的利润总和S与之间的关系〕。根据图象提供的信息，解答以下问题： 〔1〕由图象上的三点坐标，求累积利润S〔万元〕与时间〔月〕之间的函数关系式； 〔2〕求截止到几月末公司累积利润可到达30万元； 〔3〕求第8个月公司所获利润是多少万元？ 9．四边形DEFH为△ABC的内接矩形，AM为BC边上的高且长为8厘米，BC长为12厘米，DE长为x，矩形的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.课外拓展 A组 1.〔2006舟山〕二次函数y=x2+10x-5的最小值为〔 〕． A．-35 B．-30 C．-5 D．20 2.〔2006绍兴〕小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是（） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 3.函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是〔 〕 A.〔2，0〕 B.〔－2，0〕 C.〔0，4〕D.〔0，－4〕 4.〔2006苏州〕抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是x=_________ ． 5.〔2006浙江〕如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点〔-1，2〕和〔1，0〕且与y轴交于负半轴． 〔1〕给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0； ④a+b+c=0 其中正确的结论的序号是 ． 〔２〕给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1； ④a＞1．其中正确的结论的序号是。 6.二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.7.假设抛物线的最低点在轴上，那么的值为。 8.抛物线过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕． 〔1〕求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； 〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； 〔3〕这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ 9．(2006盐城)：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P． (1)求A、B、P三点坐标； (2) 在如图的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； (3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.10.〔2005枣庄〕抛物线的图象的一局部如下图，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.(1)求a的取值范围； (2)假设OA=2OB，求抛物线的解析式． B组 11．〔2005常州〕抛物线的局部图象如图,那么抛物线的对称轴为直线x=,满足y＜0时的x的取值范围是,将抛物线 向 平移 个单位,那么得到抛物线.12．〔2006大连〕如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________。 13．阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为〔m，2m－1〕，即当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可见，不管m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1。答复以下问题：〔1〕在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；〔2〕根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标与横坐标x之间的关系式_________.14．〔2006台州〕如图，抛物线y=ax2+4ax+t〔a＞0〕交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为〔－1，0〕.〔1〕求此抛物线的对称轴及点A的坐标； 〔2〕过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论； x y 〔3〕连结AC，BP，假设AC⊥BP，试求此抛物线的解析式.15．〔2006大连〕如图，抛物线E：y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。 〔1〕求F的解析式； 〔2〕在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形。假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由； 〔3〕假设将抛物线E的解析式改为y＝ax2＋bx＋c，试探索问题〔2〕。 16．〔2006嘉兴〕某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚〔点C〕的水平线为x轴、过山顶〔点A〕的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB所在抛物线的解析式为y＝－x2＋8，BC所在抛物线的解析式为y＝(x－8)2，且B〔m，4〕． 〔1〕设P〔x，y〕是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标； 〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕． ①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕； ②这种台阶不能一起铺到山脚，为什么？ 〔3〕在山坡上的700米高度〔点D〕处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE＝1600〔米〕．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y＝(x－16)2．试求索道的最大悬空高度． 反思纠错 1．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙〔墙的最大可利用长度a为10米〕围成中间隔一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为米，面积为平方米。 （1） 求与的函数关系式； （2） 如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？ （3） 能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。 解：〔1〕花圃宽米，长为米，那么它的面积与的函数关系式为。 〔2〕 当时，所以，当AB长为3米或5米时花圃的面积为45平方米。 〔3〕 所以，能围成面积比45平方米更大的花圃，它的最大面积为48平方米。 （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是。 （3）当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。 （4）求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；（5）求出该抛物线与y轴的交点坐标； （6）该函数图象可由y3x2的图象经过怎样的平移得到的 二、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 11（1）yx22x1； （2）y3x28x2； （3）yx2x4 三、以x为自变量的函数yx2(2m1)x(m24m3)中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且SABC=10,求这个一次函数的解析式.四.(10分)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标及△ABC的面积..(画图) 五.(12分)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3).(1)求m的值、抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标;(2)当x取什么值时,抛物线在x轴上方?(3)当x取什么值时,y的值随x的增大而减小.(画图) 随着高职高专院校的不断发展壮大, 高职院校的单招的学生越来越多, 学生的基础参差不齐, 所以高职数学主要以了解理论的基础上注重计算。一元函数极限是高数最开始的基础, 后面函数的连续和导数的定义都是以极限的形式可以表达。因此学好一元函数的极限是很必要的。 1 一元函数的极限 1.1 定理:该极限存在的充要条件是:。通过该定理可求函数的极限, 如: 在例2题中没有必要求, 因为当x→+∞极限已经不存在了, 所以由定理当x→∞极限肯定不存在。 1.2 定理:该极限存在的充要条件是:。通过该定理可以判断出分段函数在分界点的极限和一些特殊的初等函数在间断点的极限是否存在, 如: 以上两点是函数两种类型函数极限存在的充要条件, 该充要条件也是函数在某点连续充要条件和函数在某点可导充要条件的基础, 因此函数的极限与函数的连续和可导息息相关, 熟练掌握函数极限是很必要的。 2 一元函数极限求法归纳 (1) 利用极限存在的充要条件求极限, 如例1-4题。 (2) 利用极限的四则运算法则求极限。 (3) 利用两个重要极限求极限。 ;这两个是本身的重要极限公式, 但我们通常把它演变成以下四种类型的公式, 运用起来更得心应手。 在演变的重要极限公式中, 不管u (x) 是怎样的函数, 只要它满足极限的条件, 我们都可以套用这些极限公式, 如: (4) 利用等价无穷小求极限。 等价无穷小主要出现在两个重要极限这里, 比如: 通过等价无穷小代换求极限比较简单快捷, 是一种很有用的求极限方法。 (5) 利用洛必达法则求极限。 洛必达法则只适合求两种未定型函数的极限, 通过对分子分母分别求导再求极限的方法, 应用方便, 对于0·∞, ∞-∞, 00, ∞0, 1∞等未定型需要先把他们转化为的类型, 再用洛必达法则, 如: 该题就是把, 再利用洛必达法则求极限。但洛必达法则不是对所有的都可以用, 如果利用洛必达法则4次以上, 仍然求不出极限, 那么就需要改用其他方法求极限, 如: 如此反复下去, 总求不出极限, 须用其他方法, 该题适合方法7中, 观察分子分母变量最高次数, 最高次数都是1, 最高次数的系数也都是1, 所以极限为1。 (6) 利用导数的定义求极限。 函数f (x) 在x0处导数的定义也可以总结为一个极限。 从该定义中, 不难发现等式左侧的极限是函数在该点处的导数值, 因此遇见等式左侧类型的极限就可以直接求函数在该点的导数即可, 如: 例10:, 该极限就像函数x2在1处导数值2。该题也可以用方法6分解因式, 约掉分子分母的公因子再求极限。 求极限的方法有很多种, 在文中总结出高职教学中学生经常使用的方法, 每种方法都有它比较适合的类型, 也有它的局限性。同一个题可以用几种不同的方法求出, 所以具体的题具体分析, 找到方便快捷求极限的方法。 3 结束语 一元函数的极限是高职数学中的重中之重, 函数极限存在是函数连续和可导的必要条件, 也为下学期多元函数的极限打下坚实的基础, 一元函数求极限的一些方法我们可以在多元函数中继续使用。因此, 在高职教学中我们要重点抓住学生极限的学习, 为后面学习做好准备。 摘要：一元函数极限是高职高数的基础, 在此极限的基础上引出一元函数的连续及导数的定义, 为此, 浅谈函数极限的求法及和连续与导数的关系。 关键词：一元函数,极限,导数,连续 参考文献 [1]张绪绪, 高汝林.应用数学[M].北京:北京理工大学出版社, 2014. [2]段瑞, 张绪绪.经济数学[M].北京:机械工业出版社, 2015. 【关键词】极大值 极小值 驻点 不可导点 一、了解求函数极值的间接要素 1 极值的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于其去心邻域内的任意一点，有（或），那么称是函数的一个极大值（或极小值），并且把称为函数的一个极大值点（或极小值点）。 2 求函数极值的间接要素：根据极值的定义，函数的极值是极值点所对应的函数值，所以求函数的极值实际上就是求函数的极值点。函数的极值点包含两种点，一种是驻点，即把使得的点叫做函数的驻点；另一种是不可导点，即使得不存在的点。故求函数的极值无非就是从这两种点中确定谁是极值点，从而求出极值。那么如何从可能极值点中找到函数的极值点呢？ 二、利用极值判定的第一和第二充分条件求函数的极值 1 定理1（极值判定的第一充分条件）：设函数在点处连续，且在的某去心邻域内可导。 （1）若当时， >0，而当时， <0，则函数在处取得极大值； （2）若当时， <0，而当时， >0，则函数在处取得极小值； （3）若当时，的符号保持不变，则函数在处没有极值。 2 定理2（极值判定的第二充分条件）：设函数在点处存在二阶导数，且，。 若，则函数在点处取得极小值； 若，则函数在点处取得极大值。 3 利用极值判定的第一和第二充分条件求函数的极值： 例1 求函数的极值。 解：（1）的定义域为； （2）=； （3）令，得驻点=-1. =3； （4）在内， >0，在内， <0在内>0 所以函數在点=-1处取得极大值，函数在点=3处取得极小值。 上面是利用极值判定的第一充分条件来求函数的极值，我们再用极值判定的第二充分条件来求函数的极值。 例2 求函数=的极值 解 （1）的定义域为； （2）=， （3）令，得=-1， =1 （4），所以=-1， =1都是函数的极小值点，且是函数的极小值。 三、极值判定的第二充分条件的三种局限性 根据上面的例题我们可以得知极值判定的第一充分条件和第二充分条件都有其各自的优势。第一充分条件适用范围广，受限制小，第二充分条件节省计算量。但是观察第二充分条件我们会发现它有三种使用的局限性。 1 若极值点是不可导点时不适用极值判定的第二充分条件。 例3：求函数=的极值 解：（1）的定义域为； （2）= （3）显然函数没有驻点，但有这个不可导点，即不存在。此时更不可能存在，所以第二充分条件失效，只能使用第一充分条件。 （4）在内， >0，在内， <0，故是极大值点，是极大值。 2 若驻点是极值点且时不适用极值判定的第二充分条件 例4：求函数的极值 解 （1）的定义域为； （2）= ==12 （3）令，得驻点=0， =1；。 显然是极小值点且是极小值。而，此时第二充分条件失效。只能使用第一充分条件。 （4）在内>0，在内>0，导数符号相同，所以不是极值点。 3 若函数二阶导数的计算量过大从而失去极值判定的第二充分条件节省计算量的作用时不建议使用极值判定的第二充分条件。 例5：求函数=的极值 解：（1）的定义域为； （2）=，此时求解计算量过大，不建议使用极值判定的第二充分条件。 （3）令，得驻点=1，另函数存在不可导点=-1.这两个点将定义域分成三个区间。 （4）在内， >0；在内<0；在内>0，所以是极大值点，是极大值。是极小值点，是极小值。 【参考文献】 [1]郑桂梅.高等数学[M].长沙：国防科技大学出版社，2008. [2]李心灿.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]北京邮电大学数学教研室.高等数学[M].2版.北京：北京邮电大学出版社，2004. （二次函数与线段、面积最值综合题型） 一． 突破与提升策略： 1．面积最大值 （1）三角形有一条边在坐标轴上： 以在坐标轴上的边为底边，过不在坐标轴上的顶点作垂线； （2）三角形的三边都不在坐标轴上： 过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线(应用最多)； （3）四边形有两边在坐标轴上： 过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线.2.面积倍数关系：先求出其中一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解． 二．典型题提升练习 1.如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B，C，D三点，且B点的坐标为(－1,0)，(1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象位于x轴上方部分有两个动点M，N，且点N在点M的左侧，过点M，N作x轴的垂线交x轴于点G，H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； 2.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是多少？ 3.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC.求线段PM的最大值； 4.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值； 5.在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，已知A(1,4)，B(3,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)探究：如图①，连接OA，过点D作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)应用：如图②，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m＋n＝－1，连接PA，PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标． 提示：若点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为.6.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横 坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ 7.如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动 点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值． （3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）． （1）求b，c的值； （2）直线l与x轴交于点P． ①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值； ②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式． 9.如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将 直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D． （1）求直线AD的函数解析式； （2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点 ①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值． 10.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC.(1) 求抛物线的解析式； (2) 点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为； (3) 点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； (4) 若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且 OB=OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边 形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5 两部分，求点P的坐标． 12.如图,已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(－5,0),B(－4,－3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的表达式; (2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图，已知抛物线经过点（-1,0）、（5,0）.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标； （2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积 （3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示） 14.如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线l上方的抛物线上时，过点作轴交直线l于点，作轴交直线l于点，求的最大值； 一、教学目标： 1、知识目标：理解“三个二次”的关系，从而 熟悉掌握看图象找一元二次不等式的解集。 2、能力目标：通过图像找解集，培养学生从“形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“ 从特殊到一般”的归纳概括能力。 3、情感目标：创设问题情境，激发学生的学习热情，强化学生参与意识及主体作用，培养学生的数学兴趣。 二、教学重点：一元二次不等式的图像解法。 三、教学难点：“三个二次”的关系，从图像上找一元二次不等式的解集。 四、教学过程： （一）创设情境，引入新课 问题：在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多6米的矩形。假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为40平方米的空地，那么矩形带长为多少时，树苗会不够栽？ 这个问题两天前在微信群里就让学生讨论思考，学生们已经建立好了数学模型，大大的激发了学生的学习兴趣。 解决：设绿化带长为x m，则依题意有x(x6)40 整理为 定义：一般地，含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等 200）式。它的一般形式是ax2bxc（或者axbxc0(0），其中a0。 （二）复习旧知，确立思想 例：请同学们解下面的方程和不等式。1.2x60 2.2x60 3.2x60 为完成本题，首先将学生们每五人分为一组。让学生以小组为单位进行讨论，并派代表展示结果。结果如下图（教师随后展示的标准图）： 师生一起归纳出“三个一次”的关系： ①2x-6=0的解恰是函数y=2x-6的图象与x轴交点的横坐标x=3 ②2x-6>0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合x|x3 ③2x-6<0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合x|x3 “三个一次”的一般结论： 若ax+b=0(a>0)的解为x0，则函数y=ax+b的图象与x轴交点为（x0，0）①ax+b>0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合x|xx0 ②ax+b<0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合x|xx0 （三）依旧悟新，引出“三个二次”的关系 师：我们一起来求解一元二次不等式x2x60,x2x60吧！ 先让学生自己动手画出二次函数yx2x6的图像然后再用多媒体展示出标准图，如下： 学生以小组为单位继续对图像上纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x的取值范围进行讨论并派小组代表说出讨论结果： ①方程x2x60的解是x12或x23；一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴的交点。 ②不等式x2x60的解集是x/x2或x3;一元二次不等式大于零的解集就是x轴上方二次函数图像对应的自变量x的取值范围。 ③不等式x2x60的解集是x/2x3.一元二次不等式小于零的解集就是x轴下方二次函数图像对应的自变量x的取值范围； 此时，学生已经揭示“三个二次”之间的紧密关系，找到了利用二次函数图象来解一元二次不等式的方法，突破了本节课的重难点。 （四）归纳提炼，得出“三个二次”的关系 师：我们能不能进一步将特殊、具体的结论转化成一般结论呢？也就是如果把yx2x6变为, 这种情况下你还能根据图象与x轴的相对位置关系分别将Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下相应不等式的解集表示出来吗？现在我们进行抢答把下面的表格填写完整。一、二、三！开始！ 通过三轮抢答以及老师的引导完成了表格，从而揭示了“三个二次”的一般关系，同时也再一次强化了学生的数形结合思想，提高了学生归纳概括的能力，让学生体验到数学的乐趣。 注：表中 .（五）例题讲解，形成结论 例题：解下列不等式 21、-3x6x22、3、解： 1、因为二次项系数为-3<0,将不等式两边同时乘以-1，得 3x25x20的解为方程 所以3x25x20的解集为，1即原不等式解集为，1 2323 22、由于22-413-80,故方程x2x30没有实数根本，所以原不等式的解集为R.23、因为二次项系数4>0，44410.方程4x24x10的解为x1x211，所以原不等式的解集为。22 （六）运用新知，强化练习 2x1、6x400（让学生利用学到的知识自我解惑刚刚遗留的数学实际问题，长为多少时，树苗不够栽？） 22、x3x100 22x4x20 3、（七）反思小结，提高认识 解一元二次不等式的“四部曲” （1）把二次项的系数化为正数； （2）计算判别式Δ； （3）解对应的一元二次方程； （4）根据一元二次方程的根，结合图像，写出不等式的解集。概括为：一化正 → 二算Δ → 三求根 → 四写解集 （八）作业布置 1. 对首项系数[a]的讨论 若二次项系数[x2]项的系数[a]含有参数，则须对[a]的符号分类，即分[a>0,a=0,a<0]. 例1 解不等式：[ax2+4x+4>0]. 分析 此题是一个含有参数的不等式，首先要根据情况，对[a]进行层层分析和讨论，便于利用确定的不等式类型来逐步解决. 解 （1）当[a<0]时，原不等式可化为 [x2+4ax+4a<0.] ∵[Δ=16(1-a)a2>0,] ∴原不等式的解为 [-2+21-aa （2）当[a＝0]时，[4x+4>0，x>－1]，为原不等式的解. （3）当[0 [x2+4ax+4a>0.] 解方程[x2+4ax+4a=0]得，[x=-2±21-aa.] ∴不等式的解为[x<-2-21-aa]或[x>-2+21-aa.] （4）当[a＝1]时，原不等式可化为[(x+2)2>0]，解得[x≠-2]， ∴ 原不等式解为[x∈R]，且[x≠－2]. （5）当[a>1]时，原不等式可化为[x2+4ax+4a>0.] ∵[Δ=16(1-a)a2<0,] ∴不等式的解为R. 点拨 含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为0、判别式[Δ]的符号、两根的大小关系. 在判别式[Δ]<0时，应注意区别不等式的解是[R]或[∅]. 关于不等式解的一般形式是两根之间还是两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号方向为大于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间. 通常将二次项系数化为常数. 2. 对判别式[Δ]的讨论 若判别式[Δ=b2-4ac]中含有参数，则须对判别式[Δ]的符号分类，即分[Δ>0]，[Δ=0]，[Δ<0]. 例2 解关于[x]的不等式[2x2+kx-k≤0]. 分析 此不等式为含参数[k]的不等式，当[k]值不同时，相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手. 解 [Δ=k2+8k=k(k+8)]. （1）当[Δ>0,即k<-8或k>0时,] 方程[2x2+kx][-k=0]有两个不相等的实根. 所以不等式[2x2+kx-k≤0的解集是] [x-k-k(k+8)4≤x≤-k+k(k+8)4]. （2）当[Δ=0,即k=-8或k=0时,] [方程2x2+][kx-k][=0]有两个相等的实根. 所以不等式[2x2+kx-k≤0的解集是-k4]，即[0,2]. （3）当[Δ<0,即-8 [方程2x2+kx-k][=0]无实根. 所以不等式[2x2+kx-k≤0的]解集为[∅]. 点拨 解关于含参数的一元二次不等式时，在考虑二次项系数后，再看判别式的情况，若判别式[△=b2-4ac]中含有参数，则须对判别式△的符号进行分类讨论，即分[△>0，△=0，△<0]讨论. 3. 对根的大小的讨论 若不等式对应的方程的根为[x1、x2]中含有参数,则须对[x1、x2]的大小来分类，即分[x1 例3 解关于[x]的不等式[x2-2x+1-a2≥0.] 解 [(x-1)2-a2≥0]，[(x-1-a)(x-1+a)][≥0]，其对应的根为[1+a]与[1-a]. 由[(1+a)-(1-a)=2a]得， （1）当[a>0]时，[1+a>1-a]， ∴原不等式的解集为[{x|x≥1+a或x≤1-a}]. （2）当[a=0]时，[1+a=1-a]， ∴原不等式的解集为全体实数R. （3）当[a<0]时，[1-a>1+a]， ∴原不等式的解集为[{x|x≥1-a或x≤1+a}]. 点评 在前面讨论的基础上，再考虑根的情况. 此种解法可以概括为：含参的不等式能因式分解的因式分解，并比较根的大小. 练习 1.若关于[x]的二次不等式[mx2+8mx+21<0]的解集是[{x|－7 A．1 B．2 C．3 D．4 2.不等式[ax A．[a＝0]且[b≤0] B．[b＝0]且[a>0] C．[a＝0]且[b>0] D．[b＝0]且[a<0] 3. 关于[x]的不等式[(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0]的解集为R，求实数[a]的取值范围． 4. 已知[A={x|x2-3x+2≤0},][B={x|x2-(a+1)x][+a≤0}]，若[A]⫋[B]，则[a]的取值范围是 . 答案 1. C 2. A(提示：因[x2+x+1<0]的解为[∅]，只有[a＝0]且[b≤0]时，[ax 3. [-35＜a≤1] 1 一元二次不等式的解题思路 众所周知:一元二次不等方程式指的是仅包含一个未知数, 并且该未知数最大次数为2的不等式。 笔者将以实际拟题对一元二次不等方程式解法进行分析说明: 例:对不等式求解:0<bx+ax2+c, 其中a>0。 方法1:如果存在△>0, 即b2>4ac, 那么此时不等式存在x1≠x2的2个实数根, 并且, 在这个时候抛物线y (y=c+ax2+bx, 同时a>0) 与x存在2个不同的交点 (如下图 (1) 所示) 。 此时不等式0<bx+ax2+c且a>0计算得出的解集为: 如果存在有△=0, 即b2=4ac, 那么此时不等式存在x1=x2的1个实数根, 并且x1=x2= (-b) /2a, 在这个时候抛物线y (y=c+ax2+bx, 同时a>0) 与x仅存在1个交点 (如上图 (2) 所示) 。所以:x1=x2≠ (ax-b/2) , 所以此时的不等式解集为: 如果存在有△<0, 即b2<4ac, 那么此时不等式不存在实数根, 在这个时候抛物线y (y=c+ax2+bx, 同时a>0) 与x没有交点 (如上图 (3) 所示) 。 方法2:我们将不等式转化成为一元一次不等方程式组bx+ax2+c=- (b2-4ac) /4a+ax+b/2, 如果存在△>0, 那么此时不等式存在x1≠x2的2个实数根, 并且, 那么bx+ax2+c=a (x-x2) (x-x1) >0。 所以在此时, 该不等式的解集如下: 如果存在有△=0, 即b2=4ac, 那么此时不等式存在x1=x2的实数根, 并且x1=x2= (-b) /2a, , 那么bx+ax2+c= (ax-b/2) >0。 所以:x1=x2≠ (ax-b/2) , 所以此时的不等式解集为: 如果存在有△<0, 即b2<4ac, 那么bx+ax2+c=0不存在实数根, 不等式恒成立, 此时不等式解集{x|x∈[-∞, +∞]}。 方法3:将整个不等式转化成为一般的绝对值不等式进行求解: 将原不等式转化成为- (b2-4ac) /4a<ax+b/2。 如果存在△>0。那么存在| (ax+b/2) 2|>{ (b2-4ac) /4a}2。 所以: (b/2a+x) <- (b2-4ac) /2a或者是 (b/2a+x) >- (b2-4ac) /2a 如果存在△=0.那么存在| (ax+b/2) 2|>0。 那么此时的不等式解集为:{x|x≠b/2a}。 2 一元二次不等方程式解法结论 解法1:先对一元二次不等式的根进行求解, 并根据求出来的数据画出一元二次函数图, 最后根据图像写出一元二次不等式方程的解集, 这种图文并茂的方式被称之为图像法。 解法2:将其分成下列一元一次不等方程式, 进行求解得出:0<d (x-x1) (x-x2) =dx2+c+ex。 解法3:将绝对值进行化简, 并对一元二次方程进行求解。 3 结束语 在数学教学过程中, 尤其是类似于一元二次不等式方程教学的过程中, 应该注意对学生进行多种解题方法的挖掘, 只有这样才能使得学生在日后实际问题解决的过程中能够有较多的方法进行选择, 保证以后在测试或者应用中通过最短的路径以及最合适的解题方法解决一元二次不等方程式。 参考文献 [1]贺小虎.一元二次不等式的新解法[J].雁北师范学院学报, 2013, 173-174. （一）教学目标 1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来； 2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来； 3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。 （二）教学重、难点 重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想； 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 （四）教学设想 [创设情景] 通过让学生阅读第84页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，即 x25x0 [探索研究] 首先考察不等式x5x0与二次函数yx25x以及一元二次方程x5x0的 关系。 容易知道，方程x5x0有两个实根：x10,x25 由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知x10,x25是二次函数222yx25x的两个零点。通过学生画出的二次函数yx25x的图象，观察而知，当x0,x5时，函数图象位于x轴上方，此时y0，即x5x0； 2当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时y0，即x5x0。 22所以，一元二次不等式x5x0的解集是x0x5 从而解决了以上的上网问题。 [总结归纳] 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式axbxc0或 2ax2bxc0(a0)的解集：可分0,0,0三种情况来讨论。 引导学生将第86页的表格填充完整。 [例题分析]： 一.分析、讲解例2和例3，练习：第89页1.（1）、（3）、（5）；2.（1）、（3）二.分析、讲解例1和例4 练习：第90页（A组）第5题，（B组）第4题。[知识拓展]： 下面利用计算器，用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来： 下面是具有一般形式axbxc0(a0)对应的一元二次方程 2ax2bxc0(a0)的求根程序： input “a,b,c=”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a)q=sqr(abs(d))/(2*a)if d<0 then print “the result is R” else x1=p-q x2=p+q if x1=x2 then print “the result is {x/x<> “;p,”}” else print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}” endif endif end 练习：（B组）第3题。[新知小结]： 1.从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式； 2.应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题； 3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来： 【一元二次函数练习题】推荐阅读： 一元二次函数的图象06-02 二次函数与一元二次方程教学反思07-24 一元函数07-28 一元函数极限07-10 一元一次函数论文07-10 一元函数的极限与连续07-29 一元二次08-14 一元一次方程练习题一08-30 二次函数图像教学07-06 二次函数建模方法08-01一元一次函数练习题 篇4
二次函数练习题 篇5
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浅析一元函数极值的判定及求法 篇8
一元二次函数练习题 篇9
优质课一元二次不等式教案 篇10
含参一元二次不等式的解题策略 篇11
一元二次不等式解法的探讨 篇12
一元二次函数练习题 篇13