一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法（精选11篇）

一元二次不等式的解法 篇1

在日常教学中, 我们针对一元二次不等式的解法做出了进一步分析, 通过一些典型的例子进行了分析和总结, 并对这些例题进行了反思。

1 一元二次不等式的解题思路

众所周知:一元二次不等方程式指的是仅包含一个未知数, 并且该未知数最大次数为2的不等式。

笔者将以实际拟题对一元二次不等方程式解法进行分析说明:

例:对不等式求解:0<bx+ax2+c, 其中a>0。

方法1:如果存在△>0, 即b2>4ac, 那么此时不等式存在x1≠x2的2个实数根, 并且, 在这个时候抛物线y (y=c+ax2+bx, 同时a>0) 与x存在2个不同的交点 (如下图 (1) 所示) 。

此时不等式0<bx+ax2+c且a>0计算得出的解集为:

如果存在有△=0, 即b2=4ac, 那么此时不等式存在x1=x2的1个实数根, 并且x1=x2= (-b) /2a, 在这个时候抛物线y (y=c+ax2+bx, 同时a>0) 与x仅存在1个交点 (如上图 (2) 所示) 。所以:x1=x2≠ (ax-b/2) , 所以此时的不等式解集为:

如果存在有△<0, 即b2<4ac, 那么此时不等式不存在实数根, 在这个时候抛物线y (y=c+ax2+bx, 同时a>0) 与x没有交点 (如上图 (3) 所示) 。

方法2:我们将不等式转化成为一元一次不等方程式组bx+ax2+c=- (b2-4ac) /4a+ax+b/2, 如果存在△>0, 那么此时不等式存在x1≠x2的2个实数根, 并且, 那么bx+ax2+c=a (x-x2) (x-x1) >0。

所以在此时, 该不等式的解集如下:

如果存在有△=0, 即b2=4ac, 那么此时不等式存在x1=x2的实数根, 并且x1=x2= (-b) /2a, , 那么bx+ax2+c= (ax-b/2) >0。

所以:x1=x2≠ (ax-b/2) , 所以此时的不等式解集为:

如果存在有△<0, 即b2<4ac, 那么bx+ax2+c=0不存在实数根, 不等式恒成立, 此时不等式解集{x|x∈[-∞, +∞]}。

方法3:将整个不等式转化成为一般的绝对值不等式进行求解:

将原不等式转化成为- (b2-4ac) /4a<ax+b/2。

如果存在△>0。那么存在| (ax+b/2) 2|>{ (b2-4ac) /4a}2。

所以: (b/2a+x) <- (b2-4ac) /2a或者是 (b/2a+x) >- (b2-4ac) /2a

如果存在△=0.那么存在| (ax+b/2) 2|>0。

那么此时的不等式解集为:{x|x≠b/2a}。

2 一元二次不等方程式解法结论

解法1:先对一元二次不等式的根进行求解, 并根据求出来的数据画出一元二次函数图, 最后根据图像写出一元二次不等式方程的解集, 这种图文并茂的方式被称之为图像法。

解法2:将其分成下列一元一次不等方程式, 进行求解得出:0<d (x-x1) (x-x2) =dx2+c+ex。

解法3:将绝对值进行化简, 并对一元二次方程进行求解。

3 结束语

在数学教学过程中, 尤其是类似于一元二次不等式方程教学的过程中, 应该注意对学生进行多种解题方法的挖掘, 只有这样才能使得学生在日后实际问题解决的过程中能够有较多的方法进行选择, 保证以后在测试或者应用中通过最短的路径以及最合适的解题方法解决一元二次不等方程式。

参考文献

[1]贺小虎.一元二次不等式的新解法[J].雁北师范学院学报, 2013, 173-174.

[2]竹红英.一元二次不等式解法归纳[J].内江科技, 2012, 138-141.

一元二次不等式的解法 篇2

关键词：数形结合;二次函数

一、教材分析

1.地位和作用。本课是五年制高等师范教材南京大学出版社《数学》教材第一册第二章第二节的教学内容，从知识结构看：它是一元一次不等式的延续和拓展，又是以后研究函数的定义域、值域等问题的重要工具，起到承前启后的作用;

从思想层次上看：它涉及到数形结合、分类转化等数学思想方法，在整个教材中有很强的基础性。

2.教材内容剖析。本节课的主要内容是通过二次函数的图像探究一元二次不等式的解法。教材中首先复习引入了“三个一次”的关系，然后依旧带新，揭示“三个二次”的关系，其次通过变式例题讨论了△=0和△<0的两种情况，最后推广一般情况的讨论，教材的内容编排由具体到抽象、由特殊到一般，符合人的认知规律。

3.重难点剖析。重点：一元二次不等式的解法。难点：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系。难点突破：(1)教师引导，学生自主探究，分组讨论。(2)借助多媒体直观展示，数形结合。(3)采用由简单到复杂，由特殊到一般的教学策略。

二、目的分析

知识目标：掌握一元二次不等式的解法，理解“三个二次”之间的关系

能力目标：培养学生“从形到数”的转化能力，由具体到抽象再到具体，从特殊到一般的归纳概括能力。

情感目标：在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识。

三、教法分析

教法：“问题串”解决教学法

以“一串问题”为出发点，指导学生“动脑、动手、动眼、动口”，参与知识的.形成过程，注重学生的内在发展。

学法：合作学习(1)以问题为依托，分组探究，合作交流学习。(2)以现有认知结构为依托，指导学生用类比方法建构新知，用化归思想解决问题。

四、过程分析

本节课的教学，设计了四个教学环节：

创设情景、提出问题

问题1.用一根长为10m的绳子能围成一个面积大于6m2的矩形吗?“数学来源于生活，应用于生活”，首先，以生活中的一个实际问题为背景切入，通过建立简单的数学模型，抽象出一个一元二次不等式，引入课题。

设计意图：激发学生学习兴趣，体现数学的科学价值和使用价值。

自主探究，发现规律

问题2.解下列方程和不等式。①2x-4=0 ②2x-4>0 ③2x-4<0

归纳、类比法是我们发现问题、寻求规律，揭示问题本质最常用的方法之一。寻求一元二次不等式的解法，首先从一元一次不等式的解法着手。展示问题2。学生：用等式和不等式的基本性质解题。教师：还有其他的解决方法吗?展示问题3。

问题3.画出一次函数y=2x-4的图像，观察图像，纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x取哪些数呢?

学生：发现可以借用图像解题。此问题揭示了“三个一次”的关系。

设计意图：为后面学习二次不等式的解法提供铺垫。

问题4用图像法能不能解决一元二次不等式的解呢?已知二次函数y=x2-2x-8.

(1)求出此函数与x轴的交点坐标。

(2)画出这个二次函数的草图。

(3)在抛物线上找到纵坐标y>0的点。

(4)纵坐标y>0(即：x2-2x-8>0)的点所对应的横坐标x取哪些数呢?

(5)二次函数、二次方程、二次不等式的关系是什幺?

教师：展示问题4。此环节，要注意下面几个问题：

(1)启发引导学生运用归纳、类比的方法，组织学生分组讨论，自主探究。(2)及时解决学生的疑点，实现师生合作。(3)先让学生自己思考，最后教师和学生一起归纳步骤。(求根—画图—找解)，抓住问题本质，画图可省去y轴。教师抓住时机，展示例题1，巩固方法(△>0的情况)，规范步骤，板书做题步骤，起到示范的作用。设计意图：运用“解决问题”的教学方法，使每位学生参与知识的形成过程，体现了教师主导学生主体的地位。

变式提问，启发诱导

方程：ax2+bx+c=0的解情况函数：y=ax2+bx+c的图象

不等式的解集

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0

⊿>0

⊿=0

⊿<0

教师：展示例题2(1).-x2+x+6≥0(2).x2-4x+4<0(3).x2-x+3>0。学生：尝试通过画图求解。此环节要注意：引导学生把不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决;对于△=0，△<0的情况，启发学生用数形结合的思想方法关键在于画好图像，贵在“结合”。设计意图：通过探索、尝试的过程，培养了学生大胆猜想，勇于探索的精神。

自我尝试，反馈小结。

教师：展示练习题，把学生分成两个小组，要求当堂完成，看哪个组做的好做的快。教师对出现的问题及时反馈。同时，进一步启发引导学生将特殊、具体问题的结论推广到一般化。展示表格，学生：填写内容。

学生理解了“三个二次”的关系，得到一般结论应该是水到渠成。最后，教师做本节课的小结，布置作业。设计意图：激发了学生的求知欲，培养了学生的主动参与意识。

五、评价分析

一元二次不等式的解法 篇3

关键词：一元二次不等式、二次函数图像、因式相乘、区间

G634.6

中职《数学》教材第二章的重点是如何解一元二次不等式，由于近几年来中职学生数量和质量的下降，学生在学习这部分内容时十分困难，针对这些情况，结合笔者二十多年的教学经验，现将一元二次不等式的几种解法总结归纳如下。

一、预备知识

初中的二次函数的图像（a>0）， 一元二次方程的解法及因式分解的知识，是学习一元二次不等式的基础。另外，在解一元二次不等式之前，最好把一元二次不等式整理成如下形式，平方项的系数大于0，且所有的项都移到不等式的左边，右边为0。

二、不等式的解法

1.区间分析法

把一元二次不等式的左边分解成两个因式相乘的形式，如解（x-1）（x-2）>0，令x-1=0得x=1，令x-2=0得x=2，x=1及x=2把区间（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，1）（1，2）（2，+∞），然后判断因式（x-1）及（x-2）在这三个区间内的正负，在区间（-∞，1）上，x-1<0，x-2<0，（x-1）（x-2）>0。在区间（1，2）上，x-1>0，x-2<0，（x-1）（x-2）<0。在区间（2，+∞）上，x-1>0，x-2>0，（x-1）（x-2）>0。于是区间（-∞，1）及（2，+∞）为不等式的解集。

2.解不等式组法：把不等式的左边分解成两个因式相乘的形式，再根据两个因式相乘同号为正异号为负。把一元二次不等式分解成两个不等式组，然后分别来解这两个不等式组即可。如解（x+1）（x-2）<0，分解成的两个不等式组为

① x+1>0 ② x+1<0

x-2<0 x-2>0

不等式组①的解集为（-1，2），不等式组②的解集为空集，于是一元二次不等式的解集为（-1，2）。

3.图像法

先把一元二次不等式化成 或 且a>0的形式，再研究一元二次函数 的图像，方程 的解与不等式 及 的解之间的关系。一元二次函数 的图像分三种情况。

第一种情况图（1）：图像与x轴相交有两个交点 及 ，经过分析 及 正好是方程 的两个不等实根，此时△>0。在x轴上方的函数图像，所对应的x的取值范围，即{x∣x< 或x> }内的值，使得y= ；在x轴上下方的函数图像，所对应的x的取值范围，即{x∣

第二种情况图（2）：图像与x轴相切只有一个交点 ，而 正好是方程 的两个相等实根，此时△=0。函数图像均在x轴上方，说明x不论取任何实数， ≥0。

综上所述，一元二次不等式的三種解法各有利弊，区间分析法与解不等式组法简单易学，但只适用于不等式的左边能分解成两个因式相乘的形式，即△>0时，而区间分析法还可以推广为分解成三个或三个以上因式相乘的形式。图像法适用于解所有的一元二次不等式，但理解它需衔接初中的一些知识。因此在教学时需根据不同的题目采取不同的方法来教学。

参考文献：《数学》（基础模块）上册 李广全 李尚志

浅谈一元二次不等式的解法 篇4

一、因式分解法

当一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1, x2时, 运用因式分解法可将ax2+bx+c因式分解为a (x-x1) (x-x2) 再根据积的符号法则 (两个数相乘, 同号得正, 异号得负) , 将原不等式转化为两个一元一次不等式。它们的解集的并集就是一元二次不等式的解集。

例1解不等式:x2+5x+4>0.

解:因为△=b2-4ac=52-4×1×4=9>0, 则x2+5x+4= (x+4) (x+1)

所以原不等式可化为

不等式组A的解集为 (-1, +∞)

不等式组B的解集为 (-∞, -4)

所以原不等式的解集为 (-1, +∞) ∪ (-∞, -4) 。

二、配方法

配方法是利用完全平方公式把ax2+bx+c转化为a (x+h) 2+k的形式。因为a (x+h) 2≥0, 所以, 当k<0时, 一元二次不等式可以用因式分解法解;当k=0时, ax2+bx+c>0的解集是{x│x≠-h}, a (x+h) 2≥0的解集R, ax2+bx+c<0的解集是φ, a (x+h) 2≤0的解集是{x│x=-h};当k>0时, ax2+bx+c>0及ax2+bx+c≥0的解集是R, ax2+bx+c<0及ax2+bx+c≤0的解集是φ。

例2解不等式:x2+6x+9>0。

因为x2+6x+9= (x+3) 2, 所以原不等式可转化为 (x+3) 2>0.只要x+3≠0, 即x≠-3, (x+3) 2>0.所以原不等式的解集为{x│x≠-3}。

三、图像法

图像法是利用一元二次不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图像, 结合直角坐标系中点的坐标特征求出不等式解集的方法。

通常, 利用二次函数y=ax2+bx+c的图像解相应的一元二次不等式, 可以分为三步:第一步:确定相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac, 从而确定二次函数图像与x轴的位置关系;如果有交点, 则利用方程ax2+bx+c=0解出其交点的横坐标;第二步:画出相应二次函数y=ax2+bx+c的简图;第三步:观察简图, 写出不等式的解集。

例3解不等式:x2+3x+4<0。

解:由判别式△=b2-4ac=-7<0可知, 函数y=x2+3x+4的图像与x轴无交点, 其简图如图所示。

观察图像, 可得不等式x2+3x+4<0的解集为φ。

四、根轴法

根轴法是利用方程ax2+bx+c=0的根和x轴解一元二次不等式的方法。

当一元二次不等式的二次项系数大于0, 相应的一元二次方程判别式大于0时, 可以先将二次三项式因式分解, 求出相应一元二次方程的解。如果不等式符号小于0, 则它的解集为两解之间;如果不等式符号大于0, 则它的解集为两解之外;如果不等式符号含等于的, 则它的解集包括两解。

x (x+5) >0, 因为方程x (x+5) =0的两个解为x1=-5, x2=0, 所以不等式x2+5x>0的解集为 (-∞, -5) ∪ (0, +∞) 。

参考文献

[1]刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯, 2004 (03) .

一元二次不等式的解法 篇5

（一）教学目标

1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来；

2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来；

3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

（二）教学重、难点

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

（四）教学设想

[创设情景] 通过让学生阅读第84页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，即

x25x0

[探索研究] 首先考察不等式x5x0与二次函数yx25x以及一元二次方程x5x0的 关系。

容易知道，方程x5x0有两个实根：x10,x25

由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知x10,x25是二次函数222yx25x的两个零点。通过学生画出的二次函数yx25x的图象，观察而知，当x0,x5时，函数图象位于x轴上方，此时y0，即x5x0；

2当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时y0，即x5x0。

22所以，一元二次不等式x5x0的解集是x0x5

从而解决了以上的上网问题。

[总结归纳] 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式axbxc0或

2ax2bxc0(a0)的解集：可分0,0,0三种情况来讨论。

引导学生将第86页的表格填充完整。

[例题分析]：

一.分析、讲解例2和例3，练习：第89页1.（1）、（3）、（5）；2.（1）、（3）二.分析、讲解例1和例4 练习：第90页（A组）第5题，（B组）第4题。[知识拓展]：

下面利用计算器，用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来：

下面是具有一般形式axbxc0(a0)对应的一元二次方程

2ax2bxc0(a0)的求根程序：

input “a,b,c=”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a)q=sqr(abs(d))/(2*a)if d<0 then print “the result is R” else x1=p-q x2=p+q if x1=x2 then print “the result is {x/x<> “;p,”}” else print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}” endif endif end 练习：（B组）第3题。[新知小结]：

1.从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式； 2.应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；

3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来：

一元二次不等式的解法 篇6

【关键词】再创造；一元二次不等式；数形结合

2011年暑假笔者攻读教育硕士时，学习徐稼红老师《数学教育学》课程，接触到了数学教学原则中的“再创造”原理，然后又学习了“再创造”原理提出者——荷兰著名数学家弗赖登塔尔撰写的《作为教育任务的数学》（中译本）和《数学教育再探——在中国的讲学》（中译本），对“再创造”原理有了更全面的认识：数学学习主要是进行“再创造”，或者称为“数学化”，而这个“化”的过程就是学生本人把要学的东西去发现创造出来，教师的任务是去引导和帮助学生进行这种再创造活动，而不是将现成的知识填鸭式的灌输给学生。笔者深受启发，正逢新学期开学，所任教班级为江苏省四星级普通高中的高一教改实验班，学生的基础较好，于是将“再创造”原理运用在平时的数学教学过程中。本文是根据“再创造”原理指导下的“一元二次不等式解法”（第一课时）的教学过程整理而成，供各位同仁参考、斧正。

一、低起点引入，激发“再创造”动机

问题1：画出函数y=x+2的图象，根据图象回答以下问题：

①方程x+2=0的解集为_____；②不等式x+2>0的解集为_____；③不等式x+2<0的解集为_____。

学生们很快做出图并正确的回答完三个问题。分别为{﹣2}；（﹣2，+∞）；（-∞，-2）

并请同学来总结：不等式ax+b>0（a≠0）的解集为：当a>0时，不等式解集为（-，+∞）；当a<0时，不等式的解集为（-∞，-)。

设计说明：解一元一次不等式的内容，学生们在初中就接触过，能够非常轻松就完成并都能得出正确结论，不仅复习了一元一次不等式的解法，还强调了一次项的系数正负问题。这为接下来求解一元二次不等式奠定了基础，也激发了学生探索发现更高次不等式解法的动机和兴趣。根据“再创造”原理这是纵向数学化的开始，即从低次解不等式开始，逐步转向高一次不等式解法的探索发现。

二、顺利过渡，实施“再创造”计划

问题2：画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答以下问题：①哪些x的值使得y=0；②哪些x的值使得y>0；③哪些x的值使得y<0.

学生们运用描点法画出函数y=x2-3x+2的图象，三个问题也很快得到答案。分别为x=1或者3；x<1或x>3；1

由此引导学生得出：①方程x2 -3x+2=0的解集为{1，3}；②不等式x2-3x+2>0的解集为{x| x<1或x>3}；③不等式x2-3x+2<0的解集为{x|1

设计说明：这是特殊到一般中的“特殊”过程，先通过一个简单、具体的二次函数将解一元二次不等式的基本步骤呈现出来，与前面解一元一次不等式的步骤相呼应，同时也是在强调一个重要的数学思想——数形结合。这样设计的目的，一方面可以树立学生接下来“再创造”的信心，另一方面也是为一元二次不等式解法打下知识基础——即三个“二次”之间的联系。

三、填写表格，初得“再创造”成果

问题3：已知函数y=ax2+bx+c(a>0)，填写以下表格

根据以往积累的经验和刚才的学习，学生们顺利的完成表格。

设计说明：这是从特殊到一般的“一般”过程，根据刚才特殊例子的启发，学生填写表格时遇到的困难并不大，少数几个学生在填写时出了一点点偏差，笔者通过巡视时一一指导正确完成。通过这个表格，学生利用数形结合从理论上学会解二次项系数大于零的一元二次不等式，同时进一步体会了三个“二次”之间的联系。弗莱登塔尔认为：学生应该再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，形式化而不是形式，算法化而不是算法，这个设计环节就是指导学生完成解一元二次不等式的数学化过程，接下来的环节是要应用学生再创造出来的数学化的知识，同时也是在实践中不断完善数学化的知识体系。

四、方法应用，实践中升华“再创造”成果

问题4：解下列不等式：①3x2-2x-1<0；②-x2+2x<-3；3.x2-x≥1；④1

解不等式①：因为方程3x2-2x-1=0的两个根为x1=-，x2=1，根据函数y=3x2-2x-1图象可知原不等式的解集为{x|-

余下的解题过程略。

四道例题解完后引导学生得出解一元二次不等式的基本步骤（学生“再创造”的最终成果）：整理二次项的系数→求出对应二次方程的根（因式分解或者求根公式）→大于取两边小于取中间（无解或者是重根时根据图象和不等式中不等方向来确定）

注：二次项系数为负时可以通过两边同乘以（-1）将原不等式转化为二次项系数为正的不等式来处理（同时需要注意不等号要改变方向）；也可以通过开口向下的二次函数图象来解决。

总之，解一元二次不等式的两种基本途径是：其一是通过二次函数图象观察得出结果；其二是在熟悉了二次函数的基础上通过因式分解或者求根公式找出二次方程的根，用大于取两边，小于取中间来得出结果。

设计说明：华罗庚先生说过，与其说学数学，还不如说做数学。学生虽然在上一个环节中得出了解一元二次不等式的基本结论，但实践是检验真理的唯一标准，在应用数学化的过程中还有一些需要注意的细节：问题4中的不等式①可以通过因式分解得出二次方程的根，同时老师也在黑板上详细板书，规范解题过程；问题4中的不等式②二次项系数为负，少数学生套用第①题小于取中间就错了，老师可以通过图象解释错因，可以指导学生认识到两种处理途径（上文的“注”）；问题4中的不等式③用因式分解不能得到二次方程的根，只能依靠求根公式来解，提示学生求二次方程的根要两条腿走路，因式分解和求根公式并重；问题4中的不等式④是不等式组问题，一方面两个不等式要同时成立，另一方面当二次方程的判别式等于0时，二次不等式的求解要借助观察图象来得到。弗莱登塔尔对于“往哪儿指导”问题的答案是“到一种活动中去”，这个环节就是到一种活动中去，在实践活动中升华“再创造”的成果，得到纵向数学活动的最终结果。

五、留下思考，为下次“再创造”埋下伏笔

思考题：解不等式 x2-(+)x+1<0

设计说明：含参不等式的解法也是解二次不等式的重要构成部分，是下一课时的主要内容，笔者将这个问题作为这一课时的思考题，不仅是考察学生课后“再创造”的能力，也是为下一课时的“再创造”埋下伏笔。

六、教学后记

与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化，这与我们经常说的“授人以鱼不如授人以渔”有些相通的道理。《普通高中数学课程标准》也指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。本节课通过指导学生“再创造”一元二次不等式的解法，在教师的指导下，学生成为学习的主体，通过自己主动去创造出的解法，比老师强加于学生的解题方法，理解更深，效果更好，通过课后作业质量的反馈，效果非常好。当然，要补充说明的是：笔者所面对的学生是教改实验班的学生，学生素质较高，适合有指导的再创造，要是学生本身的学习能力较低，再创造的能力也会大打折扣，教师在指导时要有针对性，否则会让这部分学生创造不出来所想要的结果，几次这样的课程下来，会让这部分学生“习得性无助”，丧失学习数学的兴趣，更谈不上去再创造了。

参考文献：

[1]弗莱登塔尔著.陈昌平，唐瑞芬等编译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2]弗莱登塔尔著.刘易竹，杨刚等译.数学教育再探——在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社，1999.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].人民教育出版社，2003.

一元二次不等式的解法 篇7

1课题分析 (内容分析)

1) 本课题是联系函数、方程、三角、线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容的桥梁和纽带.许多问题的解决都要建立在一元二次不等式正确求解的基础上.因此, 一元二次不等式的解法具有极强的基础性和工具性.

2) 一元二次不等式的解法只需以初中所学的一元一次不等式的解法、一元二次方程的求解及二次函数图像等为基础, 因此本课题的教学基础较好.

3) 一元二次不等式可看成是二次函数的一部分, 二者的关系是一般与特殊或全体与部分的关系.这就有可能直接运用从一般到特殊的认识方法, 引导学生运用二次函数的有关知识与技能去探究和发现一元二次不等式的解法.

4) 本课题常用的解法有:

1因式分解法, 即转化为一元一次不等式问题求解.它要求学生会正确地对二次三项式进行因式分解, 然后将不等式变形为两个一元一次不等式组, 最后确定解集.但是对二次三项式进行因式分解是一件不容易的事情, 而且有些时候给出的二次三项式, 在实数范围内并不能进行因式分解.所以, 降次虽好, 但有局限性.

2配方法, 即转化为绝对值不等式问题求解.这种方法是建立在学生对一元二次方程的配方解法非常熟练基础上, 将一元二次方程中的等号改成不等号, 然后结合不等式的性质得出的解法.这也是一种单纯的代数方法.

3图像法, 即作出一元二次函数的图像, 通过“解方程—画图像—写解集”的方式求解.因式分解法和配方法主要体现出的是“数”的特征, 分别依据实数乘法的符号法则和不等式的性质;而图像法则把数与形有机结合, 形象直观, 学生印象深刻, 有利于记忆.正如华罗庚所说“数与形, 本是相倚依, 焉能分作两边飞;数无形时少直觉, 形少数时难入微;数形结合百般好, 隔离分家万事休”.一元二次不等式的图像解法是培养学生数形结合思想方法的好素材.基于此, 本课题采用图像法.

2目标分析

2.1知识与技能

1) 掌握一元二次不等式的解法;

2) 能利用二次函数图像与二次方程来求解一元二次不等式, 理解它们三者之间的内在联系.

2.2过程与方法

借助现代化多媒体教学手段加强函数图像、方程的根与不等式的解集之间的联系, 利用多媒体课件的动态演示, 使数形结合的思想直观化, 同时为求解不等式的过程提供技术支持, 培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力, 培养数形结合、函数与方程、分类化归等数学思想.

2.3情感、态度与价值观

通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系, 使学生认识到抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法, 树立辩证的世界观;通过探究和动手实践, 增强对数学的亲和力和对数学学习的热情, 培养坚韧的意志和勇于探索、勇于挑战、不怕困难的精神.

3教学问题诊断分析

理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 (也即“三个二次”的关系) 并求解一元二次不等式是本课题的重难点.一元二次函数是一元二次不等式的本质源头, 一元二次函数的图像是发现一元二次不等式解法所用的工具或“拐杖”, 应从分析图像入手, 紧扣图形, 引导学生勾通不等式、方程与函数的相互关联, 将一元二次不等式的知识纳入到二次函数的同一结构之中, 由旧知去发现新知, 用已知的揭示未知的, 进而突破难点.

借助函数图像求解一元二次不等式, 可以大大降低对不等式求解问题的理解, 利用图像的直观性, 引导学生观察二次图像上任意一点P (x, y) 在图像上移动, 随着点P的横坐标x的变化, 点P的纵坐标y的变化情况, 当y>0时, 图像位于x轴上方的点正投影到x轴上, 得出x的取值范围, 同理, 当y<0时, 图像位于x轴下方的点正投影到x轴上, 得到x的取值范围, 方程的根是二次函数的两个零点, 恰恰也是不等式解集的端点.在获得感性认识的前提下, 归纳出图像法求一元二次不等式解集的3个步骤, 即:

4教学支持条件分析

针对本课题的教学难点, 采用现代化多媒体教学手段, 借助计算机的人机交互技术, 创设了生动、形像、直观的教学情境, 引导学生通过观察、思考, 进行探究, 将数与形紧密结合起来, 亲身体验和感受数学知识的形成过程和规律的发现过程.图2是动画演示的一个界面.

在该动画中, 自由地键入不等式a, b, c系数, 从而同步、即时改变一元二次函数的图像、一元二次不等式的根和一元二次不等式的解, 抽象的数学规律一下子变得直观、生动起来, 通过反复试验, 将一元二次不等式中抽象的“数形结合”形象地展现在学生面前, 学生可以迅速获得“三个二次”的关系, 并由感知到理解.计算机交互技术将数形结合思想直观化, 为学生提供良好的研究探索平台, 使教学目标得以顺利完成, 并收到良好的学习效果.

5教学策略与学法指导

本课题是在学生已了解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的知识的基础上进行教学的, 从认知特点来看, 学生在理解“三个二次”的关系上, 应用一定的困难, 因此教学中应充分利用多媒体课件的优势形像地展示一元二次不等式的解法, 突破教学难点, 提高学习效率.在教学过程中, 坚持以“学生为主体, 教师为主导”, 采用教师“启发引导”与学生“自主探究”相结合的方法, 通过人机交互平台, 引导学生主动观察, 亲自动手, 积极思考, 发现问题, 并归纳总结规律, 整个过程体现出由观察到分析、由定量到定性, 由直观到抽象的特点.教学过程中穿插着研究、讨论、交流及教师的点拨、启发、讲解, 形成了良好的师生互动和生生互动, 使学习是一个认知、体验、探究、建构知识的过程.

6教学过程设计

6.1创设情境, 埋下伏笔

问题1 (1) 解方程3x+2=0;

(2) 作出函数y=3x+2的图像;

(3) 解不等式3x+2>0和3x+2<0.能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?请将结果填入表1.

设计说明由于学生在初中对一元一次方程、一元一次不等式与一次函数这些基础知识都比较熟悉, 所以完成以上任务非常轻松.本环节是使学生理解方程的根、不等式的解集, 都是特定的函数值之下对应的自变量取值的集合:一元一次方程的根就是一次函数图像与x轴交点的横坐标, 一元一次不等式的解集就是一次函数图像在x轴上方或下方的x的取值集合, 从而提炼出3个“一次”的关系, 引导学生发现一次不等式与一次函数之间有着密切的联系.而3个“一次”的关系又是以一次函数为研究核心, 一次函数的图像起着桥梁和纽带的作用, 另外还强调了一次项的系数正负问题, 这些都为接下来用类比的思想方法求解一元二次不等式奠定了基础, 为研究一元二次不等式的图解法埋下伏笔.

6.2引入课题, 探索新知

问题2先看下面3个一元二次不等式, 求出其解集.

(1) x2-x-6<0;

(2) x2+2x+1>0;

(3) x2+2x+4>0.

提供一元二次不等式演示动画, 让学生自主输入a, b, c系数值, 从而改变研究对象.演示过程效果见图2所示.

设计说明对于一元一次不等式问题, 已利用一次函数图像这个“形”找到了其求解方法, 把学生引进“最近发展区”.在此基础上进一步研究二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系自然就水到渠成.对于提出的一元二次不等式新问题, 学生思维正向迁移, 类比联想, 很自然地把它与二次函数联系起来, 利用二次函数图像这个“形”来寻找答案.其思维设想如图3所示.

利用所提供的演示动画, 学生动手实践, 通过观察和分析图像的变化, 获取信息, 积极探究, 对“数”在“形”上如何具体体现, “形”对“数”怎样细致刻画有更深的认识和理解.一元二次函数与x轴交点的横坐标就是其对应的一元二次方程的根, 这正是揭示二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者关系的关键, 通过观测y>0, y<0发现一元二次不等式的解集正是相应的二次函数图像在x轴上方或下方的x的取值集合.这3个“二次”的关系中, 二次函数的图像起着关键的作用.

在探究过程中, 教师要引导学生对“数与形”的正确观察分析, 诱导学生认知冲突, 合理猜想, 同时指导学生进行符号语言、文字语言和图像语言之间的转换, 促进学生形成如下知识结构:

6.3归纳总结, 提炼方法

问题3已知函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 试填写表2.

设计说明从特殊的情况入手, 寻求一般化的结论, 符合学生的认知规律.通过探究, 学生头脑中已不只是孤立地解不等式, 对一元二次函数的图像与x轴的位置关系已心中有数甚至了然于心, 在此基础上加以归纳概括、总结提炼, 不仅深化了对3个“二次”的关系的认识和理解, 而且将能深刻领悟到图像法求解一元二次不等式的基本原理.本题由于系数是参数, 无法确定抛物线与x轴的位置关系, 所以必须分类讨论, 而方程的根是由Δ判别式决定, 所以以上表格按Δ来分类.表格中的内容皆有学生自主填写, 将会使学生对一元二次不等式求解的基本步骤:“求根—画图—找解”不感到陌生, 对不等式解集和方程的根之间的关系:“小于取中间, 大于去两边”也不感到突兀.这一设计符合“螺旋上升”的教学理念, 也体现了现代数学教学理论的“再创造原理”.弗莱登塔尔认为:数学教学方法的核心是学生的“再创造”.这个设计环节就是指导学生完成解一元二次不等式的数学化过程.

6.4方法应用, 实践升华

问题4 (1) x2≤1;

(2) 2x2-3x-2>0;

(3) 4x2-4x+1>0;

(4) -3x2+6x>2;

(5) -x2-x<1;

(6) x2-2x+1≤0.

设计说明学生虽然在上一个环节中得出了解一元二次不等式的基本结论, 但实践是检验真理的唯一标准, 在方法应用的过程中, 还有很多细节需要向学生说明.1若不等式不是一般形式, 首先化成一般式;2二次项的系数若为负数, 用图像法照样可求解, 但是实际求解时, 还是化为正数作正处理, 这符合习惯, 也减少了出错的可能;3画图时, 只要注意抛物线的开口方向和抛物线与轴公共点的横坐标, 其余细节都可以省略, 包括y轴都可以省略不画, 这样能快速抓住问题的本质, 使得图像更利于观察;4对求根—画图—找解的解题步骤, 在“成图在胸”的情况下, 可以不必再画图;5归纳形成的表格, 里面的内容不必死记硬背, 而是着重掌握数形结合的思想方法, 领会图像法的要领.

从题型上, 这6个不同类型的题, 较为典型和精炼, 分别对应不等式的解集的6种形式: (1) 夹中间的形式, (2) 两边的形式, (3) 不等于某个零点的形式, (4) 空集, (5) 全体实数, (6) 等于某个零点的形式.其中第 (1) 题, 学生往往会想当然的认为{x|x≤±1}, 对此教师要及时纠正错误, 强调图像解法和基本步骤, 问题 (6) 的解集是{x|x=1}, 这种由不等式结构却解出等式来的结构对学生的心理有一定冲击, 但仍切合学生的实际水平.总之, 对于这6题的求解, 都要鼓励学生画出图形, 从图形中观察结果得出答案, 教师要及时发现问题, 鼓励与启发相结合, 使一元二次不等式的解法更加完备, 将课堂教学推向高潮.

6.5拓展延伸, 留下思考

思考题解关于x的不等式:

(1) (x-a) (x-1) <0;

(2) a (x-a) (x-1) <0.

设计说明含参不等式的解法是解二次不等式的重要构成部分, 系数为常数的一元二次不等式的解法采用的的是图解法, 把系数变换成字母后该如何解?实际上, 含参数一元二次不等式的解法与系数为常数的解法本质是相同的, 具有同源性, 布置思考题目的是让学生感受参数带来的影响, 考察学生“再创造”的能力, 为分类讨论教学做好准备.

7教学体会

一元二次不等式的解题方法探析 篇8

一、因式分解法

这种解法的优点是思路简单, 容易理解, 同学也易于接受, 因式分解法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下:

(1) 先将一元二次不等式进行标准化为:ax2+bx+c>0 (<0) , (其中a>0) ;

(2) 如果ax2+bx+c>0在实数范围内能被因式分解, 就可把它分解成为:a (x-x1) (x-x2) >0 (<0) (其中a>0) , 从而得到ax2+bx+c>0 (<0) 的等价的不等式组, 由不等式组的解而得到不等式的解;

(3) 如果ax2+bx+c>0在实数围内不能被因式分解, 则ax2+bx+c>0 (<0) 的解只有两种可能:一是一切实数, 二是空集

二、数形结合法

数形结合思想, 可以直观明了问题, 降低难度, 易掌握少出错, 数形结合法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下:

(1) 观察二次系数的符号;

(2) 弄清楚方程ax2+bx+c=0的根的判别式△与0的大小关系, 判定实根的个数;

(3) 若方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根x1和x2, 比较两者的大小;

(4) 依据二次函数的图像写出解集 (表1) .

注:对于二次项系数是负数 (即a<0) 的不等式, 可以先把二次项系数化成正数, 再进行运算.

三、区间符号分析法

区间符号分析法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下:

(1) 先将一元二次不等式进行标准化为:ax2+bx+c>0 (<0) , (其中a<0) ;

(2) 如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个解, 求出一元二次方程的两个解x1, x2, 这样x1, x2两个数把实数轴分成三段: (-∞, x1) , (x1, x2) , (x2, +∞) ;

(3) 在区间 (x1, x2) 中随便找一个数β, 计算aβ2+bβ+c的值, 由aβ2+bβ+c的值的符号而选择符合的区间.

四、方程法

对基础较差的学生来说方程法是一种简单有效的好方法.应用方程法求解一元二次不等式的主要步骤如下.

(1) 方程ax2+bx+c=0的根的判别式△与0的大小关系;

(2) 当△≥0, a与所求解的是同号时, 则结果是用“或”;反之, a与所求解的是异号时, 则结果是夹中间;

3) 当△≥0时, a与所求解的是同号时, 则结果是R (全体实数) ;反之, a与所求解的是异号时, 则结果是 (空集) .

下面我们分别利用四种方法求一元二次不等式2x2+3x-2≤0的解集.

方法一 (因式分解法) :

方法二 (数形结合法) :

求得2x2+3x-2=0的两个根分别为和-2, 而a=2>0, 所以图像的开口朝上 (如图1) , 即不等式的解集为

方法三 (区间符号分析法) :

(图2)

方法四 (方程法) :

由上可知, 在不等式的教学或复习中要有意识地注意方法的选择, 在解决不等式类的习题中要确定好观察角度, 对代数表达式的几何意义要具有主观感知, 灵活地有潜意识地恰当运用方法, 这样不仅了解并体会了数学思想方法的奥妙, 而且提高了解题速度, 同时优化了解题过程.

摘要：一元二次不等式解题方法有很多, 选用好的方法, 可使解题快速、准确, 收到事半功倍的效果.本文通过实例分析探讨了一元二次不等式的四类解法.

关键词：一元二次不等式,因式分解,数形结合

参考文献

[1]刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯, 2004, (3) .

[2]贺小虎.一元二次不等式的新解法[J].雁北师范学院学报, 2005, (2) .

一元二次不等式的解法 篇9

一、激发兴趣,体会价值

美国心理学家布鲁纳曾说:“学习的最好动力,是对学习材料的兴趣.”如果刚开始我们就直接学习一元二次不等式的解法,那么学生必然会产生一种枯燥无味的感觉.既然我们都知道“数学来源于实践,又运用于实践”,那么我们就应该以一个实际问题来引出一元二次不等式.这个实际问题也不是随意选取的,它必须能够吸引学生的注意力,激发学生的学习热情.对于职业高中的学生来说,如果能够选择一个和他们的专业息息相关的实际问题,必然能激发他们的兴趣.

二、新旧知识,衔接自然

求一元二次不等式的解集问题,与一元二次方程求根的问题、二次函数图像密切相关.虽然这两部分内容对成绩好的同学已是非常熟悉,但是职业高中的学生数学成绩普遍较差,所以一定要进行慎重的复习.这种复习不能再像以前那样进行无条件地灌输了.传统的讲解法就像铅笔写字一样,轻轻一擦即可拭去,那怎样才能留下永久的回忆呢?比起判断ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,我选择了让学生感觉更具体的例子:3x2+4x+1=0.面对这个例子,有的学生马上就能回答它的根的个数以及根的求法.接着我再举一例:2x2+5x-3=0,学生们自由讨论,各抒己见.结果是有的仍用判别式与求根公式来求,有的直接分解因式.这时教师提问:对任意一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),我们通常怎样判断根的个数?怎样求根?学生回答流利.教师采用了从特殊到一般的思想,学生易于接受,印象深刻.如果突然要学生回顾ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,学生会目瞪口呆.教师举的第二个例子是为了让学生领悟到遇到能分解因式的情况,可以直接分解因式,比起用判别式、求根公式更快,当然这个道理应该由教师提问,学生小结,仅仅由教师说出来就没有多大意义了.

对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的复习,教师应让学生亲手到黑板上画出三类图像,这样不仅可以让学生留下深刻印象,还能让学生体会到动手实践的快乐和成就感.

关键内容复习完之后,下面要想办法让学生认识到:(1)方程ax2+bx+c=0的根与交点横坐标的关系;(2)Δ的正负与抛物线与x轴交点个数的关系.这两个结论如果直接告知,学生们肯定会似懂非懂,我建议采用发现式教学法,教师恰当提问:“y=2x2+5x+1的图像与x轴有几个交点?”学生疑而不答,教师继续提问:“抛物线与x轴的交点的横纵坐标有什么特点?”这时有的学生回答纵坐标为0,教师接着问:“已知纵坐标为0,横坐标能求出来吗?”学生恍然大悟:只要把ax2+bx+c=0的根求出来了,就能知道交点的横坐标了.教师可以趁机板书结论:根与横坐标的关系.下面由学生亲自上黑板求方程的根,再在坐标系内标出交点横坐标,由此加深学生对结论的理解.最后教师提问:“根据判别式我们能判断抛物线与x轴交点的个数吗?”教师通过这种有意识的提问引导学生向结论一步步靠近,让学生经历了一个疑惑、思考、发现的过程,不仅锻炼了学生的思维能力,而且让学生深刻地理解了结论,这与直接告知起到的效果是有天壤之别的.

三、分组讨论,合作学习

对一元二次不等式的解集的探讨,我们可以采用讨论的方式.讨论之前,我们要对学生分组,分组应该依照“组内异质,组间同质”的原则,保证各小组在总体水平上基本一致,每个小组都应是全班的缩影或截面.讨论的内容是(a>0)ax2+bx+c>0(≥0或<0或≤0)这四类不等式在Δ>0,Δ=0,Δ<0时的解集,也即是完成书上的表格.对于职中的学生来说,要完成这项讨论还是有困难的,所以我还是觉得由教师先做一个示范比较好.教师可以根据图像引导学生分析出ax2+bx+c>0在Δ>0时的解集,强调将ax2+bx+c看作y,剩下的11个空格就全部留给学生讨论.教师说出比赛规则:从时间和正确率两方面做两种排名.学生在这种比赛规则下,会有一种时间紧迫感,会有提高正确率的压力感,所以讨论不会流于形式,而是会达到我们预期的目标.学生讨论完毕后,教师可以请两组的代表把结果板书在黑板上.这样学生有了表现自己的机会,教师也可以了解学生的讨论效果.教师对学生的讨论结果作了评价与纠正之后,统计各组的正确个数,把按时间的排名和正确率的排名写在黑板上,并且重点表扬前三名,激励学生的进取之心.接着教师让学生一个个分析思路,不足之处由教师补充.这样一些似懂非懂的学生也许就再一次得到了提升,回答问题的同学也有了成功的感觉.最后由学生整理思路,小结解一元二次不等式的步骤.学生自己总结出来的东西更容易转化成自己的知识.这种由学生讨论到教师提升再到学生小结的学习方式,是符合新课程标准的学习方式,也是一种极为有效的学习方式.

四、典型例题,体会思想

在探讨一元二次不等式的解集时,我们已经初步体会到了数形结合的思想.但是知道一般的一元二次不等式的解法,并不等于会解具体的一元二次不等式.所以我们应该通过典型的有代表性的例题让学生学会解各种各样的一元二次不等式.从前面我们讨论的12种情况来看,我们完全可以出12道结果不同的一元二次不等式.但是一节课的时间解决不了这么多的例题,怎么办呢?我觉得可以把结果压缩为典型的六类:{x|x≥x2或x≤x1},{x|x1

一元二次不等式的解法 篇10

不等式是高考的一个重要考点, 其中解一元二次不等式是重点考查的内容, 在近几年的高考试题中, 导数一直是作为必考的重点内容出现的。而其中含参一元二次不等式更是高考导数内容的难点, 由于参数的不确定性和任意性加大了不等式求解的难度, 对参数的值需要分类讨论, 最后综合各类结果总结。下面给出五道例题分别针对参数的不同位置对参数进行讨论:例1参数是二次项系数, 需考虑退化为一次函数的情况;例2参数是一次项系数需讨论Δ的三种情况;例3方程可因式分解需讨论两根的大小;例4首先对二次项系数进行分类讨论, 然后对方程根的个数进行分类讨论, 当Δ>0时又对方程的根的大小进行分类讨论;例5是不等式组, 求解时需要注意对x的范围取交集。

例1.求解关于x的不等式:ax2-a3x≥0。

本题对方程的次数进行分类讨论是结论完整的关键。

例2.求解关于x的不等式:3x2-ax-a>0。

本题对方程的交点个数进行分类讨论是结论完整的关键。

例3.求解关于x的不等式:x2- (a+a) 2x+a3≤0。

例4.求解关于x的不等式:ax2-2x+a≤0。

分析:题中并没有指明关于x的方程是一次方程还是二次方程, 所以要分两种情况讨论。当a=0时, -2x≤0, 所以x≥0;当a≠0时, 方程为一元二次方程, 由开口方向和Δ决定函数的图像, Δ=4 (1-a) 2。

本题首先对二次项系数进行分类讨论, 即确定开口方向, 然后对方程根的个数进行分类讨论, 当Δ>0时又对方程的根的大小进行分类讨论, 至此可得到完整的结论。

可见采用分类讨论思想是确保一元二次不等式的结论完整, 不重不漏的关键。分类讨论的原则是:分类对象确定, 标准统一, 不重复, 不遗漏, 分层次, 不越级讨论。分类讨论的过程可总结为:考虑退化排第一, 开口Δ别大意, 两根大小要关注, 区间端点比一比。

参考文献

[1]张海群, 朱家荣.例谈数学思想方法在初中数学解题中的应用[J].成功:教育版, 2011 (10) :178-179.

[2]曹才翰, 章建跃.数学教育心理学[J].北京师范大学出版社, 2007 (02) .

含参一元二次不等式中的误区诊断 篇11

例1 若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0的解集为R，求实数a的取值范围.

错解 由a-2<0，Δ=a2-4<0，解得-2

剖析 题中并未指明所给不等式是二次不等式，上述错解忽视了对二次项系数的讨论.

正解 当a-2=0，即a=2时，原不等式变为-4<0，解集为R，满足题意；

当a-2≠0时，由题意得a-2<0，Δ=a2-4<0，解得-2

综上，可得实数a的取值范围是-2

例2 解关于x的不等式x2-ax+1<0.

错解 利用求根公式，可解得对应方程x2-ax+1=0的两根分别为x1=，x2=，则不等式的解集为x

剖析 上述错解忽视了对方程根的判别式的讨论，只是当Δ=a2-4>0的情形.

正解 当Δ=a2-4>0，即a>2或a<-2时，不等式的解集为x

当Δ=a2-4≤0，即-2≤a≤2时，不等式的解集为.

例3 解关于x的不等式12x2+ax-a2>0.

错解 原不等式可化为x-x-- >0，故解集为xx> 或x<-.

剖析 上述错解中默认>-，其实和-的大小关系不确定.

正解 当a>0时，>-，不等式的解集为

xx<- 或x>；

当a=0时，=-，不等式的解集为{x|x≠0}；

当a<0时，<-，不等式的解集为xx<或x>-.

例4 已知不等式mx2+nx+>0的解集为{x|x<1或x>4}，求m，n的值.

错解 由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，可得1，4是方程mx2+nx+=0两根.则由韦达定理得1+4=-，1×4=，解得m=，n=-或m=-，n=.

剖析 忽视了题中的隐含条件，即由解集为{x|x<1或x>4}，可得二次项系数m>0.

正解 由题意得m>0，又1+4=-，1×4=，解得m=，n=-.

含参常意味着讨论，一般需三看：一看二次项系数，二看对应方程的Δ，三看两根的大小.在三看的基础上，可以有效地避开陷阱，快速而准确地将问题解决.

1. 解关于x的不等式2x2+ax-a<0.

2. 解关于x的不等式x2-（a+1）x+a>0.

3. 解关于x的不等式mx2-（m+1）x+1<0.

1. 当-8≤a≤0时，解集为；当a<-8或a>0时，解集为x≤x≤ .

2. 当a<1时，解集为{x|x>1或x1时，解集为{x|x>a或x<1}.