一元二次方程解题步骤及解法

一元二次方程解题步骤及解法（共15篇）

一元二次方程解题步骤及解法 篇1

全国大学英语四、六级考试刚刚结束, 下面我们论述CET4翻译测试解题步骤, 分析2013年CET4翻译测试试卷, 并为以后备战CET4的学子提出一些建议。

二、CET4翻译测试解题步骤

第一步:快速浏览句子, 先看英语不看汉语, 从而判断画线处所填句子的形式、时态。

第二步:看括号里面的汉语句子, 以核心谓语动词为切入点, 找准主谓宾、分清定状补。

第三步:先翻译主谓宾, 后翻译定状补, 切块对应翻译, 重新组合。动词注意时态, 名词注意单复数。

三、2013年6月CET4翻译测试真题详解

87.Although only in her teens, my sister is looking forwardto%% (独自去海外学习) .

解题步骤:第一步:look forward to中的to为介词, 所以后面必须跟名词形式, 出现动词时须使用动名词形式。第二步:划分成分“独自去海外学习”。核心谓语动词是“学习”, “独自”、“去海外”作状语。第三步:切块对应翻译。“学习”=study;“独自”“=by oneself/alone/on one’s own;“去海外”=abroad。重新组合即为答案:studying abroad by herself/alone/on her own。

考查知识点:本题主要考查固定短语介词搭配用法。looking forward to中to为介词, 因此后面的动词为-ing形式。

88.It’s true that we are not always going to succeed in ourventures, _____ (即使我们投入时间和金钱) .

解题步骤:第一步:从It’s true that we...ventures, 可以推出, 画线处应该填写一个句子, 根据主句时态及后面的汉语意思, 时态确定为一般现在时。第二步:划分成分“即使我们投入时间和金钱”。核心谓语动词是“投入”, “我们”作主语, “时间和金钱”作宾语, “即使”作连接词。第三步:切块对应翻译。“即使”=even if/even though/though/although, “我们”=we, “投入”=invest...in sth./spend...on sth./devote...to sth.;“时间和金钱”=time and money。重新组合即为答案:even if/even though/though/although we invest/spend/devote time and money。

考查知识点:本题考查让步状语从句及固定短语。even if/even though/though/although等引导让步状语从句;“投入时间和金钱”可以用短语invest...in sth/spend...on sth./devote...to sth.等等。

89.The old couple hoped that their son_____ (将不辜负他们的期望) .

解题步骤:第一步:根据主句为过去时及后面的汉语意思, 可推断从句用过去将来时。第二步:划分成分“将不辜负他们的期望”。核心谓语动词是“不辜负”, “他们的期望”作宾语, “将”作助动词。第三步:切块对应翻译。“将”=would, “不辜负”=live up to, “他们的期望”=their expectations。当然, 也可用反面法, 把“不辜负期望”翻译成not let someone down。重新组合即为答案:would live up to their expectations/wouldn’t letthem down。

考查知识点:本题考查固定短语用法和时态一致原则。“不辜负期望”即live up to one’s expectations/not let someone down;主句是过去时, 从句应为过去将来时, 助动词为would。

90.So hard_____ (他在车祸中受伤) that he had to stay in the hospital for a whole year.

解题步骤:第一步:考虑so hardly这种副词结构放在句首表强调, 后面引导的句子主谓要部分倒装, 因此将had提到主语he之前。由于从句中时态为过去时, 受伤又发生在住院之前, 因此须使用过去完成时被动语态。第二步:划分成分“他在车祸中受伤”。核心谓语动词是“受伤”, “他”作主语, “在车祸中”作状语。第三步:切块对应翻译。“他”=he, “受伤”=be injured, “在车祸中”=in the traffic accident。重新组合即为答案:had he been injured in the traffic accident。

考查知识点:本题考查部分倒装结构和过去完成时被动语态。so hardly这种副词结构放在句首, 后面引导的句子主谓要部分倒装;根据that主句的时态可以推断前面句子为过去完成时被动语态。

91.Nowadays, some people still have trouble_____ (从网上获取信息) .

第一步:根据have trouble (in) doing something这一结构, 画线处应该填写非谓语动词doing something。第二步:划分成分“从网上获取信息”。核心谓语动词是“获取”, “信息”作宾语, “从网上”作状语。第三步:切块对应翻译。“获取”=obtain/get/retrieve, “信息”=information, “从网上”=from the Internet。重新组合即为答案: (in) obtaining/getting/retrieving information from the Internet。

考查知识点:本题考查非谓语动词的使用。即have trouble (in) doing something这一固定结构的用法。

以上是对2013年6月CET4翻译测试中一套试题的讲解。从中我们可以看出, 此套翻译试题是比较中规中矩的, 除了虚拟语气没出现外, 还重点考查了非谓语动词、倒装语序、让步状语从句、被动结构和词组搭配等大纲之内的内容。当然, 其他版本试题, 考生可以用类似方法进行归类总结。

四、五条冲刺备考建议

以下是对翻译测试题型的建议, 希望对备战CET4的考生有一定的帮助。

1. 多背搭配, 同时利用经典搭配多造句子, 完善语法结构。

2. 强化重点语法知识。如倒装结构、虚拟语气、比较结构、定语从句、状语从句、非谓语动词等。

3. 进行翻译练习时, 尽量力求翻译答案多样化, 以便扩展思维, 开阔思路, 掌握重点核心句表达方法。

4. 翻译考点与以前的词汇语法考点基本是一致的, 因此, 尽量在词汇语法的单项选择题中挖掘新四级翻译考点。

5. 深度分析已考翻译试题, 全面掌握挖掘潜在考点, 学会举一反三。

一元二次方程解题步骤及解法 篇2

关键词：一元一次方程；解方程；错解；分析原因；正解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-227-01

一元一次方程是初中数学最简单、最基本的重要内容之一，学习这一内容，即是对前面所学的巩固，更是为今后学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式的解法打下基础，而且对于后续的应用题、函数的学习有很深远的影响 ，所以要学好它，打好良好基础。

一、解一元一次方程的一般步骤及注意事项

方程变形名称具体做法注意事项

去分母方程两边同乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘，分子要用括号括起来

去括号利用乘法对加法的分配律去括号不要漏乘括号内的项，注意漏乘问题

把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边移项要变号

合并同类项利用合并同类项的法则，把同类项合并成一项合并同类项只把系数相加减，字母和指数都不变

系数化为1在方程两边同时都除以未知数的系数，便得到方程的解在方程右边中，未知数的系数永远做分母

二、解一元一次方程常见思维误区辨析

在学习解一元一次方程时，为了避免在解方程时发生错误，有以下几个注意点：

第一，注意分数线的作用。

分数线具有两层含义：其一代表是除号；其二可代表括号。因此，在去分母时必须将分子的多项式用括号括起来。

例1解方程：

错解： ……

分析原因：去分母时，分子x+1是多项式，它是一个整体，忘了添加括号

正解：

最好把方程中的每一数都画一个符号。如 ，看做四项，每一个数都要乘以15，要出现四次15乘以如

第二，注意去分母时出现的“漏乘”现象。

去分母是依据等式的性质2（即等式的两边乘以同一个数，或除以同一个不为零数，结果仍相等）对方程进行求解。去分母变形就是：方程两边的各项均乘以最简公分母。初学时有学生往往会漏乘不含分母的项（单个的数字或含字母的整数项）。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去分母时，不含分母的项漏乘了各系数的最小公倍数15。

正解：

第三，去括号时出现“漏乘”现象

去括号时应按照乘法分配律，将括号前的数连同符号与括号内的每一项相乘，初学时往往会将括号前的系数或符号漏乘括号中的某一项。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去括号时，运用乘法对加法的分配律时出现漏乘及去括号时的符号错误。

正解： ， ， ，∴ 。

第四，移项时不变号：

移项是依据等式的性质1[即等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相等]进行方程求解的。因此，移项时必须注意变号。注意先写不移动的项，不变好；再写移动的项，要变号.

第六，注意解方程的格式。

解方程的每一步都必须是方程，因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的如方程： 或原式=

正解：

总之，会解一元一次方程是很重要的最基本，解题步骤较小学显得繁琐，学生容易出现错，就需要我们平时多细心，做适量的题，才能真真达到掌握的目的！

参考文献：人民教育出版社七年级上册

初中地理选择题解题步骤及方法 篇3

2.要明确题干要求，分析答题条件

明确题干要求：题干是选择题的主体部分，由提供条件的疑问句或陈述句构成。

理解题干的关键指导语言。如“……最多的是”、“……最合适的是”、“……最主要的是”、“……正确的是”、“……不正确的是(……错误的是)”等等。

分析解题条件：全面分析题干内容，充分挖掘题目提供的条件是正确解题的关键。

(1)明示条件：题干中附有明确的解题条件

(2)暗示条件：多潜隐在题干提供的材料中

(3)多重条件：题干中有两个或两个以上条件，正确选项必须同时符合所有条件

一元二次方程解题步骤及解法 篇4

不可压扰动方程高精度对称紧致差分数值解法及应用

从粘性不可压扰动方程一阶改型形式出发,对其实现了高精度对称紧致差分离散,就导出的扰动线性特征值问题给出了一个高效双重迭代局部解法,以相同精度将特征值和特征函数同时得到.通过不可压平面Poiseuille流时间稳定性算例详细对比显示了算法良好的谱分辨能力和较弱的.网格依赖性,并结合复矩阵广义特征值隐式单位移QZ算法获取了一个新的扰动特征值谱计算结果.

作 者：王强 傅德薰 马延文 Wang Qiang Fu Dexun Ma Yanwen  作者单位：中国科学院力学研究所,非线性连续介质力学开放研究实验室,北京,100080 刊 名：空气动力学学报  ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERODYNAMICA SINICA 年，卷(期)： 17(3) 分类号：V211.1 O242 关键词：稳定性分析   对称紧致差分   平面Poiseuille流  

一元二次方程解法教学反思 篇5

张春元

通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。

本节课的重点主要有以下3点：

1.找出a,b,c的相应的数值

2.验判别式是否大于等于0

3.当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根.在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多.1、a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号

2、求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.其实在做题过程中检验一下判别式着一步单独挑出来做并不麻烦,直接用公式求值也要进行,提前做着一步在到求根公式时可以把数值直接代入.在今后的教学中注意详略得当,不该省的地方一定不能省,力求收到更好的教学效果

3、板书不太理想。板书可以说在课堂教学也起关键作用，它可以帮学生温习本课的内容，而我许多本该板书的内容全部反映在大屏幕上，在继续讲一下个内容时，这些内容也就不会再出现，只给学生瞬间的停留，这样做也有欠妥当。

一元二次方程解题步骤及解法 篇6

(1) 用含x代数式分别表示S1S2;

(2) 若S1=S2, 求x.

中考考查的内容更倾向于一元二次方程的计算, 也就是作为求解工具融合在综合性题目中进行考查。因此, 教师和学生往往会更加注重对解一元二次方程的操练, 但是这种机械的训练往往会忽略了学生对于解法选择的理解。因此, 除了整体的教学思路和对知识本身的溯源, 我们还应关注学生对一元二次方程的解答原理的理解情况。

在求解不同的一元二次方程时, 学生是否能够根据不同情况选择使用比较合适的解法进行解答?学生在用配方法或者公式法求解一元二次方程时, 是否能理解相应解法的原理?在遇到可多种方法求解的问题时, 学生更倾向哪种方法?

在浙教版八年级下教材的第二章一元二次方程的解法教学结束后, 对于求解这道题“2x2+3x+1=0”, 笔者统计了一下自己所教两个班级81名学生中此题的方法选择和各方法的正确率。其中选择配方法的有32人约占39.5%, 公式法的有23人约占28.4%, 十字相乘因式分解法的有21人约占25.93%, 其他5人, 三种解法的正确率分别是50%、74%、86%。

在期中考前复习该章节内容时, 复习卷中有这样一题:“解下列方程:2x2+5x+2=0”。笔者带着困惑统计了一个年级386个学生, 其中选择配方法的有78人约占20.2%, 公式法有188人约占48.7%, 因式分解的87人约占22.5%, 其他33人。三种解法的正确率分别是55.13%、81.9%、94.3%。

最后的期中考后一个练习中, 安排了“x2-7x+10=0”。一个年级386个同学, 其中选择配方法的有102人约占26.4%, 公式法有138人约占35.8%, 因式分解的114人约占29.5%, 其他32人, 三种解法的正确率分别是54.9%、78.5%、92.1%。

为何配方法错误率很高?又为何明明配方法错误率高学生还乐此不疲?笔者随机采访了一些学生, 得到了匪夷所思的答案:“因为配方法复杂, 太难!”教师们想当然地觉得因式分解的十字相乘法非常好用, 尽管课标没有要求, 教材也没有要求, 但是几乎所有老师都补充教学了, 结果却令人费解。到底是什么原因?我们教师又应该如何处理这样的情况?

二、问题的原因分析

1. 学生对一元二次方程解法的理解的采访记录。

关于为什么教师认为的因式分解法快捷正确率高, 而不少学生却会选用正确率不高的复杂的配方法, 笔者随机采访了一些学生, 得到了这样的答案:

师:你为什么选择配方法?

生1:因为配方法复杂, 太难!

生2:因为老师说配方法很重要!

师:你为什么不选因式分解法?

生3:因为十字相乘老师说课标不要求!就没认真听。

生4:因为十字相乘法不懂。

生5:因为因式分解法不是所有方程都可以用, 但是配方法可以。

师:那为什么不用公式法, 公式法也是所有方程都可以用啊!

生5:公式没记住, 没背出来。

越是复杂的方法由于学生花费理解的精力更多, 反而记忆更加深刻, 再一次说明了数学活动经验积累的重要性。而绝大多数学生对于求根公式的理解就只限于“工具性理解”。

2. 一元二次方程配方法错误原因分析:

(1) 常数项移向变号出错; (2) 添的常数项出错; (3) 方程左边因式分解错误; (4) 转化成一元一次方程后计算错误。

3. 学生对一元二次方程解法的理解加深需要时间。

不同于学习过程, 理解不是简单化、线性化或者链条式地累积, 而是非线性螺旋式地上升发展出来的。因此, 随着时间的推移, 学生解方程的次数的增加, 即活动经验的积累, 必然会从“工具性理解”向“关系性理解”转化发展。而这个过程的进度即发展速度部分是可根据教师的引导而有所不同。

三、问题的教学对策

1. 重视一元二次方程解法选择专题训练。

在解一元二次方程时, 我们应当仔细观察方程的形式特点和系数特点, 选取较合适的方法来解一元二次方程, 这样有利于减少计算量, 从而提高计算的正确性:

(1) 没有一次项的, 形如ax2+c=0, 可以使用直接开平方法。

(2) 没有常数项的, 形如ax2+bx=0, 可以使用因式分解中的提取公因式法。

(3) 三项都有, 且二次项系数为1时, 首先考虑利用十字相乘法因式分解, 若不能进行因式分解, 可以考虑配方法。

(4) 三项都有, 且二次项系数不为1的, 一般可以用公式法。

通过探究性学习, 使学生经历知识发生发展的过程;通过变式训练, 达到知识方法本质的认识;通过总结, 引导学生主动构建知识网络, 实现“关系性理解”。

2. 重视还原一元二次方程的历史。

通过做PPT、数学小报, 丰富对于一元二次方程概念的理解和变量、等式之间的关系, 来加强过程性教学。如开展拓展性学习“几何法求解一元二次方程”, 介绍历史上一些一元二次方程的几何解法:欧几里得解法, 阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的解法, 三国时期赵爽的解法, 也可以借此培养学生的数形结合思想。

3. 重视求解过程中数学思想的渗透和提炼。

著名数学家莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程, 就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。转化, 是一种重要的数学思想方法, 解一元二次方程的基本思路就是运用了“转化”的思想, 即把待解决的问题 (一元二次方程) , 转化转化为已解决的问题 (一元一次方程) 。直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中都渗透了这一思想。

有些一元二次方程问题, 可根据其特点, 采用整体处理的方法, 不仅可避免复杂的计算, 而且还达到了解决问题的目的。例如:解方程 (x+3) 2=15+15x, 将 (x+3) 看作一个整体, 移项后提取公因式得到 (x+3) (x+3-5) =0, 这就是整体的思想方法, 利用整体思想可以培养学生的逻辑思维能力。

我们在解答某些数学问题时, 有时会遇到多种情况, 需要对各种情况加以分类, 并逐类求解, 然后综合得解, 这就是分类讨论。分类讨论是一种重要的解题策略, 它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人的思维条理性和概括性, 所以在初中数学学习中占有重要的位置, 教师务必要加以重视。分类讨论一般分为以下三步。第一步, 根据题目需要确定分类的标准;第二步, 根据分类的标准进行求解;第三步, 对分类讨论结果进行合并, 综合得出结论。例如:解方程 (x+3) 2= (9-2x) 2, 平方后相同若底数相同, 则有x+3=9-2x, 若底数相反, 则有x+3=-9+2x, 综合可得:x1=2, x2=12。再比如, 公式法的使用, 先要进行分类, 当判别式△=b2-4ac大于等于0时才可以使用公式法求解, 这本身就是分类讨论思想的体现。

数学思想是数学解题的精髓, 是学习数学的方向盘。解题时恰当地运用数学思想可使思路开阔, 方法简便快捷, 同时又为今后学习可化为一元二次方程的其他多元高次方程、一元二次不等式、二次函数等知识打下基础。因此, 我们一定要重视教学过程中数学思想的渗透, 并且在进行教学的过程中要善于引导学生不断地进行总结和积累。

4. 重视求解过程中数学能力的培养和提高。

在中学数学教学过程中, 不仅要传授数学知识, 使学生具备数学基础知识的素养, 还要重视对学生的数学能力的培养。

数学能力是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合, 而其中数学思维能力是数学能力的核心。我们知道, 人类的活动离不开思维。钱学森教授曾指出:“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”思维活动的研究, 是教学研究的基础, 数学教学与思维的关系十分密切, 数学教学就是指数学思维活动的教学, 数学教学实质上就是学生在教师指导下, 通过数学思维活动, 学习数学家思维活动的成果, 并发展数学思维, 使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。因此, 在数学教学中要重视发展学生的数学思维, 培养学生的数学思维能力。

一元二次方程的解法复习教案 篇7

一、教学目标：

1、掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法求解方程。

2、方程求解过程中注重方式、方法的引导，特殊到一般、字母表示数、整体代入等数学思想方法的渗透。

3、培养学生概括、归纳总结能力。

二、重点、难点： 重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理。2 难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。

三、教学过程：

（一）情景引入：

三位同学在作业中对方程（2x-1）2=3(2x-1)采用的不同解法如下：

第一位同学：

第三位同学：

解：移项：（2x-1）-3(2x-1)2=0

解：整理：4x210x40

(2x-1)[(2x-1)-3]=0

即x2 52x102x-1=0或(2x-1)-3=0

a

1b94

52c1

X=12

或

x=2

b24ac

第二位同学：

bb24acx2ax112=

解：方程两边除以(2x-1)：

x22

(2x-1)=3 X=2 针对三位同学的解法谈谈你自己的看法：

（1）他们的解法都正确吗？（2）哪一位同学的解法较简便呢？

（二）复习提问：

我们学了一元二次方程的哪些解法？—— 练习一：按括号中的要求解下列一元二次方程：

（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）；

（2）x2+4x+2=0（配方法）；（3）3x2+2x-1=0（公式法）；

（4）(2x+1)2=-3(2x+1)（因式分解法）

概括四种解法的特点及步骤：

1.直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法，这是最基础的方法，与此前解一元一次方程类似。（在降次时注意正负两个值）

2.配方法：配方法就是把方程配成一个完全平方式，再用直接开平法求解，配方时，方程左右两边同时【加上一次项系数一半的平方】。（方法：先移项，再化二次项系数为一，然后配方，最后利用直接开平法求解。）

3.公式法：用公式法解一元二次方程时首先要将方程化成一般形式，也就是ax2+bx+c=0的形式，然后才能做。在用公式法解一元二次方程中，先算b2-4ac的值。

4.因式分解法：因式分解法就是利用所学过的分解因式的知识来求解。

一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程 练习二：选用适当的方法解下列方程

（1）2(1-x)2-6=0

（3）3(1-x)2=2-2x

（2）（2x－1）＋3（2x－1）＋2＝0；

（4）(x+2)(x+3)=6

交流讨论：1 与同桌或邻桌同学比较，看谁的解法更简单。你如何根据方程的特征选择解法？ 22xn或xmnn0型概括：

1、当给定的一元二次方程通过适当变形可化为

2直接开平方法。

2axbxco(a0)的左边能分解因式时，用因式分解法比较简单。

2、当一元二次方程 2axbxco(a0)中a,b,c不缺项且不易分解因式时，一般采用

3、当一元二次方程公式法。

4、配方法也是一种重要的解题方法，但步骤较为繁琐，所以只要没要求时，一般不采用此法。但对于一次项系数较小而常数项较大时，可选用此法

5、四种方法中，优先选取顺序为：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法

（三）、延伸拓展：

1、阅读材料，解答问题：

材料：为解方程(x-1)原方程可化为

y x=222-5(x-1)

22+4=0,我们可以视（x-1）为一个整体，然后设x-1=y,2222-5y+4=0 ①

.解得y1=1, y2=4

当y1=1时x-1=1即x=2，.当y2=4时

x2-1=4即x2=5, x=5。原方程的解为x1=1 , x2=-1，x3=√5,x4=-√5

解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现_______数学思想。

（2）解方程x4—x2—6=0.2、配方法应用举例：

已知代数式x2 – 6x+10 ,(1)试说明无论x取何实数时,代数式的值都大于0.(2)求代数式的最小值.（四）课堂练习：

1、填空：

①

x2-3x+1=0

②

3x2-1=0

③

-3t2+t=0

④ x2-4x=2

⑤

2x2－x=0

⑥ 5(m+2)2=8

⑦

3y2-y-1=0

⑧ 2x2+4x-1=0

⑨(x-2)2=2(x-2)适合运用直接开平方法————————————

适合运用因式分解法——————————————

适合运用公式法

—————————————— 适合运用配方法 ——————————————

2、解方程：

（1）14（x－2）—（3x－1）＝0

（2）x＋ax－2a＝0；（x是未知数）

2222

3．已知代数式x－5x＋7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

（五）课堂小结：

(1)说说你对解一元二次方程的感受：

(2)四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

一元二次方程解题步骤及解法 篇8

通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。下面我就谈谈自己对这节课的反思。这节课是一元二次方程解法的复习课，复习的思路是概念的梳理（方法的回忆）__实践（方法的选择）__应用（方法的融合）。由于课前我做了精心准备，所以整个课堂流畅、紧凑容量大。整节课充满着”自主、合作、探究，交流“的教学理念，使学生在主动思考探究的过程中自然的获得新的知识。

需要改进的方面：

1、设计的问题太多，学生在课堂上没有办法消化。

2、学生的积极性没有调动起来。

类欧拉方程的解法探讨 篇9

此方程亦为(1)的特征方程.若特征方程的m重特征根为λ=α+iβ,对应于欧拉方程的2m个实数解为

事实上,当β=0的时候,λ为实数,以上解的形式仍适用(下文给出的齐次与非齐次方程解的形式均可体现这点).上述为欧拉方程的形式以及解的讨论.

从而λ1,2=2,λ3,4=-2.

实际上,上面方程仍可以化简为:

事实上,(3)(4)式的得出完全可以由y=xλ代入类欧拉方程经过严格推导后得出而不依赖于考察方程的类比.

①若α±iβ不是特征根,特解的形式为

②若α±iβ是特征根,且为mk重根(m∈N,k为重根因子),其特解形式为

不难看出,类欧拉方程在非齐次方程以及对应的齐次方程的解的形式比欧拉方程更具有推广意义.因为当k=1时类欧拉方程退化为欧拉方程,其齐次与非齐次方程解的形式完全适用.

摘要：本文从欧拉方程的特征出发定义了类欧拉方程的相关概念,并使其尽量得以简化,最后给出齐次与非齐次方程解的形式,具有一定的创造性.

关键词：欧拉方程,类欧拉方程,重根因子,齐次与非齐次

参考文献

[1]王高雄,周之铭,朱思铭.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006:142.

一元一次方程的解法复习 篇10

教学目标：

1、强化与巩固一元一次方程的概念

2、掌握解一元一次方程的一般步骤，并能根据方程特点灵活运用。

3、寻找解方程过程中的易错点，提高计算的准确率

教学重点：

解一元一次方程的一般步骤

教学难点：

灵活运用一元一次方程的解法步骤，计算简化而准确

教学过程：

一、一元一次方程的概念

1、提问：什么是一元一次方程？它的标准形式是什么？最简形式是什么?它的解是什么？

（重点强调对元和次的理解，都是针对未知数而言，元是指方程中未知数的种类，次是指方程中未知数的最高次数）

2、完成ppt上的四道概念题

3、完成练习卷上的判断题第一题和填空题1、5二、一元一次方程的解法

1、一元一次方程的解法依据是什么？

2、一元一次方程解题的一般步骤是什么？

3、例1：找出下列解方程中的错误并指正。（见ppt）

4、例2：分数的基本性质是什么？（1）利用分数的基本性质（2）把下列式子中分母是小数的化为整数（3）解方程 x/0.7—（0.17—0.2x）/0.03=15、例

一元二次方程解题步骤及解法 篇11

1.直接开平方法：对形如(x+a)2 =b(b≥0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2 +bx+c=0(k≠0)的一般步骤是：

①化为一般形式;

②移项，将常数项移到方程的右边;

③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数;

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方;化原方程为(x+a)2 =b的形式;

⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解;如果b≤0，则原方程无解.

依据：配方法的理论依据是完全平方公式a?2;+b?2;±2ab=(a±b)?2;

关键：配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求根公式是

(b2 -4ac≥0)。步骤：

①把方程转化为一般形式;

②确定a，b，c的值;

③求出b2 -4ac的值，当b2 -4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：

①将方程右边化为0;

②将方程左边分解为两一次因式的乘积;

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

再谈一道方程题的解法 篇12

教育硕士姚荣峰老师在文[1]中, 分析了一道三次方程的求解方法, 先摘抄于下:

“例4 解方程$x{}^3+2\sqrt{5}x{}^2+5x+\sqrt{5}-1=0.$

分析 本题若按三次方程的方法求解, 相当困难, 如果能根据题目的特点, 把常量$\sqrt{5}$看作是‘未知数’, x看作是常量, 则得关于$\sqrt{5}$的一元二次方程.

$x(\sqrt{5}){}^2+(2x{}^2+1)\sqrt{5}+(x{}^3-1)=0$,

解得$\sqrt{5}=1-x‚-\frac{x{}^2+x+1}{x}(x\ne 0)$.”

摘引至此.

原来是采用常量与变量换位的方法求得此方程的解.此例此法为不少作者赞赏、并名之为“反客为主”, 即变客元为主元, 变主元为客元的巧妙方法, 如资料[2], [3]等, 都力推此法, 贬斥“解题者受思维定势的消极影响, 往往抓住问题的主元不放, 至使问题处于难于求解或根本无法求解的状态”[2], “按常规思维, 因式分解, 套用分式等都难以求解”[2], “对三次方程, 同学们将束手无策, 若反客为主, ……, 学生就会解了”[3].这些作者, 在指出反客为主的优点时, 都陷入片面性, 无端排斥常规解法, 拒绝思考别的解法, 此种数学思想, 教学理念, 笔者是难于认同的.

现不妨给出上面三次方程的常规解法:

解 用拆项法的技巧, 将方程左边的代数式变为

$\begin{array}{l}[x{}^3+(\sqrt{5}+1)x{}^2+x]\\ +[(\sqrt{5}-1)x{}^2+4x+(\sqrt{5}-1)]\\ =x[x{}^2+(\sqrt{5}+1)x+1]\\ +(\sqrt{5}-1)[x{}^2+(\sqrt{5}+1)x+1]\\ =(x+\sqrt{5}-1)[x{}^2+(\sqrt{5}+1)x+1]=0‚\end{array}$

得$x{}_1=1-\sqrt{5}‚x{}_{2‚3}=\frac{-(\sqrt{5}+1)\pm \sqrt{2\sqrt{5}+2}}{2}.$

同样, 对[2]中第35页的例2:解方程$x{}^3+2\sqrt{7}x{}^2+7x+\sqrt{7}-1=0$.可得解法为

$\begin{array}{l}[x{}^3+(\sqrt{7}+1)x{}^2+x]\\ +[(\sqrt{7}-1)x{}^2+6x+(\sqrt{7}-1)]\\ =x[x{}^2+(\sqrt{7}+1)x+1]\\ +(\sqrt{7}-1)[x{}^2+(\sqrt{7}+1)x+1]\\ =(x+\sqrt{7}-1)[x{}^2+(\sqrt{7}+1)x+1]=0‚\end{array}$

得$x{}_1=1-\sqrt{7},x{}_{2‚3}=\frac{-(\sqrt{7}+1)\pm \sqrt{2\sqrt{7}+4}}{2}.$

一般地, 对方程$x{}^3+2\sqrt{a}x{}^2+ax+\sqrt{a}-1=0$, 都可以如法炮制, 得解:$x{}_1=1-\sqrt{a}‚x{}_{2‚3}=\frac{-(\sqrt{a}+1)\pm \sqrt{2\sqrt{a}+a-3}}{2}(a\ge 1).$

笔者也很欣赏“反客为主”法, 但认为却不能因此止步不前, 拒绝探求别的解法, 把自己的思路封闭起来.事实上, 笔者提供的解法也得益于“反客为主”的解法, 因为, 既然已经解得方程的一个根为$x{}_1=1-\sqrt{5}$, 那么, 我们循此便有

$\begin{array}{l}x{}^3+2\sqrt{5}x{}^2+5x+\sqrt{5}-1\\ =(x+\sqrt{5}-1)(x{}^2+px+q).\end{array}$

从而用待定系数法, 求得$p=\sqrt{5}+1‚q=1$.再将等式右端展开 (不要合并) 便得

$\begin{array}{l}x{}^3+2\sqrt{5}x{}^2+5x+\sqrt{5}-1\\ =x{}^3+(\sqrt{5}+1)x{}^2+x+(\sqrt{5}-1)x{}^2\\ +4x+\sqrt{5}-1.\end{array}$

有趣的是, 还可使用试猜的技巧, 寻求另外的解法!因为

所以, 原方程可化为

再取, 代入上式有

所以, 的确为方程的一个实根, 接下去, 仍用前面介绍的待定系数法, 就可得出方程的另外两个实根! (其实, 笔者并不愿意在教学中采用这些例题, 无论哪种解法, 既非相当困难, 也绝不是相当容易) .

文[3]在讨论方程x3+ (1-) x2-2=0的解法分析时, 使用反客为主的方法, 认为“对三次方程, 同学们将束手无策”, 事实上,

得

研究问题, 忌带片面性———这就是本文的一点感受.

参考文献

[1]姚荣峰.例谈辨证思想在数学解题中的应用[J].数学教学研究, 2008, (6) .

[2]亢红道, 罗开秀.中学数学解题对策[M].云南大学出版社, 2003:35, 300.

一元一次方程的解法教学设计 篇13

一、教材分析

本节是学生在学习了一元一次方程概念之后，进一步系统学习一元一次方程的有关知识。它既是对前面所学知识的深化，又为我们以后学习一元一次方程的应用提供研究和学习的方法，同时也为含有分母的一元一次方程的计算做好准备，具体的说，本节课就是要通过对解法的掌握和理解，让学生形成系统的解一元一次方程的知识结构，掌握解一元一次方程的方法步骤。

二、学情分析

学生在前面了解一元一次方程的概念和对一元一次方程的辨别，故本节课继续学习一元一次方程的相关知识，因此学生对本节课的知识学习和掌握要求就要高一些。

三、教学目标：

知识与技能 ：

掌握一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次方程（数字系数），能判别解的合理性。

过程与方法：

①通过学生观察、独立思考等过程、培养学生归纳、概括的 能力。

②进一步让学生感受到并尝试寻找解决问题的方法。

情感态度与价值观: ①激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创 新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯。②培养学生严谨的思维品质。

③通过学生间的相互交流、沟通，培养他们的协作意识。

四、教学重难点

重点：

①弄清列一元一次方程的思想方法； ②用移项解一元一次方程。难点：

①移项变号

②学会方用程解题的思想。

五、教法、学法，教学准备

1、教法：回顾——探索——发现——运用 引导发现法

2、学法：练习→发现→练习巩固

3、教学准备：多媒体课件

六、教学过程

（一）回顾前节所学：

1、一元一次方程的概念。

2、判断一元一次方程的方法。

3、检验一个数是否是一个方程的解？

（二）新课讲解：

（1）小李用52元钱到书店去买了一套三本书，还剩4元。

问他买的书平均多少钱一本？

分析：若设小李买的书平均每本x元，则买书用钱_____元，而用于买书的钱也可以表示_______元，故方程即可列出。解：设小李买的书平均每本x元，则他买了3本这样的书共

3x元，根据题意列方程得： 3x+4=52 你能说出解这个方程每一步的依据吗？ 回忆等式性质，寻找求解方法 等式的基本性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。用字母表示为：如果a=b，那么a±c=b±c 等式的基本性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。用字母表示为：如果a=b，那ac=bc;如果a=b，那么a／c=b／c（c≠０）。利用等式基本性质抢答

(1)从4a=12能否得到a=3？为什么？(2)从a+2=b+2如何得到等式a=b?(3)怎样从等式a=b 得到等式-3a=-3b？(4)怎样从等式5x=4x+3 得到等式x=3?

（2）定义：移项

1.移项的得出

师引导学生观察上面第四小题的推导过程

观察打横线部分：哪些项位置没有改变？哪项位置改变了？原来在哪？现在在哪？除了位置的改变还有什么改变？

你能用一句完整的话将变化过程描述出来吗？

归纳：①移项的定义 ②移项的依据

③移项的注意之处

2判断下面的变形正确吗？

⑴6-x=8，变形得

-x+6=8 ⑵6+x=8，变形得

x=8+6 ⑶3x=8-2x，变形得

3x+2x=-8(4)5x-2=3x+4，变形得

5x+3x=4+2 生举手回答，重点指出哪先进行了移项？

（3）利用移项法解方程

3x-1=4+2x

分析：根据上面的移项方法，哪项项需要移动？

生思考（+2x从方程的右边移到左边—2x，—1从方程的左边得移到右边+1）

师生共同完成，强调解题格式

（4）运用移项法解方程

①4-x=3

②5x+1=3x+1 ③5x-5=4x+9（5）拓展探究

①当x取何值时,代数式6-3x和2x-19的值相等? ②当x取何值时,2(3x+4)的值比5(x-7)的值大3?（6）布置作业（7）课堂小结

1.谈谈这节课你的收获有哪些？

2.了解一元一次方程，熟练运用移项法解方程 3.课后巩固所学内容。

一元一次方程的解法的练习题 篇14

基础训练

一、选择题

1.若a=1,则方程=x-a的解是

A、x=1B、x=2C、x=3D、x=4.

2.方程+10=k去分母后得()

A、1-k+10=kB、1-k+10=6kC、1+k+10=6kD、1-k+60=6k.

3.把方程+10=-m去分母后得()

A、1-m+10=-mB、1-m+10=-12m

C、1+m+10=-12mD、1-m+120=-12m.

4.把方程1-=-去分母后,正确的是()

A、1-2x-3=-3x+5B、1-2(x-3)=-3x+5

C、4-2(x-3)=-3x+5D、4-2(x-3)=-(3x+5).

5.方程x=5-x的解是()

A、B、C、D、20.

二、天空题

6.数5、4、3的.最小公倍数是________________.

7.方程-1=去分母,得_________________.

三、解答题

8.下面方程的解法对吗?若不对,请改正.

-1=解:去分母,得:3(x-1)-1=4x

去括号,得:3x-1-1=4x

移项,得:3x+4x=-1-1

∴7x=-2,即x=-

学练点拨：

去分母时要注意(1)不要漏乘不含分母的项;(2)分子是多项式时,分子必须添加括号.

综合提高

一、选择题

9.解方程1-=-去分母后,正确的是()

A、1-5(3x+5)=-4(x+3)B、20-5×3x+5=-4x+3

C、20-15x-25=-4x+3D、20-15x-25=-4x-12.

10.把方程=1-去分母后,有错误的是()

A、4x-2=8-(3-x)B、2(2x-1)=1-3+x

C、2(2x-1)=8-(3-x)D、2(2x-1)=8-3+x.

11.解方程+=0.1时,把分母化成整数,正确的是()

A、+=10B、+=0.1

C、+=0.1D、+=10.

二、填空题

12.若代数式与-1的值相等,则x=____________.

13.若关于x的方程3x=x-4和x-2ax=x+5有相同的解,则a=__________.

三、解答题

14.解方程:

(1)=(2)(4-y)=(y+3)

(3)=x-(4)1-=.

15.解方程:-=0.5

16.当x为何值时,x-与1-的值相等.

17.已知方程-=1的解是x=-5,求k的值.

18.已知关于x的方程3x-2m+1=0与2-m=2x的解互为相反数,试求这两个方程的解及m的值.

探究创新

19.解方程:++---+=.

例谈简单的函数方程的解法 篇15

关键词：函数方程,解法,举例

含有未知函数的等式叫作函数方程.目前,我们只能解出一些简单的函数方程,而对于复杂的函数方程,我们仍然无能为力.针对高考、自主招生考试和数学竞赛中常出现的函数方程试题或与函数方程有关的函数试题,本文给出最常见的初等解法.

一、赋值法

在函数方程中,包含有一些变量x,y,z等,对其中的某些变量取某些特殊的数值,以期导出一些函数性质或求出特殊的函数值,如f(0),f(1),f(-1)等,以助于解题.这种方法就叫作赋值法.

【例1】求出所有的函数f:R→R(R为实数集),使得对于任何的x,y∈R都有f(x·y)=x·f(y),且f(3)=5.

解:在f(x·y)=x·f(y)中,令y=3,并利用f(3)=5,得

f(3x)=x·f(3)=5x,

f(x)=asinx+bcosx(其中a,b为任意给定的常数).(5)

将(5)代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·cosy中检验,易知(5)满足条件(请读者自己验证).

故本题所求的函数为f(x)=asinx+bcosx(a,b为任意常数).

二、代换法

在函数方程中,含有一些变量x,y,z等,将其中的某些变量取一些式子,该式子中含有x,y,z或别的新变量,得到一些新的方程,再将它们与原方程联立起来,产生一些有用的式子,这样有助于解题,这种方法叫作代换法.另外,代换法常与赋值法一起使用,可取得更好的效果.

【例3】求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)-f(y).

显然,函数f(x)=0(x∈R)满足f(x+y)=f(x)-f(y),故本题所求的函数为f(x)=0(x∈R).

三、两边取f(迭代法)

以方程两边为自变量,两边取f,考虑其函数值,再结合原方程或已经得到的性质,导出新的性质,以助于解决问题.这种方法叫作“两边取f(迭代法)”.其原理:若a=b,且a,b都在f的定义域内,则必有f(a)=f(b).

【例5】求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的a,b∈R都有f(a·f(b))=ab.

下面来求f(1)的值.

四、反证法

西方著名的数学家说过:“反证法是数学家们手中有力的武器.”有不少问题必须要用反证法来解决,或者在解题过程中的某一步要用到反证法.同样,反证法在解函数方程的过程中也是常用的方法.

【例6】是否存在这样的函数f:R→R,使得对于任何的x∈R都有f(f(x))=x且f(f(x)+1)=1-x.请说明理由.

解:这样的函数不存在.

理由如下:用反证法,假设存在某个函数f:R→R,使得对于任何的x∈R都有

f(f(x))=x,(1)

且f(f(x)+1)=1-x.(2)

首先证明:f是单射(即若x1≠x2,则必有f(x1)≠f(x2)).

以上是我们给出的解答简单的函数方程常用的四种方法,对于另外的方法,我们将在下一篇文章中逐步给出.

参考文献

[1]吴伟朝.对一个共轭型函数方程的研究(1)[J].广州大学学报,2001(11).

[2]吴伟朝.对函数方程f(xm+y+f(n)(y))=2y+(f(x))m的研究(1)[J].广州大学学报(自然科学版),2002(7).

[3]Wu Wei Chao.Problem and Solution(No.10908)[J].The American Mathematical Monthly,2002(10).

[4]Wu Wei Chao.Problem and Solution(No.11053)[J].The American Mathematical Monthly,2003(10).

[5]陈丹清.高中数学竞赛中的函数方程问题研究[D].广州:广州大学,2011(5).

[6]杨源.函数方程中渗透的数学思想方法研究[D].广州:广州大学,2015(5).