专题复习一元二次方程（精选6篇）
专题复习一元二次方程 篇1
【知识梳理】
一、一元二次方程的定义
二、一元二次方程的常用解法
三、列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 (组) 解应用题步骤一样, 即审、找、设、列、解、答六步.
四、一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式为b2-4ac.
五、一元二次方程根与系数之间的关系
2. (简易形式) 若关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个根分别为x1、x2, 则x1+x2=-p, x1·x2=q.
【典型例题】
例1 (1) 一元二次方程x2+3x-4=0的解是 ()
A.x1=1, x2=-4 B.x1=-1, x2=4
C.x1=-1, x2=-4 D.x1=1, x2=4
(2) 已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、x2, 则x1+x2-x1·x2的值为 ()
(3) 已知一元二次方程x2+x-1=0, 下列判断正确的是 ()
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
(4) 用配方法将代数式a2+4a-5变形, 结果正确的是 ()
A. (a+2) 2-1 B. (a+2) 2-5
C. (a+2) 2+4 D. (a+2) 2-9
【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法.
【解答】 (1) ∵x2+3x-4=0, ∴ (x+4) (x-1) =0.
∴x+4=0或x-1=0.∴x1=-4, x2=1, 故选A.
(2) 根据根与系数的关系可得x1+x2=5, x1·x2=2.
∴x1+x2-x1·x2=5-2=3, 故选D.
(3) ∵b2-4ac=12-4×1× (-1) =1+4=5>0,
∴方程有两个不相等的实数根, 故选B.
(4) a2+4a-5=a2+4a+4-4-5= (a+2) 2-9, 故选D.
方法总结
判断一元二次方程根的情况, 关键是判断b2-4ac的符号, ①当b2-4ac>0时, 一元二次方程存在两个不相等的实数根;②当b2-4ac=0时, 一元二次方程有两个相等的实数根;③当b2-4ac<0时, 一元二次方程无实数根.
例2解方程.
(1) x2-6x-6=0;
(2) (x-3) 2+4x (x-3) =0.
【点拨】本组题考查一元二次方程的解法.
【解答】 (1) x2-6x-6=0
移项, 得x2-6x=6,
(2) (x-3) 2+4x (x-3) =0
提公因式, 得 (x-3) (x-3+4x) =0, (x-3) (5x-3) =0.
方法总结
解一元二次方程共有以下几种方法:①直接开平方法;②配方法;③公式法;④因式分解法.
解一元二次方程时, 要注意根据方程的特点, 选择适当的方法求解.一般地, 若方程左边是一个完全平方式, 右边是一个非负数或完全平方式, 就采用直接开平方法;若能分解因式就用因式分解法;当两种方法都行不通时, 可采用公式法或配方法.
例3若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根, 求k的取值范围及k的非负整数值.
【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式, 当b2-4ac≥0时, 方程有两个实数根.
【解答】∵方程x2+4x+2k=0有两个实数根,
∴b2-4ac=42-4×1×2k≥0.
即16-8k≥0, 解得k≤2.
∴k的非负整数值为k=2, 1, 0.
例4已知一元二次方程x2-2x+m=0.
(1) 若方程有两个实数根, 求m的范围;
(2) 若方程的两个实数根为x1、x2, 且x1+3x2=3, 求m的值
解: (1) 方程有两个实数根, 则b2-4ac≥0.
∵ (-2) 2-4m≥0, ∴m≤1.
例5如图所示, 某幼儿园有一道长为16米的墙, 计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.
【点拨】列一元二次方程解决实际问题时, 要善于读取题中信息, 找出表示题目全部意义的等量关系.
【解答】设该矩形草坪BC边的长为x米, 根据题意, 得
解得x1=12, x2=20.
∵20>16, ∴x=20不合题意, 舍去.
答:该矩形草坪BC边的长为12米.
方法总结
列一元一次方程解决实际问题时, 一定要检验最后的结果, 对不符合实际问题的未知数的值应舍去.
例6随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展, 汽车已越来越多地进入普通家庭, 成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计, 2007年底全市汽车拥有量为180万辆, 而截止到2009年底, 全市的汽车拥有量已达216万辆.
(1) 求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2) 为保护城市环境, 缓解汽车拥堵状况, 该市交通部门拟控制汽车总量, 要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计, 从2010年初起, 该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同, 请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆?
解: (1) 设该市汽车拥有量的年平均增长率为x, 根据题意, 得150 (1+x) 2=216, 解得x1=0.2=20%, x2=-2.2 (不合题意, 舍去) .
答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.
(2) 设全市每年新增汽车数量为y万辆, 则2010年底全市的汽车拥有量为 (216×90%+y) 万辆, 2011年底全市的汽车拥有量为[ (216×90%+y) ×90%+y]万辆.根据题意得 (216×90%+y) ×90%+y≤231.96, 解得:y≤30,
即该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆.
例7山西特产专卖店销售核桃, 其进价为每千克40元, 按每千克60元出售, 平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现, 单价每降低2元, 则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元, 请回答:
(1) 每千克核桃应降价多少元?
(2) 在平均每天获利不变的情况下, 为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
【解析】 (1) 设每千克核桃降价x元, 利用销售量×每千克利润=每天获利列出方程求解即可;
(2) 为了尽可能让利于顾客, 因此应尽可能多地降价, 求出此时的销售单价即可确定几折.
解: (1) 设每千克核桃应降价x元, 根据题意, 得:
化简, 得x2-10x+24=0,
解得x1=4, x2=6.
答:每千克核桃应降价4元或6元.
(2) 由 (1) 可知每千克核桃可降价4元或6元.
因此要尽量让利于顾客, 所以每千克核桃应降价6元.
答:该店应按原价的九折出售.
专题复习一元二次方程 篇2
本章的内容是等式和它的性质、方程和它的解、一元一次方程的解法及其应用。其中一元一次方程的解法及其应用是本章的主要内容。
[思想方法总结]
1．化归方法
所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它先进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。如本章解方程的过程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化为最简方程ax＝b(a≠0)，从而求出方程的解x＝。
2．分析法和综合法
分析法是从未知，看已知，逐步推向己知，即由果索因；综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因索果，研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上综合。列方程解应用题就是运用了这种分析和综合的思想方法。
3．方程思想方法
方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志。本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用。
[学习方法总结]
如何检验一个数是否是某个方程的解，是必须掌握的最基本的技能技巧。
检验某个给定的数是否为某方程的解，只要将该数代入方程，看能否使方程左、右两边相等，这种方法是一种重要的数学思想方法和解题方法，今后我们在学习二元一次方程及方程组、一元二次方程、分式方程、无理方程等方程中，都可以用这种方法检验一个数(或一对数)是否是某个方程(或方程组)的解。利用这种方法还可以检查所求的方程的解是否正确，从而检验自己的运算能力。
[注意事项总结]
1．通过本章的学习，可以体会到对于解方程和列方程解应用题，代数解法具有居高临下、省时省力的优点。所以，今后要从算术解法转到习惯于代数解法。
2．不要死记硬背例题题型和解法，而要努力学会分析问题的本领。为此要适当做一些与例题不同类的题，通过老师的指导，自己去进行分析并解决它们。
3．要注意检验求得的结果是不是方程的解，方程的解是不是符合应用题题意的解。如果方程有解，但这个解不符合应用题题意，我们就说这道应用题无解。一般说来，违背实际情况的应用题都是无解的。
4．在解一元一次方程时，要灵活安排各个步骤的次序(不一定每个步骤都要用到)，这样往往可使计算简便。在整个求解过程中，要注意避免去分母、去括号、移项时易犯的错误。在整个初学阶段，最好把方程的解代入方程进行检验。
[综合题目举例]
例1．已知式子-2y-
分析：由-2y-+1的值是0，求式子 的值。
+1的值是0，可得方程，从而求出y的值，再把y的值代入所求式子中即可。
解：由题意，得-2y-+1=0
解这个方程，得y=2, 当y=2时。
说明：本题是利用方程来解决求另一式子的值的问题，故解方程的过程不必全部写出来。
例2．已知方程4x=-8的解也是关于x的方程x=1+k的解，求式子的值。
分析：从已知方程4x=-8中，求出x的值，把x的值代入x=1+k中，求出k的值，再把k的值代入所求式子中。
解：解方程 4x=-8, 得x=-2.把x=-2代入x=1+k, 得-2=1+k, k=-3.当k=-3时。
例3．有一列客车长190米，另有一列货车长290米。客车的速度与货车的速度比为5∶3，已知它们同向行驶时，两车交叉时间为1分钟，问它们相向行驶时，两车交叉的时间是多少?
分析：此题属于应用题中的难题，难在相等关系在题目中有一定的隐蔽性，不易找准，为充分弄清题意，我们按同向行驶和相向行驶两种过程来进行分析：
(1)同向行驶时，客车利用与货车交叉的时间(1分钟)赶超货车，这期间客车的车尾走了两个车长，实际上客车上的每一部分都走了两个车长，即客车走了(190+290)米。同向行牧时，两车的前进方向相同，所以速度应取两车的合成速度(速度之差)
相等关系是：路程＝速度×时间
(2)相向行驶时，两车对开，客车所走的路程仍是两个车长(190+290)米，但这时两车的合成速度是两车的速度之和。
相等关系是：路程＝速度×时间
按题目要求是求时间，所以
时间＝路程÷速度
解：设客车的速度是x米／分，则货车的速度是
根据题意，得
解这个方程，得x＝1200
x=720.(分)
x米／分，所以相向行驶时，两车交叉的时间为(190+290)÷(1200+720)=
答：两车相向行驶时，交叉的时间是15秒。
注意：
（1）所设未知数的单位名称是“米/分”，对列方程很有利。
（2）列出方程如写成x-
x=480就不合理了，这实际上是在方程中没有完整体现已知条件。
（3）题目中有两个相等关系，要注意区别，它们一个是用于列方程；另一个是用于列算式求时间的，所起的作用不同。
例4．一个六位数，如果它的前三位数与后三位数的数字完全相同，顺序也完全相同，求证：7、11、13必为此六位数的约数。
分析：要求证出六位数是7、11、13的约数，只要证出这个六位数是一个能被7、、11、13整除的数与一个整数的积即可。
证明：设该六位数为100000x+10000y+1000z+100x+10y+z
即为：1001(1000x+10y+z)
∵ 1001分别能被7、11、13整除，故该六位数也分别能被7、11、13整除。
例5．一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？
分析：此题是工程问题，题中没有给出总工作量，故看做整体1，题中叙述了开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，则有相等关系如下：
甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1。甲、乙、丙合作的工作量是()x，乙、丙合作的工作量是（）（6-x），由题意，得
（解得x=3.)x+()(6-x)=1
答：甲队实际工作了3小时。
注意：甲队实际工作的时间就是甲、乙、丙合作的时间，完成任务的时间是6小时，乙、丙合作就用了(6-x)小时。
综合检测题
（时 间：45分钟
满 分：100分）
一、填空题：（每小题4分）
1．当x=_______时，式子的值为0？
2．若x=1是方程 2x-a=7的解，则a=_______。
3．在等式3y-6=5两边同时
，得到3y=11。
4．已知三个数的比是2：3：7，这三个数的和是144，则这三个数为_______。
5．若3x:2=4:0.8，则x=_______。
6．某化肥厂第一季度和第二季度共生产化肥4300吨。已知第二季度比第一季度增长15%，则第一季度的产量是_______。
二、选择题：（每小题4分）（1）方程的解为（）。
A、0 B、1 C、2 D、-2（2）方程2m+x=1和3x-1=2x+1是同解方程，则m的值为（）
A、0 B、1 C、-2 D、-
（3）若使方程(m+2)x=n-1是关于x一元一次方程，则m取值是（）。
A、m≠-B、m≠0
C、m≠D、m>2（4）ax-b=0,(a≠0), a,b互为相反数，则x等于（）。
A、1 B、-1 C、-1和+1 D、任意有理数（5）ax-b=bx-a(a≠b)时x等于（）。
A、0 B、-1 C、+1 D、任意有理数（6）在下列方程中，解为x=2的是（）。
A、3x=x+3 B、-x+3=0 C、2x=6 D、5x-2=8（7）水结成冰体积增大
A、B、3，冰化成水体积减少（）。
C、3D、3（8）甲池有水xm，乙池有水ym，甲池每分钟流入乙池zm, n分钟两池水水量相等，则n等于（）。
A、B、C、D、（9）在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向出发跑，t分钟后第一次相遇,t等于（）。
A、10分
B、15分
C、20分
D、30分（10）在梯形面积公式S=(a+b)h中，已知S=24cm, a=3cm, h=6cm, 则b=()cm。
2A、1 B、5 C、3 D、4
三、解方程（每小题6分）
1.=1
2.(x-1)×30%-(x+2)×20%=2
3.2[1-(x-)]=3[
]
四、列方程解应用题：（每小题9分）
1．甲车在早上5时以每小时32千米的速度由A地向B地行驶，6时30分钟乙车才开始出发，结果在9时30分时乙车追上了甲车，问乙车的车速是多少？
2．一水池安有甲、乙、丙三个水管，甲独开12小时注满水池，乙独开8小时注满水池，丙独开24小时可排掉满池的水，如三管齐开多少小时后，刚好水池的水是满的？
答案：
一、1.解：由题意，得
=0，解方程得x=。
2．分析：因为x=1是方程2x-a=7的解，所以x=1满足2x-a=7，把x=1代入2x-a=7，从而求得a的值。
解：把x=1代入2x-a=7中，∴ 2×1-a=7, ∴a=-5。
3．分析：根据等式的基本性质1，加上6。
4．分析：因为2∶3∶7是三个数的比，所以可设每份为x。
解：设每份为x，则三个数分别为2x, 3x,7x，2x+3x+7x=144, 解得 x=12。
∴ 2x=24, 3x=36, 7x=84，∴ 这三个数为24，36，84。
5．分析：根据内项之积等于外项之积，得关于x的一元一次方程，即2.4x=9, x=。
6．分析：设第一季节产量是x吨，第二季节(1+15%)x吨，第一季度产量+第二季度产量=4300。
解：设第一季度产量是x吨，x+(1+15%)x=4300 x=4300
x=2000。∴第一季节的产量是2000吨。
二、（1）解：去分母，得3x-2(x-1)=3
3x-2x+2=3
x=1, 选B。
（2）分析：因为2m+x=1①和3x-1=2x+1②是同解方程，所以②的解x=2满足①，∴2m+2=1, m=-,选D。
（3）分析：根据一元一次方程概念ax=b(a≠0),所以m+2≠0, ∴m≠-2，选A。
（4）分析：由a,b互为相反数，可得a=-b。
ax-b=0, ax=b, x= , x=
=-1, 选B。
（5）解：ax-b=bx-a
ax-bx=b-a
(a-b)x=-(a-b), x=-1，选B。
（6）解：把x=2分别代入每个方程进行检验，选D。
（7）分析：1升水结成冰后，体积增大
升，此时冰的体积为(1+)升（把1升水的升，故体积减体积看作整体1），设1升冰化为水后为x升，则1:(1+)=x:1，解得x= 少为1-=升，故选C。
（8）分析：甲池有水xm, n分流出nzm，n分后甲池剩水(x-nz)m, 同样，n分钟后乙池水为(y+nz)m。
相等关系为：n分钟两池水量相等。
解：依题意，得x-nz=y+nz
解得 n=, 选C。3
（9）分析：由两人同时同地同向出发跑，七分钟后第一次相遇可得：甲t分钟跑的路程一乙t分钟跑的路程=800
解：依题意得320t-280t=800
解得 t=20分，故选C。
（10）分析：把S,a, h的值代入公式S=
解：依题意，得24=
三、解方程
1．解：去分母，得 2(2y-5)+3(3-y)=12
去括号，得4y-10+9-3y=12，移项，合并，得y=13。
2．解：(x-1)×
-(x+2)×
=2，(a+b)h中，求出b的值。
(3+b)×6，解得 b=5，选B。
去分母，得30(x-1)-20(x+2)=200
去括号，30x-20-20x-40=200，移项，合并，得10x=270, ∴ x=27。
3．解：去中括号，得2-
去小括号，得2-，(x-)=
(2x-)
去分母，得 36-12x+4(x+1)=9x-54x+90-63x
100x=50
x=。
四、列方程解应用题
1.甲车5时出发，乙车6时30分出发，说明甲车先走了1
小时；结果在9时30分乙车追上甲车，说明乙出发3小时后追上甲车，若设乙车的速度为x千米/时，则乙行驶的路程为3x千米，甲车先走1 小时的路程为1
×32千米，乙出发后，甲车走的路程为3×32千米。此题相等关系为：甲1（如图）。小时的路程+甲3小时的路程=乙3小时的路程
解：设乙车的速度为x千米/时，依题意，得
1×32+3×32=3x。解得x=48。
答：乙车的速度为48千米/时。
2．分析：若把满池水看作总工作量1，则甲的工作效率为 关系为：注入的水一排掉的水=1。
解：设三管齐开x小时后，刚了水池的水是满的依题意，得，乙为，丙为，相等 , 解得x=6。
专题复习一元二次方程 篇3
2. 解不等式组并用数轴表示出不等式组的解集,写出该不等式组的整数解.
3. 若0是关于x的方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解,求实数m的值,并求此方程的解.
4. 试确定实数a的取值范围,使不等式组恰有两个整数解.
5. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.
(1) 求k的取值范围;
(2) 如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.
6. 小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?
(2) 小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗? 请说明理由.
7. 某街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2/3 ;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2) 已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用? 若不够用,需追加预算多少万元? 请给出你的判断并说明理由.
8. 某市一班级到毕业时共结余经费1 800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品. 已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册.
(1) 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元?
(2) 有几种购买文化衫和相册的方案? 哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足?
参考答案
1. 当A=B时 ,,方程两边同时乘 (x+1)(x-1),得x(x+1)=3+(x+1)(x-1),解得x=2. 检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0,∴x=2是分式方程的根.
2. 由①式得x≤7,由②式得x>2,∴原不等式组的解集为2<x≤7,数轴表示略,其整数解为3,4,5,6,7.
3. 将x=0代入已知方程有m2+2m-8=0,解这个一元二次方程得:m1=2,m2=-4. 当m= 2时,原方程为3x=0,此时方程只有一个解,解为x=0;当m=-4时,原方程为-6x2+3x=0,解此方程得:x1=0,x2=1/2 ,即此时方程有两个解,解为x1=0,x2=1/2 .
4. 由不等式两边同乘6得3x+2(x+1)>0,可以求出x>-2/5 ,由不等式两边都乘3得3x+5a+4>4x+4+3a,可以解出x<2a,所以不等式组的解集为-2/5 <x<2a,因为该不等式组恰有两个整数解,所以1<2a≤2,所以1/2 <a≤1.
5. (1) k<4;(2) m=0或-8/3 . 提示:(1) 由Δ>0求出k<4;(2) 满足k<4的最大整数是3,解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3,分别代入x2+mx-1=0得m=0或-8/3 .
6. (1) 设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x) cm. 由题意得x2+(10-x)2=58. 解得x1=3,x2=7. 则周长分别为4×3=12,4×7=28. 所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段;(2) 假设能围成. 由 (1) 得,x2+(10-x)2=48. 化简得x2- 10x+26=0. 因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26 =-4<0,此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.
7. (1) 设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要2/3 x天.根据题意,得. 解得x=90. 经检验,x=90是原方程的根. ∴2/3 x=60.答:甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天. (2) 设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,则有y {1/60 +1/90}=1. 解得y=36. 需要施工费用36×(0.84+0.56)=50.4(万元). ∵50.4>50,∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.
《一元二次方程复习课》教学反思 篇4
在形式上，尽量采取学生之间的合作、学生独立动手实践等形式，使每个学生尽量参与到课堂中来，课堂气氛显得十分活跃。
通过对一元二次方程及其相关实际问题的进一步探索，学生对一元二次方程的认识更加深刻，这一切都为以后学习函数等内容打下了坚实的基础。
这节课的一个突出特点就是问题驱动式教学。 郑老师给学生提供了宽松的时间和空间，让他们经历观察、时间、交流、反思等活动，并充分发表自己的观点和看法，而不是每一个问题都急于直接告知结论。此外，对于学习兴趣等问题，应多创设探索性的数学问题，给学生提供大胆猜想、自主探究的机会，让学生在积极、愉快的氛围中去体验“学数学”和“用数学”的乐趣。
专题复习一元二次方程 篇5
【例1】方程2x2-3x-k=0有实数根, 求实数k的取值范围.
学生1:令Δ=9+8k≥0, 得k≥-89.
教师:看到有关方程的实数根的问题, 我们马上就会想到Δ, 但是如果稍作改变呢?
【例2】方程2x2-3x-k=0有2个正的实数根, 求实数k的取值范围.
教师不错实数根的正负可以结合韦达定理来解决, 如果再作改变呢?
【例3】方程2x2-3x-k=0在x∈[-1, 1]内有实数根, 求实数k的取值范围.
这时, 有些学生受了第2题思路的影响, 给出了这
在[-1, 1]内呢?能不能举例说明一下?
学生3:满足条件但这样的两个实根不在[-1, 1]内.
教师:很好, 方程在x∈[-1, 1]内有实数根不能推出两实根⇒
在[-1, 1]内, 所以前后不等价, 想想其他解法.
学生4:数形结合.令f (x) =2x2-3x-k, 结合该二次函数的图像, 得
教师:很好, 数形结合法是解决方程根的分布问题的通用办法, 如果再改呢?
【例4】方程2x2-3x-k=0在x∈ (-∞, -1]∪[1, +∞) 内有实数根, 求实数k的取值范围.
马上就有学生提出:不用考虑Δ, 因为f (-1) ≤0, f (1) ≤0这两个条件已经保证了二次函数的图像与x轴必然是两个交点.
教师:你说得很有道理.
教师 (归纳小结) :以上是二次函数与方程的联系, 通常先引入函数, 把方程的实根看作函数的图像与x轴的交点, 体现了数和形的结合.不过对于例3和例4, 同学们还能想到其他解法吗?
学生6:我记得以前老师在复习函数时讲过有两个参变量的问题可以分离参数, 这道题目应该也可以分离k与x, 比如例3, 可以令k=2x2-3x, x∈[-1, 1], 二次函数y=2x2-3x在[-1, 1]上的值域是所以k的取值范围也是
教师:回答得太好了, 分离参数法解决该问题更巧妙, 这是同学们一定要掌握的一种解题方法.
【例5】方程有且只有一个实数根, 求实数b的取值范围;
学生6: (有点不太确定) 两边平方后令Δ=0, 得
学生7:方程的根应该分布在[-1, 1]内, 所以这个解法不对.根的分布要分3种情况讨论, 有点麻烦, 我又想到了另一种解法———数形结合.等式的左边是斜率为1的直线, 右边是半圆, 所以该方程有且只有一个实数根的问题就是直线与半圆只有一个交点的问题, 通过数形结合, 得出b的取值范围是-1<b≤1或
教师:你说的这种方法是解决该问题的最恰当的解法.
学生那能不能分离参数为
教师:可以!但左边的函数图像简单了而右边的函数图像就难了, 所以两边要“扯平”一下, 不要过分倾向于某一边.下面我们来看2009年高考题浙江卷第22题的第 (1) 题:
【例6】已知函数f (x) =x3- (k2-k+1) x2+5x-2, g (x) =k2x2+kx+1, 其中k∈R.设函数p (x) =f (x) +g (x) .若p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 求k的取值范围.
教师:初看好像跟我们今天讲的内容不沾边, 但同学们试着分析一下.
学生9:函数p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 意味着方程p′ (x) =0在区间 (0, 3) 上有实数根, 但不能是重根, 否则函数p (x) 是单调函数, 就不符合题意了.
教师:你分析得非常有道理, 下面同学们可以根据学生9的分析来做这道题.
学生10:我是用数形结合法.p (x) =f (x) +g (x) =x3+ (k-1) x2+ (k+5) x-1=, p′ (x) =3x2+2 (k-1) x+ (k+5) , 因p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 所以p′ (x) =0在 (0, 3) 上有实数解, 且无重根, 从而p′ (x) ·p′ (3) <
2, 经检验也符合题意, 从而k∈ (-5, -2) .
学生11:老师, 我采用的是分离参数的方法.p (x) =f (x) +g (x) =x3+ (k-1) x2+ (k+5) x-1, p′ (x) =3x2+2 (k-1) x+ (k+5) , 因p (x) 在区间 (0, 3) 上不单调, 所以p′ (x) =0在 (0, 3) 上有实数解, 且无重根, 由p′ (x) =0得k (2x+1) =- (3x2-2x+5) , 令t=2x+1, 有t∈ (1, 7) , 记h (t) =t+9t, 则h (t) 在 (1, 3]上单调递减, 在[3, 7) 上单调递增, 所以有h (t) ∈[6, 10) , 于是 (2x+1) +92x-1∈[6, 10) , 得k∈ (-5, -2], 而当k=-2时有p′ (x) =0在 (0, 3) 上有两个相等的实根x=1, 故舍去, 所以k∈ (-5, -2) .
教师:以上两位同学的解题的思想方法, 刚好概括了我们今天这节课的主题, 有关处理方程的根的问题的一般方法:数形结合或分离参数.
基于一元二次方程复习课的思考 篇6
《数学课程标准》对本学段学生提出了以下要求。
①能够根据具体问题中的数量关系, 列出方程, 体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
②经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。
③理解配方法, 会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程;会一元二次方程根的判别式的简单应用。
我结合自身教学实践, 对一元二次方程的复习作了一些思考。
课时安排:2课时。本设计是第一课时。
一、教学目标制定
知识与技能目标:1.梳理本章知识, 使知识系统化;2.根据方程的特征, 灵活运用一元二次方程的各种解法;在探索灵活运用解法的过程中, 突出转化的数学思想。
过程与方法目标:通过自主探索、展示讲解、合作交流等活动, 发展数学思维, 培养合作意识, 激发学习热情。
情感态度与价值观目标:使学生在学习活动中, 感受数学与生活紧密相连;在探索过程中获得成功的体验, 提高自信心, 从而更加热爱数学、热爱生活。
二、重、难点分析
重点:梳理本章所学知识, 建立一定的知识体系;巩固所学知识, 正确地求出一元二次方程的根。
难点:根据方程特点, 灵活选择解法;学生自主分析问题, 解决问题能力的进一步提高。
三、突出重点的思路和方法
1.学生课前用自己的方式整理和归纳本章知识、课堂上进行展示, 学生间再加以交流、补充;教师投影课前准备的知识结构图, 进而形成本章知识网络。
2.学生反思平时学习中的不足, 针对可能出现的错误进行纠错, 教师及时表扬与鼓励。
3.精选题目, 有效提问, 给学生充分地思考空间, 由学生说出思路与方法, 暴露思维过程, 发现问题及时解决。
四、突破难点的思路和方法
1.将学生在练习和作业中涉及解一元二次方程的错题及解题方法的选择, 呈现给大家, 先辨析后订正或优选。
2.通过精选习题, 引导学生自主选择适合的解题方法, 再进行交流, 比较、优选方法。进一步体会各种解法的相互联系和差别, 领会不同方法的特点和本质及转化的数学思想。
3.对简单的应用问题, 由学生讲解思路与方法及涉及的知识点。
五、出现的典型问题
1.一般式的各项系数的确定 (顺序问题)
如:方程2x (1+x) =1化成一般形式是_____, 其中二次项系数是_____, 一次项系数是_____, 常数项是_____。
2.二次项系数不能为零
如:关于x的一元二次方程 (m-2) x2+ (2m-1) x+m2-4=0的一个根是0, 则m的值是 () 。
A.2 B.-2 C.2或者-2 D.1/2
3.根的判别式的结果与二次项系数的范围
如:关于x的一元二次方程 (k-1) x2-4x-5=0有两个不相等实数根, 则k的取值范围是_____。
4.配方法中系数的处理, 尤其是二次项系数不为1, 为负数时的符号处理。
如:用配方法解方程:-2x2-5x+1=0
5.不能优化方程的解法, 以公式法代替全体。
6.数学概念不清、计算能力薄弱。
7.简单应用中分析问题的能力。
我根据学生易错问题的显现, 解题方法灵活性的表现, 设计如下的题目进行有针对性地练习。
六、典题配置
1. 填空题
(1) 方程x2=6x的根是_____。
(2) 写出一个以2、-3为根的一元二次方程__________。
(3) 已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根, 则k的取值范围是__________。
(4) 已知一元二次方程x2-mx+3=0的一个根为1, 则m的值为__________。
(5) 已知y=x2-2x-3, 当x=_____时, y的值是-3。
(6) 已知2x2+3x+1的值是10, 则代数式4x2+6x+1的值是__________。
2. 选择题
(1) (k-2) x2-x=1是一元二次方程, 则k的取值范围是 ( ) 。
A.k=2 B.k≠0 C.k≠1 D.k≠2
(2) 方程x2-6x+5=0的两根是 () 。
A.1和5B.-1和5C.1和-5D.-1和-5
(3) 方程x2-8x+5=0的左边配成完全平方式后所得的方程是 () 。
A. (x-6) 2=11 B. (x-4) 2=11
C. (x-4) 2=21 D.以上答案都不对
3.用适当的方法解下列方程
(1) x2-4x-3=0 (2) x2-3x+2=0
(3) (3y-2) 2=10 (4) 2 (x-3) 3=x (x-3)
(5) 2x2-5x+1=0 (6) (3x-4) 2= (4x-3) 2
4.已知三角形的两边长分别为2和9, 第三边长是一元二次方程x2-14x+48=0的根, 求这个三角形的周长。
5.已知m为非负整数, 且关于x的方程: (m-2) x2- (2m-3) x+m+2=0有两个实数根, 求m的值。
6.用配方法证明:关于x的方程 (m2-12m+37) x2+3mx+1=0, 无论m取何值, 此方程都是一元二次方程。
7.设关于x的方程:x2-2mx-2m-4=0, 证明:不论m为何值时, 方程总有两个不相等的实数根。
七、课堂小结
师生共同总结本节课的收获。
1.本节课感悟;
2.解决问题的思想方法;
3.释疑解惑。
八、布置作业
针对自己对本章的理解, 每位学生命制一份小练习, 要求时间在30分钟左右, 并配有答案。
九、教学反思
1.教师通过课前知识网络的整理、课堂展示讲解的过程, 为学生提供展示自己的机会, 有利于在此过程中发现学生知识的掌握情况及思维的误区。