一元二次方程

2024-06-16

一元二次方程（精选12篇）

一元二次方程篇1

一元二次函数是初中数学的重要内容,是初中过渡到高中的衔接点, 则它在高中数学中也具有一定地位. 那如何将知识之间的联系与认识上的转变结合起来呢?

一、一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重点考察内容之一,要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题,合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的.

首先,从其形式上来看:

一元二次函数y = ax2+ bx + c(a≠0)与一元二次方程0 =ax2+ bx + c(a≠0)(其中a,b,c为常数 ):

1它们都是关于x的二次式,从上面我们可以看出,y =0时 ,便是一个一元二次方程. 所以 ,我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式,这是用函数的观点看一元二次方程.

2 条件上,都是在保证 a ≠ 0 的情况下,去认识一元二次函数和一元二次方程. 如果 a = 0 时,再谈便无意义.

3 从其表达式上可知道, 无论是一元二次函数 y 的值,还是一元二次方程的解 x 应该都与系数 a,b,c 有关.

其次,我们还可以从其内涵上来看:

1一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值,即方程的根. 实质是用a,b,c来表示, 如将x反代入表达式,则ax2+ bx + c值为0.

2一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况 ,反应的是y的变化规律. 当x变化时 ,y也随着x以ax2 + bx + c变化. 而当y = 0时,求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1,x2. 而此时的x1,x2正是一元二次函数y = ax2+ bx + c与x轴的交点.

最后,我们知道,无论是一元二次函数还是一元二次方程, 其交点或根都与系数a,b,c有关. 有交点就说明方程ax2+ bx + c = 0有根. 那么 ,是不是所有的一元二次方程ax2 +bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢? 又是不是只要一元二次方程ax2+ bx + c =0有根 ,一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢 ?

通过学习我们知道,并不是所有的一元二次方程都有实数根, 也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点. 既然这样,那怎样的一元二次方程才有实数根,又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢? 上面已经说过,无论是方程的根,还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关. 所以 ,现在我们应该考虑 ,能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题. 有根,有几个根;有交点,又有几个交点;满足有根或有交点时,系数之间是否呈现一定的关系和规律呢?

综上,我们可以看到,无论a∈(-∞,+∞),且a≠0时,1当b2 - 4ac > 0时, 一元二次函数与x轴有两个不同的交点,且相应方程有两个不同的实数根;2当b2- 4ac = 0时 ,一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根(即x1= x2);3当b2- 4ac < 0时 ,一元二次函数与x轴无交点, 对应方程无实数根. 亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的. 它们都有一共同特征: 就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2- 4ac与0的比较 . 一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2- 4ac有关 , 并把它作为判断有无交点和有无根的依据,所以叫它为判别式,记为△[2].(注:它只是一个记号.)

二、用一元二次函数的观点看一元二次方程

例4如图-2,以40 m/s的速度将小球沿以地面成30°角的方向击出时,球的路线将是一条抛物线, 如果不计空气阻力,球的飞行高度(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h = 20t - 5t2.

(1)球飞行高度能否达到15 m? 20 m呢 ? 20.5 m呢 ?

(2) 若能 ,需多长时间呢 ?

解 h = 20t - 5t2 = -5(t - 2)2 + 20

当t = 2s时h = 20 m, 是球飞行的最大高度.15 < 20 <20.5,即球不能达到20.5 m;能达到15 m,当h = 15,则t = 1 s或3 s.

此题实际上是求分别满足20t - 5t2= 15、20或20.5时 ,t是否存在实数解,但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论,这是很烦琐的. 如按以上的解法,就是充分运用了函数的性质,进而将问题简单化、明了化.

通过本文研习, 我们更近一步认识了一元二次函数,更清楚地明白了它与一元二次方程间的密切关系,初步掌握了除因式分解、求根公式外的另一种求一元二次函数与轴交点的方法———二分法求近似值.

一元二次方程篇2

1．（2011•黑龙江）我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了 6 场，则共有人进入半决赛． 2．（2007•防城港）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 21 场比赛，应邀请个球队参加比赛
3．（2010•毕节地区）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品 30 件，则该兴趣小组的人数为（A． 5人 B． 6人 C． 7人 D． 8人）

4.握手问题

5.数字问题

6.（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼量为 8.1 吨，求 2010 年-2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率． 7.天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 8（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 9.（2013•来宾）某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售出 60 件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月就可以多售出 5 件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 10.（2013•泰安）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 11（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． 2（1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm，小林该怎么剪？ 2（2）小峰对小林说： “这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm ． ”他的说法对吗？请说

§2.2 一元二次方程篇3

1. 一元二次方程的解法：配方法和公式法.

2. 在列一元二次方程解决现实问题时，要注意“审、设、列、解、检、答”这六个基本步骤.

3. 注意点：检验求出的未知数的值是否符合所列方程，是否符合具体问题的实际意义.书写答案一般是问什么答什么，怎么问怎么答.注意设和解中单位的一致性.

经典例题

例 1 某工程队在某市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%.从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1 440 m2.

（1）求该工程队第一天拆迁的面积.

（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.

解：（1） 1 250×（1-20%）=1 000（m2）.

（2）设这个增长的百分数为x.

由题意，得1 000（1+x）2=1 440.

解得x1=0.2，x2=-2.2.经检验x2=-2.2不符合题意，舍去.

答：略.

评注：（1）增长率问题是中考中最常见的题型，是一元二次方程应用的重点，解决增长率问题的关键是找到增长的基础.

（2）要把解放入实际问题中检验，看是否与实际意义相符合.

例 2 某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320-10a）件，且物价部门限定加价不能超过进货价的25%.如果商店计划获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？

分析：设每件商品的售价为x元，容易得到每件商品的利润为（x-18）元，商品的销售量为（320-10x）件.根据“总利润=每件的利润×销售数量”，即可列出方程.

解：设每件商品的售价应定为x元.

根据题意，得（x-18）（320-10x）=400.

练习题

1. 将一条长为20 m的铁丝剪成两段，并分别以每段的长度为周长做一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17 m2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12 m2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

2. 云南省是我国花卉大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为该省许多地区经济发展的重要项目.某乡2003年花卉的产值是640万元，2005年产值达到1 000万元.

（1） 2004年、2005年花卉产值的年平均增长率是多少？

（2）若2006年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2006年这个乡的花卉产值将达到多少万元.

3. 如图2，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分为草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽.

参考数据：322=1 024，522=2 704，482=2 304.

一元二次方程考点分析篇4

考点一一元二次方程的概念

例1已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根, 则方程的另一个根是 ()

分析:根据方程根的定义, 可以把x=1代入x2+bx-2=0中, 可以求出b的值, 进而求出方程的另一根。

解:由方程根的定义, 得1+b-2=0, 解得b=1.所以原方程为x2+x-2=0, 解得方程的另一根为x=-2, 故选C。

点评:能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解, 也叫方程的根.将一元二次方程的根代入原方程便可求得未知系数的值。

练一练

1.若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解, 则m的值是 ()

考点二一元二次方程的求解。

例2解方程x2-4x+1=0。

点评:有关一元二次方程的解法问题, 要根据方程的特点灵活选择具体解法, 解题时讲究技巧, 尽量保证准确、迅速。

练一练

2.解方程:x2+3x+1=0。

考点三根与系数的关系

点评:根与系数的关系密切, 可以解决下列问题: (1) 已知一根, 求另一根及求知系数; (2) 不解方程, 求与方程两根有关的代数式的值; (3) 已知两数, 求以这两数为根的方程; (4) 已知两数的和与积, 求这两个数, (5) 确定根的符号。

练一练

考点4判别式

例4 (2011重庆江津) 已知关于x的一元二次方程 (a-1) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, 则a的取值范围是 ()

分析:一元二次方程有两个不相等的实数根条件是b2-4ac>0, 由此通过解不等式便可确定字母a的取值范围。

解:一元二次方程 (a-1) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, 所以b2-4ac=4-4 (a-1) >0。解得a<2, 又因为a-1≠0, 所以a≠1, 所以a<2且a≠1, 选C。

点评:一元二次方程的根的判别式b2-4ac主要有两个用途:一是不解方程, 判断方程的根的情况;二是利用方程的根的情况, 确定方程中某一待定系数的取值范围。

练一练

4.当k __ 时, 关于x的一元二次方程x2-6kx+3k2+6=0有两个相等的实数根;

考点五考查一元二次方程的应用

例5汽车产业是我市支柱产业之一, 产量和效益逐年增加。据统计, 2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆, 到2010年, 该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变, 则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆?

分析:根据2008年与2010年的汽车产量, 先求出汽车年产量的年平均增长率, 然后再求2011年的汽车年产量

解:设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x, 由题意得6.4 (1+x) 2=10, 解之, 得x1=0.25, x2=-2.25, ∵x2=-2.25<0, 故舍去, ∴x=0.25=25%, 10× (1+25%) =12.5

答:2011年的年产量为12.5万辆。

点评:此题是一道典型的增长率问题, 主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤。试题以某品牌汽车年产量的年平均增长率为背景, 激发了同学们解决问题的积极性。关于方程的应用一直是中考的热门题型, 请同学们给予重视。

练一练

5.为落实国务院房地产调控政策, 使“居者有其屋”, 某市加快了廉租房的建设力度。2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米, 预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房, 若在这两年内每年投资的增长率相同。

(1) 求每年市政府投资的增长率;

一元二次方程教案篇5

教学内容

2.1一元二次方程

备课教师

申红敏

备课节次

1、知识技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识。

教学目标

2、数学思考：在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。

3、问题解决：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值。4、情感态度：提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

一元二次方程教案4

教学重难点

教学方法

教学准备

重点：一元二次方程的概念

难点：如何把实际问题转化为数学方程

教法：分层教学

学法：自主探究

合作交流

教师活动：一.情景导入

生成问题

1.单项式和多项式统称为整式.

2.含有未知数的等式叫做方程.

情

景

导

入

3.计算：(x+2)2=x2+4x+4;

(x-3)2=x2-6x+9.

4.计算：(5-2x)(8-2x)=4x2-26x+40.

学生活动：学生回顾旧知

设计意图：为新知学习奠定基础。

问题一：自学互研

生成能力

教师活动：先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下合

作

互

助

探

究

新

知

面问题：

1.在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8-2x)m，宽可以表示为(5-2x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(8-

2x)(5-2x)=18.

2.在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢?

答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题得(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2

个性思考

学生活动：自主探究问题，寻求等量关系。

目标达成：C类学生罗列自己的问题;

A类学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式;

B类学生列出相应的方程并整理。设计意图：

问题二：1.问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?

2.问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米?

教师活动：组织学生审清题意后，小组交流。你能设出未知数，列出相应的方程吗?

学生活动：问题1由题意可列方程：(100-2x)(50-2x)=3600;

问题2由题意可列出方程(x+6)2+72=102. 教师活动：你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗?

(1)(100-2x)(50-2x)=3600[来源:Z|x]

(2)(x+6)2+72=102

学生活动：学生讨论

归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.

目标达成：C类学生对于等量关系的发现是难点，但会识别一元二次方程。B类学生能判断方程的特点，A类学生审题、解设、化简做到无障碍。

设计意图：将一元二次方程渗透在实际问题中，教给学生用方程的模式解决问题的能力。

问题三：1、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.

目标达成：问题(1)中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，C类学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。

问题(2)，实际问题，可能有部分学生不能理解题意，B类学生不能很快列出相应的方程，教师要点拨。

设计意图：及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。

教师活动：典例讲解：关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件?[]

分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

解：由mx2-3x=x2-mx+2得到(m-1)x2+(m-3)x-2=0，所以m-1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.

学生活动：对应练习：

1.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，则a分

层

检

测

总

结

反

馈

的取值范围是a≠1.

2.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0，当m满足m=-2时，它是一元一次方程;当m满足m≠-2时，它是一元二次方程.

3.(易错题)已知关于x的方程(m-2)x|m|+3x-4=0是一元二次方程，那么m的值是( C )[来源:学.科.网]

A.2 B.±2 C.-2 D.1

目标达成：要求全体学生会辨析一元二次方程的定义。

设计意图：体会知识的灵活性和掌握知识的深刻性。

必做题：

1.在下列方程中，是一元二次方程的有( A ) ①2x2-1=0;②ax2+bx+c=0;

122③(x+2)(x-3)=x-3;④2x-x=0.

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

2.把方程(x-)(x+)+(2x-1)2=0化成一元二次方程的一般形式为( A ) A. 5x2-4x-4=0

B.x2-5=0

22C. 5x-2x+1=0 D.5x-4x+6=0 选做题：

3.阅读材料，解答问题：

有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长?问题：

2.1认识一元二次方程

一元二次方程：

一元二次方程的实根分布篇6

类型1：x1、x2＜m0

例1.若关于x方程x2－（k+2）x+4＝0有两个不等的负根，求k的取值范围。

例2.若关于x方程x2－（k+2）x+4＝0有两个不等的正根，求实数k的取值范围。

例3.若关于x方程4x2+（m－2）x＋（m－5）=0一正根和一负根，求实数m的取值范围。

解：f（0）＜0，即m＜5

注：我们把类型1~3统称为相对一个数的位置关系。

类型4：若方程ax2+bx+c＝0的两根m1

例4.若关于x方程4x2+（m－2）x＋(m－5)=0的一根小于1，另一根大于2，求实数m的取值范围。

注：它是由类型1、2构成，我们把类型4~5统称为相对两个数的位置关系。

类型6：若方程ax2+bx+c＝0的两根m1

例6.若关于x方程x2－mx－m＋3＝0的一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围。

类型7：若方程ax2+bx+c＝0的两根m1

例7.若关于x的方程x2＋（m＋3）x＋2m＋14＝0的两个根一个在区间（0，1）内，另一个根在（2，3）内，求实数m的取值范围。

注：它也是由类型1、2、3构成，我们把它称为相对四个数的位置关系。

“一元二次方程”测试卷篇7

1. 方程是关于x的一元二次方程,则( ).

2. 用配方法解方程,下列配方正确的是( ).

3. 方程x(x-1)=2的两根为( ).

4. 若关于x的一元二次方程的解是x=1,则2010-a-b的值是( ).

A. 2020 B. 2010 C. 2015 D. 2016

5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ).

6. 已知函数y=kx+b的图像如图所示,则一元二次方程根的存在情况是( ).

A. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 有两个不相等的实数根

D. 无法确定

7. 如图,在ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程的根,则ABCD的周长为( ).

(第 7 题 )

8. 定义:如果一元二次方程满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( ).

二、耐心填一填(每题3分,共30分)

10. 已知x=-1是关于x的方程的一个根,则a=__________.

11. 一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方刚好等于这个两位数, 则这个两位数为__________.

12. 如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7 644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为__________________.

(第 12 题 )

13. 点(α,β)在反比例函数的图像上,其中α,β是方程的两根,则k=__________.

14. 若是一个完全平方式,则k=__________.

15. 若一个三角形的三边长均满足方程,则此三角形的周长为__________.

16. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是__________.

三、专心解一解(共46分)

19.(6分)解方程(每小题3分,共6分)

20.(6分)已知关于x的方程,求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.

21.(8分)等腰三角形的两条边a、b是方程的两根,另一边c的一个根,求k的值.

22.(8分)美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某市近几年来,通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施,使城区绿地面积不断增加(如图所示).

(1)根据图中所提供的信息回答下列问题: 2014年底的绿地面积为__________公顷,比2013年底增加了__________公顷;在2012年,2013年,2014年这三年中,绿地面积最多的是__________年;

(2)为满足城市发展的需要,计划到2016年底使城区绿地面积达到72.6公顷,试求今明两年绿地面积的年平均增长率.

(第 22 题 )

23.(8分)阅读题例,解答下题:

24.(10分)端午节期间,某食品店平均每天可卖出300只粽子,卖出1只粽子的利润是1元.经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获取的利润更多,该店决定把零售单价下降m(0<m<1)元.

(1)零售单价下降m元后,该店平均每天可卖出__________只粽子,利润为__________ 元;

(2)在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使该店每天获取的利润是420元,并且卖出的粽子更多?

参考答案

1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. C 7. A 8. A

9. 24 10. 1或-2 11. 25或36 12.(100-x)(80-x)=7 644 13. -8

14. ±4 15. 6或10或12 16. k>-1且k≠0 17. 5 (-1舍去) 18. 7 (把a、b看作是的两个解)

20. 证明:∵∴原方程有两个不相等的实数根.

21. 提示:易知,c=4,本题分两种情况:(1)当a=b时,;(2)当a=c或b=ck=7.

22.(1)60;4;2014;(2)10%.

23. x=0或x=-2.

第4章一元二次方程篇8

一元二次方程是解答数学问题的重要工具和方法, 在中考试题中也占有相当重要的地位.希望同学们努力学好它, 并且能够学以致用, 在具体的题目中能活学活用.老师从以下三个方面概括阐述, 希望对同学们的学习起到帮助.

一、从问题到方程:紧密联系实际, 通过同学们感兴趣的丰富例子, 引出一元二次方程的定义和其他相关概念, 展现一元二次方程是刻画现实世界的有效数学模型.

二、解决数学问题———解方程, 让你们尝试探索发现解一元二次方程的基本方法———直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法, 从中体会把一元二次方程化为一元一次方程的转化思想.

小心一元二次方程的“陷阱” 篇9

一、利用方程有解的含义设计陷阱

例1若关于x的方程有解,则m的取值范围是( )

A. m < 3 B. m≤3 C. m < 3 且 m≠2 D. m≤3 且 m≠2

剖析: 由于题中对m和方程的次数未作任何规定,因此原题可理解为“一元二次方程有实数根”和一元一次方程有根的两种情况. 当m≠2时,为一元二次方程,得m≠2且m≤3,当m = 2时,为一元一次方程,故选B.

二、利用一元二次方程的概念设陷阱

例2若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )

A. m >3/4B. m≤3/4

C. m >3/4且 m≠2 D. m≥3/4且 m≠2

误解: 由

整理: 4m - 3 > 0,得m >3/4故选A.

剖析: 此种解法错在概念不清,仅在考虑到了判别式应满足的条件,忽略了一元二次方程系数不能为0这个隐含条件。

三、利用同解方程的原理设计陷阱

例3方程式2x( x - 3) = 5( x - 3) 的根是( ) .

A. x =5/2B. x = 3 C. x1= 3 或 x2=5/2D. x = -5/2

误解: 方程两边同除以2( x - 3) 得x =5/2. 故选A.

剖析: 上面的解法错在方程两边同除以2( x - 3) 时,( x - 3) 有可能是0. 违背了等式的基本性质,造成丢根.

“一元二次方程”根的情况篇10

根据b2-4ac的值的符号, 可以确定一元二次方程根的情况.反过来, 也可由一元二次方程根的情况来确定b2-4ac的值的符号.即有:

例1关于x的一元二次方程 (m-1) x2+2mx+m+2=0有两个不等的实数根, 求m的取值范围.

变式一关于x的方程 (m-1) x2+2mx+m+2=0有两个实数根, 求m的取值范围.

【解析】有两个实数根, 就说明此方程是一元二次方程, 则有

变式二关于x的方程 (a-5) x2-4x-1=0有实数根, 求a的取值范围.

【分析】题目只讲有实数根, 有可能有一个实数根, 此时方程为一元一次方程;也有可能有两个实数根, 此时方程为一元二次方程.因此, 本题应分两种情况解答.

解:关于x的方程 (a-5) x2-4x-1=0有实数根,

(1) 若此方程为一元一次方程, 则a-5=0, a=5;

综上所述, a的取值范围为a≥1.

例2已知关于x的方程x2-2 (k+1) x+4k=0.

(1) 求证:无论k取何值时方程总有实数根;

(2) 若等腰△ABC的一边长a=4, 另两边b、c的长恰好是方程x2-2 (k+1) x+4k=0的两个根.求△ABC的周长.

【分析】 (1) 要证明无论k取何值时方程总有实数根, 只要证明b2-4ac≥0即可.

(2) 因为△ABC是等腰三角形, 有可能a=b=4, 即方程x2-2 (k+1) x+4k=0有一根为4, 将x=4代入方程求出k的值, 再通过解方程, 求出方程的两个根;有可能b=c, 说明此方程有两个相等的实根, 即b2-4ac=0, 这样可求出k的值, 再通过解方程, 求出方程的根.需要注意的是两种情况都要考虑两边之和是否大于第三边.

解: (1) ∵b2-4ac=4 (k+1) 2-4·4k=4k2-8k+4=4 (k-1) 2≥0,

∴无论k取何值时方程总有实数根.

(2) ∵△ABC是等腰三角形, a=4, ∴分两种情况讨论:

(1) 若a=b=4, 则16-8 (k+1) +4k=0, 解得k=2, ∴x2-6x+8=0, 解得x1=4, x2=2.

∴a=b=4, c=2, 此时b+c>a, ∴△ABC的周长=4+4+2=10;

(2) 若b=c, ∴方程x2-2 (k+1) x+4k=0有两个相等的实根, ∴b2-4ac=4 (k-1) 2=0, ∴k=1, ∴x2-4x+4=0, 解得x1=x2=2, ∴a=4, b=c=2, 此时b+c=a, 不符合题意, 舍去.

生活中的一元二次方程篇11

一、传播问题

例1 甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感.（1）平均每天一个人传染了几人？（2）如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？

【分析】假设平均每天一个人传染x人，如果前一天只有1个人感染，1天后感染总人数上升为（x+1）人；前一天2个人感染，1天后感染总人数上升为（x+1）+（x+1）=2（x+1）人；前一天有a个人感染，1天后感染总人数上升为a（x+1）人；若前一天（x+1）个人感染，1天后感染总人数上升为（x+1）（x+1）=（x+1）2人.对于例1，1天后感染的总人数是（x+1）人，再过一天后感染总人数上升为（x+1）2人，即两天后的感染总人数；又过一天感染总人数上升为（x+1）3人，即三天后的感染总人数……；再过5天即7天后的感染总人数为（x+1）7人.

解：（1）设平均每天一个人传染了x人，

由题意得：（x+1）2=9，

解这个方程，得：

x1=2，x2=-4（x2=-4不合题意，舍去）.

（2）（x+1）7=37=2 187（人）.

答：（1）每天平均一个人传染了2人；（2）再经过5天的传染后，这个地区一共将会有2187人患甲型H1N1流感.（可见传播力量的强大）

练练身手1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

二、增长率问题

例2 （2015·甘肃兰州）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停.已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）.

A. （x+1）2=11/10B. （x+1）2=10/9

C. 1+2x=11/10D. 1+2x=10/9

【分析】本题的难点是跌停前的单价未知，而且单价经历了跌停，连续两次增长共三个阶段.我们可以假设跌停前的单价为单位1，则跌停后单价为9/10，即第一个阶段后的结果；增长1天后的单价为增长前的（x+1）倍，为9/10（1+x），即第二个阶段后的总结果；增长2天后是1天后的（x+1）倍，为9/10（x+1）2，即第三个阶段后的总结果.因此可得方程：9/10（x+1）2=1，方程两边同乘10/9得：（x+1）2=10/9.所以选B.

【点评】无论是流感传播问题还是增长率的问题，都可以理解为每过一天，数量将是前一天的（1+x）倍，若原始数量是a，则一天后总数量是a（1+x），两天后总数量是a（1+x）2，三天后总数量是a（1+x）3，……，n天后总数量是a（1+x）n，用乘积的形式表示若干天后的数量比用和的形式要简洁很多.

三、利润问题

例3 百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8 000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？

【分析】上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5 000元，无法完成利润8 000元的目标，所以只有改变单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润8 000元的任务.设商品单价为（50+x）元，则每个商品得利润[（50+x）-40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为（500-10x）个，根据每件商品的利润×件数=8 000，则应用（500-10x）·[（50+x）-40]=8 000.

解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x）元，销售量为（500-10x）个，由题意得：（500-10x）·[（50+x）-40]=8 000，

整理得：x2-40x+300=0，

解得：x1=10，x2=30.

经检验x1=10，x2=30都符合题意.

当x=10时，50+x=60，500-10x=400；

当x=30时，50+x=80，500-10x=200.

答：要想赚8 000元，售价为60元或80元.若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.

四、面积问题

例4 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖4条和2条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9 600 m2，那么水渠应挖多宽？

【分析】这类问题的特点是，挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关. 为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边），如图（2）所示.那么剩余可耕的长方形土地的长为（162-2x） m，宽为（64-4x） m；

解：设水渠的宽为x m，由题意得：

（162-2x）（64-4x）=9 600，

解得：x1=1，x2=96（x2=96不合题意，舍去）.

答：水渠的宽为1 m.

练练身手2 （2015·四川自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地.求矩形的长和宽.

参考答案

练练身手1：

解：设每个支干长出x个小分支，则主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x2，由题意得：1+x+x2=91，

解得：x1=-10，x2=9（x1=-10不合题意，舍去）.

答：每个支干长出9个小分支.

【点评】本体是传播类的问题，但与例1甲型H1N1流感病毒的传播问题也有些许差别，流感传播者第一天传染后，第二天第三天还继续参与传播；而支干传播问题，主干传播给支干后，主干就不参与继续传播，只由支干来传播给小分支.

练练身手2：

解：设垂直于墙的一边为x米，由题意得：x（58-2x）=200，解得：x1=25，x2=4.

经检验x1=25，x2=4都符合题意.

∴另一边长为8米或50米.

答：当矩形的长为25米时宽为8米，当矩形的长为50米时宽为4米.

一元二次方程常见错误归纳篇12

一、一元二次方程的定义不熟导致错误

例1关于x的方程mx2 - 5x = 2x2 - mx + 3是一元二次方程的条件是什么?

错解m≠0时, 原方程是一元二次方程.

分析这种题型直接就是对一元二次方程的定义的考查, 学生们必须要清楚地知道一元二次方程的定义, 如二次项系数不能为0, 最高次项的系数必须要是2. 在上述解答中, m≠0, 学生只是很片面地把“二次项系数不能为0”代入到原方程中, 这样就导致了错误的出现. 在这里, 学生还忽略掉了一个非常重要的条件, 没有深入彻底地理解好一元二次方程的定义, “二次项系数不能为0”还有一个前提条件, 就是方程是一般形式ax2+ bx + c = 0时 , 此时a≠0, 因此 , 原方程要先化成一般形式, 再令二次项系数不为0即可.

正确解答原方程整理得: (m - 2) x2 + (m - 5) x - 3 = 0, 令m - 2≠0, 即m≠2, 此时mx2- 5x = 2x2- mx + 3是一元二次方程.

二、忽略了方程无解的情况导致错误

例2若方程3x2 + (a2 + 3a - 10) x + 3a = 0的两根互为相反数, 此时a的取值是多少?

分析这道题目中解题的方向是没有错的, 根据两根互为相反数的条件, 可以用韦达定理表示出来, 解得a1= 2, a2=-5, 但必须要注意的是 , 这两者之间并不是充要条件 , 当a1=2, 或a2= -5时 , 要考虑到方程是否有意义 , 也就是方程中的Δ是否会小于0. 也可以在求a的值时充分考虑到另外一个条件, 如得到不等式的公共解. 在本题中, 要让方程有意义, Δ > 0, 而x1x2< 0即可推出Δ > 0.

此题中也可以把原来解得的a1= 2, a2= -5代入到原方程中, 检查方程是否有意义, 把不符合条件的a的值舍去.

三、漏解导致错误

例3如果实数a, b满足 (a + 1) 2 = 3 - 3 (a + 1) , (b + 1) 2 =3- 3 (b + 1) , 那么b/a+a/b的值为多少?

错解由已知可得, a, b是关于x的方程 (a + 1) 2 = 3 3 (a + 1) 的两根, 整理方程得x2 + 5x + 1 = 0, 所以a + b = -5, ab =1,

正确解答当a≠b时,

分析虽然已知显示a, b是原方程的根, 但并没有具体说明a与b之间的关系, a可能等于b, 也可能不相等. 因此, 要分两种情况来说明和讨论. 但学生们常常会忽略这一点, 很容易就导致错误.

四、忽视隐含条件导致错误

例4若关于x的方程有两个不相等的实数根, 求k的取值范围.

错解由已知可得:

分析上述解法中, 思路还是比较明确的, 就是通过方程的两根的情况确定Δ的范围, 然后解不等式组. 在解答的过程中对隐含的条件却没有考虑齐全, 虽然留意到了1 - 2k≠0, 但却忽略了根号内被开方数的范围 , k + 1≥0.

正确解答1≤k < 2, 且k≠1/2.

总的来说, 一元二次方程所涉及的题型比较多样, 但难度也不是特别大, 大部分学生的解题思路还是比较清晰的, 关键就是一些细节方面处理得不好, 这也是常见的丢分点, 只要在平时的学习中养成谨慎细心的良好学习习惯, 并强化对相关知识的掌握, 一定可以顺利地解一元二次方程的相关题目.

摘要：一元二次方程是初中数学的一个重点内容, 与一元二次方程相关联的知识还有二次函数.因此, 要深入地掌握好这一知识点, 才能在相关知识的学习过程中更加轻松自如.一元二次方程的学习除了基本的知识点和基本技能外, 更重要的是对一元二次方程的应用.在考试中, 一元二次方程的考查也是相当灵活的, 题型非常丰富, 如果学生们对相关的知识点掌握不牢固的话, 则很容易陷入错误的境地.

关键词：初中数学,习题教学,错误归纳,一元二次方程,解题技巧

参考文献

[1]卢霞.重视一元二次方程解法中的数学思想.文理导航, 2013 (23) .

[2]姚小琴.浅议一元二次方程的教法.都市家教:上半月, 2013 (8) .

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