实际问题与一元二次方程教案

实际问题与一元二次方程教案（精选8篇）

实际问题与一元二次方程教案 篇1

教学过程

〖活动1〗 问题 通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？ 教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充.在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生对列方程解应用问题的步骤 是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题.（活动1为学生创设了一个回忆、思考的情景，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫）.〖活动2〗 问题 要设计一本书的封面，封面长27cm ,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）.（1）本题中有哪些数量关系？

（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数？（4）列方程并得出结论.（5）反思解决问题的关键是什么？

教师展示课件，教师提出问题（1）学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系.教师提出问题（2）学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9︰7.问题（1）（2）都是帮助学生更好的理解题意，为后面的解题做以铺垫.教师提出问题（3）学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.问题（3）是活动2的中心环节，在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）学生回答问题时的语言表达是否准确.学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性.为活动3埋下一个伏笔.教师提出问题（4）学生分组，分别按问题三中所列的方程来解答，选代表展示解答过程.教师提出问题（5）学生充分的讨论，丰富解题经验.〖活动3〗某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.教师展示课件，请一位同学朗读题目.教师提出问题，学生回答方案1，学生通过探究与讨论，活跃了解题思路.教师提出方案（2）学生思考.因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题即可，如有不完全的地方，教师适当补充.教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去2条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理.活动2是针对活动2的巩固性练习.《思考》：能不能把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些？ 学生分组讨论，教师指导.引领学生 讨论后请一位同学回答.教师引领学生发现两个图形都存重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为4块，所以不容易表示.《思考》是活动3的中心环节，以图形对比的问题为 引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生方案1为模型，构建草坪问题的解题思路.学生分组讨论，画图，上台演示.教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则.在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生的学习效果；（2）使学生充分体会图形变换的灵活性；（3）学生对图形的观察、联想能力；（4）教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则.在学生充分的思维活动之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评.〖活动4〗 问题 通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？

〖活动5〗当堂测试

布置作业： 教科书53页，习题21.3第5、8题;教科书58页，复习题21第7、10题，教师应重点关注：

实际问题与一元二次方程教案 篇2

一、一元一次方程的主要类型和基本过程

在七年级数学教学中,一元一次方程主要是这种类型: 未知数是一个的一元一次方程,比方说,如果未知数是x,则一元一次方程的形式就是ax+ b = c,在这个方程中,a不能为零,b和c为有理数。同理,如果未知数是y,或者其他的未知数,则一元一次方程就ay + b = c,或者用其它的数去代替,同样的道理,a不能是零,b和c可以是任意的有理数。

一元一次方程的基本过程为: 先设未知数,再根据等量关系去列方程式,第三步解方程,其中未知数的系数要简化为1。那么,在解决实际问题的过程中如何运用一元一次方程呢? 其基本的过程也是相同的。首先根据实际问题先设未知数,在根据实际问题中的等量关系列好方程,解方程,并在最后要检验方程的结果。

一元一次方程运用到实际问题中,主要体现在以下几个方面: ( 1) 运用一元一次方程如何解决增长率的问题; ( 2) 解决个人所得税的计算问题;( 3) 运用方程接受税费的计算问题; ( 4) 运用方程去解决路程的问题。

二、运用一元一次方程解决实际问题应注意的问题

一元一次方程的解析主要体现在实际的运用中,只有在实际操作中才能体现一元一次方程的价值,在具体的方程运用中,应注意以下几点:

( 1) 如果方程的两边有同类项,先要移项,这是解方程的第一步,并且在移项的过程中要注意符号的变化; ( 2) 如果方程的左右有括号的话,要先去括号,在去括号时要注意相应的规则; ( 3) 如果方程中两边系数是分数,要首先去掉分母,化成整数后再计算; ( 4) 如果方程的一边有同类项,首先要合并; ( 5) 方程中未知数的系数要化为1。下面具体举一些例子来论证。

例如,通过一元一次方程来计算水费的问题。例1: 当前,我国大部分城市水资源非常匮乏,国家倡导要节约用水,减少水资源的浪费,为此许多城市规定了水费的使用标准,其中某一城市规定每一用户每个月的用水量,如果不超过标准量按没立方米2. 5元收取费用,超过了规定的标准量将按照每平方米5元去收费。大亮全家五月份的用水量为9立方米,交水费35元。此题问该城市规定的每一用户的标准用水量是多少?

具体解析: 由于2. 5×9 = 22. 5 < 35,所以,9立方米已经超出了该市每户用水的标准量。其等量关系是: 总费用 = 标准用水费用 + 超出的用水量费用

解: 设每一用户的用水标准量为x立方米。因为2. 5×9 = 22. 5 < 35,因此,大亮家用水量超出了该市的标准用水量,根据题意可以得出:

2. 5x + 5( 9—x) = 35

首先去括号,得出: 2. 5x + 45—5x = 35

再移项,得出: 2. 5x—5x = 35—45

第三步,合并同类项,得出: —2. 5 = —10

最后,将系数化为1,得出: x = 4

答: 该城市中制定的每一用户的标准用水量是4m 3。

例2: 运用一元一次方程解决路程的问题。

王五和李三二人分别从王庄和李庄两地相向而行,已知王庄和李庄相距158千米。王五从王庄先30分钟出行,后来李三也从李庄出发,李三每小时比王五多走6千米,一个小时以后王五和李三相遇。问王五和李三分别走的路程为总路程的多少?

具体解析: 由题干中可知试题中总路程是不变的,因此具体关系为: 总路程 = 王五走的路程 + 李三走的路程

解: 假设王五每小时走x千米,那么李三每小时走( x + 6) 千米,根据题干可以列出方程:

30 /60x + ( x + x + 6) × 1 = 158

首先,去分母,得出: 30x + 60( 2x + 6) = 158×60

再去掉括号,得出: 30x + 120x + 6×60 = 158×60

第三步是移项,得出: 30x + 120x = 158×60 - 6×60

最后,合并同类项,得到: 150x = 9120

这时可以得出结论: x = 60. 8

最终,可以通过计算的方式,得出王五和李三分别走的路程是总路程的几分之几。

另外,一元一次方程通过转化也可变为一次函数,例如,在方程ax + b= c中,b和c是有理数,并且a不可以是零。如果将a看成q的时候,x当成自变量x、c当成因变量y的时候,一元一次方程ax + b = c变成了一次函数y = qx + b,在这种情况下用一次函数也可解决实际的应用题。

同理,一元一次方程也可以变为二元一次方程。例如,当把方程ax + b= c( a不能为零) 中的b看作另一未知数的时候,比方说e、f、g、h等其中的一个数时,ax + b = c就可以变ax + e = c、ax + f = c、ax + g = c、ax + h = c( 这些方程中a和c可以不取同一个值且是任意的有理数) 等。当同样的实际应用题中由存在一个不确定值变为两个时,这时就可以把原来的一元一次方程转化为二元一次方程解决有关问题。

还可以用同样的方法,将一元一次方程转化为三元一次方程。例如,如果把一元一次方程ax + b = c中的b当作是e、f、g、h,这时任何两个未知数相组合时,ax + b = c就可以转化为ax + e + f = c、ax + f + g = c、ax + g + h =c等。如果同样的实际应用题中由存在一个不确定值变成三个的时候就可以把一元一次方程转化为三元一次方程去解决有关问题。同样的道理,在应用一元一次方程解决实际问题时,可以转化为N元一次方程,从而一次类推,去解决实际问题。

总之,用一元一次方程去解决实际问题是数学教学的关键,广大数学教师要将一元一次方程作为数学教学中的重点内容去对待,主要是在教学中引导学生学会归纳和总结,提高学生用方程解决实际问题的能力,对于提高学生的数学能力具有重要的意义。

摘要：在七年级数学教材中,实际问题与一元一次方程是数学教学非常重要的内容,其贯穿于数学教材的重要章节,在教学中通过归纳一元一次方程的解题思路和解题方法,不但可以提高学生解决实际问题的能力,也有利于教师有效开展数学课堂教学,提高学生的数学能力。本文从几个方面详细介绍了学生运用一元一次方程解决实际问题的思路和方法,对于学生掌握数学教学内容的重点,提高学生解决实际问题的水平具有重要的指导意义。

方程与实际问题 篇3

另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设

小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的

平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分

钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）.

A. 3x+5y=1200x+y=16 B. x+y=1.2x+y=16

C. 3x+5y=1.2x+y=16 D.x+y=1200x+y=16

2. 雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌

到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时

从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相

遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客

车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，

则下列方程组正确的是（ ）.

A.x+y=702.5x+2.5y=420 B.x-y=702.5x+2.5y=420

C.x+y=702.5x-2.5y=420 D. 2.5x+2.5y=4202.5x-2.5y=70

3. “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再

打8折（标价的80%）销售，售价为2 080元.设该

电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确

的是（ ）.

A. x（1+30%）×80%=2 080 B. x×30%×80%=2 080

C. 2 080×30%×80%=x D. x×30%=2 080×80%

4. 铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路

的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并

且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵，则

树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用

完.设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的

是（ ）.

A. 5（x+21-1）=6（x-1） B. 5（x+21）=6（x-1）

C. 5（x+21-1）=6x D. 5（x+21）=6x

5. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格

为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，

下面列出的方程正确的是（ ）.

A. 100（1+x）=121 B. 100（1-x）=121

C. 100（1+x）2=121 D. 100（1-x）2=121

6. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，

对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为

256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列

方程正确的是（ ）.

A. 289（1-x2）=256 B. 256（1-x）2=289

C. 289（1-2x）=256 D. 289（1-x）2=256

7. 运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，

其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，

甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕单价是甲种

雪糕单价的1.5倍，若设甲种雪糕的单价为x元，

根据题意可列方程为（ ）.

8. 为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某

路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲队单独完

成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这

项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，

可比规定时间提前14天完成任务.若设规定的时间

为x天，由题意列出的方程是（ ）.

9. 顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆

的人数是到怀集的人数的2倍少1人，到两地旅游的

人数各是多少人？

10. 某部队要进行一次急行军训练，路程为32千米.大部

队先行，出发1小时后，由特种兵组成的突击小队

才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地.已

知突击小队的行进速度是大部队的1.5倍，求大部

队的行进速度？

11. 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备

做萝卜排骨汤.

妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重

量的这两样菜只要36元.”

爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价

上涨20%.”

小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨

的单价分别是多少？”

请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价

（单位：元/斤）.

12. 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资

者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满

后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，

投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年

可以获得的租金为商铺标价的10%.

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺

款，2年后每年可以获得的租金为商铺标

价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理

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费用.

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得

的投资收益率更高？（注：投资收益率=

×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选

择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益

将相差5万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？13. 如图1，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相

连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原

料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.

已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为

1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输

费15 000元，铁路运输费97 200元.

求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往

B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料

费与运输费的和多多少元？

14. 如图2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌

三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可

利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，

试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.

15. 某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情

见下表）.

设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正

整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：

（1）用含有t的式子填写下表：

（2）当t为何值时，两种计费方式的费用相等；

（3）当330

钱（直接写出结果即可）.

16. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范

围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅

售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售

1部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部.月

底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在

10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10

部以上，每部返利1万元.

（1）若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价

为 万元；

（2）如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划

当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？

（盈利=销售利润+返利）

实际问题与方程例5教案 篇4

（五）相遇问题

教学目标：

1结合具体事例，学生自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题。2根据相遇问题中的等量关系列方程并解答，感受解题方法的多样化。

3.体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。教学重点：

正确寻找数量间的等量关系式。教育难点：

创设情境提高学生的学习兴趣，并利用画线段图的方法帮助学生分析理解等量关系。教学过程：

一、引入目标

复习：一辆小汽车每小时行80千米,4小时能行多少千米? 列式:80×4=320(千米)关系式: 速度×时间=路程

同学们，我们已经知道了用方程可以解决问题。那么想要用方程来解决问题你觉得我们通常要做些什么？（找等量关系）今天我们将继续学习稍复杂一点的实际问题与方程。这节课的学习目标是：

1结合具体事例，学生自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题。2根据相遇问题中的等量关系列方程并解答，感受解题方法的多样化。

3.体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。（齐读教学目标）

二、自主探究

出示例5：小林和小云家相距4.5km，小林的骑车速度是每分钟250m，小云的骑车速度是每分钟200m。周日早上9:00两人分别从家里骑自行车相向而行。问题：两人何时相遇？（从图上你获得了哪些数学信息？问题是什么？）你还有什么发现？单位不统一，需统一单位。

你是怎么理解“相距”“相向而行”“相遇”含义？我们请两个学生来讲台上演示一下。（指名表演）提问：小林和小云所行驶的时间有什么关系？（时间相同）

三、合作交流

我们现在小组合作，用自己的方法找出等量关系 你能用线段图把这道题的意思表示出来吗？ 小组合作要求：

1.以小组为单位在练习本上用线段图表示

2.借助线段图，找出等量关系。

3.推选出一名代表展示、交流。小组交流汇报

小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程

小林的速度×相遇时间+小云的速度×相遇时间=总路程 小组汇报：我们先用一条线段表示全程，小林与小云分别从相对的方向出发，经过一段时间后相遇，也就是行完了全程。（生指出练习本上小组合作画的线段图）于是我们得出：小林骑的路程+小云骑的路程=总路程，小林骑的路程=小林的速度×时间，小云骑的路程=小云的速度×时间，你会用方程解决这个问题吗？用方程解决问题首选该怎么解设呢？（抽生回答）你能根据这个等量关系，列方程来解决这个问题吗？（抽生列方程）在用方程解决问题，该怎样解设呢？ 解：设两人x分钟后相遇。250m=0.25km

200m=0.2km

0.25x＋0.2x＝4.5 抽答：

1.你能看懂他是怎么想的吗？

2.你能结合图说说每一步表示什么意思吗？ 会解这个方程吗？独立完成在练习本上 还有没有其他的方法呢？

（两人每分钟骑的路程和）×相遇时间＝总路程 解：设两人x分钟后相遇。（0.25＋0.2）x＝4.5 一共有几个这样1分钟骑的路程和？

会解这个方程吗？独立完成在练习本上。回顾反思：我们是怎么解决这个问题的？

四、拓展运用

1.两地间的路程是455km。甲、乙两汽车同时从两地开出，相向而行，经过3.5小时相遇。甲车每小时行68km，乙车每小时行多少千米？ 自己读题，找出已知条件和所求问题？ 用方程如何解决这个问题？自己试着做一做。解：设乙车每小时行x千米。

68×3.5+3.5x=455

238+3.5x=455 238+3.5x-238=455-238 3.5x=217 3.5x÷3.5=217÷3.5 X=62 你能读懂他的想法吗？从题目中找到了怎样的等量关系？

2.两列火车从相距570km的两地同时相向开出。甲车每小时行110km，乙车没小时行80km。经过几个小时两车相遇？

自己读题，找出已知条件和所求问题？ 用方程如何解决这个问题？自己试着做一做。

解：设经过x小时两车相遇。（110+80）×x=570 190x=570

190x÷190=570÷190

X=3 答：经过3小时两车相遇。

2.两个工程队同时开凿一条675m长的隧道，各从一端相向施工，25天打通。甲队每天开凿12.6m，乙队每天开凿多少米？ 自己读题，找出已知条件和所求问题？ 用方程如何解决这个问题？自己试着做一做。解：设乙队每天开凿x米。（12.6＋x）×25＝675 你能读懂他的想法吗？从题目中找到了怎样的等量关系？

课堂小结

今天，我们学习的列方程解决问题比较复杂了。在列方程之前，大家用什么方法来帮助思考和分析呢?（通过画线段图可以清楚地看出数量之间相等的关系，这样很容易找到等量关系式，从而正确列出方程。）通过今天的学习你有什么收获？

板书设计：

实际问题与方程(5)小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程 解：设两人x 分钟后相遇。

方法一：0.25x +0.2x =4.5

方法二：(0.25+0.2)x =4.5

0.45x =4.5

0.45x =4.5

0.45x ÷0.45=4.5÷0.45 0.45x ÷0.45=4.5÷0.45

x =10

实际问题与一元二次方程教案 篇5

1.使学生认识到，画图或列表等方式能帮助我们正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组.2.学会从不同角度寻求解决问题的途径，设计方案，培养学生的数学建模能力.3.在解决问题的过程中，提高运算技能，渗透应用意识，体会方程组是解决实际问题的有效工具.【教学重点与难点】

教学重点：正确理解题目中关键语句的含义，找出等量关系，列二元一次方程组 教学难点：设辅助未知量，用式子正确表示题目中的等量关系

【教学方法】

通过创设情境，将复杂的问题适当分解，用问题引导学生积极思考、努力探索.教学过程实际上就是系列问题探究、解决的过程，学生在教师指导下以问题解决为中心，通过自主探索、合作交流完成各项教学任务，在探索中获得新知，发展能力.【教学过程】

一、创设情境 提出问题

（设计说明：由于探究2种的问题学生较陌生，并且难度较大，所以先设计一个较简单的题目作铺垫，一方面让学生熟悉常用的数量关系，另一方面熟悉列方程解应用题的一般步骤，同时分散探究2的难点.）

热身练习：甲、乙两种作物的单位面积产量的比是2:3，现有一块面积17公顷的土地，要在这块土地上种植这两种作物，且使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4，甲、乙两种作物的种植面积分别是多少?

2a，种植面积为x公顷，乙种作物的单位面积产量为3a，种植面积分别为y公顷，根据题意得

x＋y=17 2ax:3ay=3:4 解得 x=9 y=8 答：甲、乙两种作物的种植面积分别是9公顷，8公顷

（教学说明：教师提出问题，学生尝试解答，两名学生板演，结合板演订正，提醒学生注意准确理解关键词语“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是2：3”“甲、乙两种作物的总产量的比是3：4”的含义．）

二、探索新知 解决问题 教材106页探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:1.5，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4(结果取整数)? 问题1：动手画一画，可能有哪些划分方案?分割线的位置有哪些条件决定?（设计说明：引导学生用画图的方式探寻解题思路，使学生先从总体上明确要做什么，然后考虑怎样做的问题.）

多角度分析问题，多策略解决问题，提高思维的发散性。学生通过动手操作、动脑思考、讨论交流，初步明确了以下问题

(1)有两种方法分割长方形

（2）分割线的位置要通过计算确定．

（教学说明：教师提出问题，让学生讨论交流，在此过程中可以逐步理解题意，找到解决问题的方法）

问题2 利用第一种分割方法，如何解这个应用题?（设计说明：在学生完成热身练习的基础上，结合图形就能顺利列出方程，之所以要求学生写出规范的解答过程，是因为找到思路只是完成了第一步，能否彻底解决问题还需要计算、表达等多方面的能力，所以务必在这个环节上对学生严格要求.）

提示：将本题与准备题比较一下，有哪些方面可以借鉴?如何表示分割后两块地的面积? 分析：甲、乙两种作物的单位面积产量的分别为a,1.5a 若按如图所示的方案种植，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，则甲、乙两种作物的种植面积分别是100xm2,100ym2 甲、乙两种作物的产量分别是100ax,100y×1.5a, 根据题意，列方程组为 x＋y=200 100ax:100y×1.5a=3:4 解：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据题意得

＋y=200 100ax:100y×1.5a=3:4 整理得 x＋y=200 8x=9y 解这个方程组得

于是可得如下分割方案：过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分

为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

（教学说明：学生在明确思路的基础上写出解答过程，请一名同学板演，教师对有困难的学生进行指导.学生做完之后先相互交流，教师结合板书简要点评，学生及时订正）

问题3 利用第二种分割方法，如何解这个应用题?（设计说明：学生仿照第一种方法写出解答过程，一方面可以检验学习效果如何，另一方面可以让学生进一步体会方法的重要性，将举一反三落到实处）

解：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形EFCD和ABFE 设DE =xm, AE = ym, 根据题意得

＋y=100 200ax:200y×1.5a=3:4 解得 x≈53 y≈47

于是可得第二种分割方案：过长方形土地的短边上离一端约53 m处，把这块地分

为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

三、巩固训练 熟练技能

（设计说明：通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深角的认识，形成初步技能。）

1.（2008年义乌市）已知数分别为、、互余，比

大

.设、的度，下列方程组中符合题意的是

A． B． C． D．

2.A． B． C． D．

（2008浙江省台州市）四川512大地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么下面列出的方程组中正确的是（）

A． B．

． D．

（教学说明：从不同角度设计练习，巩固学生所学）

四、课堂小结

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

问题1：本节课你学习了什么? 问题2：本节课你有哪些收获? 问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）

1．本节主要学习用画图的方法分析数量关系，通过列二元一次方程组设计方案.2．主要用到的思想方法是方程思想：将实际问题转化成二元一次方程组解决 3．注意的问题:（１）认真审题，准确理解关键语句的含义.（２）解出方程组时要选择适当的方法，提高运算速度、准确度..（３）从多角度寻求解决问题的途径.五、布置作业

1.必做题： 课本108页习题1（2），1，4，7 2.选做题：课本118页复习题 5，7（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题主要训练度、分、秒的换算问题）【反思】

实际问题与一元二次方程教案 篇6

一、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？

二、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？

实际问题与一元二次方程教案 篇7

一、数学知识应用于实际问题解决的影响因素

认知心理学家和数学心理学家对应用型数学问题解决的影响因素进行了研究。他们认为解决问题的关键是问题的表征, 而表征最重要的是进行问题类型判别。根据认知心理学的研究, 影响问题解决的因素有:

1. 实际问题的表述方式

认知心理学认为, 理解问题模型是把问题中的文字或其他方式的表述翻译成读者的内部表征, 这是一个信息转换的过程。因此, 文字或图形等表述方式会对问题解决产生影响。教学中, 表现为同一个问题采用不同的文字表述, 学生的理解程度不一样。这就是说, 通过“审题”能否弄清题目意思不仅仅取决于学生能力, 同时也取决于问题的文字表达。对于数学应用问题而言, 这将直接影响学生对实际问题的认知。

2. 问题图式与问题表征

图式是用以表征客观事物及其关系的某种知识或心理结构、组织、框架。图式的功能是信息选择和整合, 就数学应用题而言, 其影响体现在问题归类、问题表征及问题转化中。图式将对问题的表征进行整合, 形成完整的表征。在这个过程中, 若原有图式能完全表征实际问题, 则图式保持不变, 否则便产生认知冲突。通俗地说, 学生的问题图式就是以前解决问题的方式方法, 通常是教师判定学生基础好不好的依据之一。数学家雅诺夫斯卡娅的名言:“解题最终就是归结为已经解决过的问题。”是对图式在问题解决中作用的最好诠释。

3. 问题解决策略

问题解决策略指的是, 能使问题产生某些变化并由此提供一定信息的处理、试验或探索。学生的问题解决策略及其选择是影响问题解决的重要因素, 其解决效率往往与问题类型与策略的对应关系有关, 其选择则与学生的知识经验及认知风格有关。

4. 问题解决的监控

问题解决的监控属于元认知的内容。元认知在数学实际应用问题解决中是动态的, 起辅助决策作用:对反馈的价值判断决定着是否改变问题表征或解题策略, 判定问题是否超过自己能力, 以及能力不及的情况下放弃还是求助等一系列问题。此外, 个人的知识背景、非智力因素对数学应用题的解决也有很大影响, 因篇幅关系, 这些因素本文不作探讨。

二、教学思考

根据影响问题解决的相关因素, 笔者谈谈对一元二次方程解决实际问题的教学看法。为便于说明, 以行程问题为例:甲、乙两地相距8000米, 张三、李四两人同时分别从甲、乙两地出发相向而行。张三的速度为每小时5千米, 李四在遇到张三后又走了20分钟才到达乙地, 求两人从出发到相遇所用的时间。

1. 根据学生的思维特点, 教会学生合理运用自己的语言表述问题

一元二次方程及其应用是初三年级的学习内容。初三学生形式逻辑思维、辩证逻辑思维、创造性思维均已得到一定发展, 但存在差异性。其他思维形式如, 动作思维、形象思维仍在他们的思维中发挥一定的作用。根据这些特点, 教学时采用学生自己阅读问题、教师启发阅读问题和借助多种思维方式阅读问题等, 以达成对实际问题的内化。由于思维发展的个体差异性, 教师要照顾不同程度的学生, 允许他们用自己的方式表述问题。

2. 利用典型例题帮助学生获得新图式, 利用变式帮助学生巩固图式

图式在数学应用题方面的一个重要作用就是对问题进行分类解决。这就要求教学中对各类问题的典型形式进行恰当地教学, 以帮助学生建立新图式。一元二次方程用于解决实际生活, 是教学面向生活的体现, 其应用相当广泛。不仅有学生熟悉的行程问题、工程问题、比率问题、浓度问题, 以及在几何、物理学中的应用。如上述问题, 学生很容易识别出是行程问题, 图式识别后自然会联系到时间、路程与速度的关系。但很快会发现与一般的行程问题不同, 这就涉及问题表征的变式。若学生发现有多重时间、路程与速度的关系, 则新图式可慢慢建立。

3. 教学中进行问题解决策略的训练

通用的问题解决策略一般有算法策略和启发式策略, 启发式策略又可分为手段目的分析法、逆向反推法、爬山法和类比法。此外还有尝试错误法、整体策略等。各种策略在一元二次方程应用题求解上有自己的表现形式。如, 算法策略一般是有明确程序的, 在一元二次方程应用题解题时可表现为一般的解题步骤, 如审题—假设—列出方程—解方程—答。策略的训练方面, 一般可以用技能教学的方式进行训练, 形成思维习惯。各种算法可以单独使用, 也可以结合使用。此时教师可以引导学生进行一题多解尝试, 这样不但开阔了思路, 也避免了策略过于单一的问题。教学中还可让学生进行探索, 如, 用整体策略+逆向反推法或单独运用手段目的分析法。策略的学习和探索有一定难度, 教师要做好引导工作。解题策略可以通过教师开设专门的策略训练课。

4. 培养学生解决问题时的监控习惯

监控问题解决过程是动态的元认知, 是对认知活动的反映和调节, 目的在于提高问题解决的有效性和效率。如, 在尝试错误策略解决问题时, 对错误的监控;在整体策略时对哪些细节该省略的认知监控。课堂教学中培养学生的认知监控习惯可以采用自我提问法, 通过学生自我观察、自我监控、自我评价的不断训练, 养成监控习惯。也可通过相互提问法, 以小组教学的形式进行训练。教师应该进行必要的元认知知识的教学, 让学生认识到形成监控习惯的重要性, 从而主动训练, 运用认知监控。如上述行程问题中, 可以让学生练习提问:20分钟是谁走的时间?8000米这个条件有什么用?是谁走了8000米等。通过自我提问这种出声的思维方式, 培养学生自我监控的习惯。

三、小结

一元二次方程及其在解决实际问题中的应用是初中数学的重要内容, 在解决实际问题中体现了数学教学生活化的倾向。在教学中, 要充分体现学生的主体性, 重视个别差异。通过实际问题转化为一元二次函数的教学, 从问题表征、图式、策略和监控等方面培养学生的能力。

参考文献

[1]范宏业.基于图式理论的一元二次方程应用题教学研究[D].华东师范大学, 2006:14/15.

[2]苑建广.信息转化:数学问题解决的核心策略[J].教学与管理, 2011 (12) :44.

实际问题与一元二次方程教案 篇8

用列方程的方法来解决实际问题不仅是问题解决的一种策略，更是一种重要的数学思想方法。要培养学生列方程解决实际问题的意识，就要引导学生突破思维定势障碍，让学生对列方程解决实际问题经历“有用——会用——爱用——活用”的过程。具体地说，就是通过对教学的精心设计和安排，让学生对比两种思维模式的区别，体会利用方程解题是变逆向思维为顺向思维的优势，提高学生分析数量关系能力。这样，学生就能根据题目的特点，对等量关系进行分析，选择最佳的解题方法，为以后学习解决更复杂的应用题打下牢固的基础，为继续深入学习提供动力。

1. 有用：用算术方法与列方程解决实际实际问题的对比，凸显后者的优越性

算术方法是将未知量放在特殊位置，设法通过已知量列出综合算式求出未知量；而列方程解法是把所求的未知量用字母代替，客观上已将未知量转化成已知量，这样就把所求的未知量与已知量放在平等的地位，从中找出各数量之间的关系，最后利用某一个相等的关系列出方程。算术解法比较强调类型、有模式；列方程解法应用知识比较灵活，注重数量关系分析。部分学生在刚开始学习列方程解应用题时，易受算术解题方法的干扰，解决问题的思路依然停留在算术法上，导致他们先用算术解法，再把它倒推成方程，出现了一种为满足题中要求用方程解答而用方程的现象。一方面说明了学生受算术法的影响太深，形成了思维定势，习惯于利用算术法解决问题；另一方面说明用方程解决问题的题目让学生在比较算术法和列方程解决问题时，体会不到列方程解决实际问题的优越性。故教师教学时应设计有较强针对性的题目。如“某班有女生38人，比男生的2倍多4人，男生有多少人？”这类题目用算术方法解答，能正确解答并明白每个步骤的意思的学生约占全班2%。但若用列方程解决，可先找出等量关系：女生人数=男生人数×2+4；再进行分析：38=？×2+4；从而列出方程：2x+4=38。在算术方法与列方程解决问题的思考过程的对比中，经历多次的错误后，学生初步体会到这类题目用算术解法是一种“逆向思维”，列方程解答是“正向思维”。从思维角度看，列方程解决问题比算术解法的思路更清晰。

2. 会用：学会抓题中的等量关系，掌握列方程解决实际问题的方法

列方程解决实际问题的难点在于能根据实际问题找出数量间的相等关系。学生找不到题中的等量关系就不能正确解题，而等量关系式变化很多，从不同的角度可以找出不同的数量关系式，从而列出不同的方程。故教师应重点教给学生从实际问题中分析数量关系的方法（如从关键句中找等量关系、从基本数量关系进行分析、从计算公式找等量关系，等等），让学生掌握解决问题的基本规律，形成正确的解题思路。这样不仅仅是教会学生列方程解决问题，而且使学生掌握解决问题的一般方法：找等量关系，选择方法（算术或方程）。

3. 乐用：用同一等量关系解决多道题，体会列方程解决实际问题的实用性

在日常教学中有的学生会问：这道题要用方程来解答吗？这就表明学生并没有真正掌握列方程解决问题的要领，还没有意识到列方程解决问题实质是分析题目后因需要而选用的方法。为了使学生体会列方程解决问题的优越性，可设计一组这样的题目：

（1）两列火车从AB两站相向而行。一列快车从A站开出，平均每小时行79千米；同时一列慢车从B站开出，平均每小时行40千米。经过3小时相遇。问这段铁路长多少千米？

（2）两列火车从相距357千米的AB两站相向而行。一列快车从A站开出，平均每小时行79千米；同时一列慢车从B站开出，平均每小时行40千米。问经过多少小时两车相遇？

（3）两列火车同时从相距357千米的AB两站相向而行。一列快车从A站开出，平均每小时行79千米；一列慢车从B站开出，经过3小时两车相遇。问慢车平均每小时行多少千米？

（4）两列火车同时从相距357千米的AB两站相向而行。一列慢车从B站开出，平均每小时行40千米；一列快车从A站开出，经过3小时两车相遇。问快车平均每小时行多少千米？

这4道题都可以借助同一基本数量关系“速度和×相遇时间=路程”来解答。

（1）速度和× 相遇时间=路程

（79+40）× 3= ？

（2）速度和× 相遇时间=路程

（79+40）× ？= 357

（3）速度和× 相遇时间=路程

（ 79+ ？）× 3 = 357

（4）速度和× 相遇时间=路程

（ ？ + 40）× 3 = 357

上面的分析会让学生意识到：在（1）题的数量关系里， 未知数量在等号的一边，已知数量在等号的另一边时，就用算术方法解答较方便；而（2）～（4）题等号的某一边既有已知数量，也有未知数量，用列方程的方法解答更有优势。引导学生逐步学会根据问题特点，灵活选择比较简便的算法，在提高解决实际问题能力的同时，可以避免学生根据题目问什么就设什么这一现象的出现，从而让学生从分析中正确选择未知元，有效地扫除列方程过程中的思维障碍，增加解题的灵活性。这样就使学生在自身解题的需求中乐用列方程解决问题，在多次的成功解题中不知不觉地爱上运用列方程解决问题。

4. 活用：用列方程解决较复杂的问题，培养学生思维的灵活性

由于利用方程解决实际问题具有思考过程比较直接、简明的特点，能使某些实际问题的解决化难为易。学生对于一些奥数题向来就有畏难的情绪，在学习列方程解决问题后，可让学生尝试解决一些以前认为是难题的题目，如鸡兔同笼、盈亏问题等。如果用算术的解法列式，不但思考费劲，而且解题思路常常迂回曲折，局限性较大，能解答此类题往往是尖子生们的“专利”。而学习列方程解决问题后，此类题变得简单易懂甚至连后进生也能正确解答，这就大大增强他们学习数学的兴趣和信心。

用方程解决实际问题是小学数学的一个重要内容，是发展学生思维品质的有效途径。学会列方程解决问题方法，有利于减少学习困难，克服解决实际问题的畏难情绪，有效地提高学生解决实际问题的能力。

注：本文系2015年广州市教育科学“十二五”规划课题（名师专项课题）《小学数学问题解决教学中教师PCK的研究》（课题批准号：1201543221）的研究成果之一。