公式法解一元二次方程学案

公式法解一元二次方程学案（精选4篇）

公式法解一元二次方程学案 篇1

22.2.2公式法

主备人：肖国斌 班级： 姓名：

学习目标：

1、会用公式法解一元二次方程

2、学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

学习重点：

掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

学习难点：

求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。

导学内容：

一、自主学习：(一)复习：

1、回忆用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

22、用配方法解方程：2x-7x+3=0(练习本上完成)

3、你能用配方法把方程ax2bxc0(a0)转化成能用直接开平方法的形式吗？（提示：模仿数字系数解一元二次方程的过程）请尝试解

（二）阅读35---36页（不含例2）完成下列问题：

1、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的_________确 bxc0(a0)的求根公式是 bxc0(a0)： 定。当__________时，它的根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。

2、一元二次方程ax3、一元二次方程ax当b2224ac＞0时，方程有_________________实数根；

2当b4ac＝0时，方程有_________________实数根；

2当b4ac＜0时，方程没有实数根。

2＊ 我们把 叫做一元二次方程axbxc0(a0)的根的判别式。．．．．

（三）阅读36页例2（2、3、4）

二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。（用公式法解一元二次方程的

一般步骤）对性练习针

1、不解方程，判断下列方程实数根的情况： 1)2x3x40

2)x6x90

3)

2、请尝试用公式法解1题中的一元二次方程

三、课堂达标检测：

1、方程x222x23x40

x10的根是（）

A.x115151313 x2 B.x1 x222221515 x222 D.没有实数根 C.x12、下列方程中，没有实数根的是（）

2x10 B.x222x20 22C.x2x10 D.xx20 A.x23、用公式法解下列方程：(1)2x

(3)29x80(2)3x240

12xx1

2四、请说一说这节课你们收获到了什么？

分解因式法解一元二次方程导学案 篇2

【学习目标】

1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法。

2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性。任务一

1、自学课本60页“议一议”上面的内容，明确：小颖、小明、小亮解方程的方法有什么不同？谁的解法不对？错在什么地方？为什么？正确解法中你觉得哪种简单一些？

说明：当一元二次方程的一边为0时，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，这种解法被称为分解因式法，其理论依据是：若 ab=0 那么a=0 或 b=0(a、b为因式)。

2、用因式分解法来解一元二次方程，其关键是什么? 用因式分解法来解一元二次方程必须要先化为一般形

式吗？

3、自学例一并总结用因式分解法解一元二次方程的步骤 1）方程右边化为。

2)将方程左边分解成两个的乘积。3)至少因式为零，得到两个一元一次方程。4)两个就是原方程的解。

任务二

1.仿照例题解方程：

（1）x2

－4=0（2）（x+2）2

-25=0（3）4x(2x+1)=3(2x+1)

2、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么，该方程的另一根为 该方程可化为（x-1）（x）=0 任务三

思考：如何选用解一元二次方程的方法？

因式分解法解一元二次方程课堂小测

A1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）

A.只有一个根x=

B.只有一个根x=0C.有两个根x1=0,x2=

334

D.有两个根x1=0,x2=-

4A2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）

A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-2 A3、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A.化为x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为x2+3x+2=0D.化为x+1=04.用因式分解法解一元二次方程

必做：2(x+3)2=x(x+3)选作：(4x+2)2=x(2x+1)

因式分解法解一元二次方程课堂小测

A1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）

A.只有一个根x=

B.只有一个根x=0C.有两个根x31=0,x2=

D.有两个根x1=0,x2=-

4A2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）

A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-2 A3、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A.化为x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为x2+3x+2=0D.化为x+1=04.用因式分解法解一元二次方程

公式法解一元二次方程学案 篇3

（二）直接开平方法

1．如果（x－2）2=9，则x＝．

2．方程（2y－1）2－4=0的根是．

3．方程（x+m）2＝72有解的条件是．

4．方程3（4x－1）2=48的解是

配方法

5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．

（1）x2－2x－3=0．

（2）x210

6．下列各式是完全平方式的是（）

A．x2+7n=7

B．n2－4n－

4C．x2112x16

D．y2－2y+2

7．用配方法解方程时，下面配方错误的是（）

A．x2+2x－99=0化为（x+1）2=0

B．t2－7t－4=0化为(t72652)4

C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=2

52210

D．3x2－4x－2=0化为(x3)9

8．配方法解方程．

（1）x2+4x=－3（2）2x2+x=0

因式分解法

9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A．化为x+1=0

B．x+1＝

1C．化为（x+1）（x+l－1）＝0

D．化为x2+3x+2＝0

10．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（）

A．直接开方得3（x+1）=2（x－1）

B．化为一般形式13x2+5＝0

C．分解因式得[3（x+1）+2（x－1）][3（x+1）－2（x—1）]=0

D．直接得x+1＝0或x－l＝0

11．（1）方程x（x+2）=2（z+2）的根是．

（2）方程x2－2x－3=0的根是．

2a3b

12．如果a2－5ab－14b2=0，则5b．

公式法

13．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是b2—4ac．

14．方程（2x+1）（x+2）=6化为一般形式是b2—4acx1，x2x1+x2，x1x2，15．用公式法解下列方程．

（1）（x+1）（x+3）＝6x+4．

（2）x1)x0．

（3）x2－（2m+1）x+m＝0．

16．已知x2－7xy+12y2＝0（y≠0）求x：y的值．

综合题

17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x2—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．

18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．

19．利用配方求2x2－x+2的最小值．

20．x2+ax+6分解因式的结果是（x－1）（x+2），则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?

21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．

22．m是非负整数，方程m2x2－（3m2—8m）x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．

23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．

24．解方程

（1）（x2+x）·（x2+x－2）=24；

2xx60（2）

225．方程x2－6x－k＝1与x2－kx－7=0有相同的根，求k值及相同的根．

26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?

27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则（）

A．a=b

B．a－b=l

C．a+b=－

1D．非上述答案

28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．

29．海洲市出租车收费标准如下

（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?

30．（2004·浙江）方程（x－1）（x+2）（x－3）＝0的根是

31．（2004·河南）一元二次方程x2—2x＝0的解是（）

A．0

B．2

C．0，－2

D．0，2

32．（2004·南京）方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．

33．（2003·甘肃）

方程(m2)x3mx10是一元二次方程，则这方程的根是什么?

34．（2003·深圳）x1、x2是方程2x2—3x—6=0的二根，求过A（x1+x2，0）B（0，x

l·x2）两点的直线解析式．

2(2a)cc80，ax2+bx+c＝0，求35．a、b、c都是实数，满足m

代数式x2+2x+1的值．

ab82ab48c的解。36．a、b、c满足方程组求方程

37．三个8相加得24，你能用另外三个相同的数字也得同样结果吗?能用8个相同的数字得到1 000吗?能用3个相同的数字得到30吗?

参考答案：

1．x1＝5，x2＝—l

2．y131,y222

x153,x244

23．n≥04．1x22 5．（1）（x—1）2—4（2）

6．C7．C

8．（1）方程化为（x+2）2＝l，∴x1=—l，x2＝—3．

1111xx2x0x10,x2416．∴22（2）方程化为配方得

9．C10．C

11．（1）x1＝2，x2＝—2．

（2）x1＝3，x2＝—1．

12．∵a2—5ab—14b2＝0，∴（a—7b）（a+2b）＝0，∴ a＝76或a＝—26． 2

2a3b172a3b1或55b5 ∴5b

x013

．

x1

5x1x2x22,x1x2=—2． ，14．2x2+5x—4=0，57，15．（1）x11x21

（2）x11x23

2m12m1x1

x222（3），16．∵x2—7xy+12y2＝0，∴（x—3y）（x—4y）＝0，∴ x＝3y或x＝4y，∴x：y＝3或x：y＝4．,17．由x2—17x+66＝0得x1＝11，x2＝6．但x＝11不合题意，故取x＝6． ∴三角形周长是17．

mm18．∵x2+2mx+4—m2是完全平方式，∴4m2—4（4—m2）＝0．

解之，11152x2x22x2x22x248，19．

∴2x2—x+2的最小值是8。

20．x1＝l，x2＝—2

21．由题意得a2—3a+l＝0，∴a2—3a＝—l，a2+l＝30． 2

a(a23a)a25a1a26a1(a23a)3a113a3a3a∴原式=．

22．原方程可变为[mx—（2m—3）][mx—（m—5）]＝0，∴x12353,x21mm若x1为整数，则m为整数，m

∴m＝l或m＝3．若x2为整数，则5为整数．

∴m＝l或m＝5．因而m的值是l或3或5．

711110x7x410x2040． 23． 22

7111x0,02040∴． 2

711110x02040∴

∴原式＜0．

举例略．

24．（1）（x+ x）（x2+ x—2）＝24，整理得（x2+ x）2—2（x2 + x）—24＝0，∴（x2+ x—6）（x2+ x +4）．

∴x 2+ x—6＝0．x2+ x +4＝0由x2+ x—6＝0得x1＝—3，x2＝2．方程x2+ x +4＝0无解． ∴原方程的根是x＝—3或x＝2．

2xx60，即xx60，解得x＝3或x＝2（舍去）（2），2

x1＝3，x2＝—3．∴原方程的根是x＝3或x＝—3．

公式法解一元二次方程学案 篇4

一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程

丹东市凤城市四门子九年一贯制学校

徐晓丹

一.教材

本节是北师大版九年级上册第二章一元二次方程中第3节《用公式法求解一元二次方程》。本章是一元一次方程和二元一次方程的深入和发展，也是以后学习方程及函数等数学知识的基础。“一元二次方程的解法”是初中数学“方程”中的一个重要内容，特别是对于系数不特殊的一元二次方程，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的重要内容。通过本节课的学习，使学生明确公式法是解一元二次方程的通法，应该根据题目选择合适的方法解决问题。

二.学情分析

本节课的学习至关重要，为了完成教学计划，让学生更好的掌握握知识，应了解学生和学生对知识掌握情况。这要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发，他们有强烈的好奇心和求知欲，而方程对学生来说是比较难的，配方法又是刚刚学完，并不熟练，应着手让学生练习配方法并掌握公式法解一元二次方程相关知识。

三.教学目标

为了更好的完成教学计划，我制定以下教学目标

1.知识与技能：理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟练用

公式法解一元二次方程。

2.过程与方法：通过求根公式的推导进一步使学生熟练掌握配方法。培养学生数学推导的严密性和逻辑性。

3.情感态度与价值观：培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。培养学生快速准确的计算能力。

四.重难点

基于配方法的不熟练，本节课应该以配方法为基础，熟练运用公式法及判别式相关知识，重难点为：

重点：掌握用公式法解一元二次方程一般步骤，正确、熟练用公式法解一元二次方程。

难点：理解求根公式的推导和判别式与根的情况的关系。

五.教法、学法

确定了重难点，本节课借助多媒体辅助教学，采用引导发现式自主探究和交流讨论相结合的方法，发挥教师的主导作用，体现学生主体地位。利用学生已有的知识，启发诱导学生深入思考问题，多交流，主动参与到活动中。

学生对配方法还不是很熟练，让学生用配方法解练习题，回顾配方法再解一般形式。学生用分析讨论和分类归纳的方法提出问题并尝试解决问题，使思维能力得到提升。

六.教学过程

本节课设计以下六个环节：

复习引入—讲授新课—例题讲解—巩固练习—课堂小结—布置

作业

第一环节：复习引入

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x237x(2)3x22x10 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题：2x237x

解：将方程化成一般形式: 2x27x30

两边都除以一次项系数:2

x2732x20

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

x272x(74934)21620 即:(x7254)2160

(x7254)216

两边开平方取“±” 得：

x7544

x7454

写出方程的根 ∴ x1=3 , x2

第二题：3x22x10

解：两边都除以一次项系数:3

1=2

21x2x033

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

2113x2x()20

3392即: 125(x)20

3181225(x)318 25018∵

∴原方程无解 活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.第二环节：讲授新课

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数:a

bc2xx0

aa 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bb2b2cxx()20 a2a4aa2即:(xb)a2b24ac0 4a2b2b24ac(x)2a4a 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b 问：什么情况下 b224ac 024a4ac 024a 学生讨论后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0

要使b24ac 024a只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：

2bb4ac

xa4a2bb24ac xa2abb24ac xa2abb24ac x2a问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？ 答：方程无解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。（2）活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。第三环节：例题讲解 活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1)2x2+3=7x（2）x2-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0

学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？

２、上述方程如果有解，求出方程的解 学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题 例：解方程 2x2+3=7x 解：先将方程化成一般形式 2x2-7x+3=0 确定a，b，c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根

∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴ xbb24ac2a

72522754写出方程的根，即

x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？例：解方程 9x2+6x+1=0 确定a，b，c的值 解：a=9, b=6, c=1 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0 7

bb24acx2a60 ∴29601813

（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习1、2.活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。第四环节：巩固练习

活动内容：x2x60，8y(2y5)25

活动目的：在这个环节我遵循巩固与发展相结合的原则，引导学生做练习题，在学生做练习时进行巡看，及时掌握学生做题情况，以便进行有针对的评价。让学生以小组为单位进行比赛，看哪组又快又准。在提高做题速度的同时，学生之间相互交流查缺补漏。

第五环节：课堂小结 活动内容： 提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、如何判断一元二次方程根的情况？

3、用公式法解方程应注意的问题是什么？

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。第六环节：布置作业

用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）

1、课本47页1,2题。

2、程解应用题

（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

七、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初