一元回归方程

一元回归方程（精选9篇）

一元回归方程 篇1

高中数学新教材第三册 (选修II) 第42页阅读材料用配方法给出了回归直线方程的推导, 虽然其解决问题的思路清晰可行, 但其推导过程确实有点复杂。《数学通讯》2003年第23期刊登了刘坦老师《回归直线方程的另一推导》一文, 该文利用导数求最值的方法推导一元线性方程回归方程中的两个参数, 虽然看似简单明了, 节奏明快, 但对于中学生来说, 要充分理解二元函数极值存在定理和利用二元函数的偏导数求参数, 恐怕绝非易事。本人在多年的数学教学过程中发现一种浅显易行、通俗易懂的求法, 现著文如下, 以飨读者。

根据经验公式拟合原理及点与直线的位置关系, 有:yi=a+bxi (i=1, 2, 3, …, n)

对上式两边同乘以xi得

xiyi=axi+bx2i (i=1, 2, 3…, n)

对上面两式求累积得:

将 (1) 式两边同除以n得:

至此, 我们已求出一元线性回归方程的两个参数a, b的表达式为:

一元回归方程 篇2

1．（2011•黑龙江）我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛 制为单循环形 式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了 6 场，则共有 人进入半决赛． 2．（2007•防城港）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 21 场比赛，应 邀请 个球队参加比赛
3．（2010•毕 节 地 区）毕 业 之 际，某 校 九 年 级 数 学 兴 趣 小 组 的 同 学 相 约 到 同 一 家 礼 品 店 购 买 纪 念 品，每 两 个 同 学 都 相 互 赠 送 一 件 礼 品，礼 品 店 共 售 出 礼 品 30 件，则 该 兴 趣 小 组 的 人 数 为（A． 5人 B． 6人 C． 7人 D． 8人）

4.握手问题

5.数字问题

6.（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼量为 8.1 吨，求 2010 年-2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率． 7.天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率 相同，求捐款 增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 8（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 9.（2013•来宾）某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售 出 60 件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月就可以多售出 5 件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多 少元？ 10.（2013•泰安）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销 售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品 共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 11（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各 围成一个正方形． 2（1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm，小林该怎么剪？ 2（2）小峰对小林说： “这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm ． ”他的说法对吗？请说

一元回归方程 篇3

预应力混凝土经过近半世纪的发展, 目前在我国已成为土建工程中一种十分重要的结构材料, 应用范围日益扩大, 由以往的单层及多层房屋到公路、铁路桥梁、水塔等。在桥梁结构领域中, 预应力技术作为一种结构手段, 又将与施工方法结合形成一套以节段式施工为主体的预应力施工方法。主要有预应力悬臂分段施工技术, 大节段预制吊装技术等。这些施工技术与预应力技术是紧密相关的。

我们知道, 预应力一般都是通过千斤顶与压力表配套来施加, 由于预应力应用广泛, 力值变化多, 如何通过力值确定压力表读数就成了问题。为了解决这类问题就需要研究两个变量间的关系, 一元线性回归方程是处理两个变量相关关系的一种统计技术。

2 一元线性回归方程的建立

在客观世界中, 变量之间的关系大致可分为两种类型, 函数关系和相关关系。当两个变量存在相关关系时, 常常希望在两者间建立定量关系, 两个相关变量间的定量关系表达的就是一元线性回归方程。假如, n个点在一条直线附近波动, 一元线性回归方程便是对这条直线的估计。

1) 设一元线性回归方程的表达式为:

$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle {\rm P}}}=bF+a$ (1)

对给定的n对数据 (Fi, Pi) , i=1, 2, …, n, 要我们根据这些数据去估计a和b。如果a和b已经估计出来, 那么在给定的Fi值上, 回归直线上对应点的纵坐标为:

$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle {\rm P}}}{}_i=bF{}_i+a$。

称$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle {\rm P}}}{}_i$为回归值, 由于实际的检测值Pi与$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle {\rm P}}}{}_i$之间存在偏差, 我们希望求得的直线使这种偏差的平方和达到最小, 即要求${\displaystyle \sum (}{\rm P}{}_i-\stackrel{\wedge }{{\displaystyle {\rm P}}}{}_i){}^2$达到最小, 根据微分学的原理, a和b可以用下式求出:

b=LFP/LFF (2)

$a=\overline{{\rm P}}-b\overline{F}$ (3)

这一组解称为最小二乘估计, 其中, b为回归直线的斜率, 称为回归系数;a为回归直线的截距, 称为常数项。

2) 一元线性回归方程求解。

$L{}_{F{\rm P}}={\displaystyle \sum (}F{}_i-\overline{F})({\rm P}{}_i-\overline{{\rm P}})={\displaystyle \sum F}{}_i{\rm P}{}_i-{\rm T}{}_F{\rm T}{}_{{\rm P}}/n$ (4)

$L{}_{FF}={\displaystyle \sum (}F{}_i-\overline{F}){}^2={\displaystyle \sum F}{}_i^2-{\rm T}{}_F^2/n$ (5)

$L{}_{{\rm P}{\rm P}}={\displaystyle \sum (}{\rm P}{}_i-\overline{{\rm P}}){}^2={\displaystyle \sum {\rm P}}{}_i^2-{\rm T}{}_{{\rm P}}^2/n$ (6)

TF=∑Fi;TP=∑Pi。

3 一元线性回归方程的显著性检验

建立回归方程的目的是表达两个具有线性相关的变量间的定量关系, 因此, 只有当两个变量具有线性相关关系时所建立的回归方程才有意义。检验两个变量间是否存在线性相关关系的问题便是对回归方程的显著性检验。通常的方法是相关系数检验法。

相关系数:是两随机变量间线性联系密切程度的度量, 这个量称为相关系数r。随机变量之间的线性相关性就是:当一个变量增大时, 另一变量有按线性关系增大或减小的趋势。当|r|越接近1时, 这种趋势就越明显。当|r|=0时, 两变量就不存在线性联系, 即无线性相关性。

$r=\frac{{\displaystyle \sum (}F{}_i-\overline{F})({\rm P}{}_i-\overline{{\rm P}})}{\sqrt{{\displaystyle \sum (}F{}_i-\overline{F}){}^2{\displaystyle \sum (}{\rm P}{}_i-\overline{{\rm P}}){}^2}}=\frac{L{}_{F{\rm P}}}{\sqrt{L{}_{FF}L{}_{{\rm P}{\rm P}}}}$ (7)

根据所求的两个变量的相关系数r, 对于给定的显著水平α, 相关系数r显著性判定为:

|r|>r1-α/2 (n-2) (8)

r1-α/2 (n-2) 是检验相关系数的临界值, 通过查表求得 (见表1) 。如果相关系数r满足式 (8) , 便认为两个变量间存在线性相关关系, 所求回归方程是显著的, 即回归方程有意义。

例如:根据公式 (4) , (5) , (6) 所求数据:

$r=\frac{L{}_{F{\rm P}}}{\sqrt{L{}_{FF}L{}_{{\rm P}{\rm P}}}}=\frac{276625}{\sqrt{27827470\times 2750}}=0.99997$。

显著性判断:根据式 (8) , 查表1:

假如显著水平α=5%, r1-α/2 (n-2) =r97.5 (9) =0.602;假如显著水平α=1%, r1-α/2 (n-2) =r99.5 (9) =0.735,

因此认为千斤顶的力值与压力表读数存在线性相关关系, 即回归方程有意义, 可以用于实践。

4 一元线性回归方程的应用

当所求一元线性回归方程经检验为有意义的方程后, 就可用于实践。在预应力施工中, 当知道力值, 即可求出压力表读数, 从而不必每次对千斤顶和压力表进行校验。

例如:已知F=1 150 kN, 根据所求回归方程:

5 应用中注意事项

1) 千斤顶与压力表必须是经配套检验, 并且配套使用。2) 尽量采用高精度耐振压力表, 以减小误差。3) 一旦压力表或者千斤顶损坏, 经修理后, 必须重新进行配套检验, 建立方程, 进行显著性检验, 合格后方可使用。

6 结语

通过一元线性回归方程的建立, 在预应力施工中, 我们可以根据所需的应力值求出任一相对应的压力表值, 从而减少了重新配套校验的程序, 大大节省了时间, 并节约了成本。

摘要：着重介绍了预应力张拉施工中, 千斤顶与压力表配套校验后一元线性回归方程的建立、显著性检验、应用及注意事项, 通过一元线性回归方程的建立, 可以减少重新配套校验的程序, 大大节约时间和成本。

关键词：预应力,回归方程,相关系数,显著性检验

参考文献

[1]JTJ 041-2000, 公路桥涵施工技术规范[S].

一元二次方程教案 篇4

教学内容

2.1一元二次方程

备课教师

申红敏

备课节次

1、知识技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识。

教学目标

2、数学思考：在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。

3、问题解决：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值。4、情感态度：提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

一元二次方程教案4

教学重难点

教学方法

教学准备

重点：一元二次方程的概念

难点：如何把实际问题转化为数学方程

教法：分层教学

学法：自主探究

合作交流

教师活动：一.情景导入

生成问题

1.单项式和多项式统称为整式.

2.含有未知数的等式叫做方程.

情

景

导

入

3.计算：(x+2)2=x2+4x+4;

(x-3)2=x2-6x+9.

4.计算：(5-2x)(8-2x)=4x2-26x+40.

学生活动：学生回顾旧知

设计意图：为新知学习奠定基础。

问题一：自学互研

生成能力

教师活动：先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下合

作

互

助

探

究

新

知

面问题：

1.在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8-2x)m，宽可以表示为(5-2x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(8-

2x)(5-2x)=18.

2.在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢?

答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题得(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2

个性思考

学生活动：自主探究问题，寻求等量关系。

目标达成：C类学生罗列自己的问题;

A类学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式;

B类学生列出相应的方程并整理。设计意图：

问题二：1.问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?

2.问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米?

教师活动：组织学生审清题意后，小组交流。你能设出未知数，列出相应的方程吗?

学生活动：问题1由题意可列方程：(100-2x)(50-2x)=3600;

问题2由题意可列出方程(x+6)2+72=102. 教师活动：你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗?

(1)(100-2x)(50-2x)=3600[来源:Z|x]

(2)(x+6)2+72=102

学生活动：学生讨论

归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.

目标达成：C类学生对于等量关系的发现是难点，但会识别一元二次方程。B类学生能判断方程的特点，A类学生审题、解设、化简做到无障碍。

设计意图：将一元二次方程渗透在实际问题中，教给学生用方程的模式解决问题的能力。

问题三：1、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.

目标达成：问题(1)中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，C类学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。

问题(2)，实际问题，可能有部分学生不能理解题意，B类学生不能很快列出相应的方程，教师要点拨。

设计意图：及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。

教师活动：典例讲解：关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件?[]

分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

解：由mx2-3x=x2-mx+2得到(m-1)x2+(m-3)x-2=0，所以m-1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.

学生活动：对应练习：

1.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，则a分

层

检

测

总

结

反

馈

的取值范围是a≠1.

2.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0，当m满足m=-2时，它是一元一次方程;当m满足m≠-2时，它是一元二次方程.

3.(易错题)已知关于x的方程(m-2)x|m|+3x-4=0是一元二次方程，那么m的值是( C )[来源:学.科.网]

A.2 B.±2 C.-2 D.1

目标达成：要求全体学生会辨析一元二次方程的定义。

设计意图：体会知识的灵活性和掌握知识的深刻性。

必做题：

1.在下列方程中，是一元二次方程的有( A ) ①2x2-1=0;②ax2+bx+c=0;

122③(x+2)(x-3)=x-3;④2x-x=0.

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

2.把方程(x-)(x+)+(2x-1)2=0化成一元二次方程的一般形式为( A ) A. 5x2-4x-4=0

B.x2-5=0

22C. 5x-2x+1=0 D.5x-4x+6=0 选做题：

3.阅读材料，解答问题：

有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长?问题：

2.1认识一元二次方程

一元二次方程：

相关概念:

习题练习：

布置作业

板书设计

教学反思

设计的基本思路：抓住重点和易错点，强化训练。

课堂模式设计为：课前检测(以题代纲，发现问题)------典例解析(综合应用，提高能力)-------当堂检测(强化训练，形成技能)。

实际课堂：只完成第一环节和第二环节，第三环节留为课后作业。

课后反馈效果：从反馈的课后作业看，学生基本上能掌握主要知识点。

老师们的评价：思路比较清晰，但容量不大，深度不够。

其实这一点自己在四班上课时，就已感觉到，而且比三班更糟糕，第二环节也没来得及进行，容量更小，难度更低。细细思考其中的原因，我分析到以下几点：第一，教师的设计没有充分考虑学情因素，更多的是从知识角度进行设计。第二，教师讲的太多，缺乏侧重点。第三，课堂节凑比较慢，尤其后半部分，太沉住气。第四，教学课时划分，不合适，可以将一元二次方程的概念和解法作为一课时，把根的.判别式和根与系数的关系作为一课时。第五，题目设计不到位，综合性不强。

一元回归方程 篇5

力求建立变形量与变形因子之间的数学模型,对建筑物变形或变形发展趋势进行尽早准确的预测,是变形测量追求和探索的目标。

建立数学模型预测建筑物的变形量,相关规定要求有不少于10个周期的观测数据,待积累满足要求的数据后建立数学模型觉得滞后,有的建筑物因在整个建筑期内的观测周期达不到规定要求而不能建立数学模型,因此不能尽早或不能提供预测数据来完全满足工程需要,也在一定程度上损失了沉降观测成果的使用价值。

与土建施工有关的变形测量中,沉降观测仍然是重要的监测手段。为尽早取得预测数据,本文提出仅依靠少量观测数据,以楼层数和累计平均沉降观测值,在线性相关条件下建立一元线性回归方程(荷载与变形关系的数学模型),得出观测点预测累计平均沉降量,再计算观测点累计沉降赋值的方法,在几例工程的应用中得到验证,取得满意结果,也提高了观测成果的尽早使用价值。本文探讨了这种方法的可靠性、实用性、外在条件。

1 理论应用与验证的思路

利用已有的回归理论建立的方程,能否合理成立和应用,主要取决于所用的少量观测数据的样本代表性,本文检验的方法是必须先通过概率与统计理论中的相关检验,再通过实际观测数据来更好验证方程的可靠性与合理性。在几例完成的高层建筑物沉降观测尚未达到要求观测周期的1/3时,建立一元线性回归方程后,方程的相关检验获得通过,累计平均沉降预测值和观测点累计沉降的赋值,均与实测值进行了对比,也得到满意结果,仅增加一次观测值,预测值的精度得到大幅提高。下面以一个工程的数据为例。

2 数据来源与测量精度

对1栋27层(含2层地下室)施工中的高层建筑物进行沉降观测,地层条件为软土和粘土,天然地基,局部复合地基,独立基础与阀板基础。观测点设在墙柱上,基准网为一等水准。每次观测以固定水准路线,将固定的已知水准点和所有沉降观测点构成2个结点的二等水准结点网。观测后的平差计算结果为大多数沉降观测点的高程中误差mh≤±0.1mm,极少点的高程中误差在±0.1~±0.2 mm之间。观测数据见表1(实测累计沉降数据)。

3 回归方程的建立与检验、预测值的赋值计算及实测值的比较[1]

主要公式:

xi=楼层数,,yi=实测累计沉降值,y珋i=实测累计沉降平均值,珔Yi=最后一次实测累计沉降平均值,y′i=预测累计沉降平均值,y″i=观测点累计沉降赋值,μi=预测累计总沉降值,n=沉降观测次数,N=沉降观测点数。

3.1 回归方程的计算

取表1中前3次实测沉降数据的平均值建立回归方程,相关计算见表2(回归计算)。

根据式(1)计算得回归方程为:y′i=0.598647-0.221767*xi(方程1),依此方程计算xi=3、xi=7、xi=16、xi=21、xi=27时得:y′3=-0.0666、y′7=-0.9537、y′16=-2.9496、y′21=-4.0585、y′27=-5.3891,对比表1中的前3次实测值,残差(y′i-y珋i)分别为:0.0666、-0.0963、0.0296,残差和仅为-0.009,忽略不计。

3.2 回归方程相关检验

(1)相关系数检验

R2=SSR/SS总,R=0.9983,R>R0.05(0.998>0.997),自变量x与因变量y之间线性相关且密切。

(2)t检验

t(0.025,1),(即17.29>12.71)。t检验通过,自变量x与因变量y线性关系密切。

(3)F检验

(4)预测区间估计

xi=21、y′21=-4.0585、xi=27、y′27=-5.3891为例。

1)大样本统计条件下:

按大样本统计条件下的3α原则,预测区间计算结果见表3(预测区间计算)。2)小样本统计条件下

x0=21时,预测区间为-5.74~-2.38之间,实测值-4.3在预测区间;x0=27时,预测区间为-3.71~-7.06之间,实测值-5.65在预测区间。

计算结果看出,预测值满足小样本统计条件下的预测区间,且满足大样本统计条件下的预测区间。

3.3 预测累计总沉降值计算及比较

根据方程1和式(2)计算出的值对比如下:

当xi=21时,预测累计总沉降值(μ21)=-4.06*10=-40.6,实测累计总沉降值=-43.0;当xi=27时,预测累计总沉降值(μ27)=-5.39*10=-53.9,实测累计总沉降值=-56.5。

4 累计沉降值的赋值计算及比较

依据方程1计算出的为观测点预测累计平均沉降值,各观测点的累计沉降值并不相同,为求出各个观测点的预测累计沉降值,根据各个观测点已有的最后一次实测累计沉降量的大小,进行观测点累计沉降赋值(按式(3)计算)。

按表1中计算的珔Y16=-2.92,y′21=-4.06(方程1计算)、y′27=-5.39(方程1计算),按照式(3)赋值后,各个观测点预测累计沉降赋值(y″i)与各个观测点的实测累计沉降值(yi)比较于表4(赋值计算)。如B0点的第21层的赋值=-4.06/-2.92*(-3.6)=-5.0 mm、第27层的赋值-5.39/-2.92*(-3.6)=-6.6mm。

5 增加样本数的方程计算结果比较

当增加一次样本,即取表1中前4次实际观测值,按照式(1)计算出的回归方程为:y′i=0.66774-0.23279*xi(方程2),xi=27时,累计平均沉降值y′i=-5.62。

方程1与方程2分别计算的预测累计平均沉降值与比较见表5(预测累计平均沉降值比较)。从表5可以看出,仅增加一次样本数后,计算的预测累计平均沉降值与实测累计平均沉降值之差由0.26减小到仅为0.03,预测值准确度得到大幅度的提高。

6 预测值的精度评定

从表4中对比可以看出,经计算后点的累计沉降赋值,特别是沉降值大的点,累计沉降赋值更接近实测值。为对观测点累计沉降赋值前后的预测值精度进行评价比较,不妨将实测累计沉降值作为真值,将预测累计平均沉降值与计算后的累计沉降赋值分别视为观测值,按照中误差m分别评定。仅以方程1为例,计算与分别评定结果见表6(中误差计算)。从表6中对比可以看出,经赋值后21层的中误差由±0.96mm减小为±0.43mm、27层的中误差由±1.17 mm减小为±0.65 mm,都只约为未经赋值前的中误差的1/2。如以方程2计算,中误差的精度会更高。

备注:表6中Δ′21=y′21-y21,Δ″21=y″21-y21;Δ′27=y′27-y27,Δ″27=y″27-y27

7 初次观测前的沉降数据

由于一些特殊的原因,未能及时取得建筑物的初期(0层)沉降数据,初次观测前的沉降数据已不能通过实际观测取得了。通过建立的回归方程,在自变量的适用范围内,可以计算出初次观测前的沉降数据。作为一种在不得已情况下而采取的数据弥补手段,这种计算的数据是“回忆”性的沉降数据。

根据方程1计算,当xi=0时,y′i=0.6,表示在初次观测(xi=3)时建筑物已沉降了-0.6 mm,平均楼层的沉降为-0.6mm/3=-0.20mm。而实测后的平均楼层的沉降为-5.6mm/27=-0.21mm。

地基开挖或清基时,会不同程度扰动地基与建筑物基础交接面的表土层。建筑物的初期沉降包括受到这种扰动后的表土,在承受荷载后被重新压缩而产生的沉降,这种沉降应大于未被扰动土的沉降,尽管这时的建筑物高度只有3层,荷载较轻,但产生的平均沉降仍然接近初次观测后的平均沉降,说明回归方程是符合客观实际的,有一定的可信度和参考价值。

8 误差原因分析

从计算与实测的结果对比看出,回归方程预测值与实测值不完全吻合,原因主要与下列因数有关:(1)样本的代表性;(2)测量精度;(3)方程的合理性。

9 结果的探讨

上述结果可以看出,具备一定前提条件(与方程预测值适宜的数据测量精度、合理的点位布置、变量的正确统计等)的沉降测量,在线性相关的条件下尽早建立回归方程后,回归方程的检验能获得通过,预测值与实测值比较有较好的吻合。在对其它3例高层建筑的测量中,均取得较满意结果,探讨如下。

(1)实用性

以楼层数(或荷载量)为自变量、累计平均沉降量为因变量,简化了变量因子,数据来自于所有观测点,样本有一定的代表性,建立的回归方程,预测值有一定的可靠性和参考作用。

(2)回归方程的合理性

解算出的回归方程,除应在相应检验中获得通过外,还应判断其是否合乎实际状况。一般正常情况下方程中a≥0,如果a<0时应慎重使用该方程,分析数据是否存在粗差,或观测精度不够等原因需要剔除。

(3)修正回归方程的重要性

合格样本越多,方程预测值的准确度越高。建立回归方程计算出预测值后,每再完成一次观测,方程中应纳入新完成的实测值,修正回归方程后再计算预测值,逐步提高回归方程预测值准确度,在xi远离x珋时有明显效果。

(4)合理的预测对象

预测对象宜为基础独立的单位建筑物。当预测预测对象为多个单位建筑物时,宜分别建立回归数学模型。

(5)自变量的确定

引起楼房正常沉降的主要原因是建筑物荷载增加后,引起地基土层的压缩变形。以荷载量为自变量时,具有准确合理的优点,但统计较复杂。以单层结构一致的楼层为自变量,有简单的优点和较好的合理性,以楼层为自变量时宜精确到一位小数。当单层结构不一致时,以荷载量作自变量为好。也可用设计数据互相予以换算为楼层数或荷载量。

(6)必要的观测精度

沉降点观测精度,无疑直接影响回归方程的合理性和预测值的准确度。一个完整的观测周期,宜在建筑物荷载固定的状态下连续观测完成。

(7)合理的观测起始时间与周期

变形观测应与施工同步,及时取得变形数据,尽早建立回归方程。当监测对象的预测值或实测值出现异常,或接近设计允许值时,应缩短观测间隔时间,增加观测次数,分析原因。

(8)合理布置的变形观测点

布设的变形观测点,力求全面代表和反应出建筑物在不同位置出现的沉降。布点应根据建筑结构特点和地质状况综合考虑。观测点最好布设在立柱上,拐角处应布设观测点,建筑物每边中间至少布设一个点,边长较长时,宜加密布设观测点。

不同结构、不同强度、不同跨度的地梁等,有时会由于不同的应力在不同的时间而出现不同变化,这些地方观测点的观测结果,会将这种自身变形数据,混淆于观测数据中难以分离,降低沉降数据的真实性。

(9)预测累计沉降赋值

根据回归方程计算的为预测累计沉降平均值,再经赋值计算出每个沉降观测点的预测累计沉降值后,可提高沉降观测点的预测值精度。

(10)“回忆”性的沉降数据

在回归方程的合理范围内,计算的“回忆”性的沉降数据也有一定的可信度和参考价值。

(11)地下水位的影响

观测数据中,应注意人工干预建筑物及周围地下水位的降低后,引起土层孔隙水压力随之降低后导致建筑物的阶段性沉降。这种沉降不宜直接纳入样本,宜考虑根据水位变化和测量的时间等,通过分析、模拟等方法,将这种阶段性数据“隔离”出来后,以常数形式加入到沉降量中。

1 0 认识与结论

用具备了一定前提条件(合理的沉降点位布置、变量的正确统计、与预测值适宜的数据测量精度等)的少量累计平均沉降值数据,建立一元线性回归方程,数据来自所有观测点,样本有一定的代表性。荷载(楼层)与变形的数学模型可提供所有沉降观测点的预测累计平均沉降值。赋值计算后可得到各沉降观测点的预测累计沉降值,也提高了沉降观测点的预测值精度,预测数据有一定的可信度和参考价值。采用逐步修正方程的措施后,可更好满足工程需要和规定要求。

由于地质状况、设计参数、施工工艺、自然条件等诸多因数均可引起建筑物变形,这些因数在建筑物的变形中难以准确量化,因此建筑物的变形预测,较难用准确的数学公式表达。本文提出方法,作为一种摸索与探讨,意在为施工中的建筑物判断地基、设计参数是否合理、与实际情况是否相符、是否需要进行设计和施工技术与施工进度的变更、施工与建筑物的安全等,提供尽早的依据或预警信息,满足工程对预测数据的需要,同时也提高和体现了测量成果的尽早使用价值。

参考文献

[1]苏均和.概率论与数理统计[M].上海:上海财经大学出版社,2005.

[2]现代咨询与方法实务[M].北京:中国计划出版社,2006.

一元二次方程与一元二次函数 篇6

一、一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重点考察内容之一,要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题,合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的.

首先,从其形式上来看:

一元二次函数y = ax2+ bx + c(a≠0)与一元二次方程0 =ax2+ bx + c(a≠0)(其中a,b,c为常数 ):

1它们都是关于x的二次式,从上面我们可以看出,y =0时 ,便是一个一元二次方程. 所以 ,我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式,这是用函数的观点看一元二次方程.

2 条件上,都是在保证 a ≠ 0 的情况下,去认识一元二次函数和一元二次方程. 如果 a = 0 时,再谈便无意义.

3 从其表达式上可知道, 无论是一元二次函数 y 的值,还是一元二次方程的解 x 应该都与系数 a,b,c 有关.

其次,我们还可以从其内涵上来看:

1一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值,即方程的根. 实质是用a,b,c来表示, 如将x反代入表达式,则ax2+ bx + c值为0.

2一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况 ,反应的是y的变化规律. 当x变化时 ,y也随着x以ax2 + bx + c变化. 而当y = 0时,求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1,x2. 而此时的x1,x2正是一元二次函数y = ax2+ bx + c与x轴的交点.

最后,我们知道,无论是一元二次函数还是一元二次方程, 其交点或根都与系数a,b,c有关. 有交点就说明方程ax2+ bx + c = 0有根. 那么 ,是不是所有的一元二次方程ax2 +bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢? 又是不是只要一元二次方程ax2+ bx + c =0有根 ,一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢 ?

通过学习我们知道,并不是所有的一元二次方程都有实数根, 也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点. 既然这样,那怎样的一元二次方程才有实数根,又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢? 上面已经说过,无论是方程的根,还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关. 所以 ,现在我们应该考虑 ,能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题. 有根,有几个根;有交点,又有几个交点;满足有根或有交点时,系数之间是否呈现一定的关系和规律呢?

综上,我们可以看到,无论a∈(-∞,+∞),且a≠0时,1当b2 - 4ac > 0时, 一元二次函数与x轴有两个不同的交点,且相应方程有两个不同的实数根;2当b2- 4ac = 0时 ,一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根(即x1= x2);3当b2- 4ac < 0时 ,一元二次函数与x轴无交点, 对应方程无实数根. 亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的. 它们都有一共同特征: 就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2- 4ac与0的比较 . 一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2- 4ac有关 , 并把它作为判断有无交点和有无根的依据,所以叫它为判别式,记为△[2].(注:它只是一个记号.)

二、用一元二次函数的观点看一元二次方程

例4如图-2,以40 m/s的速度将小球沿以地面成30°角的方向击出时,球的路线将是一条抛物线, 如果不计空气阻力,球的飞行高度(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h = 20t - 5t2.

(1)球飞行高度能否达到15 m? 20 m呢 ? 20.5 m呢 ?

(2) 若能 ,需多长时间呢 ?

解 h = 20t - 5t2 = -5(t - 2)2 + 20

当t = 2s时h = 20 m, 是球飞行 的最大高 度.15 < 20 <20.5,即球不能达到20.5 m;能达到15 m,当h = 15,则t = 1 s或3 s.

此题实际上是求分别满足20t - 5t2= 15、20或20.5时 ,t是否存在实数解,但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论,这是很烦琐的. 如按以上的解法,就是充分运用了函数的性质,进而将问题简单化、明了化.

专题复习一元二次方程 篇7

一、一元二次方程的定义

二、一元二次方程的常用解法

三、列一元二次方程解应用题

列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 (组) 解应用题步骤一样, 即审、找、设、列、解、答六步.

四、一元二次方程根的判别式

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式为b2-4ac.

五、一元二次方程根与系数之间的关系

2. (简易形式) 若关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个根分别为x1、x2, 则x1+x2=-p, x1·x2=q.

【典型例题】

例1 (1) 一元二次方程x2+3x-4=0的解是 ()

A.x1=1, x2=-4 B.x1=-1, x2=4

C.x1=-1, x2=-4 D.x1=1, x2=4

(2) 已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、x2, 则x1+x2-x1·x2的值为 ()

(3) 已知一元二次方程x2+x-1=0, 下列判断正确的是 ()

A.该方程有两个相等的实数根

B.该方程有两个不相等的实数根

C.该方程无实数根

D.该方程根的情况不确定

(4) 用配方法将代数式a2+4a-5变形, 结果正确的是 ()

A. (a+2) 2-1 B. (a+2) 2-5

C. (a+2) 2+4 D. (a+2) 2-9

【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法.

【解答】 (1) ∵x2+3x-4=0, ∴ (x+4) (x-1) =0.

∴x+4=0或x-1=0.∴x1=-4, x2=1, 故选A.

(2) 根据根与系数的关系可得x1+x2=5, x1·x2=2.

∴x1+x2-x1·x2=5-2=3, 故选D.

(3) ∵b2-4ac=12-4×1× (-1) =1+4=5>0,

∴方程有两个不相等的实数根, 故选B.

(4) a2+4a-5=a2+4a+4-4-5= (a+2) 2-9, 故选D.

方法总结

判断一元二次方程根的情况, 关键是判断b2-4ac的符号, ①当b2-4ac>0时, 一元二次方程存在两个不相等的实数根;②当b2-4ac=0时, 一元二次方程有两个相等的实数根;③当b2-4ac<0时, 一元二次方程无实数根.

例2解方程.

(1) x2-6x-6=0;

(2) (x-3) 2+4x (x-3) =0.

【点拨】本组题考查一元二次方程的解法.

【解答】 (1) x2-6x-6=0

移项, 得x2-6x=6,

(2) (x-3) 2+4x (x-3) =0

提公因式, 得 (x-3) (x-3+4x) =0, (x-3) (5x-3) =0.

方法总结

解一元二次方程共有以下几种方法:①直接开平方法;②配方法;③公式法;④因式分解法.

解一元二次方程时, 要注意根据方程的特点, 选择适当的方法求解.一般地, 若方程左边是一个完全平方式, 右边是一个非负数或完全平方式, 就采用直接开平方法;若能分解因式就用因式分解法;当两种方法都行不通时, 可采用公式法或配方法.

例3若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根, 求k的取值范围及k的非负整数值.

【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式, 当b2-4ac≥0时, 方程有两个实数根.

【解答】∵方程x2+4x+2k=0有两个实数根,

∴b2-4ac=42-4×1×2k≥0.

即16-8k≥0, 解得k≤2.

∴k的非负整数值为k=2, 1, 0.

例4已知一元二次方程x2-2x+m=0.

(1) 若方程有两个实数根, 求m的范围;

(2) 若方程的两个实数根为x1、x2, 且x1+3x2=3, 求m的值

解: (1) 方程有两个实数根, 则b2-4ac≥0.

∵ (-2) 2-4m≥0, ∴m≤1.

例5如图所示, 某幼儿园有一道长为16米的墙, 计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.

【点拨】列一元二次方程解决实际问题时, 要善于读取题中信息, 找出表示题目全部意义的等量关系.

【解答】设该矩形草坪BC边的长为x米, 根据题意, 得

解得x1=12, x2=20.

∵20>16, ∴x=20不合题意, 舍去.

答:该矩形草坪BC边的长为12米.

方法总结

列一元一次方程解决实际问题时, 一定要检验最后的结果, 对不符合实际问题的未知数的值应舍去.

例6随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展, 汽车已越来越多地进入普通家庭, 成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计, 2007年底全市汽车拥有量为180万辆, 而截止到2009年底, 全市的汽车拥有量已达216万辆.

(1) 求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率;

(2) 为保护城市环境, 缓解汽车拥堵状况, 该市交通部门拟控制汽车总量, 要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计, 从2010年初起, 该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同, 请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆?

解: (1) 设该市汽车拥有量的年平均增长率为x, 根据题意, 得150 (1+x) 2=216, 解得x1=0.2=20%, x2=-2.2 (不合题意, 舍去) .

答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.

(2) 设全市每年新增汽车数量为y万辆, 则2010年底全市的汽车拥有量为 (216×90%+y) 万辆, 2011年底全市的汽车拥有量为[ (216×90%+y) ×90%+y]万辆.根据题意得 (216×90%+y) ×90%+y≤231.96, 解得:y≤30,

即该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆.

例7山西特产专卖店销售核桃, 其进价为每千克40元, 按每千克60元出售, 平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现, 单价每降低2元, 则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元, 请回答:

(1) 每千克核桃应降价多少元?

(2) 在平均每天获利不变的情况下, 为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?

【解析】 (1) 设每千克核桃降价x元, 利用销售量×每千克利润=每天获利列出方程求解即可;

(2) 为了尽可能让利于顾客, 因此应尽可能多地降价, 求出此时的销售单价即可确定几折.

解: (1) 设每千克核桃应降价x元, 根据题意, 得:

化简, 得x2-10x+24=0,

解得x1=4, x2=6.

答:每千克核桃应降价4元或6元.

(2) 由 (1) 可知每千克核桃可降价4元或6元.

因此要尽量让利于顾客, 所以每千克核桃应降价6元.

“一元二次方程”测试卷 篇8

1. 方程是关于x的一元二次方程,则( ).

2. 用配方法解方程,下列配方正确的是( ).

3. 方程x(x-1)=2的两根为( ).

4. 若关于x的一元二次方程的解是x=1,则2010-a-b的值是( ).

A. 2020 B. 2010 C. 2015 D. 2016

5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ).

6. 已知函数y=kx+b的图像如图所示,则一元二次方程根的存在情况是( ).

A. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 有两个不相等的实数根

D. 无法确定

7. 如图,在ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程的根,则ABCD的周长为( ).

(第 7 题 )

8. 定义:如果一元二次方程满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( ).

二、耐心填一填(每题3分,共30分)

10. 已知x=-1是关于x的方程的一个根,则a=__________.

11. 一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方刚好等于这个两位数, 则这个两位数为__________.

12. 如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7 644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为__________________.

(第 12 题 )

13. 点(α,β)在反比例函数的图像上,其中α,β是方程的两根,则k=__________.

14. 若是一个完全平方式,则k=__________.

15. 若一个三角形的三边长均满足方程,则此三角形的周长为__________.

16. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是__________.

三、专心解一解(共46分)

19.(6分)解方程(每小题3分,共6分)

20.(6分)已知关于x的方程,求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.

21.(8分)等腰三角形的两条边a、b是方程的两根,另一边c的一个根,求k的值.

22.(8分)美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某市近几年来,通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施,使城区绿地面积不断增加(如图所示).

(1)根据图中所提供的信息回答下列问题: 2014年底的绿地面积为__________公顷,比2013年底增加了__________公顷;在2012年,2013年,2014年这三年中,绿地面积最多的是__________年;

(2)为满足城市发展的需要,计划到2016年底使城区绿地面积达到72.6公顷,试求今明两年绿地面积的年平均增长率.

(第 22 题 )

23.(8分)阅读题例,解答下题:

24.(10分)端午节期间,某食品店平均每天可卖出300只粽子,卖出1只粽子的利润是1元.经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获取的利润更多,该店决定把零售单价下降m(0<m<1)元.

(1)零售单价下降m元后,该店平均每天可卖出__________只粽子,利润为__________ 元;

(2)在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使该店每天获取的利润是420元,并且卖出的粽子更多?

参考答案

1. B 2. C 3. D 4. C 5. A 6. C 7. A 8. A

9. 24 10. 1或-2 11. 25或36 12.(100-x)(80-x)=7 644 13. -8

14. ±4 15. 6或10或12 16. k>-1且k≠0 17. 5 (-1舍去) 18. 7 (把a、b看作是的两个解)

20. 证明:∵∴原方程有两个不相等的实数根.

21. 提示:易知,c=4,本题分两种情况:(1)当a=b时,;(2)当a=c或b=ck=7.

22.(1)60;4;2014;(2)10%.

23. x=0或x=-2.

第1章一元二次方程 篇9

【名师箴言】

1. 一元二次方程是一元一次方程、一次方程组知识的延续和深化,也是以后学习二次函数的基础,因而要引起同学们的重视.

2. 对本单元的基础知识要全面掌握,一元二次方程的四种解法,根与系数的关系,根的判别式,实际问题中根的取舍等都是本章的重点,也是中考必考内容.

3. 要重视本章所涉及的重要的数学思想和方法:如整体思想、分类讨论思想、转化思想、建模思想、配方法、换元法等.