二次函数与一元二次方程教学反思

二次函数与一元二次方程教学反思（精选17篇）

二次函数与一元二次方程教学反思 篇1

二次函数与一元二次方程教学反思

在“一次函数”一章时已经了解了一次函数与一元一次方程，一元一次不等式(组)，二元一次方程组的联系。本章专门设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。一方面可以深化我们对一元二次方程的.认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。

利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。

本节通过画图，看图，分析图，列表对比，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量(此文来自优秀)，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。不足之处是：有少部分学生对函数与方程之间的关系有点费解。通过了解发现：这部分同学对一次函数和方程的关系也不熟悉，也就是数学基础不扎实，还有就是数形结合能力差，也就是不能建立数与形之间的联系。他们为什么不能很好的做到这些呢?我想，这正是本节课的要点所在。在今后的教学中，一定关注这一点，解决之。

二次函数与一元二次方程教学反思 篇2

论文中,笔者以二次函数与一元二次方程为例,将课前预习、引导学生仔细观察、大胆联想、给学生思考的空间和拓展延伸等各种教学手段融合在课堂教学中,激发和培养中学生对学习数理化的兴趣,提高学生的自学能力。

1 教学模式与手段

1.1 课前预习

(1)二次函数y=ax2+bx+c的图像为抛物线,在__________条件下抛物线与x轴有两个交点;在__________条件下抛物线与x轴只有一个交点;在_______________条件下抛物线与x轴没有交点。

(2)若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过_______________象限。

(3)用手沿斜上方抛出一个重物,物体抛出的高度y(m)与物体运动的时间t(s)的关系为y=-t2+5t+3。(1)经过_____时间,物体达到它的最高点?最高点的高度是_____?(2)经过_____秒,物体落在地面上?落地点与抛出位置的水平距离为____________。

(4)一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c图像之间的关系为_______________。

(5)一元二次方程ax2+bx+c=h的根与二次函数y=ax2+bx+c图像之间的关系为_______________。

1.2 引导学生仔细观察、大胆联想

问题:函数y=ax2+bx+c的图像以x=1/3为对称轴,与x轴相交于-1和1两点,图像顶点坐标为(1/3,-1)根据信息你能得到关于系数a,b,c的一些什么结论?

分析点拨:

(1)a>0;(2)-1<c<0;(3)b2-4ac>0;(4)∵x=1/3,∴2a=-3b;(5)由(1)(4)得b<0;(6)由(1)(2)(5)得abc>0;(7)考虑x=1时y<0,所以有a+b+c<0;(8)又x=-1时y>0,所以有a-b+c>0;(9)考虑顶点的纵坐标,有

1.3 给学生思考的空间

你能利用二次函数的图像估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?

分析解答:

(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图像。

(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图像与x轴的交点的横坐标;由图像可知:图像与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3。

(3)确定方程x2+2x-10=0的解,由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3。

1.4 拓展延伸

利用二次函数的图像求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根。

(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图像。

(2)作直线y=3。

(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标;由图像可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。

(4)确定方程x2+2x-10=3的解,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7。

在小组成果对比中,同学们发现有个小组的图像和别人的不同,起初有些议论,笔者就请了这个小组的成员上了讲台发言。原来他们把方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0,这样问题就转化成前面已经解决了问题了。

附创新解法2:

(1)原方程可变形为x2+2x-13=0;(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图像;(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标。由图像可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。(4)确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7。

同学们明白了这种解法的简洁原因,笔者也不失时机地向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性。

2 结语

总之,必须改变传统的“黑板+粉笔”的教学模式,让学生也参与到老师的教学过程中,这样才能全面提高学生的自学能力。此论文中,笔者以二次函数与一元二次方程为例,将课前预习、引导学生仔细观察、大胆联想、给学生思考的空间和拓展延伸等教学手段相结合,利用现代教育技术手段实施中的趣味性等多种可行的措施来激发和培养中学生对学习数理化的兴趣,提高学生的自学能力。在浓烈的兴趣下培养他们的思辨,表达,探索各方面的综合能力,让不同层次的学生得到发展。

参考文献

[1]王道俊,王汉阑.教育学[M].人民教育出版社,1989.

[2]王大顺.教育心理学[M].兰州大学出版社,2002.

[3]廖伯琴.中学数学课程改革的目标与实施[M].高等教育出版社,2003.

二次函数与一元二次方程教学反思 篇3

关键词：二次函数；二次不等式；一元二次方程；关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-117-01

二次函数是初等函数中的重要函数，历来是中考的重点知识，是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。下面，我们谈谈二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系。

一、二次函数与二次不等式有如下的关系：

①、使得二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围，即求 的解集；反之，求 的解集，即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。（此处常用图解法求一元二次不等式的解集）

②用图像法求一元二次不等式

的解集步骤：

、设：设 ，则求 ，即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。

、作：根据五点作图法，作出一次函数 的图像。

、解：根据直角坐标系特点， 轴上方， 恒成立；反之， 轴下方， 恒成立，故求 ，即看图像在 轴下方部分时， 的取值范围即可。

例1：已知y=x2-2x-3，当y<0时，自变量x的取值范围是______________.

分析：因为二次函数与x轴两个交点坐标分别是 ， ，有图像可知，当 时，自变量x的取值范围是

解：根据五点作图法，作出二次函数y=x2-2x-3的图像

根据直角坐标系特点， 轴下方， 恒成立，故求 ，即看图像在 轴下方部分时， 的取值范围即可。所以自变量x的取值范围是

二、二次函数与一元二次方程的关系

因为抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1， x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。所以

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

例2.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=

分析：本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。

解： 抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

当 时，y=0，且 ，即 ，

又 点A（m，n），B（m+6，n）， 点A、B关于直线 对称；

，

将A点坐标代入抛物线解析式，得：

一次函数与一元一次方程教学反思 篇4

一次函数与一元一次方程教学反思

本节内容并不多,通过讨论一次函数与方程的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的内容的认识,熟悉数形结合思想。教材还说“这种再认识不是简单的回顾复习,而是居高临下地进行动态分析。

学完课本内容后,让学生找开基训P23,做上面的1、2。第2题要求“求函数解析式且画出图象,根据图象回答„„”。学生练习本上求解函数解析式,巡视中发现许多学生并没有作出一次函数的图象而直接把已知代入解析式求解,虽然也能答出结果但有悖题意。我赶快提示学生,根据要求答题。几分钟后,检查学生完成的情况,却发现部分学生所画的图象不规范,如没有标出与两坐标轴的交点。还有的学生虽然画出了图象却依然是“把X=2代入„„”可见学生对于图象的运用仍然不熟练,本章还有许多利用图象解决实际问题的题,数形结合真是一个难点。临下课五分钟,我突然想到用几何画板讲解这道题目非常合适,因为画板能准确地做出此题的图象,一试效果不错。

《实际问题与二次函数》教学反思 篇5

《实际问题与二次函数》教学反思

刚刚上完了《实际问题与二次函数》，自我感到满意的地方是，通过探究“矩形面积”“销售利润”问题，激发学生的学习欲望，渗透转化及分类的数学思想方法，把知识回归于生活，又从生活走出来。我是这样设置问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长分别为10米、15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？让学生能准确的建立函数关系并利用已学的函数知识求出最大面积。又设置问题：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则此时该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？通过这样层层设问，由易到难，符合学生的认知水平，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。但感到不足的地方是，由于题目设计比较多，在处理起来比较仓促，时间上前松后紧，在今后的教学中要注意这一点。还要尽可能地让每一个学生参与到学习中，提高学生学习数学的积极性。

二次函数与一元二次方程教学反思 篇6

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

二次函数与一元二次方程教学反思 篇7

本节课是人教版《数学》九年级下册“二次函数的图像与性质”第四课时, 它是在学生已经学习过一次函数、反比例函数的图像与性质, 以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的, 它既是对之前所学函数知识的拓展, 又是对前几节课学习的二次函数y = ax2, y = ax2+ c, y = a ( x - h) 2的图像与性质内容的延续和深化, 是对二次函数特殊情形的研究, 为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础, 做好铺垫. 这节课充分体现了数形结合的数学思想, 而且无论是在知识上, 还是对学生动手能力的培养上, 都有着十分重要的作用.

二、教学目标

1. 会用描点法画二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像, 会应用二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质解题.

2. 掌握二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质, 掌握把抛物线y = ax2平移至y = a ( x - h) 2+ k的规律.

三、教学重难点

重点: 掌握二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质, 并要会灵活应用.

难点: ( 1) 二次函数y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2的图像之间的位置关系;

( 2) 通过对图像的观察, 对比分析发现规律, 归纳出其性质.

四、教具准备

多媒体课件、投影仪.

五、教学过程

( 一) 复习回顾, 引入问题

1. 复习提问

师: 前面我们学习了哪几种类型的二次函数图像? 它们之间有什么联系?

生: 二次函数y = ax2, y = ax2+ c, y = ( a - h) 2的图像.

( 学生回答的同时多媒体展示出其联系)

c > 0向上平移

y = ax2———y = ax2+ c对称轴为y, 顶点是y轴上的 ( 0, c) 点

c < 0向下平移

h > 0向右平移

y = ax2———y = ( a - h) 2对称轴为x = h, 顶点是x轴上的 ( h, 0) 点

h < 0向左平移

2. ( 多媒体展示, 指名学生回答) 二次函数 y = -1x22的图像, 可以先向___平移___个单位, 得到函数y =-1/2x2- 1的图像; 二次函数y = -1/2x2图像向平移___个单位得到y = -1/2 ( x + 1) 2的图像.

3. 引入问题

师: 那二次函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像又是什么样的呢? 你能说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并画出其图像吗?

( 二) 探索新知

1. 师: 请同学们在纸上画出函数 y = -1/2 ( x + 1) 2- 12的图像, 指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.

列表:

2. 先让学生自己列表、描点、连线, 然后在投影上展示学生的作图, 作图出现的问题及时给予纠正, 同时多媒体展示作图过程, 然后让学生观察图像, 指名学生归纳出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.

3. 进一步提出问题

师: 我们通过画二次函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像观察出它的顶点坐标为 ( - 1, - 1) , 如果不画出二次函数的图像, 你也能说出它的顶点坐标吗? 如y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标是多少?

生: ( 有学生很快就说出) y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标是 ( - 5, - 2) .

师: 为什么y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标就是 ( - 5, - 2) , y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像的顶点坐标就是 ( - 1, - 1) 呢?

4. 学生开始思考, 让学生分小组讨论交流, 不同小组发表自己的讨论结果.

生1: 从函数解析式来看, 因 ( x + 1) 2≥0, 所以 -1/2 ( x +1) 2≤0, 当x = - 1时, 函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1有最大值- 1, 所以函数图像的顶点坐标为 ( - 1, - 1) .

师: 还有没有不同的想法?

生2: 从平移的 观点来看, 把抛物线y = -1/2x2向左平移1个单位, 再向下平移1个单位, 就得到抛物线y = -1/2 ( x + 1) 2- 1.

抛物线

从而得顶点 ( 0, 0)

生3: 也可以把抛物线y = -1/2x2向下平移1个单位, 再向左平移1个单位, 得到抛物线y = -1/2 ( x +1) 2- 1.

顶点 ( 0, 0 )

教师可鼓励学生的发现.

5. 观察图像, 得出性质

师: 通过平移抛物线y = -1/3x2可得到抛物线y =-1/2 ( x + 1) 2- 1, 那抛物线y = a ( x - h) 2+ k与抛物线y =ax2有怎样的联系?

生1: 抛物线y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2形状相同, 位置不同.

生2: 把抛物线y = ax2向上 ( 下) 向右 ( 左) 平移, 可以得到抛物线y = a ( x - h) 2+ k.

教师可补充: 平移的方向、距离要根 据h, k的值来决定.

师: 根据抛物线y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2的联系, 同学们能总结出抛物线y = a ( x - h) 2+ k的性质吗? 让学生再次分组讨论并探究抛物线y = a ( x - h) 2+ k的性质.

各小组基本都能归纳出:

抛物线y = a ( x - h) 2+ k有如下特点:

1当a > 0时, 开口向上; 当a < 0时, 开口向下.

2对称轴是直线x = h; 3顶点是 ( h, k) .

对于二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像的增减性, 学生不太容易总结出来, 可在白板上分别展示出a > 0, a < 0时的图像, 根据函数图像引导学生得出结论.

( 三) 课堂练习 ( 多媒体展示下列各题)

1. 抛物线y = - 3 ( x + 4 ) 2+ 1中, 开口向___, 顶点为___, 对称轴为___, 当x___ =时, y有最值是___. 当x ___>时, y随x的增大而___, 当x___ <时, y随x的增大而___.

2. y = 4 ( x - 1 ) 2+ 3 的 图 像 可 由 y = 4x2的 图 像 向平 移___个 单 位, 再 向平移___个单位得到. 因此 y = 4 ( x - 1) 2+ 3 的 对称轴是___, 顶点坐标是 ___, 当 x___ 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x ___时, y 随 x 的增大而减小; 当 x =___时, 函数 y 有最__ 值___ .

3. 设抛物线的顶点为 ( - 2, 1) , 且经过点 ( 3, 2) , 则它的解析式为___.

4. 已知抛物线 y = a ( x - h) 2+ k 的顶点坐标为 ( 1, 2) , 且 x = 2 时, y = 6, 则 a =___.

( 四) 课堂小结

这节课我们学会了什么? 师生共同总结抛物线y = a ( x h) 2+ k的图像的性质.

六、教学反思

在本节课的教学中, 教师不再一味地传授知识, 而是以问题的形式启发引导学生自己去发现、解决问题. 本节内容整合了学生已有的知识储备, 让学生自己在已有的知识上去发现新知, 从而掌握新的知识. 教学中让学生自己动手画图, 观察, 主动探求新知识, 同学之间分小组讨论交流, 体验知识的形成过程, 体会观察、分析、归纳解决问题的技能与方法, 这样不仅加深了学生对知识的认识与理解, 还培养了学生的动手实践能力及团结合作的意识. 在教学中, 教师应重视引导学生进行有条理的交流, 让学生能够清晰地阐述自己的想法, 让学生先在小组内讨论交流, 解除困惑, 然后将其讨论结果在全班交流, 对新知识达成共识. 本节在教学过程中遵循让学生积极参与到课堂教学中来, 并使动手动口动脑相结合, 让教学发挥最大效益, 使学生“学”有所思, “学”有所获. 在教学中, 不仅让学生经历知识探索形成的过程, 同时还使学生能用综合法加以证明, 进一步发展学生的推理能力.

因这节课是学生刚开始接触二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像与性质, 所以课堂练习都是性质的基本应用, 目的就是让学生进一步巩固和理解基础知识, 难度不易大, 对于没能掌握的学生要及时补救. 这节课还用了多媒体教学, 用投影仪展示学生的作图, 可以发现学生作图的问题有哪些, 便于教师指导学生, 共同纠正错误, 使学生印象深刻, 同时用多媒体课件动态演示函数图像的画法, 这样不仅给学生以直观的感受, 及时发现自己的问题, 使学生更容易接受和理解知识, 还降低了教学难度, 化难为易, 提高了教学效率, 节省了时间, 同时也激发了学生的学习兴趣. 但又因使用课件容量大, 速度快, 有少部分学生没能充分理解所讲的新知识, 还得靠课外去消化.

另外, 教学时应注意给学生足够的时间和空间去思考交流, 同是要让学生有机会畅谈他们的感受体验和收获, 给机会表达他们学习的困惑, 及时鼓励他们提出自己的建议和见解, 在课堂上真正体现以生为本的教育理念.

摘要：课堂教学改革提出已久, 我们的课堂也或多或少都在实践着新的教学理念, 然而, 在我们的课堂教学中停留在教师“教”上的仍然居多, 如何把课堂还给学生, 让学生切实从听教师讲、做练习等被动的学习中解脱出来, 把“教”转化为“学”, 调动学生的积极性, 主动参与到课堂, 放手让学生自主学习, 不断提高课堂效率呢?这需要每一个教师在教学实践中不断地探索, 在交流中相互学习, 相互促进, 共同探索提高.

二次函数与一元二次方程教学反思 篇8

如何创设情境，让学生在活跃轻松的氛围中学习数学？应用数学？

如何让学生体会生活中处处有数学？

背景介绍：一元一次不等式与一次函数是新课标北师大版初中八年级下学期第一章第五节第二课时的内容。在第一节课我们已经体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，培养学生的数形结合意识，而这一节课进一步让学生体会不等式在现实生活中的运用。把数学知识与现实相联系，增强他们学数学的积极性，从而更好地服务于社会。

案例简述：

创设问题情境，引入新课。

首先，我对同學说：随着国家的富裕，人民生活水平的提高，人们的消费观念也在逐渐改变，每年的“五·一”“十·一”黄金周，人们都喜欢出去旅游。旅行社便瞅准了这个商机，他们会打着各种各样的优惠政策来诱惑你，那么假如你打算去旅游，该怎样选择呢？你怎样才能办到既花钱少，又会玩得开心呢？这时同学们热情高涨。

接着，我在大屏幕出示了例1：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计在10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过商量，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去一位游客的费用？其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用少？

实录一

师：同学们！如果你是这家单位的负责人，你计划选哪家旅行社呢？（有一些同学笑了起来）。这时同学们积极讨论。（同学举手回答）

生1：我选择甲旅行社，因为打七五折，比打八折便宜。

生2：选择乙行社，因为乙旅行社既打八折，还免交一个人的费用200元。

生3：不能肯定，一定要算一下，才能决定。

师：分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较，而且比较情况只能有三种，即大于、等于或小于。

解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y，选择乙旅行社时，所需的费用为y元，则：

y1=200×0.75x，即：y1=150x

y2=200×0.8（x-1），即：y2=160x-160

y1=y2时，150x=160x-160，解得x=16

y1>y2时，150x>160x-160，解得x<16；

y116。

因为参加旅游的为10～25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少。当10≤x≤25时，选择乙旅行社费用少。

接下来，我又对同学们说：在我们的生活中，你会经常去购物，并且你也会看到商场里的物品打折，但是，你怎样买到物美价廉的商品呢？

这时，大屏幕上出示了例2某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台的报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%，乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。

（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系。

（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？

（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？

（4）什么情况下两家商场的收费相同。

实录二

师：同学们有了刚才的经验，那么大家应该能很轻松地完成任务了吧？

生：解：设要买x台电脑，购买甲商场所需费用y元，购买乙商场的电脑所需费用为y元，则有：

（1）y1=6000+（1-25%）（x-1）×6000

即：y1=4500x+1500

y2=80%×6000x

即：y2=4800x

（2）当y1

解得x>5

即当所购买的电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；

……

最后在大屏幕上出示了一道练习题。

海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元。2007年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：

■

现在购买这两种产品80条，付款总额不超过2万元，问最多可购买羽绒被多少条？

在这节课中我们主要是要激发学生学习数学，热爱数学，此题是一道方案决策最优问题，我们从题目中获得信息，旅游的人数确定在10～25之间，而购买电脑台数不定。这就需要准确提取信息，找出函数关系。构建数学模型，解决实际问题，应用不等式的知识解决日常生产、生活问题，是我们常见的题型。

点评与反思：

要优化数学教学，促进学生的发展，不是一节课就能完成的，要根据具体的教学内容，不断加强数学与现实生活的联系。加强数学模型的构建。在这节课的教学结束之后，有同学问我：老师我会列函数的解析式，也会解不等式了。但是，为什么像例1中的自变量17≤x≤25时选择甲，而10≤x≤15时选择乙，而不像例2中x只有一个值。面对学生提出的问题，我感觉在今后的教学中，要加强数学模型的构建，不同的题型有不同的数学模型。在讲解时要有针对性地分析、讲解，让学生充分讨论、归纳等。

数学源于生活，生活中处处都有数学。数学只有与生活联系才能显得真实，才能显得精彩，才能充满价值。教师应当重视学生从生活经验和已有的知识中去学习数学、理解数学、应用数学。

二次函数与一元二次方程教学反思 篇9

本节课由一次函数讨论了三个已书法家对象：一元一次方程、一元一冷饮不等式和二元一次方程组，这些不是新知识，但对其认识还有待于进一步深入，本节用函数的观点对它们进行分析，这种再认识不是简单的回顾复习，而是居高临下的进行动态分析。因此，教学中，一定要把握内容的要求尺度。通过 本节课的教学，应加强知识间横向和纵向的联系。发挥函数对相关内容的统作用，能用一冷饮函数的观点把以前学习的方程与不等式进行整合。

本节课的教学发现：有一小部分的学生还是不懂得看函数不理解函数值大于0、小于0进所对应的自变量的值应如何看，如何写出满足条件的答案。因此，建议在教学过程中增加看图的练习题：知道函数值的范围求自变量的`取值范围，知道自变量的取舍范围求函数值 的范围等类型的题目。

二次函数教学反思 篇10

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教学反思:

今天，领着学生复习了二次函数的知识。本节知识是中考考点之一，往往与其他知识综合在一起作为中考压轴题，因此要求学生重点掌握的有以下几个内容：

1、二次函数图像的性质。

2、二次函数的实际应用。

在复习与练习的过程中，我发现学生存在着这样几个问题。

1、某些记忆性的知识没记住。

2、学生稍遇到点难题就失去做下去的信心。题目较长时就不愿意仔细读，从而失去读下去的勇气

3、学生的识图能力、读题能力与分析问题解决问题的能力较弱。

4、解题过程写得不全面，丢三落四的现象严重。

针对上述问题，需要采取的措施与方法是：

1、根据实际情况，对于中考升学有希望的学生利用课余时间做好他们的思

想工作。并对他们进行面对面的单独辅导，增强他们的自信心，以此来提高他们的数学成绩。

2、结合自己的学习经验对他们进行学法指导和解题技巧的指导。

3、根据不同的学生情况，搜集典型题让他们单独做，并给予及时的辅导与

矫正。

4、与其它任课教师联手一起想对策，指导学生读题的方法与分析问题，解

决问题的方法。

5、无论是做练习还是考试之前，都告诉学生要认真仔细的读题，从图形中

二次函数与一元二次方程教学反思 篇11

(1) 理解一元二次方程的概念。

(2) 掌握一元二次方程的一般形式, 正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。

(3) 由知识来源于实际, 树立转化的思想, 由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想, 从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。

(4) 培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

【教学重点】

一元二次方程的概念及一般形式。

【教学难点】

(1) 由实际问题向数学问题的转化过程。

(2) 正确识别一般式中的“项”及“系数”。

【教学流程】

活动1创设情境引入新课

复习一元一次方程有关概念;通过实际问题引入新知。

活动2启发探究获得新知

通过类比一元一次方程的概念和一般形式, 让学生获得一元二次方程的有关概念。

活动3运用新知体验成功

巩固训练, 加深对一元二次方程有关概念的理解。

活动4归纳小结拓展提高

回顾梳理本节内容, 拓展提高学生对知识的理解。

活动5布置作业分层落实

分层次布置作业, 提高学生学习数学的兴趣。

【教学过程】

[活动1]

问题:

2008年奥运会将在北京举办, 许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训, 由已合格人员培训第一轮人员, 再由前面所有合格人员培训第二轮人员, 以此类推来完成此次培训任务。

某高校学生李红已受训合格, 成为一名志愿者, 并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

(1) 已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程。

(2) 若两轮培训后该校共有121人合格, 你能列出满足条件的方程吗?

通过多媒体播放视频短片, 引入情境, 提出问题。在第 (1) 问中, 通过教师引导, 学生列出方程, 解决问题。

在第 (2) 问中, 遵循刚才解决问题的思路, 由学生思考, 列出方程。

通过创设情境, 引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式, 为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫。

通过解决实际问题引入一元二次方程的概念, 同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。

[活动2]

(1) 一元二次方程的概念。

等号两边都是整式, 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的方程, 叫做一元二次方程。

让学生充分感受所列方程的特点, 再通过类比的方法得到定义, 从而达到真正理解定义的目的。

(2) 一元二次方程的一般式:

引导学生类比一元一次方程的一般形式, 总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念。

[活动3]

例1:天津四中为树立学生的团结、拼搏精神, 组织了一次篮球比赛, 参赛的每两个队之间都要比赛一场, 依据场地和时间等条件, 赛程计划安排7天, 每天安排4场比赛, 请问全校有多少个队参赛? (列方程并整理成一般形式)

教师在此活动中应重点关注。

(1) 由一个学生列出方程, 并解释解题方法, 教师进行引导, 点评, 引起其他学生的关注, 认同。

(2) 教师在归纳点评过程中, 应注意把两队只打一场比赛解释清楚, 以便学生理解题意。

(3) 整理一般形式后, 教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法, 如去括号, 移项, 合并同类项, 去分母等。

(4) 让学生指出各项系数时, 教师强调系数须带符合。

此题有在实际生活中应用的意义, 通过此题让学生理解比赛赛制安排原则。

例2:当m取何值时, 方程:

是关于x的一元二次方程?

此题是字母系数问题, 由学生思考解题过程, 让学生讲解此题, 教师进行总结点评, 大屏幕显示解题过程。

[活动4]

(1) 问题:

本节课你又学会了哪些新知识?

学生反思本节课中学到的知识, 总结活动中的经验。

小结时, 教师应重点关注。

(1) 学生是否能抓住本节课的重点;

(2) 学生是否掌握一些基本方法。

小结反思中, 不同学生有不同的体会, 要尊重学生的个体差异, 激发学生主动参与意识, 为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

(2) 思维拓展。

若方程x2m+n+xm-n+3=0是关于x的一元二次方程, 求m, n的值。

此题让学生进行思考, 讨论, 让学生进行讲解, 教师作适当归纳, 可留疑, 让学生课下思考。

[活动5]

课后作业:

(1) 教科书第98页习题17.1第1、2、5、6、7题。

(2) 请根据所给方程:

联系实际, 编写一道应用题: (要求题目完整, 题意清楚, 不要求解方程) 。

(1) 组题目为巩固型作业, 即必做题。

(2) 组题目为思维拓展型作业, 即为学有余力的学生设置。

分层次布置作业, 尊重学生的个体差异, 激发学生学习积极性。

【教学反思】

本节课是一元二次方程的第一课时, 通过对本节课的学习, 学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念, 并学会利用方程解决实际问题。在教学过程中, 注重中难点的体现。

在本节课的活动1中, 通过实际问题引入学生熟悉的一元一次方程, 让学生掌握利用方程解决问题, 从而顺利过渡到后面的问题。活动2中让学生观察活动1中得到的3个方程, 并通过类比一元一次方程的定义和一般形式, 从而获得本课的新知识。活动3意在强化学生所学知识, 并运用到实际问题中去。

教学过程中, 应随时注意学生们出现的问题, 及时进行反馈, 使学生熟练掌握所学知识。

摘要：本文以初中数学《一元二次方程》为例, 进行了教学设计, 详细内容如下:学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念, 并学会利用方程解决实际问题。在教学过程中, 注重中难点的体现。

《二次函数》教学反思 篇12

本节课在两个地方学生出现疑难：一是分析题意时理不清价格和数量之间的对应关系;二是不能准确判断自变量的取值范围和函数的最值。对于这些难点我是这样处理的：

首先在回顾了前面的知识点后提出实际问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?在分析题意时学生能分清涨价、降价所对应的商品销量，但一小部分学生依教材上的解题思路不能理解售价和销量之间的对应关系。对于这个难点我是这样处理的：设每涨x个1元，则每件售价为(60+x)元，少卖出10x件，共卖出(300—10x)件;每降价x个1元，则每件售价为(60-x)元，多卖出20x件，共卖出(300+x)件。重点强调“x个”!虽然在分析中只多了个“每(涨或降)…个1元”，但就这几个字却能帮一部分学生理清关系和思路，如涨3元8元的问题，则售价为(60+3x)元或(60+8x)元，这样学生从最小单元开始分析，逐层递进，很容易理清思路找准关系。这个关系弄清了，函数关系自然水到渠成就写出来了。

其次是由函数解析式确定最大值，而确定最值时必须考虑实际问题中自变量的取值范围。在这个问题中x首先是非负数，同时(300—10x)也是非负数，所以x大于等于0且小于等于30。结合函数解析式y=-10x2+100x+6000可知该函数图象开口向下，有最大值。由顶点坐标公式可以计算出当x=5时(在自变量的取值范围内)，y有最大值，且此时y=6250。强调此时不仅要考虑顶点坐标公式，还要结合题意看这个x值是否在其取值范围内。x值确定后将其代入就可求出最值y的大小。

二次函数复习教学反思 篇13

本节课重点是，结合图象分析二次函数的有关性质，查缺补漏，进一步理解掌握二次函数的基础知识。要想灵活应用基础知识解答二次函数问题   ，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，与生活实际密切联系，学生对生活中的“二次函数”感知颇浅，针对学生的认知特点，设计时做了如下思考：一、按知识发展与学生认知顺序，设计教学流程：首先通过复习本章的知识结构让学生从整体上掌握本章所学习的内容，从而才能在此基础上运用自如，如鱼得水；二、教学过程中注重引导学生对数学思想应用基础知识解答，然后小组进行交流讨论， 老师点评，起到很好的效果。这堂课老师教得轻松，学生学得愉快，每个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和于探究，形成良好的学习品质。

数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，促使学生主动地学习，不断提高发现提出问题、分析问题和解决问题的能力；设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：（1）如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？（2）如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？ （3）如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？ （4） 培养学生合作学习的互助精神和独立解决问题的能力。

 

二次函数与一元二次方程教学反思 篇14

关键词：函数,方程思想,数学教学

文献中, 原题是求一个函数y = x +槡x ( 2 - x) 的值域.作者给出了四种解法, 有通法, 也有精妙的构思. 但笔者在看到第一种解法, 即利用函数与方程的关系, 将函数问题转化为二次方程判别式问题的方法时, 觉得这种解法的解释不够完美, 不能很好地解释函数与方程的关系. 所以希望能做补充和解释, 不当之处, 望各位同行批评指正. 现将原解答摘抄如下:

但函数的定义域为{ x|0≤x≤2} , 而Δ≥0仅保证关于x的方程1在实数集R上有实数根, 但不能确保实数根在区间[0, 2]内, 即不能确保方程1在[0, 2]上有实数根, 因此, 由Δ≥0求出的y的范围可能比y的实际范围大, 故函数的值域不一定恰好是[1 -21/2, 1 +21/2], 因此采取以下的方法进一步确定原函数的值域.

∵ 0≤x≤2,

∴ ymin= 0.

把y = 1 +21/2代入方程1,

解得x = 1 +21/2/2∈[0, 2].

即当x = 1 +21/2/2时, y取得最大值1 +21/2.

∴原函数的值域为[0, 1 +21/2].

在评注中, 作者提到该解法是学生容易想到的方法, 但若考虑不细致, 容易将值域求错.

笔者认为, 这个思路虽然能解决此题, 但若换成另一题, 未必适用. 同时, 对于错误的形成, 分析得不够明确, 事实上, 学生易错此题并不只是考虑不细致, 而是对函数与方程思想理解得似是而非. 笔者接下来举例, 说明上述方法的缺点.

变式: 求函数

此题若仍按上述解法, 得到方程两边平方得

又由Δ≥0, 解得y≥3或y≤ - 3, 又此函数定义域为R,

按上法分析, 值域即为{ y| y≥3或y≤ - 3} .

而此题正确答案是[3, + ∞ ) .

为什么会出现这样的答案? 原题给出的解答是:故 y > x, 当 x > 0 时, y > 0; 当 x < 0 时, . 因此, 原函数的值域为[3, + ∞ )

事实上, 等价条件转化中, 学生为什么总会漏掉条件?往往是因为对于条件转化中两个条件是否等价并不明确, 包括这两道题的作者的解法对此问题阐述得也不够明确.这样去找条件限制值域, 显得目标不够明确, 往往只是抓住题目中的一个必要条件, 这样的条件如何找? 学生往往会很迷茫. 那么, 这种题目产生错解的原因究竟是什么呢? 我们先以原题举例.

( y - x) 2= x ( 2 - x) 已经包含着函数的定义域为{ x | 0≤x≤2} 这一事实. 所以, 错解的原因并不是定义域的问题.

的等价形 式明显不 是, 因为含有两个方程, 使得有根的y才是使得值域范围变大的原因.

笔者给出的解答如下:

这样, 我们就可以将一个函数求值域的问题, 转化为一个含参数y的关于x的二次方程有解的问题, 而由等价条件, ( y - x) 2= x ( 2 - x) 不但应该有解, 解的范围还应该满足y≥x.

那么, 这就变成了一个一元二次方程根的分布的问题.

两边平方整理得

若方程的根均满足x > y, 则根据根的分布的知识, 有, 解得y < 0.

即若要保证x≤y时有根, 需要同时满足

即原函数的值域为[0, 1 +21/2].

注意到, 笔者的任何转化都是等价的, 所以求出的结果当然无需检验或者细致地重新考虑各个条件, 结果一定是正确的. 首先的值域问题即为关于x的方程中使得方程有根的y的范围的问题, 这属于函数与方程思想的范围. 而接下来我们只需要研究无理方程有根的问题, 即转化为等价形式

笔者在教学过程中发现, 学生在解题时, 对于判别式法这一求值域的有力工具往往用不好, 只能注意到Δ≥0这一个条件, 这就导致了往往结果是正确的, 但求值域的过程是有问题的. 笔者上面列举的思路其实可以作为解决这一类型函数的通法. 这样就避免了前面原题和变式作者给出的解答学生无法理解的情况.

我们用同样的思路解答笔者给出的变式.

笔者所举例的变式解法非常多, 如三角换元、导数法, 或者利用“数形结合”的构造法. 但本文旨在说明这种类型函数, 用函数与方程的想法解题时如何避免探讨非等价条件解错值域. 这里就不一一将其他方法列举, 只说明这些方法都是可行的, 读者若感兴趣, 可自行证明.

参考文献

二次函数图象之教学反思 篇15

这堂课最大 的却失是教学手段单一，浪费了时间，降低了课堂效率，这一点在探讨a的取值决定抛物线的开口方向和大小时我深有感触，为了让学生自己去体会，画图像花费了相当的时间，只是后面学生的反馈应用时间不够，后来上网查看，要是能借助几何画板来掩饰，那将是别有一番效果，所以我认为要做好反思要注意一下几点：

1、要有勇于改革创新的精神，积极投身于数学教学改革的大潮中。改革本身就是一种新事物，每时每刻都有新现象、新动向、新问题。

2、要想有所发现，还必须拓宽知识面，增加知识底蕴。

3、要勤于动脑，善于思考。在上完每节课后都要进行反思，反思一节课的成败得失，并及时做好记录。

九年级数学《二次函数》教学反思 篇16

1、学习图像之前，让学生正确画平面直角坐标系，准备不同颜色的彩笔。

2、每节课基本都是学生自己画图、比较、讨论、总结。本节画出的图像比较，和上节学习的图像比较，和小组其他同学比较，看形状、看开口、看对称轴、看顶点有什么相同点和不同的地方，尽可能自己总结函数的图像。

3、小组展示成果，其他小组听、评和补充。总结出顶点形式的图像性质。

4、画出函数的图像，根据图像确定ahk的数值。

例谈函数与方程的应用 篇17

关键词：函数与方程,应用

视角一构造函数或方程来解决问题

例1已知集合, 则集合M表示的图形是___?

分析:本题关键是找到变量x, y的关系, 直接化简会很复杂, 如果移项变形, 化为, 构造函数会轻易解决.

解析:构造一个常见的函数, 则g (x) 为R上的增函数, 且为奇函数.又已知等式可化为, 于是g (x) =-g (y) =g (-y) , 因此x=-y, 即x+y=0.所以, 集合M表示的图形是直线.

点拨:本题难在对所给的式子不会化简, 导致半途而废.因为所给式子中有两个变量x, y, 如果把所给等式整理为, 不难发现能构造函数f (x) =x+x2+1 (x∈R) 来解决.

视角二函数方程思想在不等式中的应用

例2已知在区间[-1, 1]上是增函数, (1) 设关有两个非零实根为x1, x2.问:是否存在实数m, 使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1, 1]恒成立?

解析:关于的方程可以化为.解得x=0或x2-ax-2=0.由于Δ=a2+8>0, 所以方程x2-ax-2=0有两个非零实根x1, x2.计算|x1-x2|, 由x1+x2=a, x1x2=-2得.本题等价于是否存在m, 使不等式.对a∈A, t∈[-1, 1]恒成立.把看作关于a的函数, 则①式等价于m2+tm+1≥Tmax (a) ②.由于a∈A, 则, 从而②式转化为m2+tm+1≥3, 即m2+tm-2≥0③.对t∈[-1, 1]恒成立.我们又可以把③式的左边看作关于t的函数.记g (t) =m2+tm-2=mt+m2-2.对m=0和m≠0分类研究.若m=0, ③式化为g (t) =-2≥0, 显然不成立;若m≠0, g (t) 是t的一次函数.要使g (t) ≥0对t∈[-1, 1]恒成立, 只要g (-1) ≥0及g (1) ≥0同时成立即可, 如图1, 图2.

解不等式组得m≤-2或m≥2.所以存在实数m, 使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A, t∈[-1, 1]恒成立, 其取值范围是{m|m≤-2或m≥2}.

点拨: 在做题时要格外的注意对于题意的理解以及计算时的分类.

视角三函数方程思想在数列中的应用

例3已知等差数列{an}, 其前n项和为Sn, 是否存在常数k, 使得成立?

解析:设存在常数k, 使成立, 令an=pn+q (p、q为常数) , 则k (pn+q) 2-1=S2n-Sn+1①.又, 代入①式变为, 所以由②得p=0或kp=3/2.若p=0, 代入③、④不成立;将kp=3/2代入③, 得q=-p/4, 代入④得kp2/16-1=-p+p/4, 即, 所以p=32/27, 从而得出q=-8/27, k=81/64.所以存在常数k, 使得成立.

点拨: “假设 — 推证 — 定论”是解答此类问题的三个步骤. 本题通过设等差数列的通项公式an= pn +q ( p、q为常数) , 构造方程, 从而自然地解决了此问题.

参考文献

[1]陈江华.函数与方程思想在高中数学中的应用[J].读与学教育教学版, 2014 (3) .