二次函数的应用教学设计

二次函数的应用教学设计（通用12篇）

二次函数的应用教学设计 篇1

二次函数的应用教学设计

一、教学分析

（一）教学内容分析

二次函数yax2bxc的图像和性质是人教版九年级数学下册的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及yax2bxc的图像和性质之后引入的新内容。本节课的教学内容既是对yax2bxc的图像和性质的引申，也是后面研究其它模块知识的基础。所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。

（二）教学对象分析

九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数和反比例函数的内容，从学习情况看，他们对函数的理解和掌握情况并不理想。通过课下的了解，学生们对二次函数有一定的畏难情绪，对学习非常的不利，掌握图像和性质是本节应用的基础。所以我们在教学过程中，要想方设法的调动学生的积极性，帮助他们突破难点。

二、教学目标设计

（一）知识与技能: 通过本节学习，巩固二次函数yax2bxc,(a0)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

（二）过程与方法：

能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

（三）情感、态度与价值观：

1、在进行探索活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

三、教学方法设计

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

四、教学过程设计

（一）导学提纲

设计思路:最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

(二)前情回顾:

1、复习二次函数yax2bxc,(a0)的图象、顶点坐标、对称轴和最值。

2、抛物线在什么位置取最值？(三)适当点拨，自主探究 1.在创设情境中发现问题

[做一做]:请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少,再和同学比比，发现了什么,谁的面积最大，2、在解决问题中找出方法

[想一想]:某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大,(问题设计思路:把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，合作探究中在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。)

3、在巩固与应用中提高技能

例1:小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示)，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大,(设计思路:例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。)

解:设垂直于墙的边AD=x米，则AB=(32-2x)米，设矩形面积为y米，得到: yx(322x),错解,由顶点公式得: x=8米时，y最大=128米

而实际上定义域为[11,16]，由图象或增减性可知x=11米时，y最大=110米。(设计思路:例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。)(四)总结交流:(1)同学们经历刚才的探究过程，想想解决此类问题的思路是什么,.(2)在探究发现这些判定方法的过程中运用了什么样的数学方法？(五)我来试一试: 如图在RtABC中，点P在斜边AB上移动，PMBC,PNAC，M，N分别为垂足，已知AC=1，AB=2，求:(1)何时矩形PMCN的面积最大，把最大面积是多少？(2)当AM平分CAB时，求矩形PMCN的面积.作业:课本随堂练习、习题1，2，3

（六）板书设计

二次函数的应用——面积最大问题

五、课后反思

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。本节课充分运用导学提纲，教师提前通过一系列问题串的设置，引导学生课前预习，在课堂上通过对一系列问题串的解决与交流，让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

就整节课看，学生的积极性得以充分调动，特别是学困生，在独立思考和小组合作中改变以往的配角地位，也能积极参与到课堂学习活动中，今后继续发扬从学生出发，从学生的需要出发，把问题梯度降低，设计让学生在能力范围内掌握新知识，有了足够的热身运动之后再去拓展延伸。

二次函数的应用教学设计 篇2

一、多角度进行教学研究

要设计合理的教学过程,就必须多角度进行教学研究,如研究教材、研究学生、研究教法等等,以提高教学的有效性.

1. 研究教材

教材是一种经典可靠的教学资源,是经过充分讨论和研究的合理教学资源. 然而在教学实践中我认识到: 对于教材知识的理解,数学家、教材编写者、数学教师、学生都有着各不相同的认识角度和理解方式. 教材中问题解决的方法是数学家或者是编写者对数学问题的理解,教师备课中有自己对数学问题的理解,学生在学习中有他们自己的理解.那么教师如何将这不同层次人物对教材的理解都有机地融合起来,并能使学生对问题的理解与感悟有所升华呢? 这就需要教师在备课中根据具体的学情进行教学资源的再开发、整合、利用. 因此我认为教师可以从以下几个方面来深入研究教材:

( 1) 结合新课程标准研究教材. 看新课程标准对本节有何要求的; 本节中的知识是如何产生的,它在实际生活中有怎样的用途.

( 2) 结合学生研究教材. 看教材内容与学生生活有怎样的联系,教材的知识点呈现或例题有哪些是不适合本班学生的,这些问题如何调整; 教材对知识的呈现有哪些不足之处,如何对教材的改进.

( 3) 结合本单元或整个知识体系研究教材. 研究本节知识在整个单元或整个初中阶段,乃至知识体系中所处的位置及地位; 研究教材应进行哪些方面的整合. 根据对教材的研究结合学生情况确定教学的重点、难点和关键点.

( 4) 结合数学问题研究教材. 看例题、习题、看本节的知识点是如何在例题中呈现的,在解决这些问题时应用了哪些本节所学到的知识点; 这些例题习题还可进行怎样的变式; 近几年各省市中考题中怎样呈现本节知识点的,为什么这样呈现.

2. 研究学生

学生是教学工作的落脚点,是教学活动的最终服务对象. 对不同的学生、不同的教学内容、不同的教学要求,所选择的教学对策是不相同的. 因此我们要从学生的现实出发来研究学生.

( 1) 研究学生的认知起点

认知起点是一切知识结构得以发展的基础,数学教学就是要借助于学生已有的知识经验,帮助学生建立新知识与原有认知结构中相应知识之间的联系. 在学生的认知结构中与本节课的学习内容有关的知识有“抛物线的三种不同表达式类型”、“坐标系中的点坐标和线段间转化关系”等等,因此在新授课前利用几分钟做个复习准备工作,也就靠近了学生的最近发展区. 例如:

热身练习: 如图所示抛物线的解析式可设为_____,若AB∥x轴,且AB = 6,OC = 3,则点A的坐标为_____,点B的坐标为_____; 可得出此抛物线的解析式为_____. 若第四象限点D( m,- 2) 在此抛物线上,则m =_____; 若点E(2,n) 在此抛物线上,则n=_____.

( 2) 研究学生的认知规律和认知能力

根据皮亚杰的发生认识论原理,初三学生的认知水平已到了形式运演阶段. 在这个阶段,学生已形成了完整的认知结构系统,能够提出和检验假设,能监控和内省自己的思维活动,思维具有抽象性、可逆和补偿性. 这说明,这一时期的学生应该完全能够自主构建“二次函数”这样的数学模型了.

因此根据本节课的教学内容,结合学生实际,设计了如此认知过程: 感受背景( 抛物线形拱桥的情境) →激发需求( 数学的刻画抛物线形拱桥的认知倾向) →形成问题( 如何构建二次函数模型) →探究分析( 联想相关知识,数形结合,实际问题数学化) →数学建构. 我认为这种认识过程的层次性的凸现正是遵循认知规律的体现.

3. 研究教学方法

任何一种教学方法都不是万能的,都有各自的优点和特定的功能,又有其不足的地方. 有效的教学,不仅要考虑具体教学方法的使用,更要考虑方法组合模式的灵活运用.

例如,本节课的教学内容与学生的生活经历和已有知识储备密切相关,同时九年级学生已具备了一定的分析问题和解决问题的能力,因此采用了“自主探索、合作交流”的教学模式,使学生积极有效地参与到数学活动中去. 体现了生命化课堂的理念: 自由、民主、张扬.

当然在操作过程中还存在着许多不足需改进的地方,但只要努力学习尝试,不断改进,相信各种教学方法会慢慢的调遣自如,从而使课堂赋予强大的生命活力.

二、精心设计教学过程

当各种情况都研究到位后,接着就是针对具体情况进行教学活动与教学过程的设计.

1. 依据“核心知识”设计“问题链”

因为核心知识是教学的中心,所以教学设计的首要问题是围绕该核心知识设计几个主要的问题,即“问题链”.

例如本节课的核心知识是“利用二次函数模型解决实际生活中的问题”. 教科书中提出的问题是: 河上有一座抛物线拱桥,已知桥下的水面离桥孔顶部3 m时,水面宽为6m. 当水位上升1 m时,水面宽为多少 ( 精确到0. 1 ) ? 对于该问题的解决,结合学生实际情况,我设计了如此“问题链”:

问题1: 如何建立恰当的直角坐标系,并求出抛物线拱桥对应的二次函数关系式?

问题2: 当水位上升1 m时,水面宽为多少?

问题3: 直角坐标系还有其他建立法吗? 说说不同的方法并比较哪种更恰当?

这个“问题链”是在原问题的基础上,结合学生解决问题的实际能力重新设计的,通过铺设问题“阶梯”,使课堂教学形成有层次结构的开放,使学生在对问题探究中逐渐产生“有阶可上,步步攀登”的愉悦感,整节课学生们都兴趣盎然地参与知识的探究过程.

2. 围绕教学重点设计建构过程

因为“建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化为二次函数问题”是本节课的重点,因此,让学生充分经历其形成过程就显得尤为重要. 学生会建立恰当的直角坐标系,从而会灵活的进行线段长度与点坐标间的相互转化是解决实际问题的关键,为了能让他们感受到,直角坐标系的建立不是唯一的,而是应根据特点选择合适的这一特点,让学生进行分组讨论,派代表发言,通过亲身体验发现有不同的建立法,然后再在老师引导下寻找总结哪种建立法是适合原题的、最恰当的. 学生自主探索,合作交流,最后总结归纳这一建构过程,很明显培养了学生发现问题、提出问题、敢于质疑、勇于创新、乐于交流与合作的学习习惯,整节课学生的学习积极性也得到了很大的提高.

3. 根据难点特征设计探究性活动

所谓“难点特征”是指学生有认知困难的学习内容的数学本质、内在关系. 如果我们设计的学习活动能够让学生认识到这种本质或关系,自然能够使其理解、掌握相应的内容,难点也就不难了.

如本节课书本上设计了个“拓展与延伸”,问题是这样的: 一艘装满防汛器材的船,在一座抛物线拱桥( 已知桥下水面离桥孔顶部3 m时,水面宽6 m) 下的河流中航行,露出水面部分的高为0. 5 m、宽为4 m. 这艘船能从桥下通过吗?

这是本节内容的难点,记得以前每次处理该难点时都是“灌输式”的让学生掌握如何解决问题,但通过反复深入研究教材,发现可利用“几何画板”设计一个探究性活动来突破该难点. 该设计当时也得到了很多听课老师的赞赏. 具体操作是这样的:

师: 请同学们思考一个问题: 一艘载满物体的船从桥下通过,你觉得它是沿什么路线行驶的?

生1: 沿河中心线行驶.

师: 非常好! 这是一个生活常识问题.

师: 现在老师要同学们学会判断船能否从桥下通过的问题. ( 几何画板展示) 如图1,假如矩形FGHE就是船在桥下所处位置的截面图,你认为这船能从桥下通过吗? 为什么?

生2: 我认为可以通过的,而且是刚好能过.

生3: 我认为理论上是能过的,但实际生活中不能过. 理由么……( 没说出来)

师: 不同意通过的举手. ( 大概有一半)

师: 实际生活中 是不能通 过的,什么理由 呢? 谁来试试.

生4: 老师我知道了,图1船的顶部刚好碰到桥孔壁,两者间会摩擦,所以不能过.

师: 物理学得不错. 此情况会摩擦,有破坏性. 所以不能通过.

师: 事实上若船的宽度满足要求,船要能通过,必须满足: 船最高处要与桥孔壁有空隙. 因此图1是不能通过的.根据这一原理同学们可来判断图2、3的船能否通过了.

生5: 图2船不能通过,因为船最高处与桥孔壁没空隙.

生6: 图3船能通过,因为船最高处与桥孔壁有空隙.

师: 同学们回答得非常好. 接着我们来思考另外一种情况: 假如满足船的高度,能否比较宽度来判断呢? 请看图4,图5.

生7: 船最宽处与桥孔壁有空隙,所以图4能通过.

生8: 船最宽处与桥孔壁没有空隙,所以图5不能通过.

师: 同学们非常聪明,既然已学会了2种判断船能否通过的方法,下面我们就可以来顺利完成“拓展延伸”了……

“满足宽度比较高度,或满足高度比较宽度”是本题的解决思路,但好多基础一般的同学对于直入主题解决问题的方法会有胆怯心理,为了让他们觉得该问题是不难的,有能力解决的,我先设计一个不带数据计算的问题,船要通过,关键是看“船的最宽处和最高处与桥孔壁是否有空隙”.通过观察图形解决问题,明显降低了难度. 原理懂了,这一类能否从桥下通过的问题自然解决了. 几何画板动态形的图形变化对解决该问题非常直观,难点一下就突破了,整个探索过程学生激情高涨,教学效果非常明显.

这次公开课虽然是经过多次磨课精心设计出来的,也得到了众人的肯定,但“课堂教学永远是一门遗憾的艺术”,再好的教学总有它不足的地方,其中还存在着许多需改进和进一步优化的地方. 重要的是通过这次活动使我有了更多的思考: 设计合理的教学过程需要进行深度教学研究,要注重研究教材、研究学生、研究教法; 要精心设计教学过程,突出重点,突破难点. 只要我们教师有这颗深度研究的恒心,相信我们的每节课都是精彩的、有效的.

摘要：设计合理的教学过程需要进行深度教学研究.通过研讨课“二次函数应用3——拱桥问题”的课后思考,说明教学设计要注重研究教材、研究学生、研究教法;精心设计教学过程,重视设计恰当的数学活动,突出重点,突破难点.

浅析二次函数在高中教学中的应用 篇3

【关键词】二次函数；基本性质；不等式；导数；解析几何

一、深抓概念，牢固掌握二次函数基础知识

在初中阶段就对函数的定义进行了相应的阐述，指出而随着高中知识的深入，对函数的概念通过从映射的角度进行了从新解释，但仍具有普通函数的基本素和特性等。本文以二次函数的概念和基础知识为例，加固对基础知识概念的理解。即二次函数是从一个集合A（定义域）按照一定的对应关系f映射到集合B（值域）中，使集合B中元素y与集合A中的元素x按照y=ax2+bx+c（a≠0）的关系对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），学生只有深刻掌握基本概念后才能做到更好的应用。例如对以下问题的求解：

类型I：已知f（x+1）=x2-4x+1求f（x）

分析：对于此例题的求解如果充分掌握理解函数的概念定义，找出那个是自变量，那个是因变量，并判断出它们之间的对应关系，那么此问题便很好解决。因此可从两个方面入手结果此问题：①将所给表达式通过配方法转换成x+1的表达式：f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+6，然后将函数中的自变量x+1用x替代，即为所求表达式f（x）=x2-6x+6。②直接用变量换元的方法假设t=x+1，那么x=t-1，带入所给表达式可知f（t）=t2-6t+6，因此f（x）=x2-6x+6。

二、二次函数基本性质的应用

在高中阶段对基本性质的考察主要围绕着二次函数的单调性、奇偶性和有界性（最值问题）等方面，而对单调性和有界性的考察最为常见，因此，必须让学生对基本性质的应用熟练掌握，尤其是单调性和有界性相结合的系统考察。

类型II：已知函数f（x）=x2-2x+3，求函数在区间[m，m+1]内的最小值。

分析：由函数图像可知，对称轴为x=1，在区间（-∞，1]上是递减函数，在[1，+∞）上是增函数，而区间[m，m+1]中m的数值不确定，那么应当对所求区间的大小和1进行分类讨论，以便求出最小值点。

解：根据函数f（x）的图像可知，对称轴为x=1，那么f（x）在x=1时取得最小值为fmin（x）=f（1）=2。当m<0时，那么fmin（x）=f（m+1）=m2；当0≤m≤1时，那么fmin（x）=2；当m>1时，那么fmin（x）=f（m）=m2-2m+1。

三、二次函数在二次方程和二次不等式中的应用

在高中阶段针对求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的问题比较普遍，在求解过程中往往转化成函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零点求解问题，而对于二次不等式的求解问题主要是先转换成二次方程根的求解，然后在坐标轴上画出根的位置，最后根据所求不等式的范围确定所取x值的范围，即是所求不等式的范围，但值得注意的是在求解过程中一定要求学生对二次函数定义域、值域、单调性等概念的熟练掌握理解透彻。

类型III：已知函数f（x）=（4-3a）x2-2x+a，若0≤x≤1，x为自变量，a为常数，证明当a>■时，f（x）≤a。

分析：根据所给的已知条件，判断出4-3a和0之间的关系，然后确定函数图像的确切开口方向和精确的对称轴位置，然后利用二次函数的单调性和有界性进行求解分析。

证明：根据已知条件a>■可知，4-3a<0，且函数f（x）的对称轴为x=■<0，那么当x的取值小于等于对称轴时，函数f（x）在相应的确定区间内单调递增函数，当x的取值大于对称轴时，函数f（x）在相应的区间上是递减函数，故函数f（x）在区间[0，1]上时为单调递减函数，即f（x）≤fmax（x）=f（0）=a。

四、二次函数在导数中的应用

针对二次函数在导数中的应用，考察最多的就是极值、最值问题，但必须注意在特殊点的可导性问题，这也是很多学生最容易出现问题的地方。

类型IV：已知函数f′（x）=3x2+2x，求f（x）在何处取极小值

分析：题目已经给出了函数f（x）的表达式，只需求出f′（x）=0的点和判断出在不同范围内的单调性即可求出函数f（x）的极值。

解：当f′（x）=3x2+2x=0时，解得x1=0，x2=-■，当x在（-∞，-2/3）区间时，f′（x）>0，故函数f（x）在相应的区间上单调递增；当x∈（0，-■），f′（x）<0，故函数f（x）在相应的区间上单调递减；x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，故函数f（x）在相应的区间上单调递增，因此函数f（x）在x=0时取极小值f（0）=0。

五、二次函数在解析几何中的应用

二次函数在解析几何中的应用在高考题中往往出现在压轴题或高档题中，主要考察位置关系、最值和轨迹问题，在解决直线和所给曲线的位置关系问题时，主要是考察两个曲线方程组成的二次函数有无实数根或几个实数根的问题，应当注意的是，针对此综合性的问题应当充分利用好数形结合和分类讨论的方法。

类型V：探究直线y=kx+1和双曲线x2-y2=1交点的个数。

分析：根据所给的已知条件，此题目主要考察的是交点的个数，实际上讨论的组成的一元函数方程根的问题，然后充分利用韦达定理和分类讨论的方法便可解答。

解：由已知条件，将上述两个方程联立消去自变量y得（1-k2）x2-2kx-2=0。那么当1-k2=0，故组成的函数方程只有一个根，在直线和双曲线的公共交点处取得。当1-k2≠0时，根据韦达定理可知，判别式△=b2-4ac=8-4k2；①当△=8-4k2>0时，组成的二次函数有两个实数根，故直线和双曲线有两个交点；②当△=8-4k2=0时，组成的二次函数有且只有一个实数根，且在直线和双曲线的切点出取得；③当△=8-4k2<0时，组成的二次函数没有实数根，那个直线和双曲线没有交点。

六、结束语

二次函数贯穿于初高中的整个学习阶段，且在每年高考中都已较高的频率出现，且考试的重点往往将二次函数结合别的相关知识点结合起来进行的考察。故在高中能熟练掌握运用二次函数的知识点极为重要。本文列举的二次函数相关应用例子，希望能对学生的学习起到帮助作用。

【参考文献】

[1]董金茂.二次函数在高中数学教学中的应用[J].吉林教育，2016第1期P15

二次函数的应用教学设计 篇4

教材分析：

二次函数是中学数学中的第三类基本函数，是数形结合的典型之一，是中学数学的知识重点。二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。最值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，为求解最大利润等问题奠定基础。其目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。学情分析：

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。教学目标：

1、经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点：

利用二次函数的图象与性质求实际问题中的最大值或最小值。教学难点：

正确分析问题，找到解决问题的途径，建立适当的数学模型解决实际问题。教学方法：

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。教学过程：

一、课前检测：

21.二次函数y=x-2x+3的顶点坐标是，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y有最 值，是。

22.已知二次函数y=x-2x+3，当0≤x<4时，当x 时，y有最 值，是。

23.已知二次函数y=x-2x+3，当2≤x<4时，当x 时，y有最 值，是。（学生自主做完后，交流答案，教师适时进行纠错指导。）

（设计意图：学生经历由易到难求二次函数最值的过程，为二次函数应用做好铺垫。）

二、新知体验：一“形”多“模”

体验一：如图，矩形ABCD的一边靠墙,另三边用长为60米的竹篱笆围成，若矩形的宽为x米，面积是450平方米，求这个矩形的长。

体验二：若矩形的宽AB长为x米,面积为60平方米，写出矩形的长y（米）与x（米）的函

数关系式.体验三：若矩形的宽AB长为x米,另三边的长为60米，写出矩形的长y（米）与宽x（米）的函数关系式.体验四：若矩形的宽AB长为x米,另三边的长为60米，写出矩形的面积s(平方米）与宽x（米）的函数关系式.（学生积极思考，自己解答，小组内讨论，教师给予引导。）

（设计意图：这四个体验的求解分别是一元二次方程、反比例函数、一次函数、二次函数，它们都是数学中的模型，函数的取值在自变量的取值范围内有无数个，其中二次函数还有最值，从而进入本节的学习。）

三、新知应用：一题多变

（一）例1 用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？

（高程生到黑板板演，其余同学在练习本上做出；然后小组内展示、交流，最后教师根据学生存在的问题进行讲解。）

（设计意图：例1是把体验4转变成了一个实际问题，首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。）

（解答例1之后及时让学生总结方法，为下一阶段的学习打下思想方法基础。）归纳总结：如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值? 1.首先求出函数解析式 2.求出自变量的取值范围，3.通过配方变形或利用公式法，求它的最大值或最小值。（学生畅所欲言，自己归纳得出二次函数应用求最值的步骤。）

（二）变式训练1：用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,墙长32m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？

变式训练2：用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,墙长18m,问：应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？

（设计意图：例

1、变式

1、变式2围绕同一个背景，使用一题多变，能够更好地让学生理解其异同及解法的不同。变式2是在前两个问题的基础上对自变量取值进行改变，意在体现对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用。通过此题的有意训练，学生必然会对自变量的取值有更加深刻的理解。）

注：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定。

四、知识升华：多形一变

如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取

两块相邻的正方形板材，当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？

c

（学生自主完成后，组长本组内交流答案，高程生讲解，教师适时点评。）

（设计意图：此题是对本节所学知识的进一步升华与巩固，使学生深刻体会到，解决这类问题，首先要建立二次函数的数学模型，将生产实际中的最大值和最小值问题，转化为利用二次函数的性质解决。）

五、课堂小结：学习了今天的内容，你最深的感受是什么？

实际问题实际问题的解答数学模型回归实际问题转化为数学问题数学结论

（1）利用二次函数的最值问题可以解决实际几何问题。

（2）实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处。

（对本节知识的总结，先让学生交流总结，然后教师适时点拨，让学生对于最值问题的解决有一定的思路。）（设计意图：在教师的引导下，学生自主进行归纳，使所学的知识及时纳入学生的认知结构。）

六、堂堂清检测题 基础题：

1.已知某矩形周长为20厘米，一边长为x厘米，当x= 时，此矩形的面积最大，最大是平方厘米。拓展题：

（2014•四川成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．

2（1）若花园的面积为192m，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

七、布置作业：必做题:P51、1；能力题：P56、4 教学反思：

6.第五节 二次函数的综合应用 篇5

函数

第五节

二次函数的综合应用

第1课时

二次函数的实际应用

(建议时间：40分钟)

1.如图是我省最古老的石拱桥——晋城“景德桥”，是晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，也是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．已知AB的长约20米、桥拱最高点C到AB的距离为9米，以水平方向为x轴，选取点A为坐标原点建立直角坐标系，则抛物线的表达式是y＝－x2＋x，则选取点B为坐标原点时的抛物线的表达式为()

第1题图

A.y＝x2－x　　　B.y＝x2＋x

C.y＝－x2

D.y＝－x2－x

2.(2019连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12

m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()

第2题图

A.18

m2

B.18m2

C.24m2

D.m2

3.(2019襄阳)(人教九上P43问题改编)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.第3题图

4.(2019锦州)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；

(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？

5.(2019成都)随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待．某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x之间的关系式；

(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝x＋来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

第5题图

6.(2019武汉)某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w(元)的三组对应值如下表：

售价x(元/件)

周销售量y(件)

周销售利润w(元)

1000

1600

1600

注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)

(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；

(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．

7.为迎接第二届全国青年运动会的召开，山西体育场周边社区积极参与社区改造，晋阳社区将一片空地进行修建改造，已知投资50000元修建的休闲区与投资40000元修建的鹅卵石健身道的面积相等，且修建1平方米的休闲区比修建1平方米的鹅卵石健身道费用高20元．

(1)求修建1平方米的休闲区与修建1平方米的鹅卵石健身道的费用各是多少元？

(2)如图，新入住的一个小区需要在一块长为60

米，宽为40米的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向的宽为x

米，纵向的宽为10米的鹅卵石健身道，且横向的宽度不超过纵向的宽度，所用工程队与晋阳社区相同且费用不变．

①用含x(米)的代数式表示休闲区的面积S(平方米)，并注明x的取值范围；

②综合实际情况现要求横向宽满足1≤x≤5，则当x为多少时修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，最低造价为多少元？

第7题图

第2课时

二次函数综合题

(建议时间：40分钟)

1.(2019贺州改编)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)的图象经过A，B，C三点．

(1)求点C的坐标及抛物线的表达式；

(2)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

第1题图

2.(2019德阳改编)综合与探究

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B(2，0)，C(0，－3)，点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点(不与B、C两点重合)．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)如图，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第2题图

3.综合与探究

如图，抛物线y＝－x2＋x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD与BC交于点E，设点P的横坐标为m.(1)求直线l的表达式及点A坐标；

(2)试探究是否存在点P，使△PCE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由．

第3题图

4.综合与探究

如图，已知抛物线y＝x2－x－4的图象与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，点D沿AB以每秒1个单位长度的速度在AB之间由点A向点B运动(点D不与A、B重合)．连接AC、BC、CD.设点D的运动时间是t(t＞0)．

(1)求直线BC的函数表达式和此抛物线的顶点坐标；

(2)E为抛物线上一点，是否存在这样的t值，使以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

第4题图

参考答案

第1课时

二次函数的实际应用

1.D　【解析】当以点B为坐标原点时，相当于在以点A为坐标原点的基础上向左平移了20个单位，将y＝－x2＋x化为顶点式为y＝－(x－10)2＋9，∴平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－10＋20)2＋9＝－x2－x.【一题多解】如解图，当点B为坐标原点时，设抛物线的表达式是y＝ax2＋bx，点A的坐标为(－20，0)，点C的坐标为(－10，9)，将A、C坐标代入表达式得，解得，∴当点B为坐标原点时，抛物线的表达式为y＝－x2－x.第1题解图

2.C　【解析】设BC的长为x

m，则CD＝(12－x)m，如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠DCB＝120°，∴∠BCE＝30°，∴CE＝CB·cos30°＝x，BE＝CB·sin30°＝x，∴S四边形ABCD＝·CE＝·x＝－x2＋6x,∵－<0，∴当x＝－＝8时，面积有最大值为：－×82＋6×8＝24(m2)．

第2题解图

3.4　【解析】∵小球的飞行高度h与飞行时间t满足二次函数关系，h＝20

t－5

t2＝－5(t－2)2＋20.∴当t＝2时，小球运动到最高点．∴小球从飞出到落地所用的时间为4s.4.解：(1)根据题意得y＝

100－2(x－60)＝－2x＋220(60≤x≤110)；

(2)由题意可得：(－2x＋220)(x－40)＝2250.x2－150x＋5525＝0，解得x1＝65，x2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元；

(3)设利润为W元，∴W＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450.∵a＝－2<0，∴抛物线开口向下．

∵60≤x≤110，∴当x＝75时，W有最大值，W最大＝2450(元)．

答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元．

5.解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得

解得

∴y关于x的函数关系式为y＝－500x＋7500；

(2)设销售收入为W，根据题意得

W＝yp＝(－500x＋7500)·(x＋)，整理得W＝－250(x－7)2＋16000，∵－250＜0，∴W在x＝7时取得最大值，最大值为16000元，此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．

答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．

6.解：(1)①y＝－2x＋200；

②40，70，1800；

(2)由题意可知w＝(－2x＋200)×(x－40－m)＝－2x2＋(280＋2m)x－8000－200m，对称轴为直线x＝，∵m＞0，∴对称轴x＝＞70，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，ymax＝1400，代入表达式解得m＝5.7.解：(1)设修建1平方米的鹅卵石健身道费用为m元，则修建1平方米的休闲区费用为(m＋20)元，根据题意，得

＝，解得m＝80.经检验，m＝80是原分式方程的解，且符合实际，m＋20＝80＋20＝100.答：修建1平方米的休闲区费用是100元，修建1平方米的鹅卵石健身道的费用是80元；

(2)①S＝(60－3×10)(40－3x)

＝－90x＋1200(0＜x≤10)；

②w＝100(－90x＋1200)＋80[60×40－(－90x＋1200)]

＝－1800x＋216000.∵－1800<0，∴w随x的增大而减小．

∵1≤x≤5，∴当x＝5时，w最小＝－1800×5＋216000＝207000(元)．

答：当x＝5时，修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，最低造价为207000元．

第2课时

二次函数综合题

1.解：(1)由题意得C(0，－4)．

∵OA＝OC，∴A(4，0)．

将A(4，0)，B(－1，0)带入y＝ax2＋bx－4得，解得

∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4；

(2)如解图，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，第1题解图

∴PE∥y轴．

∵OA＝OC，∴∠PED＝∠OCA＝45°.∴△DEP为等腰直角三角形，∴PD＝PE，∴当PE取得最大值时，PD取得最大值，易得直线AC的解析式为y＝x－4，设P(x，x2－3x－4)，则E(x，x－4)，则PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∵0＜x＜4，∴当x＝2时，PE取得最大值，最大值为4.此时PD取得最大值，最大值为4×＝2，点P坐标为(2，－6)．

2.解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴－＝，则b＝－a.∵抛物线过点C(0，－3)，∴代入得c＝－3.∴抛物线的表达式为y＝ax2－ax－3.又∵抛物线过点B(2，0)，∴代入得a＝，则b＝－.∴此抛物线的表达式为y＝x2－x－3；

(2)存在．如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，第2题解图

设直线BC的表达式为y＝mx＋n，将B(2，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n，得

解得

∴直线BC的表达式为y＝x－3.设点P的坐标为(x,x2－x－3)，则点F的坐标为(x，x－3)，∵点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点，∴PF＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋x.∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·BE＋PF·OE

＝PF·OB

＝·(－x2＋x)·2

＝－x2＋3x

＝－(x－)2＋.∵－<0，∴当x＝时，△PBC的面积取得最大值，最大值为.当x＝时，y＝x2－x－3＝－3，∴此时点P的坐标为(，－3)．

3.解：(1)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.令x＝0，解得y＝4，∴C(0，4)．

令y＝0，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∵点A在点B左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)．

设直线l的表达式为y＝kx＋n(k≠0)，将B(3，0)，C(0，4)代入y＝kx＋n得，解得

∴直线l的表达式为y＝－x＋4；

(2)存在，当m的值为1，或时，△PCE为等腰三角形．

【解法提示】根据题意有以下三种情况：

①当CP＝CE时，如解图①，过点C作CH⊥PE于点H，则有PE＝2PH，第3题解图①

由(1)得PE＝－m2＋4m，∵PH＝－m2＋m＋4－4＝－m2＋m，∴－m2＋4m＝2×(－m2＋m)．

解得：m＝1或m＝0(不合题意，舍去)；

②当EP＝EC时，如解图②，过点C作CH⊥PE于点H，第3题解图②

易得△EHC∽△COB，∴＝

.∵CH＝m，BC＝5，BO＝3，∴CE＝＝m.由(1)得PE＝－m2＋4m，∴－m2＋4m＝m.解得：m＝或m＝0(不合题意，舍去)；

③当PC＝PE时，如解图③，过点P作PG⊥CE于点G，第3题解图③

易证△PGE∽△BOC，∴＝＝，∴GE＝PE＝×(－m2＋4m)＝－m2＋m.∵PC＝PE，PG⊥CE，CE＝m，∴GE＝CE＝－m2＋m＝m.解得m＝或m＝0(不合题意，舍去)，综上所述，m的值为1，或时，△PCE为等腰三角形．

4.解：(1)在抛物线y＝x2－x－4中，当y＝0时，x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，B(8，0)，当x＝0时，y＝－4，∴C(0，－4)，设直线BC的表达式为y＝ax＋b，∵直线BC过B(8，0)，C(0，－4)两点，∴解得

∴直线BC的表达式为y＝x－4，又∵抛物线y＝x2－x－4＝(x－3)2－，∴抛物线的顶点坐标为(3，－)；

二次函数的图像的教学设计 篇6

作者： 王方苹

日期：2008-01-08 21:14:07

教学目标 知识与技能目标 ：

1.了解二次函数图象的概念

2.学会用描点法画y=ax2图象。

3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征

4.掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质

程序性目标：1.经历描点法画函数图像的过程

2.经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理

情感与价值观目标：

进一步培养数形结合方法研究函数的性质

教学重点 ：函数 y=ax2型二次函数的描绘和图像特征的归纳

教学难点 ：选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂；还有提高题实际的应用难度较高 教学媒体准备 多媒体

教学设计过程

（①教学程序设计；②教法设计；③学法设计；④教材的处理与媒体。）

一、回顾知识

问题：1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么

2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么

3.反比例函数（k ≠ 0）其图象又是什么（学生思考后集体回答）

4.二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0）其图象又是什么呢？ 5.函数图像画法

（列表

描点

连线）

二、新课教学

1.研究函数 的图像

（师生共同列表，描点，连线，得到函数的图像）2.课内练习

画函数⑴ 的图像

［学生自己画，要求：第一组⑴⑶，第二组⑵⑶，第三组⑴⑶；同桌相互配合，共同完成］ 3.函数 的顶点坐标、对称轴有关概念（教师介绍顶点坐标、对称轴有关概念）4.课内练习

5.例1 已知二次函数

(a≠0)的图像经过点(-2,-3).(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.（师生共同完成）6.课内练习

练习一：若抛物线（a ≠ 0），过点（-1，3）。

（1）则a的值是；

（2）对称轴是

，开口

。（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的。

抛物线在x轴的 方（除顶点外）练习二：已知抛物线 经过点A（-2，-8）。

（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。

（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

练习三：某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．

(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线

（a ≠ 0）的解析式；

(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）

三.课堂小结

1.二次函数

浅谈二次函数的性质与应用 篇7

一、深入理解函数概念

函数概念主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素x对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。

二、二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质

1、二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线抛物线是一条对称图形, 它的对称轴是直线;

2、它的顶点坐标是, 当4ac-b2=0时, 顶点在x轴上, 当时, 顶点在y轴上, 由顶点坐标可以得到二次函数的最大值或最小值。

3、开口方向:当a>0时, 抛物线开口朝上, 函数有最小值, 当a<0时, 抛物线开口朝下, 函数有最大值, |a|越大, 则抛物线的开口越小;

4、增减性:当a>0时, 在区间 (对称轴左侧) 上是减函数, 在 (对称轴右侧) 上是增函数, 当a<0时, 在区间 (对称轴左侧) 上是增函数, 在 (对称轴右侧) 上是减函数;

5、与x轴的交点个数:利用△=b2-4ac的大小来判断。当△>0时, 抛物线与x轴有2个交点, 当△=0时, 有1个交点, 当△<0时, 没有交点。

三、二次函数性质的应用

1、利用二次函数的增减性比较大小

例1点A (-3, y1) 、B (-1.5, y2) 、C (4, y3) 是抛物线y=-0.5x2-x+n上的三点, 试比较y1、y2、y3的大小关系。

解:该抛物线的对称轴为直线x=-1, 点C (4, y3) , 关于直线x=-1的对称点为C1 (-6, y3) , ∵此函数在x<-1范围内, y随x的增大而增大, ∴y2>y1>y3;

2、利用二次函数的增减性求最值

例2已知y=x2+4x+6, 求-1≤x≤1时函数的最值。

分析:此二次函数的对称轴为直线方程x=-2, 当-1≤x≤1位于对称轴的右侧, 函数在此区间上是增函数, 因此当x=-1时, 函数有最小值, 当x=1时, 函数有最大值。

例3已知设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求t (t)

分析:f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2, 图象开口向上, 关于直线x=1对称, 因此当1ε[t, t+1]0≤t≤1, t (t) =-2, 当t>1时, g (t) =f (f) =t2-2t-1当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2

像这类题首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化。

3、利用二次函数性质求函数解析式

例4已知二次函数的图象与x轴有两个交点, 且他们之间的距离为6, 又知次二次函数的图象对称轴方程为x=2, 且f (x) 有最小值为-9, 求此二次函数的解析式。

谈谈二次函数在高中阶段的应用 篇8

二次函数是高考的重点内容,可以说每年必考。但是学生对它的掌握程度普遍不高。在初中教材中,虽然对二次函数作了较详细的研究,但由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部分内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。

一、还需进一步理解函数的概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

问题1:已知f(x)=2x2+x+2,求f(x+1)。

这里不能把理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

二、掌握二次函数的单调性,在区间上的最值与图象

在高中阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间上(-∞,-■][-■,+∞)的单调性的结论用定义进行严格的证明,使它建立在严密理论的基础上。与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

问题2:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)y=x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。

问题3:设f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并画出y=g(t)的图象,并求 的最小值。

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t-1

当t<0时,g(t)=f(t+1)=t2-2

g(t)=t2-2,(t<0)-2,(0≤t≤1)t2-2t-1,(t>1)

再利用y=g(t)的函数图像可以求出 的最小值是-2。

三、学习二次函数的知识,可以锻炼学生的数学思维

问题4:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X

(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0<■。

解题思路:本题要证明的是x

二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以设计出层出不穷、灵活多变的数学问题,用来考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

作者单位:河南省滑县第一高级中学

初三数学二次函数的教学设计 篇9

实质上，函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系.

三、课堂训练(略)

四、小结归纳：

学生谈本节课收获

1.二次函数概念

2.二次函数与一次函数的区别与联系

3.二次函数的4种常见形式

五、作业设计

㈠教材16页1、2

㈡补充：

1、①y=-x2②y=2x③y=22+x2-x3④m=3-t-t2是二次函数的是

2、用一根长60cm的铁丝围成一个矩形,矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式是____________.

3、小李存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元(不含利息税)，y与x之间的`函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.

4、在△ABC中，C=90,BC=a,AC=b,a+b=16,则RT△ABC的面积S与边长a的关系式是____;当a=8时，S=____;当S=24时，a=________.

5、当k=_____时，是二次函数.

6、扇形周长为10，半径为x，面积为y，则y与x的函数关系式为_______________.

7、已知s与成正比例，且t=3时，s=4，则s与t的函数关系式为_______________.

8、下列函数不属于二次函数的是

A.y=(x-1)(x+2)B.y=(x+1)2C.y=2(x+3)2-2x2D.y=1-x2

9、若函数是二次函数,那么m的值是()

A.2B.-1或3C.3D.

二次函数教学设计 篇10

1、经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点

2、能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题

3、能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究

教学重点和难点

重点：用三种方式表示变量之间二次函数关系

难点：根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

这节课，我们来学习二次函数的三种表达方式。

二、师生共同研究形成概念

1、用函数表达式表示

☆做一做书本P56矩形的周长与边长、面积的关系

鼓励学生间的互相交流，一定要让学生理解周长与边长、面积的关系。

比较全面、完整、简单地表示出变量之间的关系

2、用表格表示

☆做一做书本P56填表

由于运算量比较大，学生的运算能力又一般，因此，建议把这个表格的一部分数据先给出来，让学生完成未完成的部分空格。

表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系

3、用图象表示

☆议一议书本P56议一议

关于自变量的问题，学生往往比较难理解，讲解时，可适当多花时间讲解。

可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势

☆做一做书本P57

4、三种方法对比

☆议一议书本P58议一议

函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简单地表示出变量之间的关系。这三种表示方式积压自有各自的优点，它们服务于不同的需要。

浅谈二次函数在高中阶段的应用 篇11

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1），这里不能把?（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设?（x+1）=x2-4x+1，求?（x），这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6.（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而?（x）= x2-6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x-1|-1（2）y=|x2-1|（3）= x2+2|x|-1這里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设?（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并画出 y=g（t）的图象.解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2，当t>1时，g（t）=?（t）=t2-2t-1，当t<0时，g（t）=?（t+1）=t2-2

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X

解题思路：本题要证明的是x

（Ⅰ）先证明x0，又a>0，因此?（x）>0，即?（x）-x>0.至此，证得x?（0），所以当x∈（0，x1）时?（x）0）.函数?（x）的图象的对称轴为直线x=- b2a ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b2a ，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a <0，∴x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ）

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

浅析二次函数在高中阶段的应用 篇12

初中阶段已经讲述了函数的定义, 进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素X对应, 记为 (x) =ax2+bx+c (a≠0) 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素X在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:

类型Ⅰ:已知 (x) =2x2+x+2, 求 (x+1)

这里不能把 (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ:设 (x+1) =x2-4x+1, 求 (x)

这个问题理解为, 已知对应法则下, 定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1, 求定义域中元素X的象, 其本质是求对应法则。

把所给表达式表示成x+1的多项式。

(x+1) =x2-4x+1= (x+1) 2-6 (x+1) +6, 再用x代x+1得

(x) =x2-6x+6

二、二次函数的单调性, 最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 (-∞, -b/2a]及[-b/2a, +∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图象的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ:画出下列函数的图象, 并通过图象研究其单调性。

(1) y=x2+2|x-1|-1

(2) y=|x2-1|

(3) =x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图象。

类型Ⅳ

设 (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) 。

求:g (t) 并画出y=g (t) 的图象

解: (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2

当1∈[t, t+1]即0≤t≤1, g (t) =-2

当t>1时, g (t) =y (t) =t2-2t-1

当t<0时, g (t) =y (t+1) =t2-2

t2-2, (t<0)

g (t) =-2, (0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化, 为了巩固和熟悉这方面知识, 可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6 (-3≤x≤-1) , 求该函数的值域。

(1) +1=t2-6t+6从而 (x) =x2-6x+6

二次函数的知识, 可以准确反映学生的数学思维:

类型Ⅴ:设二次函数g (x) =ax2+bx+c (a>0) 方程g (x) -x=0的两个根X1, X2满足0<x1<x2<1/a .

(Ⅰ) 当X∈ (0, x1) 时, 证明x<g (x) <x1.

(Ⅱ) 设函数g (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明x0< x2.

解题思路:

本题要证明的是x<g (x) , g (x) <x1和x0<x2, 由题中所提供的信息可以联想到:①g (x) =x, 说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程g (x) -x=0可变为ax2+ (b-1) x+1=0, 它的两根为x1, x2, 可得到x1, x2与a、b、c之间的关系式, 因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式, 辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题:

(Ⅰ) 先证明x<g (x) , 令g (x) =g (x) -x, 因为x1, x2是方程g (x) -x=0的根, g (x) =ax2+bx+c, 所以能g (x) =a (x-x1) (x-x2)

因为0<x1<x2, 所以, 当x∈ (0, x1) 时, x-x1<0, x-x2<0得 (x-x1) (x-x2) >0, 又a>0, 因此g (x) >0, 即g (x) -x>0.至此, 证得x<g (x)

根据韦达定理, 有x1x2=ca

∵0<x1<x2<1/a, c=ax1x2<x=g (x1) , 又c=g (0)

∴g (0) <g (x1)

根据二次函数的性质, 曲线y=g (x) 是开口向上的抛物线。因此, 函数y=g (x) 在闭区间[0, x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到, 而且不可能在区间的内部达到, 由于g (x1) >g (0) , 所以当x∈ (0, x1) 时g (x) <g (x1) =x1,

即x<g (x) <x1

(Ⅱ) 略

二次函数, 它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

摘要：初中教材中, 对二次函数有一定程度上的涉猎。由于初中学生基础薄弱, 接受能力有局限性。因此, 学生们对二次函数只是机械了解, 没有从本质上理解掌握。在高中阶段, 学生们应掌握二次函数的基本概念和基本性质 (函数图像及其一些性质) , 并且能够灵活应用。