《一次函数图象的应用(二)》教学设计

《一次函数图象的应用(二)》教学设计（共16篇）

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇1

《一次函数图象的应用

（二）》教学设计

教学目标：

知识目标：1．进一步训练学生的识图能力；2．能利用函数图象解决简单的实际问题．

能力目标：1．通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识；2．通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力．

情感目标：通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题．

教学重点：

一次函数图象的应用． 教学过程： 1．新课导入

上节课我们学习了一次函数在水库蓄水量与干旱持续时间方面的应用，还有一次函数在摩托车油箱中的剩余油量与行驶路程方面的应用，一次函数的应用不仅仅是在这两个方面，本节课我们继续学习它的应用．

2．讲授新课

（一）例题讲解

如上图，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，L 2反映了该公司产品的销售量的关系，根据图象填空．

①当销售量为2吨时，销售收入＝_______元，销售成本＝_____元； ②当销售量为6吨时，销售收入＝________元，销售成本＝_____元； ③当销售量等于______时，销售收入等于销售成本；

④当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_______时，该公亏损（收入小于成本）；

⑤L1对应的函数表达式是_______；L2对应的函数表达式是________________．

例2：我边防局接到情报，近海外有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶，如图（见课本）：

在图中，L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离S（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．

根据图象回答下列问题：

（1）哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？（2）A、B哪个速度快？（3）15分内B能否追上A？

（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？

（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？

（二）课堂练习

如图，AC、BC分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图像回答下列问题：（1）谁先出发？先出发者提前几小时？

（2）甲出发多长时间后，后出发的人追上提前出发的人？此时，他们距离乙出发地点多少千米？

（3）甲、乙两人各自的运动速度是多少？

分析：（1）乙先出发，先出发1小时；（2）甲出发4小时后，追上乙，此时，他们距离乙出发地点15千米；（3）速度：甲20÷4＝5千米/小时，乙15÷5＝3千米/小时．

（四）补充练习

某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用y1元，应付给出租车公司的月租费为y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象如图，观察图象回答下列问题．

（1）每月行驶的路程在什么范围内时、租国营公司的车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪一家的车合算？

解：观察图象可知：

（1）每月行驶的路程小于1500千米时，租国营公司的车合算．（2）每月行驶的路程等于1500千米时，租两家车的费用相同．

（3）如果每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租个体车主的车合算．

六、课后作业

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《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇2

函数图象是基础数学教学的一项重要内容，是继方程和不等式的学习之后，又一个刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型.函数图象是原有知识和方法的延续和提高，并且是科学研究中重要的数学思想，是现代数学的基础.函数图象的基本知识也是学生继续学习的基础和工具.在日常的数学教学中，函数图象教学基本上是靠教师口头的描述进行的，缺乏直观性，对于学习函数图象的学生来说是较难理解的.如果在教学活动中引入Excel软件用于对函数图象的描述，将极大地减轻学生学习的难度，激发学生的学习兴趣，从而达到更好的教学效果.为了更好地描述Excel软件在函数图象教学中的作用，本文将举例加以阐述.

一、利用Excel软件的公式工具进行函数图象生成实验

Excel软件自带了相当数量的数学公式工具，基本上可以满足日常教学需求，不需要复杂的编程即可实现函数变量的生成，并且自带了图表工具，能够很方便地将数据转化为图象输出.

1. Excel软件生成变量的方法

在函数教学中，变量的值是随着自变量的改变而变化的.在Excel软件中，变量的生成主要用到了公式工具.

例如y=x2+4x+4，在Excel软件中我们则需要在相应的单元格内输入=POWER (x所在单元格位置，指数）+4*x所在单元格位置+4，如下图1.

在自变量取值为整数时，增加值为1时，可以通过向下拖动来实现数值的增加，但是要想实现任意值的增加时就需要通过公式来实现.

例如在图1中，要将A2单元格设置为0，以后每隔0.1取一个x值，则必须在A3单元格写入=A2+0.1，然后向下拖动就可形成如图2的效果.

2. Excel软件生成函数图象的方法

上面对函数值的生成方法做了简述，在函数的自变量和变量的值生成以后，下面要做的就是利用函数的变量生成函数的图象.

(1）首先要确定需要显示的函数图象的定义域；

(2）在确定定义域后按照上面关于函数值生成的方法生成函数值；

(3）选择工作表中除第一行标题外的其他数值为数据源，并生成折线图；

(4）将x轴的值设置为工作表中x的值，得到下图3.

该图即为函数y=x2+4x+4{x|0≤x≤2.1}的图象，为了显示函数的更大取值范围的图象，我们可以采取两种方法：（i）增加x的取值数量，即增加A列x值的个数；（ii）增大x值之间的差额，在上图中差额为0.1，我们可以将差额增加到4，或者更大.

在更改差额时，我们就需要用到前面讲到的增加任意值的方法.

在增加了x值的差额后，我们明显地可以看到二元一次函数的图象，但是该图象为{x|0≤x≤84}部分的图象，但是并没有x<0部分的图象，为此我们可以更改A2单元格中的数值来实现x<0部分图象的输出，当A2=-40时，函数的图象显示为图5.这时我们就可以清晰地看到函数y=x2+4x+4的图象了.其他函数图象的生成方法和上述二元一次方程图象生成的过程类似，这里就不做赘述了.

二、通过学生上机实践加深教学效果

通过教师对Excel软件环境下函数图象生成方法的演示，可以将函数图象教学的其他内容留给学生自己去解决，例如一次函数、双曲线、椭圆的图象及函数的单调性、对称性等.同时对于函数的有关性质也可以利用上机实践在教师的指导下由学生自行学习.通过上面的实验，我们可以清楚地发现，图中不仅包含函数图象，同时还包含函数的自变量和变量的值，数与图的结合，让函数图象教学变得直观生动起来.学生通过亲自动手实践，不仅可以加大学生学习数学的兴趣，同时还可以使函数图象教学变得更简单，让人印象深刻.

《一次函数图象的应用》测试题 篇3

——狄拉克（英国物理学家，1902-1984）

一、填空题（每小题4分，共32分）

1. 某礼堂共有25排座位.第1排有20个座位，以后每排比前一排多2个座位.每排的座位数m与这排的排序数n的关系式是.

2. 一次函数y=kx+b的图象如图1.根据图象，你能获得哪些信息？（写出3条即可）

3. 从地面算起，每升高1 km，气温下降若干度.图2为某地空中气温T（°C）与距地面高度h（km）间的函数图象.由图可知，当地地面气温为°C，当h大于时，气温低于0°C.

4. 若直线y=-x+m和直线y=x+n的交点坐标是（a，5），则m+n=.

5. 弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系为一次函数关系，图象如图3.不挂物体时弹簧的长度为.

6. 如图4，观察两个函数y1、y2在同一坐标系中的图象.当x时，y 的值大于y 的值；当x时，y 与y 的值相等；当x时，y 的值小于y 的值.

7. 如图5，一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的解析式是.

8. 如图6，直线l是一次函数y=kx+b的图象.当x=30时，y=；当y=30时，x=.

二、选择题（每小题4分，共24分）

9. 若关于x的函数y=（2a-1）x+a的图象经过第一、二、三象限，则a的取值范围是（）.

A. a> B. a>1C.

10. 某工厂去年积压产品a件（a>0）.今年预计每月销售产品2b件（b>0），同时每月可生产出产品b件.如果产品积压量y（件）是今年生产时间t（月）的函数，则其图象只能是（）.

11. 如图7，OA、BA分别表示甲、乙两名同学运动过程的函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间.根据图象判断，两者速度之差为（）.

A. 2.5 m/sB. 2 m/sC. 1.5 m/sD. 1 m/s

12. 下列四条直线中，与x轴正方向所成的锐角最大的直线是（）.

A. y= x B. y=x C. y=-2x D. y=3x

13. 函数y=ax+a的图象可能是（）.

14. 已知一次函数y =ax+2与y=bx-3的图象交于x轴上一点，则 的值是（）.

A.B. - C. D. -

三、解答题（15、16题每题10分，17、18题每题12分，共44分）

15. 作一次函数y=3x+3的图象，并利用图象求：

（1）方程3x+3=0的解；（2）当x>0时，y的取值范围；（3）y≤3时，x的取值范围.

16. 为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.课桌的高度y （cm）与椅子的高度x （cm）应成一次函数关系.下表列出了两套符合设计要求的课桌椅的高度.

（1）确定y与x的函数关系式（不必写自变量x的取值范围）.

（2）判断一把高42 cm的椅子与一张高78.2 cm的桌子是否配套.

17. 一农民自带了若干千克土豆进城出售，他还带了一些备用零钱.按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆质量x与他手中所持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图8，结合图象回答下列问题.

（1）农民自带的备用零钱是多少？

（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆卖完，此时他手中的钱（含备用零钱）是26元.请推算他一共带了多少千克土豆.

18. 为了方便用户，某市移动公司对移动电话用户采用不同的收费方式.其中，收费方式“大众套餐”和“神州行”在本市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的函数关系如图9、图10所示.

（1）请根据图象，求出y 与x及y2与x的函数关系式.

（2）如果小李每月的通话时间约为200 min，那么，小李使用哪种收费方式较合算？

《一次函数图象的应用》教案 篇4

教学目的和要求：

1.能通过函数图像获取信息，增强图能力，发展形象思维。

2.能利用函数图像解决简单的实际问题，发展数学应用能力。

教学重点和难点：

重点：

1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维能力。

2、能利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力。

3、初步体会议程与函数的关系，建立良好知识的联系。

难点：

1.利用函数图象解决实际问题。

2.用函数的观点研究方程。

快速反应

1.下图是某地某日24小时气温随时间变化的曲线图，根据图象填空：

（1）气温最低，最低气温是℃。

（2）气温最高，最高气温是℃。

（3）气温是0℃。

2.如图是反映某水库的蓄水量V（万米3）随着干旱持续时间t（天）变化的图象，根据图象填空。

（1）水库原有水量万米3，干旱连续10天，水库蓄水量为。

（2）蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，则连续干旱天将发出严重干旱警报。

（3）持续干旱天水库将干涸。

自主学习

为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图6—5—1所示：

（1）分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；

（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？

答案：(1)

(2)当y1=y2时，

当 时，

所以，当通话时间等于96 min时，两种卡的`收费一致；当通话时间小于 mim时，“如意卡便宜”；当通话时间大于 min时，“便民卡”便宜。

2、某医药研究所开发了一种

小结：

1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是非曲直的方程叫做二元一次方程.

2.含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

3.适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.

4.二元一次方程组中多个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.

课外作业：

《畅游数学》“§7.1谁的包裹多”部分

函数的图象教学设计 篇5

呼兰区第二中学 11继任 王丽艳

教学目标：

1、知识与技能：使学生了解函数图象的意义，掌握画函数图象的方法，会函数图象的简单应用。

2．过程与方法：经过探索函数图象的过程，会应用数形结合的思想分析问题．

3．情感、态度与价值观：培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值．

重、难点与关键

1．重点：画函数图象及解读函数图象信息 2．难点：函数图象的认识．

3．关键：从情境中抽象出函数的概念，认清自变量与函数的关系，通过画函 数图象直观地认识函数的内涵． 教学方法

采用“操作──感悟”的教学法，让学生在画图中认识函数，从而提高识图能力． 教具：多媒体课件 教学过程

一、回顾交流，情境导入

Ⅰ．提出问题，创设情境

我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰． 我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息

Ⅱ．导入新课、问题探究 问题1 在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下．

先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？ 上面心电图和气温曲线是用图象表示函数的两个实际例子．

一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．

2、问题探究：如图，正方形边长为x，面积为S，探究下列问题：

（1）写出S关于x的函数关系式，并求出x的取值范围．

（2）计算并填写下表：

（3）在直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点描出来，然后用光滑的曲线连接这些点．

【形成概念】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些组成的图形，就是这个函数的图象．

二、观察思考，实际应用

情境思索：课本图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，你从图象中得到了哪些信息？

三、范例点击，提高认识

【例2】下面的图象（课本图）反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．

根据图象回答下列问题：

（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？

（2）小明给菜地浇水用了多少时间？

（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

（4）小明给玉米地锄草用了多少时间？

（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？

【例3】在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：

（1）y=x+0.5；（2）y=6/x（x>0）．

【探索方法】描点法画函数图象的一般步骤如下：

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．

四、随堂练习，巩固深化 多媒体演示习题

五、课堂总结，发展潜能

1．我们可以由一个函数的表达式，列出这个函数的函数对应值表，并把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象．

2．如果已知一个变量与另一个变量之间存在函数关系，根据这两个变量的对应值，可以列表或画图表示这个函数．

六、布置作业，专题突破

1、课本P104页 第2题

2、课本P107页

第7题

板书设计

14.1.3 函数的图象

1、函数的图象的定义

3、例题

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇6

林函应

教学内容：

本课为人教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册“一次函数的图象及其性质”

教学目标： 会画一次函数的图象

结合图象记住一次函数的性质。能应用性质解决简单的问题 重点：性质的理解与应用 难点：同上 [教学过程] 师：一次函数的一般表达式是y=kx+b（k、b为常数，k≠0，请同学们在黑板上写出一些常数较简单的一次函数表达式，行吗？（生表现踊跃，写出了十多个）

师：黑板上这些一次函数大致有几个类型？

生：（讨论后）四类，即k>0，b>0；k>0，b<0；k<0，b>0；k<0，b<0。教师按不同类型在学生板书的函数中各选两个，并把复杂的常数更换成简单的常数，找到如下函数：y=2x+2,y=-2x+3,y=-x+1,y=x+2,y=-2x-2,y=x-2,y=-x-3,y=2x-1.（教师在这里是让学生自己准备学习素材。）

教师启发学生找到画直线的“两点式”简易方法后，把画上述八个函数图象的任务分配给八个小组，一组一个，八人一组在已画好坐标系的小黑板上动手操作。学生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃。教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅。

师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 生；不一样。

师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）生A：走向不一样。生B：经过的象限不一样。

生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方。

师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）生：是由k、b的取值确定的。

师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）

热烈讨论后，生A回答并板书，当k>0时，图象从“左下”到“右上”；当k<0时，图象从“左上”到“右下”。

生B板书：当b>0时，图象在原点的上方，当b<0时，图象在原点的下方。生C板书：当k>0,b>0时，图象过一、二、三象限。

另一生D跑到黑板前补充：当k>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象过一、二、四象限，当k<0，b<0时，图象过二、三、四象限。

（这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出一次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）

师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？（学生茫然）

师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？

生：（七嘴八舌）当k>0时，图象向上爬；当k<0时，图象向下走。（未出现教师所预期的结论）

师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

生：当k>0时，x与y同向变化;当k<0时，x与y异向变化。师：也就是说，k>0,x增大，y„„ 生：增大。

师: 当k<0时，x„„y„„

生：x增大，y减小；x减小，y增大。

（在这里，教师努力避免了“告诉”的知识传授方式。间接引导需要智慧，是一种艺术）

师：好了，我们就用x与y之间的变化规律来表述一次函数的性质，好吗？请同学们在书上补充一下图象的性质，并熟悉一下一次函数的性质。（接下来学生练习几道题）

师；有人能得出正比例函数性质吗？

生：它是y=kx+b中b=0时的性质，其实y=kx与y=kx+b的性质是一致的。（特殊与一般的关系，学生理解起来非常容易）

课堂小结：学生先自结，然后教师补充 [案例反思] 这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到一次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受一次函数性质是困难的。

真正的形成往往来源于真实的自主探究。只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

首先，要设计适合学生探究的素材。教材对一次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。追求自然，就要适当放开学生的手、口、脑，例如本文中的“走向”问题，“向上爬”、“向下走”等，如果是讲授注入式，我们就听不到学生真实的声音了。

例谈函数图象在初中数学中的应用 篇7

一、“形”在求“解”中的作用

【例1】已知等腰直角△ABC的顶点B (2, 6) 、C (2, 2) , 求顶点A的坐标.

解:先在平面直角坐标系上确定B、C的位置.

如果以线段BC为斜边, 利用等腰直角三角形的性质较易得到A的坐标为A1 (4, 4) 、A2 (0, 4) ;

如果以线段BC为直角边更易得到A的坐标为A3 (6, 2) 、A4 (6, 6) 、A5 (-2, 2) 、A6 (-2, 6) .

所以A的坐标有六解.

此题不利用图象学生很难求完整.

【例2】试判断方程1x=-x2+2x+1的解的个数.

解:方程的解的个数即是函数y=x1与y=-x2+2x+1图象交点的个数.利用图形易得x的值有3个.

二、“形”在确定某些函数式中的系数符号的作用

这类问题讨论较多的是一次函数y=kx+b中k、b的符号, 反比例函数中k的符号和二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中a、b、c、b2-4ac的符号三种.

【例3】抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 经过原点, 开口向下且顶点在第二象限, 请判断a、b、c、b2-4ac的符号.

解:先根据题意画出能显示数量特征的示意图.

∵开口向下,

∴a<0.

∵抛物线经过原点,

∴即x=0时, c=y=0.

∵顶点在第二象限, ∴对称轴.

又∵a<0, ∴b<0.

∵抛物线顶点在第二象限且经过原点,

∴抛物线必与x轴有两个交点, 即b2-4ac>0.

三、“形”在求某些函数解析式中的应用

【例4】把抛物线y=-2x2+4x+1向右平移2个单位, 再向上平移5个单位.求所得抛物线的函数解析式.

解:因为抛物线平移时它的顶点与对称轴也随之平移, 顶点的横坐标的值就是对称轴的值, 所以对抛物线的平移要抓住顶点坐标的变化.本例的平移实质上就是“a不变, 顶点动.”

∵y=-2x2+4x+1的顶点坐标是 (1, 3) ,

∴平移后的抛物线顶点坐标是 (3, 8) .

∴所求抛物线的函数解析式为y=-2 (x-3) 2+8, 即y=-2x2+12x-10.

四、“形”在讨论函数某些性质时的应用

【例5】已知抛物线如下图, 且︳OC︳=︳OA︳=2, 对称轴x=4, 求抛物线的函数解析式;与x轴的交点坐标;当x取何值时, y=0、y>0、y<0.

解:由图可知A (-2, 0) 、C (0, 2) .

∵A (-2, 0) 且对称轴x=4, ∴B (10, 0) .

即抛物线与x轴的交点坐标为A (-2, 0) , B (10, 0) .

设抛物线的函数解析式为y=a (x-x1) (x-x2) .

∵抛物线的图象经过点C (0, 2) ,

∴函数的解析式为

由图易得:当x=-2或10时, y=0;

当-2<x<10时, y>0;

当x<-2或x>10时, y<0.

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇8

根据课程标准和我校八年级学生的实际情况，我把本节课的教学目标确定为：

（1）了解正比例函数y=kx的图象的特点，能熟练地作出一次函数的图象，并结合一次函数的图象探究出一次函数的主要性质；

（2）培养学生课前预习、合作交流、展示、评价及观察能力，比较、抽象、概括的能力，向学生逐步渗透数形结合的思想；

（3）通过学生在学习活动中获得成功的体验，增强学生学习数学的自信心。本节课的教学重点是正比例函数图象的特点及一次函数的图象及性质；教学难点是由图象探究其性质。

因此，由图象去探究、分析函数的性质时，对于现在我们八年级的学生来说有一定的困难。尤其是探索y随x的变化而变化的规律时，学生是感受不到其变化的“双向性”的，这也就是本堂课学生学习的难点；在课堂讲解过程中将这一部分作为讲解的重点。

为了最大限度地解决困难，我在本节课教学上采取了“预习交流，学练展评”的课堂教学模式。其主要分四个步骤：预习—练习—展示—评价。整个课堂是以学生的预习为出发点，以导学案中设计的三个图象问题为主线，在此基础上教师做到“精讲多练”，并通过展示部分学生的练习由大家互相评价，相互学习。具体方法为：

第一步：

根据分类的思想，先研究k>0的情况。让学生先观察导学案第一题，在同一坐标系内的图象，同时完成4个问题，小组内合作交流、讨论，最后每个小组派一名学生回答本小组归纳的结果：a都经过（0，0）点；因此，做图象时只要描除（0，0）外的一个点就行，可以说把“两点法”降低到“一点法”，对学生来说是降低了难度，但实质是一样的“两点法”；图象经过一、三象限；b与x轴正方向所成的锐角大小不同；c因变量y随x的增大而增大。或有的小组以生活中的语言来描述：直线一直是“上升”趋势等。这类看法我都将给予肯定。我在教学的关键时，一直很注重学生的创新能力和发散思维，而对y随x的增大而增大的得出教师给予板演讲解，达到化解难点的目的。

第二步：

接下来让学生大胆地猜想k<0时的性质，估计学生很快会猜出结果。此时，教师给予纠正的同时，并给予积极鼓勵，板演y=kx的图象性质。

第三步：

按照“由浅入深，循序渐进”的原则，我将引导学生完成导学案第二题，估计学生很快就能画出图象，并观察图象找出不同点和相同点。不同点：坐标系内的位置发生了变化——没有经过（0，0）；相同点：图象“走势一样”——y随x的增大而增大或y随x的增大而减小。发现一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx的性质相同。并板演一次函数y=kx+b的图象的性质。这时，我们已经达到了本节课学习的主要目的了。

第四步：

让学生完成导学案第三题达标练习，仍然采用同学间互答、互评的方式来完成。

第五步：

为进一步的拓展本节课的知识点，教师给学有余力的学生留有补标练习（1）（2），同时也为下节课的内容提供预习提纲。而要想使学生对一次函数有进一步的学习和掌握，这就需要在以后的课堂教学中教师不断地做到知识的拓展和延伸。

第六步：

小结本节课的内容。由我提问，学生总结y=kx，y=kx+b各有哪些性质。在小组内学生小结本堂课学到了什么？有什么收获？到此，学生心目中复杂的函数已经大大降低了难度。这就是老师教学、学生学习的最终目的。

最后，布置课堂作业和下节课的预习提纲，使学生做到带着问题进课堂，带着问题出课堂。

以上是我对一次函数的图象和性质第二课时的教学设计和构思。我认为这种设计层层深入，符合学生的认知规律。

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇9

教学目标:

1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.

3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.

4.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.

教学重点：

1.利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同.

教学难点：

经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现探索经验运用的思维过程.

教学过程：

一、学前准备

我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是_______________，一般的一次函数的图象是____________，反比例函数的图象是_________________.上节课我们学习了二次函数的一般形式为_________________________，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题.

二、探究活动

(一)、作函数y=x2的图象.

回忆画函数图象的一般步骤吗?(列表，描点，连线.)

下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.

(1)列表：

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.

(二)、议一议

对于二次函数y=x2的.图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?

(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?

(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并交流.

下面我们系统地总结：

(三)y=x2的图象的性质.

二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.

大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.

当堂练习：按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象.

y=-x2的图象如右图，并让学生总结：

形状是___________，只是它的开口方向____________，它

与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可

以看成是__________对称.

试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.

并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.

不同点：

相同点：

联系：

(四)课堂练习： 随堂练习(P47)

三.学习体会

1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问?

2.你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方?

3.预习时的疑问解决了吗?

四.自我测试

1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象.

2.下列函数中是二次函数的是 ( )

A. y=2+5x2 B.y= C.y=3x(x+5)2 D. y=

3.分别说出抛物线y=4x2与y=- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标

4、已知函数y=mxm2+m.

(1)m取何值时，它的图象开口向上.

(2)当x取何值时，y随x的增大而增大.

(3)当x取何值时，y随x的增大而减小.

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇10

1.复习。

反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。

求出函数y=x3的反函数。

2.新课。

先让学生用几何画板画出y=x3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象(图1)：

教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。

生2：这是y=x3的反函数y=的图象。

师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。

(学生展开讨论，但找不出原因。)

师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。

(生1将他的制作过程重新重复了一次。)

生3：问题出在他选择的次序不对。

师：哪个次序?

生3：作点B前，选择xA和xA3为B的坐标时，他先选择xA3，后选择xA，作出来的点的坐标为(xA3，xA)，而不是(xA，xA3)。

师：是这样吗?我们请生1再做一次。

(这次生1在做的过程中，按xA、xA3的次序选择，果然得到函数y=x3的图象。)

师：看来问题确实是出在这个地方，那么请同学再想想，为什么他采用了错误的次序后，恰好得到了y=x3的反函数y=的图象呢?

(学生再次陷入思考，一会儿有学生举手。)

师：我们请生4来告诉大家。

生4：因为他这样做，正好是将y=x3上的点B(x，y)的横坐标x与纵坐标y交换，而y=x3的反函数也正好是将x与y交换。

师：完全正确。下面我们进一步研究y=x3的图象及其反函数y=的图象的关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系?

(多数学生回答可由y=x3的图象得到y=的图象，于是教师进一步追问。)

师：怎么由y=x3的图象得到y=的图象?

生5：将y=x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y=的图象。

师：将横坐标与纵坐标互换?怎么换?

(学生一时未能明白教师的意思，场面一下子冷了下来，教师不得不将问题进一步明确。)

师：我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系，有的话，是什么样的对称关系?

(学生重新开始观察这两个函数的图象，一会儿有学生举手。)

生6：我发现这两个图象应是关于某条直线对称。

师：能说说是关于哪条直线对称吗?

生6：我还没找出来。

(接下来，教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴，画出如下图形，如图2所示：)

学生通过移动点A(点B、C随之移动)后发现，BC的`中点M在同一条直线上，这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪M点后，发现中点的轨迹是直线y=x。

生7：y=x3的图象及其反函数y=的图象关于直线y=x对称。

师：这个结论有一般性吗?其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗?请同学们用其他函数来试一试。

(学生纷纷画出其他函数与其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。)

还是有部分学生举手，因为他们画出了如下图象(图3)：

教师巡视全班时已经发现这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了问题所在：图中函数y=x2(x∈R)没有反函数，②也不是函数的图象。

最后教师与学生一起总结：

点(x，y)与点(y，x)关于直线y=x对称;

函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。

二、反思与点评

1.在开学初，我就教学几何画板4.0的用法，在教函数图象画法的过程中，发现学生根据选定坐标作点时，不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序，本课设计起源于此。虽然几何画板4.04中，能直接根据函数解析式画出图象，但这样反而不能揭示图象对称的本质，所以本节课教学中，我有意选择了几何画板4.0进行教学。

2.荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习过程中，可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程，但常常由于图形或想象的错误，使人们的思维误入歧途，因此我们既要借助直观，但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念，要注意过于直观的例子常常会影响学生正确理解比较抽象的概念。

计算机作为一种现代信息技术工具，在直观化方面有很强的表现能力，如在函数的图象、图形变换等方面，利用计算机都可得到其他直观工具不可能有的效果;如果只是为了直观而使用计算机，但不能达到更好地理解抽象概念，促进学生思维的目的的话，这样的教学中，计算机最多只是一种普通的直观工具而已。

在本节课的教学中，计算机更多的是作为学生探索发现的工具，学生不但发现了函数与其反函数图象间的对称关系，而且在更深层次上理解了反函数的概念，对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。

当前计算机用于中学数学的主要形式还是以辅助为主，更多的是把计算机作为一种直观工具，有时甚至只是作为电子黑板使用，今后的发展方向应是：将计算机作为学生的认知工具，让学生通过计算机发现探索，甚至利用计算机来做数学，在此过程中更好地理解数学概念，促进数学思维，发展数学创新能力。

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇11

函数图象是指在横纵坐标所围成的空间内，由许多有特殊含义的点组成的曲线，它能准确形象直观的反映两物理量间的关系，是继语言文字、数学公式之后的第三种重要的表达形式，是高中物理教学内容中的一个重要部分，在整个物理学研究中起着不可估量的作用.函数图象涉及到教材的每一部分内容，虽然所占比例不尽相同，对不同图象的要求也不相同，但总体而言函数图象在教材中所占比重是相当大的.在此只例举在教材中出现的图象，更有些图象是教材中未曾出现过的，如力学中v-t图象、F-x图象，电磁感应中的e-t图象等，可以说整个高中阶段我们接触到的图象是数不胜数的.

函数图象既是一块重要的教学内容，也是考试的热点，更是高考的发展方向，但事实上学生对图象的掌握远不如对规律的掌握，图象题往往是学生得分最低的部分，这就要求我们教师要加大图象的教学力度，适应时代的变化.其实，虽然函数图象种类繁多，变化多端，但它们还是有很多共性或类似的地方，我们可以从总体上把握物理图象，以不变应万变.具体来说，对每个物理图象，必须明确以下几个方面的问题.

1函数图象的基本元素

1.1坐标轴

(1)了解图象中的横轴与纵轴所代表的物理量

不管面对的是什么的函数图象，第一步必须要搞清图象中的横轴与纵轴所代表的物理量，明确了两个坐标轴所代表的物理量，则清楚了图象所反映的是哪两个物理量之间的相互关系.有些形状相同的图象，由于坐标轴所代表的物理量不同，它们反映的物理规律就截然不同.

(2)看清坐标轴上物理量所注明的单位

在识图时还要看清坐标轴上物理量所注明的单位，是国际单位还是常用单位，有没有数量级.

(3)看清坐标原点的标注数值

并不是所有坐标的起点都是从零开始的，有时为了布局的需要，横坐标或纵坐标是从某个非零值开始标注的，这时我们就要特别予以关注，一不小心就会发生错误.

1.2图象上的点

任何图象从本质上讲都是由许多有意义的点所组成的，搞清特殊点的含义，必将有助于图象的理解和应用.

(1)起点

并不是所有图象都从原点开始，起点的坐标读数往往代表着物体的初始状态，即使受力一样，在不同的初始条件下，物体的运动情况也是不同的，所以了解起点坐标读数是非常重要的.

(2)终点

图象的终点也是我们要重点关注的点，它往往表示运动的结束状态，或物体的最终的稳定态，或决定了我们研究的时间、频率等量的范围，是我们思考问题的一个终结点.

(3)与横纵坐标的交点

图线与两坐标轴的交点所代表的坐标数值我们称之为截距，该数值往往具有特殊的物理意义.如在路端电压与电路总电流的图象中，若横纵坐标的起点都为零的话，那么与横轴的交点表示短路电流I短，与纵坐标的交点表示电源电动势E.

(4)图象间的交点

有时为了比较分析问题的方便，会在同一张函数图象上画出不同研究对象图线，这时就可能出现图象和图象的交叉和重叠，两图象的交点往往意义也非常特殊，如表示此刻相遇，或表示此刻速度相同，相距最远等，它是将两个不同研究对象联系起来的纽带，它很可能就是解题的突破口.

(5)极值点

图象上最高点和最低点的坐标读数所代表的意义也很特殊，这是我们讨论的最多的地方，我们通常称之为极值，如抛物线的顶点，很多时候我们就是通过描点作图象的办法来求某个物理量的最值.如电源输出功率和外电阻关系曲线图上出现了最大值，它表示当外电阻等于电源内阻时，电源的输出功率最大.

1.3斜率

物理图象某点的切线的斜率代表两个物理量增量的比值，其大小往往代表另一物理量值.当图象是直线时，各点的斜率都相同；当图象是曲线是，各点的斜率就不再相同了，根据图象的弯曲方向可分析其斜率的变化情况.

1.4图象的面积

有些物理图象的图线与横轴所围的面积常常代表另一个物理量，如速度-时间图象用面积法求位移、电流-时间图象用面积法求电量、力-位移图象用面积法求功等等.

1.5图象的形状

注意观察图象的形状是直线、曲线，还是折线等，从而弄清图象所反映两个物理量之间的关系，进而明确图象反映的物理内涵.

2函数图象的应用方法

我们不仅要认识函数图象，更要应用函数图象，下面就从应用方法上进行分类归纳，结合具体的题目，总结每一类问题的解决关键，以便举一反三，灵活应用.

2.1从图象中获取信息

用图象来告知已知条件，或帮助阐述题目，是一种常用的方法，解决这类问题时，关键在于读懂图象，能正确找到图象上所传递的信息，再结合物体实际所处的场景，很快就能找到答案.那么如何才能从图象上看出尽可能多的信息呢?·错解分析·

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇12

二、利用坐标轴上点的特征确定抛物线与坐标轴的交点坐标

三、灵活运用待定系数法

在学习待定系数法求二次函数的解析式时, 分清已知点的情况设解析式就行了。如果已知点中有顶点坐标就设所求解析式为y=a (x-h) 2+k, 其中h、k直接用顶点坐标取代;如果已知点中没有顶点坐标, 则设为标准式y=ax2+bx+c (a≠0) 。当已知条件不是以坐标的形式给出的, 而是一个几何图形, 则要自己建立平面直角坐标系, 把平面进行划分。例如, 下面这道题:

例, 要建立横截面如图一所示的厂房, 下部是矩形, 上部是抛物线形, 宽AB=8m, 高OC=4m, 要做一个模板, 需要求出抛物线的解析。

分析:由题设可知, 没有点的坐标, 只有一些数据, 要求解析式需要建立坐标系来确定点的位置。如何建立坐标系, 大家的意见可能不一致, 有学生也许会主张以点A为坐标原点, 建立如图二所示的坐标;也有学生以点O为原点, 建立如图三所示的坐标;还有学生以点B为原点, 建立如图四所示的坐标。由于所建坐标不同, 相应的解析式也不同。比如, 图二所示, 根据已知确定顶点坐标为 (4, 4) , 则可设解析式为y=a (x-4) 2+4;图三的顶点坐标为 (0, 4) , 则设为y=ax2+4;图四的顶点坐标是原点, 直接设为y=ax2。

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇13

1.教学目标

1．知识与技能

能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质 2．过程与方法

经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内

2.教学重点/难点

重点：函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质． 难点：用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．

3.教学用具 4.标签

教学过程

一、创设情境

导入新课

1、回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？

2、展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？

3、用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

二、新知探究

1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称 【探究 l】画y=x2的图象 学生动手实践、尝试画y=x2的图象

教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下： ①形状是开口向上的抛物线 ②图象关于y轴对称 ③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.2．函数y=ax2的图象特征及其性质 【探究2】在同一坐标系中，画出y=

x2，y=2x2的图象.学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2 比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y轴

③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）

比较函数y=-x2，y=-

x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实

x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴

④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：

(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小

三、例题分析

例1 例1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上；

（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得

-8=a(-2)2，解得a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为 ,所以点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）由-6=-2x2 ,得x2=3，所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是的图象，并根据图象回答下列问题：

(1)说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

轴上方；当 x>0 时，曲线自左向右逐渐________；它的顶点是图象的最________点；(3)函数 y＝－2x2，对于一切 x 的值，总有函数值 y_____0；当 x<0 时，y 随 x 的增大而________；当 x________时，y 有最________值为________． 解：列表：

四、当堂训练：

2、抛物线，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而

增大；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而

减小

．

3.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是 y轴,在对称轴的右

侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左

侧,y随着x的增大而减小,当x=0

时,函数y的值最小,最小值是

0 ,抛物线y=2x2在x轴的 上

方(除顶点外).(2)抛物线

在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大

；在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小

,当x=0时,函数y的值最大,最大值是

0 ,当x0时,y<0.4.在同一坐标系中，图象与y=2x2 的图象关于x 轴对称的函数为（）．

5.抛物线

共有的性质是（B）．

（A）开口向上

（B）对称轴是y轴（C）都有最高点

（D）y随x的增大而增大 6.若点A(2,m)在抛物线y=x2 上，则点A关于y轴对称点的坐标是（）．

(A)（2，4）

（B）（－2，4）

（C）（2，－4）

（D）（－2，－4）

7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是（）

(A)若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等

(B)对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应(C)对任一个实数y,有两个x和它对应.(D)对任意实数x,都有y＞0.课堂小结

1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.一般地，抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点．

当 a＞0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当 a＜0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．

对于抛物线 y = ax 2，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大；

如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．

板书

26.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质

一、图象的画法：

1、列表

2、描点

3、连线

二、图象和性质 图象：是一条抛物线

性质：一般地，抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点．

当 a＞0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当 a＜0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．

对于抛物线 y = ax 2，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大；

如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．

三、例题分析 例

1、例2

《一次函数图象的应用(二)》教学设计 篇14

一、教学目标

(一)知识目标 1．使学生会用描点法画出二次函数yaxbxc的图象；

2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)；

3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；

4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．

(二)能力目标

1．培养学生分析问题、解决问题的能力；

2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握；

3．在待定系数法的教学中培养学生的计算能力．

(三)情感目标

1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育． 2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美．

二、教学方法

教师采用比较法、观察法、归纳总结法

本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系．

三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．因为它们是画出二次函数2yaxbx的图像的基础．c 2．教学难点：配方法的推导过程，因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过，但是在配方的过程中需要考虑加、减的数，对学生有一定的难度． 3．教学疑点：顶点式与一般式如何转化

4．解决办法：(1)知道一般式到顶点式是通过配方得到的；(2)已知三个点坐标，可用待定系数法求得抛物线一般式．

四、教学媒体 三角板 投影片

五、教学设计思路

1．出示三组练习，导入新课． 2．“如何画y12x6x212的图像?”教师提问，让学生去讨论、发现：要写成ya(xh)k的形式，找出对称轴，引入由一般式化成顶点式，推导出顶点坐标公式．

3．学生练习，为了强化巩固．

4．待定系数法求一般式抛物线，学生练习，讲评．

六、教学步骤

(一)明确目标

2在前几节课的基础上，我们已经能画出形如ya(xh)k的图像，并能指

2出它的对称轴和顶点坐标，对于一般形式的二次函数yaxbxc应如何解决2这些问题呢?这就是我们这节课的主要任务之一．(板书)(二)整体感知

本节课的第一个重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴．为了学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路．有了基本思路之后，再来观察给出的这几个练习题的共同特征：二次项系数为1．由此引出：

若二次项的系数不为1怎么办?学生较易想到要使它变为1，跟着就提出：怎样能使二次项的系数变为1呢?用提公因式法．而一旦二次项的系数变为1之后，就可以按照上面的思路来解决了，这样这个重点和难点也就得到了自然地突破．

本节课的第二个重点是用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式．由于待定系数法已在前面交待过，所以教师可以完全放手由学生自主完成，这样更能体现课堂教学中以学生为主体，教师为主导的精神．

(三)教学过程

练习

提问：说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：

152y(x)2;2333(2)y0.7(x1.2)2.1;(1)

113y(x)2;424(3)y15(x10)20;(4)22ya(xh)k.(出示幻灯)(5)通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价． 我们已画过二次函数ya(xh)k的图像，画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数yax2bxc的图象应怎么办呢? 学生讨论得到：把二次函数yaxbxc转化成ya(xh)k的形式再加以研究． 提问：怎样能把二次函数yaxbxc转化成ya(xh)k的形式呢?我们先来看几个练习题：(出示幻灯)2 填空：(1)xbx (x)；(2)x25x22 (x)；

22)x4x9(x(3) ； 22x5x8(x)(4) ；

先由学生自己填，若在填的时候有问题，可以互相讨论之后再填．然后由学生回答答案，对一下，关键是由学生来总结：这几个空是怎样填上的? 总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方．

提问：当二次项的系数不为1时，应怎么办呢? 答：利用提公因式法，首先把二次项的系数化成1，再用上述方法．

下面，我们就一起来看一个具体的问题：(出示幻灯)画函数y12x6x212的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 分析：首先要用配方法将函数写成ya(xh)k的形式；然后，确定函数图像的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线． 这里的关键步骤是用配方法把函数改写成ya(xh)k的形式，应按怎样的方式来做呢?(教师边提问、边讲解、边板书)首先，把等号右边的2(即二次项的系数)提出来，使二次项的系数为1，得1y(x212x42)2；

然后，把括号内的部分配成一个完全平方(即先加，再减一次项系数的一半11y(x212x363642)[(x6)26]22的平方)，得；

最后去掉中括号，得

y1(x6)232．

2ya(xh)k的形式一样，就可以由学生独立完成余下的部分了． 这就与

注意：描点画图时，要参照已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并且用虚线画出对称轴，然后再对称描点，最后，用平滑曲线顺次连结各点．

画完图之后，可让学生观察图像，思考：

提问：1．这条抛物线与哪条形如yax的抛物线形状相同?为什么? 答：与抛物线就相同． y12x2的形状相同，因为若两条抛物线形状相同，则。的值12x2经过怎样的移动得到的? 2．它是抛物线y 这个问题可根据学生的层次决定问还是不问，关于这个问题的回答可以像书

1yx22平行移动，顶点从原点移动到（6，3）而成的，上一样，即：将抛物线也可以按照沿轴移动的方式来回答．

上面，我们研究了如何把一个具体的二次函数通过配方的方法来加以研究，2对于一般的二次函数yaxbxc应怎样解决呢?(出示幻灯)例1 通过配方求抛物线yaxbxc的对称轴和顶点坐标．

12x6x212 可先让学生仿照前面解决的方式来做，找一名同学板书，然后视情况加以讲解，补充和纠正．

y 最后，加以总结，形成规律：(板书)

b4acb2bx(,)2yaxbxc2a，顶点坐标是2a4a 抛物线的对称轴：，让有能力的学生掌握推导过程，层次较差的只要记住公式就可以了。

1．教材2 笔答，2．教材2(1)(3)(5)(7)我们已经学过用待定系数法确定正比例函数与一次函数的解析式，需要知道图像上的几点才能利用待定系数法来确定函数的解析式呢?

2yaxbxc，已知函数图像上的几点，可以 试想，关于一般的二次函数用待定系数法来求出这个函数的解析式呢? 下面，我们就来看今天的第二个例题：(出示幻灯)例2 已知一个二次函数的图像经过(1,10),(1,4),(2,7)三点．求这个函数的解析式．

根据此题的程度可由学生自主完成，注意提醒学生先要将函数的一般形式设出来，之后

再用待定系数法求解．

练习二 教材中1、2 5（1）（2）找四名同学上黑板板演，其他同学在练习本上完成，统一答案即可．(四)总结、扩展

提问：1．本节课我们共学习了几种教学方法?各是什么?

22yaxbxcya(xh)k的形式的一般 2．用配方法将二次函数变形成步骤是什么? 3．经过配方得到：二次函数yaxbxc的图像的对称轴和顶点坐标各是什么? 4．用待定系数法确定函数的解析式，选用图像上的几点，通常是由什么来决定的?

七、布置作业

关于三角函数图象的对称问题 篇15

1.y=si nx的对称轴为x=π/2+kπk∈Z，对称中心为 (kπ，0) k∈Z,

2.y=si nx在对称轴处取得最大值和最小值，在对称中心处三角函数值为零。

3.y=si nx相邻的两条对称轴相隔半个周期，相邻的两个对称中心相隔半个周期，相邻的对称轴和对称中心相隔四分之一个周期。

例1 (07福建)已知函数f (x) =sin (ωx+π/3) (ω<0) 的最小正周期为π，则该函数图象()。

A.关于点(π/3, 0)对称

B.关于直线x=π/4对称

C.关于点 (π/4, 0) 对称

D.关于直线x=π/3对称

分析：由于y=Asin (ωx+φ) (A>0ω>0) 与y=si nx的图象走势相同形状相似，求它的对称轴和对称中心，一般用换元法设ωx+φ=t代入y=sint的对称轴方程和对称中心坐标中完成。

方法一：

∵f (x) 最小正周期为π

得对称轴方程为

因而B、D不对

得x=-π/6+kπ/2当k=1时x=π/3

∴对称中心为(π/3, 0)选A。

分析：这题可用特殊值法，将答案代入利用y=sinx对称轴、对称中心处的三角函数值检验。

方法二：

∴对称中心为(π/3, 0)选A。

例2函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/6对称，求a的值。

方法一：

∵y=sin2x+acos2x=sin (2x+φ) 图象关于直线x=-π/6对称

则f (-π/6) =

解得a=

方法二：函数图象关于直线x=-π/6对称

∴f (-π/6+x) =f (-π/6-x) 恒成立

∴当x=π/6时f (0) =f (-π/3)

解得a=

例3设函数f (x) =2sin (πx/2+π/5) 对任意x∈R都有f (x1) ≤f (x) ≤f (x2) 成立，则|x1-x2|的最小值为()。

分析：∵|x1-x2|的最小值是相邻的最大值和最小值处两条对称轴间的距离

∴|x1-x2|的最小值为T/2=2，应选B

函数图象的完美攻略 篇16

高考对函数图象的考查主要体现在：给出或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；给出函数的图象求解析式；给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或取值范围；考查函数图象的平移、对称和翻折；运用函数的图象讨论方程的解的个数及解不等式等．

重点：掌握基本初等函数图象的画法及性质；掌握各种图象的变换规则，如平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；会利用函数图象进一步研究函数的性质，解决方程或不等式中的问题．

难点：用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决关于函数图象的问题． 通过作图、识图、用图掌握函数、方程、不等式知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括的能力．

1． 运用描点法作函数的图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线；应借助于函数性质、方程、不等式等手段，对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究，把表列在关键处，把线连在恰当处．

2． 运用变换法作函数的简图是在解决相关问题时经常用到的一种方法，关键在于理解画理，掌握画据，注意把握好图象的关键点（即与x轴、y轴的交点或具有特殊意义的点），这样作出的图形才较为准确、美观． 函数的图象从“图形”方面刻画了函数的变化规律． 通过变换法观察函数的图象，可以形象地揭示函数的有关性质．

3． 识图和用图是解题的两个重要环节．识别函数图象可抓住函数的性质如定义域、值域（最值点）、单调性（趋向）、对称性等来判断. 此外，在函数中出现的一些特殊点（如与坐标轴的交点），以及函数值的正、负等情况，都是判别函数图象时经常要考虑到的． 对不同的图象也可采取对比比较来判断，因为函数的图象能很好地反映出函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时要借助图象，利用“数”与“形”的联系，获得最佳解题途径．