一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解（通用7篇）

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解 篇1

一次函数的图象和性质

一、知识要点：

1、一次函数：形如y=kx+b(k≠0, k, b为常数)的函数。注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；

（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）

（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：

(1)图象的位置:

(2)增减性

k>0时，y随x增大而增大

k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法

求函数解析式的方法主要有三种

(1)由已知函数推导或推证

(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

①利用一次函数的定义

构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例：

例1．已知y=，其中

=

(k≠0的常数)，与

成正比例，求证y与x也成

正比例。

证明：∵

设

∵y=

∴y=与=a成正比例，(a≠0的常数), , ·a=

(k≠0的常数), =akx，其中ak≠0的常数，∴y与x也成正比例。

例2．已知一次函数=(3-)

=(n-2)x+

-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解：依题意，得

解得 n=-1，∴=-3x-1，

=(3-)x, 是正比例函数；

随x的增大而减小； 随x的增大而增大。=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，=(3-)x的图象经过第一、三象限，说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，∴k=-4，∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，∴b=18，∴y=-4x+18。

说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。

例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

解：∵点B到x轴的距离为2，∴点B的坐标为（0，±2），设直线的解析式为y=kx±2，∵直线过点A（-4，0），∴0=-4k±2，解得：k=±，x+2或y=-x-2.∴直线AB的解析式为y=

说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。

（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用|

|=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3).例6．已知正比例函数y=kx(k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。

分析：画草图如下：

则OA=13，=30，则列方程求出点A的坐标即可。

解法1：设图象上一点A（x, y）满足

解得：；；；

代入y=kx(k<0)得k=-

∴y=-x或y=-, k=-.x。

解法2：设图象上一点A（a, ka）满足

由（2）得=-,)·(-)=

.代入（1），得(1+

整理，得60

解得 k=-

∴ y=-+169k+60=0.或k=-.x.x或y=-

说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。

例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=

x+的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

分析：由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。

解：∵点A、B分别是直线y=

x+

与x轴和y轴交点，∴A（-3，0），B（0，），AB=，∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=

设点D的坐标为（x, 0），（1）当点D在C点右侧，即x>1时，--78-

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解 篇2

一、本节教材的地位和作用

苏教版“一次函数的图象和性质”出现在八上学期6. 3节, 教材分两节内容. 但实际教学时,一般都是打通两节课的界限, 把图象和性质结合起来教学,通过观察研究图象来总结出性质. 在这节课之前,学生已经学习了函数的一些基本知识,也学习了用描点法画函数的图象. 同时,教材已经为这节课作了铺垫. 6. 1节学习函数图象时,例题、练习中出现了不少一次函数的图象,学生基本明确这类函数的图象都是一条直线. 这节课就以此为切入点.

二、教学目标

基于以上对教材的认识,以及课程标准的要求,笔者设计了这样的教学目标:

( 1) 会选取两个适当的点,画一次函数的图象,并能结合图象探究出一次函数的主要性质( 即增减性) .

( 2) 培养学生观察、比较、抽象、概括的能力,渗透数形结合的研究方法.

( 3) 通过小组合作,培养学生的团结协作精神.

三、教学重难点

重点: 画一次函数的图象总结其主要性质; 难点: 一次函数的增减性的具体理解.

四、教学方法分析

本节课主要采用数学交流教学模式. 数学交流教学模式是我校一直践行的课堂教学模式. 其间的诸多理念已为大多数中学老师接受,比如少教多学、有效教学等. 这种模式主要分为四个环节: 问题———思考———交流———总结. 它追求理想的课堂多向交流,鼓励学生针对问题展开讨论. 数学结论由学生在动手练、动脑思考、相互讨论后自己得出. 教师在课堂上适度引导、点拨和点评.

五、教学过程

1. 复习导入

情境设置要真、要恰当、要有效,如果牵强附会,反而成了伪情境. 对于本节课,学生有着前面关于概念的学习,和函数图象的画法作为基础,故而可以直入主题.

在简单复习一次函数的基本知识以后,我把学生在前一节课后作业中画过的四个函数( y = x,y = - x,y =4x -1,y =4x +1) 的图象在屏幕上投影出来,让学生观察,回到下列问题: 1这些函数是什么函数? 2这些图象是什么形状? 从而得出: “一次函数的图象是一条直线”这样的结论. 而亮点确定一条直线,就很自然地引入用两点法画一次函数的图象[1].

2. 新课学习

遵循循序渐进、由浅入深的原则. 我引导学生先研究y = kx ( k≠0) 的图象和性质.

例1画函数y = 2x的图象.

首先思考: 取怎样的两点比较合适? 为什么这样取点?

这样学生可以比较后得出: 以计算简单、描点方便为上. 并且突出一个定点———原点. 然后,全班一起快速绘制出y = 2x的图象. 这样,能达到全班学生都掌握用两点法画一次函数图象的目的,并且突出正比例函数除原点外,往往另取点( 1,k) 比较方便绘图. 这节课的重点是通过画一次函数的图象,由图象得出性质,所以多画图象是这节课的关键. 新课程标准的教学目标是多维的,其中,基本知识可以通过传递获得; 基本技能要通过操练获得; 至于基本的数学思想和方法,则需要多方渗透后才能形成. 只有多画几个图象,学生才能容易从中观察得出一次函数的性质. 预先设计随堂练习. 在练习上画好了八个网格线图,网格上面预留好空间用于写函数关系式和列表,这样可以把绝大部分课堂时间用于学生的讨论和交流.

第1组练习: 分别画出以下两组函数的图象,第一组是,第二

虽然是六个函数图象,但有了网格线,用的时间很短. 画图象不是这节课的最终目的,主要是为了让学生通过图象探究出正比例函数的性质.

接着就是本节课的主体部分,观察、讨论:

问题1: 正比例函数的图象是什么样的一条直线? 对应不同的k的取值,图象有何表现?

要组织学生开展研究性学习,要有合适的时机和载体,本节课就是可以放手让学生讨论的地方. 讨论的目的是解决问题,因而问题串的设计很重要. 太简单的问题没有讨论的必要, 而未经个人认真观察和独立思考的讨论是无效的讨论. 在平静的课堂表面下,各种思考暗流涌动,深刻思考后再一起讨论、甚至争辩,这才是高效的课堂教学[2].

人的认识总是从感性认识上升到理性认识,感性认识的积累就会产生理性思维的飞跃. 六个函数的图象分列在两幅图中,学生很容易观察出正比例函数的主要性质. 教师也加入到学生中去,与学生进行平等的交流,学生的积极性很高. 无需给予多少引导,学生就提出了许多看法,其中大家一致认同的有以下三点:

( 1) 图象都过原点.

( 2) k > 0时,图象都经过一、三象限,从左到右图象逐渐上升,y随x的增大而增大.

( 3) k < 0时,图象都经过二、四象限,从左到右图象逐渐下降,y随x的增大而减小.

也有学生提出: k越大,图象越靠近y轴,越陡; k越小,图象越靠近x轴,越平缓.

学生是课堂的主体,没有学生参与的评价是无效的评价,没有学生参与的总结是虚假的总结. 因此以上学生提出的这些结论,其正确与否,我都交给学生来判断和说理. 在教学过程中,要时时注意培养学生的发散思维和创新意识,不拘泥于课本.

学生对“k越大,图象越陡”进行辨析最终认定为错误的,应该修正为“k的绝对值越大,图象越陡”.

至此,师生共同完成第一个目标: 认识k对一次函数图象的影响———k的符号决定图象的升降,k的绝对值决定直线的陡峭程度,当两个正比例函数中的k互为相反数是,其陡峭程度一样. 这时候,笔者再适度总结提升———函数关系式中的“数”与图象中的“形”是密切相关的,这就是数形结合的思想.

问题2: 怎么去理解“y随x的增大而增大”?

学生进一步讨论,从不同的角度,各抒已见. 大概有以下两种认识:

( 1) 在图象上取两个静态的点,比较它们的横坐标与纵坐标,发现横坐标大时,纵坐标也大. 从而说明y随x的增大而增大.

( 2) 一个动点在图象上运动,若从左向右,纵坐标随横坐标的增大而增大; 若从右向左,纵坐标随横坐标的减小而减小.

学生从一动、一静两个侧面来理解,达到化解难点的目的. 学生已进入到由图象探究性质的氛围中来,并已掌握了一些基本的研究方法. 接下来仍通过画图象研究y = kx + b ( k≠0) 的性质.

例2在同一坐标系中画函数y = 2x,y = 2x + 1,y = 2x - 3的图象,观察、比较以上图象,你能提出哪些结论?

这样的问题设置更开放,也更能激发学生的积极性,锻炼学生的观察、比较、抽象、概括的能力. 很快,学生总结出多样的结论,并逐一阐述,主要有以下两点:

( 1) 三条直线都在上升,倾斜程度相同,互相平行,都过一、 三象限; ,或者说k决定直线的走势;

( 2) 三条直线与y轴的交点纵坐标与相应函数关系式中的字母b的值一致,或者说b决定直线与y轴交点的位置;

接下来再进行巩固练习和课堂小结和布置作业 .

基础教育课程改革的目标之一是改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状. 倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力,获取新知识的能力、分析和解决问题的能力,以及交流与合作的能力. 通过这节课的学习,学生能有效为以后学习其他类型的函数积累一些基本的学习经验,甚至让他们进一步喜欢上学数学.

摘要：数学学习过程就是在学生已有的学习经验和认知水平的基础上,引导学生通过实践、探索、交流等多种活动,理解与掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法的过程.所以学生才是学习活动的主体,教师应该找准数学学习活动的切入点、生长点,是学习活动的组织者、合作者和参与者.

幂函数的概念、图象和性质 篇3

一、 幂函数的概念

要想真正把握好幂函数概念的内涵和外延，需将它和其他基本初等函数加以区分.

1. 幂函数和指数函数

函数

内容

项目幂函数指数函数定义形如y=xα（α∈R）的函数叫幂函数，其中α为常数形如y=ax（a＞0且a≠1），x∈R的函数叫指数函数

特点1. 是幂的形式2. 幂的底数是x ——自变量3. 幂的指数是α ——常数4. α∈R（中学阶段只研究α为有理数）

1. 是幂的形式2. 幂的底数是a ——a＞0且a≠1的常数3. 幂的指数是x ——自变量

4. x∈R（定义域）

2. 幂函数和正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

形如y=kxα的函数,k,α是常数：

① 当且仅当k≠0且α=1时为正比例函数.

② 当且仅当k≠0且α=-1时为反比例函数.

③ 当且仅当k≠0且α=1时为一次函数.

④ 当且仅当k≠0且α=2时为二次函数.

⑤ 当k=1时为幂函数.

另外，并非所有的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数都是幂函数，比如：y=2x，y=2x，y=x+1，y=x2-x等均不是幂函数.

3. 幂函数和复合函数

幂函数作为一种基本初等函数，它可成为被复合的一分子，但它不是复合函数.如：y=x12+1是由一次函数y=u+1和幂函数u=x12组成的复合函数，但y=x12+1不是幂函数.

例1 已知函数f（x）=（m2+2m）xm2+m-1，m为何值时，f（x）是：

（1） 正比例函数；

（2） 反比例函数；

（3） 二次函数；

（4） 幂函数.

解析 本题考查四种基本初等函数，关键是根据各自定义列出等式或不等式，求出m的取值.

（1） m2+2m≠0,m2+m-1=1,解得m=1.

（2） m2+2m≠0,m2+m-1=-1,解得m=-1.

（3） m2+2m≠0,m2+m-1=2,解得m=-1±132.

（4） m2+2m=1,解得m=-1±2.

二、 幂函数的图象

图1

1. 以y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1五种函数的图象，通过列表——描点——连线（三步作图法）得到,如图1.

2. 幂函数y=xα，x∈［0，+∞）的图象因α值不同而不同.如图2，以y=x，y=x0和在x=1右侧分为三个区域：

图2

在Ⅰ区中，y=xα（α＜0）；

在Ⅱ区中，y=xα（0＜α＜1）；

在Ⅲ区中，y=xα（α＞1）.

利用图2，可弄清在第一象限中幂函数y=xα的图象分布与α的关系，且在x=1右侧的每一区域中，都是越往上对应的α值越大.

例2 图3是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则（）

A. -1＜n＜0＜m＜1

图3

B. n＜-1,0＜m＜1

C. -1＜n＜0,m＞1

D. n＜-1,m＞1

解析 在（1，+∞）内取一值x0，作直线x=x0，它与这两个幂函数的图象均有交点，则“点低指数小”，故选B.

3. 幂函数图象的特点

① 一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；

② 最多只能同时出现在两个象限内；

③ 是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；

④ 如果图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

三、 幂函数的性质

幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出在定义域内完整的图象；反过来，只要图象明确了，性质也就清晰无误了.

例3 已知幂函数y=xm2-2m-3（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)-m3＜(3-2a)-m3的a的取值范围.

解析 由题意，可得m2-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

又m∈N，所以m=0，1，2.

当m=0或m=2时，y=x-3是奇函数，不合题意,舍去.

当m=1时，y=x-4满足条件.

所以m=1.

对于（a+1）-13＜(3-2a)-13,考察幂函数y=x-13的单调性：在（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数,

所以a+1＞0,3-2a＞0,a+1＞3-2a,或a+1＜0,3-2a＜0,a+1＞3-2a,或3-2a＞0,a+1＜0,

解得a＜-1或23＜a＜32.

故a的取值范围是（-∞，-1）∪23,32.

巩 固 练 习

1. 下列函数是幂函数的是（）

A. y=xx

B. y=3x12

C. y=(x-1)2

D. y=x-2

2. 右图为幂函数y=xα在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为（）

A. C1＞C2＞C3＞C4

B. C2＞C1＞C4＞C3

C. C1＞C2＞C4＞C3

D. C1＞C4＞C3＞C2

3. 设函数f1(x)=x12，f2(x)=x-1，f3(x)=x2.求：f1(f2(f3(2008)))=.

4. 已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)＜f(3).

（1） 求k及其相应的f(x)的解析式；

（2） 对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在q（q＞0），使函数g（x）=1-qf(x)+（2q-1）x在区间［-1，2］上的值域为-4,178？若存在，求出q；若不存在，说明理由.

一次函数的图象和性质的教学反思 篇4

本节课能基本完成教学任务。表现在对教学目标（1.会选取两个适当的点画出正比例函数与一次函数的图象。2.能结合图象理解正比例函数和一次函数的性质。）的落实上比较到位，即课本的知识点能够较好的理解掌握，学生动手操作能力、合作探究能力也得到了进一步培养。

本节课在教学引导、自学、归纳、探究以及数学思想方法等方面都进行了积极的构思设计，学生能够在教师指导下进行类比自学，大胆探索。教学实践与教学设计基本符合。

教学设计过于理想化。特别是目标3（渗透数形结合思想和分类思想以及类比的学习方法，培养学生良好的思维品质）的落实上不太到位，学生对数学思想方法的理解严重缺乏，在今后的教学中应多次重复应用，努力培养学生的良好的思维品质。

大多数学生能积极合作，深入探究。但对于严重两极分化的学困生由于基础差，因而缺乏合作能力，没有合作意识。

（1）组织有效的小组学习。作为新课程倡导的三大学习方式之一，小组合作学习在形式上成为有别于传统教学一个最明显特征。它有力地挑战了教师“一言堂”的专制，同时也首次在课堂上给了学生自主、合作的机会

我们应该组织有效的小组合作学习。在讨论前要考虑各小组学生的实际情况，让学生独立思考，再在组内讨论交流。让每个学生都有均等参与的机会。小组讨论的时候，教师要深入到小组当中，了解合作的效果，讨论的情况等等，从而灵活地调整下一个教学环节。

（2）学生不会学习，教师引导不到位。——应加强对学生的学法指导，如本节课的“类比自学”。在教学过程中应充分调动学生的学习积极性和主动性，多给学生以鼓励，树立信心，培养兴趣，多给学生以学法指导，让学生学会学习。努力培养他们自主学习、合作探究的能力，敢于吃苦，善于思考的学习品质。

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解 篇5

《反比例函数的图象和性质》教学反思1

在本节授课过程中，教学环节展开是顺畅的，学生在教师引导下，能够说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，按照列表、描点、连线三个步骤画出反比例函数图象，通过观察所画出的反比例函数图象，得出该图象的“特征”和函数的“性质”。

但因为学生刚接触反比例函数图象，图象外在形式(双曲线)与一次函数图象(直线)之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征;另一方面，在应用反比例函数(增或减)的性质，比较反比例函数的.两个函数值大小时，学生不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这导致学生课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。

此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”因素，以确保学习知识的“正迁移”效应，实际也会带来一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于反比例函数“个性”的结论，理解上反而会受到一些干扰。

《反比例函数的图象和性质》教学反思2

反比例函数的图像与性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。为此应该有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比。对比可以从以下几个方面进行：

（1）两种函数的关系式有何不同？两种函数的图像的特征有何区别？

（2）在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？

（3）两种函数的取值范围有什么不同，常数的符号的改变对两种函数图像的变化趋势有什么影响？

从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。此外，在学习反比例函数图像的性质（k大于0双曲线的两个分支在一、三象限，k小于0双曲线的两个分支在二、四象限）时，学生由画法观察图象可知；而增减性由解析式y等于k比x（k不等于0），学生也容易理解，但从图象观察增减性较难，借助计算机的动态演示就容易多了。运用多媒体比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。

通过本案例的教学，使我深刻地体会到了信息技术在数学课堂教学中的灵活性、直观性。虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高。在评价学生的学习时应关注以下几个过程：

1、关注学生学习过程，进行形成性评价

教师应以学段教学目标为背景，以本章教学目标为标准来考察学生的.学习状况。在教与学的过程中，了解学生数学活动中情感与智力的参与程度和目标达到的水平，及时进行归因分析，不断积极引导和激励。同时利用诊断结果不断改进自己的教学。

2、知识技能的评价，注重学生对函数概念及反比例函数的理解水平。

本部分内容中，对知识技能的评价包括：能否理解反比例函数的概念，了解函数及其图象的主要性质；能否根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题等。对这些知识技能的评价，应当更多的关注其在实际问题情境中的意义理解。如对于反比例函数的概念及其性质，关键是体会它们在不同情境中的应用，只要学生能在具体情境应用它们解决问题即可，而不要过于关注其具体运用的熟练程度，如可以要求学生举例说明反比例函数在显示生活中的应用等。

3、发展性评价，关注数学活动引起人的变化

观察反比例函数图象获取函数相关性质的信息有较大空间，考察学生能否对信息作出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活支配运用知识有效的解决问题。关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化。

《反比例函数的图象和性质》教学反思3

这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。

课堂设计程序是：例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的`长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。

在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。

《反比例函数的图象和性质》教学反思4

这一课主要的教学任务是探究反比例函数的比例系数k的几何意义，研究与反比例函数有关的面积问题。

课堂设计程序是：

例题1研究从双曲线上任意一点P作坐标轴的垂线，围成的长方形PQOR的面积与k的关系，进而进行题目的变化，得到从双曲线上任意一点P作x、y轴的垂线三角形PQO的面积与k的关系，得到从双曲线上任意一个动点P作坐标轴的垂线，围成的长方形S1、S2、S3的面积总有S1=S2=S3；

例题2揭示了正比例函数的图象与反比例函数的图象两个交点的关系（关于原点对称），过两个交点并且垂直于坐标轴的直线围成的矩形的面积（等于k的绝对值的`4倍），进而进行题目的变化，得到几种三角形的面积和平行四边形的面积，由学生及时进行相应的练习；

例题3把一次函数与反比例函数相结合，进行了比较简单的综合应用，让学生进行面积的和差组合，培养学生分析问题解决问题的能力。

在学生进行到反比例函数的研究时，数形结合的思想就能够应用自如了，学生的学习情况还是比较好的。回想起来，还是结合个方面的知识内容，用待定系数法求函数的解析式的题目类型学生的达成率不够好，要加强这方面的训练。

利用待定系数法求反比例函数的解析式是学生必会内容，本课教学有一次函数的基础，所以学生学习起来并不感到有多困难的。因此，本课在学习用待定系数法求函数的解析式的前面安排函数性质的复习，学习和巩固“在每个象限内”的反比例函数的增减情况的有关应用问题，例如第4小题，A(a，b)，B(a-1，c)在反比例函数y=k/x(k<0)的图象上，探究a的各种不同的取值情况下，b与c的大小关系。

用待定系数法求反比例函数的解析式，安排了两个例题两个练习，题量不多重在使学生自主学习，这里着重加强对数形结合思想的应用，培养学生通过图形研究问题的习惯，另外，例题2需要学生结合三角形全等的几何知识解决点的坐标的探究，去年期末考试的最后一道试题也是在平面直角坐标系下几何问题的研究，学生不是很熟悉的，因此，培养学生各种背景下数学问题的研究很有必要。

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解 篇6

一、教学目标

1.利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质；利用反比例函数的图象解决有关问题．

2.经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力；体会用数形结合思想解数学问题．

3.提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。

二、重难点

重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。难点：探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用。

三、教学过程

（一）复习引入新课: 1．什么是反比例函数?

k本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象，x探究它有什么性质．

（二）探究发现：

6活动1.画出函数y的图象．

x分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．

解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．

3.连线：用光滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用光滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．

提问 1这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？

6活动2：画出反比例函数y的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握

x画函数图象的步骤）．

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．

61.这个函数的图象在哪两个象限？和函数y的图象有什么不同？

xk2.反比例函数y(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？

x3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？

k反比例函数y有下列性质：

x(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

注 1．双曲线的图象向x轴、y轴无限接近，但永远无法到达，即它的两个分支与x轴和y轴没有交点；

2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 3．有两条对称轴y=x、y=-x．

（三）实践应用

例1 若反比例函数y(m1)x2m2的图象在第二、四象限，求m的值．

分析 由反比例函数的定义可知：2m21 ,又以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．

2m21,解 由题意，得 解得m3．

m10k(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次x函数y＝kx－k的图象经过的象限． 例2 已知反比例函数yk(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此kx＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．

k解 因为反比例函数y(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，x所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限． 例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的解析式，并画出图象；

(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

分析(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

k解(1)设：反比例函数的解析式为：y(k≠0)．

x而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．

k所以2，k＝－2．

12即反比例函数的解析式为：y．

x分析 由于反比例函数y

222(2)点A(－5,m)在反比例函数y图象上，所以m，x552点A的坐标为(5,)．

52点A关于x轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于原点的对称点(5,)在这个图象上；

例4 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．

(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)画出函数的图象．

20解(1)因为100＝5xy,所以y ．

x(2)x＞0．

(3)图象如下：

说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．

1例5．如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上任意两点A、xB分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1＞S2（B）S1＝S2（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定

k分析：从反比例函数y（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作

x1垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积Sxyk，由此可得S1＝S2 ＝，故

2选B

k练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数y（k＞0）的图象上的一

x点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质． 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)． 2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

（3）k的几何意义

四、课堂练习：1P52页练习1、2若反比例函数y(3n9)xn213的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．

五、小结：这节课，你学会了什么？

六、作业 ：见题篇

七板书设计：

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解 篇7

——反比例函数的图象和性质的运用

一、新课导入 1.课题导入

问题：反比例函数的图象是什么？它有哪些性质？ 在学生回答问题后，提出本节任务，由此导入课题.2.学习目标

（1）能灵活运用反比例函数的图象和性质解决一些较综合的问题.（2）领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.3.学习重、难点

重点：利用反比例函数的图象和性质解决综合问题.难点：学会从图象上分析、解决问题.二、分层学习1.自学指导

（1）自学内容：教材P7例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：

①已知反比例函数的图象上一点的坐标，怎样判断其图象位于哪些象限？

②若点(a,b)在y=的图象上,则ab=k.③怎样运用待定系数法求反比例函数的解析式？

④练习：已知一个反比例函数的图象经过点A(3，-4).a.这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？

这个函数的图象位于第二、第四象限；在图象的每一支上，y随x的增大而增大.b.点B(-3，4),C(-2，6),D(3，4)是否在这个函数的图象上？ 点B、C在这个函数图象上，点D不在这个函数的图象上.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学

（1）师助生： ①明了学情：了解学生是否会通过观察图象理解反比例函数的性

kx 质.②差异指导：关注学困生和中间层的学生对性质的认识.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化

（1）反比例函数的图象上一点的坐标判断其图象所在的象限根据图象说性质.（2）若点(a,b)满足解析式y=（即ab=k），则点（a，b）在此函数的图象上.1.自学指导

（1）自学内容：教材P7例4.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：先学习例题中的方法，然后模仿例题解答自学参考提纲中的问题.（4）自学参考提纲：

①反比例函数y=的图象既是中心对称图形，其对称中心是原点，又是轴对称图形，其对称轴是直线y=x和y=-x ②怎样比较反比例函数y=的图象上横坐标已知的两点的纵坐标的大小？举例说明.③右图是反比例函数y问题：

n7的图象的一支，根据图象回答下列xkxkxkx

a.图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ 图象的另一支位于第四象限，n＜-7.b.在这个函数图象的某一支上任取点A(a，b）和点B(a′，b′）.如果a

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否会顺利进行图象的位置、k的符号和函数的增减性之间的转换.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化

（1）反比例函数图象上点的横纵坐标的积与k的关系；比较两个点的纵坐标的大小的方法.（2）练习：已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y1的图x象上，如果x1

答案：y1＞y2.因为函数y1的图象位于第一、第三象限，所以x在每个象限内，y随x的增大而减小.因为x1

1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.反比例函数的图象和性质是反比例函数的教学重点，本课时的学习让学生掌握反比例函数的图象和性质的应用.学生在学习过程中会存在一些问题，应引导学生类比一次函数和二次函数进行学习，课堂上多一些比较，多一些交流，让学生领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.一、基础巩固（70分）1.(10分)已知反比例函数y

k2的图象位于第一、第三象限，x则k的取值范围是（A）

A.k＞2 B.k≥2 C.k≤2 D.k＜2 2.(10分)如果点（3，-4）在反比例函数y=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（C）

A.(3,4)B.(-2，-6)C.(-2，6)D.(-3，-4)3.(10分)关于反比例函数y的图象，下列说法正确的是（C）A.经过点（-1，-2）B.y随x的增大而增大 C.当x＜0时，图象在第二象限 D.y随x的增大而减小 4.(10分)已知函数y3（x＞0），那么（A）x2xkxA.函数图象在第一象限内，且y随x的增大而减小 B.函数图象在第一象限内，且y随x的增大而增大 C.函数图象在第二象限内，且y随x的增大而减小 D.函数图象在第二象限内，且y随x的增大而增大

5.(10分)（多选）函数ykx和y=(k≠0)的图象在同一平面直角坐标系中大致是（BD）

kx

2k36.(10分)反比例函数y的图象在每个象限内，y随x的增

x大而增大，则k＜．

7.(10分)正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2，求：

（1）当x=-3时，反比例函数y的值；

（2）当-3＜x＜-1时，反比例函数y的取值范围 解：（1）由题意知：正比例函数与反比例函数图象的一个交点是（2，2）,则k=2×2=4,即反比例函数的解析式为yy44.3332kx4.当x=-3时，x（2）当-3＜x＜-1时，反比例函数的图象在第三象限，y随x的增大而减小，又∵当x=-1时，y=-4, ∴-4＜y＜.二、综合应用（20分）8.(20分)已知反比例函数yw2的图象的一支位于第一象x43限.（1）图象的另一支位于哪个象限？常数w的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A(a，b）和点B(a′，b′）.如果b＞b′，那么a和a′有怎样的大小关系？

解：（1）图象的另一支位于第三象限，w＞2.（2）a＜a′.三、拓展延伸（10分）9.(10分)已知点A（x1,y1）、B（x2,y2）是反比例函数y=（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（A）

A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0