高考前必做题 椭圆的简单几何性质典型例题

高考前必做题 椭圆的简单几何性质典型例题

高考前必做题 椭圆的简单几何性质典型例题 篇1

椭圆的简单几何性质典型例题

例

1椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A2，0为长轴端点时，a2，b1，x2y21； 椭圆的标准方程为：41（2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，x2y21； 椭圆的标准方程为：

416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

a212

∴3c2a2，解：2cc3∴e13． 33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x22解：由题意，设椭圆方程为2y1，axy10222由x2，得1ax2ax0，22y1a1x1x21a22，yM1xM∴xM，1a22a kOMyM112，∴a24，xMa4x2y21为所求． ∴4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

x2y9例4椭圆1上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，0的2595距离成等差数列．

（1）求证x1x28；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

证明：（1）由椭圆方程知a5，b3，c4． 由圆锥曲线的统一定义知：2AFa2x1cc，a∴

AFaex15同理

CF54x1． 54x2． 59，5∵

AFCF2BF，且BF∴

54418x15x2，555即

x1x28．

（2）因为线段AC的中点为4，1yy2，所以它的垂直平分线方程为 2

yy1y2x1x2x4． 2y1y2又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得

2y12y

2x04

2x1x2又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，925x12 2592225x2

y2 25922x1x2x1x2． ∴ y1y225∴ y12将此式代入①，并利用x1x28的结论得

x0436 2∴ kBT 9055．

4x04x2y例5 已知椭圆1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到43左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M存在，设Mx1，y1，由已知条件得

2a2，b3，∴c1，e∵左准线l的方程是x4，∴MN4x1． 又由焦半径公式知：

1． 21x1，21MF2aex12x1．

2MF1aex12∵MN2MF1MF2，2∴x142211x12x1． 22整理得5x132x1480． 解之得x14或x112．

① 5另一方面2x12．

②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

x211例6 已知椭圆y21，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方程．

222分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y整理得

11kx．代入椭圆方程，并2212kx2k222132kxk2k0．

222k22k由韦达定理得x1x2． 212k∵P是弦中点，∴x1x21．故得k所以所求直线方程为2x4y30．

分析二：设弦两端坐标为x1，y1、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：

1． 2y1y2．

x1x21122解法二：设过P，的直线与椭圆交于Ax1，y1、Bx2，y2，则由题意得

x122y，1122x22y21，2x1x21，y1y21.①② ③④2x12x22y12y20．

⑤ ①－②得2将③、④代入⑤得

1y1y21，即直线的斜率为．

2x1x22 所求直线方程为2x4y30．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点2，6；

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

x2y22分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由221求出a148，abx2y2y2x21． 1后，不能依此写出另一方程b37，在得方程

14837148372x2y2y2x2解：（1）设椭圆的标准方程为221或221．

abab由已知a2b．

① 又过点2，6，因此有

22662221或221．

② a2bab22由①、②，得a148，b37或a52，b13．故所求的方程为 2222x2y2y2x21． 1或521314837x2y22（2）设方程为221．由已知，c3，bc3，所以a18．故所求方程abx2y21． 为189说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置

x2y2y2x2是否确定，若不能确定，应设方程221或221．

abab

x2y21的右焦点为F，例8 椭圆过点A1点M在椭圆上，当AM2MF，3，1612为最小值时，求点M的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率e最小值．一般地，求AM1，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得21MF均可用此法． e1解：由已知：a4，c2．所以e，右准线

2l：x8．

过A作AQl，垂足为Q，交椭圆于M，故显然AM2MF的最小值为AQ，即MMQ2MF．为所求点，因此yM3，且M在椭圆上．故xM23．所以M23，3．

说明：本题关键在于未知式AM2MF中的“2”的处理．事实上，如图，e1，2即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．

x2y21上的点到直线xy60的距离的最小值． 例9 求椭圆3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

x3cos，解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为

ysin.直线的距离为

3cos，sin，则点到d2sin63cossin63． 221时，d最小值22． 3当sin说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e33，已知点P0，到22这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

x2y2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是221，其中ab0待定．

abc2a2b2b212可得 由e2aa2a2b311e21，即a2b． a42设椭圆上的点x，y到点P的距离是d，则

3y2922dxya1y3y 224b22291

4b3y3y3y4b23

42222其中byb． 如果b12，则当yb时，d（从而d）有最大值． 2由题设得731137b，由此得b7，与b矛盾．

222222因此必有b由题设得112成立，于是当y时，d（从而d）有最大值． 2224b23，可得b1，a2．

x2y21． ∴所求椭圆方程是41由y111及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点3，，点3，到点222 3P0，的距离是7． 2解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是xacos，其中ab0，待定，ybsin02，为参数．

c2a2b2b2由e21可得 2aaab311e21，即a2b． a42设椭圆上的点x，y到点P0，的距离为d，则

2223233d2x2ya2cos2bsin

22

4b3bsin3bsin22229 41

3b2sin4b23

2b如果111，即b，则当sin1时，d2（从而d）有最大值． 2b2由题设得成立． 311137b，由此得b7，与b矛盾，因此必有12222b222于是当sin由题设知12时d（从而d）有最大值． 2b724b23，∴b1，a2．

∴所求椭圆的参数方程是x2cos．

ysin由sin 1311，cos，可得椭圆上的是3，，3，． 2222例11 设x，yR，2x3y6x，求xy2x的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x3y6x与椭圆方程的结构一

222222致．设x2y22xm，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由2x23y26x，得

3xy221

9324可见它表示一个椭圆，其中心在，0点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

设x2y22xm，则

x1y2m1 2232它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m1m1．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m11，此时m0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m14，∴m15．

∴xy2x的最小值为0，最大值为15． 22

x2y2例12 已知椭圆C：221ab0，A、B是其长轴的两个端点．

abb如何变化，APB120．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP，求证：不论a、（2）如果椭圆上存在一个点Q，使AQB120，求C的离心率e的取值范围．

 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足

的不等式，只能是椭圆的固有性质：xa，yb，根据AQB得到120a222ay22b、3，将xa2y代入，消去x，用a、以便利用ybc表示y，bx2y2a2列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设Fc，0，Aa，0，Ba，0．

xcb2Pc，

222222 abxayab于是kAPb2b2，kBP． acaaca∵APB是AP到BP的角．

b2b22a2acaaca∴tanAPB2

b4c122aca2∵ac ∴tanAPB2

故tanAPB

3∴APB120．（2）设Qx，y，则kQA22yy，kQB． xaxa由于对称性，不妨设y0，于是AQB是QA到QB的角．

yy2aya∴tanAQBxax 2222yxya12xa2∵AQB120，∴2ay3

x2y2a2整理得3x2y2a22ay0 a22∵xa2y

b22 a22∴31b2y2ay0

2ab2∵y0，∴y 23c2ab2∵yb，∴b 23c2ab3c2，4a2a2c23c2

∴4c4ac4a0，3e4e40 ∴e2422442362或e2（舍），∴e1． 231x2y21的离心率e，求k的值． 例13 已知椭圆

2k89分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x轴上时，ak8，b9，得ck1．由e当椭圆的焦点在y轴上时，a9，bk8，得c1k．

2222221，得k4． 211k15，即k．，得29445∴满足条件的k4或k．

4由e说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．

x2y2例14 已知椭圆221上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线4bb的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

x2y23解法一：由221，得a2b，c3b，e．

24bb由椭圆定义，PF1PF22a4b，得

PF14bPF24bb3b．

由椭圆第二定义，PF1d1e，d1为P到左准线的距离，∴d1PF1e23b，即P到左准线的距离为23b．

解法二：∵PF2d2PF2ee，d2为P到右准线的距离，e23b． 3c3，a2∴d2a283又椭圆两准线的距离为2b．

c3∴P到左准线的距离为

8323bb23b． 33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

x4cos,例15 设椭圆(为参数)上一点P与x轴正向所成角POx，求

3y23sin.P点坐标．

分析：利用参数与POx之间的关系求解．

解：设P(4cos,23sin)，由P与x轴正向所成角为

，3∴tan323sin，即tan2．

4cos525，sin，55而sin0，cos0，由此得到cos∴P点坐标为(45415,)． 55x2y2例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆221(ab0)上的一点，P到左焦

ab点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2，求证：r1aex0，r2aex0．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．

a2a2解：P点到椭圆的左准线l：x的距离，PQx0，cc由椭圆第二定义，PF1PQe，∴r1aex0． 1ePQaex0，由椭圆第一定义，r22ar说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．

x2y21内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点例17 已知椭圆95P是椭圆上一点．

P坐标；(1)求PAPF1的最大值、最小值及对应的点(2)求PA3PF2的最小值及对应的点P的坐标． 2分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

(1)如上图，2a6，F2(2,0)，AF22，设P是椭圆上任一点，由，∴PF1PF22a6，PAPF2AF2PAPF1PF1PF2AF22aAF262，等号仅当PAPF2AF2时成立，此时P、A、F2共线．

由PAPF∴PAPF1PF1PF2AF22aAF262，等2AF2，P、A、F2共线． 号仅当PAPF2AF2时成立，此时建立A、F2的直线方程xy20，解方程组xy20,5x9y4522得两交点

9***P(2,2)P(2,2)．、127***P点与P2重合时，综上所述，P点与P1重合时，PAPF1取最小值62，PAPF2取最大值62．

(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a3，c2，∴ePF2232．由椭圆第二定义知，∴PQPF2e32PQ3，∴3PF2PAPQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右29准线方程为x．

2PA∴A到右准线距离为

7．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条2

件的点P坐标(65,1)． 51PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧e说明：求PA用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．

x2y21的参数方程； 例18(1)写出椭圆94(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

x3cos解：(1)(R)．

y2sin(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设

(3cos,2sin)为矩形在第一象限的顶点，(0)，2则S43cos2sin12sin212

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF260．(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

x2y221（ab0），P(x1,y1)（y10）． 2ab思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60KPF2KPF11KPF2KPF13，设P(x1,y1)，F1(c,0)，F2(c,0)，化简可得3x13y12cy13c20．又x1y1222，两方程联立消去得1x3cy12b2cy13b40，由y1(0,b]，可以122ab确定离心率的取值范围；解出y1可以求出PF1F2的面积，但这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式PF在PF1F2中运用余弦定理，1aex1，PF2aex1，求x1，再利用x1[a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出PF1F2的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1PF22a求解． 2222

x2y2解：(法1)设椭圆方程为221（ab0），P(x1,y1)，F1(c,0)，F2(c,0)，abc0，则PF1aex1，PF2aex1． 在PF1F2中，由余弦定理得

1(aex1)2(aex1)24c2，cos6022(aex1)(aex1)4c2a2解得x1． 23e2(1)∵x1(0,a2]，24c2a2a2，即4c2a20． ∴023e∴ec1． a212故椭圆离心率的取范围是e[,1)．

4c2a2x2y2(2)将x1代入221得 2ab3e2b4b2y12，即y1．

3c3c2∴SPF1F211b232F1F2y2cb． 2233c即PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设PF2F1，PF1F2，1m，PF2n，PF则120．

(1)在PF1F2中，由正弦定理得

mn2c． sinsinsin60 ∴mn2c sinsinsin60∵mn2a，∴2a2c，sinsinsin60∴ecsin60sin60 asinsin2sincos2211． 22cos2当且仅当时等号成立．

故椭圆离心率的取值范围是e[,1)．(2)在PF1F2中，由余弦定理得：

12(2c)2m2n22mncos60

m2n2mn (mn)23mn

∵mn2a，22∴4c4a3mn，即mn424(ac2)b2． 33∴SPF1F2132mnsin60b． 23即PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路．

x2y2例20 椭圆221(ab0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，ab使OPAP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OPAP，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是xacos(ab0)，ybsin则椭圆上的点P(acos,bsin)，A(a,0)，∵OPAP，∴bsinbsin1，acosacosa22b2即(ab)cosacosb0，解得cos1或cos2，2ab222b21，又b2a2c2 ∵1cos1 ∴cos1（舍去），122aba2∴022，c∴e22，又0e1，∴e1． 222,1)，求证在椭圆上总存在点P使OPAP．如何2说明：若已知椭圆离心率范围(证明？