椭圆参数

2024-08-14

椭圆参数（共3篇）

椭圆参数篇1

圆和椭圆是人造物体的常见轮廓,圆又是椭圆的特例。可以用椭圆曲线来拟合汽车轮辋或近似拟合飞机、轮船等人造物体及人的轮廓从而对这些目标进行空间定位。因此本文以椭圆曲线为研究对象。

椭圆曲线比点和线段包含了关于一个物体的位置与形状的更多信息。利用椭圆进行曲线重建可以很好地描述目标的空间位置和形状特征。目前,作者在关于空间椭圆的位置与形状参数求解方法的研究文献中还没有看到一种具体算法。本文从寻找空间椭圆所在的最优平面入手,提出了一种求取空间椭圆位置与形状参数的算法。

1 基本理论

根据射影几何可知,二次曲线在图像上的投影也是二次曲线。空间椭圆的轮廓是椭圆曲线那么它在图像上的投影也应为二次曲线。图1为空间二次曲线的重建图。

如图1所示,在世界坐标系{W}内,设所拍摄的两幅图像的投影矩阵已知,记为M1和M2[1,2]。根据解析几何的相关理论,在图像I1的图像坐标系{I1}内,二次曲线Q1可表达为二次型方程:

其中:u1=(u1,v1,1)是二次曲线Q1上的任意一点在{I1}坐标系下的齐次坐标。

同理,在图像I2的图像坐标系{I2}内,二次曲线Q2可表达为二次型方程:

其中:u2=(u2,v2,1)是二次曲线Q2的任意一点在{I2}坐标系下的齐次坐标。

设空间二次曲线Q上任意一点x在两幅摄影图像上的投影的像素坐标分别为u1和u2。根据几何投影变换原理,x与u1、u2的关系分别为[3,4]:

式(3)和式(4)分别为Oc1Q1锥和Oc2Q2锥的方程。而空间二次曲线Q就是式(3)、式(4)所表示的两个锥的交线。由(3)、(4)可解出Q所在的平面方程,Q是一条空间的平面曲线。

通过推导可得[5]:

该式的意义是,任何同时位于Oc1Q1锥和Oc2Q2锥上的点(即它们的交线上的点),一定位于t1或t2平面上。上式中的k为一个待定的未知常数。

若M1TQ1M1与M2TQ2M2的左上方3×3子矩阵分别为A1与A2,则[2,3]:

其中det(A)表示行列式A的值。由行列式的相关性质推导可得:

I为单位对角矩阵,该式表明,k为矩阵A2-1A1的特征值,解出k后(k有3个解),将式(5)右边的已知矩阵记作P,则:

针对式(6)采用西尔维斯特结式法[6]求解空间椭圆可能所在的平面,针对每个特征值k,用结式法求解平面P的参数都得到6个方程,解出平面P的8个解。k有3个取值,一共解出平面P的24个解,表示空间椭圆可能存在的24个平面。

2 寻找最优平面

2.1 确定寻优初始平面

分别用空间椭圆可能存在的24个平面(平面P的24个解)截Oc1Q1锥和Oc2Q2锥,在每个平面上都可截得两个椭圆曲线,再分别计算出每个平面上的椭圆曲线的长短轴的轴长和形心坐标。并构建目标函数:

将平面P与Oc1Q1锥和Oc2Q2锥相交所得的两个椭圆曲线记为:Q1'和Q2'。则式(7)中(Xxckj1,Y xckj1),(Xxckj2,Yxckj2)分别表示Q1'和Q2'的形心坐标;θ1和θ2分别表示Q1'和Q2'的长轴与建立在平面P上的坐标轴xoy的x轴的夹角;Skj1和Skj2分别表示Q1'和Q2'的短轴长;Lkj1和Lkj2分别表示Q1'和Q2'的长轴长。整个式(7)表示Oc1Q1锥和Oc2Q2锥在平面P上确定两个椭圆的相近程度,确定出使Ωkj值最小的平面,记为rs平面。即:Ωrs=min(Ωkj)。

rs平面与空间椭圆所在的真实平面还存在误差,这就需要以rs平面为起始平面通过搜索最优平面即误差最小平面,来减小误差。

2.2 搜索最优平面

通过上述的计算过程我们知道,只有真实平面截Oc1Q1锥和Oc2Q2锥所得的两个椭圆曲线Q1'与Q2'才能真正重合。换言之,只要存在误差,那么曲线Q1'与Q2'就不重合。优化的目的是寻找误差最小的最优平面,方法是通过一定的算法寻求使曲线Q1'与Q2'重合程度最高的平面,视为最优平面。

由于只要通过椭圆的形心坐标(WXc,WYc,WZc)、长轴长L、短轴长S以及椭圆方向角θ(椭圆长轴或短轴与建立在rs平面上的坐标轴xoy的x轴的夹角),就可以正确拟合椭圆曲线并对空间椭圆进行定位。因此,本文在对rs平面进行优化时只需考虑以上几个因素即可。

优化分两个步骤:首先优化rs平面的截距;再优化rs平面的方向(法向量)。图2为空间椭圆所在平面的法向矢量。

2.2.1 优化rs平面的截距

使用优化函数:F1=!wXc1-wX2c2"+!wYc1-w Y2c2"。分两步进行搜索:首先确定初始搜索区间;再确定该区间内的最优值,即寻求F1的最小值使Q1'和Q2'的形心尽量重合。

1.确定初始搜索区间

利用进退法寻找最优区间,在给定初始区间[A1,A2]和步长H的基础上改变平面的截距,计算并比较目标函数值F11=F1(A1)和F12=F2(A2)。如果F11>F12,则取第三点A3=A2+2H,即步长加倍,并按给定目标函数计算F13=F1(A3)。若F12≤F13,则区间[A1,A2+2[A1,A2]]为初始搜索区间;否则,将步长加倍,并重复上述运算,直到所取得三个点出现两端点的函数值大于中间点的函数值为止。

如果F11≤F12,则取H=-H/4,第三点A3=A1+H。

若F11≤F13,则区间[A1+H,A2]为初始的搜索区间;否则,将步长加倍,继续后退。

2.确定最优值

在确定寻优区间的基础上,采用黄金分割法搜索单峰区间的极小值点。设极小点在给定的区间[A1,A2]内,取两点A3、A4,并且A3

2.2.2 优化rs平面的方向

在对rs平面的截距进行优化后还需要优化平面的法向量以确定平面的方向。在上一步优化的基础上以Q1'和Q2'形心的中点(Wxc,Wyc,Wzc)为旋转点依次优化rs平面与Wx轴的夹角(α角)以及rs平面与Wy轴的夹角(β角)。

其中:及平面rs的方程确定。

采用优化函数:

(8)式中S1和S2,L1和L2,θ1和θ2分别表示椭圆Q1'和Q2'的短轴长,长轴长以及椭圆长轴与建立在rs平面上的坐标轴xoy的x轴的夹角。a为常数,可任意取值,本文取值1。

(8)式左边的三项分别表示Q1'和Q2'的短轴长,长轴长以及椭圆长轴与建立在rs平面上的坐标轴xoy的x轴的夹角的接近程度。优化过程就是在改变α角或β角的过程中寻找F2的最小值以使曲线Q1'和Q2'的重合程度最高,从而找到最优平面。

优化过程也是分两步进行:先确定初始搜索区间,再确定该区间内的最优值。具体步骤如下:

(1)用列举法确定初始搜索区间,首先搜索α角,将α角旋转360°,每旋转1°就计算出相应的F2值,取使F2值最小的角度的相邻两个角度值作为初始搜索区间;

(2)用黄金分割法确定该区间内的最优值;

(3)搜索完α角后,在取α角最优值的基础上用同样的方法搜索β角。

在寻找最优平面的过程中,平面平移的初值为rs平面方程的常数项,进退法确定寻优区间的初始步长H=10mm,计算精度取E=1mm;记旋转角度的初始值为0,进退法确定寻优区间的初始步长H=0.1rad,计算精度取E=1.0×10-10rad。实际计算中可能要将整个优化过程重复两到三遍以保证搜索的准确性。

最后根据搜索所得最优平面的相关参数分别计算出Wxc1和Wxc2,Wyc1和Wyc2,S1和S2,L1和L2,并计算出:Wxc,Wyc,Wzc,。即:(Wxc,Wyc,Wzc),Sc,Lc为求得的空间椭圆的形心坐标,短轴长,长轴长。此时整个求解过程完成。

3 实验验证

为了验证文中提出的算法能否准确计算出椭圆目标的形心坐标及长、短轴轴长,进行了拍摄实验。表1、表2中的已知值为实地测量结果,计算值为本文所提算法的计算结果。

实验结果如表1、表2所示。

实验结果表明,通过计算所得空间椭圆及空间圆的形心坐标及长、短轴轴长与实地测量结果的绝对误差小于10 mm,相对误差小于2%,验证了文中所提算法的准确性。

4 结束语

本文对摄影图像中的椭圆物体的位置和形状参数的获取方法进行了研究。从寻找空间椭圆所在的最优平面入手提出了一种具体算法。并且结合实验,验证了该算法的精确性。该算法为圆和椭圆形物体及其他用椭圆曲线近似拟合的物体的定位及形状大小判断提供了一种有效的解决方法,并可以运用于图像信息分析、交通管理、导航技术、测量技术及军事目标定位等领域。

参考文献

[1]陈胜勇,刘盛等.基于OpenCV的计算机视觉技术实现.北京:科学技术出版社,2008

[2]张广军.机器视觉.北京:科学出版社,2005

[3]马颂德,张正友.计算机视觉计算理论与算法基础.北京:科学出版社,2003

[4]鲁光泉.基于普通照相机的交通事故现场三维重建关键技术研究.长春:吉林大学,2004

[5]Ma S D.Concisbased stereo,motion estimation,and pose determination.Inernational Journal of Computer Vision,1993,10(1)

[6]马谨.战场中圆形目标位置与形状参数求解技术研究.北京:装甲兵工程学院,2008

用椭圆的参数方程求最值篇2

我们知道, 椭圆的参数方程与三角函数有密切的联系.在求与椭圆有关的最值问题时, 利用椭圆的参数方程, 借助正余弦函数的有界性, 能使问题简便快捷获解.

一、求多元函数的最值

例1 (2005重庆卷) 若动点 (x, y) 在曲线 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 上变化, 则x2+2y的最大值为 ( )

$\begin{array}{l} (A) {\begin{cases} \frac{b^{2}}{4} + 4 (0 < b < 4) \\ 2 b (b \geq 4) \end{cases} \\ (B) {\begin{cases} \frac{b^{2}}{4} + 4 (0 < b < 2) \\ 2 b (b \geq 2) \end{cases} \\ (C) \frac{b^{2}}{4} + 4 \\ (D) 2 b \end{array}$

解:依题意可设 x=2cosθ, y=bsinθ, 则 $x^{2} + 2 y = 4 \cos^{2} θ + 2 b \sin θ = - 4 \sin^{2} θ + 2 b \sin θ + 4 = - 4 (\sin θ - \frac{b}{4})^{2} + \frac{b^{2}}{4} + 4 .$

当 $0 < b < 4, \sin θ = \frac{b}{4}$ 时, x2+2y有最大值 $\frac{b^{2}}{4} + 4;$

当b≥4, sinθ=1时, x2+2y有最大值2b, 故选 (A) .

二、求面积的最值

例2 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B, 在第一象限内的椭圆上找一点C, 使四边形OACB的面积最大, 最大面积是多少?

解:如图1, 连结OC, 依题意可设C (acosθ, bsinθ) ,

$\begin{array}{l} 则 S_{四边形 Ο A C B} = S_{△ Ο A C} + S_{△ Ο B C} \\ = \frac{1}{2} a b (\sin θ + \cos θ) \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} a b \sin (θ + \frac{π}{4}) . \end{array}$

当 $θ = \frac{π}{4}$ 时, S四边形OACB有最大面积 $\frac{\sqrt{2}}{2} a b$ , 此时C点坐标为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{2}}{2} b) .$

三、求距离的最值

例3 已知P在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上移动, Q在圆M: $(x - 1)^{2} + y^{2} = \frac{32}{9}$ 上移动, 求距离|PQ|的最小值.

解:依题意可设P (5cosθ, 4sinθ) , 则

$\begin{array}{l} | Ρ Μ | = \sqrt{(5 \cos θ - 1)^{2} + (4 \sin θ)^{2}} \\ = \sqrt{9 (\cos θ - \frac{5}{9})^{2} + \frac{128}{9}} . \end{array}$

所以当 $\cos θ = \frac{5}{9}$ 时, $| Ρ Μ |_{\min} = \frac{8 \sqrt{2}}{3} .$

如图 $2 ‚ | Ρ Q |_{\min} = | Ρ Μ |_{\min} - \frac{4 \sqrt{2}}{3} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} .$

例4 在椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 上求一点P, 使它到已知直线l:3x+8y+72=0的距离d为最大值.

解:依题意可设P (10cosθ, 5sinθ) , 由点到直线距离公式, 知 $d = \frac{| 30 \cos θ + 40 \sin θ + 72 |}{\sqrt{73}} = \frac{| 50 \sin (θ + φ) + 72 |}{\sqrt{73}} .$

其中 $\tan φ = \frac{3}{4}, \sin φ = \frac{3}{5}, \cos φ = \frac{4}{5} .$

故当 $θ = \frac{π}{2} - φ$ 时, $d_{\max} = \frac{122}{\sqrt{73}} .$

此时 $x = 10 \cos θ = 10 \cos (\frac{π}{2} - φ) = 10 \sin φ = 10 \times \frac{3}{5} = 6, y = 5 \sin θ = 5 \sin (\frac{π}{2} - φ) = 5 \cos φ = 5 \times \frac{4}{5} = 4 .$

故所求点P为 (6, 4) .

四、求角的最值

例5 己知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + y^{2} = 1$ 和圆x2+y2=16, 点A是圆在第一象限上的点, 过A作AM垂直x轴于点M, 交椭圆于点B, 求∠AOB的最大值.

解: 如图3, 根据题意, 设A、B两点的坐标分别为 $(4 \cos θ, 4 \sin θ), (4 \cos θ, \sin θ), θ \in (0, \frac{π}{2}) .$

令∠BOM=α, 则 $\tan α = \frac{1}{4} \tan θ,$

所以 $\tan ∠ A Ο B = \tan (θ - α) = \frac{\tan θ - \tan α}{1 + \tan θ \tan α} = \frac{3}{\tan θ + \frac{4}{\tan θ}} \leq \frac{3}{4} .$

当且仅当 $\tan θ = \frac{4}{\tan θ}$ , 即θ=arctan2时等号成立, 故∠AOB的最大值是 $\arctan \frac{3}{4} .$

五、求参数的最值

例6 已知椭圆x2+4 (y-a) 2=4与抛物线x2=2y有公共点, 求实数a的最大值.

解:设x=2cosθ, y=a+sinθ代入抛物线方程得4cos2θ=2a+2sinθ,

所以 $a = 2 \cos^{2} θ - \sin θ = - 2 (\sin θ + \frac{1}{4})^{2} + \frac{17}{8}$ , 所以 $- 1 \leq a \leq \frac{17}{8} .$

故实数a的最大值为 $\frac{17}{8} .$

六、求斜率的最值

例7 设A (1, 2) 为定点, P为椭圆 $\frac{(x - 7)^{2}}{16} + \frac{(y - 3)^{2}}{9} = 1$ 上任意一点, 求AP的斜率的最大值与最小值.

解:根据题意, 设P (7+4cosθ, 3+3sinθ) .

则AP的斜率 $k = \frac{1 + 3 \sin θ}{6 + 4 \cos θ}$ , 所以3sinθ-4kcosθ=6k-1,

所以32+16k2≥ (6k-1) 2, 即5k2-3k-2≤0, 解得 $- \frac{2}{5} \leq k \leq 1 .$

故 $k_{\min} = - \frac{2}{5}, k_{\max} = 1 .$

七、求长轴的最值

例8 求经过定点M (1, 2) 且以y轴为准线、离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆的长轴的最大值与最小值.

解:根据题意, 设椭圆的参数方程为

由 $e = \frac{1}{2}$ , 知a=2c.由题设知, 椭圆中心的横坐标为 $x_{0} = \frac{a^{2}}{c} = 2 a .$

因为椭圆经过定点M (1, 2) , 所以1=2a+acosθ, 所以 $a = \frac{1}{2 + \cos θ},$

当cosθ=-1时, 2a有最大值2, 当cosθ=1时, 2a有最小值 $\frac{2}{3} .$

八、求离心率的最值

例9 已知椭圆的焦点F1 (-3, 0) 、F2 (3, 0) 且与直线x-y+9=0有公共点, 求其中离心率最大的椭圆方程.

解:设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 9} = 1$ 与直线x-y+9=0的公共点为 $Μ (a \cos θ, \sqrt{a^{2} - 9} \sin θ),$

则 $a \cos θ - \sqrt{a^{2} - 9} \sin θ + 9 = 0$ 有解, 所以a2+ (a2-9) ≥ (-9) 2, 即a2≥45,

所以 $a_{\min} = 3 \sqrt{5}$ , 所以 $e_{\max} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ , 此时椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1 .$

椭圆参数篇3

1椭圆齿轮

非圆齿轮中最经典、最常用的一种齿轮传动形式就是椭圆齿轮, 在物理学、几何学方面拥有实现非匀速传动比等传动特点。当给定匀速输入时, 能够很方便地再现预定的非匀速比函数, 使之能够满足任意变传动比传动的要求, 因此, 椭圆齿轮在机械、工程机械、液压系统及流量计量器械等行业中得到了越来越多的应用[2]。

椭圆齿轮是应用最多的一种节曲线封闭的非圆齿轮, 节曲线相当于圆形齿轮中的节圆。节曲线封闭的椭圆齿轮可以实现连续的单向循环变速运动故在一些纺织机械、造纸机械、卷烟机和往复式输送机等机器中都有应用。在普通椭圆的基础上保持向径不变, 将椭圆的极角缩小整数倍即可演变出高阶椭圆;在普通椭圆的基础上将两个阶数不同的椭圆连接成封闭椭圆就可以形成变性椭圆[3]。高阶椭圆齿轮在旋转一周的过程中, 传动比将发生N个对称的变化周期, 其中N是高阶椭圆的阶数, 而变性椭圆齿轮副传动比则具有不对称性。

2高阶多段变性椭圆

我们知道普通椭圆的极坐标方程是r=p/ (1-kcost) , p=A (1-k2) 。其中A为椭圆长轴半径, k为椭圆偏心率, 可由椭圆长轴半径与短轴半径计算得到。那么由上文所述的高阶椭圆和变性椭圆的生成机理可得到它们的极坐标方程分别为[4]

上面两个式子中, n为高阶椭圆阶数, m1是变性系数, m2=m1/ (2m1-1) 。式 (1) 为高阶椭圆极坐标方程, 式 (2) 为变性椭圆极坐标方程。根据式 (1) 、式 (2) 可得高阶多段变性椭圆在一个周期内的两段曲线的极坐标方程为

由式 (3) 、式 (4) 可得:当t=0或t=2π/n时r1=r2=A (1+k) ;当t=π/ (nm1) 时, r1=r2=A (1-k) 。据此得出, 两段曲线在交点处都是相切的;一段封闭的节曲线是由n段上述弧所连接而成, 也就是说一个完整的高阶多段变性椭圆齿轮节曲线是由2N段弧线光滑连接而成。

3建立高阶变性椭圆齿轮节曲线参数化设计程序

3.1二次开发工具

此次采用的二次开发工具是Auto CAD中内嵌的Visual Lisp编程工具。因为借助Auto Lisp语言能较好地结合Auto CAD的各种绘图命令及相关的内部函数来编写程序员自己的应用程序, 而且Auto Lisp语言程序规则十分简单, 易学易用。使用Visual Lisp工具参数化绘制图形的步骤如图1所示。

3.2绘图程序

根据高阶变性椭圆的极坐标方程, 由Autolisp语言中的函数“polar”可以得到若干椭圆上的点, 再由Auto CAD中的命令“line”将这些点一个一个地连线, 就可得到节曲线[5]。部分函数段如下所示。

3.3 对话框界面设计

Auto CAD有自己的一套对话框设计语言, 称为对话框控制语言 (DCL) 。该语言以ASCII文件形式定义对话框, 对话框中的元素称为控件, 其尺寸及功能由控件属性控制[6]。在Visual Lisp中的工具一栏可以预览写好的*dcl文件。设计中的对话框界面如图2所示。

3.4 驱动程序以及整合3段程序

对话框驱动程序作为一座桥梁连接着绘图程序 (.lsp) 与对话框程序 (.dcl) , 在整个参数化设计中占据着非常重要的位置, 因为其直接影响着对话框这个流行的人机交互界面能否正确地得出想要的结果。部分驱动程序函数段如下所示:

根据以上的程序整合出最终的参数化绘图程序 (.lsp) 。只需在对话框中输入相应参数即可绘制出任意阶数、变性系数的椭圆齿轮节曲线。图3分别是2~5阶、变性系数为0.625、基椭圆长短轴半径分别为20和19的椭圆齿轮节曲线。

4结束语

(1) 用Visual Lisp开发工具开发出高阶多段变性椭圆齿轮节曲线的参数化绘图系统, 为高阶变性椭圆后续设计提供了一个简捷、准确、快速的节曲线获取方法。

(2) 在程序中, 随着输入参数的不同, 生成的图形也随之变化, 因此可以改变输入参数, 实现各种尺寸的高阶变性椭圆齿轮设计。

(3) 依据高阶变性椭圆齿轮的极坐标方程建立绘图程序, 采用极小的间距取椭圆上的点, 故有较高的精确性。

参考文献