椭圆教学

椭圆教学（共12篇）

椭圆教学 篇1

对新课程的了解越多,研究越深,实践越丰富,越会感到新课程确实带给我们教育观念的真正更新、转变。伴随着一步步走进新课程,我们不由地对自己的教学思想和行为进行深深地反思。我们对习以为常的教学目标、教学设计、教学过程都以新课程的理念加以审视。我们渐渐习惯于在教案纸写下日常的教学反思,对自己的教学理性地予以梳理。偶尔翻阅浏览一下,便勾起一个个小小回忆,好像看到了一颗颗珍珠,虽不耀眼但依然光亮。

当笔者看到《处理好信息技术与动手操作的关系一美国“椭圆的性质和特点”教学案例》这篇文章时,笔者的思维又开始活跃。美国教育有着自身的优势,因人施教、鼓励创新等教育思想具有先进性,教育方式上一般不会对学生进行大量知识的灌输,而会使用实验、案例、讨论、互动交流等各种的方式提高学生学习的积极性,这些理念与我国的新课改也有着相似之处。笔者怀着极大的好奇看看老美怎样教学,仔仔细细看完以后,收获不少,马上翻阅笔者写的《椭圆及其标准方程》的教学反思,感触颇深,于是有了教学反思后的反思。

笔者的教学反思中写到:《椭圆》是在学生学习了曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上,进一步学习用坐标法求曲线方程,再从所得方程来研究曲线。它的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础,同时也为本章其余各节的学习在数学思想、方法方面打好基础,因此本节课有着承前启后的作用。新课改后,这节课出现在选修1一1和选修2—1(江苏教育出版社)中。笔者首先关注的是本节课与以往有何不同,还好除了编排位置与以往有所不同,重难点大致相同。原来圆锥曲线是紧接着《直线与圆》讲授,那么就内容衔接方面而言,新教材可没有那么自然和谐。不过这也没有太大问题,在讲新课之前,可以通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆,来启发学生探索平面上有规律的动点运动轨迹。因为这节课讲过的次数较多,所以笔者是驾轻就熟,不过不是老调重弹,变化还是有的。

新课改后,笔者更习惯把“以学生为主体”作为课堂教学的指导思想,注意创设问题情境。笔者首先让学生观看神州五号发射录像,观察卫星人轨轨道,使学生在感叹祖国科技发展的辉煌成就的激情中认识椭圆、感受椭圆。接着演示电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的flash动画,使学生感受椭圆的神奇用途。再用几何画板演示椭圆的形成,师生共同归纳椭圆的定义。最后是推导椭圆的标准方程,讲解例题,强化训练。而传统的教学是:首先开门见山地给出椭圆的定义,板演椭圆的曲线,再结合图形逐字逐句地抠定义。然后告诉学生如何建立坐标系得到的方程简单,推导出椭圆的标准方程之后,要求学生记忆方程。通过大量的例题、习题强化训练。相对于传统的教学方法,笔者这节课的设计在吸引学生的兴趣方面有一定的突破。学生在课堂前半段的反应也正在笔者的预料之中,他们的情绪被丰富多彩的动画真正调动起来,笔者也沾沾自喜。可是后半段推导和练习时,学生又变得没精打彩。更可气的是课上笔者反复强调过的问题在课后练习中还是出错,就连椭圆定义都不知晓,真弄不懂他们,困惑之余笔者只能哀其不幸,怒其不争了。

美国教师和笔者设计的又完全不同。他先布置学生预习,方式是登录网站,要求能够熟练操作ExploreLearning.com提供的“椭圆”1和“行星虚拟演示”2交互程序,并且写预习笔记。这不禁使笔者联想起我们的预习,往往是把教材浏览一遍,找出自己不懂的知识。两者相比,笔者感到我们教学资源的匮乏。尽管当今已有许多数学学习网站,可它们所提供的资源多以题库为主,其实还是偏重于对学生基础知识、基本技能的训练,缺乏美国网站所提供的数学背景知识。数学背景知识可将学生的生活与学习结合起来,使数学有亲近性、现实性,从而引起学生的共鸣。这种具体、生动、直观的数学教育,可以使学生在自己的生活经验中感悟数学,学会用数学眼光观察客观世界,增强数学应用意识。另外数学背景知识是数学文化的一部分,通过对数学文化的了解,可以改变以往把数学看作一种静态的、绝对的理论构造的逻辑体系的数学观,强调数学具有广泛的社会实践性。新课改以后,教材改头换面,焕然一新,增加了许多阅读材料介绍数学背景与数学文化,有时我们会留意收集一些,但在教学实践中仍感到是杯水车薪。今后在学科网站建设以及课程资源收集时,可提供广泛的、丰富的课程背景知识、文化知识应是我们努力的方向。

当讲解椭圆的定义时,美国教师是通过“椭圆”交互程序让学生体会和感受定义,学生选中“show string property”选项,就会显示蓝色的线段,如图4,让学生用鼠标拖动蓝色的点,沿着椭圆移动,注意观察两条线段L1和L2的长度变化,增大a的值,再进行同样的操作和观察。提示学生根据上述内容思考L1和L2与椭圆的关系,他们会发现L1+L2=2a。而笔者是让学生通过观察动画演示来归纳定义。相比之下,笔者的教学行为的确没有充分考虑学生的感受和需要,学生的参与程度不够高,还是由笔者牵着学生走,甚至对于差生而言,笔者在牵着他们跑,难怪教学反馈会出现问题。

当讲解长轴和短轴,以及a、b、c之间的关系时,美国教师也是通过“椭圆”交互程序让学生具体操作,用鼠标将a滑块从左向右移动,注意比较a的数值与横轴上顶点到中心的距离,学生应该能够发现椭圆中心到一个顶点的距离是a,横轴上两个顶点间的距离是2a。再改变b的数值,并且比较b和纵轴上顶点到中心的距离,学生也会发现纵轴上一个顶点到中心的距离是b,两个顶点之间的距离是2b。在交互程序中分别将a设置为6、将b设置为3,如图6所示。在上面的设置中观察长轴是在横轴还是在纵轴上,然后将a设置为3,b设置为6,如图7。通过实验,学生理解a、b数值与长轴方向的关系,然后分组讨论(1)在坐标系中,长轴分别在横轴和纵轴上时,长轴顶点的位置坐标(2)a、b、c之间的关系。

显然,美国教师通过具体的实验与操作使学生体会数学概念,既动手又动脑符合学生的学习心理。而笔者采用的主要是讲解,其实就是灌输。二者的差别是显然的,教学效果也不同。实验与操作的教学方式不仅能提高学生对事物的感性认识,而且还可以培养学生理性地思考,为学生的探索和创新提供平台,因而能真正调动学生积极性,促进学生的发展。看来,要想实现新课改先进的理念,不仅在课程内容上有所改变,还要在教学手段和教学方式上有所突破。否则,新课改就会流于形式,成为穿新鞋走老路。

椭圆教学 篇2

椭圆概念教学反思

以前，我们为了节省时间，省出时间让学生通过大量的练习，以达到目的。结果我们发现学生对椭圆概念的理解只停留在死记硬背，机械模仿的阶段。而概念在教学中起着非常重要的作用，它是数学大厦的奠基石。没有清晰的概念，后果就像一座没有合格框架结构的摩天大厦一样，早晚会因为经不住考验而倒塌。要是学生对概念的理解只停留在死记硬背，机械模仿的阶段。那是一件非常可悲的事情，因为它完全脱离现代的素质教育，违背教学改革的理念。我们教师在日常教学中应如何进行概念课教学，就显得至关重要了。下面我结合案例，谈谈本人在概念课教学中的几点启示。数学概念教学的一般要求是：使学生了解概念的产生，掌握概念的内涵和外延，熟悉其表达方式，了解有关概念之间的区别与联系，并能正确灵活运用概念，达到理解、巩固、系统、会用的目的。所以在日常的教学中，我们应当重视概念的形成过程，把容易混淆的概念加以对比等等。数学概念教学中要抓住概念的本质，从学生出现的情况中，我冷静下来，认真地反思整个教学过程，发现重视了展现概念的形成过程，让学生从感性的认识上升为理性的认识才是最重要的。不要害怕耽误时间，学生的能力最重要。

逃离椭圆跑道 篇3

公路跑

公路到处都是。如果在公路上进行速度训练，最好选择与比赛条件类似的环境进行。当然，路跑也会对跑者的身体造成伤害。“道路会击败你的双腿，但这不正是跑者希望的效果吗？让你变得更强壮”，卡斯特说。

训练

按5公里配速跑800米，完成后，慢跑恢复400米。“这个距离足够清除身体内肌肉产生的乳酸，但是训练还不具有挑战性，”卡斯特说。初级跑友做3-4次，高级跑友可进行10次。跑友可借助GPS或是计时得出奔跑总距离（例如，你的5公里配速是8分钟，之后4分钟冲刺跑，伴随2-3分钟慢跑恢复）。

越野跑

“与公路跑相比，越野跑往往能欣赏到更美的风景”，南希·霍布斯，《越野跑终极指南》作者说：“越野跑对双腿的挑战性更小，改善身体平衡和协调性，跑者注意力更集中。”当然，你要随时保持警惕，因为崎岖的路面和多变的地形会引起失足，甚至更糟糕。

训练

法特莱克训练法。选择一小段地形不断上升的路面进行。为锻炼力量，上山跑时全力冲刺，为提高锻炼效果，下山跑也全力冲刺。完成后，慢跑10分钟，之后提高强度，按10公里配速或感觉相对吃力的速度跑30秒，接着慢跑30秒，快跑60秒，慢跑30秒，快跑90秒，慢跑30秒。以上是一组训练，完成10组。

健身房跑

因为有了跑步机，天气不再是影响速度训练的限制因素。在跑步机上跑能更快从速度训练中恢复。但是，跑步机上跑步可能更无聊，许多跑步机不能模拟下坡跑的环境，长期在跑步机上跑步有损于腿部健康。“这可能导致肌肉萎缩或失去平衡，如果你长期在跑步机上跑步”，卡斯特说。

训练

持续跑。“理念是逐渐达到你正在努力的水准”，卡斯特说。按每英里12-15分钟配速，慢跑10分钟热身，这取决于你的自身水平。之后将每小时配速距离增加0.1-0.2英里，按此速度跑5-10分钟。完成后，降低速度，慢跑或慢走1分钟。第二阶段训练速度按照第一阶段完成时速度进行，同样将每小时配速距离增加0.1-0.2英里，按此速度奔跑5-10分钟。完成后，慢跑2分钟。最终阶段配速按照上一阶段完成速度进行。完成后，慢跑5分钟。

脱离双脚

通过自行车、椭圆机、踩踏机，或在水池中放置显著的心血管刺激器，多种方式进行速度训练。如果你受伤了，水中训练是康复训练的重要途径。

训练

有氧冲刺金字塔。根据你选择的不同交叉训练方式，热身10分钟后，冲刺跑30秒，1分钟，2分钟，4分钟，2分钟，1分钟，30秒。每部分训练结束后，进行相同时间的慢跑恢复训练。来自圣地亚哥的私人训练师杰森·卡尔普博士说：“你的训练强度分数应该是8-10，1相当于人体坐立时运动量，10相当于全力冲刺。长距离跑时强度是8，短距离跑强度是10。”新手可只进行1组，高级跑友可进行3组（每组之间进行3分钟慢跑恢复）。

追随领先者

来自世界最好跑者的建议

斯蒂芬·弗斯特（Stephen Furst），25岁，北卡罗来纳人，以18分11秒速度赢得2011年翡翠坚果午夜4英里跑冠军，地点在美国中央公园。

1 跑得超级快

一周一次，跑几个30-40米的全力冲刺跑。奔跑时，如果心想后面正有只野熊向你奔来，会跑得更快。

2 节奏跑

按照舒适速度跑800米，这并非没有效果，而是最有效的恢复慢跑训练，跑总比坐着强。

3 长距离跑

进行半马训练，所以当你进行5公里或10公里跑时，你会有更好的体能和力量，奔跑过程中更好控制速度。

椭圆的教学设计 篇4

1 椭圆的定义

通过引入椭圆概念, 培养学生的观察能力和探索能力, 调动学生学习数学的积极性。

准备一块木制小黑板, 几颗图钉和适当长的绳子, 分两种情况演示椭圆的形成过程。 (1) 把绳子的两端固定在水平位置的F1、F2两点处, 且使绳子长度大于F1、F2两点的距离, 用粉笔尖 (M) 把绳子拉紧, 使粉笔在小黑板上慢慢移动, 画出的图形是一个椭圆 (见图1) 。

(2) 缩短F1和F2之间的距离, 用粉笔尖把绳子拉紧, 使粉笔在小黑板上慢慢移动, 画出一个椭圆, 继续缩短F1和F2的距离, 再画出一个椭圆, 由此可以总结出, F1与F2越近, 椭圆越接近圆。

(3) 如果F1与F2重合, 那么形成的图形是一个圆;F1离F2越远, 椭圆越扁;如果F1、F2的距离和所用绳子长度相等, 那么画不出椭圆, 而是形成了一条线段。

(4) 不改变F1、F2的位置, 只改变线段的长度, 即用两条长度不相等的绳子分别画出椭圆, 结果发现:绳子越长, 椭圆越圆;绳子越短, 椭圆越扁。

通过椭圆画法的演示, 学生了解了椭圆的形状与两点F1、F2的位置及定线段 (绳子) 的长度有关。此时, 教师引导学生总结出:设|F1F2|=2c, 定线段长为2a, 当2a>2c时, 轨迹是椭圆;当2a=2c时, 轨迹是以F1和F2为端点的一条线段;当2a<2c时, 无轨迹;当2c=0时, 轨迹是圆。

(5) 下定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫作椭圆, 这两定点叫作椭圆的焦点, 两焦点的距离叫作焦距。

(6) 把F1、F2放在垂直的位置, 用同样的方法可以画出椭圆, 只不过椭圆的形状不同而已。

如果F1、F2在水平位置, 椭圆是上下压扁的;如果F1、F2在垂直位置, 椭圆是左右压扁的。

(7) 现实生活中, 椭圆是一种很美的曲线, 如橄榄球和鸡蛋的截面以及天体中一些行星和卫星的运行轨迹等。

2 椭圆的标准方程

2.1 建系设点

建立坐标系是求曲线方程重要而关键的一步, 一般应遵循简单、优化的原则, 使点的坐标、几何量的表达式简单化, 充分利用图形的对称性。

以两定点F1、F2所在直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系 (见图2) 。设|F1F2|=2c (c>0) , M (x, y) 为椭圆上任意一点, 则F1 (-c, 0) 、F2 (c, 0) 。又设M与F1、F2的距离的和等于2a。

2.2 点的集合

由定义不难得到, 椭圆上点M的集合为P={M||MF1|+|MF2|=2a}。

2.3 代数方程

2.4 化简方程

由于化简原方程要经两次平方, 化简过程相当复杂, 所以一次引入b, 且令b2=a2-c2, 从而得到方程。

因此, 方程即为所求椭圆的标准方程, 它表示焦点在x轴上, 焦点是F1 (-c, 0) 和F2 (c, 0) 的椭圆, 其中c2=a2-b2。

如果使点F1、F2在y轴上, 点F1、F2的坐标分别为F1 (0, -c) 、F1 (0, c) , 那么所得方程变为, 这个方程也是椭圆的标准方程。

2.5 两个标准方程的比较

椭圆的两个标准方程中都有a>b>0、c2=a2-b2, 因此对于方程Ax2+By2=C, 只要A、B、C同号, 它就是椭圆方程。它们的不同点是椭圆焦点所在坐标轴及坐标不相同。由于a2>b2, 所以可以根据分母的大小来判定椭圆的焦点在哪一个坐标轴上, 较大的分母所对应分子的字母就是焦点所在坐标轴。

2.6 例题分析

例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) 两个焦点的坐标分别是 (-4, 0) 、 (4, 0) , 椭圆上一点到两焦点距离的和等于10。

(2) 两个焦点的坐标分别是 (0, -2) 、 (0, 2) , 并且经过点。

解: (1) 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为.

∵2a=10, 2c=8∴a=5, c=4∴b2=a2-c2=9

所求椭圆的标准方程为。

(2) 因为椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知:

所求椭圆的标准方程为。

点评:由已知条件所求椭圆的标准方程的解题模式是先确定焦点的位置, 设出标准方程 (若不能确定焦点的位置, 则应分类讨论) , 再用待定系数法确定a、b的值。

3 椭圆几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质, 并正确地画出它的图形, 是解析几何解决的基本问题之一。对椭圆画法的分析能深化对椭圆定义的认识, 提高画图能力;对其几何性质的掌握, 可用于解决实际问题, 提高学生用数学知识解决实际问题的能力。

3.1 范围

从标准方程得出椭圆落在x=±a, y=±b组成的矩形中。

3.2 对称性

把方程中的x换成-x方程不变, 图象关于y轴对称。y换成-y方程不变, 图象关于x轴对称。把x、y同时换成-x、-y方程也不变, 图象关于原点对称。

如果曲线具有关于x轴对称, 关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种, 则它一定具有第三种对称。原点叫椭圆的对称中心, 简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的标准方程直接可以看出x, y的取值范围。

3.3 顶点

椭圆和对称轴的交点叫作椭圆的顶点。

在椭圆的方程里, 令y=0得x=±a, 因此椭圆和坐标轴有两个交点A1 (-a, 0) , A2 (a, 0) , 它们是椭圆的顶点。令x=0, 得y=±b, 因此椭圆和y轴有两个交点B1 (0, -b) , B2 (0, b) , 它们也是椭圆的顶点。因此椭圆共有4个顶点:A1 (-a, 0) , A2 (a, 0) , B1 (0, -b) , B2 (0, b) 。加上两个焦点F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) 共有6个特殊点。

线段A1A2叫椭圆的长轴, B1B2叫椭圆的短轴, 长分别为2a、2b。a、b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长, 椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

至此, 从椭圆的标准方程直接可以看出它的范围、对称性、顶点, 因而只需少量描点就可以正确地作图了。

3.4 离心率

因长轴相等, 短轴不同, 所以扁圆程度不同。这种扁平性质由什么来决定呢?由椭圆焦距与长轴长之比得出, 所以0

考察椭圆形状与e的关系:

如果e接近0, 那么c接近0, 这时椭圆变圆, 直至c=0椭圆成为圆, 此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例。

如果e接近1, 那么c接近a, 这时椭圆变扁, 直至c=a成为线段F1F2, 此时也可认为线段为椭圆在e=1时的特例。

3.5 例题分析

例2:求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标, 并用描点法画出它的图形。

解:把已知方程化成标准方程

所以,

因此, 椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=10, 2b=8, 离心率, 两个焦点分别为F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) , 椭圆的4个顶点是:A1 (-5, 0) , A2 (5, 0) , B1 (0, -4) , B2 (0, 4)

将已知方程变形为, 根据, 在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标 (x, y) :

先描点画出椭圆的一部分, 再利用椭圆的对称性画出整个椭圆。

椭圆及其标准方程教学反思 篇5

很多时候书上的内容是否需要用引子引出来的确是个问题，学生自己不可能不提前看书，而且看的内容还比较多。但是这些内容，学生有的似懂非懂，老师讲的时候感觉自己深切体会了，其实不然，自己还是不太清楚，只是因为教材那样写了，参考书有那些结论，学生跟着附和，当然也不排除真的懂得。但是滥竽充数的还是有的，甚至有些学生并没有参与到充数中去，而是默默的看着老师，希望老师多给点说明。

教材上的内容如果不提，学生又不可能完全预习过，正是因为如此参差不齐的预习程度，使得教师在上课的时候对于上课内容的把握增加了难度。有的很简单，却花了很多时间去说明，有的是难点，却轻轻带过了。对于这些问题，作为教师还是应当多分析一下学情，走近学生，了解他们的预习状况，同时自己对于教学内容的重点也应当多多思考，要从学生的角度思考问题。

虽然开始设计的让学生亲自动手操作画图，但是课堂中的实际情况确实事与愿违，学生不仅没有真正的认真参与，而且把画图的这点时间用来嬉笑了。虽然现在提倡学生参与的课堂，但是学生的动手能力不是从高中才应该培养的，而应该是从小开始就应该培养的，高中的一节课一个瞬间也许没有多少效果，或者说是在“浪费了”宝贵的课堂时间。因为学生和教师都没有合理运用这里的实操时间，实际操作的效果没有真正达到。

我不反对课堂的学生动手操作，但是实际情况却很难展开，一来教材已经给了相应的操作结果，二来学生动手能力的确很欠缺，再加上学生自制力差，在操作过程中难免会出现说话聊天等与教学活动无关的事情。

学生在课堂上进行操作肯定是多多提倡的，这也是素质教育的体现，只不过我们应该把握好实际动手的时间，并不是没结果都要有大部分时间进行实操，因为数学课毕竟还是一门较为严谨的理论学科，年级越高，数学内容就越抽象。而且也需要每一位老师的一点付出，这样学生的操作能力锻炼的机会才不会在某个地方就没了。

椭圆形的地球等 篇6

这个游戏虽然很简单，但它可以向你演示地球为什么是椭圆的原理。

工具百宝箱

{1}一张纸

{2}一把剪刀

{3}一把直尺

{4}胶水

{5}一支铅笔

游戏DIY

1.先用直尺量好，然后用剪刀剪出两条等宽、等长的纸条，把两个纸条的中心交叉粘在一起。

2.把“十”形的纸条的四端粘在一起，使纸条变成“球”形。

3.等胶水干后，用铅笔从纸球的底部穿过，再从顶端穿出。

4.双手搓动铅笔，纸球在快速旋转中变成了椭圆形。

游戏中的科学

所有旋转中的球体都会发生这种现象：中部被向外拉，两端则稍稍往里缩。旋转的地球正像铅笔带动的纸球，由于受离心力影响，所以中心向外凸出，形成了近似椭圆的形状。

姗姗来迟的春天

为什么有些地方的春天会姗姗来迟呢？这里面是有原因的。你可以动手探索一下是怎么回事。

工具百宝箱

{1}一杯深色的土和一杯淡色的沙

{2}两支温度计

{3}一个耐热玻璃盘

{4}一盏台灯

{5}一支铅笔

{6}一张纸

游戏DIY

1.把盘子放在台灯旁边。盘子的一半装深色的土，另一半装浅色的沙。

2.在土和沙上各插一支温度计，在纸上记下两边的温度。

3.打开台灯，让灯光照射盘子半个小时，然后比较两支温度计上的温度。

4.结果发现深色土的温度比浅色沙的温度高许多。

游戏中的科学

深色的物体对光和热的吸收力强于浅色的物体。

椭圆教学 篇7

关键词：椭圆,高职数学,教学设计

一、问题的提出

对于椭圆的标准方程教学, 大都是教师以实例图片引起学生探究什么是椭圆的兴趣, 然后教师在黑板取两个定点, 由学生动手操作, 用一段细绳画出椭圆, 给学生直观感知, 再由学生讨论能够画出椭圆满足的几何条件, 得出椭圆的定义, 再由椭圆的定义演绎推导出椭圆的标准方程. 高职学生的数学基础参差不齐, 运用这种方法进行教学, 抽象性较强, 运算较繁琐, 其结果往往是教师吃力, 学生觉得枯燥难学, 提不起学习兴趣甚至产生厌学的情绪.

学生在学习椭圆之前已经学习了圆的定义、圆的方程, 了解了解析几何基本思想, 知道一些用坐标法研究几何的方法; 学生对椭圆也有直观感性认识, 会把“扁的圆”叫做椭圆. 本文作者在教学过程中, 采用新的思路, 设计了简便易行的“从圆转化到椭圆”的实验, 引导学生通过实验、类比、猜想等方法进行探索式学习, 类比学生熟悉的圆的方程, 提出椭圆方程的猜想, 并对猜想的正确性进行验证. 通过这样的教学设计, 取得了一定的教学成效. 下面就椭圆的标准方程的教学设计展开介绍和讨论.

二、教学设计和过程

1. 以生活为背景, 通过实验探究概念

通过学生的观察和动手探究, 可以对数学概念形成直观感受, 有利于概念的获取. 下面是这个实验的课堂教学实录:

请每两位学生准备一个圆柱体的透明杯子 ( 或瓶子) , 倒入半杯水, 将杯子平放在课桌上, 然后从杯子的正上方观察水面的形状.

师:请同学们观察一下, 现在的水面是什么形状?

学生异口同声地回答:是一个圆.

师: 让杯子向右 ( 或向左) 倾斜一个较小的角度, 再看看水面是什么形状?

大部分学生: 是一个椭圆.

师: 把倾斜的角度加大一点, 看看水面的形状发生了怎样的变化?

生: 水面还是一个椭圆, 不过椭圆变得更扁了

师: 思考一下, 随着倾斜角度的加大, 椭圆的形状在左右方向上会发生怎样的变化? 前后方向呢?

生: 倾斜角度越大, 椭圆在左右方向上就越长, 而在前后方向上不变 ( 图1) .

通过上述实验, 学生直观地认识到, 圆沿着一条直径拉长可以得到椭圆, 这样得到的椭圆使我们看到了椭圆与圆的关系, 可以引导学生在圆的知识的基础上探索椭圆的知识.

此时再讲述课本上椭圆的定义, 学生比较容易接受.

2. 类比圆的方程, 猜想椭圆方程

圆的方程是学生已经熟悉的知识. 我们可以将椭圆与圆进行类比, 根据圆的方程, 猜想椭圆的方程.

师: 把这个圆横向拉长, 使其在x轴上的半径增大为a, 在y轴上的半径不变, 仍为b, 这就得到一个椭圆 ( 图2) . 类比圆的标准方程, 猜想这个椭圆的标准方程是什么?

到此为止, 学生通过自己动手实验, 认识了从圆到椭圆的转化, 并且利用圆的标准方程进行类比, 提出了椭圆标准方程的猜想, 激发了学生的学习兴趣.

提出猜想是整个教学过程中重要的一步, 但教学不能仅仅停留在这一猜想上. 为了培养学生思维的严谨性, 需要对上述猜想的正确性进行验证.

3. 根据椭圆的定义, 验证椭圆方程的猜想

由椭圆的定义可以验证上述猜想的正确性, 即推导出椭圆的标准方程.

验证过程如下:

由于高职学生经过了实验、类比和猜想等思维过程, 特别是有了猜想作为基础, 对于猜想的验证就会感到顺理成章, 进而体会数学的理性与严谨, 激发学生对数学知识的热爱.

进一步引导学生反过来将椭圆的标准方程与圆的标准方程进行比较, 学生会发现圆可以看成是椭圆的极端情况.

通过从圆到椭圆的转化, 使学生利用新旧知识的联系认识了椭圆及其标准方程, 培养了学生观察问题、分析问题和解决问题的能力, 达到了高职数学课堂上的素质教育目标, 培养了学生的数学素养.

三、反思

高职数学课堂教学必须打破封闭、固定的落后程式, 教师要给学生充分探索空间, 不要把学生的思考限制在教师预设的范围内, 在教学中采用以旧引新、新旧对比的方法, 引导学生在旧知识的基础上探索新知识, 可以使学生感觉新知识的出现水到渠成, 而过去熟知的旧知识又得到巩固与深化, 使学生把握新旧知识之间的联系, 从而得到系统化的知识. 在椭圆的标准方程的教学设计中, 还要充分了解学生的基础和知识面, 往往学生的难点不一定出现在本节所要理解的内容上, 如推导椭圆的标准方程时, 方程的化简, 在该环节上还要尽量推导细致一点才得以完成.

参考文献

[1]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社.2005.7.

椭圆教学中创设问题情境一例 篇8

数学家哈尔莫斯曾指出:问题是数学的心脏.在1988年第六届国际数学教育大会上, “问题解决、模型化及应用”课题组提交了课题报告, 指出:“一个 (数学) 问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境.”根据数学问题的情境特征, 对问题通常分为两大类:一类是纯数学问题;另一类是数学应用问题.在解决数学情境问题的过程中, 不仅有利于强化对数学事实、数学概念、数学原理及数学技能的掌握, 而且有助于培养学生数学应用的意识和运用数学解决实际问题的能力, 特别是创造性思维能力, 使学生觉得数学就在自己身边, 与自己息息相关, 对学习数学兴趣盎然, 增强数学学习的内在动机.

1 问题提出

足球的影子:阳光下, 水平地面上足球的影子是一个椭圆吗?若是, 它与地面的接触点是焦点吗?

1.1 问题的解答

设球的半径为R, 球心为O, 经过球心的光线与地面交于点T, 光线与地面成α角, 球与地面的接触点为S, P是经过球心的光线上一点, PQ垂直于地面且垂足为Q.如图1建立直角坐标系, 设M (x, y) 是影子边界上任一点, 则

$\begin{array}{l}{\rm T}{\rm M}{}^2=x{}^2+y{}^2=R{}^2+y{}^2\cos {}^2\alpha ‚\\ \frac{x{}^2}{R{}^2}+\frac{y{}^2}{R{}^2/\sin {}^2\alpha }=1.\end{array}$

所以, 足球的影子是一个椭圆, 其中,

$a=R/\sin \alpha ‚b=R‚c=\sqrt{a{}^2-b{}^2}=R\cot \alpha .$

又ST=Rcot α, 所以S是焦点.

1.2 探求准线

设过球心垂直于光线的平面与地面的交线为j, 与y轴交于点G, 则

${\rm T}G=R+\cot \alpha +R\cot \alpha =\frac{R}{\sin \alpha \times \cos \alpha }.$

而$\frac{a{}^2}{c}=\frac{R{}^2/\sin {}^2\alpha }{R\text{c}\text{o}\text{s}\alpha }=\frac{R}{\sin \alpha \times \cos \alpha }$,

所以, j为准线.

2 问题延伸

若把太阳光线看作离地面并不太高的点光源发出的光线, 那么地面上足球的影子还是椭圆吗?其与地面的接触点还是焦点吗?

问题的特殊情形:经过球心的光线和地面垂直时, 易知足球的影子是圆, 接触点是圆心.

问:若经过球心的光线和地面成锐角呢?

2.1 问题解答

设点光源为P, 球的半径为R, 球心为O, 经过O的光线和地面交于点T, 球于地面的接触点为S, PT=m, PQ垂直于地面垂足为Q.如图2建立直角坐标系, V (x, y) 是阴影边界上任一点,

则

所以m+ycos α=PVcos β,

$\begin{array}{l}\text{即}m{}^2+2ym\cos \alpha +y\cos {}^2\alpha \\ =(m{}^2+2ym\cos \alpha +x{}^2+y{}^2)\cos {}^2\beta ‚\\ \frac{x{}^2}{\frac{m{}^2\sin {}^2\alpha \sin {}^2\beta }{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }}+\frac{\left(y-\frac{m\text{c}\text{o}\text{s}\alpha \sin {}^2\beta }{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }\right){}^2}{\frac{m{}^2\sin {}^2\beta \cos {}^2\beta \sin {}^2\alpha }{(\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha ){}^2}}=1.\end{array}$

所以球的阴影是一个椭圆:

中心${\rm K}\left(0‚\frac{m\text{c}\text{o}\text{s}\alpha \sin {}^2\beta }{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }\right)$, 半长轴$a=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\beta \cos \beta \sin \alpha }{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }‚$

半短轴$b=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\alpha \sin \beta }{\sqrt{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }}$,

半焦距$c=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\beta \sin \alpha \cos \alpha }{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }.$

$\begin{array}{l}\text{因}\text{为}m=\frac{R}{\sin \beta }+\frac{R}{\sin \alpha }‚\text{所}\text{以}R=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\alpha \sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }‚\\ S{\rm K}=S{\rm T}+{\rm T}{\rm K}=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\beta \sin \alpha \cos \alpha }{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }.\end{array}$

即接触点S是焦点.

2.2 探求准线

设光线与球的切点所在平面于地面的交线为j, j与y轴交于点C, 平面截球得⊙M.

$\begin{array}{l}{\rm M}{\rm T}=R\sin \beta +\frac{R}{\sin \alpha }=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\beta (\sin \alpha \sin \beta +1)}{\sin \alpha +\sin \beta }‚\\ {\rm T}C=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\beta (\sin \alpha \sin \beta +1)}{\cos \alpha (\sin \alpha +\sin \beta )}‚\\ {\rm K}C={\rm T}C+{\rm K}{\rm T}\\ =\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\beta (\sin \alpha \sin \beta +1)}{\cos \alpha (\sin \alpha +\sin \beta )}+\frac{m\text{c}\text{o}\text{s}\alpha \sin {}^2\beta }{\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha }\\ =\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\alpha \sin \beta \cos {}^2\beta }{\cos \alpha (\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha )}.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{而}\frac{a{}^2}{c}=\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}{}^2\alpha \sin {}^2\beta \cos {}^2\beta }{(\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha ){}^2}\times \frac{(\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha )}{m\text{s}\text{i}\text{n}\beta \sin \alpha \cos \alpha }\\ =\frac{m\text{s}\text{i}\text{n}\alpha \sin \beta \cos {}^2\beta }{\cos \alpha (\cos {}^2\beta -\cos {}^2\alpha )}‚\end{array}$

所以, 切点所在平面与地面的交线是一条准线.

由问题延伸的解答过程我们看出, 点光源照射足球的影子问题, 实质上是平面截圆锥的交线问题, 由此, 可得下列结论:

结论1 若点光源的照射高度等于球的直径 (和球保持一定距离) , 则球影边界是抛物线.

结论2 若点光源的照射高度等于球的半径 (和球保持一定距离) , 则球影边界是双曲线的一支.

结论3 若点光源的照射高度小于球的直径大于球的半径 (和球保持一定距离) , 则球影边界是双曲线的一支.

3 应用一例

例 在阳光下一个大球放在水平地面上, 球的影子伸到距离球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米竖立在地面上的直尺的影子长2米, 求球的半径.

解 依题意得$\tan \alpha =\frac{1}{2}‚a+c=10$, 则$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}‚\cot \alpha =2$.又$a=\frac{R}{\sin \alpha }‚c=R\cot \alpha$, 所以$\frac{R}{\sin \alpha }+R\cot \alpha =10‚R=10(\sqrt{5}-2)$ (米) .

答 球的半径为$10(\sqrt{5}-2)$米.

4 结束语

数学来源于人们生产与生活的实践, 数学中一切概念和原理的产生与发展都与社会实践紧密相连.创设问题情境是调动学生主动性、深化课堂教学的重要手段.在数学教学实践过程中, 教师要深入了解学生的认知规律、学习心理和思维特点, 搜集大量的相关资料, 注意关心生活中的事例, 挖掘出它们与所学的数学知识的联系, 构建出数学模型, 注重情境的真实性、开放性、接受性和情境作用的全程性, 才能创设出比较理想与学生原有的认识水平相适应的问题情境.创设良好的数学问题情境不仅有利于引导学生参与教学过程, 激发学生求知的欲望和学习的积极性, 而且有利于学生自然地获得数学的知识与技能, 养成探求知识的习惯, 同时也有助于培养他们的探索精神和创造性思维能力.

参考文献

[1]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]陆书环, 傅海伦.数学教学论[M].北京:科学出版社, 2004.

[3]魏本义.对数学“问题情境”设置的实践与思考[J].教学与管理, 2008, (1) .

椭圆教学 篇9

一、课程分析

本节主要学习椭圆的定义与椭圆的标准方程，重点是椭圆的定义及其标准方程．难点是椭圆的定义的理解与标准方程的推导．通过本节课的学习，应初步掌握椭圆的定义及标准方程，能根据所给条件确定椭圆的标准方程．

二、学情分析

本班学生学习气氛较浓，课堂气氛活跃，学生能在老师的合理指导下，课堂上充分发挥，积极讨论，独立思考，实现学习目标，完成学习任务．

三、设计思路

1．指导思想:

本节课坚持以“诱思探究教学思想”理论为指导，围绕“诱”是“思”的基础，“思”是“诱”的目的这一中心确定教学的主线———以诱达思，启智悟道．

2．总体设想:

本节课通过对椭圆的标准方程的学习，进而提升学生对曲线的认识，体现了解析几何的宗旨，进一步提高学生数形结合的能力．达到“启智悟道”的目的．

3．流程概况:

创设情境，引入新课;探究新知，形成概念;探索研究，导出方程;随堂练习，巩固双基;课堂小结，完善认识;作业布置，巩固知识．

四、学习目标

知识和技能目标:1．掌握椭圆的定义及标准方程;2．待定系数法求方程的应用;

过程与方法目标:数形结合思想的渗透．

情感态度与价值观目标:1．使学生认识并理解世间的一切事物的运动都是有规律的．2．培养学生发现规律，寻求规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力．3．通过小组合作，培养协作、友爱精神．

五、教学流程

1．创设情境，引入新课

(课件投影)请同学们看投影所给的图片，观察人造卫星、行星的运行轨迹是什么?

设计意图:通过对图片的展示，引发学生的思考，在通过教师的导向性信息，使学生对椭圆有一个整体的认识，为下面的教学铺平道路．

简要实录:学生甲:图片显示的是生活中的一些椭圆．

学生乙:人造卫星和行星的运行轨迹是椭圆．

老师:这些有规律的曲线在实际生活中应用很广泛，那么怎样进一步加深对这些曲线的认识了呢?本章将学习如何建立这些曲线的方程，然后利用方程研究他们的性质，进而利用性质解决一些简单的实际问题．本节课我们先来学习椭圆及其标准方程．

2．探究认知，形成概念

(课件投影)请同学们用准备好的工具，按下面的要求画图:

1．取一条细线，一张纸板;2．在纸板上取两点分别标上F1、F2;3．把细线的两端分别固定在F1、F2两点;4．用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形．

(课件投影)1．几何画板演示椭圆的形成过程．

2、根据画图的过程，回答下列问题:

(1)当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(2)当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(3)在画图的过程中，哪些量没有发生变化?把这些量用几何式子表示出来．

要求:独立完成后，再相互交流、反思总结．

设计意图:通过该问题的回答，让学生对椭圆的形成在几何上有一个准确的描述．为解决后面定义中的特殊情况做了很好的铺垫．

简要实录:学生丙:当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是椭圆．学生丁:当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是线段．

(板书)定义:在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

注意:1、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数;即|MF1|+|MF2|=2a.

2．该常数大于|F1F2|，即2a>2c.

设计意图:通过对定义的探究，使学生更清楚的理解椭圆定义中的关键点和容易出错的地方．

3．探索研究，导出方程

(课件投影)请同学们思考如何建立适当的直角坐标系?

简要实录:学生A:以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．

(板书):以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设M(x,y)为椭圆上的任意一点，因为|F1F2|=2c,c>0，所以F1(-c,0),F2(c,0)．由椭圆的定义知，椭圆的集合为:P={M||MF1|+|MF2|=2a}，即.

(问题):如何化简该根式方程?

简要实录:学生B:先两边平方，移项在两边平方．马莉娜同学:这样不行，方程中会出现四次方，无法化简．应该先移项，再平方，使得二次项消掉，再移项平方，就可以化简下来．

老师:马莉娜回答的很好，提出表扬．(时霞同学板演):略

老师:(a>b>0)表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

焦点在y轴上的椭圆的标准方程的推导，请同学们在课后完成．

=1(a>b>0)表示焦点在y轴上的椭圆的标准方程．

4．随堂练习，巩固双基

请同学们独立完成练习册第45页1,2题．

设计意图:通过这两个例题，让同学们进一步熟悉椭圆的定义及其标准方程．例2中，通过分类讨论的思想，使同学们明白，焦点位置的讨论是求标准方程的关键．

5．课堂小结，完善认知

(课件投影)请同学们理解记忆本节课的要点:1．椭圆的定义及其简单的应用．2．椭圆的标准方程及其焦点位置的判断．3．用坐标法研究曲线，用运动变化的观点分析问题．

设计意图:概括总结的能力是数学能力的有机组成部分，这对学生表达能力的提升是一次很好的训练，同时，及时概括总结，更有利于学生掌握本节课的主要内容．

6．作业布置，巩固知识

(课件投影)1．课本第106页习题8.1第2,3题．2．课后思考:对于方程=1满足什么条件时，它表示椭圆?

设计意图:课后巩固，强化记忆，使知识转化为学生的能力．

7．课后反思

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线．但从研究圆到研究椭圆，学生思维上存在障碍．故在教学中运用多媒体演示行星运行轨迹，形象的给出椭圆．通过让学生自己动手作图，“定性”的画出椭圆．再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程．

椭圆教学 篇10

一、通过展示教材中美的内容, 使学生感受数学美

数学美不同于自然美和艺术美, 它往往表现为一种含蓄的美、一种带有哲理性的美。所以有时即使把美的教学材料放在学生面前, 学生也很难领悟其中所蕴涵的美, 这就需要教师对教学材料作耐心细致的剖析, 通过深入浅出的讲解、启发、诱导, 使学生在潜移默化中感受和领略数学的内在美, 培养学生的审美意识。

教材对椭圆标准方程的推导, 充满了美的内容:

根据椭圆的对称性, 取过焦点F1、F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系。为了使运算简洁, 导出的椭圆方程形式简单, F1、F2的坐标既要对称又要避免用分数形式表示, 这样, 应设焦距为2c (c>0) , 而与焦点相关联的动点M与M到焦点的距离之和也应保持统一的形式, 不妨设其为2a, 由椭圆的定义知2a>2c, 即a>c。

设动点M的坐标为 (x, y) , 得方程:

化简、整理, 得

方程 (2) 虽然比方程 (1) 简单, 但由于图形的对称美, 我们期望方程也应当具有对称美, 所以应设法命名y2与x2的分母取得一致的形式——二次幂, 又因a>c, 故设a2-c2=b2 (b>0) , 于是方程 (2) 又化为

这就是椭圆的标准方程。

妙得很!a正好是椭圆长半轴长, b正好是椭圆短半轴长。这种根据数学美的要求引进数b, 进行创造美的方法就是补美法。这就很清楚地表明一个事实:根据数学美的要求用补美法引进的数b有着鲜明的几何意义, 而且符合“对称性”的要求, 体现了美与真之间的统一性。

通过这样的分析和引导, 使学生明白了数学美的内涵, 唤起了学生美的意识, 使他们获得了数学美的体验。

二、通过揭示数学美的本质, 使学生在理解数学美的基础上鉴赏数学美

数学美除了丰富多彩的外显形式外, 还有许多内在的美的因素。因此在学生认识和体验数学美的基础上, 教师还应深刻挖掘、精心提炼教材中所蕴涵的美的因素, 通过揭示数学美的本质, 加深学生对数学美的理解, 培养学生鉴别、欣赏数学美的能力, 使其能对教材中美的内容做出恰当的评价。如教材在学生对椭圆有了一定感性认识的基础上, 由椭圆的画图过程总结出椭圆的定义, 然后推导出其标准方程。椭圆的画图过程简洁、清晰、逼真地显示了椭圆的本质特征, 因而借助图形可使原来陌生的椭圆定义变得容易理解和记忆。椭圆的图形虽能直接显示其外部形态, 但不便于揭示其定义所包含的一切内涵和所有性质, 因而必须建立椭圆的代数方程。整个教学内容结构严谨、统一、和谐, 显示了解决数学问题的奇异美。

教材对椭圆定义的表述, 全面地运用了数学的三种语言——图形语言、文字语言、符号语言。图形语言形象直观, 有一个生成图形的动态过程;文字语言准确、简练、通俗易懂;符号语言简洁、抽象、规范统一。三种定义确凿、深刻地显示了数学语言的简洁美。

椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形, 给人一种完美匀称的感觉。它可以看成是由圆均匀压缩而成的“扁圆”, 其“扁”的程度取决于离心率e的变化:e越接近于l, 椭圆越扁;e越接近于0, 椭圆越接近于圆, 显示出了一种动态的奇异美。

这样, 通过揭示数学美的本质, 加深了学生对数学美的理解, 提高了他们的美学素质, 使其从认识显性的美提高到能认识隐性的美, 把对数学美的感性认识上升到理性认识的高度, 提高了学生鉴赏美的水平。

三、在解题实践中, 培养学生创造美的能力

“从实践中来, 到实践中去”。只有将美学知识应用于解题实践, 审美教育才有意义, 学生的审美能力才能得以进一步的提高。因此, 在学生感受和理解数学美的基础上, 要培养学生应用数学美的思想方法去探索问题和解决问题。使学生从行之有效的数学方法和灵活巧妙的解题技巧中感受和发现数学美, 并通过优化自己的解题方法和解题技巧来表现和创造数学美。例已知椭圆它的某一条弦AB被点M (2, 1) 平分, 求弦AB所在的直线方程。

分析:本题若用常规解法, 先设直线AB的方程为y=k (x-2) +l, 代入椭圆方程, 得到一元二次方程, 再有中点坐标公式求k写出AB的方程, 则运算较繁且易出错。如果利用椭圆的对称性来求解, 则解题方法简洁、明快。我们发现“弦AB被点M (2, 1) 平分”中隐含着对称性——弦的两个端点A、B关于点M对称, 也就是说“弦AB是该椭圆与其关于点M对称的椭圆的公共弦”。于是一个在“对称美”追求下的简洁解法便产生了:

解:设点A的坐标为 (x, y) , 则与点A关于点M (2, 1) 对称的点B的坐标为 (4-x, 2-y) ,

因为点A、B都在椭圆上

所以两点A、B的坐标都满足椭圆方程, 即

由 (1) - (2) 得中点弦AB所在的直线方程为5x+4y-14=0。由此可见, 在数学解题中, 利用椭圆的对称美, 能起到优化解题思路和简化解题过程的功效。

在解决数学问题中, 引导学生有意识地用审美的眼光去发现数学题的统一美, 常常能使学生从整体到局部, 迅速地发现解题的方向和方法。

在探索数学规律的过程中, 数学美的思想方法往往能给我们有益的启示, 它能引导我们从美的角度去进行直觉思维, 从而越过分析推理过程的细微末节, 形成数学猜想, 为探索找到正确的方向。

椭圆的定义及标准方程教案 篇11

关键词：椭圆；标准方案

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）13-365-01

一、教材分析

本节课是普通高中课程标准试验教科书选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中《椭圆》的第一节内容，主要学习椭圆的定义和标准方程。这一节课是在学完《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备，起到一个承上启下的重要作用。

二、教学目标

知识与技能：(课程标准)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它们的定义、标准方程。掌握椭圆标准方程的推导过程。过程与方法：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，熟练掌握解决解析几何问题的方法——解析法。情感、态度与价值观：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体会运动变化、对立统一的思想。

三、教学重点、难点

重点：椭圆的定义和标准方程。

难点：（1）标准方程的推导。（2）椭圆定义中常数加以限制的原因。

四、课前准备

教师：课件、三角板、无弹性细绳。

学生：两颗图钉、一根无弹性细绳、一根粉笔、纸板。

五、教学过程

（一）温故知新

教学内容：复习求曲线方程的方法

教师：同学们，前面我们学习了曲线的方程的概念，什么叫做曲线的方程？求曲线方程有那些方法？

学生：思考，并回答问题。

设计意图：明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系，并为后面椭圆的标准方程的推导及用待定系数法求椭圆方程作好准备。

（二）创设情境

教学内容：神舟十号于2013年6月11日17时38分02秒成功发射。发射初始轨道：近地点约200公里、远地点约330公里的椭圆轨道。

教师：1、演示飞行船绕地球运行模拟图。2、设问：我们怎么能求出神舟十号飞行轨迹的方程呢？

学生：神州五号发射成功，学生鼓掌向英雄致意，认真观察图形一起思考。

设计意图：通过录像激发学生的爱国情绪，调动起好奇心，激发起学生的学习本课的兴趣。让学生感到数学无处不在。

（四）提出问题

教学内容：探索讨论椭圆的定义：

教师：问题1：数学中圆的定义是什么？

学生：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹叫圆。

教师：问题2：能不能类比圆的定义，结合刚才椭圆的画法给出椭圆的定义？

学生：（可能回答）到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，（其他学生补充）应该是平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹，才是椭圆。

教师：还有补充吗？（给学生充分的时间讨论，相信学生，不代办）

学生：通过课件观察随着F1、F2距离改变，轨迹变化情况。从而发现

2a＞｜F1F2｜ 时，轨迹是椭圆；

2a＝｜F1F2｜时，轨迹是线段｜F1F2｜；

2a＜｜F1F2｜时，无轨迹。

教师：问题3：经过 前面的观察和实验操作，同学们已经对于椭圆上的点的性质有了较深刻的认识，现在请同学给出椭圆的准确定义？

学生：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆

设计意图：通过类比圆的定义，对问题串的思考及讨论，使学生真正经历、体验椭圆的形成过程，确切理解椭圆的定义及内在性质规律。

（五）分析解决问题

教学内容：推导椭圆的标准方程

教师：问题4：求曲线方 程的一般步骤是什么？

学生：①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明

教师：问题5：要应该如何建立坐标系求椭圆方程？椭圆上动点M满足什么条件？教师巡视，对学生进行指导。尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困难，教师应进行提示。（同 时，教师说明：建立坐标系应使建立的曲线方程尽量简洁整齐。）

学生：讨论完毕后，交流成果。同学从中选出最好的方案，

教师：以上两种方案是最好的。

问题6：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，请问两个方程有什么共同点？

学生：（可能回答，让学生充分讨论）在两个方程中，总有a>b>0，椭圆的三个参数a、b、c总满足：即，a为老大。

教师：问题7：教材P39的思考如何解答？

学生：学生讨论，让小组代表上黑板作图解答。

教师：问题8：如何根据方程判断其焦点在x轴上还是在 y轴上？

学生：看分母大小，哪个分母大焦点就在对应的那条轴上。例如椭圆 （ ， ， ）当 时表示焦点在 轴上的椭圆；当 时表示焦点在 轴上的椭圆。

浅谈数学文化在椭圆教学中的渗透 篇12

一深度挖掘课本素材, 让学生感受数学文化的魅力

在现行的高中数学教材中, 好多内容蕴含着丰富的数学文化, 在教学中应积极向学生呈现丰盛的文化大餐。我们在课堂中要充分挖掘教材中所蕴藏的数学文化素材, 使学生感受数学文化的魅力, 使他们的人格品性得到教育, 使他们的数学素养得到大幅度的提升。

(1) 纵向探究, 归纳得到椭圆的一种“生成方式”。

(2) 逆向探究, 得出椭圆的一个性质。

问题2:结论1的反面是什么?结论是否成立?请进行探究。

(3) 深度探究, 构建椭圆新的认知体系。

把结论2中的长轴换成经过原点的任意一条弦, 结论是什么?是否成立?

(4) 类比探究, 构建双曲线新的认知体系。

(5) 拓展运用, 感受数学文化魅力。

在数学教学中关键要注重对教学内容的挖掘和理解, 不但要将数学知识的工具价值展示出来, 还要把它的文化价值、育人价值挖掘出来, 既要注意它的知识形态, 更要注意它的文化形态, 从而达到全面育人的目的。

二挖掘椭圆中蕴含的数学美, 发挥数学的美育功能

椭圆是优美的曲线, 它既是轴对称图形, 又是中心对称图形。电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的。在宇宙中星体运行的轨道多为椭圆, 在运行速度超过第一宇宙速度时, 星体的运行轨道会变成双曲线、抛物线等, 这些都是椭圆的变异, 这正体现了宇宙中椭圆的美妙。椭圆是美的, 教师应巧妙地把美育融入教学当中, 这是对美的升华。

(1) 求椭圆的方程。

对于第二问, 大部分同学采用常规思路1:采用代数方法, 设出过焦点的两条平行直线的方程, 然后与椭圆方程联立, 解出A、B两点。思路清晰, 但计算过程烦琐、计算量大, 在随后解决本题 (2) 中的 (ii) 时, 即使结合第一定义运算后还是要利用AF1、BF2关于k的表达式计算, 对运算的要求很高。然而, 这种解法可以做适当改进, 可以降低计算难度。

思路2:采用代数方法, 注意到椭圆的对称美, 将B点对称到直线A F1上, 再结合韦达定理可以缩小计算量。延长A F1交椭圆于点B1, 由A F1//B F2, O F1=O F2, 得点B1和点B关于原点对称, 且B1F1=B F2。设直线AF1的方程为=m—1, 设A (1, 1) , B (2, 2) , 由A位于轴上方得:

本解法利用了韦达定理来处理直线与圆锥曲线相交的问题, 这是我们较为擅长的, 同时设直线, 降低了计算难度, 不失为一种好的解法。但如果注意到本题给出的两条直线分别过椭圆的焦点, 考虑到用椭圆的第二定义, 充分注意到椭圆的对称美, 则会“山穷水尽疑无路, 柳暗花明又一村”, 较轻松地解决问题。

思路3:采用几何法, 考虑到AF1、BF2均为焦半径, 结合本题中给出的直线AF1与直线BF2平行, 能得到∠AF1O=∠B F2, 利用椭圆的第二定义, 题 (2) 的解答如下:

通过对椭圆美的挖掘和揭示, 让学生在学习过程中潜移默化地欣赏美、感受美, 激发学生按照美的规律进行创造性的思维活动, 启迪学生的解题灵感, 提高学生的学习兴趣, 有助于学生塑造美的人格, 提高鉴赏美、发现美的能力, 使课堂成为传播美的途径, 从而实现数学文化价值的教学目的。

三视椭圆问题生活化, 培养学生热爱生活的品质

教师要热爱生活, 让学生体会数学的奇妙和生活的多彩, 学会用数学的眼光来观察生活, 感受生活的精彩, 增强热爱生活的情感, 从而达到德育、智育的双重教育目的。

例如, 二战期间在意大利西西里岛有一个关押盟军战俘的山洞, 盟军战俘策划如何逃跑, 可昨天晚上商量的结果, 第二天意军就知道了, 并把主要人员带走。以后无论战俘们商量什么机密事情意军总能知道。坚硬的石壁上是无法安装窃听器的, 于是盟军战俘们怀疑出了叛徒。直到战后, 战俘们被解救出来, 才发现山洞的秘密, 山洞中关押的俘虏和看守分别在两个地方, 俘虏发出的声音, 看守的地方听得清清楚楚。为什么呢?这还必须用数学知识来解释。

山洞内部的空间是一个椭圆体, 截面为椭圆面。关押俘虏的地方和看守所在的地方分别是椭圆的两个焦点, 俘虏们说话的声音向四面传播, 经过洞壁反射, 声音传向了另一个焦点, 并且洞壁是光滑的, 吸收的声波很少, 这一过程反而加大了传向另一个焦点的声音。椭圆为什么具有这个性质呢?这是因为椭圆上任一点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分。世界上有很多建筑都应用了这个原理, 其中较著名的有我国的天坛回音壁、英国伦敦的私语走廊。

现将这个结论的由来呈现给大家:

数学教学应该将课堂与生活紧密联系起来, 体现数学来源于生活、寓于生活、用于生活, 引导学生把数学知识运用到实际生活中去体验感受, 使学生充分认识到数学来源于生活, 又是解决生活问题的基本工具, 达到数学课堂教学生活化的目的。

四结语

椭圆既简单又深邃、既单薄又丰厚、既常见又陌生、既平凡又伟大, 它为人类历史的发展做出不可磨灭的贡献。因此, 进一步认识椭圆、研究椭圆、充分挖掘椭圆的功能、发展椭圆的属性是开展数学文化教育、数学素质教育的一个有益尝试。当数学文化的魅力真正渗入教材、融入课堂时, 数学会更加平易近人, 数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。

摘要：数学文化的核心是数学的观念、意识、思维方式, 是数学作为人们认识世界和改造世界的一种能力、工具、活动, 是社会历史实践中所创造的精神财富和物质财富的沉淀, 是数学和人文的结合。本文以椭圆教学为例, 分析了数学文化在高中数学教育中的渗透。

关键词：高中数学,椭圆教学,数学文化

参考文献