椭圆的定值问题

椭圆的定值问题（精选4篇）

椭圆的定值问题 篇1

1.已知AB是过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F的动弦.求证:

证明设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 直线AB的方程为

当k不存在时,

2.过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F的两条相互垂直的弦AB和CD, 则 (定值) .

证明设A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , D (x4, y4) ,

同理,

3.设MN是过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F的动弦.由M, N分别向抛物线的准线作垂线MA, NB, 其中A, B是垂足.求证: (定值) .

证明设M (x1, y2) , N (x2, y2) , 则

证明设A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (a, m) , 则由即 (x1-a, y1-m) =λ1 (x0-x1, -y1) ,

5.设F是抛物线y2=2px (p>0) 的焦点, A, B, C是抛物线上的三点, , 则 (定值) .

证明设x1, x2, x3是A, B, C三点的横坐标.

∴抛物线焦点F是ABC的重心.

参考文献

[1]刘铭.平面解析几何的定值问题.辽宁招生考试, 2009 (2) .

[2]彭世金.对圆锥曲线的一类定值问题的再思考.数学教学通讯, 2006 (9) .

椭圆的定值问题 篇2

1. 已给出定值的几何命题

这类几何命题，目标明确，我们只需找到与动点相关的定点，建立起它们之间的联系，证明思路也就找到了。

例1：如图1，设O为△ABC内任一点，引OA′∥AB, OB′∥BC, OC′∥AC各交BC、CA、AB于A′、B′、C′，证明：

分析：在此命题中，O为动点，△ABC的三个顶点A、B、C为定点，动点O与三定点A、B、C之间尚无连线，为此，可连接AO、BO、CO，并延长其中一条交△ABC的一边于D，动点O与定点A、B、C之间就建立了联系，利用平行截割定理及面积定理便可证明。

证明：连接AO、BO、CO，设AO延长线交BC于D,

2. 未给出定值的几何命题

2.1 先找定值，再行证明。

有些与动点相关的定值问题，并没有给出定值是什么。为了推证这类命题，我们可以考虑先找出定值是多少，通常在寻找定值的过程中，证明思路也就随之打开了。

例2：正五边形内接于半径为r的圆，P是该五边形内任一点，向各边或其延长线上作垂线，证明：这些垂线长的和是定值。

分析：此命题结论中的定值没有给出，应先找出这个定值。P为动点，正五边形的五个顶点A、B、C、D、E为定点。还有一个定点包含在动点P的集合中，它就是正五边形外接圆的圆心O，利用这个动点中的特殊点，很容易找到命题结论中的定值。即命题结论中的垂线段长之和就是正五边形边心距之和。边心距和面积有关，垂线段与面积也有关，于是将动点P与五个定点A、B、C、D、E连接，利用面积关系，命题可证。

已知：如图2，正五边形ABCDE内接于半径为R的圆，P是该五边形内任一点，向AB、BC、CD、DE、EA或其延长线所作垂线分别为PH1、PH2、PH3、PH4、PH5。

求证：PH1+PH2+PH3+PH4+PH5为定值。

证明：连接PA、PB、PC、PD、PE，设正五边形边长为a，则边

注:此命题可推广至圆内接任意多边形的情形。

例3:M是以AB为直径的圆上不同于A、B的任一点，C是直径AB上的定点，过M作与CM垂直的的直线交过A, B之切线于D、E，求证AD、BE之积为定值。

分析：此命题中的定值没有给出，应先找出定值，点M为动点，A、B、C为定点。连接AM、BM，仍不能找出定值。考虑动点M在CM∥AD时的情形(如图3)时ED∥AB, AD=B=CM, AD·BE=CM2=AC·BC。由于C为AB上的定点, 则AC·BC为定值, 于是AD·BE为定值已确定。又由AD·BE=AC·BC有BC∶AD=BE∶AC, 立即想到利用相似三角形可得到此比例式, 于是命题可证。

证明：如图4，连接AM、BM、CD、CE,

∵CB⊥BE, CM⊥EM,

∴B, C, M, E四点共圆,

∴∠BCE=∠BME。

同理∠ADC=∠AMC。

∵∠BME=90°-∠CMB, ∠AMC=90°-∠CMB,

∴∠BME=∠AMC,

∴∠BCE=∠ADC,

∴Rt△BCE∽Rt△ADC,

从而BC∶AD=BE∶AC,

即AD·BE=AC·BC (定值) 。

注：此例中AC·BC为定值是由A、B、C为定点，AC与BC均为定长所决定的。

2.2 合情推理，得出定值。

对于没有给出定值是什么的命题，并非一定要找到定值，特别是有些定值的寻求并不容易，我们可以从已知条件出发，经过推理或计算得到定值。

例4：两圆内切于A，在大圆上任取一点P引小圆的切线PQ，则不论P的位置如何，PA∶PQ为定值。

分析：如图5，设PA交小圆于点C。此命题中的动点为P、Q、C，定点为A及两圆圆心，设大圆圆心为O，小圆圆心为O′。由于PQ是小圆的切线，PA是小圆的割线，根据切割线定理有PQ2=PC·PA，即有PA2∶PQ2=PA∶PC。只要确定PA∶PC为定值，问题即可解决。为此，我们考虑使PA∶PC尽量向两圆半径的关系(定值)靠拢。于是连接OA (O′必在OA上)、OP、O′C，利用平行线截割定理，PA∶PB就可以用两圆半径之间的关系(定值)表示，即证明的定值就现身了。

证明：设大圆圆心为O，半径为R，小圆圆心为O′，半径为r, PA交小圆于C点，连接AO，则O′必在AO上，连接CO′、OP，过点A作两圆的公切线AB。

∵PQ是小圆的切线，PA是小圆的割线

∴PQ2=PC·PA。

从而PA2∶PQ2=PA2∶PC·PA=PA∶PC=R∶(R-r),

从以上例子我们可以看出，与动点相关的定值问题的证明，必须动定结合，只要把动点与定点之间的关系弄清楚，证明思路也就形成了。特别是在定值没有明确告知的情况下，我们可以从动点的特殊位置入手，寻找定值。这个寻找的过程，往往就是证明思路形成的过程。诚然，有时定值并不易找，也不一定非要先找定值不可。我们可以先从命题中找到一些变量，然后从已知条件入手一步步向不变量接近，通过推理或计算得到定值。

参考文献

[1]祝本初.平面几何证题手册[M].南宁:广西民族出版社, 1991:188-189.

[2]叶添善.平面几何习题集[M].南宁:广西人民出版社, 1981.

椭圆的定值问题 篇3

此题是2013年山东卷理科第22题,这道题以椭圆为载体,考查了直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式、点到直线的距离公式和换元法等知识,同时考查了数学探究能力. 题目设计新颖,内涵丰富,是研究性学习的好素材.文[1]对第(3)问进行了推广,得到以下结论.

上述两个定理亦可以推广到抛物线,得到以下结论.

二、探究推广

探究1:以上三个定理揭示了圆锥曲线切线的斜率与焦点弦的斜率之间存在定值关系. 自然而然,我们会思考圆锥曲线割线的斜率与焦点弦的斜率之间是否也存在某种定值关系呢? 显然,若是任意割线的斜率与焦点弦的斜率之间很难找到定值关系. 笔者借助TI-nspire CAS图形计算器,将圆锥曲线的割线特殊化,探究过焦点的割线斜率与焦点弦的斜率之间是否存在某种定值关系呢?

探究2:因抛物线只有一个焦点,定理4、5不能在抛物线中推广. 但笔者觉得意犹未尽,再次思考,还有哪些特殊割线的斜率与焦点弦的斜率存在定值关系呢? 通过借助TI-nspire CAS图形计算器,在图形中拖动割线l的位置,考虑用准点(规定圆锥曲线的准线与对称轴的交点叫准点)代替焦点,研究当割线经过圆锥曲线准点时的情况,是否存在割线斜率与焦点弦斜率之间的定值关系呢?

上述定理证明方法与定理4类似,限于篇幅,不赘述.

探究3: 上述定理研究了割线经过准点的情况. 固然,焦点和准线是圆锥曲线最本质的两个几何要素,而类焦点、类准线知识为我们探索圆锥曲线的性质提供了一个新的视角. 笔者运用类焦点、类准线的知识将上述定理6又作了进一步推广.

三种圆锥曲线统一的定义(平面内到定点与定直线距离的比为常数e的点的轨迹)揭示了它们内在本质联系;而对三种圆锥曲线如法炮制的研究方法,部分类似相通的几何性质正是内在联系显现的外在统一. 圆锥曲线内在的和谐统一决定了它们还有更多优美的性质等待我们去探究与挖掘.

摘要：圆锥曲线在高考数学中占据着举足轻重的地位,而关于圆锥曲线定值问题一直是高考命题中的一大热点.文[1]从2013年山东卷理科22题第(3)问出发,推广得到了圆锥曲线一个统一的性质.拜读文[1]后,笔者深受启发,将其结论进行了深入推广,研究了圆锥曲线的切线及特殊割线的斜率与焦点弦斜率之间的定值问题,得到了一系列美妙的结论.

浅谈椭圆中定值问题的解决方法 篇4

总结 : 首先要求 学生能熟 练的利用 焦半径公 式求出r1r2, 然后把用A点的坐标表示, 利用A点在椭圆上,把变量由两个变为一个,就可以轻松的求出的值。把这样求定值的方法叫做设点法。

问题2:已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一条准线为x=1,倾斜角为π/4的直线l交椭圆于A、B两点,且线段AB的中点为(-1/2,1/4),

( 1) 求椭圆的方程 ;

( 2) P、Q为椭圆上两点,O为原点,且满足|

求证:直线OP、OQ的斜率之积的绝对值为定值。

解:( 1) 过程略,椭圆的方程为:2x2+4y2=1,

( 2) 设P(x1,y1),Q(x2,y2)直线OP、OQ的斜率分别为k1,k2

总结:本题如果还采取上题中设点的方法,难点与缺点是有四个变量,变量多,且变量间的关系也多,运算比较繁琐,运算量也非常大。而采取引入直线斜率的方法,只要两个参数就可以把P、Q的坐标表示出来,而且很容易表示条件直接通过k1,k2的等式解出|k1k2|即可 , 简单明了,操作性强,把这样的方法叫做引入参数法。

练习:设A、B为椭圆上任意两点 , 且OA⊥OB,

总结: 本题的难度很大, 难点在于如何使用∠P1FP2=∠P2FP3= ∠P3FP1这个关键 条件 , 解决方法 使用了引 入∠P1Fx=α的策略 , 利用焦半径公式结合三角函数 定义把用角α表示,从而解决问题,构思非常的巧妙,解题思路对人的启发性很强,从方法上来讲还属于引入参数的方法。

椭圆中的定值问题还有很多,还有很多的解决方法,上面只是列举了两种非常常见的方法, 也是最有效的解决定值的方法,通过三个问题的解决方法的分析和总结,希望能对学生数学思想方法的应用和解题的分析能力和解题技巧有所帮助和提高。

摘要：椭圆中定值问题是高考中的难点,本文通过对三个问题的解决方法的分析和总结,希望能对广大读者有所帮助。椭圆中的定值问题是解析几何中的难点,问题中的变量较多,变量间的关系式也多,不同的问题呈现出不同的方法,对学生应用数学思想的能力,分析能力,运算能力都有比较高的要求,笔者希望通过本文能对椭圆中的定值问题进行简单的总结和探索。