同余问题线段和差问题

同余问题线段和差问题（精选9篇）

同余问题线段和差问题 篇1

专题：线段和差问题

线 段 的 和 差 问 题

几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积证明、旋转等五种。

一、利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。

例1 已知：已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的角平分线BD、CD相交于一点D，过D点作EF∥BC交AB与点E，交AC与点F。求证：EF=BE+CF

例2 已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F.求证：EF=BE-CF.AEFDB

CG

二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）

三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）

专题：线段和差问题

例3 如图所示，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC.四、旋转法：通过旋转变换，而得全等三角形是解决正方形中有关题目类型的一种技巧。

例4 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD

专题：线段和差问题

五、等积变换法：利用三角形的面积进行证明。

例5 已知:如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，如果在BC上取一点F，过F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H.求证：FG+FH=BD.练习：

1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，AE是过点A的一条直线且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE.ADBCE

2、如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于 D．求证：AD+BC=AB． 专题：线段和差问题

3、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E．求证CE=1/2 BD

4、已知:如图，在△ABC中，∠A=90º，D是AC上一点，BD=CD，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F.求证：PE+PF=AB.

同余问题线段和差问题 篇2

当图形具备的条件较丰富, 则应根据图形具体分析;若图形较特殊, 还有其他一些解决方法.下面通过几个与正方形有关的例子, 来具体体会一下.

例1:如图1, 在正方形ABCD中, F是CD的中点, E是BC边上的一点, 且AF平分∠DAE, 连接EF.求证:AE=EC+CD.

分析:本题背景图形为正方形, 即可将问题中的CD转换成其它三条与之相等的线段.根据条件中F是CD的中点, 可利用中线倍长的思想延长AF, 与EC的延长线相交, 达到补长EC的目的;也可利用AF是∠DAE的角平分线, 且FD⊥AD, 从而根据角平分线的性质, 过F点作AE的垂线, 来截取AE.这两种方法便分别是间接补短和

间接截长.

证明: (法一) 延长AF, 与EC的延长线相交于点G (如图2)

∵F是CD的中点

∴DF=CF

∵正方形ABCD

∴∠D=∠DCG=90°

又∵∠AFD=∠GFC

∴△ADF≌△GCF

∴AD=GC=CD

∵AF平分∠DAE

∴∠EAF=∠DAF=∠G

∴AE=EG=EC+CG=EC+CD

证明: (法二) 作FH⊥AE, 垂足为H (如图3)

∵正方形ABCD

∴∠D=90°

∵AF平分∠DAE, 且FH⊥AE

∴FH=FD

∴Rt△ADF≌Rt△AHF

∴AD=AH=CD

又∵F是CD的中点

∴CF=DF=FH

∴Rt△FHE≌Rt△FCE

∴HE=CE

∴AE=AH+HE=CD+EC

例2:如图4, 正方形ABCD中, E为BC延长线上一点, 连接DE, 在DE上截取DF=AD.连接AF, 与CD交于点G, 过点D作DH⊥DF, 交AF于点H.求证:DE=DH+CE.

分析:本题背景图形为正方形, 即提供了边的相等及角相等的条件, 结合题目中DF=AD及DG⊥DF的条件, 可证明角相等和三角形全等, 为问题的证明创造了更多的条件.利用这些条件, 在辅助线的添加上, 便有多种方法.以下的法一为间接补短, 而法二和法三分别为直接补短和直接截长.

证明: (法一) 延长DH, 与AB交于点I (如图5)

∵正方形ABCD

∴DA=DC

∠DAI=∠DCE=∠ADC=90°

又∵DH⊥DF

∴∠ADI=∠CDE

∴△ADI≌△CDE

∴AI=CE DI=DE

∵DA=DF

∴∠DAF=∠DFA

∴∠DGH=∠DHG=∠AHI

又∵AB∥CD

∴∠IAH=∠DGH=∠IHA

∴IA=IH

∴DE=DI=DH+HI=DH+AI=DH+CE

证明: (法二) 延长HD至点M, 使DM=CE, 连接FM (如图6)

∵正方形ABCD

∴DC=DA=DF

∵DH⊥DF

∴∠DCE=∠FDM=90°

∴△CDE≌△DFM

∴DE=FM∠CDE=∠MFD

又∵∠ADC=90°

∴∠ADH=∠CDE=∠MFD

∵∠DAH=∠DFG

∴∠DAH+∠ADH=∠DFG+∠MFD即∠MHF=∠MFH

∴DE=MF=MH=HD+DM=HD+CE

证明: (法三) 在DE上截取DN, 使DN=DH, 连接CN (如图7)

∵正方形ABCD

∴DA=DC∠ADC=90°

又∵DH⊥DF

∴∠ADH=∠CDE

∴△ADH≌△CDN

∴∠DAH=∠DCN

∵∠DAH+∠DGA=90°=∠DCN+∠NCE

∴∠DGA=∠NCE

∵DA=DF

∴∠DAF=∠DFA=∠DCN

∴∠DFA+∠CDF=∠DCN+∠CDF即∠DGA=∠CNE=∠NCE

∴EC=EN

∴DE=DN+NE=DH+CE

其中, 若将法三中的辅助线换一种描述, 即改为“过点C作CN⊥AF, 与DE交于点N”, 同样可以证明该结论.因此, 在用截长补短的方法证明几何题时, 对同一辅助线的描述不同时, 其所具备的功能也就不尽相同, 创造的条件及证明过程相应的也有所不同.有时每种描述均可证明结论, 但有时, 换一种描述, 未必可以证明.因此, 在解题时应如何描述所作辅助线, 还需对图形进行探索和尝试.

如果题目中出现了较多特殊的角度值, 有时也可用代数的方法计算该类问题.

例3:如图8, 正方形ABCD中, E为AB边上一点, 过点D作DF⊥DE, 与BC延长线交于点F.连接EF, 与CD边交于点G, 与对角线BD交于点H.若2∠BFE=∠ADE, 求证:FH=HE+HD.

分析:对于平面几何图形的分析, 首先应观察图中是否有特殊图形, 是否有全等、相似三角形.在本图中, 不难发现△ADE≌△CDF, 进而可以说明△DEF为等腰直角三角形, 得到特殊角∠DEF=∠DFE=45°.再结合2∠BFE=∠ADE, 可得∠HDE=15°, ∠DHF=60°, 利用这些特殊的角度, 便可通过截长或代数的方法解决问题.

证明: (法一) 在FE上截取一段FI, 使得FI=EH (如图9)

∵正方形ABCD

∴AD=DC

∠A=∠DCF=∠ADC=90°

∵DF⊥DE

∴∠ADE=∠CDF

∴△ADE≌△CDF

∴DE=DF

∴△DEF为等腰直角三角形

∴∠DEF=∠DFE=45°

∴△DEH≌△DFI

∴DH=DI

又∵∠DHE=∠BHF∠DEF=∠DBC=45°

∴∠HDE=∠BFE=∠ADE

∵∠HDE+∠ADE=45°

∴∠HDE=15°

∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°, 即△DHI为等边三角形

∴DH=HI

∴FH=FI+HI=HE+HD

证明: (法二) 作DM⊥EF, 垂足为M (如图10)

∵正方形ABCD

∴AD=DC

∠A=∠DCF=∠ADC=90°

∵DF⊥DE

∴∠ADE=∠CDF

∴△ADE≌△CDF

∴DE=DF

∴△DEF为等腰直角三角形

∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC

∴∠HDE=∠BFE=∠ADE

∵∠HDE+∠ADE=45°

∴∠HDE=15°

∴∠DHM=∠DEH+∠HDE=60°

设DM=a, 则EM=FM=DM=a, EF=2a

由本题可知, 若题目中出现了较多的特殊角, 可通过构造直角三角形, 设一条线段的长度, 利用特殊角的三角函数, 表示出相应线段的长, 最终将求证式中三条线段的长表示出来, 进而证明等式成立.

同余问题线段和差问题 篇3

评注例l涉及直线上一动点与两定点距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常分为两步：（1）求其中一定点关于定直线的对称点；（2）再求这个对称点与另一定点的距离即为所求最值；如果涉及求最值时动点位置，则联立对称点与另一定点所在直线方程和题中所给定直线求交点即为所求，

变式l看似涉及到两个根式函数和的最值问题，如果通过函数去求解，那会利用到导数，而且计算量较大；而通过转化为一动点到两定点的距离和的最值问题，再利用对称求解即可，

变式2看似是两个定圆上的动点与一个动点距离差的最大值问题，通过将与圆上的动点问题转化为与圆心的距离加减半径，可以将问题转化成一定直线上的动点与两个定点（即圆心）距离之差的最大值问题，再利用例l的方法求解即可得到所求最大值，

这类问题的通性通法是：利用对称将直线上的一动点与分布在其同侧（或异侧）距离最值问题转化为直线的一动点与分布在其异侧（或同侧）距离最值问题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，

评注例2涉及椭圆上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常可分两种类型：（1）先利用定义，将动点到一个焦点的距离与其到另一个焦点的距离进行转化，然后利用几何最值法最终解决（如例2（1）中差的最小值和例2（2）中和的最大值和最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值时，有时可不经定义转化，直接使用几何最值法（如例2（1）中差的最大值），具体属于哪一类型，应视定点在椭圆内、外的给定情况而定，

这类问题的通性通法是：利用定义将距离和（差）最值问题转化为距离差（和）间题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，

3.曲线为双曲线抛物线时，通过定义进行同侧异侧互化

评注例3涉及双曲线右支上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题。此类问题的求解通常可分两步：（1）通过定义将分布在双曲线右支同侧的两定点的距离之和问题转化为分布在双曲线右支异侧的两定点的距离之和问题（2）再利用三角形的性质和通用模式求得最值，

这类问题的通性通法是：利用定义将双曲线一支上的动点与分布在其同侧（或异侧）的两点距离最值问题转化为双曲线一支上的动点与分布在其异侧（或同侧）的两点距离最值问题，再利用三角形的基本性质判断最值，评注例4涉及抛物线上一动点与其外一定点及y轴距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与y轴距离转化为抛物线上的动点与其焦点距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点与其焦点及其外一定点距离之和问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，

变式3涉及抛物线上一动点与其内一定点及其焦点的距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与焦点的距离转化为抛物线上的动点与其准线的距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点到其准线及其内一定点的距离之和的问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，

同余问题线段和差问题 篇4

教学目标：通过本次课的的学习，正确运用和差问题、和倍问题、差倍问题的有关公式，理清题意，解决实际问题。

教学重点：分清类型，正确运用不同类型的数量关系。

教学难点：理清题意，准确判断题目是“和差问题、和倍问题、差倍问题”中的哪一类，然后正确运用相关的数量关系

需要课时：4课时 教学过程：

一、和差问题：

已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。基本数量关系是：

（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数

解答和差应用题的关键是选择合适的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。

例1：有甲乙两堆煤，共重52吨，已知甲比乙多4吨，两堆煤各重多少吨？

分析：根据公式，我们要找出两个数的和与差，就能解决问题。由题意：堆煤共重52吨知：两数和是52；甲比乙多4吨知：两数差是4。甲的煤多，甲是大数，乙是小数。故解法如下：

甲：（52+4）÷2=28（吨）乙：28-4=24（吨）

例2：两只笼子里共有15只鸡，从甲笼提出3只后，甲笼比乙笼还多2只，两只笼子原来各有多少只鸡？

分析：从题意知：甲比乙多5只，所以，两数和是15，两数差是5.甲是大数。

甲：（15+5）÷2=10（只）乙： 15-10=5（只）

练习：

1、两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨，两堆石子各有多少吨？

2、黄茜和胡敏两人今年的年龄 是23岁，4年后，黄茜比胡敏大3岁，问黄茜和胡敏今年各是多少岁？

3、把长84厘米的铁丝围成一个使长比宽多6厘米的长方形。长和宽各是多少厘米？

二、和倍问题

已知两个数的和，又知两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，这类问题称为和倍问题。

解决和倍问题的基本方法：将小数看成1份，大数是小数的n倍，大数就是n份，两个数一共是n+1份。基本数量关系：

小数=和÷（n+1）

大数=小数×倍数 或 和-小数=大数

例1 ：甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书是乙班的3倍，甲乙两班各有图书多少本？

分析：从题目中知，乙班的图书数较少，故乙是小数，占1份，甲占(3+1)份。

乙：160÷(3+1)=40（本）甲：160-40=120（本）

例2：果园里有梨树和桃树共165棵，桃树棵数比梨树棵数的2倍少6棵，梨树和桃树各多少棵？

分析：由题意，桃树增加6棵，桃树正好是梨树的2倍，这时总数就是：165+6=171，这样就转化成标准和倍问题，将梨树看成1份，一共是3份。梨树的棵数：171÷3=57，求桃树的棵数时要减去6棵。桃树：171-57-6=108 梨树：（165）÷（2+1）=57（棵）桃树：171-57-6=108（棵）练习：

1、小明和小强共有图书120本，小明的图书是小强的2倍，他们两人各有图书多少本？

2、果园里一共有桃树和杏树340棵，其中桃树比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

3、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须人乙仓库运出多少吨放入甲仓库？

4、一个长方形的周长是是30厘米，长是宽的2倍，求长方形的面积是多少？

三、差倍问题

已知两个数的差，并且知道两个数倍数关系，求这两个数，这样的问题称为差倍问题。

解决差倍问题的基本方法：设小是1份，如果大数是小数的n倍，根据数量 3

关系知道大数是n份，又知道大数与小数的差，即知道n-1份是几，就可以求出1份是多少。

基本数量关系：

小数=差÷(n-1)大数=小数×n 或 大数=差+小数

例1：一张桌子的价格是一把椅子的3倍，购买一张桌子比一把椅子贵60元。问桌椅各多少元？

分析：桌子的价格与椅子的价格的差是60，将椅子看成小数占1份，桌子占3份，份数差为3-1，根据数量关系：

椅子的价格：60÷（3-1）=30（元）桌子的价格：30+60=90（元）

例2：两筐重量相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐剩余的苹果是乙筐的3倍，原来两筐各有苹果多少千克？

分析：两筐苹果的重量相同，故两筐卖出的数量差即是原来苹果的数量差。两筐苹果的差为19-7=12（千克），将乙筐看成1份，甲筐为3份，份数差为2.乙筐现有苹果：（19-7）÷（3-1）=6（千克）乙筐原来有：6+19=25（千克）甲筐原来有25千克。

练习：

1、甲桶酒是乙桶酒重量的5倍，如从甲桶中取出20千克到入乙桶，那么两桶酒重量相等。两桶酒原来各多少千克？

2、六、一班有花盆的数量是六、二班的3倍，如果六、一班再购买20个花盆后，两班花盆数相等，两班原有花盆多少个？

作业：

1、甲、乙两桶油共重100千克，从甲桶中取出5千克放入乙桶中，此时两桶油正好相等。求两桶油原来各有多少千克？

2、甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放入乙箱中，则两箱中洗衣粉的袋数相等。求原来两箱洗衣粉各有多少袋？

3、刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步，每天跑6圈，共跑2400米，问这个操场的面积是多少平方米？

4、小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3倍？

5、有两段一样长的绳子，第一根剪去21米，第二根剪去13米后是第一根剩下的3倍，两根绳子原来有多长？

四年级数学和差问题 篇5

1、四、五年级共收集树种145千克，五年级比四年级多收集17千克。求四、五年级各收集树种多少千克？

2、水果店运来苹果和梨共128箱，卖出12箱苹果后，苹果与梨的箱数一样多。运来的梨有多少箱？

3、康藏公路和青藏公路共长4355千米，康藏公路比青藏公路长155千米。两条公路各长多少千米？

4、小明期末考试语文、数学平均分是95分，数学比语文多8分，问数学考了多少分？

5、用长180厘米的铁丝围成了一个长方形，一边的长比一边的宽多10厘米。这个长方形的宽是多少厘米？

6、甲、乙两个车间共有工人180人，从甲车间调走30人到乙车间后，甲车间仍然比乙车间多12人，甲车间原有多少人？

7、四年级3个班共有136人。已知一班比二班多3人，三班比二班多4人，求每个班各有多少人？

8、光明小学四、五、六年级共有学生360人，四年级比五年级多12人，六年级比五年级少18人，六年级有多少人？

9、有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量分别是83千克、85千克和86千克。问其中最轻的箱子重多少千克？

10、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。问甲班和丁班共多少人？

参考答案：

1、四年级64千克

五年级81千克 2、58

3、康藏铁路2255千米

青藏铁路2100千米 4、99 5、40 6、126

7、一班46人

二班43人

小升初数学和差倍问题的练习题 篇6

1. 四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是134人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人?

解答：用131+134=265，这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用 265-1=264就刚好是3个乙、丙的和，264÷3=88，就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四个班的和是88+89=177 人.

2. 有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少?

解答：大家想想，我如果把4个数全加起来是什么?实际上是每个数都加了3遍!大家一定要记住这种思想!(45+46+49+52)÷3=64就是这四个数的和，题目要求最小的数，我就用64减去52(某三个数和最大的`)就是最小的数，等于12.

3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。

解答：对于这个题来说，首先要判断个位是多少，这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，说明个位只能是0或5!先看0，很快发现不行，因为20×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是几十乘以9，结果百位总比十位小，所以各位只能是5。略作计算，不难发现：15，25，35，45是满足要求的数

初三复习中的线段中点问题 篇7

1梳理与中点有关的知识，使中点知识体系化

把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点，这是线段中点的定义，由线段的中点我可以得到线段之间的和差倍分关系.三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，对于等腰三角形有其特有的性质，遇到底边上的中点，想到三线合一，对于直角三角形遇到斜边上的中点常想到“斜边上的中线，等于斜边的一半”这一重要性质，三角形中遇到两边的中点时，常常想到三角形的中位线定理，平行四边形中，两条对角线的交点平分两条对角线，圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理及其推论”等知识.但学生怎样通过中考前的总复习把这些知识系统化，形成自己头脑中的知识体系呢？教师在课堂上就要有意识地通过让学生做一些相关题目体会这些知识与方法，熟悉解题策略，在解题训练中掌握基本图形，不断地总结提炼并灵活运用.教师依托不同类型的题目和典型例题，借助问题串，帮助学生学会解决问题的方法，在帮助学生体会方法的过程中逐渐地形成解题经验，在比较复杂的图形中会灵活的运用中点的知识解决问题，再通过学生自主梳理知识，构建自己的知识网络图，使知识体系化.线段中点知识网络图

2借助与中点有关的题目，学会运用中点的方法

2.1借助已有知识，直接运用中点解决问题

例1（2013北京）如图1，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.图1

分析题目以矩形为背景，含有直角三角形，有矩形对角线即直角三角形斜边中点，可知OB=12AC，M为AD中点，想到两中点得到三角形的中位线，OM=12CD，进而解决问题.

2.2利用中点，结合几何图形，添加合适的辅助线

（1）题目中有中点，有时需要倍长中线

例2如图2，在△ABC中，AD为BC边上的中线.求证：AB+AC>2AD.

分析延长AD至点E，使DE=AD，连接CE.易证△ABD≌△ECD.所以AB=EC.

在△ACE中，因为AC+EC>AE=2AD，所以AB+AC>2AD.当然此题也可以连接BE，证明△ADC≌△EDB.

（2）挖掘题目中的隐含条件，发现中点，并运用中点

例3（2013乌鲁木齐）如图3，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为.图2图3

分析AE是角平分线，CF⊥AE于F，当角分线遇上垂直往往要构造等腰三角形，因此延长CF交AB于G，所以△AGC为等腰三角形，由三线合一可知，F为CG的中点，已知AD是中线，可知D为BC边中点，DF为△CGB的中位线，DF=12BG，DF=12（5-2）=32.

（3）多种方法构造中心对称图形或构造中位线解决问题

例4如图4，在△ABC中，D是AB的中点，AC⊥CD，tan∠BCD=13，求∠A的正切值.

分析本题由于要利用tan∠BCD，所以要构造与∠BCD有关的直角，由于平行线

有转移角的功能，考虑到D是AB的中点，因此可以利用中位线或构造中心对称图形，把∠BCD转移到直角三角形中，或把直角移到∠BCD所在的三角形中来（图5～图9）.

综合运用中点，提升解题能力

3.1利用中点，构造全等三角形，解决线段之间的数量关系

题目中有平行线和线段中点时，可以构造三角形全等，得到“八字形”全等的基本对称图形，进而利用对应边和对应角相等，再利用特殊三角形的其他性质，进行线段之间数量关系的计算和证明.

例5已知：如图10，在△ACB和△AED中，点E在AC上，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，连结BD，取BD的中点F，连结CE、FE.请你探究线段CE与FE之间的数量关系.图10图11

分析要研究CE与FE之间的数量关系，就要结合△ACB和△AED均为等腰直角三角形，把CE与FE放在特殊三角形中来解，DE∥BC，F为BD的中点，有平行有中点，就要想到延长EF交CB于点G，构造如图11的“八字形”全等的基本图形，得到△DEF≌△BGF，所以EF=FG，进而在等腰直角△ECG中，得到CE=22EG，EF=12EG，CE=2EF.

例6如图12，四边形ABCD和ECHF都是正方形，连接AF，M是AF中点，连接DM和EM.点B、C、H在一条直线上.求证：DM=EM.图12图13

分析要证明DM=EM，结合四边形ABCD和ECHF都是正方形，M是AF中点，就要想到延长DM交EF于点G，构造如图13的“八字形”全等的基本图形，得到△ADM≌△FGM，所以DM=GM，而Rt△EDG中，M为DG中点，EM=12DG=DM.

3.2借助中点，利用特殊三角形的性质，解决线段之间的位置关系

例7如图14，在△ABC中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，D是BC边上的中点，连接EF，点H是EF的中点，求证：DH⊥EF.图14图15

分析△ABC中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，两条高提供了共用一条斜边的两个Rt△BCF和Rt△BCE，如图15，由于D是BC边上的中点，所以连接FD和ED，得到，FD=ED=12BC，进而得到等腰△DFE，加上点H是EF的中点，利用等腰三角形的三线合一性，证得DH⊥EF.

3.3在图形变换中利用中点解决线段之间的数量关系和位置关系

例8如图16，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值.（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；

（2）将图16中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图17）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

分析（1）图16中线段DF的两端存在平行线，P是线段DF的中点，容易想到前

面提到的做法，延长GP交CD于点H，如图18，易证△DHP≌△FGP.进而得到

DH=GF=BG，PH=PG，CH=CG，△CHG为等腰三角形，由三线合一可知PG⊥PC，PG[]PC[SX）]=3

（2）结论不变，如图19，同样可以证得△CHG为等腰三角形，∠HCG=120°，

得到结论.

画线段图解决问题2 篇8

小学数学课程中解决问题既是教学中的重点，也是教学中的难点。小学数学课程中有不少问题，文字叙述比较抽象，数量关系十分复杂，小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。如果教师单一的从字面去分析题意，用语言来表述数量关系，学生却难以理解和掌握。即使是学生理解了，也只是局限于会做某个题了，而解决不了同类型问题，俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔”。一个教师不仅要教给学生知识，更重要的是交给学生学习知识的方法。线段图在解决小学数学应用题中，能化抽象为直观，化复杂为简单，化困难为容易。起到了奇妙的作用，它可以帮助学生轻松、愉快的学会解决复杂关系的应用题，既培养了学生的能力，又促进了学生了思维的发展。

一、线段图解决问题是数学教学理念中培养学生“几何直观”能力的重要体现。

1、借助于线段图解题，可以化抽象的语言到具体、形象、直观图形。小学生年龄小，理解能力有限，而且社会经历又少，给理解题意带来很大的困难。教师引导学生用线段图的形式表示题目中的数量关系，更直观，形象，具体。

2、借助线段图，可以化难为易，判断准确。

有的题目，数量关系比较复杂，学生难以理清，借助线段图可以准确的找出数量间的对应关系，很容易解出要求的问题。

3、借助线段图，可以化繁为简，发展学生思维。

题目数量较多，数量关系学生感觉比较乱，学生容易混淆。通过画线段图，可以帮助学生理清其中的数量关系。

4、借助线段图，可以化知识为能力。线段图不但使学生解决问题不再困难，而且借助线段图，可以对学生进行多种能力的培养。如一题多解能力的培养、根据线段图来编题，进行说话能力的培养、还可以直接根据线段图进行列式计算。线段图画的美观大方，结构合理，还可以对学生进行审美观念，艺术能力的训练。

二、画线段图解决数学问题时注重数学思想的渗透。

小学数学基本思想是指：渗透在小学数学知识与方法具有普遍而强有力适应性的本质思想。就其具体内容而言，可以分为转换思想、对应思想、归纳思想、化归思想、类比思想等，这些思想是整个小学数学的基石，也是数学通向科学殿堂的桥梁。因此教师在培养学生利用画图策略解决实际问题的过程中应有意识的渗透数学思想，从而来培养和发展学生的数学能力。

（1）数形结合的思想

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题和解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

（2）转化的思想

转化思想是数学的基本思想之一，我们在小学数学教学中，应当结合具体的教学内容，渗透数学转化思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。有些应用题，按原题的条件，数量关系解答起来比较复杂，如果根据知识之间的内在联系，变换一种方式去思考，恰当地运用直观图形转化题中的数量关系，把原来的问题转化为另一种容易解决的问题，从而打开解题思路，顺利解决问题。例如：条件的转化，单位“1”的转化、行程问题、分数问题与比例应用题之间的转化等等。

在运用画图策略解决问题的过程中，除了渗透上述数学思想方法外，还可以适时渗透假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。在教学中渗透和运用这些教学思想方法，不仅可以增强学习的趣味性，调动学生学习的主动性，还可以发展学生思维的灵活性和数学智能，有助于学生数学素养的全面提升。

三、画线段解决问题注重培养学生画线段图的能力

1、从低年级开始，培养画简单线段图的习惯。有人认为用线段图帮助解题是高年级的事，是比较难的题才使用的方法，中低年级和比较简单的应用题不需要画画线段图。这种认识是不适当的。有的学生也错误的认为，这么容易的题，我不画图就能理解题意，把题做对，何苦去自找麻烦。教师要讲清，如果从小基础打不牢固，到高年级遇到比较难的应用题，需要画线段图辅助解题的时候，就会画不出来或画不正确，解题的能力就会的大大降低，就会影响思维的发展。所以，线段图的培养一定要从中低年级培养，从简单题入手，从小养成画图解题的意识和良好的画图技能技巧，打下坚实的基础，到高年级才能如鱼得水，应用自如。

2、学会画图是关键。学生刚学习画线段图，不知道从哪下手，如何去画。教师的指导、示范就尤为重要。教师可以指导学生跟教师一步一步来画，找数量关系。也可以教师示范画出以后，让学生仿照重画一遍，即使是把老师画的图照抄一边，也是有收获的。学生可边画边讲，或互相讲解。教师对有困难的学生一定要给以耐心的指导。学生掌握了一定的技能后，教师可以放手让学生自己去画，教师给以适时的点拨，要注意让学生讲清这样画图的道理，可自己讲，也可分组合作讲。教师一定要让学生体会用图解题的直观，形象，体会简洁、方便、易理解的特点，提高应用的自觉性、主动性。

3、学会分析是重点。只会画线段图，不会分析，不会用线段图解决实际问题，画线段图就没有意义了。怎样分析线段图？要做到以下三点：

（1）、认真读题，全面理解题意，所画的图要与题目中的条件相符合。（2）、图中线段的长短要和数值的大小基本一致，不要长的线段标出小的数据而短的线段标出大的数据。图要画的美观、大方、结构合理，具有艺术性。（3）、要按照题目的叙述顺序，在图上标明条件。对于双线段并列图和多线段并列图一定要分清先画和后画的顺序，要找准数量间的对应关系，明确所求的问题，弄清个部分之间的关系。这是分析题意和列算式的重点，需要进行大量的训练才能提高分析问题和解决问题的能力，并非一日之功。掌握一个解题方法，比做几十道题更重要。实践证明，线段图具有直观性、形象性、实用性，如果学生从小掌握了用线段图辅助解题的方法，分析问题和解决问题的能力将会有大大的提高，对学生今后的学习有很大的帮助。

我们知道线段图是一种重要的数形结合的数学思想方法，是《小学数学课程标准》（2011版）中要求培养学生“几何直观”的数学能力的具体体现，利用线段图可以帮助学生轻松、愉快的分析和解决复杂关系的应用题。既培养了学生的分析能力，又促进了学生思维的发展，是小学数学解决问题中的重要学习方法。

李建林 甘肃省兰州市榆中县上蒲家小学 730100 摘 要：在小学阶段，学生们最多接触的图形就是线段图。而线段图作为培养学生们数形结合思维的启蒙点，是教师与学生在课堂上分别进行教学与学习的辅助工具。对线段图进行运用，可以对复杂的数学问题进行解决，并且提高解题速度，打开做数学题的思路。本文主要针对线段图方法在小学数学解题中的作用进行了相关探讨。

关键词：线段图 小学 数学 解析

线段图在小学数学教学中是很常见的教学辅助工具，可以通过简单的线段将复杂的数学关系表示出来，并且以直观形象的图形将抽象的数学语言表达出来。运用线段图可以提高教师的教学效率，而且有利于学生们了解复杂的数量关系，并对相关问题进行解决。

一、线段图概述

在小学数学教学过程中，线段图教学是非常重要的教学策略，可以实现形象思维到抽象思维的过渡。而且，在解决问题教学中，线段图可以对数学信息之间的联系进行分析，从而构建数量关系模型以解决数学问题。线段图可以将抽象化的数学知识以直观形象的图形表达出来。

二、在应用题中的线段图应用分析 1.数学信息解读分析

解题的第一步就是对数学信息的正确解读，因此，教师应该先引导学生们对数学信息进行仔细观察，并且对其进行判断。当数学信息表述比较抽象时，应该使用线段图对其复杂的个方面，可以举出以下例子：

桃子有20个，而苹果个数与桃子相比多了3倍，香蕉个数则是桃子个数的2倍。可以提问：香蕉个数与苹果个数相比，少多少？

针对这一道题，学生们首先应该对香蕉个数与苹果个数进行明确，从而根据相关条件对其进行计算。而“苹果个数与桃子相比多了3倍”很容易被误解成“苹果个数是桃子个数的3倍”，因此，必须引导学生们对数学信息进行正确的读取。教师可以先将桃子、香蕉、苹果的个数分别以线段a、b、c来表示。香蕉个数为桃子个数的两倍，则两个线段a组成线段b。而苹果个数与桃子个数相比多了3倍，即为线段a多三个线段a。因此，根据已经明确好的线段图，可以让学生们清晰观察到四个a即为c，两个a即为b，而c与b相比多两个a。这样就可以快速算出结果，即香蕉个数与苹果个数相比少40个。

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2.数学信息关系模型分析

在这个方面，可以举出以下例子：

一位农夫养了鸡、鸭、鹅三种家禽，其中鸡的只数为72，鸭的个数与鸡的个数相比少3/4，鹅的个数与鸭的个数相比则多1/2。问：鸭和鹅的只数各为多少？

这种数学应用题主要考分数乘法，其关键即为鸭的只数。小学生通常都会在刚开始接触这种题目时很难理解其中的数学信息，并不理解只数少3/4的意思。因此，教师可以将鸡的只数以线段a来表示，并且将线段a进行平分，段数为4。鸭的只数以线段b来表示，而鸭的个数与鸡的个数相比，少3/4，也就是线段b占了线段a四段中的一段。因此，学生们可以通过线段图形而明白“鸭的个数与鸡的个数相比，少3/4”的意思即为鸭的只数为鸡的只数的1/4，而72的1/4即为18。再采用相同方法将鹅的只数计算出来。3.思维品质分析

在这个方面，可以举出以下例子：

一辆卡车从甲城出发，目的地为乙城。同时，一辆汽车从乙城出发，前往甲城。当卡车行驶了整个路程的三分之一时，汽车已经行驶了整个路程的四分之一。而这个时候，卡车与汽车的距离为60千米。则可以提问：甲城与乙城的距离为多少？

这个例子应该通过线段图来将其复杂的数量关系清晰地表达出来。整个线段为1，表示

a表示，是全程的1/3；汽车的路程可以表示为线段b，是全程的1/4；而卡车与汽车之间的距离即为线段c，线段c和线段a、线段b的和即为全程。因此，可以求得c的数值为5/12，甲城和乙城之间的距离为60km/c=144km。这个例子还可以采用多种方法来解答，从而培养学生们的发散思维，提高学生们的思维品质。

四下教案画线段图的策略解决问题 篇9

教学内容

2013苏教版四年级下册第五单元第48～49页，练一练与练习八部分内容。

教学目标

1、知识与技能

（1）使学生初步学会用画线段图的策略理解题意、分析数量关系，确定合理的解题思（2）会判断什么样的应用题属于和差、和倍、差倍问题，并会利用线段图解决此类问题。

2、过程与方法

（1）在不断反思中，使学生感受用画示意图的方法整理信息对于解决问题的价值，体会到画线段图整理信息是解决问题的一种常用策略。

（2）回顾、掌握并熟练运用“其他解题方法或者把结论当成已知条件，采用倒推的方法”这两种应用题的检验方法。

3、情感、态度、价值观

（1）使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。

教学重点

会正确画出线段图并运用线段图整理有用的数量及数量关系，弄清题目中的已知条件和所求问题。

教学难点

（1）运用线段图分析题目中的数量关系，形成解题思路，成功解决问题。（2）培养学生通过画图解决实际问题的策略意识。

教具与学具

多媒体课件、直尺或三角板、苹果12个

教学过程

一、复习旧知，唤醒学生对线段图画法、对解题的帮助及意义的回忆。

1、根据已知条件提出不同的问题，并说说怎样解答。

提问：说说上面运用什么策略来解决问题的？ 生：画线段图的策略解决问题

根据回答，揭示本节课的课题，板书：画线段图的策略解决问题 追问：你会画线段图吗？ 生：会。

指名同学板演，并说说画线段图的顺序及需要注意的地方，其余学生用直尺或三角板在草稿纸上画。

师巡视指导。

最后用ppt动态展示画线段图的一般流程及注意事项。师：我们在哪些方面运用过画线段图的方法解决问题？

生1：三年级上册，关于绿花、黄花、红花之间关系，求红花朵数。生2：在路程方面，求相遇时间或两者距离。生3：„„

师根据回答情况，简练其答案，有困难的可以适当提示，最后师生共同小结。师：画线段图有什么作用？对解决问题有什么帮助？ 生1：可以让题目一目了然，很清楚。生2：整理数据，分析数量关系。生3：想解题思路。生4：„„

师根据回答情况，简练其答案，有困难的可以适当提示，最后师生共同小结。

二、探究新知

1、出示题目1 丁丁有6个苹果，丁丁比明明多2个苹果，他们俩一共有几个苹果？

学生口述，老师根据回答情况，运用ppt呈现其结果。明明：6-2=4(个)一共：6+4=10（个）

追问:如果要使两人苹果数量一样多,你有什么办法? Ppt展示两人所拥有的苹果的数量图片，学生可以用自己喜欢的图形来表示苹果，自己尝试自主探究，独立思考。

根据学生的回答，老师也有自己的方法，ppt展示三种方法，即方法一：保持丁丁的苹果数不变，明明增加2个苹果；方法二：保持明明的苹果数不变，丁丁减少2个苹果；方法三：保持苹果总数不变，丁丁给明明1个这三种方法。

提问：方法三中为什么不给2个，而是1个？如果多的不是两个呢？

生1：给2个后，明明是6个，丁丁是4个，明明比丁丁多2个，两人苹果数仍然不相

等。

生2：要给明明多出来苹果的一半。师：怎样确定多出苹果的一半？ 生2：除以2。

追问：如果多出的苹果数是3呢？5呢？ 生3： 不够除，有余数。

引导：多出的苹果数是怎样的才够除呢？ 生3:

4、6之类的双数。

提问： 说说这三种方法,各自变化特点,什么变了?什么不变? 变后有什么特点？ 生1：方法一，丁丁苹果数不变，明明苹果数增加2个，导致最终苹果总数随之增加了2个。两人苹果数一样多，苹果总数是丁丁苹果数的2倍。

生2：方法二，明明苹果数不变，丁丁苹果数减少2个，导致最终的苹果总数随之减少2个。两人苹果数一样多，苹果总数是明明苹果数的2倍。

生3：方法三，苹果总数不变，丁丁苹果数减少1个，明明苹果数随之增加1个。两人苹果数一样多，苹果总数是丁丁苹果数的2倍，也是明明苹果数的2倍。

提问：如果我们知道两人苹果总数，和两人苹果的差数，你能借助此思路求解两人的苹果数吗？

2、出示题目2 丁丁与明明一共有10个苹果，丁丁比明明多2个苹果，两人各有几个苹果？（1、两题有什么联系？

2、说说你了解到那些数学信息？

3、你想运用什么策略？）

指名学生读题。同学们独立思考，举手回答问题。根据学生回答，让学生尝试画画线段图，教师巡视指导。Ppt展示线段图

Ppt出示问题：

1、你能通过线段图，借助上面三种你喜欢方法的来解决此问题吗？

2、你知道应用题的检验方法吗？你会检验本题吗？

指名三位同学上台板演，分别指定一种方法作答并检验。其余同学分三大组也是如此。教师巡视，指导。

最后师生共同订正，讲评。

3、教学“练一练” Ppt出示“练一练”内容：

要求：分三组练习分别运用指定一种方法练习。

教师巡视、指导。最后讲三位同学陈述方法，ppt展示其相应解题过程。

4、ppt出示题目4 一个双层共有240本书，上层书的本数是下层的3倍。这个书架上下两层分别有多少本书？

全体学生共同读题，找出数量关系，独立画线段图解题并指名学生板演。教师巡视、指导。

师生共同讲评、订正，ppt展示相应的解题过程。

5、ppt出示题目5

全体学生共同读题，找出数量关系，独立画线段图解题并指名学生板演。教师巡视、指导。

师生共同讲评、订正，ppt展示相应的解题过程。

6、总结：学过这节课，你有什么要说的？

7、作业：课本第52页练习八第2、4题

板书设计：

明明

丁丁

画线段图的策略解决问题

方法一：增加2个

方法二：减少2个

方法三：差数再分配

教学反思