线段关系

线段关系（精选11篇）

线段关系 篇1

众所周知, 等腰三角形顶角的三特殊线段 ( 顶角的平分线, 底边上的高和中线) 合一, 至于直角三角形直角三特殊线段如何呢? 课本中没有这方面的内容, 因此, 在教学之余的研究中, 获得直角三角形直角三特殊线段之间的关系归纳整理于后, 以资同仁参考.

引论1: 在直角三角形中, 直角三角形斜边上的高等于两直角边的积与斜边之长的比.

( 如图1, 易证CD =ab/c)

引论2: 在直角三角形中, 直角平分线的长等于两直角边a, b之积的倍除以它们之和的商.

已知: 如图2, 在△ABC中, ∠ABC = 90°, AC = b , BC = a , AB = c , CE是∠ABC的平分线.求证:

证明设CE = y, AE = x,

那么BE = c - x,

由勾股定理得

∵CE是角平分线,

由引论得到:

结论1 ( 角平分线———高) 在直角三角形中, 直角平分线的长除以斜边上的高等于斜边的倍除以两直角边的和.

已知: 如图3, 在△ABC中, ∠ACB =90°, AC = b, BC = a, AB = c, CE是∠ACB的角平分线, CD是斜边上的高. 求证:

证明由引论, 得:

结论2 ( 中线———高) 在直角三角形中, 斜边上的中线与斜边上的高的积等于两直角边的积的二分之一.

已知: 如图4, 在△ABC中, ∠ACB = 90°, AC = b, BC = a, AB = c, CD, CE分别是斜边上的高和中线.求证: CE·CD =1/2ab.

证明由引论1得: CD =ab/c.

又∵∠ACB = 90°, CE是AB边上的中线,

∴ CE =1/2c. ∴ CE·CD =1/2ab.

由引论1和引论2得到:

结论3 ( 中线———角平分线) 在直角三角形中, 斜边上的中线与直角平分线之积等于直角三角形三边之积除以两直角边之和的商的倍.

( 如图5,

结论4 ( 中线———高———角平分线) 在直角三角形中, 直角平分线平分斜边上的高与中线的夹角.

已知: 如图5, 在△ABC中, ∠ACB =90°, CE是角平分线, CD, CF分别是斜边AB上的高和中线.求证: CE平分∠DCF.

证明在Rt△ABC中, CD⊥AB, ∴∠ACD = ∠B

又∵CF = BF, ∴∠BCF = ∠B, ∠ACD = ∠BCF.

∵CE是∠ACB的平分线,

∴∠ACE = ∠BCE.

∴∠DCE = ∠FCE, 即CE平分∠DCF.

例1如图6, 在△ABC中, ∠ACB是直角, AC∶BC = 3∶5, ∠ACB的平分线CE = 17 cm, 求AB边上的高CD.

解∵AC∶BC = 3∶5, 不妨设AC =3k, BC = 5k,

例2在直角△ABC中, ∠C =Rt∠, 作∠C的平分线与AB交于E, 与AB的垂直平分线交于M. 求证:FC = FM.

证明过C作CD⊥AB, 又∵FM⊥AB, ∴CD∥FM.

∴∠DCM = ∠M.

由结论4知: ∠DCM = ∠MCF,

∴∠MCF = ∠M. ∴CF = MF.

线段关系 篇2

【教学内容】

教材第5、6页的内容及练习一的第6、7题。【教学目标】

1.创设情境，让学生自己观察，感知线段，体验线段的两个特征：直的和可度量的。

2.通过实践活动，使学生学会量线段、画线段的方法。

3.培养学生的观察、想象、操作能力，合作意识以及运用知识解决实际问题的能力。

【重点难点】 1.体验线段的特点。2.会量、画线段。【教学准备】 课件，刻度尺。

【教学过程】

一、复习导入。

1、课件出示题目，学生完成习题。

2、引入课题，板书课题。

二、探究新知 一）、学习例6。

1、课件出示一条弯曲的线，请学生量量这条线段的长度。

2、这样弯曲的线段量长度的话方便吗？你有什么办法解决这个问题？

3、课件出示一条拉直的线，告诉学生：拉紧的一段线，可以看作一条线段。

4、学生在教室里找你所看到的线段，并说一说。

5、学生总结线段的特点。

6、教师总结：线段是直的，可以量出长度。二）、学习例7。

1、课件出示例7，学生读题目要求。

2、学生说一说应该怎么画？

3、学生说，教师相机课件出示画线段的方法。A、左手握住尺子，右手握笔。

B、从尺子的刻度0开始画起，画到刻度3的地方停止。C、再在线的两端各画上一个端点。

4、教师总结：线段是直的，可以量出长度，还有两个端点。

三、巩固提高。

1.你能看出下面哪条线长吗？在长的线段后打“√”。

2.下面哪些是线段，在（）里画 “√”。

3.填一填。

（1）线段是（）的，有（）个端点。

（2）两点之间可以画（）条线段。4.数一数，图中有（）条线段。

四、课堂小结。

今天我们认识了线段和学习了量画线段。我们还知道了线段的特点： 1.线段是直的。2.有 2 个端点。3.线段是有长有短的。

话说线段、射线、直线 篇3

一、 线段、射线、直线的区别与联系

注：（1） 表示线段的字母是无序的.如线段AB与线段BA，表示同一条线段.

（2） 表示射线的字母是有序的.端点在前，任意点在后，如射线OA.

（3） 表示直线的字母是无序的.如直线AB与直线BA，表示同一条直线.

二、 概念辨析

例题 下列说法中，正确的是（ ）.

A. 射线OA和射线AO表示同一条射线

B. 延长直线AB

C. 一条射线有两个端点

D. 直线AB与直线BA表示同一条直线

【错解】A或B或C.

【错解原因】未正确理解射线和直线的表示方法等知识点.

【解析】A这种说法是错误的，表示射线的字母是有序的.端点在前，任意点在后.射线OA的端点是点O，而射线AO的端点是点A，它们表示的不是同一条射线.

B这种说法是错误的，直线AB本身就能向两方无限延伸.

C这种说法是错误的，一条射线只有一个端点，线段才有两个端点.

【正解】D.

三、 数线段、射线、直线的技巧

例题 具备什么条件的两条射线是同一条射线？

（1） 如图1射线AB和射线AC是同一条射线吗？

（2） 如图2射线AB和射线BC是同一条射线吗？

（3） 如图2射线AB和射线AD是同一条射线吗？

【解析】射线关键在于定端点，看方向.

（1） 射线AB和射线AC，端点同，但方向不同，所以不是同一条射线.

（2） 射线AB和射线BC，方向同，但端点不同，所以不是同一条射线.

（3） 射线AB和射线AD， 端点同，方向同，所以是同一条射线.

练习：如图3，经过点C的直线有_______条，它们是___________；

可以表示的以点B为端点的射线有_______条，它们是___________；

有线段___________.

【解析】经过点C的直线有2条，它们是直线AC，直线BC.

以点B为端点的射线有4条，定端点B，看方向，在B处能找到4个方向，所以射线有4条.但是能用字母表示的射线只有两条，分别是射线BA和射线BC.另外两条射线各自缺少一个大写字母，不能表示出来.

数线段时可以将多余的部分忽视，如图4.

很清晰地观察到线段有3条，分别为线段AC，线段AB，线段BC.

四、 生活中的应用

实践告诉我们一些基本事实：两点之间线段最短；两点确定一条直线.在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它，接下来我们举几个例子，让我们感受一下生活中的数学的应用：

1. 从甲地到乙地能否修一条最短的路？如果能，你认为这条路应该怎么修，请在图中画出这条路，并说明理由.

2. 如果你想把一根细木条固定在墙上，至少需要钉几个钉子？理由是什么？

3. 建筑工人在砌墙时会在墙的两头分别固定两枚钉子，然后在钉子之间拉一条绳子，定出一条直的参照线，这样砌出的墙就是直的，什么原因？

4. 植树时，要把一排树植整齐，要怎么办？

答案：

1. 连接甲地和乙地.两点之间线段最短.

2. 两个钉子.理由是两点确定一条直线.

3. 理由是两点确定一条直线.

4. 只要定出两个树坑的位置就能确定同一行的树坑所在的直线.

（作者单位：江苏省吴江区实验初级中学）

线段关系 篇4

一重印象:生活中的线段

【教学回顾一】变曲为“直”, 初步认识线段

1. 教师出示一段毛线并拉直, 告知学生:

把线拉直, 两手之间的一段就是线段。捏住的毛线的两头, 在数学上叫做线段的端点, 线段有两个端点。

2.初步描述线段的特点。 (直的, 两个端点)

3.变换角度, 拉直长短不一的毛线再次感知线段特点。

4.到自己周围寻找线段。 (发现:直尺、课本、黑板的每条边都可以看成是线段)

【思考:概念, 作为一种思维形式, 是在对感性材料充分感知的基础上形成的。低年级孩子的思维以直观形象思维为主, 对概念的理解要以实物或实物的外部特征为依据。毛线——这个具有线段本质特征的物象, 作为线段的“生活原型”出现, 为学生建立线段的视觉表象提供了第一个感知材料。教者通过拉直毛线, 让学生体验线段“直”的特点, 同时认识线段的两个端点。为了能加深学生体验, 让学生亲自动手将毛线拉直, 并通过语言描述帮助学生直观形象地初步建立线段的表象。教者变换角度和方向将毛线拉直, 是利用变式规律帮助学生形成科学的概念。让学生到周围寻找线段, 既加强实物感知, 又强化线段的特征。直尺、课本、黑板的边, 这些生活中的线段为概念的建立提供了丰富的感知材料。】

二重印象:数学中的线段

【教学回顾二】操作中建构线段模型

1. 画线段并交流画法。

(你能根据感受到的线段的特点, 把它画在纸上吗?试一试。你是怎样画线段的?为什么这样画?)

2. 判断中舍弃非本质属性。 (说一说哪些是线段, 哪些不是线段。为什么?)

【思考:操作是形成几何概念的基础, 新课标倡导要让学生在具体情景和数学活动中体验。在学生建立丰富的表象之后, 教者引领学生利用工具画线段, 并交流画法;在判断中教师从不同角度、不同方面突出线段的本质属性, 通过说理由, 帮助学生舍弃非本质属性。在“画”和“说”的过程中, 操作与思维交替往复, 学生对线段的本质属性有了更清晰的认识。这一过程, 教师在实物与本质间搭建桥梁:让学生在做中学、做中思、做中悟, 把学生的学习推向深入。这样, 由实物感知到表象建立, 由语言描述到抽取出线段图形, 逐步抽象, 凸显线段实质, 促使学生自觉建立线段模型, 从而帮助学生建立起科学的概念。】

三重印象:应用中的线段

【教学回顾三】拓展中深化认识

1.出示校园环境图片, 找一找哪些物体的边可以看成线段。

2. 从平面图形中数出线段。 (三角形、四边形、五边形……分别由三条、四条、五条线段……围成)

3. 用长方形纸折出线段, 在折中比较长短。

4. 在点 (两点、三点、四点) 之间连线段。

直线、射线和线段 篇5

直线上两点间的一段叫线段 有限 两个端点是直线的一部分

射线 无限 一个端点

《认识线段》教学设计 篇6

义务教育课程标准实验教科书小学数学二年级上册48—49页的内容。

教学目标

1.通过操作、观察，初步认识线段，知道线段的特征，会用直尺画不定长的线段。

2.在观察、操作中逐步培养思考、探究的意识和能力，并发展空间观念。

3.在生动活泼的情境中乐于学习，能积极主动地参与学习活动，感受生活中的数学事实。

教学重点

掌握线段的特征。

教学难点

线段表象的建立。

教学用具

直尺，毛线，课件， 每个学生一张白纸、一张长方形纸片。

教学过程

一、创设情境、引入新课

谈话：老师给小朋友带来一位特殊的客人（蓝猫）。这位蓝猫十分好客，她还还给小朋友带来一份礼物，想看看蓝猫带给我们的是什么礼物吗？

老师拿出一根毛线，放在实物投影上，请小朋友们仔细观察这根毛线，发现了什么？（生：弯的）

教师拿起毛线，两手把它拉紧，提问，现在怎么样了？（生：变直了）老师把毛线贴在黑板上。

师：现在，老师告诉大家，这时贴在黑板上的这段直的线就叫线段。（揭示课题：线段。）

（设计意图：抓住学生的年龄特征，创设蓝猫给小朋友带来礼物的情境，激发学习的兴趣，让学生在轻松愉悦的氛围中开始学习。）

二、观察探究，学习新知

1.认一认

人有高有矮，线段也有长有短，这条线段从这儿（一个端点）开始，到这里（另一个端点）结束，这两点有一个很好听的名字叫端点。（板书：端点）那么，线段有几个端点？（生：两个。）

学生指一指。

那你能说出线段有哪些特点吗？（线段是直的，有两个端点。）

那么，线段在图上怎么表示呢？

现在黑板上这条线段躺累了，它想下来走走了（取下线段），现在它站了起来，它是线段吗？这样是线段吗（分别呈I、/、＼、U型）？为什么？

线段是直的，有两个端点，位置可以不同，可以横着可以竖着，可长可短，但是弯弯曲曲的都不能说成是线段。

（设计意图：通过观察线段的图形，知道线段有两个端点，既激发了学生学习的兴趣，又直观形象的帮助学生形成线段的表象。）

2.找一找

小朋友们真聪明，蓝猫还带来了一群小朋友，想让大家从这些小朋友中找一找线段。（课件出示“想想做做1”。）

指名说说哪些是线段。

其实，在我们身边到处都可以看到线段。看看直尺、黑板、课本的每条边，它们都可以看成线段。

请小朋友们找一找身边还有哪些物体的边可以看成是线段？

（设计意图：数学学习并不局限于课堂，它应由书本走向生活。密切了数学与生活的联系。）

3.数一数

小朋友们真厉害，找到这么多线段。其实，我们前面学的一些图形里也有线段，你能找出来吗？（课件出示“想想做做2”）

指名找一找，并到课件前指指线段，然后说说图形是由几条线段围成的。（强调有顺序的数，并与四边形、五边形等知识联系起来。）

其余小朋友把数得的线段条数填在书上，指名反馈。

4.画一画

线段我们会也找了，也数了，但是蓝猫还有一个小小的请求。

你能画一条线段吗？

哪位小朋友愿意当一回勇敢的小画家？ 用手边的工具画一条线段。

学生自己画。

画完后请小朋友说给你同组的同学听一听，你是用什么画的？怎样画的？ （学生交流画线段的方法和步骤。）

（设计意图：学生积累了对线段的认识后，鼓励学生寻找、利用手边的工具画线段，让学生经历画线段的过程，自己得出画线段的方法。再鼓励学生在小组内交流，培养学生的合作意识。）

5.折一折

小朋友们表现得非常出色，为了奖励大家，老师告诉大家一个小秘密，其实，我们还可以折出线段来，让我们听听蓝猫是怎么说的。

（我们不仅可以画出线段，还可以折出线段来，不信的话你可以拿出一张纸来和老师一起折折看！）

拿出长方形纸片，教师示范折，要说明折痕才是线段（师：直吗？那么端点在哪？）。

（小组内折一折，说一说，比一比。）

（1）折一折，然后指给你的组长看一看你折的线段在哪里，指一指它的两端。

（2）折出的线段在小组里比一比，看谁的最长谁的最短。

（3）折出最长的线段。

怎么样，相信了吧，还可以折出线段来呢。那么我如果给你两个点，你能用直尺把这两点连成一条线段吗？

（1）在黑板上任意点两点，指名板演。

其余同学在自己课本上完成。

（2）如果有三个点呢？（课件出示“想想做做4”。）

想像一下，连出来的会是什么形状？到底是不是呢？试试看。

独立完成第5题，课件演示。

表扬画得好的小朋友。

（3）那么，如果有四个点呢？（课件出示“想想做做5”。）

学生独立完成。

你画出了几条？还有不一样的吗？（课件演示）

三、课堂总结，知识拓展

今天，蓝猫和我们一起去线段王国游玩，结果我们发现线段王国其实就在我们身边，你觉得有趣吗？好玩吗？哪位小朋友愿意说一说，你在线段王国里学到了什么？

（设计意图：让学生自己总结所学内容，有助于巩固所学知识，完善了知识结构，体验到探索成功的乐趣，树立学好数学的信心。）

老师相信蓝猫听了大家的回答一定和老师一样为大家高兴，那么蓝猫想带大家去它家作客，想去吗？真的很想去？下面我们就和蓝猫一起出发吧！（课件演示）

（1）去蓝猫的家有两条路，一条直的，一条弯的。你想走哪条？为什么？

（2）其实蓝猫的家就是由很多线段组成的，小朋友们，你们能用线段帮蓝猫设计更美丽的家吗？

学生画，画得好的贴在黑板上。

“画、量线段”教学建议 篇7

教学时, 要根据学生心理发展实际和思维特点, 引导学生联系已有知识和生活经验循序渐进地进行探究, 逐步加深对线段的认识。

通过教学, 应达到以下目标: (1) 观察、感知线段, 体验线段的两个特征:直的和可度量长度。 (2) 学会量线段、画线段 (限整厘米) 的方法。 (3) 培养学生的观察、想象、思维能力以及运用知识解决实际问题的能力。

教学重点是学会量线段、画线段的方法;教学难点是感知线段和体验线段的特征, 理解它的意义。

建议遵循以下基本思路教学:

一、顺势而为, 温故知新

可利用本单元例3“做一做”中要求学生用卷尺实际测量跳远的距离作为情境性材料展开教学, 不必另外再创设情境。这样, 既结合了学生的实际生活和操作体验, 又实现了新旧知识的自然衔接。

学生在用卷尺实际测量跳远距离的过程中, 至少明确了以下内容:要先确定两个点, 一个是起跳的点, 另一个是跳者脚后跟的落点 (终点) ;量的时候, 尺子要从起点拉到终点, 尺子要放平拉直, 这样才能量出准确的长度;不同的人跳远的距离有长有短。

下面这些都是线段。

让学生量一量这三条线段的长度, 讨论交流测量的方法。小结量法:先把尺上的0刻度对准线段的左端, 再看线段右端对着刻度几, 这条线段的长就是几厘米。

判断下面哪些是线段:

通过判断, 让学生进一步明确线段具有直的、有两个端点、可度量长度等特点。

二、引导探究, 感悟体验

教师出示前面测量长度用过的米尺, 说明也可以将米尺看做是一条线段, 并提示学生想一想在自己的身边有哪些东西可以看成是线段。引导学生找出:桌子的边、书本的长 (或宽) 、铅笔的长、窗子的长 (或宽) 等都可以看成是线段。

让学生摸一摸这些可感知的线段, 说一说发现了什么, 进一步认识线段是直的且可度量长度等特征。

让学生画一条3厘米长的线段, 并交流画法。小结画法:从尺的0刻度开始画, 笔尖沿着尺子的边一直画到刻度3厘米的地方, 再标上两个端点, 并且在线段下面写上“3厘米”。

实践证明, 根据小学生的认知特点, 调动其多种感官参与学习活动, 能较好地激发他们的学习兴趣, 提高学习效率。

三、训练思维, 拓展认识

1. 把下面两点连成线。

让学生实际操作, 能画几条就画几条。认识:两点可连成多条线, 但只有一条是直的, 这条直的便是线段。

2. 数一数, 下面的图形各由几条线段组成。

3. 指出下面图中有几条线段。

4. 先直观比较下面两条线段的长短, 再动手量一量。

这是课本练习中的第10题, 由于人的视觉误差, 似乎竖线比横线长些, 实际上两条线段一样长。

学习知识和训练思维既有区别, 也有着密切的内在联系。数学教学的过程, 应是培养学生思维能力的过程, 教师在教学过程中要精心设计问题, 激发和训练学生思维, 最大限度地调动学生学习的积极性和主动性。

四、联系生活, 尝试应用

启发学生想一想、说一说:在现实生活中还有哪些东西的边缘可以看成线段?

线段图的魅力 篇8

应用题, 一直是数学教学中的重点, 也是难点.对于三年级同学来说, 语文上才学会最基础的“字”“词”“句”, 刚刚接触“篇”, 而应用题首先就要求把题目内容读顺, 读清, 读懂更何况学生在理解题意后还要把应用题中叙述的情节语言, 运用已学过的一系列知识将条件、问题重组、内化, 在头脑中再创造直至分析清楚, 这条过程链其实包含了很多组合.三年级的同学也许会独立思考, 会独立解答, 但是要把思路表达清楚、完整, 将数量关系从应用题的情节中抽象出来纳入到已有的概念中去, 实属不易.更何况还要画出线段图, 尽量学会使用两种方法解答.我感觉, 这堂课“任重而道远”.备课时, 我根据学生的实际情况, 精心设计了问题, 将教案改了又改, 可谓“用心良苦”, 但是上课的效果我还是无法预计.

上课了, 出示例图, 说说已知的条件, 自己提数学问题这些步骤都按部就班进行得有条不紊.

到重点了, 例题展示:裤子28元, 上衣的价钱是裤子的3倍, 上衣和裤子一共要多少钱?

读题后, 我故作神秘地对大家说:“为了解决这个问题, 老师带来了一个小助手, 它叫做 (拉长尾音) , 吊足了孩子们的胃口.孩子们睁大眼睛等着我说出答案———‘线段图’”.我在黑板上奋笔疾书, 教室里略有交谈的声音.孩子们满是疑问的眼神已经传达了讯息:线段图是什么?我不疾不徐地告诉他们:“线段图就是用线段表示数量.”随后我举了个例子:“如裤子28元就可以用一条线段来表示.”看着我画出的线段和标出的文字说明, 孩子们表示出了了解.接下来我重点介绍了线段图的结构、技巧和一些必要的注意点.孩子们第一次具体接触线段图的画法, 觉得非常新奇, 学得也特别认真.线段图画完整后, 我请一名同学指着线段图的每一部分说说它们的意思.第一个孩子磕磕绊绊, 在加以纠正引导后, 第二个孩子稍微熟练了一些, 第三个孩子就流利多了, 让全班说时更是异口同声.能看懂线段图是良好的开端.紧接着, 我请学生按照题意和刚才画图的步骤也来画一画线段图.孩子们“埋头苦干”时, 我留心观察了一下, 大部分同学都能准确地绘出线段图, 有少数同学漏标文字的在我的提醒下也及时补上了.我心中暗自窃喜:画线段图就是分析理解题意的过程, 能正确画出线段图其实就已经把题意弄清楚了, 明确题意是解决问题的必要步骤.接下来是列式计算.第一种方法是先求上衣的价钱, 再求和, 策略很好理解, 答案呼之欲出, 人人会做.当我用探究的眼光逡巡, 问学生还有没有其他方法时, 教室里一片寂静, 我不由一阵气馁.确实, 第一种方法比较符合孩子们的知识经验和认知水平, 数量关系较易理解.但第二种方法, 孩子们以前从未接触和思考过.于是, 我引导他们仔细观察线段图.由于他们刚刚亲手绘制了线段图, 孩子们对图上的每个部分都了如指掌.当我的手指着线段图慢慢带着他们看“裤子是1个28元, 上衣是几个28元”时, 经过这番提示, 马上就有孩子突然大叫:“我知道了, 一共是4个28.”边喊边把手高高举起, 这时我再不追究其“咆哮课堂”, 反觉自己“引导有用”.用教鞭指着线段图, 重复一遍问题后, 教室里开始喧闹起来, 小手纷纷举起.原先迷茫的眼神被兴奋的神色所替代.最后, 大部分同学都能看着线段图说出“1+3=4, 4×28=112 (元) ”这种解法.他们是真的理解了, 还是顺着同伴的意思回答的, 我暂时无法判断.于是我追问:“‘1+3=4’表示什么意思?”稍加沉默, 有一个孩子说:“裤子是一倍, 上衣是三倍的数, 合起来是四倍.”言不达意, 但思路基本正确.又有孩子说:“裤子是1个28元, 上衣是3个28元, 一套衣服就是4个28元.”这个孩子回答得相当准确.“还可以怎么想?”我继续问.犹豫片刻后第三个孩子发言:“我觉得1就是1段, 衣服有3段, 一共是4段.”“对啊!”我带领孩子们再次观察线段图, 发现确实如他所说.我补充说明:“每一段都表示28元, 4段就有4个28元.”刚刚想总结, 又有孩子举手.这个孩子的理解是:“把裤子看作一份, 上衣就是这样的3份, 一共有4份.”回答非常到位.

听到这里, 我非常高兴.从孩子们对“1+3=4”这道算式的解释, 我感受到了:同样的线段图, 同样的算式也能使孩子们的个性得到彰显, 使多样化的想法获得共享.我如释重负, 我想, 画线段图是分析解决问题的重要策略, 借助线段图来分析题意确实十分有用.几根简单的线段, 组合在一起, 却焕发了奇妙的威力.原以为孩子们对于第二种方法的理解困难重重, 哪知道他们通过看线段图, 画线段图, 稍加引导就理解了这种算法的含义, 而且居然可以理解得这么深刻, 这么透彻.因势利导, 我问学生:“现在知道线段图的好处了吗?”学生踊跃发言, 历数线段图的若干好处如“形象”“方便解答”“直观”“清楚”“帮助分析”, 等等.看来, 不用我多说, 孩子们已经从实际学习中了解到了线段图的作用.

线段中点的拓展与应用 篇9

在2009年下半年教八年级(苏教版)时我就发现：第一章“轴对称图形”与第三章“中心对称图形(一)”中，经常在几何题的已知条件中出现线段的中点，但所起的作用却又不一样，由此我觉得有必要研究一下线段中点的拓展应用，我认为经常作这样的研究，会使学生所学的知识能得到迁移和提升，在大力培养纵向能力的基础上重视培养横向能力.下面就是我在期中考试前的一次复习课“线段中点的拓展应用”所进行的记录、思考、反思和总结.

首先，我将线段的中点分为两类：显形中点和隐形中点，经过学生独立思考，相互讨论和教师点拨，师生一起归纳总结出以下结论：

显形中点 (1) ：直接得到相等的两条线段，并成为两个三角形全等的一个条件;

显形中点 (2) ：如果是三角形的一条中线，那么一般是将这条中线延长一倍，构造一个平行四边形;

显形中点 (3) ：如果是等腰三角形底边上的中点，则一般是将这个中点与顶角的顶点连接，再利用三线合一(等腰三角形底边上的中线必垂直底边和平分顶角);

显形中点 (4) ：如果是直角三角形斜边上的中点，则一般是将此中点与直角顶点连接，再利用斜边上的中线等于斜边的一半(得到两个等腰三角形);

显形中点 (5) ：如果是一般三角形一边的中点，则可以考虑取另一边的中点，连接成三角形的一条中位线，从而利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半;

显形中点 (6) ：如果是梯形一腰的中点，则可以考虑将另一腰的一个顶点与这个中点连接，并延长与底相交，从而得到一对全等三角形;

显形中点 (7) ：如果是梯形一腰的中点，则可以考虑取另一腰的中点，连接成梯形的中位线，从而利用该梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半;

显形中点 (8) ：如果是梯形一条对角线的中点，则一般是将另两个顶点中的一个与这中点连接，交延长与底相交，从而得到一对全等三角形.

隐形中点 (1) 是：过角平分线上的一点作角平分线的垂线，与角的两边相交所得到的两个交点之间的线段的中点就是角平分线上的一个点.

隐形中点 (2) 是：平行四边形或特殊的平行四边形的对角线的中点.

然后提醒学生：这些有关中点的结论就是我们今天所要掌握的解决问题的工具，很有价值!下面我们就用这些工具来解决一些数学问题.

【评析】根据初中生身心发展规律，他们已有一定的生活经验和知识水平，有一种与生俱来的以自我为中心的探索欲和好奇心.问题的设立充分适应和利用这种心理特征，在教学内容设计中安排了这样一些问题情景，并通过独立思考让学生尝试解决.在积极主动的操作、探究中，激发学生的“认知冲突”，使学生产生迫切学习的心理，从而造成积级活动的课堂气氛，教师再适当进行点拨，使学生思维逐步抽象，使所有新知识都通过学生自身的“再创造”活动纳入其认知结构，使学生感觉成为数学知识的发现者.

这里，若教师直接把这10个结论先讲出来，再进行证明，则不能激发学生的认知冲突.因此，数学探究的教学要求老师精心创设问题和问题情景，对问题作适当的数学化处理，这样才能激发学生探究的欲望，进一步培养他们的思维能力.

接着提供针对性训练(主要是让学生讲思路)，让学生感悟这些中点所起的不同作用.

练习题1如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, O是BC的中点，且OE⊥AB于E, OF⊥CD于F，试说明：OE=OF.

练习题2如图2，在△ABC中，O是BC的中点，且OE⊥AB于E, OF⊥CD于F，试说明：OE=OF.

练习题3如图3，在△ABC中，D是AB的中点，过D点作BC的平行线交AC于E，试说明：E是AC的中点.

练习题4如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC, E、F分别是对角线BD、AC的中点，连接EF，试说明：EF∥BC;EF=

练习题5如图5，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，试说明：

练习题6如图6，在荀ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过O点任意作直线与AD、BC相交于E、F两点，试说明OA=OB.

练习题7如图7，在正方形ABCD中，两对角线AC与BD相交于点O，作∠BAC的角平分线交BC于点E，交BD于点F，试说明：.

练习题8如图8，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B点作BD⊥AD于D, E是BC的中点，试说明：DE∥AC, DE=

练习题9如图9，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是对角线BD、AC的中点，试说明：EF⊥BD.

练习题10如图10，已知梯形ABCD中，AD∥BC, E是CD的中点，且AE平分∠BAD，试说明：AB=AD+BC.

解析：练习题1，考虑用显形中点的第一个作用，只要证明△OBE≌△OCF即可.

练习题2，考虑用显形中点的第3个作用，即连接AO，先利用等腰三角形的三线合一来得到AO平分∠BAC，再利用角平分线上的点到角的两边的距离相等来证明OD=OE.

练习题3，考虑用显形中点的第5个作用，即取BC的中点F，连接DF，先利用DF是三角形的中位线而得到DF∥AC，且EF=AC，再证明四边形DFCE是平行四边形，从而得到DF=EC，根据等量代换的思想得到，所以E是AC的中点.

练习题4，考虑用显形中点的第8个作用，即连接AE并延长与BC相交于点O，先证明△OBE≌△ADE，从而得到AD=BO, AE=EO，这样EF就成为△AOC的中位线，再利用三角形的中位线定理来完成.

练习题5，考虑用显形中点的第7个作用，即连接BD，作BD的中点O，再连接OE与OF，这样就构造了两条中位线OE和OF，再利用三角形的两边之和大于第三边来完成说理过程.

练习题6，考虑用隐形中点的第2个作用，即充分利用O是对角线AC的中点，从而得到△OAE≌△OCF或△ODE≌△OBF，由全等三角形的对应边相等来得到OE=OF.

练习题7，考虑用显形中点的第5个作用和隐形中点的第2个作用，即取AE的中点G，连接OG，利用O是对角线AC的中点来构造△AEC的中位线OG，这样就得到，OG∥BC，且OG=EC，再利用等角(角平分线)的余角相等来得到∠OGF=∠OFG，最终得到OG=OF=EC.

练习题8，考虑用隐形中点的第1个作用，即延长BD与AC相交于点F，先证明△ADB≌△ADF，从而得到AB=AF, DB=DF，这样DE就成为△BCF的中位线了，用三角形的中位定理就解决了问题.

练习题9，考虑用显形中点的第4个作用，即连接DF与BF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来得到FB=FD，再用等腰三角形的三线合一来说明EF⊥BD.

练习题10，考虑用显形中点的第6个作用或第7个作用，若考虑第6个作用，那么只要延长AE与BC的延长线交于点F，先证明△ADB≌△FCB，从而得到AD=CF，再利用∠DAE=∠BAE=∠AFC，得到BA=BF，利用等量代换就可得到AB=AD+BC;若考虑第6个作用，那么就只要取AB的中点F，连接EF，就构造了梯形的中位线EF，从而得到EF∥AD，且EF= (AD+BC)，再证明∠DAE=∠BAE=∠AEF，得到AF=EF，还是利用等量代换就可得到AB=AD+BC.

综观这些中点的不同作用，它们都是紧紧围绕线段既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形这个特征，所以这些线段中点的不同作用可归结成一个作用：即利用线段的两种对称性来构造等腰三角形、全等三角形或三角形梯形的中位线.

经过这一次的考前复习课，学生对于期中考试卷出现的与线段中点有关的几何题完成的比较理想，错误极少，成绩进步的学生对学数学也更感兴趣了.后来了解到，不少同学课后自己探究出：有关线段中点的大量题目一般都有两种辅助线的添法.

在整个教学过程中，始终穿插了两条主线：一条是“知识线”，而另一条是“方法线”，同学们能在老师创设的知识场中自觉地掌握知识，而且在不知不觉中掌握了学习方法，在这双管齐下的教学中，一方面学生的知识面潜意识地得到拓展，另一方面学生的解题能力也潜意识地得到提高.

众所周知，数学家的研究过程被看成一种探索的活动，包含有错误、尝试与改进的过程.因此，数学探究课也允许学生犯错误，教师在授课过程中要把握好心态，学生偏离正确的方向时也要能容忍，在适当的时候进行适当的指导.

为了适应新的教育形势，近来我经常去看一些教学理论比较深厚的教育专著，参与对数学专题研究的成果进行再创造式的整理，提供适用于教学法加工的材料;而且，我还对每年全国各地的中考数学试卷进行整理，建立各年级、各章节的题库，并注意把新颖的题型渗透到初一、初二平时的课堂教学与课外训练中，因为学生在学习和探索中有许多有创新思维的问题提出来，这些都对教师的数学功底与教学技能提出了更高的要求.

巧用线段中点证平行 篇10

一、利用中点构造中位线

三角形中位线性质:平行于三角形的底边并且等于其一半。这是初中数学中三角形部分最为重要的一个定理, 那么如何把它用到高中的立体几何中去呢?我们来看一个例子:

例1.如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E是AA1的中点, 求证:A1C∥平面BDE。

这是一个使用中位线证平行比较典型的例子, 从判定定理来看就是要在平面BDE中找到一条与直线A1C平行的直线。而题中给定棱AA1的中点E, 要想用中位线就要把A1C看作是三角形的第三边, 这样就确定了三角形的两个顶点, 而点E在AA1上, 从而确定了第三个顶点A, 这样辅助线AC的出现就是顺理成章的事了。

证明:连接AC交BD于点Q, 连接EQ。

∵四边形ABCD是正方形

∴Q为AC中点

∵E为AA1中点

∴EQ为△A1AC的中位线

∴EQ∥A1C

∵A1C埭平面BEDEQ奂平面BED

∴A1C∥平面BDE

二、利用中点构造平行四边形

平行四边形两组对边平行这一性质在证明线面平行时也是常用的, 但是怎样利用中点来构造平行四边形呢?下面我们来看一个例子:

例2.如图所示, 在三棱柱ABC—A1B1C1中, M、N分别是BC和A1B1的中点。求证:MN∥平面AA1C1。

本题中出现了两个中点M与N, 我们大胆设想, 小心求证, 如何在平面AA1C1找到与MN平行的线呢, 可以设想把MN平移到平面AA1C1中去, 先确定其大概位置, 这样就联想到在A1C1上找一点, 当然是找中点了, 这样平行四边形就构造出来了, 其证明过程如下:

证明:设A1C1中点为F, 连接NF, FC

∵N为A1B1中点

又由棱柱性质知B1C1BC

又M是BC的中点

∴四边形NFCM为平行四边形

∴MN∥CF, 又CF奂平面AA1C1MN埭平面AA1C1

∴MN∥平面AA1C1

三、构造平面证平行

在高中立体几何证明中我们也可以使用“若两个平面平行则其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面”来证明线与面的平行。如果有中点这一条件就可以采用找中位线来构造平面了, 比如:

例3. (2013山东卷文19) 如图, 四棱锥P—ABCD中, AB⊥PA, AB∥CD, AB=2CD, E, F, G, M, N分别为PB, AB, BC, PD, PC的中点。 (1) 求证:CE∥平面PAD; (2) 求证:平面EFG⊥平面EMN。

本题条件中出现了比较多的中点, 我们可以围绕着EC来构造一个平面, 利用面与面的平行来证明线与面的平行, 而要构造平面与平面平行, 就要找到两个平面内互有两条相交线平行, 而中点多可以找中位线来完成平行的任务, 只要连接FC就可以了。

证明 (1) :连接FC。

∵AB∥CD, AB=2CD, 且F为AB中点

∴CD AF

∴四边形ADCF是平行边形

∴AD∥FC

∵E, F分别为PB、AB中点

∴EF∥PA

∴平面EFC∥平面PAD

∵CE奂平面EFC

∴CE∥平面PAD

(2) 在此略过。

和《直线、射线、线段》亲密接触 篇11

第一、我们来重新认识直线、射线、线段

线段是个没有具体规定含义的基本概念，即它没有严格的定义.绷紧的琴弦、人行横道线等都可以近似地看作线段.由此可见，线段有两个特性：（1）线段是直的；（2）线段有两个端点.线段是有头有尾的“直的线”，它的“头”和“尾”就是两个端点.

射线是建立在线段这个基本概念上的另一个基本概念.将线段向一个方向无限延长就形成了射线.由此可见，射线只有一个端点.射线也是一条“直的线”.与有头有尾的线段不同，射线有头无尾，它的“头”就是端点.

直线是建立在线段这个基本概念上的又一个基本概念.将线段向两个方向无限延长就形成了直线. 由此可见，直线没有端点.直线也是一条“直的线”.与有头有尾的线段和有头无尾的射线不同，直线无头无尾.

第二、我们来学直线、射线、线段的表示方法

在直线上任取两点，用表示这两点的大写英文字母即可表示这条直线，与字母的排序无关.如图1，可表示为“直线AB”或“直线BA”；直线也可用一个小写英文字母来表示，如“直线l ”，不过此时要在图中标出这个小写字母l.

射线可用它的端点及射线上的另一点来表示，与字母的排序有关（温馨提示：表示端点的字母必须写在另一个字母之前）.如图2，可表示为“射线0A”或“射线0B”.端点相同的射线未必就是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线.两条射线为同一条射线必须同时满足两个条件：①端点相同；②延伸方向相同.

线段可用表示它端点的两个大写英文字母来表示，与字母的排序无关.如图3，可表示为“线段AB”或“线段BA”；线段也可用一个小写英文字母来表示，如“线段 a”，不过此时要在图中标出这个小写字母 a.

无论是表示直线、射线，还是线段，都要在字母前面注明“直线”、“射线”或“线段”；用两个大写字母表示线段或直线时，两个字母，可以交换位置，而表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把表示端点的字母写在前面.

第三、我们来弄清直线、射线、线段之间的区别与联系

直线、射线、线段之间的区别可用下表概括.

三者之间也有联系：射线、线段都是直线的一部分；将射线反向延长，线段向两个方向延长就能得到一条直线.

第四、我们来结识线段的中点

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点.线段的中点一定在这条线段上，且一条线段只有一个中点.理解这个概念时，一方面要从图形上去认识，培养识图能力；另一方面要能够建立起图形与相应数量之间的关系.即由点M是线段AB的中点，能得出结论：AB=2AM=2BM,AM=BM=1/2AB；反过来，由点M在线段上，且有这样的数量关系，能得出结论：点M是线段 AB的中点.这对以后的学习（用符号表示推理）是很有帮助的.

第五、我们来掌握直线、线段的基本性质

经过两点有且只有一条直线.这就是直线的基本性质，又称为直线公理.此基本性质包含两层含义:一是经过两点有一条直线，肯定有，不是没有；二是经过两点只有一条直线，不会有两条、三条……此基本性质也可表达为：两点确定一条直线.两点之间，线段最短. 这就是线段的基本性质，又称为线段公理.

例1如图4，A、B是直线上两点，CD是一条射线，它与l相交吗？与线段AB相交吗？为什么？

解：射线CD与直线l会相交.因为射线CD沿CD方向是无限延伸的；射线CD与线段AB不相交，因为从图4可看出，CD与l的交点在线段AB的延长线上.

点评：理解直线、射线、线段的含义是解决这类问题的关键.

例2如图5，A、B、C、D、E是同一直线上的五个点，图中共有几条线段？

分析：由线段的定义可知，两个端点确定一条线段. 因此，我们从左到右依次将直线上各点（最右边一点除外）作为线段的左端点，再将此端点右边各点从左到右依次作为线段的右端点，分别计数出各条线段后再相加即得线段的总条数.这种方法可概括为：“从左到右，端点轮流，只可向右，不能向左.”

解：以A为左端点的线段是AB、AC、AD、AE；以B为左端点的线段是BC、BD、BE；以C为左端点的线段是CD、CE；以D为左端点的线段是DE.故图中共有10条线段.

点评：数图中有几条线段时要做到“不重不漏”.