比例线段论文

比例线段论文（精选4篇）

比例线段论文 篇1

高中课标数学选修4—1《几何证明选讲》将原来初中平面几何删除的圆的有关内容(如弦切角、切割线、相交弦)又增添进来.这对高中生来说是一个新内容,仅凭几次讲座很难掌握,解答相关问题时常感没有思路.现就与圆有关的辅助线作法归纳如下.

一、与直径有关的辅助线

题中有直径(或可以作出直径)时,作出直径所对的圆周角(直角),从而构造射影模型;或把与直径垂直的线段补成弦,以便用垂径、相交弦定理;或过直径端点作圆的切线,利用切线与直径垂直.

例1如图1,AB是⊙0的直径,弦AD与BC交于E,求证:AE·AD+BE·BC=AB2.

分析:利用直径构造圆周角(直角),再由E向直径作垂线,构造相似三角形.

证明:连结AC、BD,由E作EF⊥AB于F.由AB是直径,知∠C=∠D=90°.

在RtΔAFE与RtΔADB中,∠EAF=∠BAD,

所以RtΔAFE∽RtΔADB.

所以,

即AE·AD=AB·AF.

同理有BE·BC=AB·BF.

两式相加,AE·AD+BE·BC=AB·AF+AB·BF=AB(AF+BF)=AB2.

例2如图2,AB是⊙0的直径,AC、AF是弦,弦CF与AB交于E,CD⊥AB于D,CD交AF于G.求证:AC2=AG·AF.

证法1:(构造垂径)如图3,延长CG交⊙O于H

.因为AB⊥CH,所以,

则∠ACG=∠ACH=∠AFC.

又∠CAG=∠FAC,所以AACG∽ΔAFC.

所以即AC2=AG·AF.

证法2:(构造直角三角形)如图3,连结BC、BF.由AB是直径,知ΔABC、ΔABF都是直角三角形.又CD⊥AB,则AC2=AD·AB.

易见RtΔADG∽RtΔAFB,则,

即AD·AB=AG·AF,

因而得AC2=AG·AF.

点评:证法1补出弦,利用垂径定理是关键;证法2构成直角三角形,利用射影定理是关键.以下只要用相似三角形知识即可.

二、构造圆的内接四边形

圆上有四点时,常构造出圆内接四边形,用圆内接四边形的性质解题.

例3如图4,ΔABC内接于⊙0,AD平分外角∠FAC,交⊙O于E,交BC延长线于D.求证:AB·AC=AD·AE.

分析:AB·AC=AD·,只要证△ABE∽△ADC.再用圆内接四边形性质,找角间关系.

证明:连结BE,由圆内接四边形AEBC,知∠AEB=∠ACD.

又AD平分∠FAC,知∠CAD=∠FAD=∠EAB,所以△ABE∽△ADC.

得,从而AB·AC=AD·AE.

例4如图5,直线AB过圆心O,交⊙O于A、B,弦FA⊥弦DC,延长后交于G,⊙0直径BA延长后与弦DC延长线交于E.求证:

(1)∠BAD=∠CAG;

(2)AC·AD=AE·AF.

分析:(1)连结BD,利用直角三角形及圆内接四边形ABDC.

(2)可证相关的△ADE∽△AFC.

证明:(1)连结BD,由AB是直径,知LADB=90°,∠B+∠BAD=90°.

由圆内接四边形ABDC,知∠B=∠ACG.由AG⊥CE,知∠ACG+∠CAG=90°,所以∠BAD=∠CAG.

(2)连结CF,由∠DAC+∠CAG+∠GAE=∠DAC+∠BAD+∠BAF,得∠DAE=∠FAC.

又∠ADC=∠AFC,所以ΔADE∽ΔAFC.

所以,

即AC·AD=AE·AF.

三、利用圆的切线

如果图中有圆的切线,或作出圆的切线后,可以利用切线长、弦切角、切割线定理来解题.

例5如图6的两个同心圆,P、Q两点在大圆上,过P、Q作小圆的割线PAB、QCD.求证:PA·PB=QC·QD.

证明:作大圆的弦PF、QH,分别切小圆于E、G,连结OE、OG,则OE垂直平分PF,OG垂直平分QH.

又OE=OG,所以PE=QG.由切割线定理有

PE2=PA·PB,QG2=QC·QD,从而PA·PB=QC·QD.

点评:本例巧作两条切线,即出现垂径,又构造出切割线的模型,这是解答本题的关键所在.

例6如图7,△ABC中∠B=90°,点0在AB上,以0为圆心,OB为半径的圆与AC相切于D,与AB交于E,ED、BC延长后交于F.若AD=2AE,求tan∠F的值.

分析:连结BD很有用,一是可得弦切角,进而△ADE∽△ABD,二是利用直径BE,得到几个直角三角形.

解:连结BD.因为AD是切线,所以∠ADE=∠ABD.

又∠A共用,所以△ADE∽△ABD,

则.

又BE为⊙0的直径,知BD⊥EF,而AB⊥BF,则∠F=∠DBE.

所以.

四、构造相交弦

把圆中的线段延长,补成弦,或补成割线,以便利用相应定理.

例7如图8,AB是⊙O的直径,PC⊥AB于C,交⊙O于D,PT切⊙O于T.设AB=6,PC=5,当点C在⊙O半径OA上移动时,求PT长的最小值.

分析:求切线PT长,可设法转化为切割线的模型,故应将PC延长,补成弦及割线.

解:延长PC交⊙O于E,则由切割线定理得PT2=PD·PE.

又AB是直径,则CD2=AC·BC.

而PD=PC-CD,PE=PC+CE=PC+CD,

所以PT2=(PC-CD)(PC+CD)=PC2-CD2=25-AC·BC.

由于点C在OA上移动,可设AC=x(0≤x≤3),则BC=6-x,AC·BC=6x-x2,

所以PT2=x2-6x+25=(x-3)2+16.

当x=3,即点C位于圆心O时,PT2取最小值16,从而PT长的最小值是4.

下面给出一组相应练习题

1.如图9,BD为⊙O的直径,A为BD延长线上一点,过A作⊙O的切线AC,切点为E,过B作BC⊥AC于C,交⊙O于F,且AC=12,BC=9.求AD的长.(答:)

2.如图10,在等腰ABC中,AB=AC,D是AC的中点,DE平分∠ADB交AB于E,过A、D、E的圆交BD于N.求证:BN=2AE.

3.如图11,C、A、B、D四点共线,且CA=AB=BD,AB为⊙O的直径,CT切⊙O于P求证:∠CPA=∠DPT.

4.如图12,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过点A的直线,∠PAC=∠B.

(1)求证:PA是⊙O的切线;

(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求AB的长和∠FCB的正切值.(答:AB=10,tan∠FCB=2)

比例线段论文 篇2

【学习内容】

1、比例及其性质。

2、两条线段的比，比例线段。

3、黄金分割。

【重点、难点】

重点：比例及其性质，黄金分割。

难点：比例性质的运用。

【知识讲解】

一、复习与巩固比例有关内容。

1、四个数a，b，c，d成比例定义，比例的项，内、外项的含义。

(1)两个比相等的式子叫比例，记作：b，c，d均不为0)。

(2)“比”——两数相除叫两数的比，记作：(a∶b)，在此a是比的前项，b是比的后项。

(3)中各部分名称

(a∶b＝c∶d)，称作：a，b，c，d成比例(其中a，①a，d叫比例的外项

②b，c叫比例的内项

③d叫做a，b，c的第四比例项(a，b，c顺序不准乱动)

(4)比例中项

若a∶b＝b∶c，则b叫a，c的比例中项。

如：在比例式

2、比例的基本性质

小学学过“比例的外项乘积等内项的乘积”，故

可推出a·d＝b·c。其实我们可以这样去

两边同乘bd得到a·d＝b·c；

中，c是线段3a、m、m的第四比例项。m是线段3a、c的比例中项。

理解，因为a，b，c，d均不为0，用等式性质(去分母法)将反之，将ad＝bc同除以bd可得

“

。因此，我们得到如下的比例基本性质：

”的意义是由左边可推出右边，且由右边也可推出左边，称为等价符号。

b2＝ac这两个式子均表示b是a，c的比例中项。

不同的比例式：

如：

其实，由ad＝bc还可得到另七个与 1、二、线段的比，比例线段

1、线段的比 ：两条线段的比就是两条线段长度的比。

如：(1)若a，b为两条线段，且a＝5cm，b＝10cm。它们的比：a∶b＝5cm∶10cm＝0.5。

(2)若c，d为两条线段，且①c＝5cm，d＝100mm。求c∶d；②c＝0.05m，d＝0.1m，求c∶d。

①d＝100mm＝10cm，故c∶d＝0.5 ②c∶d＝0.05m∶0.1m＝0.5

注意：1)、a，b代表两条线段，a∶b＝k，a是b的k倍；（一般a∶b≠b∶a，只有当k＝1时，a∶b＝b∶a）

2)、求两条线段的比时，必须统一单位；

3)、两条线段的比值与采用的长度单位无关；

4)、两条线段的比总是正数(因为线段长为正数)；

2、比例线段

(1)在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

(2)概念的理解

①必须是四条线段才能成比例，并且有顺序。若若a，b，c，d成比例，则有

②在；若，则叫a，b，c，d成比例；反之，这些是比例的变形。比例变形是否正确只需把比例式化为等积式，看与原式所得的等积式是否相同即可，相同说明正确，反之，比例变形就是错误的。，则叫c，d，a，b成比例。

中，b是c，d，a的第四比例项。中，d是a，b，c的第四比例项，而在③在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项。

在线段a，b，c，x中，若x＝，则x是a，b，c的第四比例项。

由此可见前面所学的比例性质均可用于成比例线段中。

④又如四条线段m＝1cm，n＝3cm，p＝4cm，q＝12cm，可以发现p，q成比例，不能说明m，p，q，n成比例，因为m，p，q，n成比例，则有

3、应用比例的基本性质判断成比例线段

将所给的四条线段长度按大小顺序排列，如：a＞b＞c＞d，若最长(a)和最短(d)两条线段之积ad与另两条线b、c之积bc相等，则说明 线段a，b，c，d 成比例。

三、比例的另外两条重要性质，这说明 m，n。

1、合比性质

如果

因为：

2、等比性质，那么，∴，∴

如果＝……＝(b＋d＋……＋n≠0)，那么

因为：设，则有a＝bk，c＝dk，……，m＝nk

∴

四、黄金分割

1、黄金分割：是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点。

说明：

①一条线段有两个黄金分割点。

②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值。德国著名天文学家开普勒(Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学。

2、黄金分割的求法

①代数求法：

已知：线段AB

求作：线段AB的黄金分割点C。

分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，设，AB＝，AC＝x，那么 CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)

整理后，得：x2＋x－＝0

根据求根公式，得：x＝

∴(不合题意，舍去)

即 AC＝AB≈0.618AB

则C点可作。

②黄金分割的几何求法（尺规法）：

已知：线段AB

求作：线段AB的黄金分割点C。

作法：如图：

(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB。

(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB。

(3)在AB上截取AC＝AE。

则点C就是所求的黄金分割点。

证明：∵AC＝AE＝AD－AB

而AD＝

∴AC＝

∴C点是线段AB的黄金分割点。

例2：已知，线段a＝cm，b＝4cm，c＝cm，求a，b，c的第四比例项。

解：设a，b，c的第四比例项为xcm，根据比例的定义得：，∴a，b，c的第四比例项为cm。

例3 ：已知，a＝2.4cm，c＝5.4cm，求a和c的比例中项b。

解：依题意得：b2＝ac＝2.4×5.4＝12.96

∴b＝±3.6

∵b为线段

∴b＞0

∴b＝3.6cm。

例4 ：已知，线段a＝1，b＝，c＝，求证：线段b是线段a，c的比例中项。

证明：∵ac＝1×，b2＝

∴b2＝ac

∴线段b是线段a，c的比例中项。

例5 ：若3x＝4y，求。

解：∵3x＝4y

∴

同理，甡合比怇质徖：

∴

∵x＝49

∴も

侊：巒知＄。

①当b＋d（f≠0斶，求的倸。

␡当b－2d＊3f≠0时，求的值。

解：①∕错误!

且b＋d）f≠

∴由等比性质得：

⑁∵

∰

且b－2d＋3f∀

∔错误!??。

例7：在相同时创的物高与影长成比例，妀果一古塔在地面上的弱镽为50籓，同斶，高为1.米的测竿的影长为2.5籲，那么古塔的高是多少米？

分析：“圈相同时刺的物骘丆影长成比例” 的含义，昧指用同一时刻两个物体的高与它们的对应影长成比例。

解：设，古塔的高ะx米（核据题意徖：

∴2.5p＝1*5䃗50(比例的基本性质)

∰x－30(米)

答：古塔高丸 30 籣。

例8：如图，AD＝15，AB＝40，AC＝2, 求：AE。

错误!

分析：由条件中给出AD，AB，AC，最她能利用比侊的性质将DB，EC 轨化为题中已知条件AB（AC。

解：∵

∴

∴

即

∴AE＝

＝10.5(cm)。

(合比性质)

例9：已知，线段AB，求作AB的黄金分割点。

解：①可用代数求法，不妨设黄金分割点为C，求出AC≈0.618AB，则点C可作。

②可用几何尺规作图法（见知识讲解中黄金分割的求法）。

③若不限尺规作图，用量角器可作以线段AB为一腰，顶点为∠A＝36°的等腰ΔABC，然后作 ∠ACB的平分线CD交AB于D，则点D就是AB的黄金分割点。

【巩固练习】

1、从下列式子中求x∶y。

①(x ＋ y)∶ y ＝ 8 ∶ 3

②(x－y)∶y＝1∶2

2、已知：

3、已知：

4、已知：如图，BF 的长。，AB＝8cm，AD＝2cm，BC＝7.2cm，E为BC中点。求：EF，x＋y－z＝6。求x，y，z。求：(a＋b＋c)∶b。

5、已知，线段a＝2，且线段a，b的比例中项为

。求：线段b。

6、已知，点P在线段AB上，且AP∶PB＝2∶5。求AB∶PB，AP∶AB。

7、ΔABC和ΔA′B′C′中，的周长。

8、已知，如图。求证：(1)

(2)，且ΔA′B′C′的周长为50cm。求：Δ ABC

【巩固练习答案与提示】

1、①

②2、3、x＝9，y＝12，z＝15

4、提示：

BF＝3.6＋1.2＝4.8(cm)

5、b＝5

6、∵ ∴ ∴

∵

∴，7、ΔABC周长为30cm。

8、提示：①

圆中比例线段证明的新思考 篇3

这类问题, 可用下面的口诀来开拓思路, 寻找证法:遇等积变等比, 横找竖找证相似;不相似莫生气, 等线等比来代表;遇等比即等积, 借助定理或推论;平行线分角线, 有时用它拉关系。

说明:“横找竖找”是指按比例式的横向或竖向排列的两对线段寻找三角形;“等线”指圆中相等的弦或线段, 或三角形、四边形的边相等。

上面口诀的意思是: (1) 把“a·b=c·d”化为 的形式。 (2) 横找竖找一下, 判断四条线段是否在两个三角形中或可以构成三角形, 则可证两个三角形相似来得出结果。 (3) 若证两个三角形相似行不通, 可考虑用中间比或相等的线段来作等量代换。 (4) 若前面两点都不能解决, 则需要作辅助线来构造相似三角形, 或利用平行线分角线来拉关系, 寻找证法。下面, 就以一些典型题为例, 谈谈此类问题的证法。

一、变等比, 找相似

例1如图1, 己知四边形ABCD是圆内接四边形, DP∥CA交BA的延长线于P。求证:AD·DC=PA·CB。

分析:遇等积变等比:欲证AD·DC=PA·CB, 即证 。横找竖找证相似:横找找不到三角形, 竖找得△ADP和△CBD。 (连结BD, 注意:我们知道三角形有六个元素, 即三条边、三个角。CB、CD中, 已经有了两条边, 三个顶点中已经有了一个公共的顶点C, 还差一条边两个顶点, 容易看出B、D就是其中的两个顶点, BD就是其中的一边, 所以可连结BD得△CBD) 由∠l=∠2=∠3, ∠PAD=∠BCD, 得△ADP∽△CBD, 于是命题得证 (具体过程省略, 下同) 。

二、用相等的线段来代替、分角线拉关系

例2如图2, 已知△ABC的∠A的平分线AF与外接⊙O相交于D, 和⊙O的切线BE相交于F, 连BD、CD, 求证: (l) BD平分∠CBE。 (2) AB·BF=AF·DC。

分析: (1) 略。 (2) 遇等积变等比:欲证AB·BF=AF·DC, 即证 ;横找竖找证相似:横找竖找都只能找到一个三角形, 无法直接证相似;不相似莫生气, 等线等比来代替:由题意知∠1=∠2 (分角线用它拉关系, 这恰好又是圆周角相等) , 则弧BD=弧DC, 则BD=DC变为证 , 横找得△ABD和△ABF难以证相似, 竖找得△ABF和△BDF易证相似, 显然, 由∠4=∠l, ∠5公共角, 得△ABF∽△BDF, 故思路沟通。

三、等线等比来代替, 借助定理或推论

例3如图3, ⊙O的弦AB的延长线和切线EP相交于点P, E为切点, 连EA、EB, 过P的一条直线分别交EA和EB于C、D, 如果EC=ED, 求证: (1) ∠APC=∠CPE。 (2) PA·CE=AC·PE。 (3) ED2=AC·BD

分析: (1) 略。 (2) 遇等积变等比:欲证PA·CE=AC·PE, 即证 ;横找竖找证相似:横找只得△PAE, 难以证相似。竖找可找到△APC和△PCE, 但缺少条件, 无法证相似;不相似莫生气, 等线等比来代替:由题意知CE=ED, 则证 , 竖找得△PAC和△PED, 显然, 由∠APC=∠EPD, ∠PAC=∠PED, 得△PAC∽△PED, 故思路沟通。 (3) 遇等积变得等比:即证 , 但横找竖找都找不到三角形, 纵使用EC代替ED, 即 , 亦无法证相似;不相似莫生气, 等线等比来代替;可参仿 (2) 得△PBD∽△PEC, 得 ;以及借助定理或推论:由切割线定理得 , 根据 (2) , 等线等比来代替, EC=ED, 故命题得证。A

四、平行线分角线, 有时用它拉关系

例4如图4, 已知△ABC是锐角三角形, BC是⊙O的直径, AD是⊙O切线、D是切点, 在AB上取点E, 使AE=AD, 过E作EF⊥A交BAC的延长线于F, 求证 。

分析:横找竖找证相似:横找难以证相似, 竖找构不成三角形。怎么办?不相似莫生气, 等线等比来代替, 观察右边 平行线分角线, 有时用它拉关系:连CG, 则CG∥EF, 得 , 转为证 , 注意AE=AD用它代替, 即证 , 遇等比即等积, 借助定理或推论:由切割定理得AD2=AG·AB, 这样, 问题就迎刃而解了。

上面几例告诉我们:与图有关的线段证明的问题, 若掌握其中的证题思路模式, 对证明问题的结论将起到事半功倍的作用。

构造比例线段证明线面平行 篇4

（1）平面PAB平面PMC（2）直线PB//平面EMC2、如图，ABD和BCD都是等边三角形，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的中

D

点；（1）求证：BDFG；（2）求证：FG//平面BOE。

E

G

C A3、如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证：直线MN∥平面PBC；

4、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.变式．如图，ABCD与ABEF是两个全等矩形，且不在同一平面内，点P、Q分别是对角线AE、BD上的点，当P，Q满足什么条件时，PQ∥平面CBE？说明理由。

F

P A D5、已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；（2）求S△G1G2G3∶S△ABC.8、（2009通州第四次调研）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、A1D1、C1D1的中点（如图）。

（1）求证：B1G⊥CF；（2）若P是A1B1上的一点，BP∥平面ECF，求A1P∶A1B1的值。

D1F A1 1

D