椭圆编程技巧

2024-09-19

椭圆编程技巧（通用7篇）

椭圆编程技巧篇1

在数控加工中, 有时候会遇到工件轮廓包含椭圆弧, 对于这样的情况手工编程通常采用的是宏程序, 而使用宏程序计算比较复杂, 机床的执行效率较低, 逼近精度也较低, 其实通过灵活的运用指令可以方便地解决这个技术问题。这里就以我校FADAL3016L加工中心SIEMENS 802D系统编程为例。两种方法对图1中椭圆弧轮廓进行编程。

1 图形分析

该轮廓由一个长径100mm、短径70mm的椭圆在45°方向的两条切线和0°方向的一条切线组成, 整体旋转30°。如果用椭圆标准方程来作为宏程序计算公式因为各个象限有正负号的判断问题, 所以可采用椭圆参数方程来计算。

采用参数方程, 首先应该确定参数角。

如果采用参数方程来作为宏程序计算编程首先要注意参数并不等于图纸所标注的角度 (如图2中的45°) , 求参数角度方法如下:做长径圆或短径圆后, 再做垂线于长径圆或短径圆交点求的的角度才是参数θ (如图2应该为55.008°) 。

坐标系旋转的数学处理计算:即

2 宏程序编写

2.1 802D系统宏程序介绍

FANUC系统中的宏变量#____在SIEMENS系统中称为计算参数R____。

利用类似于高级语言的宏程序功能, 可以使用变量进行算术运算、逻辑运算和函数的混合运算, 此外宏程序还可以使用循环语句、分支语句和子程序调用语句, 可以方便编制各种复杂的零件加工程序, 减少乃至免除手工编程时进行繁琐的数值计算, 以及精简程序量。

此处椭圆弧轮廓宏程序中就用到了判断语句IF条件GOTOF Label (程序段标记) 、向前跳转、参数的赋值、三角函数计算等。

2.2 轮廓路线的确定

轮廓编程处理:在轮廓交点处向外延长到B、F, 便于在轮廓完建立和撤销刀补。加工路线:A→B→C→D→E→F→A, 其中:A→B建立左刀补;D→E椭圆宏程序;F→A撤销刀具半径补偿。

2.3 椭圆弧轮廓子程序

3 采用坐标系变换指令编写

3.1 坐标系变换指令介绍

西门子802D系统有以下坐标系变换指令。

零点偏置:TRANS/ATRANS X__Y__Z__;可编程零点偏移到指定点。

旋转:ROT/AROT RPL=__;可编程绕原点旋转指定角度单位为度, 逆时针为正, 顺时针为负。

比例系数:SCALE/ASCALE X__Y__Z__;可编程各轴比例缩放。

镜像:MIRROR/AMIRROR X__Y__;可编程指定轴镜像功能。

3.2 使用方法注意

斜杠前无A的指令为在原始坐标系基础上的变换, 斜杠后有A的指令为相对的, 在之前变换的基础上的相对变换, 如果单独执行TRANS、ROT、SCALE、MIRROR, 指令后面不加任何参数其作用都是取消坐标系变换。

3.3 轮廓路线的确定

轮廓编程处理:在轮廓交点处向外延长到B、F, 便于在轮廓完建立和撤销刀补。

加工路线A→B→C→D→E→F→A, 其中:A→B建立左刀补;D→E椭圆宏程序;F→A撤销刀具半径补偿。

3.4 编程步骤

首先用ROT指令旋转坐标系, 其作用为:编程时可以把旋转的角度忽略;再使用ASCALE指令相对缩放坐标系, 其作用为:椭圆弧可以看作一个单方向等比例变形的正圆弧。最后各刀位点反比例计算, 其作用为:补偿ASCALE时候坐标的变换。

椭圆弧轮廓子程序如下:

4 结语

经过以上程序在FADAL 3016L 802D系统机床上运行验证, 速度高, 进给平稳, 表面粗糙度有很大的提高。

利用宏程序编程可以解决规则曲线构成的轮廓, 但是其数学分析和运算转换比较复杂, 对于没有计算机语言基础的人员来说掌握和灵活运用也很不容易。而如果掌握坐标系转换指令并合理运用, 可以使程序大大缩短, 大大方便了手工编程 (如椭圆弧) , 而且通过机床的插补还可以提高了机床执行效率和工件的表面质量。

摘要：在西门子802D系统使用传统宏程序对椭圆弧轮廓进行编程, 运用坐标系变换指令实现椭圆弧轮廓编程, 降低了计算量和程序长度, 提高了机床切削效率和表面加工质量。

关键词：宏程序,椭圆弧,数控编程,西门子802D

椭圆编程技巧篇2

一、圆的绘制：

1、复习绘制圆的六种方式

2、能根据不用的条件判断应该选择何种方式

二、圆弧的绘制

1、复习上节课所讲的绘制圆弧的六种方式

2、能根据已知条件，判断该采用何种方式

三、圆环

1、复习圆环的画法：是否填充

2、圆环内径为0时，是实心圆

四、点

1、点的样式设置

2、定数等分

3、定距等分

新课：

第二章

绘制基本二维图形

2.4 绘制椭圆和椭圆弧

2.4.1绘制椭圆

命令用于绘制椭圆或椭圆弧，在工程图中常用来绘制小的物品，如洗手盆、坐便器、装饰图案及圆的透视图等。(讲授法)

1、一共有三种方式（操作法、演示法、练习法）：

（1）轴端点：即指定长轴与短轴的端点。

①指定椭圆的轴端点

②指定椭圆的另一端点

③指定另一条半轴长度

（2）椭圆中心方式：该方式用来定义椭圆中心和椭圆与两轴的各一个交点（即两半轴长）画一个椭圆。

①指定椭圆轴端点，此时输入C切换到中心点的方式

②指定椭圆中心点

③指定轴端点或者输入半轴长度

④指定另一半轴的长度

（3）旋转方式：该方式是先定义椭圆长轴的两个端点，然后使以这两个端点之间的距离为直径的圆绕该长轴旋转一定角度，该圆在水平面上的投影就是要画的椭圆。

①指定椭圆的轴端点 ②指定轴的另一端点

③指定另一半轴长度或【旋转R】，输入R切换到旋转的方式 ④指定饶长轴旋转角度

（4）绘制椭圆弧：按照以上三种方式画椭圆，最后切换到角度的方式，进行绘制椭圆弧。（操作法、演示法、练习法）

①按照轴端点的方式画椭圆 ②按照椭圆的中心方式画椭圆弧 ③按照旋转方式画椭圆

第二章

绘制基本二维图形

2.5 多段线

2.5多段线

由若干不等宽（或等宽）的直线段或圆弧连接而成的单一对象。按照命令行提示，逐一进行讲解。（讲授法）

1、绘制直线段相关选项说明（操作法、演示法、练习法）（1）指定下一点：确认出多段线的另一端点，为默认选项。（2）圆弧（A）：将绘制直线方式切换为绘制圆弧方式。（3）半宽（H）：设置多段线的一半线宽。（4）长度（L）：设置直线段长度。（5）放弃（U）：放弃刚才进行的操作。

（6）宽度（W）：设定多段线宽度，可以将起点和端点设定不同的值。

（7）闭合（C）：用直线段连接多段线的起点形成闭合的线段，同时结束命令。

2、绘制弧线段相关选项说明（操作法、演示法、练习法）（1）指定圆弧的端点：默认选项。

（2）角度（A）：指定弧线段从起始点至端点的包含角。（3）圆心（CE）：指定圆弧的圆心。（4）半径（R）：指定弧线段的半径。

（5）闭合（C）：用弧线段连接多段线的起点形成闭合的线段，同时结束，命令。

（6）方向（D）：指定弧线段的起始方向。

（7）直线（L）：将绘制圆弧方式切换至直线段方式。

3、绘制P84例题。

数车中椭圆宏程序的几种编程方法篇3

关键词:非圆曲线椭圆宏程序

椭圆是数车加工中相对较难却又比较典型的非圆曲线,目前数控系统还没有提供完善的非圆曲线插补功能,因此实际操作中椭圆的编程多采用变量来完成。虽然随着计算机辅助编程的进一步普及,手工编写宏程序越来越少,但作为培养高技能人才的学校,根据不同情况,掌握各种非圆曲线,特别是椭圆曲线的编程仍然是必要的,我在指导学生参加两年一度的全国数控大赛时,根据平时的一点经验,以FANUC-0i系统为例,总结出数控车床中的椭圆宏程序加工的以下几种常用编程方法,实践证明,这些方法掌握后能很快上手,高效、准确地加工出椭圆部分。

在宏程序的编写中,常用的两种条件转移语句:

1.IF[条件表达式] GOTOn

2.WHILE[条件表达式] DOm(m=1,2,3)

循环体 ENDm

在DO~END循环中的标号(1～3)可根据需要多次使用以下以具体的实例来介绍几种常见的椭圆加工方法

方法一:利用椭圆函数和子程序编写宏程序

程序如下:

O0001

G99T0101

S1000M3M98P0002

G0X52Z2G00X100Z100

#1=48.5M30

N50IF[#1LT1]GOTO100

M98P0002O0002

#1=#1-3#2=45

GOTO50#3=25

N100G00X52Z2#4=45

N60IF[#4LT-20]GOTO110

S1500M03#5=SQRT[#2*#2-#4*#4]

#1=0#6=25*#5/45

G01X[2*#6+#1]Z[#4-45] N110G00X52Z2

#4=#4-0.5M99

GOTO60

方法二:利用橢圆角度和复合循环指令编写

加工如图2所示椭圆轮廓

椭圆方程为z=acos,x=bsin

其中:a为椭圆长半轴半径,b为椭圆短半轴半径

程序如下:

O0002

G99T0101

S1000M3

G00X62Z2

G73U3R4

G73P10Q20U0.5W0.1F0.2

N10G00X45.707F0.1

G01Z0

#1=41.5

N50IF[#1GT128.8]GOTO100

#2=45*COS[#1]-26

#3=28*SIN[#1]

G01X[2*#3]Z[#2]F0.2

#1=#1+1

GOTO50

G1X50.165Z-46

N20X62

N100G0X62Z2

G70P10Q20

G00X100Z100

M30

上述两种方法都使用了IF[条件表达式]GOTOn语句,当然也可以用WHILE[条件表达式]DOm(m=1,2,3)ENDm来表达,此处略。以上两种方法共同的特点是椭圆度好,形状逼真,遇到加工刀尖圆弧半径较大时,加上刀具半径补偿,效果会更好,一般在要求严格要求和时间充裕的情况多采用,但它们的缺点是由于椭圆分层切削,加工路径多,时间长。而一般技能比武和大赛时的时间控制的比较紧,为了在少失分或不失分的情况下提高加工速度和效率,我们往往推荐学生采用接下来的第三种方法。

方法三:利用车锥法切除大余量,调用椭圆宏程序精车

在多数情况下,椭圆的精度并不需太高,这时可将椭圆圆弧用多段连续逼近的直线段代替,正常情况下形状同样能达到逼真的效果而加工速度却大大提高。

具体方法是:

首先将待加工的椭圆圆弧上均匀取得5~7个点(取点个数视椭圆圆弧长短而定,同时应尽量对称,便于计算)。如上例中,可将椭圆圆弧对称取A-F六个点(如图3)。

然后利用椭圆方程求出这些点的坐标,再按A-B-C-D-E-F的加工顺序依次加工完成用车锥法很快去除大部分余量,只需留出单边1mm余量。最后再用椭圆宏程序精车,同样在遇到加工刀尖圆弧半径较大时,要考虑刀具半径补偿。

方法四:利用倒圆法切除大余量,调用椭圆宏程序精车

根据制图中椭圆的近似画法,可以将椭圆看成四段近似圆弧链接而成(由于回转体对称性,加工时只需考虑两段)。

如图4,先求出椭圆的AB段的圆弧半径R1。

结束语:宏变量编程的引入,提高了我们编写复杂程序的效率,充分发挥了CNC机床运行的功能。宏程序在实际加工中有着广泛的应用,它虽然不能取代CAD/CAM软件,但在简化手工编程方面有着重要的作用。

参考文献:

1.袁锋.《全国数控大赛试题精选》,机械工业出版社

2.陈海舟《数控铣削加工宏程序及应用实例》,机械工业出版社

3.王幼龙《机械制图》,高等教育出版社

4.李锋、白一凡.《数控铣削变量编程实例教程》,化学工业出版社

椭圆配合件的编程方法简析篇4

1 G71复合循环指令编程

对于加工台阶轴和台阶孔等余量不均匀毛坯的内、外轮廓粗加工, 常用复合循环G71指令来完成, 其编程格式为:G71U (△d) R (e) ;G71 P (ns) Q (nf) U (△u) W (△w) F_S_T_;运用G71指令进行编程加工时的注意事项: (1) G71指令程序P、Q后必须带有地址ns、nf, 并且该地址与轮廓精加工路径程序的顺序号对应。 (2) ns程序段必须为直线进给方式, 且只能为X方向进给。 (3) G71指令精加工轨迹必须是单调递增或单调递减的。

2 G73仿形复合循环指令编程

G73封闭车削复合循环, 也叫仿形车削。当毛坯和成品的形状比较类似的时候使用, 比如铸件和锻件毛坯的车削。其格式为:G73U (Δi) W (Δk) R (d) ;G73 P (ns) Q (nf) U (△u) W (△w) F_S_T_;运用G73指令进行编程加工时的注意事项: (1) ns程序段必须为直线进给方式, X和Z可以同时出现, 即X方向和Z方向可以同时进给。 (2) 运用G73指令编程加工时, 要针对不同的加工材料, 合理确定各切削参数。

3 G70精车循环指令编程

零件经过G71、G73指令车削完成粗加工后, 接下来就可以用G70来进行精加工, 切除粗加工中预留下来的余量, G70编程格式为:G70 P (ns) Q (nf) F_。

4 合理选择G71与G73指令进行粗车循环加工

结合G71和G73两个编程指令的结构特点和加工适用范围, 合理选择程序对产品外圆轮廓进行粗车循环加工, 可以保证产品质量并且提高产品的加工效率。在选择过程中主要考虑以下几个方面: (1) 对于毛坯余量不均匀的轮廓应尽量采用G71指令编程加工, 可以提高加工效率。 (2) 对于不能使用G71指令进行加工的情况时, 才选择G73指令进行加工。 (3) 在同一个零件中, 有时G71和G73指令可以结合运用, 比如对于非单调递增或递减的外轮廓可以先用G71加工部分单调轮廓, 然后再用G73加工非单调部分轮廓。

5 内/外螺纹单一固定循环G92指令的编程加工

螺纹切削循环G92指令适用于切削圆柱螺纹和圆锥螺纹, 每指定一次, 螺纹切削自动进行一次循环, 循环路线与外径/内径切削循环基本相同。

5.1 圆柱螺纹切削循环

格式:G92 X (U) _Z (W) _F_;该指令的执行过程如图1 (a) 所示。

5.2 圆锥螺纹切削循环

格式:G92 X (U) _Z (W) _R_F;该指令的执行过程如图1 (b) 所示。

6 螺纹切削复合循环G76指令的编程加工

该指令用于螺纹自动循环车削加工, 程序结构比G92指令复杂, 但螺纹参数只需在程序中指定一次, 就可自动加工螺纹。螺纹车削过程中, 除程序指定第一次车削深度外, 其余各次车削深度自动计算, 该指令的执行过程如图2所示。

说明: (1) m:精车重复次数, 从01~99, 用两位数表示, 该参数为模态值。

(2) r:螺纹尾端倒角值, 其值为 (0.0~9.9) L, 其中L为导程, 以0.1为一档增加, 设定时用两位数, 即从00~99, 该值为模态值。

(3) α:螺纹牙型角, 即刀尖角度, 可以选择0°、29°、30°、55°、60°和80°六种中的一种, 由两位数规定, 该值为模态值。m、r、α用地址P同时指定, 例如, m=2, r=1.2L, α=60°, 表示为P021260。

(4) Δdmin:最小切削深度, 用半径值指定, 单位为μm。每次切削深度为 () , 当第n次切削, 深度小于这个极限值时, 以该值进行切削, 该参数为模态值。

(5) d:精车余量, 用半径值, 单位为mm, 该参数为模态值。

(6) X (U) 、Z (W) :螺纹终点的绝对坐标或增量坐标。

(7) i:螺纹两端的半径差, 如果i=0则为直螺纹切削方式, 可以省略。

(8) k:螺纹牙型高度, 用半径值, 单位为μm。

(9) Δd:第一次切削深度, 半径值, 单位为μm。

(10) L:螺纹导程。

7 G92和G76两种螺纹加工方法的区别

G92螺纹切削单一固定循环采取直进式进刀方式加工, 刀具两侧同时参与切削加工, 切削力较大, 而且排屑比较困难, 因此在切削加工过程时, 螺纹刀两侧切削刃容易磨损, 影响刀具寿命。当加工螺距较大的螺纹时, 由于切削深度增大, 刀刃磨损加快, 从而造成螺纹中径产生误差。但由于G92是刀尖参与切削, 所以加工的牙形精度较高, 一般适用于加工小螺距高精度螺纹。

G76螺纹复合切削循环采用斜进式进刀方式, 由于只有单侧刀刃参与切削工件, 所以刀刃容易磨损, 从而造成所加工的螺纹面不直, 刀尖角发生变化, 因此螺纹牙形精度较差。但由于其为单侧刀刃参与切削, 刀具负载较小, 排屑比较容易, 而且切削深度逐渐递减, 因此, 本加工方法一般适用于加工大螺距低精度螺纹。

8 内螺纹程序编制的注意事项

数控车床的内加工比较方便, 但对编程要求更严, 轨迹安排一定要正确合理, 避免干涉。

(1) 使用固定循环要注意进刀时的位置。

(2) 退刀过程中不能碰撞零件。

(3) 螺纹升速起刀段不小于两倍导程, 降速退刀段不小于1~1.5倍导程。内螺纹加工时一般没有轴向空间进行降速退刀, 这时应充分利用数控指令的退尾功能。

(4) 图纸上标注的公称直径就是螺纹的大径, 加工时的编程深度 (X值) 由此决定。

(5) 在内螺纹切削加工时, 由于内螺纹刀的挤压作用, 使最后加工出来的牙顶径膨胀, 产生塑性变形, 使得螺纹小径变小, 因而影响螺纹的正常配合和使用。因此, 在螺纹切削前的圆柱内孔加工时, 多切除一部分材料, 将孔车大一定数值, 这个值一般也是0.2~0.3mm。

9 编程加工方便, 提高产品精度

数控车床通过对刀补的设置和磨耗的修改, 来提高产品的加工精度。在程序编辑和零件加丁过程中要合理制定加工工艺, 灵活运用编程指令来提高零件精度的可控性。运用实例如图3、4所示:

9.1 零件图的工艺分析

如图3、4所示是-套内外螺纹配合件的加工, 包括内、外螺纹的切削加工, 以及椭圆外轮廓的切削加工, 根据零件图的精度要求可知, 椭圆外轮廓配合精度要求较高, 而且要求曲面光滑连贯。因此椭圆外轮廓必须通过一段程序一次性加工, 所以此处工艺性要求较高, 它的表面质量是通过两件配作加工而成的。材料为45#钢, 选择毛坯尺寸分别如下, 件1:Φ50mm×100mm, 件2:Φ50mm×55mm。

9.2 加工方案及加工工艺路线的确定

以工件右端面中心作为坐标系原点确定工件加工坐标系。根据零件尺寸精度和技术要求进行分析, 可将外轮廓粗、精加工、内、外螺纹配合和椭圆外轮廓加工分开来考虑, 最好确定的加工工艺路线为:

9.2.1 椭圆配合件的外轮廓加工:

用外圆车刀加工件2外圆轮廓, 可用G7 l、G70指令进行粗、精加工, 如程序O0001→换外螺纹刀加工, 可用G92指令编程, 如程序O0002;

9.2.2 椭圆配合件的内螺纹加工:

用外圆车刀加工件1左端外圆轮廓, 可用G7 l、G70指令分别进行粗、精加工, 如程序O0003→换外槽刀加工V型槽, 可用G01指令, 如程序O0004→掉头装夹, Φ20的钻头钻深度为20的内孔→换内孔刀加工内轮廓, 可用G7 l、G70指令分别进行粗、精加工, 如程序O0005→换内螺纹刀加工内螺纹, 可用G92指令编程, 如程序O0006;

9.2.3 内外螺纹配合后, 加工椭圆外轮廓:

用外圆车刀加工配合件椭圆外轮廓, 可用G7 l、G70指令分别进行粗、精加工, 如程序O0007。

9.3 夹具的选择与零件的装夹

夹具采用机床本身的标准三爪自定心卡盘, 在合适的位置固定零件, 找正夹紧。

9.4 刀具的选择

选择1号刀为90度硬质合金外圆车刀, 其副偏角较大, 加工所以外轮廓。选择2号刀具为硬质合金外槽刀, 其刀片宽度为3mm, 用于V型槽的加工。选择3号刀具为60度硬质合金外螺纹刀, 用于加工M24*1.5-6g的外螺纹。选择4号刀具为硬质合金内孔车刀, 用于加工Φ25的内轮廓, 选择5号刀具为60度硬质合金内螺纹刀, 用于加工M24*1.5-6H的内螺纹。

9.5 各程序段

外螺纹椭圆配合的加工程序 (见图5) :

1 0 结束语

通过此法, 加工后的零件表面粗糙度达到了Ra1.6, 外圆尺寸全部满足零件设计要求, 椭圆外轮廓光滑过渡没有接刀痕, 几乎完全符合设计要求。有效解决了内、外螺纹配作零件车削加工的难题, 并为高硬度材料零件的切削加工提供了一些经验。综合分析整个零件加工过程, 我们可以得到如下的结论:只有熟悉并掌握各个编程指令的加工特点, 真正发挥出各编程指令的作用, 并且能融会贯通, 灵活地使用各种指令, 才能切实提高产品加工精度, 才能真正提高产品加工效率, 促进数控车床编程加工技术的发展。

参考文献

[1]王清明, 卢泽声, 梁迎春.亚微米数控车床误差补偿技术研究[J].中国机械工程, 1999, 10 (10) .

[2]龚洪浪.提高数控车床加工质量的措施[J].机械工人 (冷加工) , 2006 (1) :37-39.

椭圆在数控车床上的编程探讨篇5

椭圆的方程式有两种, 一种是标准方程, 一种是参数方程, 本文以标准方程为例进行讲解。

1 椭圆公式在数控车床中的运用

1.1 焦点在z轴 (见图1)

其中a为椭圆长半轴, b为椭圆短半轴

1.2 焦点在x轴 (见图2)

其中a为椭圆长半轴, b为椭圆短半轴

2 宏程序中的相关运算符与表达式

1) 算术运算符:+、—、×、÷

2) 条件运算符:EQ (=) 、NE (≠) 、GT (>) 、GE (≥) 、LT (<) 、LE (≤)

3) 逻辑运算符:AND、OR、NOT

4) 函数:SIN (正弦) 、COS (余弦) 、TAN (正切) 、ABS (绝对值) 、SQRT (开方)

5) 表达式:用运算符连接起来的常数、宏变量构成表达式, 例如:[#1+#3]/2+2

3 循环语句 (WHILE)

格式:

WHILE条件式

……

4 实例例题 (见图3)

程序如下 (材料为Φ40mm的45#钢, 以Z为变量, X为自变量编写的宏程序)

其实不论椭圆的焦点在Z轴上, 还是在X轴上, 都可以以X为变量, Z为自变量或以Z为变量, X为自变量进行编程, 但要注意的是, 若需加工的椭圆大于1/2椭圆, 且以X为变量, Z为自变量进行编程的话, 需要分两步进行宏程序的编程[2], 以1/2椭圆为界限, 就像上述例题6。

5 结束语

上述通用的规律只适用于一般椭圆的编程, 对于旋转了一定角度的椭圆不适用此编程。

摘要：在近几年全省的数控车床大赛中我们可以看出, 随着整个社会制造业的快速迅猛发展, 各命题专家的命题思路显然已从简单的考核要领转化为较为复杂的考核要求, 不断地在竞赛考核中添加新知识、新技能。而对宏程序的考核更是重中之重。这对老师、学生的技术要求都相对较高。这样也促使我们得不断地学习新知识、新技能。本文结合实例, 针对椭圆在数控车床上的编程技巧进行研讨。

关键词：竞赛,宏程序,椭圆,编程技巧

参考文献

[1]顾晔, 楼章华.数控加工编程与操作[M].北京:人民邮电出版社, 2009.

数控车实训中斜椭圆的编程篇6

关键词：标准椭圆,斜椭圆,宏程序

在数控车削中级工教学中, 一直是比较简单的零件加工, 并不涉及一些复杂形面, 加工工艺也较简单。在一次数控竞赛中, 我看到了一些更为复杂的零件图, 有着好几个零件的装配, 而且每单个零件的形面也很复杂, 除了简单的直线与圆弧连接外, 还有直线与椭圆 (或抛物线、双曲线、正余弦曲线等各种非圆曲面) 的连接。简单的直线与圆弧连接完全可以用直线插补和圆弧插补来完成, 而针对我们遇到的椭圆、抛物线、双曲线、正余弦曲线等各种非圆曲面, 我们如何通过数学处理后进行手动编程, 这是我们进行零件加工前首先要解决的问题。如果利用数控软件进行自动编程相对简单, 但我们学生在数控实训中主要是依靠手动编程, 基本不采用自动编程, 所以我们要就复杂形面的手动编程进行探讨。

我们先解决零件图中椭圆的椭圆轴线与数控车床坐标轴重合的轮廓编程, 然后再解决椭圆轴线与数控车床坐标轴呈一定夹角。数控车床的数控系统本身不存在加工椭圆等非圆曲线的指令, 也没有类似加工中心的旋转指令。我们在数控车削中利用宏程序, 通过参数变量赋值、算术运算、逻辑运算、条件转移和曲线方程来表达斜椭圆轮廓。

1 标准椭圆

在数控车削中加工标准椭圆也需要用宏程序来完成, 利用标准方程中变量的变化来确定随变量的值。

1.1 标准椭圆方程

椭圆方程有两种形式, 分别是椭圆的标准方程和参数方程。

椭圆参数方程:X=acosθ

Z=bsinθ

其中a、b分别为X、Z所对应的椭圆半轴。

1.2 椭圆中心偏移的标准椭圆方程

如果椭圆中心不在编程坐标系原点, 若椭圆中心离坐标系原点为I (X方向) 、K (Y方向) 距离, 如图1所示, 在原坐标系下, 椭圆的参数方程变为:

2 标准椭圆与斜椭圆关系

斜椭圆是由标准椭圆绕着椭圆中心点旋转一定的角度, 一般情况下, 我们认为逆时针方向旋转为正, 顺时针旋转为负。标准椭圆可以利用宏程序来完成编程, 但椭圆偏转一定角度后, 如何来完成编程。首先要先来解决偏转后椭圆的数学方程, 通过一定的数学公式运算, 找到斜椭圆与标准椭圆的旋转关系, 然后通过角度这个参数变量的变化, 来表达斜椭圆曲线。

若正椭圆绕圆心旋转θ角, 则原来正椭圆上任意一点Q跟着椭圆一起旋转后对应着的点记为Q’如图2所示, 我们一起分析由正椭圆旋转为斜椭圆后的公式变化。先作辅助线OQ和OQ’, 则两连线的长度是相等的, 两线段的夹角等于θ, 点O为椭圆的中心, 也是旋转中心, 角θ为旋转角。

按图2所示建立直角坐标系, 以原点O为旋转中心, 旋转角为θ, 正椭圆上任意一点Q (X, Z) 旋转到Q’ (X’, Z’) , 令OX和OQ夹角为α, 则OX和OQ’的夹角为α+θ。则:

可以得到标准椭圆旋转为斜椭圆的旋转公式为:

其中, X’、Z’为旋转后的坐标, X、Z为旋转之前的坐标值, θ为旋转角度。注意, 椭圆逆时针旋转时, 公式中的θ角取正值;顺时针旋转时, θ角取负值。

斜椭圆。

2.1 终点起点的角度计算

在利用椭圆参数方程编制加工程序中, 终点和起点的角度是重要的一步, 因为终、起点直接影响着加工零件的几何形状。我们在加工过程中用旋转公式求得未旋转前X、Z的坐标。最后进行椭圆角度的计算。

由旋转公式:

对上述两数学式第一个左右两边乘上sinθ, 第二个左右两边都乘上cosθ得:

上述两数学式相加得:

由于:sin2θ+cos2θ=1, 简化上式得:Z'=Zcosθ+X'sinθ

旋转公式求椭圆角度先分别将A、B的坐标代入旋转变换公式中进行运算, 最终分别求得A、B没有旋转之前的坐标值A’、B’的坐标 (如图3所示) , 最后用椭圆参数方程求得没有旋转之前的椭圆角度。

例:如图3所示, 以O1为原点, 点A’的坐标为 (3.804, 8.157) , 点B’的坐标为 (14.101, -4.359) , 其中椭圆的长半轴和短轴分别为15、9, 旋转角度为25°。求没有旋转之前的椭圆起点和终点角度。

综上, 求得椭圆旋转前的起点和终点角度分别为0°和77.115°。

2.2 实例解析

用数控车床切削零件图如图3所示, 分析斜椭圆轮廓的编程。

3 结语

在数控车削实训过程中, 学生对标准椭圆加工已经掌握, 在一次无意中发现椭圆旋转后的图形。通过数学知识, 寻找标准椭圆与斜椭圆之间的关系, 确定角度的变化。涉及参数变化的编程都需要用宏程序来完成, 在宏程序的编程过程中, 需要记住法兰克系统宏程序编程的相关格式要求以及宏程序编程的原理。其编程主要是对加工原理的理解。只有对加工原理和宏程序编程的相关格式要求足够了解和掌握, 才能熟练地应用宏程序, 发挥高效、准确、方便和占用较少资源的优势。

参考文献

[1]时建.数控车工技师技能训练[M].北京:中国劳动社会保障出版社, 2007.

椭圆族中的奇葩——黄金椭圆篇7

由一条线段上的黄金分割点引出了平面几何中许多优美的性质, 同样地, 作为高中数学重点内容的椭圆族中, 照样有一个让师生探究不止的黄金椭圆.那么, 何谓黄金椭圆呢?目前有两种定义方式:一种是短轴与长轴之比 $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆叫黄金椭圆;另一种是焦距与长轴之比 (离心率) $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆叫黄金椭圆.笔者认为后一种定义相对比较合理, 因为:一是 $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ (其中a, b分别为椭圆的长半轴和短半轴) 没有反映出黄金分割点;二是由圆锥曲线的定义“平面内到一定点的距离与到一定直线 (不过定点) 的距离之比等于常数e的动点轨迹”可知, 离心率是圆锥曲线的核心, 从极坐标方程 $ρ = - \frac{e p}{1 - e c o s α}$ 也能体现出这一点.下面本文拟根据第二种定义对黄金椭圆的部分性质作一些探讨, 以期达到抛砖引玉, 对圆锥曲线中更多的特殊性质能够进一步地去挖掘和探索, 同时对中学生更深入地学习圆锥曲线起到引导作用.

1黄金椭圆的一些相关概念

为了后面探讨性质的需要, 这里须对这个特殊椭圆一些概念作些说明.

首先是黄金椭圆的概念.如果椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ , 则把这样的椭圆叫做黄金椭圆, 其中焦点F1, F2叫做椭圆的黄金焦点.

其次是共轭直径的概念.在椭圆中, 一组平行弦的中点的轨迹是一条介于椭圆之间, 并且通过椭圆中心的线段, 则这条线段叫做椭圆的直径.如果AB和CD表示椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两条直径, 其中AB平分平行于CD的弦, CD平分平行于AB的弦, 那么AB, CD这两条直径就是椭圆的共轭直径, 如图1所示.

2黄金椭圆的一些性质探究

为了以下性质探究的方便, 在不影响黄金椭圆性质的条件下, 须做两点假设:第一, 以椭圆的中心为原点, 两焦点所在直线为x轴建立直角坐标系;第二, 由于离心率相等的椭圆都相似, 所以不妨设长半轴a=2, 半焦距 $c = \sqrt{5} - 1$ , 这样椭圆的方程就为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2 (\sqrt{5} - 1)} = 1 .$

性质1 在黄金椭圆中, a, b, c为等比数列.

$\begin{array}{l} 证明 b^{2} = a^{2} - c^{2} = 4 - (\sqrt{5} - 1)^{2} \\ = 2 \times (\sqrt{5} - 1) = a c . \end{array}$

性质2 在黄金椭圆中, $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}} .$

$\begin{array}{l} 证明 \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2 (\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4 (\sqrt{5} - 1)} \\ = \frac{(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)}{4 (\sqrt{5} - 1)^{2}} = \frac{1}{(\sqrt{5} - 1)^{2}} = \frac{1}{c^{2}} . \end{array}$

性质3 从黄金椭圆中心向过焦点和相应顶点的圆作切线, 则切线长等于短半轴长.

证明因为圆半径 $r = \frac{a - c}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ , 椭圆中心到圆心的距离为 $d = c + r = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ , 所以切线长 $l^{2} = d^{2} - r^{2} = 2 (\sqrt{5} - 1) = b^{2}$ , 即切线长等于短半轴长.

性质4 在黄金椭圆中, P为椭圆上任意一点, P在x轴上的射影为M, 椭圆在P点的法线交x轴于N, 则 $\frac{| Ο Ν |}{| Ο Μ |} = e^{2} .$

证明设P (x0, y0) , 则|OM|=|x0|.

对b2x2+a2y2=a2b2两边对x求导, 得

$2 b^{2} x + 2 a^{2} y y^{'} = 0 ‚ y^{'} = - \frac{b^{2} x}{a^{2} y} .$

即过点P切线斜率为 $k^{'} = - \frac{b^{2} x_{0}}{a^{2} y_{0}}$ , 过点P法线斜率为 $k = \frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}}$ , 过点P法线方程为

$y - y_{0} = \frac{a^{2} y_{0}}{b^{2} x_{0}} (x - x_{0}) .$

$\begin{array}{l} 则 | Ο Ν | = | \frac{c^{2} x_{0}}{a^{2}} | = | e^{2} x_{0} | ‚ \\ \frac{| Ο Ν |}{| Ο Μ |} = \frac{| e^{2} x_{0} |}{| x_{0} |} = e^{2} . \end{array}$

性质5 A1, A2, B1, B2是黄金椭圆的顶点, F1, F2是椭圆的黄金焦点, 则△A1B1F2, △A1B2F2, △A2B1F1, △A2B2F1都为Rt△.

证明欲证△A1B1F2为Rt△, 只须证A1B1⊥B1F2即可;其它同理可证之.

由题意知, $A_{1} (- 2 ‚ 0) ‚ B_{1} (0 ‚ - \sqrt{2 (\sqrt{5} - 1)}) ‚ F_{2} (\sqrt{5} - 1 ‚ 0)$ , 得

$\begin{array}{l} k_{A_{1} B_{1}} = \frac{- \sqrt{2 (\sqrt{5} - 1)}}{2} = - \frac{\sqrt{2 (\sqrt{5} - 1)}}{2} ‚ \\ k_{B_{1} F_{2}} = \frac{- \sqrt{2 (\sqrt{5} - 1)}}{- (\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{2 (\sqrt{5} - 1)}}{\sqrt{5} - 1} ‚ \\ k_{A_{1} B_{1}} \cdot k_{B_{1} F_{2}} = - 1 ‚ 即 △ A_{1} B_{1} F_{2} 为 R t △ . \end{array}$

性质6 A1, A2, B1, B2是黄金椭圆的顶点, 则菱形A1B1A2B2的内切圆经过黄金焦点.

证明欲证菱形A1B1A2B2的内切圆经过黄金焦点, 只须证Rt△A1B1O的斜边上的高h=c.

因为 $| Ο A_{1} | = a, | Ο B_{1} | = b, | A_{1} B_{1} | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , 所以由 $\frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} h \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , 得

$\begin{array}{l} h = \sqrt{\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{3} c}{a^{2} + a c}} = \sqrt{\frac{(b^{2} + c^{2}) c}{a + c}} \\ = \sqrt{\frac{(a c + c^{2}) c}{a + c}} = \sqrt{c^{2}} = c . \end{array}$

性质7 在黄金椭圆中, $\frac{b^{2}}{a^{2}} = e .$

证明 $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{a c}{a^{2}} = \frac{c}{a} = e$ , 即命题成立, 亦即短轴与长轴之比的平方等于离心率.

性质8 在黄金椭圆中, 左 (右) 黄金焦点到左 (右) 准线的距离等于长半轴, 即 $| - \frac{a^{2}}{c} + c | = a .$

$\begin{array}{l} 证明 | - \frac{a^{2}}{c} + c | = | \frac{a^{2}}{c} - c | = | \frac{a^{2} - c^{2}}{c} | \\ = | \frac{b^{2}}{c} | = | \frac{a c}{c} | = a . \end{array}$

即命题成立.

性质9 圆心在原点半径为c的圆与黄金椭圆的面积之比等于 $\sqrt{e^{3}} .$

$\begin{array}{l} 证明由假设知 ‚ 圆的半径 r = \sqrt{5} - 1 ‚ \\ \frac{S_{圆}}{S_{椭圆}} = \frac{π \cdot r^{2}}{π \cdot a b} = \frac{(\sqrt{5} - 1)^{2}}{2 \sqrt{2 (\sqrt{5} - 1)}} \\ = \sqrt{\frac{(\sqrt{5} - 1)^{4}}{8 (\sqrt{5} - 1)}} = \sqrt{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^{3}} = \sqrt{e^{3}} . \end{array}$

即命题成立.

性质10 在黄金椭圆中, 两条互为共轭直径所在直线的斜率 (斜率存在) 之积为-e.

证明设一组平行弦的斜率为k, 则椭圆的这条直径所在直线方程为 $2 (\sqrt{5} - 1) x + 4 k y = 0$ , 即这条直线的斜率为 $k^{'} = \frac{2 (\sqrt{5} - 1)}{4 k}$ , 所以 $k \cdot k^{'} = - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = - e$ , 即命题成立.

性质11 不平行于黄金椭圆对称轴的切线斜率与经过该切点和中心的直线斜率之积为-e.

证明设EF是不平行于黄金椭圆对称轴的切线.切点为P (x0, y0) , 如图2所示.

由假设知EF的方程为

$\frac{x_{0} x}{4} + \frac{y_{0} y}{2 (\sqrt{5} - 1)} = 1$ ,

$\begin{array}{l} 即 y = - \frac{(\sqrt{5} - 1) x_{0}}{2 y_{0}} x + \frac{2 (\sqrt{5} - 1)}{y_{0}} ‚ \\ k_{E F} = - \frac{(\sqrt{5} - 1) x_{0}}{2 y_{0}} . \end{array}$

又 $k_{Ο Ρ} = \frac{y_{0}}{x_{0}}$ , 所以

$k_{E F} \cdot k_{Ο Ρ} = - \frac{(\sqrt{5} - 1) x_{0}}{2 y_{0}} \cdot \frac{y_{0}}{x_{0}} = - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = - e .$

即命题成立.

性质12 不平行于黄金椭圆对称轴且不经过椭圆中心的弦所在直线的斜率与经过该弦中点和椭圆中心的直线斜率之积等于-e.

证明如图3, CH是不平行于黄金椭圆对称轴且不经过椭圆中心的弦, R是GH的中点.

设G (x1, y1) , H (x2, y2) , 则 $R (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ‚ \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) .$

由题意, 有

$\begin{array}{l} k_{G Η} = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} ‚ \\ k_{R Ο} = \frac{y_{1} + y_{2}}{x_{1} + x_{2}} . \end{array}$

故 $k_{G Η} \cdot k_{R Ο} = \frac{y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} . (1)$

又G, H是黄金椭圆上的点, 所以

$\begin{array}{l} y_{1}^{2} = 2 (\sqrt{5} - 1) (1 - \frac{x_{1}^{2}}{4}) ‚ (2) \\ y_{2}^{2} = 2 (\sqrt{5} - 1) (1 - \frac{x_{2}^{2}}{4}) . (3) \end{array}$

将 (2) 、 (3) 代入 (1) 式, 得

$\begin{array}{l} k_{G Η} \cdot k_{R Ο} = \frac{2 (\sqrt{5} - 1) [(1 - \frac{x_{1}^{2}}{4}) - (1 - \frac{x_{2}^{2}}{4})]}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} \\ = - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = - e . \end{array}$

性质13 如图4, MN是经过黄金椭圆中心的弦, T是黄金椭圆上任意一点 (顶点除外) .如果TM, TN的斜率都存在且不为0, 则kTM·kTN=-e.

证明设M (x0, y0) , 任意一点T (x′, y′) , 则N (-x0, -y0) .

由题意, 有

$k_{Τ Μ} = \frac{y^{'} - y_{0}}{x^{'} - x_{0}} ‚ k_{Τ Ν} = \frac{y^{'} + y_{0}}{x^{'} + x_{0}}$ , 故 $k_{Τ Μ} \cdot k_{Τ Ν} = \frac{y^{'}^{2} - y_{0}^{2}}{x^{'}^{2} - x_{0}^{2}} . (4)$

又T, M是黄金椭圆上的点, 所以

$\begin{array}{l} y^{'}^{2} = 2 (\sqrt{5} - 1) (1 - \frac{x^{'}^{2}}{4}) . (5) \\ y_{0}^{2} = 2 (\sqrt{5} - 1) (1 - \frac{x_{0}^{2}}{4}) . (6) \end{array}$

将 (5) 、 (6) 代入 (4) 式, 得

$\begin{array}{l} k_{Τ Μ} \cdot k_{Τ Ν} = \frac{2 (\sqrt{5} - 1) [(1 - \frac{x_{1}^{2}}{4}) - (1 - \frac{x_{2}^{2}}{4})]}{x^{'}^{2} - x_{0}^{2}} \\ = - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = - e . \end{array}$