参数平差

参数平差（通用4篇）

参数平差 篇1

0引言

中国人均土地资源紧张,尤其是东部地区,若能提高现有输电线路的输送能力,不仅有助于提高电网抵御高峰负荷及扰动情况下的能力,而且可以缓建或少建线路,有显著的社会和经济效益。因此,动态热定值(dynamic thermal rating,DTR)技术受到广泛关注并得到实践[1,2,3,4,5]。

围绕热平衡方程原理展开的DTR技术实现, 需获取输电线路温度及环境参数。目前,其获取方式可分为两种:一种是在输电线路沿线配置相应的量测设备,直接通过测量手段获取[6],另一种则通过已有的电气量测信息,采用估计方法间接得到所需参数[7,8]。前一种方式需要安装大量的量测设备,目前看来尚不具备经济可行性;后者充分利用和挖掘现有的数据采集与监控(SCADA)数据,构成大数据分析,不仅可节省配置测量设备的费用,而且依据电气量衡量输电线路运行行为与输电线路温度之间的关系,具有良好的应用前景。然而,实验数据表明, 在基于SCADA信息对输电线路温度估计的解决方法中,当量测数据,尤其是有功功率观测值出现微小波动时,会导致解的显著变化,即解的不稳定性。如何解决此种由量测带来的不适定问题,是提高输电线路温度估计精度和推广软DTR技术应用的瓶颈。

文献[8]在测量数据处理中,假设观测误差仅含有偶然误差且误差服从一定的概率分布,不含系统误差和粗差,观测真值表达为状态变量的非线性函数,即观测值已被完全参数化。但实际上,产生观测误差的因素很多,除偶然误差外的其他误差被完全忽略,当被忽略的误差较大时,会使估计结果严重偏离实际,甚至会导致错误的结论[9,10]。针对该问题, 已在测绘领域中得到工程应用[10,11,12,13,14]的半参数回归模型提供了较好的解决思路,本文以地区电网短输电线路为研究对象,采用半参数回归分析方法开展了软DTR应用的深入研究,建立了半参数平差模型, 在确定未知误差的同时将其与偶然误差进行分离, 可有效提高输电线路温度估计的精度。文中对该方法的实现进行详细的分析。结果表明,采用相同电网测量数据,与传统最小二乘估计模型相比,该方法更有效。

1软DTR概念

图1为输电线路 π形等值电路示意图,其中集中阻抗由电阻R和电抗X组成,对地电纳为Y= j B0,本文暂忽略电导因素。选取阻抗支路通过的电流相角为参考相角(0°),其辐值为I,V1∠θ1和V2∠θ2分别为输电线路首末节点的电压相量。基于SCADA的输电线路温度估计模型中,定义扩展

针对某一时间断面的量测方程为:

式中:V1m和V2m分别为输电线路首末节点电压幅值量测;I1m和I2m分别为输电线路首末端电流幅值量测;Pm和Qm分别为输电线路有功功率和无功功率损耗,Pm=P1+P2,Qm=Q1+Q2;v1,v2,…,v6为等效随机误差。

基于式(1)—式(7)对电阻R进行估计,根据电阻与输电线路间的耦合关系,即可得到输电线路的温度估计。对连续不断的多个时间断面进行持续估计即可获取输电线路的温度轨迹:T1,T2,…,Tk。

在输电线路运行中,短时间内,载流引起的发热在工程上可简化表达成如下微分方程:

式中:分别为对应散热、载流引起发热、综合影响的时变系数。

至此,根据实测SCADA数据,估计输电线路温度轨迹的同时,据式(8)又可实现对时变参数的跟踪估计,从而达到DTR的功能。按此,若每条输电线路均实现了软DTR功能,再配合电网的状态估计,即可实现有前瞻性的电热协调调度与控制。而上述软DTR思想应用的关键在于对电阻R的精确估计。

2应用中存在的问题

观察式(1)—式(7)可知,输电线路电阻R仅出现在式(6)及式(7)中,式(7)作为伪量测,其误差项为零,将其代入式(6),可得:

正常运行情况下,对于短输电线路有:V1≈V2,θ1-θ2≈0,即δV≈0,若式(9)中Pm含有未知系统误差,且该系统误差相对于随机误差v6不能忽略时,该误差将会被放大,等式左边数值将会出现较大变化,从而对电阻估计值产生严重的影响。

通过含有估计误差的对输电线路温度进行计算:

式中:T为输电线路实际温度;T0为厂家设定参考温度;R0为对应参考温度的电阻;α为对应输电线路材料的温度变化系数,对于铝,α=0.003 6 ℃-1, 对于铜,α=0.003 82 ℃-1。

由于系数α<1℃-1,估计误差被进一步放大,使得最终的结果有可能远远超出合理范围。虽然采用递推估计可以平滑估计结果,提高估计精度,然而该方法也带来负面的影响:当某一时间断面出现一次不良结果时,该不良结果将降低后面多个连续估计结果的精度。因此,采用有效的方法消除Pm量测中的未知误差,则是实现精确估计输电线路温度的关键。

3解决思路

首先,将状态变量分为两类:x1=[V1,V2,θ1,θ2]T,x2=[I2,R]T。对应的量测矢量分为:z1=[V1m,V2m,I21m,I22m,Qm]T,z2=[Pm,0]T。则式(1)—式(7)改写成如下形式:

式中:h1和h2为相应的矢量函数;v为随机误差向量。

随机误差向量v服从N ~(0,R)分布,其中R为量测误差方阵,定义如下:

同样,量测函数的雅可比矩阵可改写为:

将式(13)代入加权最小二乘估计的信息矩阵, 可得到:

其中,经推导可得:

式(14)可写为:

令

式中:σP2和σ02分别对应量测方程式(6)和式(7)的量测方差。

则有

由于σ02对应于伪量测方程式(7)的量测方差, 即1/σ02≈ ∞,则式(18)中各元素值约等于正无穷, 因而有:

于是引入假设:

则式(16)变为:

式(21)表明状态变量x1与x2可以解耦后分别估计。观察z2,其中式(7)作为恒等式,可以代入式(6),则z2量测方程组可缩减为一个表达式:

式中为根据解耦估计结果计算所得;v7为模型误差项,其包含估计误差项及所有未知误差项之和。

至此,若已估计出输电线路载流,对R的估计将主要依赖于Pm完成,如何在连续时间段内,利用有功功率损耗Pm估计输电线路电阻,下文将予以详细阐述。

4基于半参数模型的输电线路温度估计

在较短时间内,考虑输电线路电阻变化的连续及迟缓特性,可将t=1,2,…,n时间段内由式(22) 构成的观测量写为一组方程:

式中:L=[ΔP1,ΔP2,…,ΔPn]T,为可观测的输电线路有功功率损耗;系数矩阵y为待估计电阻向量[R1,R2,…,Rn]T;s为非随机未知误差向量;v为残差向量,服从分布N~(0,P),其中P为正定矩阵,可作为量测值L的权矩阵。

基于上述量测方程,建立半参数平差模型:

式中:β为给定的正纯量因子,在极小化过程中对v和s起平滑作用,因而又称平滑因子;M为正则化矩阵。

4.1 M的选取

由于观测值是在连续时刻t1,t2,…,tn得到的一个时间序列,从而可认为相邻时刻的模型误差si和si+1的差别不会太大,则可取M=GTG[12],其中:

此时构成相关关系,为使式(25)有唯一解,故必须增加一个约束条件:

式中:I为单位向量;ymin和ymax分别为输电线路运行在最低、最高温度时对应的电阻值。

采用原对偶内点法[13]求解优化模型式(24)、 式(25),引入松弛变量sy、障碍因子μ及拉格朗日乘子λ1和λ2,可得增广目标函数:

对应式(28)的一阶KKT条件如下:

式(29)经整理,可得降阶方程:

式中:Ymax=diag(ymaxI)。

根据式(30)求解出y和s,进而由式(29)可依次求出其他未知变量。

4.2 β的选取

前文中,β作为已知项,除通过经验选取外,通常采用L-曲线法及由噪声估值衍生的各类方法。 L-曲线法运算量较大,不适于工程在线运用,因而本文提出以信噪比的效率法来确定β。

式(25)中vTPv反映噪声估值,目标函数是采用补偿后最小二乘法所产生的误差,因而可定义噪声的相对效率为:

易知,0<η<1。由于式(31)为非线性方程组, 给定η后,β不能直接给出,只能在迭代过程中根据函数曲线性质逐渐逼近。下面将对曲线(η,β)的性质予以证明。

性质:设β>0,M和P均为给定对称方阵,则曲线(η,β)是严格单调递减函数。

对上述性质证明如下。

由式(30)可知:

将式(32)代入(24)并整理化简,可得:

则,式(31)变为:

式中:N=MTP-1M。

在式(34)中对β求导,得到:

式(35)方括号中第一项大于零,第二项中方阵S=sdsT/dβ可分解为一个对称阵B=(S+ST)/2和一个反对称阵C=(S-ST)/2之和[15],即

式(36)表明,式(35)中第二项结果也大于零,即,证明完毕。

4.3算法流程

至此,根据前文所述,利用有功功率损耗量测估计输电线路温度的完整算法流程如图2所示。

5算例及分析

为验证本文模型方法的有效性和实际可行性, 取山东荷泽地区电网220kV仿曹输电线路进行验证分析。 该输电线路型号为LGJ-400,全长33.18km,线路实测参数分别为R=2.529Ω,X= 15.464Ω,2B0=99.583×10-6S。

该输电线路量测设有首端有功功率、无功功率、 线电压及线电流,以及末端有功功率、无功功率、线电压及线电流等量测。取负荷较重的2013年1月2日16:30—17:30的实测数据(见附录A表A1), 采样间隔为5min。

采用文献[8]中方法进行估计,结果见表1。其中直接量测误差方差取值如下:电压、电流幅值均为0.1%,有功功率和无功功率均为1%。量测误差方阵R可依据误差传播定律进行计算而得,遗忘因子 λ=0.95。

表1为12个采样点分别独立估计与连续递推估计结果。表中数据显示,由于有功功率的微小误差即可导致估计结果出现较大的偏离,温度波动范围在[-62.74,40.58]℃ 之间,最大温差达到100 ℃以上,经递推估计修正的温度虽然波动幅度减小, 仍然为[-43.35,13.49]℃,估计结果不理想。

以本文的模型进行估计,取前15 min数据,选取不同值,结果见表2,其中T1,T2,T3分别对应3个采样时刻的输电线路温度估计值。

表2结果表明,随着β的增大,估计温度出现较大起伏,在β>100.0时,甚至出现较大的负温度。 由此可见,如何选取合适的β,是获取理想估计值的关键。

取相对效率η=0.95来确定β值,并对附录A表A1的原始数据进行估计,估计时以15min为时间段进行分组,估计结果见表3。

表3中数据显示,该测量时段内,输电线路温度较为稳定并且所有估计值均在合理范围内。

取β=1.5,分别取仿山站和曹城站实测电流模值作为A阵元素,温度估计结果如表4所示。

表4中数据显示,尽管采用不同方式选取I值有差异,但温度估计结果差别并不是很大,表明同一种选取I值方法所带来的误差,可作为系统误差的一部分经过半参数方法估计出来。从而,为实践工程提供一种快速求解的方法,即忽略对载流I的估计,采用实测值,利用线路的有功功率损耗,可直接对输电线路温度进行快速估计。

6结论

基于输电线路软DTR的思想,利用电气信息量,对输电元件温度进行估计,当观测值中存在没有参数化的系统误差或未知参数时,常规的最小二乘法很难发现和识别,使估计精度大大降低,估计结果严重偏离真实情况。本文提出以有功功率损耗为基础,建立半参数平差模型实现输电线路实时温度估计的方法,从而解决量测数据中系统误差对估计结果精度的影响。经过论证、分析,形成如下结论。

1)采用半参数回归分析模型建立的输电元件温度估计,可通过确定未知参数将模型误差与偶然误差进行分离,提高估计精度,并使结果趋于稳定。

2)平滑参数β及正则化矩阵M将直接影响估计的效率,实际应用中,如何选取合适的β及M还有待于进一步研究,但基于半参数模型的估计方法是有效可行的。

3)采用半参数方法对输电线路电阻进行估计时,结果主要受有功功率量测影响,流经线路的载流量的取值对估计结果影响甚微,因而可以仅利用有功功率及电流辐值的量测进行快速估计。

参数平差 篇2

说在学习前面的话：

测量平差是测绘专业一门重要的技术基础课，主要讲授数据处理的基本理论和方法，为今后专业学习打基础。

测量过程是由我们测量人员使用测量仪器在野外完成的，测量不可避免存在误差。为了检验测量成果的准确性和提高可靠性，还需要进行多余观测。

一、平差的任务和内容

任务：处理有观测误差的数据，估计带求量的最佳估值并评定精度。内容：建立观测误差的统计理论，研究误差的统计分布；

研究衡量观测成果质量的精度指标；

建立观测值和待求值的函数模型；

结合实践研究平差的各种方法；

研究预报和质量控制问题。

二、平差的理论支撑和学好的方法

理论支撑：数理统计，线性代数，高等数学。

方法：上课认真听讲，理解老师讲解的内容，做笔记，做习题。

三、误差的来源

水准测量中架设偶数站是为了消除什么误差？水准尺零点误差

水准测量中前后视距相等是为了消除什么误差？i角误差、大气折光差、地球曲率影响

1、测量仪器：由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制。例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本受制造工艺的限制也有一定的误差，因此，使用这样的水准仪和水准尺进行观测，就会使水准测量的结果产生误差。同样，经纬仪、测距仪、接收机等仪器的观测结果也会有误差的存在。

2、观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。

3、外界环境：观测时所处的外界条件，如温度、湿度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然的。反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会相对低一些。如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。但是，不管观测条件如何，观测的结果都会产生这样或那样的误差，测量中产生误差是不可避免的。当然，在客观条件允许的限度内，我们可以而且必须确保观测成果具有较高的质量。

通常把仪器、人、自然环境和观测对象的误差称为测量条件。

四、测量误差及分类

1、真值和真误差

真值：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。

估计值：与真值相对，以一定的精度反映一个量的数值。观测值：通过量测，直接或间接得到的一个量的大小。真误差：观测值与真值之差。公式表示为⊿=L-X.等精度观测：测量需要进行多余观测。在测量条件相同的条件下进行的观测称为等精度观测。我们主要学习等精度观测。(插入为什么要进行多余观察)较差：对同一个量两次观测值的差值。关于真值的一点说明：一个量的真值是客观存在的，但是往往通过一次或有限次观测不可能绝对消除，从未获得一个量的真值。怎么办？

统计学理论：一个仅受偶然误差影响的量，称为随机变量。如果一个观测值仅受偶然误差的影响，那么此观测值的所有可取值的平均值就是这个观测值的数学期望E(X)，也是这个观测量的真值。所以，测量里面，测得值的数学期望E(X)就是这个观测量的真值。

2、测量误差的分类

（1）粗差：作业人员粗心大意或仪器故障造成的差错。例：读错，听错，记错，算错等。处理方式：更正，舍弃，重新观测。

（2）系统误差：测量条件中的某些特定因素的系统性影响产生的误差。

特征：相同观测条件下，做一系列观测，系统误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。来源：①人差；②仪器差；③外界条件。

消除措施：对观测结果进行改正；制定科学的观测方法和操作程序；综合分析资料，发现系统误差，在计算中消除。

（3）偶然误差：指在相同的观测条件下作一系列的多余观测时，从单个误差看，该列误差的大小和符号表现出偶然性，无规律，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，也称随机误差。

处理方法：采用多余观测，本课程就是研究如何有具有偶然误差的观测值求出最或然值并进行精度评定。

需要知道的是：一切测量中，偶然误差是不可避免的；

系统误差和偶然误差在一定条件下可以相互转化；

五、关于数学期望E(X)的一些说明

前面说过，一个观测值的真值是客观存在的，在这个量仅受偶然因数的影响下，这个观测量的数学期望就是这个量的真值。下面简单介绍下数学期望。

（1）产生的背景

赌局问题：

A，B两人赌技相同，各出赌金100元，并约定先胜三局者为胜，取得全部200元由于出现意外情况，在A胜2局B胜1局时，不得不终止赌博，如果要分赌金，该如何分配才算公平? 分析：两人在A胜2局B胜1局时，有两种可能，比赛四局结束或五局结束。两种情况出现的概率相同，各占一半。

四局结束，A肯定胜。

五局结束，A，B各有一半的胜率.综合上述两种情况，A胜的概率为1/2*1+1/2*1/2=3/4； B胜的概率为0*1/2+1/2*1/2=1/4；

A=200*3/4=150元 B=200*1/4=50元。

举例：射击问题

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击100次，（命中的环数是一个随机变量），如下，就此人命中的数学期望，或者这个人的真实水平。环数 0 1 4 8 9 10 次数 5 5 10 60 10 10（2）数学期望再解读

从上面例子我们可以看出来，所谓数学期望就是求一系列离散数据的平均值，而且是加权平均值（后面重点讲）。所以，测量里面的观测值的真值就是通过一系列的观测，通过对观测值进行求加权平均值来得到待观测量的真值。

简单地说，数学期望即是一种平均值——加权平均值。

六、评判精度，对观测值进行改正。

测量平差是测绘专业的专业基础课之一。它是运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。用概率和数理统计方法来分析观测数据，为观测数据的处理提供理论基础；以最小二乘法作为处理观测数据的基本准则；论述近代测量平差的基本数据处理的最新研究成果。前面讲述的数学期望主要进行数据处理，处理数据后还要对观测值进行改正，依据的基本准则就是准则就是最小二乘法原理。(1)最小二乘原理简介：

而这就是我们这门课程：平差，如何进行平差，有什么原则，是我们学习习近平差的主要内容。

测量工作的重要环节之一是处理大量的观测数据。比如你去做控制测量，用全站仪测导线，用水准仪测高差，或者用GPS做静态测量。回去之后是不是都要进行数据处理？以GPS为例，你觉得是把观测数据导到GPS数据软件里解算一会儿就出来了，但是软件怎么来的，代码是不是人写的？只要是测量数据处理，总会有平差，而我们测量平差所依据的原则就是最小二乘原理。

美国统计学家斯蒂格勒曾经说过：“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。大家知道，微积分是高等数学的主要内容，很多学校里高等数学课程就叫微积分。那么最小二乘法在数理统计学中的地位就不言而喻了。

现在一般认为德国数学家高斯和法国数学家勒让德二人分别独立的发明了最小二乘原理。高斯宣称自己自1795年就一直使用最小二乘原理解决问题，但是他最早见刊是1809年《天体运动理论》，勒让德1805年发表的著作《计算彗星轨道的新方法》上就介绍了最小二乘原理。但高斯较勒让德把最小二乘原理推进的更远。

好，现在我们来看什么是平差。

大家知道，在测量中，误差可以避免吗？不可以，还记得误差分为哪几类吗？系统误差、偶然误差、粗差；仪器误差、外界环境的影响、人为误差。

所以说，在测量工作中，受到这么多影响，误差是不可避免的，虽然不可避免，但是我们可以采用一定的手段对带有误差的观测数据进行必要的数学处理并评定其精度。

还是这个例子，大家在进行导线测量的时候，水平角观测要测几个测回？2个，测距的时候测几次？3次，为什么？为了结果取平均值从而减小误差。比如大家观测一个三角形，是不是只要测出其中任意两个内角，第三个角可以由180°减去另外两角得出。但是实际操作中通常是三个内角都进行观测。这必须进行的观测是必要观测，剩下的就叫多余观测。

由于测量中不可避免的有误差，因此多余观测就必然产生不符值，像是三角形三个内角观测值之和，不等于180°。wL1L2L3180°这个w就叫做三角形闭合差，我们所要做的就是将w分配到三角形的三个内角观测值L1、L2、L3中去，从而得到改正值，并评定结果的质量，这一过程就叫做平差。

我们通过一个实例来简单的看一下最小二乘估计的原理，从而理解最小二乘的应用：

现在有一组观测数据x1,y1,x2,y2,x3,y3...我们要求一个函数，使这些点最接近于这个函数，也就是用一个函数来最佳拟合这些点。

通过观察，这些点连接起来是不是接近一条直线。那么我们就假设这个函数为线性函数，形式为：

y=ax+b

（1）

x、y为未知数，a、b为待求参数。

根据我们学过的代数知识，如果已知有两组已知数，a、b就可以确定出来了，那么这条直线也就确定出来了。

但是现在我们要求通过这么多点的最佳拟合直线，怎么办？

由于实验数据总是存在着误差，所以，把各组数据代入(1)式中，两边并不相等。相应的作图时，数据点也并不能准确地落在公式对应的直线上，如图所示。第i个数据点与直线的偏差为vixi2yi2

如果测量时，使x较之y的偏差很小，以致可以忽略（即xi很小）时，我们可以认为x的测量是准确的，而数据的偏差，主要是y的偏差，因而有：viyiyiabxi

我们的目的是使所有点与直线尽量靠近，所以是使各个v的绝对值尽量小，但是因为v有正有负，所以我们只要使各个v的平方和最小就可以了。

首先，求偏差的平方和，得vi1n2i(yiabx)2。

i1n按最小二乘法，当a、b选择合适，能使最小时，y=ax+b才是最佳曲线。那么怎么求的最小值呢？高等数学上讲了，先求导，令导数等于0，求出极小值，最小的极小值，就是最小值。这个可能大家没有接触过，咱们先用，以后再说。

对a、b分别求偏导数 vi2i1navi2i1n2yiabxi

b2yiabxixi

令上式等于0，就求出极值了，然后再对偏导数求二次导，根据二次导的正负来判断是极大值还是极小值，这个求出来是极小值，只有一个，所以也是最小值。咱们就不推导了。

这就是最小二乘估计的原理。

(2)测量上的应用

设L1,L2，L3，„Ln表示n个独立的观测量，为消除矛盾而赋予的对应改正数为v1，v2„.vn,观测值L1,L2，L3，„Ln在可信赖程度相等的情况下，最小二乘原理要求这些改正数的平方和为最小，即

vi2min

参数平差 篇3

不同的函数模型,对应着不同的平差方法,反之亦然,平差方法的不同,其对应的函数模型也不尽相同[1~3],本文首先简单介绍了条件平差、间接平差和附有约束条件的间接平差这3种经典平差方法的函数模型,推导了这3种平差模型的参数估计公式。尤其对于间接平差模型而言,由于其误差方程列立性强、精度评定便利,便于计算机编程等优势,因而被大多数人所采用,但是如果约束方程中的某些未知参数,不出现在误差方程中,这时求得的法方程是秩亏的,其逆阵不存在,因此附有约束条件的间接平差的传统模型已不能适用于这种情况的计算。

为此,本文提出了附有约束条件的间接平差扩展模型,给出了该平差模型的函数公式,用两种方法详细推导了该模型的参数估计及其精度评定公式,并用实际观测数据进行了验证,最后得出一些有意义的结论。

1 附有约束条件的间接平差扩展模型

条件平差:利用观测值之间的r个几何条件建立的条件方程为函数模型的平差方法。其线性化后的函数模型为:

式(1)中,B为r×m阶系数矩阵,rank(B)=r,r为条件方程的个数,V为m维观测值的改正数向量,WB为r维闭合差向量。

按最小二乘准则原理,可求得改正数向量和法方程为:

式中,P为观测量权阵;Q为观测量协因数阵;K为r维联系数向量。

间接平差:n个观测值分别表示成t个相互独立参数的函数而建立的函数模型,间接平差的误差方程式为:

式(4)中,V为n维观测量改正数;A为n×t阶未知参数的系数阵,rank(A)=t;为t维独立未知参数向量;l为n维观测值常数向量。利用最小二乘原理求得参数向量的解为:

附有约束条件的间接平差:如果误差方程式(4)的未知参数满足如下s个线性约束条件:

式(6)中,CΤ为s×1阶行满秩阵;wx为s维约束方程常数向量。则在最小二乘准则下,由式(4)和式(6)求得的法方程为:

式中,N=ATPA。

解式(7)得到未知参数向量的解为:

附有约束条件的间接平差的扩展模型:设在附有约束条件的间接平差中未知参数的个数为u,其中误差方程中有t个独立的未知参数向量x1,而约束方程中出现的u-t个未知参数x2不包含在误差方程中,则式(4)可以表示为:

其中,法方程矩阵为秩亏矩阵,其逆阵不存在,因此附有约束条件的间接平差的传统模型已不能适用于这种情况的计算。

为了克服法方程的不可逆,在附加约束条件时对式(9)的函数模型可以改写为:

式中,A为n×t阶系数矩阵;为t维未知参数向量;C1Τ为s×t阶未知参数向量系数矩阵;C2Τ为s×(u-t)阶未知参数向量系数矩阵;为u-t维未知参数向量。

在式(10)中方程的个数为n+s个,未知参数的个数为u个。当n+s>u时,可利用最小二乘原理求解未知参数及其协方差阵。

对式(10)中未知参数估计可以采取以下两种方法。

解法一:对式(10)分两步解。设P为观测量权阵,∑为观测量的方差协方差矩阵,按照间接平差公式求出式(10)中第一式参数和方差协方差阵为:

引入式(10)中第二式的条件后,设的改正数为V1,则式(10)中第二式的方程可写为:

设V'=C1ΤV1,则式(13)变为:

根据的协方差阵式(12),求得式(14)的协方差阵为:

按间接平差求得式(14)中为:

将式(11)代入式(16)中得:

将式(19)代入式(13)得:

按条件平差公式(2)求得式(21)的改正数V1为:

从而求得改正后的为:

解法二:采用附有约束条件的间接平差求解:

根据求条件极值的理论,组成函数:

对K、求偏导数并令其为零,则有:

解式(26)求得K为:

式(27)乘以C2同时减去式(26)中的第二式,可得:

将式(28)代入式(27)中得:

将式(29)代入式(26)的第一式后得:

从式(23)、(30)和式(19)、(28)可知,采用两种方法推导的该平差模型的参数估计公式是完全相同的。

同时根据式(19)和式(23)可得的方差协方差矩阵为:

以上采用两种方法详细推导了附有约束条件的间接平差扩展模型的参数估计及其精度评定公式。

2 实例计算与分析

图1为控制网观测示意图,中间的圆形物体为观测物体,T_A、T_B、T_C、T_D点为布设在该观测物体周围的GPS控制点,GPS控制点采用Trimble双频GNSS接收机观测两个时段,每个时段至少观测12 h。以该物体周围的四个控制点为基准,当该观测物体旋转过程中,使用不少于3台TCA2003全站仪同时观测该物体上的标志点,获取该标志点在地面网中的常规观测量(水平方向、垂直角和边长)。其中水平方向和垂直角的观测精度为0.7″,测距精度为1mm+1ppm。同时这些标志点的运动轨迹满足一空间平面方程和圆球方程,如图2所示。

根据地面网观测量可以列出其在空间直角坐标系中的误差方程[9,10],误差方程中包含了水平方向定向角、大气折光和未知坐标参数。

根据标志点的坐标满足平面方程和球面方程的条件建立约束方程,在该约束方程中,除了包括地面网误差方程中的未知坐标参数外,还包括其他的未知参数,如平面方程的法向量系数、圆球的中心坐标和半径,很显然采用传统的附有约束条件的间接平差模型无法解算,因此采用本文提出的附有约束条件的间接平差扩展模型可以获得所有未知参数估计值及其精度。

四个控制点的GPS观测数据可以采用GPS数据处理软件解算,解算后获取4个控制点在空间直角坐标系中的坐标。以这4个控制点为基准,获取标志点在三维空间直角坐标系中的坐标。具体如下:

地面网中n个标志点的水平方向、垂直角和边长观测量的误差方程的列举具体可参考文献[9,10]。这3类观测量的误差方程分别可以表示为:

式中,Lij为水平方向值,VLij为测站i至测点j水平方向改正数,为测点j在空间直角坐标系中的改正数;(Nj,Ej,Uj)为测点j在以测站i为原点的站心坐标系中坐标,Nj为北方向坐标,Ej为东方向坐标,Uj为高程值,(Nj0,Ej0,Uj0)为其近似值;zi为测站i的定向角,为测站i定向角参数改正数。

式中,βij为测站i至测点j的垂直角,为其改正数;Ra为地球平均曲率半径;K0为大气折光近似值,为其改正数。

式中,Sij为测站i至测点j的边长观测值,为其改正数。

式(33)、(34)和(35)以矩阵的形式可以表示为:

式中,观测量改正数V由水平方向、垂直角和边长观测量的改正数组成,A是未知参数的系数矩阵;为t维独立未知参数向量改正数,,l为误差方程的常数项。

根据图2可知,每个观测标志点坐标同时满足一个平面方程和一个球面方程。其平面和圆球方程可以写为:

线性化式(37)并以矩阵的形式表示为:

其中:

式中,;w为约束方程的常数项;(a,b,c)为平面方程法向量系数,(a0,b0,c0)为其近似值;(Xc,Yc,Zc)为平面圆中心坐标,(Xc0,Yc0,Zc0)为其近似值;r为平面圆半径,r0为其近似值。

联立式(36)和式(38),可得:

综上可以看出,式(42)和式(10)的形式完全相同,因此可以按照本文介绍的附有限制条件的间接平差扩展模型求得未知参数的估计值及其精度。在解算过程中,水平方向和垂直角与边长之间的权估计采用赫尔默特方差分量估计法。具体的成果如表1~表3所示。

表1给出了标志点的坐标及其中误差;表2给出了平面方程中参数的估值及其中误差;表3给出了圆球方程中参数的估值及其中误差。

以上给出了附有约束条件的间接平差扩展模型的应用,利用该模型的解算出平差方程和圆球方程的参数值及其中误差。

3 结论

本文首先给出了条件平差、间接平差和附有约束条件的间接平差模型的函数模型和平差公式,在此基础上,提出了附有约束条件的间接平差的扩展模型,采用两种方法详细推导了该模型的计算公式,最后采用实例数据验证了该模型的应用,并得出以下结论:

(1)采用两种方式推导的附有约束条件的间接平差扩展模型的参数估计及其精度评定公式完全一致。

(2)在附有约束条件的间接平差中,约束方程的未知参数都会出现在误差方程中。而在附有约束条件的间接平差的扩展模型中,部分未知参数不会出现在误差方程中,因此该模型适用于求解出现在约束方程而不出现在误差方程中的未知参数。

摘要：在条件平差、间接平差、附有约束条件的间接平差模型的基础之上,对附有约束条件的间接平差函数模型进行了改进,提出了附有约束条件的间接平差扩展模型,以便解算存在于约束方程而不出现在误差方程中的未知参数,并用两种方法详细推导了该模型的参数估计及其精度评定公式,并证实了两种推导方法的一致性,最后用实际数据验证了该模型的有效性。

关键词：条件平差,间接平差,约束条件,扩展模型,参数估计,精度评定

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自 由 网平差专题 篇4

班级： 测绘0911

学号： 姓名： 日期：

一、实验分析（1）实验的目的

1.熟悉广义逆的概念和计算

当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解

NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要 的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为 秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩 阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义 逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一）

2.了解秩亏自由网平差的原理和方法 秩亏自由网平差的原理: 误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ0Q=σ0P平差原则： VPV=min，XX=min 法方程及其解为 NX=BPl X=NMBPl=N(NN)BPl 因N也满足最小范数逆的两个条件，故N∈Nm,其解也可以用N表达，即有 X=NBPl=N(NN)N(NN)NBPl, 单位权方差估值仍为 σ0=VPV/f=VPV/(n-R(B))X的协因数阵为 QXX=NmBPQPB(Nm)=N(NN)N(NN)N=N或者QXX=NBPQPBN=NNN=N法方程系数阵N的伪逆N就是参数估值X的协因数阵。由误差方程式，顾及 QXV=Q-BQXXB=Q-BNBT+T

+-T

-T

--+

+ T

+

+

+

+

2T

T+T--T+

+

-+

T

-T

-TTT

22-1 秩亏自由网平差的方法: 第一步：求得误差方程：V=BX-l 第二步：组成法方程:NX=BPl 第三步：计算N(NN)和Nm=N(NN)第四步：计算X=NmBl-T---

T第五步：平差结果的计算 第六步：X的协因数计算QXX=N

3.掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理

在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。以网中所有点的高程或坐标作为未知数，可将其分为稳定的和不稳定的坐标未知数两类。设它们的近似值分别

+

X1X200

-l，求出X1和X2即是对应为X2和X1，则可列出误差方程为V=BX-l=（B1 B2）的参数求解的过程，最后求出协因数阵即可。4.完成对书中例子的验算（例4-

4、4-

5、4-6）

5.完成自由网拟稳平差程序设计，并用书中例4-9数据进行验证（2）实验要求

独立完成书中相关示例的验证

能够在EXCEL中完成参数的推导和假设假设验证

每个小组需一起合作完成自由网拟稳平差程序设计

书写实验报告（3）实验过程的剖析

在4-4实验中:求解A+，先根据A阵求解N=ATA;求出NN,(NN)-,再求N+=N(NN)N(NN)N；

--最后即可以得出A=NA;依次按照公式就可以得到广义逆的解

在4-5实验中，第一步：求得误差方程：V=BX-l 第二步：组成法方程:NX=BPl 第三步：计算N(NN)和Nm=N(NN)第四步：计算X=NmBl第五步：平差结果的计算 第六步：X的协因数计算QXX=N

在4-6实验中，与4-5实验类似，在求解误差方程的过程中，将B矩阵进行切分，从而 得到B1和B2，X1和X2；计算N矩阵，计算M=N22-N21N11-1N12;计算αT=B2T-N21N11-1B1T 计算MM,(MM)-以及Mm-=M(MM)-,α=Mm-αT,β=N11(B1-N12α)，计算X2，X1和X+X，-

1T

0

+

---

-T

T++TX2=αl，X1=βl，X即可以求解出，从而可以求解得到V，最后即可以求解出QXX 在4-9实验中，先根据已知的数据得到V的表达式，再进行秩亏自由网平差，δX = N(NN)BPΔhΔh，再求解QδXδX=N(NN)N(NN)N，而 σ0^2=VPV/(n-R(B))

二、实验的步骤

实验一-T

--T

实验二

实验三

实验四

三、实验的结论分析

在这几个实验中，秩亏自由网平差与拟稳平差计算出的V都是一样的，与最小范数求解一致，因为都是在VTPV=min的情况下求解的，包括在经典测量中，V得出的结论都是一样的，而X的计算结果是不同的，因为在计算秩亏方程中采用的X的范围不一样，自然得出的解也是不同的。

四、实验心得体会