《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思（共12篇）

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇1

一次函数的图象与性质的教学设计与反思

教学目标：

知识目标：⒈知道一次函数的图象是一条直线；

⒉会选取两个适当点画一次函数（含正比例函数）的图象； ⒊能结合图象理解一次函数（含正比例函数）的性质。

能力目标：⒈通过画函数的图象，培养学生的动手能力；

⒉通过结合函数图象揭示性质的教学，培养学生观察、比较、抽象和概括能力。⒊培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题。

重点与难点：

重点：一次函数（含正比例函数）的图象的画法及性质。

难点：①选取适当两点画一次函数y=Kx+b的图象；②结合一次函数（含正比例函数）图象说出它们的性质。教学手段：

用多媒体辅助教学，数形结合，直观生动地揭示函数性质，以突破难点，突出重点，同时可以增大教学容量，提高课堂教学效率。教学过程：

一、复习：

什么叫一次函数？什么叫正比例函数？它们有何关系？

二、引入：

已知函数的解析式，我们可以画出函数的图象，那么一次函数（包括正比例函数）的图象是什么形状呢？它们又有什么性质呢？

（教师板书课题──一次函数的图象和性质）

三、新课：

⒈一次函数图象的形状：

⑴电脑显示：函数y=x，y=x+0.5，和函数y=4x－1，y=4x+1的图象。⑵问：这几个函数分别是什么函数？它们的图象分别是什么图形？ ⑶观察、讨论与归纳：所有一次函数的图象都是一条直线。⒉一次函数的图象的画法： ⑴问：我们知道一次函数的图象是一条直线，那么今后我们画一次函数的图象是否还是通过描出许多点再连线呢？有没有简捷的方法呢？

⑵讨论：两点确定一条直线，画一次函数的图象只需描出两点，再过这两点作直线。⑶结论：一次函数图象的画法──“两点法”。⒊取两适当点画正比例函数的图象：

⑴问题：取怎样的两点画函数y=0.5x，y=－0.5x的图象合适呢？（学生可以自学看书）⑵讨论：计算简便，描点方便。⑶画图：师生分别画图。

⑷小结：画正比例函数的图象时，常选取（0,0）、（1,k）两点连线。正比例函数的图象必过原点。⒋取两适当点画一次函数的图象：

⑴问题：怎样取合适的两点画一次函数y=kx+b 的图象呢？

⑵自学：学生自学例题1；（电脑动画显示函数图象的作图过程）⑶思考与讨论：

① 横坐标为0点在---上，纵坐标为0点在---上。

② 在y=kx+b中，当x=0时，y=---；当y=0时，x=---。③ 画一次函数的图象，常选取（0,--）、（--,0）两点连线。⑷小结： 画一次函数y=kx+b图象的一般步骤： ① 在横轴上取点（-b/k,0），在纵轴上取点（0,b）； ② 过这两点作直线； ⒌正比例函数的性质：

⑴问题：正比例函数有着特殊形状，那么它有什么性质呢？

⑵观察、思考与讨论：在坐标平面内，对于直线y=0.5x与y=－0.5x，点的横坐标增大时，纵坐标怎样变化？（引导学生分别从列表、图象上点的升降分析）⑶归纳：引导学生归纳正比例函数的性质。⒍一次函数的性质：

⑴思考：一次函数y=kx+b又有什么性质呢？

⑵类比与归纳：引导学生用总结y=kx的性质的方法，总结一次函数y=kx+b 的性质。四 , 练习巩固：

⒈课本P109 Lx 2T； ⒉选择题： ⒊填空题：

五、课堂 小结：

引导学生对一次函数和正比例函数小结：

⑴定义； ⑵图象（形状、画法）； ⑶性质。

六、布置作业：⒈阅读课本P107~~P109； ⒉必作题：P109 Lx1T，P111 Lx3

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇2

函数是在探索具体问题的数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在初二已学习过一次函数的相关内容, 学生对函数已经有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念, 为后续学习产生积极影响。本节课的反比例函数图象与性质, 旨在让学生进一步熟悉做函数图象的主要步骤。即:列表, 描点, 连线。通过对反比例函数图象的全面观察和比较, 发现函数自身的规律, 进行语言表述, 从而得出反比例函数的主要性质。在第一课时, 学生已经得到了相应的结论, 本节课在此基础上进一步巩固所学内容。对于反比例函数的增减性, 学生掌握较差, 我们可通过练习得出y=x (k≠0) 中k值的几何意义。实际上, 本节课就是一节习题课, 如何上好一节习题课, 并有效地进行师生间的互动是对我的挑战。

课堂上先复习反比例函数的概念以及它的图象, 回忆性质并列成表格的形式, 以便于学生理解记忆, 然后通过练习进一步巩固所学知识。

例⑴:已知点A (2, y1) , B (1, y2) , C (-1, y3) , D (-2, y4) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 比较y1, y2, y3, y4的大小。

学生基本都能得出正确结果, 并有不同的做法, 经过总结归纳出三种方法。

方法一:分别求出y1, y2, y3, y4的值;

方法二:通过反比例函数的增减性来判断;

方法三:画草图, 通过观察图象来比较大小。

我对学生的表现进行了鼓励:大家能用所学的知识解决这个问题, 并有不同的方法, 说明大家都用心思考了这个问题, 在此基础上, 我们再来看例⑵, 大家能解决么?此时, 学生们都在积极思考下一个问题。

例⑵:已知点A (x1, y1) , B (x2, y2) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 且x1>x2, 比较y1, y2的大小。

此题对于学生有难度, 学生受上一题的影响, 很容易根据增减性得出y1x2, 可得出y1x2>0; (2) x1>0>x2; (3) 0>x1>x2。

这样处理这道例题, 比我直接给出正确答案效果要更好, 学生的印象也更为深刻。从第二天作业的反馈中也可以看出, 学生对这类型的题掌握得不错。如果这道例题没有经过由错误到正确的过渡, 学生在今后很容易犯这样类似的错误, 这还要“归功”于**同学呢。

《数学课程标准》指出:“数学教学应该建立在学生认识发展水平和已有的知识经验基础上, 教师激发学生的学习积极性, 向学习者提供充分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。学生是学习的主人, 教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”

因此, 面对新课程, 教师首先要转变角色, 确认自己新的教学身份。在学生学习的过程中, 要由管理者变为组织者, 由传授者变为协助者, 由仲裁者变为促进者。但要真正具体落实到课堂教学上, 我有时仍然感到迷惘, 甚至是无所适从。往往在课堂上还是滔滔不绝地讲, 学生死气沉沉地听;接二连三地问, 学生断断续续地答。“如何根本性地改变教师角色, 实现学生自主学习”这个问题显得尤为突出。在课堂上应该让学生自主活动、合作学习。教育心理学家早已作出论断:教师讲, 学生听, 学生只能记得15%;如果学生自己看书, 可以记得其中的25%;如果既看又听, 效果不再是两者的代数和, 而是65%。这是一个很大的飞跃。如果不仅用耳听, 而且动眼看, 动手做, 动嘴讲, 特别是多动脑筋, 效果自然会更好。因此, 我们可以让学生尝试错误, 这种错误出现后, 教师应善于捕捉这种机会, 将它转化为学生学习探究的课题, 调动学生的探究积极性, 在教师的引导下, 通过自主学习、小组合作、共同探讨等教学手段, 让学生自己纠正错误, 得出正确的结论。这样, 学生的印象会更深刻, 学习的效果也会更好。

在今后的教学中, 我将不断地反思自己教师角色的定位:

1.要做学生学习的促进者。学生自我建构知识的前提还是先有参与的意愿。“兴趣是最好的老师”, 因而教师要熟练驾驭教材及与之相关的拓展知识, 把科学性与趣味性有机地结合起来。然后为学生主动探究提供足够的时间和空间, 并且在学生的合作探究过程中, 不断给以鼓励, 最大限度地促进学生参与探究新知的活动。

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇3

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）07A-

0071-02

一、教材分析

本节课“二次函数的图象与性质”内容，主要是能够利用描点法准确画出二次函数的图象，确定二次函数的性质特征。在利用描点法画二次函数图象时，其具体步骤是：确定自变量取值范围，分析x、y的变化规律，估量函数图象的位置和趋势，通过“列表—描点—连线”这一系列步骤画出函数图象，并由此得出画函数图象的规律所在。

二、教学目标

教学目标：1.学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，掌握抛物线相关概念知识；2.学生通过对二次函数y=ax2图象的分析，确定其性质特征，对学生的自主学习能力和探究思维的培养起到较大的促进作用。

教学重点：学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，掌握抛物线相关概念知识。

教学难点：学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能够通过对二次函数y=ax2图象的分析，确定其性质特征。

三、学情分析

九年级学生学习积极性比较高，学习能力也不差，他们在学习数学知识的过程中，善于使用直观思维，并能够对直观图象进行抽象概括，其认知水平已处于一个上升趋势。在学习本节课之前，学生已熟练掌握一次函数的相关知识和函数图象的描点法，同时也基本掌握了二次函数的相关概念，做好了学习二次函数的前期知识积累，为顺利学好“二次函数y=ax2的图象与性质”提供了保障。

四、教学过程

（一）旧知引入

师：一次函数的相关知识，同学们还记得吗？

生：记得。

师：那什么是一次函数？

生1：形如y=ax+b的函数，其中a、b为常数，且a≠0。

师：回答正确。谁能够使用我们学过的描点法把一次函数的图象画出来呢？（请一个学生说出描点法的步骤，并上台将一次函数的图象画在黑板上）

生2：描点法有列表—描点—连线这三个步骤，首先要建立一个直角坐标系，接着取x为任意值，将其代入函数中求出y的结果，然后把每一对x、y所对应的数值在坐标轴上一一准确描出，最后把这些点一一连接成线。（学生上台画图）

师：这位同学回答得不错，图象也画得很正确。大家仔细看图象，试着总结出画图的规律？

（学生深入思索，交流讨论，得出各种各样的答案）

师：看刚才的同学画一次函数的图象的整个过程，我们就应该知道，只要求出足够多的点坐标，把点一一对应连接，就可以得出函数的图象。这节课我们要学习的二次函数的图象也可以用这个方法。

[设计意图]在学习“二次函数的图象与性质”之前，学生已经熟练掌握一次函数的相关知识，虽然一次函数和二次函数在概念、图象以及性质等方面存在差异，但是学生可以利用在学习一次函数时的模式来学习二次函数，这样可以唤起学生对函数的熟悉度，降低学生学习新知识的紧张心理，让学生能够顺利开展二次函数的学习。

（二）探究新知

1.画图：画y=2x2与y=-2x2的图象。（学生独立完成，并邀请一名学生到讲台上将自己所画的图象板演出来）

步骤如下：（1）列表。在自变量取值范围内（全体实数），选择适当的x值，并计算相应的y值，完成表格；（2）描点。以自变量与其对应的函数值分别为横、纵坐标，建立直角坐标系，将其对应值在坐标轴上一一准确描出；（3）连线。使用平滑曲线，将描好的对应点一一连接，二次函数y=2x2与y=-2x2的图象就完成了。

[设计意图]让学生回忆描点法作图的注意事项，并动手完成图象的绘制，体会二次函数图象与一次函数、反比例函数图象的异同点，为学生讨论二次函数图象的性质做好铺垫。

2.观察图象：要求学生认真观察画好的二次函数y=2x2与y=-2x2的图象，从图象的形状、开口方向、位置、增减性、最高（低）点，以及图象是否与对称轴有交点这六个方面思考、讨论，最后总结出二次函数的性质。

学生在观察图象后进行了积极发言，其答案各种各样，有对有错，教师有针对性地对学生的回答进行了点评，并做出归纳：

①图象：y=2x2与y=-2x2的图象都呈抛物线状态，都是轴对称图形，对称轴是y轴。

②y=2x2与y=-2x2的图象与对称轴都有交点，交点坐标（0，0）。

③开口方向：y=2x2的开口方向向上，y=-2x2的开口方向向下。

④位置：y=2x2在x轴上方，y=-2x2在x轴的下方。

⑤增减性：y=2x2：x<0时，x增大y 减小，x>0时，x增大y增大。y=-2x2与y=2x2的情况正好相反。

⑥最高（低）点：y=2x2有最低点（0，0），y=-2x2有最高点（0，0）。

[设计意图]教师设置的思考题，有效地为学生指明了探究的方向，避免了学生进入盲目探究的极端，节约了时间，提高了课堂效率。

（三）总结

二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。

（四）作业（略）

五、教学反思

教师在整个教学情境中，与学生一起实践、一起思考，把教师的点拨与学生的解决问题有机结合起来，培养了学生自主学习的能力和深入探究的精神。同时在教学过程中对于学生勇于实践、大胆发表自己的见解做出及时性的、激励性的评价。

一次函数图象与性质的探究教学 篇4

学习函数知识，可以帮助学生解决生活中的很多问题，提高生活质量.一次函数是八年级数学的重难点内容之一，学生以往学习的知识大多是固定不变的值，而一次函数研究的是变化过程，如何实现“不动”到“动”的完美转换，使学生的学习质量更上一层楼，这是教师要重点研究的内容.一、一次函数的基本含义及求法

一次函数是人教版八年级上册的一个重要知识点，其基本解析式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数），其解析式有点斜式、两点式和截距式.求一次函数的解析式的方法有待定系数法、平移变换法、数形结合法、分类讨论法等.从数形结合法求一次函数解析式和频繁出现的一次函数与坐标系相结合的试题来看，我们可以得出，一次函数在直角坐标系中的图象，对于探究函数的性质有着重要的意义.所以，教学中要重点关注一次函数图象的各种性质.二、一次函数的性质与函数图象

一次函数图象的变化与k、b的值息息相关，k、b值的变化影响着函数图象与x轴，y轴的交点及其所在的象限，这就是数与形的内在联系.以下是笔者在教学实践中对一次函数性质与直角坐标系关系的探究过程.1.以最近发展区为依据，激发学生的学习兴趣.在学习本节课之前，学生对函数、正比例函数、一次函数已经有了一定的知识基础，教师在利用图象探究一次函数的性质时，可以先对已有的知识基础进行复习，加深学生的印象和理解.其次，根据最近发展区的理论，可以设计如下思考问题：“任何一个函数都具有相对应的图象，那么一次函数的图象是怎么样的，又有什么性质呢？下面一起来探索”.这样的问题一抛出，既能激发学生的兴趣，又能联系学生已有的知识基础.2.学生自主操作指导，教师演示.学生是教学活动的主体，因此在探究k、b的值与函数图象的关系时，应该让学生自主画图，改变k、b的值进行探究.在学生探究完的时候，教师利用几何画板进行演示，让学生对比自己画的图象与几何画板给出的图象有什么异同点.3.学生自主归纳.在教师与学生进行互动探究完之后，教师可以让学生进行自主归纳与探究，继而进行小组间的交流与合作，然后将小组归纳的结果进行全班之间的交流，得出初步的归纳成果.学生总结出以下性质：（1）当b=0，k>0时，函数图象在第一，三象限；当b=0，k0，b>0时，函数图象在第一，二，四象限；当k>0，b0时，函数图象在第一，二，三象限；当k<0，b<0时，函数图象在第二，三，四象限.任务型教学法有助于提高学生的学习兴趣和求知欲，因此，笔者认为，在实际的教学过程中，教师可以尝试使用任务型教学法，让学生进行尝试小组合作后填表回答，使学生的讨论和学习更有方向，提高学生的学习效率，在学生合作交流后填制完表格时，教师在让学生进行全班之间的交流，得出答案.4.变化k、b值，学生自主深化探索.当代科技的发展为数学的探究提供了便利.几何画板所特有的参数变化功能能够满足学生探究的好奇心.此时，在探究的过程中，学生可能会提出“当x值固定时，k、b值的变化对因变量的影响是怎么样”的问题.教师此时可以抓住时机，让学生上台主动进行参数变化的操作，让下面的学生进行观察与沟通交流.其次，教师可以让学生进行k、b的实际赋值，如固定x=1，b=1，变换k的值分别为1、2、3时，观察其因变量的变化.然后转换思路，让学生探究当k0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小”的结论.三、一次函?涤牒?数图象的应用

反比例函数的图象与性质教学设计 篇5

5.2反比例函数的图象与性质(1)

焦作市道清中学 许斌

★教学分析

一、教学目标

1.经历探索反比例函数的图象的过程，掌握函数作图的方法、步骤，会作反比例函数的图象。2.了解、掌握反比例函数图象的特征和主要性质，提高学生从函数图象上获取信息的能力，了解、体会函数的三种表示方法的互相转换。对函数的概念进行认识上的提升、整合。3.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

4.让学生在学习过程中体验数与形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决问题的能力。

二、教学重难点

重点：掌握反比例函数的图象及性质。

难点：反比例函数图象的作图及性质的探究。

三、教学准备

多媒体课件、三角板、彩色粉笔。

四、学情分析

反比例函数的图象是学生中学阶段首次遇到的非线性函数的图象，而且反比例函数的图象还是不连续的断开的两支曲线（即：双曲线），而学生的认知结构中仅有正比例、一次函数即所谓的线性函数的作图经验，因此二者作图的难易差别很大。

★教学设计 教学过程

(一)回顾旧知 ,引入新课 1．提出问题

（1）回忆我们所学过得一次函数y=kx+b(k≠0)，同学们还记得作函数图象的一般步骤吗？（2）对照图象回忆一次函数的性质。

2．引入新课：我们在前面学习了正比例函数和一次函数的图象，知道它们的图象都是一条直线，那么反比例y＝k(k≠0)的图象又会是什么形状呢?本节课就让我们一起来探索反比例yx＝k(k≠0)的图象吧！

x【设计意图】

通过复习提问创设情境，引入新课，此环节意在唤醒学生知识储存中的正比例函数，一次函数的图象、性质研究的方法、步骤，激发学生探索反比例函数的图象、性质的热情。

（二）自主学习，合作交流，探究新知 1.读一读,画一画

请学生阅读教材147页反比例函数y =

4的图象的作图方法、步骤，结合课本在练习本上画一x画，并思考下列问题：

(1)填写书中函数的对应值表，注意其自变量x的取值特点。（2）如果在列表时取的值不同，是否会影响函数图象的形状。（3）为什么必须用光滑的曲线连接各点？能否连成折线？

（4）曲线的发展趋势如何？图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？（5）函数的图象分别位于哪几个象限内？

【师生活动】 教师要求学生认真阅读教材，动手画一画，相互看一看，力求图象漂亮、准确，结合图 象思考老师提出的五个问题。学生合作交流，踊跃发言。

教师边巡视，边指导，用实物投影仪反映一些学生在函数图象中出现的典型错误，和学生一起找出错误的地方，分析原因。

【设计意图】

学生初次作非线性函数的图象,缺乏必要的知识上的直观，因此在作图过程中应先给学生安排足够的阅读、思考、交流的时间。以使学生对反比例函数图象有一定的感性认识，进而解决“为什么”的问题。2.做一做,想一想

（1）按学习小组分别选派代表在黑板上板演反比例函数y =

26，y =的图象，并简述其xx共同特性和个性差异，同组同学可以补充、优化，之后不同组之间可以相互质疑。

（2）老师利用多媒体展示出在同一坐标系内上面三个函数图象，比较各学生小组的图象，引导学生观察图中三个图象，发现图象的区别和联系。如果学生的回答是以上问题的相关解释，老师要给予充分的肯定并进行适时小结。对学生没有注意到的问题，老师可给以适当点拨，直至得到比较完备的结论。

86y(x)= 42x2y(x)= 54x10105y(x)= 6x246【学生活动】 学生尝试独立完成，小组交流，完善图象。观察、评判其他学习小组做的图象。

【设计意图】

前面有了作反比例函数y4图象的感性知识，此环节是要学生进一步熟悉、辨析反比x例函数图象的作图的方法和图象特征，以生生互动，师生互动，合作交流形式最好，此处要给学生提供充足的作图、辨析时间，以达成固化知识的目的，切不要急于求成。3．比一比

请同学们画出y=的依存关系）4．议一议

用多媒体展示当k=－2，－4，－6时，反比例函数y＝它们有哪些共同特征？反比例函数y＝ 8644的图象，比较它和y=的图象二者有哪些异同。（注意数量和图形

xxk在同一象限内的图象并提出问题：xk中的参数k是如何影响函数图象的？ x

y(x)= 2x5y(x)= 6x4y(x)= 1054x21024 62 8

（鼓励学生尝试对函数的性质进行描述。老师根据学生的回答进行修正和补充，最终获得完整而规范的结论。）

【设计意图】

使学生掌握反比例函数图象在K<0时的相关性质,从而归纳出唯一影响反比例函数y=形状、位置的参数k的几何意义。

（三）当堂检测

（教师限定时间由学生自己独立完成，并请学生反馈答案.）1．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有___________。（1）y ＝

kx10.3107；（2）y ＝；（3）y ＝；（4）y ＝ 2x100xxx2．已知点A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y =的图象上，计算或x通过图象比较y1，y2 与y3的大小。

3．想一想：反比例函数的图像绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？

（四）归纳小结 收获新知

1．通过今天的学习，你们对反比例函数有了那些新认识？ 2．画反比例函数图像时要注意哪几点？ 3．反比例函数的图像性质：

当k>0时，两支曲线分别位于第___、___象限，当k<0时，两支曲线分别位于第___、___象限。

【学生活动】 根据老师提出的问题，学生认真思考，相互补充。

【设计意图】

教师引导学生对本节课所学内容进行归纳、总结，加深对反比例函数图象的认识，使学生对所学知识形成完整的知识体系。

（五）作业布置

必做题：课本习题5.2的第2题。

选做题：已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x=2与x=3时，y的值都等于19。求y与x间的函数关系式，并求x＝4时y的值。备选题：

1．若m1，则下列函数①ymx，x1，③ym④ym1xx0，②ym中，xＤ．4个

答案：Ｂ y的值随x的值增大而增大的函数共有（）Ａ．1个 Ｂ．2个

Ｃ．3个

2．已知反比例函数ym5的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（）xＡ．m≥

5Ｂ．m5

Ｃ．m≤5

Ｄ．m5

答案：Ｄ，4)，在第一象限内正比例函数图象在反比例函数3．正比例函数与反比例函数图象都经过点(1图象上方的自变量x的取值范围是。

答案：x1.4．在平面直角坐标系xOy中，直线yx绕点O顺时针旋转90得到直线l．直线l与反比k3)，试确定反比例函数的解析式。的图象的一个交点为A(a，x9答案：所以反比例函数的解析式为y.x例函数y 3 5．在函数y答案：最大的数8，最小的数-8。8中，x取任意整数，求y能取得的最大的数和最小的数。x★课后反思

１.本节课的设计是以“先学后教”的模式为基本框架建构的，通过学生自主学习,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极求知的情感态度,有利于学生良好的数学观的形成。

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇6

第1课时 正比例函数的图象与性质

【学习目标】

1．会作正比例函数的图象．

2．通过作图归纳正比例函数图象的性质． 【学习重点】 作正比例函数图象． 【学习难点】

正比例函数图象和性质及应用．

学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．

学习行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．

说明：加强学生用描点法画正比例函数图象的能力，体会函数图象上的点都满足函数关系式，并通过观察得出正比例函数图象的特点．情景导入 生成问题

把一次函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．前面第1节就是摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间函数关系的图象．

正比例函数y＝kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！【说明】 给出函数图象的定义，学生一目了然，结合实例便于学生理解它的含义，为下面学习画函数图象指明了方向．

自学互研 生成能力

知识模块一 正比例函数图象的画法

先阅读教材第83页例1及解答过程．

思考：(1)你准备用什么方法画出正比例函数y＝2x的图象？(2)画出函数图象的一般步骤有哪些？

【说明】 让学生经历列表、描点、连线等画函数图象的具体过程，既可以加深对图象意义的认识，了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习如何画函数图象及对用描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备．

【归纳结论】 画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．

与同伴合作交流完成教材第83页“做一做”的学习与探究． 做一做：

(1)画出正比例函数y＝－3x的图象．

(2)在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系式y＝－3x.讨论：(1)满足关系式y＝－3x的x，y所对应的点(x，y)都在正比例函数y＝－3x的图象上吗？(2)正比例函数y＝－3x的图象上的点(x，y)都满足关系式y＝－3x吗？(3)正比例函数y＝kx的图象有何特点？你是怎样理解的？

【归纳结论】 正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线．因此，画正比例函数图象时，只需要确定一个点，过这点和原点画直线就可以了．

知识模块二 正比例函数图象的性质

做一做：

1在同一直角坐标系内画出正比例函数y＝x，y＝3x，y＝－x和y＝－4x的图象．

学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．

思考：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值如何变化？

【说明】 利用正比例函数的图象，学生很直观地归纳出正比例函数的增减性，注意不要受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数总是随着自变量的增加而增加，它的增或减是由k的正或负决定的．

【归纳结论】 在正比例函数y＝kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．

讨论：

(1)正比例函数y＝x和y＝3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？

1(2)类似地，正比例函数y＝－x和y＝－4x中，随着x的增大，y的值都减小了，其中哪一个

2减小得更快？你是如何判断的？

【说明】 通过图象让学生进一步体会正比例函数增减的快慢是由|k|决定的，加深了对正比例函数图象性质的理解．

交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 正比例函数图象的画法 知识模块二 正比例函数图象的性质

检测反馈 达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思 查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________ 2．

存

在困

惑

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇7

一、本节教材的地位和作用

苏教版“一次函数的图象和性质”出现在八上学期6. 3节, 教材分两节内容. 但实际教学时,一般都是打通两节课的界限, 把图象和性质结合起来教学,通过观察研究图象来总结出性质. 在这节课之前,学生已经学习了函数的一些基本知识,也学习了用描点法画函数的图象. 同时,教材已经为这节课作了铺垫. 6. 1节学习函数图象时,例题、练习中出现了不少一次函数的图象,学生基本明确这类函数的图象都是一条直线. 这节课就以此为切入点.

二、教学目标

基于以上对教材的认识,以及课程标准的要求,笔者设计了这样的教学目标:

( 1) 会选取两个适当的点,画一次函数的图象,并能结合图象探究出一次函数的主要性质( 即增减性) .

( 2) 培养学生观察、比较、抽象、概括的能力,渗透数形结合的研究方法.

( 3) 通过小组合作,培养学生的团结协作精神.

三、教学重难点

重点: 画一次函数的图象总结其主要性质; 难点: 一次函数的增减性的具体理解.

四、教学方法分析

本节课主要采用数学交流教学模式. 数学交流教学模式是我校一直践行的课堂教学模式. 其间的诸多理念已为大多数中学老师接受,比如少教多学、有效教学等. 这种模式主要分为四个环节: 问题———思考———交流———总结. 它追求理想的课堂多向交流,鼓励学生针对问题展开讨论. 数学结论由学生在动手练、动脑思考、相互讨论后自己得出. 教师在课堂上适度引导、点拨和点评.

五、教学过程

1. 复习导入

情境设置要真、要恰当、要有效,如果牵强附会,反而成了伪情境. 对于本节课,学生有着前面关于概念的学习,和函数图象的画法作为基础,故而可以直入主题.

在简单复习一次函数的基本知识以后,我把学生在前一节课后作业中画过的四个函数( y = x,y = - x,y =4x -1,y =4x +1) 的图象在屏幕上投影出来,让学生观察,回到下列问题: 1这些函数是什么函数? 2这些图象是什么形状? 从而得出: “一次函数的图象是一条直线”这样的结论. 而亮点确定一条直线,就很自然地引入用两点法画一次函数的图象[1].

2. 新课学习

遵循循序渐进、由浅入深的原则. 我引导学生先研究y = kx ( k≠0) 的图象和性质.

例1画函数y = 2x的图象.

首先思考: 取怎样的两点比较合适? 为什么这样取点?

这样学生可以比较后得出: 以计算简单、描点方便为上. 并且突出一个定点———原点. 然后,全班一起快速绘制出y = 2x的图象. 这样,能达到全班学生都掌握用两点法画一次函数图象的目的,并且突出正比例函数除原点外,往往另取点( 1,k) 比较方便绘图. 这节课的重点是通过画一次函数的图象,由图象得出性质,所以多画图象是这节课的关键. 新课程标准的教学目标是多维的,其中,基本知识可以通过传递获得; 基本技能要通过操练获得; 至于基本的数学思想和方法,则需要多方渗透后才能形成. 只有多画几个图象,学生才能容易从中观察得出一次函数的性质. 预先设计随堂练习. 在练习上画好了八个网格线图,网格上面预留好空间用于写函数关系式和列表,这样可以把绝大部分课堂时间用于学生的讨论和交流.

第1组练习: 分别画出以下两组函数的图象,第一组是,第二

虽然是六个函数图象,但有了网格线,用的时间很短. 画图象不是这节课的最终目的,主要是为了让学生通过图象探究出正比例函数的性质.

接着就是本节课的主体部分,观察、讨论:

问题1: 正比例函数的图象是什么样的一条直线? 对应不同的k的取值,图象有何表现?

要组织学生开展研究性学习,要有合适的时机和载体,本节课就是可以放手让学生讨论的地方. 讨论的目的是解决问题,因而问题串的设计很重要. 太简单的问题没有讨论的必要, 而未经个人认真观察和独立思考的讨论是无效的讨论. 在平静的课堂表面下,各种思考暗流涌动,深刻思考后再一起讨论、甚至争辩,这才是高效的课堂教学[2].

人的认识总是从感性认识上升到理性认识,感性认识的积累就会产生理性思维的飞跃. 六个函数的图象分列在两幅图中,学生很容易观察出正比例函数的主要性质. 教师也加入到学生中去,与学生进行平等的交流,学生的积极性很高. 无需给予多少引导,学生就提出了许多看法,其中大家一致认同的有以下三点:

( 1) 图象都过原点.

( 2) k > 0时,图象都经过一、三象限,从左到右图象逐渐上升,y随x的增大而增大.

( 3) k < 0时,图象都经过二、四象限,从左到右图象逐渐下降,y随x的增大而减小.

也有学生提出: k越大,图象越靠近y轴,越陡; k越小,图象越靠近x轴,越平缓.

学生是课堂的主体,没有学生参与的评价是无效的评价,没有学生参与的总结是虚假的总结. 因此以上学生提出的这些结论,其正确与否,我都交给学生来判断和说理. 在教学过程中,要时时注意培养学生的发散思维和创新意识,不拘泥于课本.

学生对“k越大,图象越陡”进行辨析最终认定为错误的,应该修正为“k的绝对值越大,图象越陡”.

至此,师生共同完成第一个目标: 认识k对一次函数图象的影响———k的符号决定图象的升降,k的绝对值决定直线的陡峭程度,当两个正比例函数中的k互为相反数是,其陡峭程度一样. 这时候,笔者再适度总结提升———函数关系式中的“数”与图象中的“形”是密切相关的,这就是数形结合的思想.

问题2: 怎么去理解“y随x的增大而增大”?

学生进一步讨论,从不同的角度,各抒已见. 大概有以下两种认识:

( 1) 在图象上取两个静态的点,比较它们的横坐标与纵坐标,发现横坐标大时,纵坐标也大. 从而说明y随x的增大而增大.

( 2) 一个动点在图象上运动,若从左向右,纵坐标随横坐标的增大而增大; 若从右向左,纵坐标随横坐标的减小而减小.

学生从一动、一静两个侧面来理解,达到化解难点的目的. 学生已进入到由图象探究性质的氛围中来,并已掌握了一些基本的研究方法. 接下来仍通过画图象研究y = kx + b ( k≠0) 的性质.

例2在同一坐标系中画函数y = 2x,y = 2x + 1,y = 2x - 3的图象,观察、比较以上图象,你能提出哪些结论?

这样的问题设置更开放,也更能激发学生的积极性,锻炼学生的观察、比较、抽象、概括的能力. 很快,学生总结出多样的结论,并逐一阐述,主要有以下两点:

( 1) 三条直线都在上升,倾斜程度相同,互相平行,都过一、 三象限; ,或者说k决定直线的走势;

( 2) 三条直线与y轴的交点纵坐标与相应函数关系式中的字母b的值一致,或者说b决定直线与y轴交点的位置;

接下来再进行巩固练习和课堂小结和布置作业 .

基础教育课程改革的目标之一是改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状. 倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力,获取新知识的能力、分析和解决问题的能力,以及交流与合作的能力. 通过这节课的学习,学生能有效为以后学习其他类型的函数积累一些基本的学习经验,甚至让他们进一步喜欢上学数学.

摘要：数学学习过程就是在学生已有的学习经验和认知水平的基础上,引导学生通过实践、探索、交流等多种活动,理解与掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法的过程.所以学生才是学习活动的主体,教师应该找准数学学习活动的切入点、生长点,是学习活动的组织者、合作者和参与者.

幂函数的概念、图象和性质 篇8

一、 幂函数的概念

要想真正把握好幂函数概念的内涵和外延，需将它和其他基本初等函数加以区分.

1. 幂函数和指数函数

函数

内容

项目幂函数指数函数定义形如y=xα（α∈R）的函数叫幂函数，其中α为常数形如y=ax（a＞0且a≠1），x∈R的函数叫指数函数

特点1. 是幂的形式2. 幂的底数是x ——自变量3. 幂的指数是α ——常数4. α∈R（中学阶段只研究α为有理数）

1. 是幂的形式2. 幂的底数是a ——a＞0且a≠1的常数3. 幂的指数是x ——自变量

4. x∈R（定义域）

2. 幂函数和正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

形如y=kxα的函数,k,α是常数：

① 当且仅当k≠0且α=1时为正比例函数.

② 当且仅当k≠0且α=-1时为反比例函数.

③ 当且仅当k≠0且α=1时为一次函数.

④ 当且仅当k≠0且α=2时为二次函数.

⑤ 当k=1时为幂函数.

另外，并非所有的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数都是幂函数，比如：y=2x，y=2x，y=x+1，y=x2-x等均不是幂函数.

3. 幂函数和复合函数

幂函数作为一种基本初等函数，它可成为被复合的一分子，但它不是复合函数.如：y=x12+1是由一次函数y=u+1和幂函数u=x12组成的复合函数，但y=x12+1不是幂函数.

例1 已知函数f（x）=（m2+2m）xm2+m-1，m为何值时，f（x）是：

（1） 正比例函数；

（2） 反比例函数；

（3） 二次函数；

（4） 幂函数.

解析 本题考查四种基本初等函数，关键是根据各自定义列出等式或不等式，求出m的取值.

（1） m2+2m≠0,m2+m-1=1,解得m=1.

（2） m2+2m≠0,m2+m-1=-1,解得m=-1.

（3） m2+2m≠0,m2+m-1=2,解得m=-1±132.

（4） m2+2m=1,解得m=-1±2.

二、 幂函数的图象

图1

1. 以y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1五种函数的图象，通过列表——描点——连线（三步作图法）得到,如图1.

2. 幂函数y=xα，x∈［0，+∞）的图象因α值不同而不同.如图2，以y=x，y=x0和在x=1右侧分为三个区域：

图2

在Ⅰ区中，y=xα（α＜0）；

在Ⅱ区中，y=xα（0＜α＜1）；

在Ⅲ区中，y=xα（α＞1）.

利用图2，可弄清在第一象限中幂函数y=xα的图象分布与α的关系，且在x=1右侧的每一区域中，都是越往上对应的α值越大.

例2 图3是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则（）

A. -1＜n＜0＜m＜1

图3

B. n＜-1,0＜m＜1

C. -1＜n＜0,m＞1

D. n＜-1,m＞1

解析 在（1，+∞）内取一值x0，作直线x=x0，它与这两个幂函数的图象均有交点，则“点低指数小”，故选B.

3. 幂函数图象的特点

① 一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；

② 最多只能同时出现在两个象限内；

③ 是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；

④ 如果图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

三、 幂函数的性质

幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出在定义域内完整的图象；反过来，只要图象明确了，性质也就清晰无误了.

例3 已知幂函数y=xm2-2m-3（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)-m3＜(3-2a)-m3的a的取值范围.

解析 由题意，可得m2-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

又m∈N，所以m=0，1，2.

当m=0或m=2时，y=x-3是奇函数，不合题意,舍去.

当m=1时，y=x-4满足条件.

所以m=1.

对于（a+1）-13＜(3-2a)-13,考察幂函数y=x-13的单调性：在（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数,

所以a+1＞0,3-2a＞0,a+1＞3-2a,或a+1＜0,3-2a＜0,a+1＞3-2a,或3-2a＞0,a+1＜0,

解得a＜-1或23＜a＜32.

故a的取值范围是（-∞，-1）∪23,32.

巩 固 练 习

1. 下列函数是幂函数的是（）

A. y=xx

B. y=3x12

C. y=(x-1)2

D. y=x-2

2. 右图为幂函数y=xα在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为（）

A. C1＞C2＞C3＞C4

B. C2＞C1＞C4＞C3

C. C1＞C2＞C4＞C3

D. C1＞C4＞C3＞C2

3. 设函数f1(x)=x12，f2(x)=x-1，f3(x)=x2.求：f1(f2(f3(2008)))=.

4. 已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)＜f(3).

（1） 求k及其相应的f(x)的解析式；

（2） 对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在q（q＞0），使函数g（x）=1-qf(x)+（2q-1）x在区间［-1，2］上的值域为-4,178？若存在，求出q；若不存在，说明理由.

一次函数的图像与性质教学反思 篇9

周 炜

14.2.2一次函数这一节的重点是一次函数的概念、图象和性质，以及如何用待定系数法和函数的图像求一次函数解析式。一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在新课标规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。教学完后，对新教材有了一些更深的认识。

一：备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程，知识的发展、教育对象的变化、教学效益要求的提高，使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的，一种最佳教学方案的设计和选择，往往是难以完全使人满意的。

二：教材课时安排过紧。这一小节共有三课时的内容，一次函数的概念，图像和性质，用待定系数法和函数的图像求一次函数。

三：教学内容不好处理。

在“ 一次函数的图象”中有平移的问题，1.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_____________________;(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_________________.2.“一次函数的性质”中无b对函数的图象的影响，但题中有，要补讲：

概括一次函数图象的性质

一次函数y＝kx＋b有下列性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____；（2）当k＜0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____.（3）当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在：（4）当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在：

四：难度不好处理：如我们在讲一次函数的定义时（第一课时）补充了一个例题：已知函数y=（m-1）x+m.当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值是，y是x的正比例函数。”

学生难以理解，我个人认为太难，超出了学生的理解能力。反而对一个具体的一次函数y=-2x+3中k，b是多少强调的不多。

满意之笔

一次函数有以下令自己较满意的地方：

一.结合生活实例，充分调动学生学习的激情，恰当的过渡，点燃其求知的欲望。

在本节课的引入部分采用班级里的真人真事（学生每天上学这一过程）“在过程中涉及到哪些量？”“假定每位同学各自都是匀速直线运动的，那速度、时间、路程之间有什么关系？”“路程是时间的一次函数吗？”等过渡性的问题既复习回顾了上节课的知识又为一次函数图像的概念引出作了铺垫。

二、大胆对教材作大幅度调整、修改 ①对知识内容的完整性作了补充。

一次函数的图象的知识要点：一次函数几何形状：一条直线；一次函数图象的画法；一次函数图象与坐标轴的交点坐标。教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。虽然在课后的习题与作业本中都有涉及到：当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中似乎没有涉及到此类问题，对于B班的学生需要教师对此类问题做相关示范解决。(1)求 y1 关于 x 的函数关系式 及自变量x的取值范围；（2）画出上述函数的图像。图像还是一条直线吗？此题为拓展知识点：当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线段而特地设计的。至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：对于射线，取起点与另一个异于起点的任一点画出射线；对于线段，取线段的两个端点然后连接即可。

②对例题的处理:对例2作两处调整：一是对题目的设置，二是对题目的讲解次序。

为更好阐述当一次项的系数为分数或小数时，如何画一次函数的图象（自变量可取任何数），特在例2中添加了画（2）,问学生取怎样的两个点使作图方便简洁，让学生自由发挥充分讨论后总结：一般取整点。在讲解次序上，先解决作图，归纳方法；再解决如何求函数图象与坐标轴的交点坐标，归纳拓展为一般情况：与y轴交点坐标（0，b）与x轴的交点坐标（-b/k,0）

遗憾之处：

一、时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度，个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手操作，而我又想将这所有的内容在一节课内完成，似乎太高估了自己和学生的能力。所以我想这么多内容可以更宜分开两节课来上吧。

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇10

《二次函数的图像与性质》教学反思

本节课的学习内容是在前面学过一次函数、反比例函数的图像和性质的基础上运用已有的学习经验探索新知识。《二次函数的图像与性质

（一）》是二次函数性质研究的第一步，为后面研究较为复杂的函数类型作了必要的铺垫，具有承上启下的作用。

讲课中首先一起回顾一次函数与反比例函数的图像与性质，然后让学生动手在坐标系中作二次函数y=x2和y=-x2的图象，从感性上结识抛物线.再后又对两个特殊的二次函数的图象和性质进行了归纳和总结，从理性上再次结识抛物线.利用几何画板揭示了两个抛物线之间的联系，使本节课的知识得到了升华。

成功之处：

1.课前的引课很精彩，几句简短的语言使学生感受数学就在我们的身边，并激起学生学习数学的兴趣.2.对二次函数图象的作图，通过学生作品的展示、思考、讨论、讲评起到指导全体学生的作用.作图后让学生反思自己的作图过程，加深学生对作图的理解，规范作图，同时培养学生严谨治学的精神.3.二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度，因此我设计一系列问题串，让学生观察图象回答，以突出重点分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质，也为今后探讨其他类函数的性质提供思路.4.在教学中注重多种学习信息的捕捉，引导学生从图与形，表达式、表格、图像等多角度地去分析理解数学知识，使学生对抛物线有一个丰满的认识。

5.几何画板很好的展示了两个函数之间的关系，动态的演示有助于理解难点，是这节课的亮点。

不足之处：

《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇11

类型一：考查对函数基本性质的运用

【例1】 已知两个向量a=(1+log2|x|,log2|x|),b=(log2|x|,t)(x≠0).

(1) 若t=1，且a⊥b，求实数x的值；

(2) 对t∈R，写出函数f(x)=a•b具备的性质（如：奇偶性、单调性、最大（小）值）．

分析 (1) 对数的真数大于零，故有x≠0；（2） y=log2|x|的奇偶性、单调性等比较容易解决；(3) 第(1)问中的a⊥ba•b=0x1x2+y1y2=0；(4) 第（2）问中，对f(x)的性质可以从函数的式子特征，组成形式直接加以判断；(5) 目标解读：只要写出基本性质，不必给出详细的论证。

解 (1) 当t=1时，log22|x| + 2log2|x|=0；即log2|x|=0或log2|x|=-2；即x=±1或x=±14．

(2) f(x)=a•b= log22|x| + (1 + t)log2|x|的定义域{x|x≠0}关于原点对称，从形式上可判断f(x)是偶函数；由函数的对称性和复合函数的单调性知识可知：f(x)在(0,+∞)上的单调情况是：当x∈(0,21+t2］上f(x)单调递减，在x∈［21+t2,+∞)上单调递增；根据偶函数的性质知：f(x)在x∈［-21+t2,0)上单调递增，在x∈(-∞,-21+t2］上单调递减；由单调性可得出函数f(x)的大致图象，显然在x=±21+t2时，函数f(x)有最小值-(t+1)24，无最大值（趋近+∞）；当t=-1时，函数f(x)的零点为x=±1；当t≠-1时，函数的零点为x=±1或±21+t2．

点拨 (1) 函数奇偶性的证明步骤是：判断定义域→求f(x)、f(-x)→明确两者的等式关系→得出结论；（2） 复合函数的单调性的口诀是：同性得增，异性得减；(3) 本题求f(x)的最大（小）值，也可以利用换元的方法，将log2|x|=W,W∈R，从而求二次函数y=W2+(1+t)W,W∈R的值域。

奇思妙想变题：

【变式1】 已知函数f(x)=2x.

(1) 试求函数F(x)=f(x)+af(2x),x∈(-∞,0］的最大值；

(2) 若存在x∈(-∞,0)，使|af(x)-f(2x)|>1恒成立，试求实数a的取值范围．

分析 ①f(x)=2x是指数函数，定义域为R，值域为(0,+∞)，图象过点（0,1），在x轴上方单调递增；②第(1) 问中f(2x)=22x=(2x)2；③在（-∞,0］2x∈(0,1］；④F(x)=f(x)+af(2x) 是关于2x这个整体的二次形式，a为任意常数；⑤目标解读：求F（x）的最大值；⑥存在性问题可以转化为：af(x)-f(2x)>1在x∈(-∞,0)上有解；⑦可使用分离参数的方法解题，求实数a的取值范围。

解 (1) F(x)=f(x)+af(2x)=2x+a22x=a(2x)2+2x，x∈(-∞,0］，令t=2x，t∈(0,1］，则g(t)=at2+t，t∈(0,1］，讨论a的取值：

①a=0时，g(t)=t，g(1)max=1；

②a>0时，y=g(t)的对称轴t=-12a<0，故g(t)在(0,1］上单调递增，g(x)max=g(1) =a+1；

③a<0时，y=g(t)的对称轴t=-12a>0，

i. 若0<-12a≤1即a≤-12时，

y=g(t)在0,-12a上单调递增，在-12a,1

上单调递减，g(t)max=g-12a=-14a；

ii. 若-12a>1即-12

综上可知：F(x)max=

a+1，a>-12，

-14a，a≤-12.

(2) 令t=2x，t∈(0,1)，则at-t2>1有解，

即at-t2>1或at-t2<-1在t∈(0,1)上有解，

利用分离参数的方法知：at+1t 有解，

即at+1tmin，t∈(0,1)，所以a>2或a<0.

点拨 ①本题第一问中利用换元思想，新出现的变量易出现范围错误，在讨论中要注意不遗漏不重复，同解情况合并；②第二问中涉及有解，恒成立问题常用的方法是分离参数，其中参数范围中“=”号的取舍是易错点。

类型二：考查函数的构造和应用

【例2】 已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x+1.

(1) 若函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围；

(2) 设m,n∈R+，且m≠n，求证：m-nlnm-lnn

初步分析 (1) 由原函数f(x)=lnx-a(x-1)x+1知函数的定义域为(0,+∞)；（2）第(1)问中已知

f(x)

在(0,+∞)上为增函数：

求实数a的取值范围，一般考虑两种方法：①函数单调性的定义，②导数法；(3) 本题考虑用导数法解决。

解 (1) 由f(x)=lnx-a(x-1)x+1，(x>0)得f′(x)=1x-a(x+1)-a(x-1)(x+1)2=x2+(2-2a)x+1x(x+1)2；

因为f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立；即只需x2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立，即(2a-2)x≤x2+1在(0,+∞)上恒成立，故(2a-2)≤x2+1x在(0,+∞)上恒成立，故(2a-2)≤x+1xmin；设函数g(x)=x+1x,x∈(0,+∞)，根据基本不等式知识得：x+1x≥2x•1x=2，当且仅当x=1x时等号成立．即当x=1时，g(x)min=g(1) =2；所以2a-2≤2，即a≤2，所以实数a的范围是(-∞,2］．

再分析 (4) 由m,n∈R+

与函数的定义域有相互呼应之感；(5) 从目标不等式：m-nlnm-lnn

m-nlnm-lnnn）lnm-lnn2>m-nm+nlnm-lnn>2(m-n)m+nlnmn>2mn-1mn+1lnmn-2mn-1mn+1>0；(7) 从最后的变形形式上可联系到利用第(1)问中单调性相结合而得证。

解 （2） 不妨设m>n>0，则mn>1，要证明m-nlnm-lnn0；构造函数h(x)=lnx-2(x-1)x+1,x>0；由第(1)问知：函数f(x)在a≤2时，f(x)为(0,+∞)上的增函数，故h(x)=lnx-2(x-1)x+1,x>0显然也是(0,+∞)上的增函数；因为mn>1，则必有，lnmn-2mn-1mn+1>h(1) =0，即lnmn-2mn-1mn+1>0成立，由上可知m-nlnm-lnn

点拨 (1) 关于函数在某区间D上是单调函数的解决方法有两种：定义法和导数法；本题选择后者是为运算方便；（2） 对这类连续性的不等式证明类问题，应考虑构造函数与原函数相仿，从而利用第(1)问的结论，化腐朽为神奇。

奇思妙想变题：

【变式2】 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，

(1) 证明：当a<-1时，函数f(x)在（0，+∞)上单调递减．

(2) 设a≤-2，x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，证明：|f(x1)-f(x2)|>4|x1-x2|.

初步分析 ①从函数y=f(x) 形式出发知函数定义域为{x|x>0}； ②从第一问目标出发考虑用导数证明f(x)的单调性较为方便。

证明 (1) ∵f(x)=(a+1)lnx+ax2+1

∴f′(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x，

∵a<-1∴2ax2<0,a+1<0， 又x>0，∴2ax2+a+1x<0恒成立，即f′(x)<0恒成立．

故当a<-1时， f(x)在（0.+∞)上单调递减．

再分析：③x1,x2∈(0,+∞)，符合f(x)的定义域；④a≤-2符合第一问中a<-1的前提，故f(x)在（0.+∞)上单调递减；⑤x1≠x2表明x1>x2或x1

|f(x1)-f(x2)|

可利用单调性化简，后者4|x1-x2|

可利用两者大小讨论化简；⑦故应取x1>x2（或x1

证明 （2） 由本题解题目标形式上的对称性，不妨设0

由a≤-2且第一问中结论可知f(x)为（0，+∞)上的单调递减函数，则有f(x1)>f(x2)

故|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2)即要证|f(x1)-f(x2)|>4|x1-x2|，

只要证f(x1)-f(x2)>4（x2-x1），即要证f(x1)+4x1>f(x2)+4x2；

构造函数g(x)=f(x)+4x=(a+1)lnx+ax2+1+4x(x>0)，

则g′(x)=a+1x+2ax+4=2ax2+4x+a+1x，

由a≤-2知g′(x)≤-4x2+4x-1x=-(2x-1)2x≤0，即g′(x)≤0恒成立，

易得g(x)在（0.+∞)上单调递减；又∵0g(x2)，

即f(x1)+4x1>f(x2)+4x2，即|f(x1)-f(x2)|>4|x1-x2|，即得证．

点拨 (1) 本题的第二问中对于“||”符号的处理方法是讨论绝对值里边的对象与0的大小化简。

(2) 本题通过类比、联想演变为f(x1)+4x1>f(x2)+4x2这一过程是一个难点，也是联想到构造g(x)=f(x)+4x的桥梁。

牛刀小试

已知函数f(x)=x-1-alnx,(a∈R).

(1) 求证：f(x)≥0成立的充要条件是a=1；

(2) 若a<0,对任意的x1,x2∈(0,1］,都有|f(x1)-f(x2)|≤41x1-1x2，求实数a的取值范围．

【参考答案】

(1) 充分性证明：当a=1时,f(x)=x-1-lnx，f′(x)=x-1x；显然当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≥f(1)=0，即得证．

必要性证明：f′(x)=x-ax，(x>0).

①a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，而f(1)=0；显然当x∈(0,1)时f(x)<0与f(x)≥0恒成立矛盾；所以a≤0不满足．

②a>0时．若x>a，则f′(x)>0，所以f(x)在(a,+∞)上单调递增；若0

所以，当a≠1时，f(a)

(2) 由第(1)问可知当a<0时，f(x)在(0,1］单调递增，y=1x在(0,1)上单调递减；

不妨设0

所以 |f(x1)-f(x2)|≤41x1-1x2等价于f(x2)-f(x1)≤4x1-4x2等价于f(x2)+4x2≤f(x1)+4x1，构造函数h(x)=f(x)+4x=x-1-alnx+4x，则|f(x1)-f(x2)|≤41x1-1x2

等价于函数h(x)在(0,1］上为减函数，h′(x)=1-ax-4x2=x2-ax-4x2，所以x2-ax-4≤0在x∈(0,1］上恒成立，所以a≥x-4x在x∈(0,1］上恒成立，令y=x-4x在x∈(0,1］上单调递增，所以ymax=-3，即a≥-3，又因为a<0，所以-3≤a<0.



《一次函数的图象与性质》的教学设计与反思 篇12

本节课是人教版《数学》九年级下册“二次函数的图像与性质”第四课时, 它是在学生已经学习过一次函数、反比例函数的图像与性质, 以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的, 它既是对之前所学函数知识的拓展, 又是对前几节课学习的二次函数y = ax2, y = ax2+ c, y = a ( x - h) 2的图像与性质内容的延续和深化, 是对二次函数特殊情形的研究, 为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础, 做好铺垫. 这节课充分体现了数形结合的数学思想, 而且无论是在知识上, 还是对学生动手能力的培养上, 都有着十分重要的作用.

二、教学目标

1. 会用描点法画二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像, 会应用二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质解题.

2. 掌握二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质, 掌握把抛物线y = ax2平移至y = a ( x - h) 2+ k的规律.

三、教学重难点

重点: 掌握二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质, 并要会灵活应用.

难点: ( 1) 二次函数y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2的图像之间的位置关系;

( 2) 通过对图像的观察, 对比分析发现规律, 归纳出其性质.

四、教具准备

多媒体课件、投影仪.

五、教学过程

( 一) 复习回顾, 引入问题

1. 复习提问

师: 前面我们学习了哪几种类型的二次函数图像? 它们之间有什么联系?

生: 二次函数y = ax2, y = ax2+ c, y = ( a - h) 2的图像.

( 学生回答的同时多媒体展示出其联系)

c > 0向上平移

y = ax2———y = ax2+ c对称轴为y, 顶点是y轴上的 ( 0, c) 点

c < 0向下平移

h > 0向右平移

y = ax2———y = ( a - h) 2对称轴为x = h, 顶点是x轴上的 ( h, 0) 点

h < 0向左平移

2. ( 多媒体展示, 指名学生回答) 二次函数 y = -1x22的图像, 可以先向___平移___个单位, 得到函数y =-1/2x2- 1的图像; 二次函数y = -1/2x2图像向平移___个单位得到y = -1/2 ( x + 1) 2的图像.

3. 引入问题

师: 那二次函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像又是什么样的呢? 你能说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并画出其图像吗?

( 二) 探索新知

1. 师: 请同学们在纸上画出函数 y = -1/2 ( x + 1) 2- 12的图像, 指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.

列表:

2. 先让学生自己列表、描点、连线, 然后在投影上展示学生的作图, 作图出现的问题及时给予纠正, 同时多媒体展示作图过程, 然后让学生观察图像, 指名学生归纳出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.

3. 进一步提出问题

师: 我们通过画二次函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像观察出它的顶点坐标为 ( - 1, - 1) , 如果不画出二次函数的图像, 你也能说出它的顶点坐标吗? 如y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标是多少?

生: ( 有学生很快就说出) y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标是 ( - 5, - 2) .

师: 为什么y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标就是 ( - 5, - 2) , y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像的顶点坐标就是 ( - 1, - 1) 呢?

4. 学生开始思考, 让学生分小组讨论交流, 不同小组发表自己的讨论结果.

生1: 从函数解析式来看, 因 ( x + 1) 2≥0, 所以 -1/2 ( x +1) 2≤0, 当x = - 1时, 函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1有最大值- 1, 所以函数图像的顶点坐标为 ( - 1, - 1) .

师: 还有没有不同的想法?

生2: 从平移的 观点来看, 把抛物线y = -1/2x2向左平移1个单位, 再向下平移1个单位, 就得到抛物线y = -1/2 ( x + 1) 2- 1.

抛物线

从而得顶点 ( 0, 0)

生3: 也可以把抛物线y = -1/2x2向下平移1个单位, 再向左平移1个单位, 得到抛物线y = -1/2 ( x +1) 2- 1.

顶点 ( 0, 0 )

教师可鼓励学生的发现.

5. 观察图像, 得出性质

师: 通过平移抛物线y = -1/3x2可得到抛物线y =-1/2 ( x + 1) 2- 1, 那抛物线y = a ( x - h) 2+ k与抛物线y =ax2有怎样的联系?

生1: 抛物线y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2形状相同, 位置不同.

生2: 把抛物线y = ax2向上 ( 下) 向右 ( 左) 平移, 可以得到抛物线y = a ( x - h) 2+ k.

教师可补充: 平移的方向、距离要根 据h, k的值来决定.

师: 根据抛物线y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2的联系, 同学们能总结出抛物线y = a ( x - h) 2+ k的性质吗? 让学生再次分组讨论并探究抛物线y = a ( x - h) 2+ k的性质.

各小组基本都能归纳出:

抛物线y = a ( x - h) 2+ k有如下特点:

1当a > 0时, 开口向上; 当a < 0时, 开口向下.

2对称轴是直线x = h; 3顶点是 ( h, k) .

对于二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像的增减性, 学生不太容易总结出来, 可在白板上分别展示出a > 0, a < 0时的图像, 根据函数图像引导学生得出结论.

( 三) 课堂练习 ( 多媒体展示下列各题)

1. 抛物线y = - 3 ( x + 4 ) 2+ 1中, 开口向___, 顶点为___, 对称轴为___, 当x___ =时, y有最值是___. 当x ___>时, y随x的增大而___, 当x___ <时, y随x的增大而___.

2. y = 4 ( x - 1 ) 2+ 3 的 图 像 可 由 y = 4x2的 图 像 向平 移___个 单 位, 再 向平移___个单位得到. 因此 y = 4 ( x - 1) 2+ 3 的 对称轴是___, 顶点坐标是 ___, 当 x___ 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x ___时, y 随 x 的增大而减小; 当 x =___时, 函数 y 有最__ 值___ .

3. 设抛物线的顶点为 ( - 2, 1) , 且经过点 ( 3, 2) , 则它的解析式为___.

4. 已知抛物线 y = a ( x - h) 2+ k 的顶点坐标为 ( 1, 2) , 且 x = 2 时, y = 6, 则 a =___.

( 四) 课堂小结

这节课我们学会了什么? 师生共同总结抛物线y = a ( x h) 2+ k的图像的性质.

六、教学反思

在本节课的教学中, 教师不再一味地传授知识, 而是以问题的形式启发引导学生自己去发现、解决问题. 本节内容整合了学生已有的知识储备, 让学生自己在已有的知识上去发现新知, 从而掌握新的知识. 教学中让学生自己动手画图, 观察, 主动探求新知识, 同学之间分小组讨论交流, 体验知识的形成过程, 体会观察、分析、归纳解决问题的技能与方法, 这样不仅加深了学生对知识的认识与理解, 还培养了学生的动手实践能力及团结合作的意识. 在教学中, 教师应重视引导学生进行有条理的交流, 让学生能够清晰地阐述自己的想法, 让学生先在小组内讨论交流, 解除困惑, 然后将其讨论结果在全班交流, 对新知识达成共识. 本节在教学过程中遵循让学生积极参与到课堂教学中来, 并使动手动口动脑相结合, 让教学发挥最大效益, 使学生“学”有所思, “学”有所获. 在教学中, 不仅让学生经历知识探索形成的过程, 同时还使学生能用综合法加以证明, 进一步发展学生的推理能力.

因这节课是学生刚开始接触二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像与性质, 所以课堂练习都是性质的基本应用, 目的就是让学生进一步巩固和理解基础知识, 难度不易大, 对于没能掌握的学生要及时补救. 这节课还用了多媒体教学, 用投影仪展示学生的作图, 可以发现学生作图的问题有哪些, 便于教师指导学生, 共同纠正错误, 使学生印象深刻, 同时用多媒体课件动态演示函数图像的画法, 这样不仅给学生以直观的感受, 及时发现自己的问题, 使学生更容易接受和理解知识, 还降低了教学难度, 化难为易, 提高了教学效率, 节省了时间, 同时也激发了学生的学习兴趣. 但又因使用课件容量大, 速度快, 有少部分学生没能充分理解所讲的新知识, 还得靠课外去消化.

另外, 教学时应注意给学生足够的时间和空间去思考交流, 同是要让学生有机会畅谈他们的感受体验和收获, 给机会表达他们学习的困惑, 及时鼓励他们提出自己的建议和见解, 在课堂上真正体现以生为本的教育理念.

摘要：课堂教学改革提出已久, 我们的课堂也或多或少都在实践着新的教学理念, 然而, 在我们的课堂教学中停留在教师“教”上的仍然居多, 如何把课堂还给学生, 让学生切实从听教师讲、做练习等被动的学习中解脱出来, 把“教”转化为“学”, 调动学生的积极性, 主动参与到课堂, 放手让学生自主学习, 不断提高课堂效率呢?这需要每一个教师在教学实践中不断地探索, 在交流中相互学习, 相互促进, 共同探索提高.