正切函数的性质与图象 教学设计

正切函数的性质与图象 教学设计（共12篇）

正切函数的性质与图象 教学设计 篇1

《1.4.3 正切函数的性质与图象》教学设计

一、教材内容分析

本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.4《三角函数的图象与性质》中的第1.4.3节《正切函数的性质与图象》，属于本小节第四课时.第一课时我们学习了“正弦函数、余弦函数的图象”，第二课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的周期性”，第三课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的奇偶性、单调性”，学生通过前面几节内容的学习，对研究函数的方法有了一个更加清晰的认识，即先给出函数的定义，然后研究函数的图象，最后得到函数的性质，事实上这种研究方法是我们在一直采用的方法.有了前面的研究经验，加之有些函数的图象并不好画，因此本节我们从一个新的角度研究正切函数,先研究它的性质，在对性质有了一个初步了解后，再来研究函数的图象，最后利用图象验证我们之前所得到的性质，本节给出了研究函数的另一种方法.例题的编写意图：这是一个与复合函数有关的问题，是对正切函数性质的深入应用.学生在求定义域时容易想到换元法，让“新元”落在正切函数的定义域内解出自变量x的取值范围；关于该函数的周期学生有了前面求正弦型函数周期的经验，利用类比的方法猜想T，接下来需要利用周期函数的定义验证这一猜想；本例题比较难处理的地方是单调1x)，x[2,2]的增区间的求法，这使得学生对方法的接受变得自23性，教材为了化解难点，在必修一研究了复合函数单调性的判断方法，在上一节的例5给出了函数ysin(然.课后习题正切函数的性质及其图象的应用，针对性强.二、学情分析

学生在初中学习了简单的一次函数、二次函数、反比例函数，进入高中以后又学习了指数函数、对数函数、幂函数，还有前两节学习的正弦函数、余弦函数，我们在学习这些函数的时候都是先研究函数的图象，在由图象得到函数的性质.但是在学习过程中，他们会遇到某些函数的图象并不容易直接作出的情况，此时就需要有一种新的研究方法出现，即本节的研究方法，先研究函数的性质再研究函数图象.有了前面三节课的研究经验，学生容易想到从两域三性的角度研究.首先通过探究（几何画板演示）获得正切函数的性质，接下来采用类比的方法利用正切线作正切函数在(,)上的图象，结合正切函数的周期性得到正切22函数在整个定义域上的图象，最后利用图象讨论函数的性质.学生在例题的接受上可能会存在较大的困难，结合之前学习的正弦型函数的周期及单调区间的求法再来理解本例题会变得更加容易.三、教学目标分析

知识与技能：

1.理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和值域等基本性质及正切函数的图象；

ππ 2.了解用正切线作正切函数在(-,)内的图象.22过程与方法：

1.通过探究（观察-猜想-验证）获得正切函数的性质,体会数形结合的数学思想； 2.利用类比的方法获得正切函数的图象； 3.讲解例题，总结方法，巩固练习.情感态度与价值观：

1.通过几何画板演示，引发学生的学习兴趣；

2.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，增强学生的探究意识；

四、教学重点、难点分析

教学重点：

1.正切函数的性质的探究；

2.利用正切线作正切函数的图象.教学难点：

正切函数性质的应用（例题）.五、教学支持条件分析

为了更加直观地突出重点、突破难点，激发学生的学习兴趣，本节课以几何画板为依托，对正切函数的性质逐一探究，并利用正切线作出正切函数的图象，让学生体会“类比”的方法及“数形结合”的数学思想.六、教学方法分析

本节采用引导探究、讲练结合的教学方法，通过几何画板演示让学生发现规律、提出猜想、验证猜想，经历问题解决的过程，体会研究问题的方法.通过老师分析例题，加强学生分析问题的能力.七、教学过程

（一）复习引入

1、研究正弦函数、余弦函数的方法是什么？ 师生活动：共同回忆之前研究函数的方法.设计意图：之前研究函数的方法是先给出定义然后研究图象，再由图象得函数的性质.本节采用的研究方法是先研究性质再研究图象，提供了研究函数的另一种方法.2、正切函数是如何定义的？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生回忆正切函数的定义.设计意图：为接下来性质的探究做好准备.（二）新课讲解

探究

（一）正切函数的性质

知识探究1 正切函数的定义域

问题1 研究一个函数，我们需要先考虑它的什么性质？

师生活动：教师利用几何画板演示角x终边的情况，学生思考x的取值范围并得出结论，教师在几何画板上展示定义域在x轴上的分布情况.设计意图：研究函数需优先考虑定义域，学生观察图象不难得出定义域关于原点对称，为后面研究函数的奇偶性作准备.知识探究2 正切函数的周期性 问题2 正切函数是周期函数吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.通过学生自主观察、发现，激发学生的研究兴趣.2.为探究

（二）作正切函数的图象作铺垫.知识探究3 正切函数的奇偶性 问题3 正切函数具有奇偶性吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.复习判断函数奇偶性的方法.2为探究

（二）作准备.知识探究4 正切函数的单调性 问题4 正切函数的单调性如何？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：1.通过层层设问，获得正切函数单调区间的表示形式，明确函数图象的特征，为画函数图象作准备.2.复习正切线的定义，为接下来的研究作铺垫.知识探究5 正切函数的值域 问题5 正切函数的值域是什么？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：通过几何画板演示明确函数的值域，并强调正切函数没有最值.探究

（二）利用正切线作正切函数的图象

问题6 通过对性质的研究，你认为我们应该如何作出正切函数的图象？ 师生活动：教师展示研究成果（五条性质），学生思考.设计意图：让学生明确：欲研究正切函数在定义域内的图象，只需研究它在一个周期内的图象，结合奇偶性只需研究(,)上的图象.22问题7 如何作出正切函数在(,)上的图象？ 22师生活动：教师利用几何画板演示“利用正切线作正切函数图象”的过程，学生观察、回忆、对比，获得图象的直观认识.设计意图：1.让学生类比正弦线作正弦函数图象的方法，作出正切函数在(,)上的图.2.22体会数形结合的数学思想.问题8 如何得到正切函数的图象？

师生活动：教师演示平移后的图象，学生观察获得对图象的整体认识.设计意图：1.再一次体会图象的特征，从图象的角度验证函数的性质；2.给出正切曲线的定义.问题9 正切函数的对称中心是什么？

师生活动：教师演示正切曲线绕(k,0),kZ和(现与原图象重合.设计意图：给出正切函数对称中心的表达形式.2k,0),kZ旋转180，学生观察发

（三）例题讲解

例1 已知函数ytan(2x3)

（1）求出函数的定义域、周期和单调区间；（2）试作出函数的简图.师生活动：教师分析题目特点，明确解题方法.设计意图：加强对正切函数性质的应用

练习：求函数ytan(1x)的定义域、周期和单调区间.24师生活动：学生练习，教师巡视，展示学生的学习成果.设计意图：加强对方法的使用，掌握这类题的解法,巩固正切函数的性质.（四）课堂总结

1.正切函数的性质： 2.正切函数的图象： 3.数学思想与方法：

（五）作业布置与思考

1.作业：教材46页A组：6,7,9 2.思考：（1）如何证明正切函数的最小周期为？

（2）如何证明正切函数在(,)上是增函数？

正切函数的性质与图象 教学设计 篇2

函数是在探索具体问题的数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在初二已学习过一次函数的相关内容, 学生对函数已经有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念, 为后续学习产生积极影响。本节课的反比例函数图象与性质, 旨在让学生进一步熟悉做函数图象的主要步骤。即:列表, 描点, 连线。通过对反比例函数图象的全面观察和比较, 发现函数自身的规律, 进行语言表述, 从而得出反比例函数的主要性质。在第一课时, 学生已经得到了相应的结论, 本节课在此基础上进一步巩固所学内容。对于反比例函数的增减性, 学生掌握较差, 我们可通过练习得出y=x (k≠0) 中k值的几何意义。实际上, 本节课就是一节习题课, 如何上好一节习题课, 并有效地进行师生间的互动是对我的挑战。

课堂上先复习反比例函数的概念以及它的图象, 回忆性质并列成表格的形式, 以便于学生理解记忆, 然后通过练习进一步巩固所学知识。

例⑴:已知点A (2, y1) , B (1, y2) , C (-1, y3) , D (-2, y4) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 比较y1, y2, y3, y4的大小。

学生基本都能得出正确结果, 并有不同的做法, 经过总结归纳出三种方法。

方法一:分别求出y1, y2, y3, y4的值;

方法二:通过反比例函数的增减性来判断;

方法三:画草图, 通过观察图象来比较大小。

我对学生的表现进行了鼓励:大家能用所学的知识解决这个问题, 并有不同的方法, 说明大家都用心思考了这个问题, 在此基础上, 我们再来看例⑵, 大家能解决么?此时, 学生们都在积极思考下一个问题。

例⑵:已知点A (x1, y1) , B (x2, y2) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 且x1>x2, 比较y1, y2的大小。

此题对于学生有难度, 学生受上一题的影响, 很容易根据增减性得出y1x2, 可得出y1x2>0; (2) x1>0>x2; (3) 0>x1>x2。

这样处理这道例题, 比我直接给出正确答案效果要更好, 学生的印象也更为深刻。从第二天作业的反馈中也可以看出, 学生对这类型的题掌握得不错。如果这道例题没有经过由错误到正确的过渡, 学生在今后很容易犯这样类似的错误, 这还要“归功”于**同学呢。

《数学课程标准》指出:“数学教学应该建立在学生认识发展水平和已有的知识经验基础上, 教师激发学生的学习积极性, 向学习者提供充分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。学生是学习的主人, 教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”

因此, 面对新课程, 教师首先要转变角色, 确认自己新的教学身份。在学生学习的过程中, 要由管理者变为组织者, 由传授者变为协助者, 由仲裁者变为促进者。但要真正具体落实到课堂教学上, 我有时仍然感到迷惘, 甚至是无所适从。往往在课堂上还是滔滔不绝地讲, 学生死气沉沉地听;接二连三地问, 学生断断续续地答。“如何根本性地改变教师角色, 实现学生自主学习”这个问题显得尤为突出。在课堂上应该让学生自主活动、合作学习。教育心理学家早已作出论断:教师讲, 学生听, 学生只能记得15%;如果学生自己看书, 可以记得其中的25%;如果既看又听, 效果不再是两者的代数和, 而是65%。这是一个很大的飞跃。如果不仅用耳听, 而且动眼看, 动手做, 动嘴讲, 特别是多动脑筋, 效果自然会更好。因此, 我们可以让学生尝试错误, 这种错误出现后, 教师应善于捕捉这种机会, 将它转化为学生学习探究的课题, 调动学生的探究积极性, 在教师的引导下, 通过自主学习、小组合作、共同探讨等教学手段, 让学生自己纠正错误, 得出正确的结论。这样, 学生的印象会更深刻, 学习的效果也会更好。

在今后的教学中, 我将不断地反思自己教师角色的定位:

1.要做学生学习的促进者。学生自我建构知识的前提还是先有参与的意愿。“兴趣是最好的老师”, 因而教师要熟练驾驭教材及与之相关的拓展知识, 把科学性与趣味性有机地结合起来。然后为学生主动探究提供足够的时间和空间, 并且在学生的合作探究过程中, 不断给以鼓励, 最大限度地促进学生参与探究新知的活动。

正切函数的性质与图象 教学设计 篇3

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.

（作者单位：甘肃省嘉峪关市第一中学）

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.

（作者单位：甘肃省嘉峪关市第一中学）

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.

正切函数的性质与图象 教学设计 篇4

4.10正切函数的图象和性质

第一课时

(一)教学具准备

直尺、投影仪.

(二)教学目标

1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图.

2.掌握正切函数的性质及其应用.

(三)教学过程

1.设置情境

正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图.

2.探索研究

师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的.

生：在单位圆上取终边为 (弧度)的.角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点.

师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像.

(1)用正切线作正切函数图像

师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数?

生：∵

∴ 是周期函数， 是它的一个周期.

师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像.

作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆.

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.

③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份).

④找纵坐标，正切线平移.

⑤连线.

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 ( )的图像，并把它叫做正切曲线(如图1).

图2

(2)正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.

①定义域：

②值域

由正切曲线可以看出，当 小于 ( )且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值.

因此，正切函数的值域是实数集 .

③周期性

正切函数是周期函数，周期是 .

④奇偶性

∵ ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称.

⑤单调性

由正切曲线图像可知：正切函数在开区间( ， )， 内都是增函数.

(3)例题分析

【例1】求函数 的定义域.

解：令 ，那么函数 的定义域是

由 ，可得

所以函数 的定义域是

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

(1) 与 ;

(2) 与 .

解：(1)∵

又 ∵ ，在 上是增函数

∴

(2)∵

又 ∵ ，函数 ， 是增函数，

∴ 即 .

说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决.

3.演练反馈(投影)

(1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是( )

A. B. C. D.与 值有关

(2) 是 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合

① ②

参考答案：

(1)C.注： 与 相邻两点之间距离即为周期长

(2)D.注：由 ，但 ，反之 ，但

(3)①

②

4.总结提炼

(1) 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

(2) 性质.

定义域

值域

周期

奇偶性

单调增区间

对称中心

渐近线方程

奇函数

，

(四)板书设计

课题……

1.用正切线作正切函数图像

2.正切函数的性质

例1

例2

演练反馈

正切函数的性质与图象 教学设计 篇5

一、教学分析

1、教材地位分析

本节课是在介绍了反函数的概念后的一节，是进一步对反函数的图象性质的探索和认识。

2、学生情况分析

学生在七年级和八年级对函数的变化关系有了较为丰富的体验和感受，也具备了一定的探索能力和归纳能力。

3、教学目的分析

知识目标：（1）进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。（2）体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。（3）经历观察、归纳、交流的过程，探索反比例函数的主要性质及其图像形状。能力目标：提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平。

情感目标：让学生进一步体会反比例函数刻画现实生活问题的作用，通过参与数学活动增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。

二、教学重点

探索反比例函数图象的主要性质及其图像形状。

三、教学难点

1、准确画出反比例函数的图象。

2、准确掌握并能运用反比例函数图象的性质。

四、教学方法

1、教法：师生互动，引导发现

2、学法：自主探究，合作交流

五、教学思路

复习引入――――引发认知冲突探究新知（认识反比例函数图像）――――探索图象性质――――应用提高

六、教学过程 第一环节：复习引入

1、提问：让学生回忆我们所学过得一次函数y=kx+b(k≠0)，说出画函数图像的一般步骤。（列表、描点、连线），对照图象回忆一次函数的性质。（要求完整地表达出性质）

2、让学生仿照画一次函数的方法画反比例函数y=学生活动：三名学生上台板演，其他学生在下面画。的图像并观察图像的特点

教师活动：在作此步骤时，学生可能会出现画成直线、折线、单曲线.....等情形，这时正好针对问题鼓励学生间互相讨论相互比较，针对出现的问题，教师做强调，最终给出正确的图像。

设计意图：通过学生黑板上画图，教师纠正出现的问题可以加深学生对作反比例函数图像的印象。（以下是学生在作图过程中可能出现的几种情况）

第二环节：探索性质

1、观察我们所画出的的图象回答下列问题

（1）函数的图象分别位于哪几个象限内？

（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？（三种方式来说明：①通过图像观察，②也可采用数据代入求值得到函数的增减性，③可通过对式子的分析。尽量用多种方式让学生能更为深刻的理解和掌握反比例函数的图像及所体现的特点。）（3）反比

例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？

学生活动：学生通过给出的图像分组讨论并完成问题，然后全班汇报交流。教师活动：教师引导学生总结。

设计意图：从特殊例子入手让学生容易找出它的性质，再把知识一般化。

2、做一做：观察反比例函数y=，y=，y=的图象（如图5－3），你能发现它们的共同特征吗？（从解析式和图象两个方面来说明）

图5－3 师生互动：给出图象后，鼓励学生观察图象，同桌交流，归纳总结图象的共同特征。如果学生的回答是以上问题的相关解释，老师要给予充分的肯定并进行适时小结。对学生没有注意到的问题，老师可以明确提出问题让学生思考。

设计意图：为学生提供了思考的时间，使学生在观察、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力。

1、议一议：画出y=的图象，比较它和y=的图象，二者有哪些异同.考察当k=－2，－4，－6时，反比例函数y=的图象（如图5－4），它们有哪些共同特征？

图5－4 学生活动：学生观察图象后先独立思考，再在四人小组间交流讨论。设计意图：使学生进一步明确反比例函数图象在K〈 0时的相关性质。

2.小结：反比例函数y=的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

思考：将性质表达中的“在每一象限内”去掉可以吗？

（补充数学符号表达：当k>0时，若X1>X2, 则 y1X2, 则 y1>y2）师生互动：鼓励学生尝试对函数的性质进行描述。老师根据学生的回答进行修正和补充，最终获得完整而规范的结论。第三环节：性质应用

1． 下列函数中，其图象位于第一、三象限的有___________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有___________.（1）y=；（2）y=；（3）y=；（4）y=.2.已知点A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=y2 与y3的大小；

学生活动：学生先自己独立完成，然后请学生自己讲解。

的图象上，比较y1，教师活动：教师给予指导，分析其结果的正确性并说明需注意的问题。设计意图：对反函数图象性质认识的及时应用和巩固。

3．想一想：反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？ 学生活动：学生分组讨论完成再全班交流。第四环节：知识总结 反比例函数的图象性质：

当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值；

当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，并且第二象限内的y值大于第四象限内的y值.反比例函数的图像是关于原点的中心对称图形。

教师活动：提问，通过今天的学习，你们对反比例函数有了一些新的认识吗？是什么呢？ 学生活动：思考，然后举手总结本节课自己的收获。

设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“反函数的图象与性质”的实质把握，使学生对所学知识形成了完整的知识体系。

第五环节：作业布置

1、随堂练习第2题

2、习题5.3第1、2题

（其中第2题的（2）题已作课堂练习，不做）第六环节：板书设计：

反比例函数的图象与性质

一、复习引入

1、提问

2、学生画图

二、探索性质

结论：反比例函数y=的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

三、知识应用

练习1 练习2 练习3 第七环节：教学反思

正切函数的性质与图象 教学设计 篇6

我说课的内容是正切函数的性质和图像。

教材理解分析

《1,4.3 正切函数的.性质与图像》是人教社A版必修4第一章第4节的第3小节的内容。是前面系统的学习了正弦与余弦函数的概念，图像及其性质以后滴内容

学习目标

1、掌握正切函数的性质及其应用

2、理解并掌握作正切函数图象的方法;

3、体会类比、换元、数形结合等思想方法。

学情分析

由于我们文科平行班基础不太好加之学习函数的图像及性质又是一个难点，自主学习必然会出现困难。加之教学时间紧，任务重，前面地学习也不是很好。

根据教材结构和学情我对具体地教学过程和设计作如下说明：

在学法上大胆采用高效课堂模式，让学生探究，大胆去掉非主线知识内容，内容程序尽量简洁明了，一课一得，便于学生掌握。教学过程共有这样几个方面

一、复习引入

(1)画出下列各角的正切线

(2)复习相关诱导公式

二、探究新知

探究一 正切函数的性质

探究二 正切函数的图像

三、新知运用

例1 求函数的定义域、周期和单调区间.

四、课堂练习

1、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。

2、 观察正切曲线，写出满足下列条件x的范围：

(1) ; (2) ; (3)

正切函数的性质与图象 教学设计 篇7

1. 主要教学目标的对比

第一次授课的主要教学目标是学会用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标。

第一次的目标更多的是从知识的学习方面来确定的, 着眼于让学生探索当节课的知识内容:掌握当节课的解题方法。但本节课是第2节最后一课时, 与前3课时共同完成了对二次函数的图象和性质的系统研究。

所以第二次的目标除了完成对知识本身的学习外, 还增加了更高层次的目标:如何对一个数学对象 (二次函数) 进行较为系统地研究。显然这一目标更好地培养了学生的数学素养和对数学对象的研究意识。事实证明, 第二次授课让学生对二次函数的图象和性质有了更加清晰和全面的认识。

所以, 初中数学课堂上的“数学味道”首先应具备的是“研究味道”。作为初中数学教师, 除了数学思维、解题能力以外, 也应忽视对学生的数学研究能力的培养!初中生已具备初步的数学研究能力, 因此, 在数学课堂上渗透研究意识, 其意义不仅在于学生所学知识系统化, 更重要的是对于学生的数学素养的提升和可持续性发展都有非常积极的作用。

2. 主要教学环节的对比

“探究新知”是本节课最重要和关键的教学环节, 第一次授课这一环节实施如下: (1) 教师直接提出问题:“你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?”; (2) 学生思考, 讨论, 得出方法:将表达式化为:y=a (x-h) 2+k的形式; (3) 教师讲解如何将表达式化为:y=a (x-h) 2+k的形式, 得出本节课的重要方法:配方法。

第一次授课发现这样的设计缺少了对一般形式与前面特殊形式的对比联系, 也不能体现

重要的思想方法:从特殊到一般的数学思想方法和化归的数学思想方法。

第二次授课这一环节改进如下: (1) 教师提问:我们已经掌握了哪些特殊类别的二次函数的图象与性质?二次函数y=2x2-16x+25的图象和性质如何? (2) 教师作如下提示: (1) 要研究哪些具体问题?采用怎样的方法来研究, 为什么? (3) 教师引导学生以独立研究再小组合作交流的方式来完成研究;

从授课效果来看, 学生在研究y=2x2-16x+25这一具体函数的图象与性质时, 部分学生根

据已有的学习经验, 利用画函数图象的方法来研究, 也有学生根据前面三节课的方法采用平移函数图象的方法来研究, 也有学生利用上一节课的知识, 将一般式化为顶点式的方法来研究, 多种思维火花的碰撞, 让学生在课堂上收获良多!

对比两种不同的设计可知, 数学课堂的“数学味道”还应包含“数学思想方法”的有效渗透。如本节课, 学生通过画y=2x2-16+25的图象发现:按原来方式取点, 所画图象无法发映出函数的性质, 于是能够进一步思考并找出问题的原因, 从而结合顶点式过渡到配方法, 体现了“化归”这一重要数学思想方法。而对比前3课时的教学又渗透了由特殊到一般的数学思想方法。数学课堂重视“数学思想方法”的渗透, 这也要求教师在教学环节的设计上应摆脱重解题技巧轻知识原理的功利化的应试教学, 从而达到更优的教学效果。

3. 课堂小结的对比

第一次授课的小结教师引导学生从以下两个方面进行小结:本节课的知识要点和解题方法主要有哪些?第二次授课的小结则改为: (1) 回顾前三节课和本节课, 回忆二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质的整个研究过程是怎样的?用了哪些具体的方法? (2) 本节课的知识要点和解题方法主要有哪些? (3) 本节课所渗透和主要思想方法有哪些?

从课堂小结可以看出, 第二次授课, 教师将本节课的课堂小结与前三节课的内容相结合, 这样的小结让知识点不再孤立, 而是将对知识进行横向联系和整体性的归纳。而通过这样的课堂小结, 学生对于二次函数的图象与性质也有了整体的更加系统完整的认识。

笔者认为, 数学课堂的“数学味道”还应具备知识的横向联系或纵向加深。数学知识不是单个而孤立的, 而是点、线、面相结合的, 数学课堂如果仅就知识讲知识的话, 整个课堂是枯燥而沉闷的, 也是不利于学生的整体数学水平的提高的!

以上是笔者从一节公开课的两次授课得到的一些思考, 如何让数学课堂更加具有“数学味道”是每一位数学教师都应认真思考的问题, 当我们的课堂充满浓厚的“数学味道”时, 我们的数学课堂也必定会更加精彩和有效!

参考文献

[1]顾泠沅.主编.作为教育任务的数学思想与方法, 上海教育出社.2009, 9

[2]曾大洋.主编.如何上好一堂数学课.华东师范大学出版社.2012, 10

幂函数的概念、图象和性质 篇8

一、 幂函数的概念

要想真正把握好幂函数概念的内涵和外延，需将它和其他基本初等函数加以区分.

1. 幂函数和指数函数

函数

内容

项目幂函数指数函数定义形如y=xα（α∈R）的函数叫幂函数，其中α为常数形如y=ax（a＞0且a≠1），x∈R的函数叫指数函数

特点1. 是幂的形式2. 幂的底数是x ——自变量3. 幂的指数是α ——常数4. α∈R（中学阶段只研究α为有理数）

1. 是幂的形式2. 幂的底数是a ——a＞0且a≠1的常数3. 幂的指数是x ——自变量

4. x∈R（定义域）

2. 幂函数和正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

形如y=kxα的函数,k,α是常数：

① 当且仅当k≠0且α=1时为正比例函数.

② 当且仅当k≠0且α=-1时为反比例函数.

③ 当且仅当k≠0且α=1时为一次函数.

④ 当且仅当k≠0且α=2时为二次函数.

⑤ 当k=1时为幂函数.

另外，并非所有的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数都是幂函数，比如：y=2x，y=2x，y=x+1，y=x2-x等均不是幂函数.

3. 幂函数和复合函数

幂函数作为一种基本初等函数，它可成为被复合的一分子，但它不是复合函数.如：y=x12+1是由一次函数y=u+1和幂函数u=x12组成的复合函数，但y=x12+1不是幂函数.

例1 已知函数f（x）=（m2+2m）xm2+m-1，m为何值时，f（x）是：

（1） 正比例函数；

（2） 反比例函数；

（3） 二次函数；

（4） 幂函数.

解析 本题考查四种基本初等函数，关键是根据各自定义列出等式或不等式，求出m的取值.

（1） m2+2m≠0,m2+m-1=1,解得m=1.

（2） m2+2m≠0,m2+m-1=-1,解得m=-1.

（3） m2+2m≠0,m2+m-1=2,解得m=-1±132.

（4） m2+2m=1,解得m=-1±2.

二、 幂函数的图象

图1

1. 以y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1五种函数的图象，通过列表——描点——连线（三步作图法）得到,如图1.

2. 幂函数y=xα，x∈［0，+∞）的图象因α值不同而不同.如图2，以y=x，y=x0和在x=1右侧分为三个区域：

图2

在Ⅰ区中，y=xα（α＜0）；

在Ⅱ区中，y=xα（0＜α＜1）；

在Ⅲ区中，y=xα（α＞1）.

利用图2，可弄清在第一象限中幂函数y=xα的图象分布与α的关系，且在x=1右侧的每一区域中，都是越往上对应的α值越大.

例2 图3是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则（）

A. -1＜n＜0＜m＜1

图3

B. n＜-1,0＜m＜1

C. -1＜n＜0,m＞1

D. n＜-1,m＞1

解析 在（1，+∞）内取一值x0，作直线x=x0，它与这两个幂函数的图象均有交点，则“点低指数小”，故选B.

3. 幂函数图象的特点

① 一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；

② 最多只能同时出现在两个象限内；

③ 是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；

④ 如果图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

三、 幂函数的性质

幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出在定义域内完整的图象；反过来，只要图象明确了，性质也就清晰无误了.

例3 已知幂函数y=xm2-2m-3（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)-m3＜(3-2a)-m3的a的取值范围.

解析 由题意，可得m2-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

又m∈N，所以m=0，1，2.

当m=0或m=2时，y=x-3是奇函数，不合题意,舍去.

当m=1时，y=x-4满足条件.

所以m=1.

对于（a+1）-13＜(3-2a)-13,考察幂函数y=x-13的单调性：在（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数,

所以a+1＞0,3-2a＞0,a+1＞3-2a,或a+1＜0,3-2a＜0,a+1＞3-2a,或3-2a＞0,a+1＜0,

解得a＜-1或23＜a＜32.

故a的取值范围是（-∞，-1）∪23,32.

巩 固 练 习

1. 下列函数是幂函数的是（）

A. y=xx

B. y=3x12

C. y=(x-1)2

D. y=x-2

2. 右图为幂函数y=xα在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为（）

A. C1＞C2＞C3＞C4

B. C2＞C1＞C4＞C3

C. C1＞C2＞C4＞C3

D. C1＞C4＞C3＞C2

3. 设函数f1(x)=x12，f2(x)=x-1，f3(x)=x2.求：f1(f2(f3(2008)))=.

4. 已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)＜f(3).

（1） 求k及其相应的f(x)的解析式；

（2） 对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在q（q＞0），使函数g（x）=1-qf(x)+（2q-1）x在区间［-1，2］上的值域为-4,178？若存在，求出q；若不存在，说明理由.

正切函数的性质与图象 教学设计 篇9

教学目标:

1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.

3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.

4.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.

教学重点：

1.利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同.

教学难点：

经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现探索经验运用的思维过程.

教学过程：

一、学前准备

我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是_______________，一般的一次函数的图象是____________，反比例函数的图象是_________________.上节课我们学习了二次函数的一般形式为_________________________，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题.

二、探究活动

(一)、作函数y=x2的图象.

回忆画函数图象的一般步骤吗?(列表，描点，连线.)

下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.

(1)列表：

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.

(二)、议一议

对于二次函数y=x2的.图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?

(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?

(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并交流.

下面我们系统地总结：

(三)y=x2的图象的性质.

二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.

大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.

当堂练习：按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象.

y=-x2的图象如右图，并让学生总结：

形状是___________，只是它的开口方向____________，它

与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可

以看成是__________对称.

试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.

并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.

不同点：

相同点：

联系：

(四)课堂练习： 随堂练习(P47)

三.学习体会

1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问?

2.你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方?

3.预习时的疑问解决了吗?

四.自我测试

1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象.

2.下列函数中是二次函数的是 ( )

A. y=2+5x2 B.y= C.y=3x(x+5)2 D. y=

3.分别说出抛物线y=4x2与y=- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标

4、已知函数y=mxm2+m.

(1)m取何值时，它的图象开口向上.

(2)当x取何值时，y随x的增大而增大.

(3)当x取何值时，y随x的增大而减小.

正切函数的性质与图象 教学设计 篇10

内容提要：华东师大版八年级下册第十八章中“一次函数的图象和性质”是全章书教学的重点和难点。在对该内容的反复施教和反思中，本人深刻感受到学生主动性不够是课堂低效的根本原因，而学生主动性不够其根本原因不是学生而是教师。

关键词：

一次函数

图象

性质

反思

有效课堂

“一次函数的图象和性质”是全章书的重点和难点。在学习一次函数的定义后，先研究一次函数图象的形状，利用图象探索函数的有关性质（如直线，经过象限，k,d值对函数图象的影响）；最后研究一次函数的增减性。为此我决定第一课时先学习用描点法和两点法画图一次函数图象，再利用所画图象感知函数性质，体现函数图象与性质的关系，并在学习过程中逐步培养学生数形结合的思想。

一、第一次授课及反思

1、主要教学环节

环节一：用描点法画函数y3x，y3x与y2x1的图象，感知一次函数图象的形状；

环节二：以y＝-x＋2和 y＝

1x＋2为例，学习的两点法画图.21x＋2各组2环节三：比较y3x和y3x，y2x和y2x1，y＝-x+2与y＝图象的共同点和不同点，探讨常数k和b的取值对于函数图象的影响.环节四：归纳总结一次函数（含正比例函数）图象的相关性质.环节五：巩固练习.2、课后反思

一节课的时间，学生即要学习画一次函数的图象，又要探究、总结函数性质，内容太多，特别是画前三个函数图象花去了较多时间，画完这五个函数图象，一节课只剩下15分钟不到。为完成后面的教学任务，原本应由学生发现、总结的函数性质也不得不由教师讲解。课后作业反馈，学生对性质掌握很不好，有大部分的学生相当混乱。另一方面，学生对三对函数共同点和不同点的探究比较茫然，不知该从何入手，很多学习小组对性质的探究找不到重点。可以说这是一节不成功的课。其根本原因是备课时，我更多地考虑了自己要教什么却没有充分考虑学 生的学习能力，导致教学容量过大，学生不能胜任，将一节本意是探究的课却上成了一节“填鸭”课，学生忙碌却又茫然，一节课在老师的催促中结束。针对出现问题，我在课后对设计进行了修改，将画图时间缩短，留下更多的时间给学生探究函数性质。

二、第二次授课及反思

1、修改后的主要教学环节

环节一：用描点法画函数y2x的图象，感知函数图象的形状；教师通过课件帮助学生感知一次函数图象的形状，提出两点法画图。

环节二：以画y2x图象为例学习两点法画图。利用y2x和y2x函数图象探究正比例函数ykx(k0)的图象特征和性质。

111环节三：用两点法画yx与yx1与yx1的图象，探讨常数k,d

333的取值变化对于函数图象的影响。

环节四：应用环节三的结论画某些一次函数的大致图象，进一步理解一次函数图象的相关性质。

2、课后反思

1修改后，学生画图用时减少，研究性质的时间增加。尤其是画完yx与

311yx1与yx1的这一组图象后，学生对常数d对于函数图象的影响有33较深刻的认识，且大部分学生能感知当k相同时，函数图象平行，这为后面有较充足的时间探讨一次函数的一般性起到了较大作用，也对后期利用k值确定一次函数的增减性打下了良好的基础。

由于前后还是共画了5个函数的图象，学生画图不熟练，仍用去了较多时间，对正比例函数的图象和性质的研究仍然比较仓促，学生对性质的探究不充分。由于所画图象不够，学生对“k0图象经过一、三象限，k0图象经过二、四象限”这一性质没有体会，完全由教师讲解，即消弱了学生的兴趣又对后面的函数性质的学习造成了不良影响。

两次施教，老师学生都不轻松，而学习效果却均不尽人意，这不得不让我重新审视自己的教学。本次修改，虽然考虑了学生的学习能力，减少了画图的任务，2 但是将画函数图象，和函数性质的探究两个重要内容放在一节课中，师生压力还是很大，对一部分学生来讲“函数性质”这一知识学成了“夹生饭”。这不禁让我想起在初三补习上课时一名学生给我讲的那句话“函数最难学，我看见就怕”。学生的症结很多时候是性质相互混淆，解决问题时把图象和性质孤立，既缺乏数形结合的思想，这在设计该教学内容时我就注意到了。但从教学效果来看，我想学生避开的问题依然没有避开。

教学设计虽作修改，但并没有改变问题的实质，课堂容量依然不能让学生接受，希望学生探究、发现的始终没能发现。归根到底，教师对学生的考虑不够，没能充分调动学生的学习积极性，没有让他们体会到研究函数的快乐。设计不当，导致学生在课堂上只是被动学习和接受，学生缺乏学习主动性是课堂低效的根本原因。因为我的过错，让好的学生徒增课后的压力，让学习能力差的学生从此产生了对函数的恐惧。看来，我是课堂效率低下的罪魁祸首。

痛定思痛，我再一次对这该部分教学内容进行了大的变动。将原本一节课完成的内容分为两节课完成，第一课时主要研究画函数图象，感知函数图象的形状；第二课时则主要用于函数性质的发现、归纳及应用。

三、第三次授课及反思

1、二次修改后的主要教学环节 第一课时：

环节一：用描点法画函数y2x，y4x，y2x1，y＝-x+2的图象，感知一次函数图象的形状，提出两点法画图。

环节二：以画函数yx,yx图象为例学习两点法画图。

1111环节三：用两点法画y2x，yx，yx1，yx1，y＝x＋

33322等函数图象，并在小组中交流取点和描点的技巧。第二课时：

环节一：用两点法画y11x,yx复习用两点法画函数图象； 22环节二：函数性质的探讨（小组合作）（利用课件把学生两节课中所画的函数图象分类呈现如下，引导学生观察、总结）

环节四：巩固练习（通过性质填空和画函数大致图象加深理解）。

2、课后反思

虽然前后学习画图和研究性质都是花了两节课，但在这个班上课我感觉自己和学生都轻松了很多，学生的学习兴趣也浓厚很多。特别是第二节课，整个班都很兴奋，学生不需要教师的任何讲解就发现了“k是正数时，图象经过一、三象限；k是负数时，图象经过二、四象限；k相同时，直线平行；d0时，图象向上平移d个单位，d0时，图象向下平移d个单位”。有的学生还发现了“k越大，直线越贴近y轴；y11x,yx的图象关于y轴对称” 等课本没22有提到的性质。从练习反馈来看，学生对函数性质的掌握比前两个班学完两节课后的效果都要好。更让我欣喜地是由一名学生居然对我说“老师函数性质很容易学，没有我姐姐说的那么难”。

经过两次的修改，终于上了一节令自己和学生满意的课。看来要提高课堂教的效率和学的效率，主宰权就在教师手上。无论教学的哪个环节，都必须从学生出发，充分考虑学生的学习能力，给他们提供有效的研究素材，让学生真正参与到学习中，数学学习才会吸引学生，也只有这样的课堂才有“有效”可言。参考文献：

义务教育课程标准实验教科书华东师大版《数学》八年级下册（教师用书）

华东师范大学出版社

王建磐

全日制义务教育《数学课程标准》

北京师范大学出版社 《“非线性主干循环活动型”单元教学模式的建构与实施》

华东师范大学出版社

正切函数的性质与图象 教学设计 篇11

例1 (2014年兰州中考14题):二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=

1,下列结论中错误的是

A.c>0 B.2a+b= 0

C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0

解析: 本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系,解决问题的关键是利用函数图象判断系数的取值情况.当x=0时,y=c,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,故c>0,A正确;抛物线对称轴为x=1,即-b/2a=1,化简式子得2a+b= 0,故B正确;抛物线与x轴有两个交点,即ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,故b2-4ac>0 ,所以C正确.由图象知,当x=-1时,y=a-b+c<0,即D错误.故答案选D.

总结: 二次函数图象与系数的关系是数形结合思想的典型应用. 它要求学生熟练掌握a、b、c的取值由谁确定,会利用对称轴的范围求2a与b的关系, 以及关于a、b、c特殊代数式的取值和根与判别式的熟练运用.这类题型其解题方法可以归纳为“五看”:一看开口,a上正下负;二看对称轴,b左同右异、y轴0;三看y轴交点,c上正下负、原点0;四看x轴交点个数,2大1等0小于;五看特殊点1、-1、2、-2所对应的y值.下面,利用“五看”来解几例题.

例2 (2013年白银)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点P(a,bc)在第_____象限.

解析: 要确定点P所在象限,只要确定出a和bc的符号即可.由上面的三看就可以解决此题:一看开口,可知a<0;二看对称轴,可知b<0;三看y轴交点,c>0;由二看三看知bc<0;所以点P(a,bc)在第三象限.

总结:这道题是二次函数图象与系数关系的简单应用,要确定点的坐标,必须先判断横坐标、纵坐标的符号,判断横坐标、纵坐标的符号就要利用二次函数图象确定系数的符号 ,利用解题方法五看很轻松的就解决这类题型.

例3 (2013年菏泽)已知b<0,二次函数y=ax2+bx+a21的图象为图象中四个图象之一,试根据图象分析,a的值应等于()

A.-2B.-1C.1D.2

解析:二次函数表达式中已经确定系数b的符号,要确定a的值必须知道二次函数y=ax2+bx+a2-1具体是哪一个图象.在第一、二个图中,由二看对称轴知b=0,所以不是所求二次函数的图象;在第三、四个图中,由三看y轴交点知c=0,即a2-1=0,解得a=1或-1.由二看知a、b异号,因为b<0,只能a>0,所以第三个图正确.综上,得出a=1.

正切函数的性质与图象 教学设计 篇12

一、知识网络

二、高考考点

（一）三角函数的性质

1、三角函数的定义域，值域或最值问题；

2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.3、三角函数的周期性；

寻求对值的三角函数的周期.（二）三角函数的图象

1、基本三角函数图象的变换；

2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出

型三角函数的周期以及难度较高的含有绝的一段函数图象求函数解析式；

3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；

4、利用函数图象解决应用问题.（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点

（一）三角函数的性质

1、定义域与值域

2、奇偶性

（1）基本函数的奇偶性

奇函数：y＝sinx，y＝tanx；

偶函数：y＝cosx.（2）

（ⅰ）g（x）＝g（x）为偶函数 型三角函数的奇偶性

（x∈R）

由此得

同理，（ⅱ）为偶函数

；

为奇函数

；

为奇函数

..3、周期性

（1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期

y＝sinx，y＝cosx的周期为cotx的周期为

（ⅱ）.型三角函数的周期

；

y＝tanx，y＝ 的周期为 ；

（2）认知

（ⅰ）

型函数的周期

的周期为.的周期为 ；

的周期为.（ⅱ）的周期的周期为；

的周期为

均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.（ⅱ）若函数为

.的解析式施加绝对值后，型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.（3）特殊情形研究

（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；

（ⅱ）的最小正周期为 ；

（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性

（1）基本三角函数的单调区间（族）

依从三角函数图象识证“三部曲”：

①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；

②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；

③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）

循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y＝

型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为

①换元、分解：令u＝

，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝

；

②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；

③还原、结论：将u＝区间形成结论.代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或

（二）三角函数的图象

1、对称轴与对称中心

（1）基本三角函数图象的对称性

（ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为对称中心为（，0）

.； 正弦曲线y＝sinx的（ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ； 余弦曲线y＝cosx的对称中心

（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为轴.认知：

①两弦函数的共性： x＝ 为两弦函数f（x）对称轴 ＝0.； 正切曲线y＝tanx无对称

为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心

②正切函数的个性：

（，0）为正切函数f（x）的对称中心

＝0或

不存在.（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）

或g（x）＝

为最值（最大值或最小值）；（的图象

，0）为两弦函数g（x）

（ⅰ）对于g（x）＝x＝ 为g（x）对称轴 ＝0.对称中心（ⅱ）对于g（x）＝＝0或 不存在.的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心

2、基本变换

（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移

3、y＝

（1）五点作图法

的图象

（2）对于A，T，的认知与寻求： ①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；

2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离.② ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；心间的距离.：图象的对称轴与相邻对称中

： 由T＝ 得出.③ ：

解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得

解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题

例

1、求下列函数的值域：

值为增根；

（1）

（4）

（2）

（5）

（3）（6）

分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：

（1）

∵

∴，即所求函数的值域为.（2）由

∴

∴ 注意到这里x∈R，∴

∴所求函数的值域为[－1，1].（3）这里

令sinx＋cosx＝t 则有

且由

于是有

∵ ∴

因此，所求函数的值域为（4）注意到这里y>0，且函数的值域为

（5）注意到所给函数为偶函数，又当

同理，当 亦有.∵

.∴

即所求

∴此时..∴所求函数的值域为

（6）令 则易见f（x）为偶函数，且

∴ 是f（x）的一个正周期.①

只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.当x∈[0，]时，又注意到，∴x＝ 为f（x）图象的一条对称轴 ②

∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.而在[0，递增④ ]上，递增.③ 亦

∴由③④得f（x）在[0，]上单调递增.∴

即 ⑤.于是由①、②、⑤得所求函数的值域为

点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例

2、求下列函数的周期：

（1）

；

（2）

；

（3）；

（4）；

（5）

分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：（1）

＝

＝

∴所求最小正周期.（2）＝ ＝ ＝

∴所求周期.（3）＝

＝

＝.注意到 的最小正周期为，故所求函数的周期为.（4）注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0

.（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2.∴所求函数的周期为

2（5）

注意到sin2x的最小正周期小正周期，这里

，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最

.∴所求函数的周期

知，.是f（x）

的最小公倍数为

点评：对于（5），令的一个正周期.①

又正周期.②

于是由①②知，f（x）的最小正周期为

则由

∴ 不是f（x）的最小

.在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.请大家研究周期，并总结自己的有关感悟与经验.例

3、已知函数的部分图象，（1）求

解：

（1）令

，则由题意得f（0）＝ 的值；

（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.的最小正

∵

∴

注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为，故逆用“五点作图法” 得： 由此解得

∴所求，.（2）由（1）得

令，解得，∴函数f（x）图象的对称轴方程为 ；令 解得，∴函数f（x）图象的对称中心坐标为.点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：

例

4、（1）函数 的单调递增区间为。

（2）若函数 上为单调函数，则a的最大值为。

（3）函数 的图象的对称中心是。

函数（4）把函数

的图象中相邻两条对称轴的距离为

。的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为。

（5）对于函数，给出四个论断：

①它的图象关于直线x＝ 对称；

②它的图象关于点（,0）对称；

③它的周期为 ；

④它在区间〔－，0〕上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。

分析：

（1）这里递增且

的递增区间

的正号递减区间

∴应填

（2）由f（x）递增得

易见，由f（x）递减得

当k＝0时，注意到 而不会属于其它减区间，故知这里a的最大值为.（3）（ⅰ）令

∴所给函数图象的对称中心为（，0）；

（ⅱ）①

解法一（直接寻求）在①中令 则有②

又在②中令k＝0得，令k＝1得

∴所求距离为 －

解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为

T＝，故所求距离为.（4）这里 将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为

令

则由题设知f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）

∴所求m的最小值为.（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察

①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形.（ⅰ）考察①、③ ②、④是否成立.由③得，故

；又由①得

注意到②、④成立.（ⅱ）考察②、③

.∴在①、③之下，易知此时

①、④是否成立.由③得，故 ；

又由②得 注意到.∴在②、③之下，易知此时①、④成立.②、④与②、③

①、④.；

.于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③

点评：对于（4）利用了如下认知：

对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例

5、已知取得最大值2.（1）求f（x）的表达式；

的最小正周期为2，当 时，f（x）

（2）在闭区间 上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为

＋k的形式，这是此类问题的解题的基础.解：（1）去

令，①

，即 则有

由题意得② 又由①知，注意到这里A>0且B>0，取辅助角，则由②得③

（2）在③中令 解得x＝k＋

解不等式k＝5.④

注意到，故由④得

于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为.点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为式，解题便胜券在握.＋k的形

例

6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f（x）]<0且x∈[0，]时，实数a的取值范围.分析：由点A、B都在函数∴b＝a，c＝1－a.的图象上 得：，∴ ∴

此时，由g[f（x）]<0且x∈[0，]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.解：由分析得

∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0，①

∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0② ∴由①②知，当x<-2或0

.∴由③得，当

.则

h（t）＝

∴g[f（x）]<0且x∈[0，]时，h（t）<－2或0

注意到h（t）＝at＋（1－a）∴由h（t）<－2得h（1）<－2(a<0)或h（由0

.，解得)<-2(a>0)，.于是综上可知，所求a的点评：在这里，由③到④的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0

（1）h(t)>0，⑤得，h(1)>0，显然成立；

当a<0时，h(t)在；

当a＝0时，h（t）显然满足10，－1

⑥

（2）h(t)<2，⑦当a>0时，h(t)在 上递增，∴由⑦得，得

－

上递减

∴由⑤得，h（）>0

（－1）a＋1>0

，00且h（t）<2

上递增，∴由

⑤ 当a>0时，h(t)在h()<2 ；

上递减

∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件； 当a＝0时，当a<0时，h(t)在h（t）＝1，显然满足条件.因此由⑦得

五、高考真题

（一）选择题

1、（湖北卷）若

⑧

于是综合（1）（2）知，由0

（）

A.B.C.D.的范围入手，分析：注意到我们对去了解 的范围.的熟悉，故考虑从认知

由 ∴，∴

应选C.2、函数 的部分图象如图，则（）

A.B.C.D.分析：由图象得.∴，∴

又f(1)=1，∴

（二）、填空题

1、（湖北卷）函数为。

注意到，∴

应选C.的最小正周期与最大值的和

分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论.，而sinx≥0的解区间重复出现的最小正周，故所求函数的最小正周期为

.（1）注意到sin2x的最小正周期期，而 的最小公倍数为

（2）由分段函数知，y的最大值为

2、（辽宁卷）个实数a，是正实数，设

，于是由（1）（2）知应填..若对每 含2个元素，则

的元素不超过两个，且有a使的取值范围是。

分析：

∴

注意到有a使

注意到

含有两个元素，∴相邻两 值之差

的元素不超过两个，∴相间的两个 值之差

①

②

∴由①、②得

.点评：

对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于（2），这里的 决定于f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义.（三）解答题

1、若函数 的最大值为2，试确定常数a的值.＋k的形式，而后便

分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f（x）化为会一路坦途.解： ＝

＝ 由已知得

.点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力.2、设函数

（1）求

y＝f（x）图象的一条对称轴是直线.；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；（3）证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f（x）的图象不相切.分析：对于（3），由于f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线ｌ与ｙ＝ｆ（x）的图象不相切，只需证直线ｌ的斜率不属于y＝f（x）图象上点的切线斜率的取值集合.解：（1）∵ 为函数 图象的对称轴，∴

∴ 即

又.（2）由（1）知时，y＝f（x）递增，当

∴所求函数f（x）的增区间为.（3）∵

∴y＝f（x）图象上点的切线的斜率范围为[－2，2].而直线5x－2y＋c＝0，∴直线5x－2y＋c＝0与函数 的图象不相切.点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题（3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.3、已知函数

是R上的偶函数，其图象关于点M（）对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.的值；已知函数图象关

的分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定于某直线（或某点）对称，则只能导出关于

的可能取值，此时要进一步确定值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.解：由f（x）为偶函数得f（－x）＝f（x）（x∈R）

即

又 故有 由f（x）图象关于点M（）对称得

令x＝0得 而

由此解得

当k＝0时，此时

当k＝1时，当k≥2时，故此时

因此，综合以上讨论得

点评：对于正弦函数y＝

或.∴所求，而 或.＋k或余弦函数y＝ ＋k，在单调区间“完整”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期T上，增区间（或减区间）的长度均不超过.因此，若区间 的长度大于，则函数在区间 上不会是单调函数.4、设函数f（x）＝xsinx（x∈R）.（1）证明：

，其中k为正整数.（2）设

，（3）设f（x）在（0，＋∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为

证明：

分析：注意到正弦函数为f（x）的成员函数之一，试题中又指出f（x）的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解（2）（3），均需要从f＇（x）切入.证明：（1）∵f（x）＝xsinx（x∈R）∴

（2）

令

①

显然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx ②

②，即有

，于是 ＝

＝

（3）设 是

，则由直线y＝x与曲线

的一个正整数根，即y＝－tanx的位置关系知：对每一个，存在，使，注意到g（x）＝x＋tanx在 上是增函数，且 ∴g（x）在 又cosx在 内符号不变，∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝

∴所有满足由题设

的 在 与在 内异号，都是f（x）的极值点.为方程x＝－tanx的全部正根.且

，∴

再注意到

③

④

而∴由④得

∴1＋ ⑤

于是由③、⑤得，点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对于（2），即可；对于（3）中的左右两边异号.不仅要满足

只需满足

在点x＝