三次函数的性质及应用

三次函数的性质及应用（共4篇）

三次函数的性质及应用 篇1

摘要：初中阶段我们已经学习过二次函数, 在高中阶段又系统地学习并深化了二次函数, 而三次函数是一种新接触的多项式函数, 它与二次函数不同, 却又是沿同一条主线发展而来的, 因此, 它与二次函数也存在一些相似的地方, 比如说一些相同的研究方向.三次函数在高考中依然是一个热点.本文主要就是来探究和总结三次函数的系数与函数性质的关系.

关键词：高中数学,三次函数,知识探究,知识总结

从这几年的江苏高考来看, 都有涉及三次函数的考查, 考过基础题, 也有难题和压轴题, 特别是对于三次函数导函数为二次函数的类型比较常见, 那么我们在教学中对三次函数问题的研究也应该加强. 在函数的相关问题中, 导数的应用对于研究函数的性质可以说是开辟了一条非常有效快捷的道路, 与传统的研究函数的方法相比, 导数的方法更是一种全新的视角和全新的思维. 在目前的高中数学教学中, 导数方法研究函数主要体现在两个方面: 一个就是导数的几何意义, 也就是和切线有关的问题; 而另一方面就是用导数的方法来研究函数的单调性. 下面我们将从导数与三次函数的单调性关系入手来研究三次函数的系数和性质.

一、导数与函数单调性

导数是高中阶段所学习的概念, 主要是用于探究函数的单调性. 我们知道, 函数的单调性与其导数有着直接的联系, 当f' ( x) > 0时, 函数单调递增, 相反, 当f' ( x) < 0时, 函数单调递减. 虽然二次函数也有单调性, 但是三次函数比起二次函数, 单调性的变化更加丰富, 考查也可以更加灵活, 因此, 在考试中, 关于函数的性质和单调性的理解, 往往都是以考查三次函数为主. 我们在学习二次函数的时候就知道, 函数图像和相关性质与函数的系数是相联系的, 比如说函数图像的开口方向、顶点、最大值和最小值、对称轴、与x轴的交点等等. 在三次函数中也是一样的, 三次函数的相关性质与系数也是有直接的关联, 比如说函数的单调性、极值点和最值. 在教学中, 教师要注重启发学生们理解和运用导数值与函数性质之间的关系, 让学生们更进一步地理解导数值的正负在函数图像中所体现的意义.

二、三次函数系数与图像的关系

在我们学习和研究三次函数f ( x) = ax3+ bx2+ cx + d (a≠0) 中, 以系数a来说, 它与函数的图像会有什么关系呢? 也就是说, 在函数图像的整体趋势上会有什么样的影响呢? 它将如何来决定函数的图像? 那么, 我们可以通过分a > 0和a < 0这两种情况来讨论. 经过学生们的探究和讨论后, 教师可以适当地进行点拨, 并针对学生们的讨论结果进行总结, 可以得出: 对于三次函数f ( x) = ax3+ bx2+cx + d ( a≠0 ) , 其中的三次项系数a控制着函数的总体趋势. 当a > 0时, x从负无穷大到正无穷大时, 函数f ( x) 的整体变化趋势也是从负无穷大到正无穷大, 从图像上来看, 就是图像从第三象限向第一象限延伸. 相反的, 当a < 0时, x的取值从负无穷大到正无穷大时, 函数值却是从正无穷大到负无穷大, 图像则是从第二象限过渡到第四象限. 对于这两种情况, 我们可以作进一步的研究, 探讨函数系数与函数性质之间的关系. 比如我们以a > 0这种情况为例, 当然也可以选择a < 0, 探讨的方法是一样的.

三、三次函数系数与函数性质的关系

在高中阶段, 我们在研究函数的性质时, 常常会利用导数的知识来辅助研究. 那么, 在三次函数的性质的探讨过程中, 我们又如何利用导数来进行研究呢? 函数又会有怎样的一些性质和特征呢?

在我们研究三次函数f ( x) = ax3+ bx2+ cx + d ( a > 0 ) 时, 可以先求出该函数的导数, 得到f' ( x) = 3ax2+ 2bx + c, 这个导函数是一个二次函数, 在初中阶段就已经接触过, 高中阶段也进一步探究和学习过, 因此, 二次函数的性质我们是比较熟悉的. 根据二次函数的性质, 我们可以知道, 二次函数中二次项系数a控制的是函数图像的开口方向, 当a >0时, 开口向上, 同时有最小值. 相反, 当a < 0时, 开口向下, 有最大值. 在这里, f' ( x) 显然是一个开口向上的二次函数, 那么f' ( x) 的值会是怎么样的呢? f' ( x) 的值是正还是负, 又需要我们进一步分类讨论, 在二次函数中, 这是一个函数图像与x轴的交点问题, 可以分为有两个交点、有一个交点或没有交点, 而有交点情况又是以Δ为判断依据. 那么, 结合3a > 0这个条件, 当二次函 数与x轴没有交 点时, Δ = ( 2b) 2- 4× ( 3a) ×c < 0, 化简得出b2- 3ac < 0, 此时函数图像在x轴的上方, f' ( x) 的值为正. 也就是对于任意的x∈R, f' ( x) > 0恒成立, 再依据三次函数与倒数的关系, 可以得出, 原三次函数f ( x) = ax3+ bx2+ cx + d ( a > 0) 在实数区间上单调递增. 当二次函数f' ( x) 与x轴有且只有一个交点的时候, 那么Δ = ( 2b) 2- 4× ( 3a) ×c = 0, 也就是b2- 3ac = 0, 此时f' ( x) 的顶点刚好在x轴上, 也就是x = x0时, f' ( x) =0, 在其他范围内, f' ( x) > 0恒成立. 因此, 根据导数与函数单调性性质可知, 此时原三次函数f ( x) = ax3+ bx2+ cx + d ( a > 0) 在实数区间内同样是单调递增. 而另外一种情况却是变化最丰富的, 也就是当f' ( x) 与x轴有两个交点的时候, 此时函数所需要满足的系数条件是Δ = ( 2b) 2- 4× ( 3a) ×c >0, 即b2×3ac > 0, 此时函数f' ( x) 的值可以是正的也可以是负的, 根据此时f' ( x) 的正负情况, 可以得到, 当x < x1或x >x2时, f' ( x) > 0, 原三次函数在这个区间上是单调递增的.当x1< x < x2时, 原三次函数单调递减. 此时, 函数有极值点, 极值点刚好就是在x1和x2处, 而该两点的值, 我们同样可以用二次函数求交点坐标的方式轻松求得. 可以令f' ( x) = 0, 那么

从上面整个探究过程来看, 知识之间的联系是非常密切的, 通过引入导数, 把三次函数和二次函数联系起来了, 而且运用了二次函数的性质和导数来探究三次函数的性质. 很多学生觉得三次函数很复杂, 导数也不好理解, 其实只要掌握了正确的探究方式, 充分运用所学知识进行分析和整理, 那么探究的思路也会越来越清晰, 当学生能够理解整个探究过程的时候, 那么学三次函数就会觉得非常简单了. 因此, 在教学中, 教师一定要注重探究过程的研究和展示, 而不是让学生们记住结论, 这样才是有效的教学.

三次函数的性质及应用 篇2

举例说明用“平面夹”化三重积分为累次积分的积分方法

探讨函数弱可微、可微、强可微之间的关系

凸函数的性质及其应用

构造函数法在数学中的应用

Gamma函数和Beta函数的性质及应用

积分上限函数的性质及应用

梯度、散度和旋度

对称性与积分计算研究

用微积分理论证明不等式的若干方法

级数收敛性判别法的方法研究

数列与函数的上、下极限及其应用

与连续性相关的多个概念联系与应用

仿照一元函数的凹凸性定义并研究多元函数的凹凸性

讨论上(下)半连续函数,左(右)连续函数的性质

微分中值定理的证明及应用

多元函数连续，偏导数存在与可微性之间的关系

几个函数一致连续的充要条件

利用级数求极限

泰勒公式及其应用

级数的一些巧妙利用

多元函数连续，偏导数存在与可微性之间的关系1.极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法；

2.一致收敛性判别法总结（函数项级数及无穷广义积分）；

3.数学分析中的一致收敛性及其应用；

4.对称性在积分计算（定积分、重积分、线、面积分）中的应用；

5.证明积分不等式方法总结．

1、极限思想的产生和发展；

2、利用泰勒展式求函数极限；

3、数列极限和函数极限的统一；

4、求函数极限的方法；

5、等价无穷小求函数极限；

6、求二重极限的方法；

7、三角函数的极值求法；

8、有界非连续函数可积的条件；

9、正项级数收敛的判别方法；

10、Riemann可积条件探究；

11、凸函数的几个等价定义；

三、数学分析

1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系 1.费尔马最后定理初探 3.求极值的若干方法

4.关于极值与最大值问题

5.求函数极值应注意的几个问题

6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法 7.导数的运用

8.泰勒公式的几种证明法及其应用

9.利用一元函数微分性质证明超越不等式 10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值 11.函数列的各种收敛性及其相互关系 12.复合函数的连续性初探

13.关于集合的映射、等价关系与分类 14.谈某些递推数列通项公式的求法

15.用特征方程求线性分式递推数列的通项 16．谈用生成函数法求递归序列通项 17.高级等差数列

18.组合恒等式证明的几种方法 19.斯特林数列的通项公式 20.一个递归数列的极限 21.关于隶属函数的一些思考

22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题 23.由数列递推公式求通项的若干方法 24.定积分在物理学中的应用

25.一个极限不等式的证明有及其应用 26.可展曲面的几何特征 27.再谈微分中值公式的应用 28.求极限的若干方法点滴

29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系 30.不定积分中的辅助积分法点滴

五、实变函数

1.可测函数的等价定义 2.康托分集的几个性质 3.可测函数的收敛性

4.用聚点原理推证其它实数基本定理 2.可测函数的性质及其结构 3.6.凸函数性质点滴

7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用 8.谈反函数的可测性

9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴

三次函数的性质及应用 篇3

1.求距离的最值问题，可利用二次函数求最值的性质去作，也可以利用直线与曲线相切时判别式等于零来求。以下用例题说明。

例1.已知点A（0，4），P是抛物线y=x2+1上任意一点，则PA的最小值为_______。

若设点P坐标为（x，y），由两点间距离公式及二次函数性质可得解法1：

PA=，

将y=x2+1代入得PA===

则由二次函数性质，得PA最小值为。

2.从另一方面思考，采用数形结合的思想方法，求PA最小值可看作以点A为圆心的圆，该圆与抛物线相切时的圆的半径，由此可得解法2：

设以A为圆心的圆方程为x2+（y-4）2=r2，与y=x2+1联立，消去x得：

y2-7y+15-r2=0

∵圆与抛物线相切，∴？驻=49-4（15-r2）=0（用到了判别式的性质）

得4r2=11，∴r=，即PA的最小值。

3.还有一些问题，表面上看是求函数的最值，但也可用同样的方法解决。

例2.点P（x，y）在直线x+y-4=0上，则x2+y2的最小值是________。

若用二次函数性质可得解法1：由x+y-4=0得y=4-x，代入x2+y2，得x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，則由二次函数性质可得x2+y2的最小值为8。

4.若采用数形结合的思想方法，求x2+y2的最小值可看作是以原点为圆心的圆，该圆与直线x+y-4=0相切时的半径，有解法2：

设以原点为圆心的圆的方程为x2+y2=r2，将y=4-x代入，消去y得：

2x2-8x+16-r2=0，∵直线与圆相切，

∴？驻=64-8（16-r2）=0

得r2=8，即x2+y2的最小值为8。

参考文献：

兰诗全.换元法的解题功能[J].中学数学研究，2013（7）.

二次函数的图象性质应用结题报告 篇4

学 科：数学课 题：班 级：高一（指导教师：魏立珍

三角函数的图象性质应用1,2）班

研究性学习活动结题报告

组长: 组员:

指导老师:魏立珍

摘要：三角函数是高考的重点内容，学习中学生能够熟练地对三角函数解析式配方、确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值、奇偶性等性质及其图像范围，培养学生分类讨论的思想。渗透数学思想与方法（如化归、映射的思想，换元的方法）的学习，发展学生的思维能力。

正文：

三角函数的基本知识点的整理

小组成员心得体会

研究性学习是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这是研究性学习带给我们的乐趣所在。

研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加 研究性学习小组，给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。

研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。

研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。教师评价

研究性学习是一个崭新的课题，对于初初接触这个课题的新生来说，的确是件棘手的事情，一方面是因为以前没接触过，没什么经验，不知从何入手，另一方面是高中学习负担重，如何协调好学习和研究课题之间的比例关系，成了学生们烦恼的事。但是我们小组的成员这点做得不错，协调好两者，学习和研究课题双双丰收。从开题到结题，作为指导老师的我，并没有一步一步教他们如何做，而是提些学生没注意到的问题，在他们困惑之时引导他们如何拨开迷雾，指出他们研究中出现的一些小问题，毕竟研究性学习是要学生独立完成的，指导老师太过入戏的话，研究性学习就没多大意义了。总体来说，我们小组完成得不错，继续加油！